VERSIDA E AYAQUIL ULTAD
ENIERIA USTRIAL
atura: máticas : untos ad: 2 niero: do ade elo: grupo nformática ación 2 rantes: aly Fajardo, ony eros, José ad an,2 Erick tegui
NJUN S
Índice Conjuntos Objetivos………………………………………………………………………………...2 Ejemplos de conjuntos…………………………………………………………………..2 Descripción de conjuntos………………………………………………………………..2 Cardinalidad……………………………………………………………………………..3 Conjuntos relevantes………………………………………………….............................3 Cuantificadores………………………………………………………………………….3 Cuantificador universal…………………………………………………………………4 Cuantificador existencial……………………………………………..............................4 Conjunto potencia……………………………………………………………………….5 Igualdad entre conjuntos…………………………………………...……………………5 Unión entre conjunto……………………………………………………………………6 Diferencia entre conjunto…………………………………………..……………………7 Complementación de conjuntos………………………………..……………………….8 Operaciones fundamentales (unión e intersección……………………………………...8 Algebra de conjuntos……………………………………………………………………9 Operaciones entre conjuntos…………………………………….…...............................10 Ejemplos de cardinalidad de conjunto………………………………………………….11 Ejemplos de cardinalidad……………………………………….………………………12 Ejemplos de cardinalidad……………………………………………….........................13 Predicados………………………………………………………………………………14 Predicados compuestos………………………………………………….........................14 Ejemplos conjunto de verdad……………………………………………………………15 Leyes de los conjuntos de verdad……………………………………………………….15 Aplicación de las propiedades de los conjuntos…………………………………………16 Valor de verdad de proposición con cuantificadores……………………………………17 Conjunto vacío…………………………………………………………………………..17 Conjunto unitario………………………………………………………………………..17 Leyes de los cuantificadores…………………………..………………………………...18 Demostración de leyes de cuantificadores………………………………………………18 Demostración de leyes de cuantificadores……………………………………………….19
Conjuntos Objetivos La noción de conjunto es una idea básica en las matemáticas. El profundizar rigurosamente en la teoría de conjuntos es una tarea más compleja de lo que se intenta en este texto. Definición (conjunto).17 (Conjunto) Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la característica o propiedad declarada por el conjunto. De aquí que es importante que esta característica no sea ambigua. Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español.
Ejemplo (Conjuntos). Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: • Los números enteros. • Los habitantes de la Luna. • Los animales en extinción. • Los números primos. • Los paquetes de software. • Los operadores de telefonía celular. Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con precisión. Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x ∈A. Para decir que x no está en A, escribiremos x ∈A La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras: • Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. • Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. • Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo gráficamente.
Ejemplo 1.39 Descripción de conjuntos Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad, la cual se define a continuación. Definición (Cardinalidad) Es la cantidad de elementos de un conjunto N(A).
A. Se denota por el símbolo
Ejemplo Cardinalidad de conjuntos A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal} N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9} Conjuntos relevantes Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos: • A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es ∈. N(A) = 0 • A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1 • A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. • A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. • A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.
Ejemplo (Conjuntos relevantes). Conjunto VACÍO: A = {x/x es un número par e impar a la vez} Conjunto UNITARIO: A = {*} Conjunto FINITO: A = {x/x es habitante del Ecuador} Conjunto INFINITO: A = {x/x es número entero} Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO: A = {x/x es una letra del alfabeto español}
Cuantificadores Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dada una expresión en lenguaje natural, identificar los dos tipos de cuantificadores que existen. * Dada una proposición en términos de cuantificadores, reconocer su valor de verdad. * Realizar operaciones con cuantificadores dado un conjunto referencial. * Dado un conjunto finito, hallar su conjunto potencia. Hasta ahora hemos considerado solamente la inferencia lógica de la estructura de proposiciones que son clasificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo, en matemáticas se pueden considerar tres tipos de frases o expresiones: (1) verdaderas, (2) falsas y (3) indistintas o abiertas. A continuación se proporcionan ejemplos de cada uno de estos tipos:
1. Expresiones que son proposiciones verdaderas 5 3 = 8 2 6 2. Expresiones que son proposiciones falsas 5 3 = 10 2 6 3. Expresiones indistintas o abiertas 5x 3y = 8 2x 6 Vemos que estas expresiones indistintas o abiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de las sustituciones que se hagan para x o y. Se desea aplicar ahora el estudio de la lógica a las expresiones abiertas. Para este fin, debemos restringir o cuantificar la variable, diciendo que la expresión es verdadera para todos o algunos de sus valores posibles. De aquí que, se hace necesario contar con una simbología especial, que permita obtener proposiciones a partir de expresiones abiertas. A continuación se definirán los denominados cuantificadores, los cuales permitirán lograr este propósito. Definición (Cuantificador Universal) Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de . Definición (Cuantificador Existencial) Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de .
Ejemplo (Cuantificadores). Como el lector podrá apreciar, estas dos expresiones sí pueden ser calificadas como verdaderas o falsas, lo cual las convierte en proposiciones de acuerdo a la definición 1.1. Vemos que en el caso de una expresión abierta con cuantificadores, se sugiere o se supone algún conjunto referencial, del cual se obtienen los valores posibles de la variable. x, 2x3x = 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x3x=5x”. x, 2x2 = 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x2=4”. Definición (Subconjunto)
La proposición ( ) es falsa, porque no existen elementos que pertenezcan al conjunto vacío. Adicionalmente, la proposición 0∈p es siempre verdadera, sin importar el valor de verdad de la proposición p, con lo que podemos concluir que: 1, es decir que . El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Si realizáramos un análisis similar, podríamos concluir también que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: Definición (Conjunto Potencia)
Ejemplo (Conjunto Potencia)
Relaciones entre conjuntos Definición (Igualdad entre conjuntos) Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente, este concepto se representa por:
Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional, se tiene:
Definición (Conjuntos disjuntos e intersecantes) Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.
