Funciones (Cálculo Diferencial Parte I )

Cálculo Diferencial Parte I

Funciones

Enrique Israel Martínez Gordillo

Funciones

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Funciones.

Definición Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se denotan habitualmente por las últimas letras del alfabeto.

Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.

Cuando el valor de una variable está definida por otra se llama función.

Una función es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto le asocia uno solo elemento del segundo conjunto.

Sean A y B dos conjuntos y f una regla que acada xϵA asigna un único elemento f(x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B y se representa de la siguiente forma: f: A →B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio o imagen.

A f

B

X1

f(x1)

X2

f(x2)

X3 . . .

f(x3) . . .

Para denotar una función se escribe como y = f(x) donde: x : variable independiente y : variable dependiente f : función, regla de asignación o correspondencia

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Funciones CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES (ejemplos)

EXPLÍCITA

IMPLÍCITA

ALGEBRAICA

TRASCENDENTES

y = x2

y= cos x

f(x)= x3- 4 x

f(x) = ex +2

y=(x - 4)1/2

g(x) = log(x+1)

x2 – 8 y +16 = 0

sen x +cos y =1

x3 + y2 -3x =0

ey = x + 3

El Dominio de una función es el conjunto formado por aquellos valores de X (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). Por ejemplo en la función f(x)=√x si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la X estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función Y (variable dependiente), por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a X.

Ejemplo: 1. Determine el Dominio y Rango de la función: f(x)= x- 4 Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales (R) Dom f(x) = R El Rango también será todo el conjunto de los números reales ®

Rango = R Tomemos en cuenta que el conjunto de todos los números reales R también puede definirse como ( -∞ , ∞ ) Una herramienta muy útil para determinar tanto el Dominio como el Rango es la gráfica. La cual veremos más adelante.

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Operaciones con Funciones Suma de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f(x) + g(x), a la función definida por:

(f +g)(x)=f (x)+g(x) Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f(x) y g(x), como la función

(f −g)(x)=f (x)−g( x) Producto de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f(x) y g(x) a la función definida por

(f⋅g)(x)=f (x)⋅g(x) Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f(x) y g(x), se llama función cociente a la función definida por

f f (x) ( )(x)= g g(x) La función f(x)/g(x) está definida en todos los puntos en los que la función g(x) no se anula.

Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f(x), el producto del número por la función es la función definida por

(af )( x)=a⋅f (x) https://buhodigital.wixsite.com/bdv1

Funciones Composición de funciones: En general, dadas dos funcione f y g, la función que asigna a cada x el valor de g( f(x) )se llama función compuesta de f y g y se denota por g ° f (se lee g compuesta con f).

(g∘ f )(x)=g(f ( x)) Ejemplo: 1. Dadas las funciones f(x) = x2-1 y g(x) = 2x3+3 , calcule: (a) (f+g)(x) (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2-1 + 2x3+3 = 2x3 + x2 + 2 (b) (f-g)(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2-1 - (2x3+3) = -2x3 + x2 - 4 (c) (f ∙ g)(x) (f ∙ g)(x) = f(x) * g(x) = (x2-1)( 2x3+3) = 2x5 + 3x2 – 2x3 - 3 = 2x5 – 2x3 + 3x2 – 3 (d) (f/g)(x) (f / g)(x) = f(x) /g(x) = (x2-1 ) / (2x3+3) (e) (f ° g)(x) (f ° g)(x) =f(g(x)) =(2x3+3)2 – 1= {(2x3)2 + 2(2x3)(3) + 32} -1= 4x6+12x3+ 9 -1= 4x6+12x3+8

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Funciones Racionales

Una función racional es aquella que puede escribirse como el cociente de dos polinomios donde el grado del polinomio denominador debe ser mayor a 0.

Por ejemplo; la función

f (x)=

x 3+3 x +1 no es una función racional ya que el denominador tiene 5

x 3+ 3 x +1 grado 0. Por otro lado, la función f (x)= sí es una función racional.

2 5x Estas funciones pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas : Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos dado que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 ésto indetermina a la función. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador.

A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.

Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.

Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).

Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

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Gráficas de funciones En matemáticas la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Las únicas funciones que se pueden trazar de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa (eje horizontal) representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada (eje vertical) representa el valor correspondiente del conjunto imagen .

Para graficar es posible aprovechar software como el de Geogebra.

Grafica funciones con Geogebra: https://www.geogebra.org/m/kjcZMtDj

Ejemplo: 1. Grafique las funciones : (a) f(x) = x2-1

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Funciones (b) g(x) = 2x3+3

(c) (f ° g)(x) Anteriormente ya se había obtenido que (f ° g)(x) = 4x6+12x3+8

Como se había comentado que los gráficos ayudan en la determinación de Dominios y Rangos. Te invito a visitar el siguiente trabajo donde puede observarse esto: De Albornoz Salazar José Luis, Dominio y Rango de una función. http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-yrango-funcion.pdf Obtenido el 25 de Septiembre 2017

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Referencias •

Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vázquez Fabína, et al. (2010). Cálculo diferencial e integral.

México DF: Prentice Hall.

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http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rangofuncion.pdf

•

William Anthony Granville. (1980). CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.

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Enrique Israel, 2017 enrique.israel.martinez@gmail.com https://about.me/enriqueisrael

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