Cálculo Diferencial Parte II
Límites
Enrique Israel Martínez Gordillo
Introducciรณn al cรกlculo diferencial
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Introducción al cálculo diferencial
Introducción al cálculo diferencial El número e Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. Esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Unos años más tarde, en 1624 Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no menciono al número explícitamente en su trabajo. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate. Quien si comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens en 1661 al estudiar el problema del área bajo la curva . Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que es descubierto, sino del estudio del interés compuesto problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502= 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25 4= 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x (1 + 1/12) 12= 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n que tiende a crecer sin límite y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de 1/n , el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión: n
1 (1+ ) n donde n puede crecer hasta el infinto.
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Introducción al cálculo diferencial
Límites Si al aproximar X lo suficientemente cerca de un número a sin llegar a ser a, tanto del lado izquierdo como del derecho, entonces f(x) se aproxima a un número L, entonces el límite de f(x) cuando X tiende a a es L. Esto lo escribimos:
lim f ( x) x→a
Donde la notación x→a se lee “x tiende a a” . Para que el límite exista no se necesita que la función esté definida para el número a , basta que esté definida para valores muy cercanos.
Ejemplo: 1. Determina el límite cuando x tiende a 5 de la función:
x 2 −25 f (x )= x−5 Podemos observar que la función no está definida en x=5 pues el denominador se volvería 0 , pero podemos evaluar la función en valores muy cercanos por encima y por debajo de 5.
x
4.75
4.875
4.9375
4.96875
5.03125
5.0625
5.125
5.25
f(x)
9.75
9.875
9.9375
9.96875
10.03125
10.0625
10.125
10.25
Se observa que para valores de x muy cercanos por abajo y por encima de 5, f(x) tiende a 10 Si graficamos la función obtenemos:
donde vemos que en f(x=5) se forma un hueco justo en el valor de f(x) = 10 por lo tanto
x 2−25 lim =10 x−5 x →5
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Introducción al cálculo diferencial 2. Determina:
3 x2 +5 x 4 lim 2 4 8 x → 0 2 x +6 x −7 x Al sustituir x con 0 en la función, el límite se indetermina:
3 x2 +5 x 4 3⋅0 2 +5⋅04 0 lim = = 2 4 8 x → 0 2 x +6 x −7 x 2⋅02 +6⋅0 4 −7⋅0 8 0 Para eliminar la indeterminación se factorizan el numerador y denominador con la aplicación de factor común:
x 2 (3+5 x 2 ) (3+5 x 2) 3 x 2 +5 x 4 = = 2 x 2 +6 x 4 −7 x 8 x 2 (2+6 x2 −x 6 ) (2+6 x 2−x 6 ) Luego el límite es:
3 x2 +5 x 4 3+5 x 2 3+5⋅02 3 lim 2 4 8 =lim 2 6= 2 6= x → 0 2 x +6 x −7 x x →0 2+6 x −7 x 2+6⋅0 −7⋅0 2 Por lo tanto :
3 x2 +5 x 4 3 lim = 2 4 8 2 x → 0 2 x +6 x −7 x Graficando
la
función
comprobamos que cuando x tiende a 0 el valor de f(x) tiene a 3/2 o 1.5.
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Introducción al cálculo diferencial Teoremas de evaluación de límites Si f(x) y g(x) son funciones, c una constante y n un número real, entonces:
1. lim c=c x→a
2. lim x=a x→a
3. lim c⋅f ( x)=c⋅lim f ( x) x→a
x →a
4. lim [f ( x)±g(x)]=lim f ( x)±lim g (x) x→a
x→a
x→a
5. lim [f ( x)⋅g(x )]=lim f ( x)⋅lim g( x) x→a
x→a
x →a
lim f ( x) f ( x) x →a 6. lim = lim g( x) x → a g( x) x →a
7. lim [f ( x)]n =[lim f ( x)]n x→a
8. lim x →0
x→a
c =∞ x
9. lim c x=∞ x →∞
10. lim
x =∞ c
11. lim
c =0 x
x →∞
x →∞
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Introducción al cálculo diferencial Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Determine el siguiente límite:
lim
x→∞
4 x+5 2 x +3
Al sustituir x con ∞ en la función, el límite se indetermina:
lim
x→∞
4 ∞+5 ∞ = 2 ∞+3 ∞
Para evitar esto dividimos tanto numerador como denominador entre la mayor potencia de la variable, en este caso x
4 x+5 x lim =lim x → ∞ 2 x+3 x →∞ x
4x 5 5 + 4+ x x x =lim 2 x 3 x→∞ 3 + 2+ x x x
Tomando el teorema donde:
11. lim x →∞
c =0 x
entonces:
5 x 4+0 lim = =2 3 2+0 x→∞ 2+ x 4+
Así:
lim
x→∞
4 x +5 =2 2 x+3
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Introducción al cálculo diferencial Ejercicio 2 Determine el siguiente límite:
x 2 + x−6 lim x→2 x 2 −4 Al sustituir x con ∞ en la función, el límite se indetermina:
22 +2−6 4+2−6 0 lim 2 = = 4−4 0 x→2 2 −4 Para evitar esto factorizamos tanto numerador como denominador:
(x +3)( x−2) x 2 + x−6 x+3 lim =lim =lim x→2 x →2 (x +2)( x−2) x →2 x+2 x 2 −4 Ya factorizado sustituimos el valor del límite cuando x es 2:
lim x→2
x+3 2+3 5 = = x+2 2+2 4
Así:
x 2 + x−6 5 lim = 4 x→2 x 2 −4
Para ver otro ejercicio resueltos de Límite de una función puedes visitar: LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1 de julioprofe https://www.youtube.com/watch?v=rrbS5l--1Ss tomado el 01 /11/2017
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Introducción al cálculo diferencial
Referencias •
Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vázquez Fabína, et al. (2010). Cálculo diferencial e integral. México DF: Prentice Hall.
•
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e#Historia
•
William Anthony Granville. (1980). CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.
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Introducciรณn al cรกlculo diferencial
Enrique Israel, 2017 enrique.israel.martinez@gmail.com https://about.me/enriqueisrael
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