Cálculo Diferencial Parte IV
Aplicación Derivadas
Enrique Israel Martínez Gordillo
Derivadas
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Derivadas
Aplicaciones de la Derivada Costo Marginal El costo marginal se define como el cambio en el costo total que surge cuando la cantidad producida cambia en una unidad. De tal forma que en cada nivel de producción incluye los costes adicionales requeridos para producir la siguiente unidad. Si la producción de vehículos adicionales requiere, por ejemplo, la construcción de una nueva fábrica, el costo marginal de esos vehículos adicionales incluye el costo de la nueva fábrica. En la práctica, el análisis se segrega en casos a corto y largo plazo. En cada nivel de producción y en el período de tiempo considerado, los costes marginales incluyen todos los costos que varían con el nivel de producción y el resto de costos se consideran costos fijos. Así el gráfico del Costo Marginal queda : A Tengo pérdidas, ya que con la cantidad vendida no cubro los costes fijos B Conforme aumento la cantidad vendida aumento mis beneficios totales (coste marginal inferior al precio) C Conforme aumento la cantidad vendida reduzco mis beneficios (coste marginal superior al precio) D Entro en pérfidas cada vez mayores ya que el precio es inferior al coste medio
Así el Costo Marginal puede expresarse matemáticamente como: Costo Marginal = Cambio Costo Total / Cambio Cantidad Cmg= Donde :
ΔCt ΔQ
Cmg es el Costo Marginal Ct es el Costo total Q es la Cantidad
Cuando el cambio en la cantidad es tan pequeño que tiene a 0, puede expresarse como derivada, siendo el Costo Marginal la Derivada del Costo total con respecto a la Cantidad.
Cmg=
d Ct dQ https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
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Aplicaciones Derivadas A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. Dentro de las aplicaciones de la derivada están: •
Hallar la pendiente de una curva en un punto por medio de la tangente de ésta.
•
Hallar el ángulo entre dos curvas.
•
Hallar el radio de una curvatura
•
Encontrar los Máximos y mínimos de una función
•
Hallar la razón de cambio
En esta Parte IV trataremos sólo las últimas dos sobre la aplicación para hallar Máximos y Mínimos y para hallar la razón de cambio.
Máximos y Mínimos Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x = x0, si f(x0) ≥ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0 , pertenezca a dicho intervalo. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x = x0, si f(x0) ≤ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0 , pertenezca a dicho intervalo.
Si f(x) tiene un máximo o mínimo local en x0 entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero. https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
Derivadas Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos en el rango (a,b): a) Si f’(x) > 0 para toda x ubicada en (a, x0) y f’(x) < 0 para toda x ubicada en ( x0 ,,b) entonces en existe un valor máximo local, es decir si la derivada de la función evaluada en cualquier valor del rango antes de x0 es positiva (mayor a cero) y para cualquier valor del rango después de x0 es negativa (menor a cero), entonces la función en x0 es un máximo dentro del rango. b) Si f’(x) < 0 para toda x ubicada en (a, x0) y f’(x) > 0 para toda x ubicada en ( x0 ,,b) entonces en existe un valor mínimo local, es decir si la derivada de la función evaluada en cualquier valor del rango antes de x0 es negativa (menor a cero) y para cualquier valor del rango después de x0 es positiva (mayor a cero), entonces la función en x0 es un mínimo dentro del rango. c) Si para toda x dentro del rango f’(x) tiene el mismo signo, entonces f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local. Pasos para hallar máximos y mínimos en una función: 1. Se obtiene la derivada de la función. 2. La derivada se iguala a 0 y se resuelve la ecuación. Los valores encontrados se les llama punto o valor crítico 3. Se da un valor menor y uno mayor cercanos al valor crítico y se evalúan en la derivada Si el signo cambia de negativo a positivo entonces el valor crítico es un mínimo Si el signo cambia de positivo a negativo entonces el valor crítico es un máximo. 4. El valor crítico se evalúa en la función original para hallar el punto máximo o mínimo.
