CĂĄlculo Diferencial Parte III
Derivadas
Enrique Israel MartĂnez Gordillo
Derivadas
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Derivadas
Introducción al cálculo diferencial Velocidad Instantánea El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él Así se define la velocidad media de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como elcocienteentre el el cambio de desplazamiento y el intervalo de tiempo en que transcurre dicho desplazamiento. Su expresión viene dada por: vm=
Δx Δt
Bajo este concepto la velocidad media de un automóvil que se desplaza de la ciudad A a la ciudad B sería la distancia entre ambas ciudades dividida por el tiempo que tarda el automóvil en llegar a su destino. Pero qué pasa si lo que se busca es conocer la velocidad del automóvil en un punto definido del trayecto, digamos un punto C, para esto habríamos de calcular la velocidad media entre C y un punto lo más próximo posible. Esto se traduce en calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo lo más pequeño posible, es decir haciendo que dicho intervalo Δt se acerque lo más posible a 0 , así la velocidad instantánea sería la velocidad media calculada en el límite cuando Δt tiende a 0
lim
Δ t →0
Δx Δt
En esta Sección veremos que dicha expresión se convierte en una derivada y se concluye que la velocidad instantánea es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo
lim
Δ t →0
Δ x dx = Δ t dt
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Derivadas Derivadas El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro, es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento en x se representa por el símbolo Δx (delta x). Éste incremento puede ser positivo o negativo según la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Si en y=f(x) la variable independiente x toma un incremento Δx , entonces Δy indicará el incremento correspondiente de la función f(x). Consideremos la función
y = x2 Supongamos que x tiene un valor inicial fijo que le damos después un incremento Δx . Entonces y tomará un incremento correspondiente Δy así tendremos:
y + Δy = (x+ Δx)2 Resolviendo:
y + Δy = x2+ 2xΔx+(Δx)2 restando y = x2
Δy = 2xΔx+(Δx)2 Así obtenemos Δy en función de x y Δx Para Hallar la razón de los incrementos Δy / Δx
Δy =2 x +Δ x Δx Si buscamos que dicho incremento sea tan pequeño que tienda a 0 entonces:
lim
Δ x →0
Δy =2 x Δx
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Derivadas Derivada de una función de una variable La definición fundamental del Cálculo diferencial es la siguiente: La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada.
Ejemplo: 1.
Encuentra la derivada de la función y = 5x – 6 Primero se obtiene el incremento:
y +Δ y=5(x +Δ x )−6 Restando y = 5x – 6
Δ y =(5 x +5 Δ x−6)−(5 x −6) Δ y=5 Δ x Razón de cambio dividiendo entre Δx
Δy =5 Δx Aplicando el límite cuando Δx tiende a 0
lim
Δ x →0
Δy =5 Δx
Así la derivada de y = 5x – 6 que representa como
dy dx
es 5
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2.
Encuentra la derivada de la función
y=
2x x−1
Primero se obtiene el incremento:
y +Δ y=
Restando
y=
2x x−1 Δ y=
Δ y=
2(x+Δ x) ( x +Δ x )−1
2 x +2 Δ x 2x − (x +Δ x )−1 x−1
(2 x+2 Δ x)( x−1)−2 x (x +Δ x −1) ( x+Δ x−1)( x−1)
2 x2 −2 x+2 x Δ x−2 Δ x−2 x2 −2 x Δ x+2 x Δ y= (x +Δ x −1)(x −1) Δ y=
−2 Δ x (x+Δ x−1)( x−1)
Razón de cambio dividiendo entre Δx
Δy −2 = Δ x (x +Δ x−1)(x−1) Aplicando el límite cuando Δx tiende a 0
lim
Δ x →0
Δy −2 = Δ x ( x−1)2 dy −2 = dx ( x−1)2
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Derivadas Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las fórmulas de derivadas. Algunas de éstas son:
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Ejemplo: 1.
Derive la siguiente funciรณn:
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y=x 3 +2 x 2−4 x+5 Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene:
dy d 3 d d d d = ( x +2 x 2 −4 x +5)= ( x3 )+ (2 x 2 )− (4 x )+ (5) dx dx dx dx dx dx d 3 d d d (x )+2 (x 2)−4 ( x)+ (5)=3 x2 +2(2 x )−4(1)=3 x2+ 4 x−4 dx dx dx dx
dy =3 x 2 +4 x−4 dx 2.
Derive la siguiente función:
1 s= 5 √t Resolviendo: 1
1
6
ds d 1 d − 5 1 − 5 −1 1 −5 1 = 5 = t =− t =− t =− 5 6 dt dt √ t dt 5 5 5√ t ds 1 =− 5 6 dt 5√ t
3.
Derive la siguiente función:
y=sin(5 x2 ) Resolviendo:
dy d = sin (5 x 2 ) dx dx https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
Derivadas Se aplica la fórmula:
d du sin (u)= cosu dx dx
donde
u=5 x 2
Así:
dy d d = sin (5 x 2 )= (5 x 2 )cos(5 x 2 )=10 x cos(5 x2 ) dx dx dx dy =10 x cos(5 x 2 ) dx
Para ver más ejercicios puedes visitar: De julioprofe , DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicios 3, 4 y 5 https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo obtenido el 17 de Noviembre de 2017. De math2me , Derivar función seno │ ej 1 y 2 https://www.youtube.com/watch?v=1Zngl120scA&list=PLEwRRTQiRPVqn5Wyl3FBo3lltXFNoNaq obtenido el 17 de Noviembre de 2017. De MateFacil , Derivadas trigonometricas con potencia (exponente) https://www.youtube.com/watch?v=vPZK-YFoQ0s obtenido el 17 de Noviembre de 2017.
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Referencias •
Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vázquez Fabína, et al. (2010). Cálculo diferencial e integral. México DF: Prentice Hall.
•
William Anthony Granville. (1980). CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.
•
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/aprimo/Tabladederivadas.pdf
•
https://www.fisicalab.com/apartado/velocidad-media#contenidos
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Enrique Israel, 2017 enrique.israel.martinez@gmail.com https://about.me/enriqueisrael
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