Ejemplo: 1. Obtenga los puntos máximos y mínimos para la función: 3
2
f ( x)=2 x −3 x −12 x+15 Se obtiene la derivada con respecto a x: 2
f ' (x)=6 x −6 x−12 https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
Derivadas La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: 2
6 x −6 x−12=0 Factorizando: 2
6( x −x−2)=0 2
x −x−2=0 (x−2)(x +1)=0 Despejando para obtener valores críticos:
x1= 2
x2= -1
Se dan valores menores y mayores al rededor de los puntos críticos, y se evalúan en la derivada: Para x1=2 se dan x=1 y x=3 2
f ' (x=1)=6 (1) −6 (1)−12=−12 Signo negativo 2
f ' (x=3)=6 (3) −6(3)−12=24 Signo positivo Por lo tanto en
x1=2 tenemos un mínimo
Para x2=-1 se dan x=-2 y x=0 2
f ' (x=−2)=6(−2) −6(−2)−12=24 Signo positivo 2
f ' (x=0)=6(0) −6 (0)−12=−12 Signo negativo Por lo tanto en
x2= -1 tenemos un máximo
Se evalúan los puntos críticos en la función original: 3
2
f ( x=2)=2(2) −3(2) −12(2)+15=−5 3
2
f ( x=−1)=2(−1) −3(−1) −12(−1)+15=22 Así el punto mínimo es (2,-5) y el punto máximo es (-1,22) Veamos la gráfica de la función donde se comprueban estos puntos. https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
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Otra forma para evaluar si el valor crítico es un máximo o un mínimos es evaluándolo en una segunda derivada: a) Dada y= f(x) con f’(x0)= 0, si f’’(x0) >0, entonces el punto (x0, f(x0)) representa un mínimo. b) Dada y= f(x) con f’(x0)= 0, si f’’(x0) < 0, entonces el punto (x0, f(x0)) representa un máximo. Tomando el ejemplo anterior con la primera derivada hallamos dos puntos críticos x1= 2 y x2= -1. Aplicando la segunda derivada a la función: 3
2
f ( x)=2 x −3 x −12 x+15 2
f ' (x)=6 x −6 x−12 f ' ' (x)=12 x−6 Sustituyendo en la segunda derivada los valores críticos:
x1= 2
f ' ' (x=2)=12(2)−6=18
Signo positivo lo que indica que es f’’(x0) >0 por lo tanto es un
valor mínimo
x2= -1
f ' ' (x)=12(−1)−6=−18
Signo negativo lo que indica que es f’’(x0) < 0 por lo tanto es
un valor máximo. https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
Derivadas Para ver ejercicios de Optimización utilizando Máximo y Mínimos:
http://www.daviddelgado.blogsek.es/files/2017/05/Problemas-de-OptimizacionMAT-1BAT.pdf
Razón de cambio Si una cantidad x está en función de otra variable como podría ser el tiempo, la razón de cambio de x dx . Si dos o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón dt
con respecto a t está dada por:
de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación.
Ejemplo: 1. Si C(x) es la función de costo total que tiene una empresa, por producir x unidades de un producto y la empresa incrementa el número de unidades de x0 a x1 el costo se incrementa
C(x1)-C(x0), la razón de cambio es: dC(x ) dx Si una empresa estima que el costo (en pesos) por producir x artículos es: 2
C (x)=0.02 x +3 x +12000 Determine el costo marginal en un nivel de producción de 600 artículos. Para dar solución, primero obtenemos la función del costo marginal la cual es:
dC(x ) dx
Derivando respecto a x :
C ' (x)=0.04 x+3 El costo marginal de 600 artículos es:
C ' (x=600)=0.04 (600)+3=27 Por lo tanto el costo marginal para 600 artículos es de $27.00 https://buhodigital.wixsite.com/bdv1
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Referencias •
Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vázquez Fabína, et al. (2010). Cálculo diferencial e integral. México DF: Prentice Hall.
•
William Anthony Granville. (1980). CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.
•
Costo Marginal- https://www.zonaeconomica.com
•
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-costo-marginal.html
•
http://www.daviddelgado.blogsek.es/files/2017/05/Problemas-de-Optimizacion-MAT-1BAT.pdf
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Enrique Israel, 2017 enrique.israel.martinez@gmail.com https://about.me/enriqueisrael
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