Operaciones entre conjuntos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Explicar con sus propias palabras las diferentes operaciones entre conjuntos. * Dada una operación entre conjuntos, representarla con el lenguaje simbólico respectivo. * Dada una operación entre conjuntos, representarla gráficamente mediante diagramas de Venn. * Reconocer la operación de conjuntos que representa una región sombreada dada. Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones más utilizadas son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación Definición (Unión entre conjuntos)
Figura : Diagrama de Venn de la Unión entre Conjuntos. Definición (Intersección entre conjuntos)
Figura: Intersección
Diagrama de Venn de la entre Conjuntos
Definición conjuntos)
(Diferencia
entre
Figura: la Diferencia
Diagrama de Venn de entre Conjuntos.
Definición entre
(Diferencia conjuntos)
simétrica
Figura: Diagrama de Venn de la Diferencia Simétrica entre Conjuntos. Definición (Complementación de conjuntos)
Figura: Diagrama de Venn de la Complementación de Conjuntos.
Propiedades de las operaciones entre conjuntos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Emplear propiedades de las operaciones entre conjuntos para establecer igualdad entre ellos. * Dada una propiedad de las operaciones entre conjuntos, demostrarla empleando lógica proposicional. * Plantear y resolver problemas de cardinalidad empleando álgebra de conjuntos. Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos. A continuación se presentan las de uso más frecuente
Cuadro: Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección
Cuadro: Otras Leyes. Estas propiedades pueden ser demostradas usando las propiedades del รกlgebra de proposiciones
Ejemplo: Demostraciรณn de propiedades del รกlgebra de conjuntos
Ejemplo: Demostraciรณn de propiedades del รกlgebra de conjuntos
Ejemplo : conjuntos.
Demostración
de
propiedades
del
álgebra
Se puede demostrar que:
Ejemplo: Operaciones entre conjuntos. Si en el diagrama de Venn que se muestra a continuación el conjunto A está dado por el círculo externo, el conjunto B está dado por el círculo interno y el conjunto C está dado por el triángulo, determine el conjunto que representa la región sombreada.
Solución: La primera parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto (ABC)C, tal como se muestra en el diagrama siguiente:
de
La segunda parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto (BCC), el cual se representa en el siguiente diagrama:
A partir de estos diagramas de Venn, podemos deducir que la región sombreada requerida puede ser representada por el conjunto:
Ejemplo: Cardinalidad de conjuntos. Determine el porcentaje de alumnos que practican fútbol y básquet, si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados: • 600 practican fútbol. • 500 practican básquet. • 150 no practican fútbol ni básquet. Solución: A partir de la información dada, tenemos que:
El siguiente diagrama de Venn, ilustra el análisis previamente desarrollado:
Con lo que se concluye que el número de estudiantes que practican fútbol y básquet es 250, el cual representa el 25% del total de estudiantes.
Ejemplo: Cardinalidad de conjuntos. Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados
620 veían Tele Amazonas; 400 veían Canal Uno; 590 veían Ecuavisa; 195 veían Tele Amazonas y Canal Uno; 190 preferían ver Canal Uno y Ecuavisa; 400 veían Tele Amazonas y Ecuavisa; 300 preferían ver Tele Amazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno. Determine el número de personas que no ven estos canales.
Solución: A partir de la información obtenida se deduce que:
75 personas no ven estos canales.
Predicados Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dada una expresión en lenguaje común, reconocer si es un predicado. * Dado un predicado, identificar su variable y sugerir un conjunto referencial para la misma.
* Dado un predicado y un conjunto referencial, determinar su conjunto de verdad. * Dado un predicado compuesto, encontrar su conjunto de verdad empleando propiedades de los conjuntos de verdad. * Demostrar las leyes de los cuantificadores. En la sección 1.9, se explicó la diferencia de las expresiones abiertas con respecto a las proposiciones. A partir de ahora, dichas expresiones en las que se manifiesta una acción o un estado para una variable, recibirán el nombre de predicados. Definición (Predicados de una variable) Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado. La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.
Ejemplo (Predicados). Dado Re = {123456} y p(x): x es impar. Si x = 3, p(3): 3 es impar, es una proposición verdadera. Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposición falsa. Por lo tanto, p(x) es un predicado. Se pueden definir varios predicados con un mismo Re y se pueden realizar operaciones lógicas entre ellos para formar predicados compuestos.
Ejemplo (Predicados compuestos). Para el Re y q(x): x < 5
p(x) dados en el ejemplo anterior, considere:
La expresión:
p(x) ∈q(x) también es un predicado.
Como el lector habrá observado en los ejemplos anteriores, existen elementos del referencial para los cuales el predicado puede convertirse en una proposición falsa o verdadera. Estas últimas son de especial interés, y los elementos del referencial que las conforman constituyen lo que a continuación se definirá como conjunto de verdad del predicado Definición (Conjunto de verdad de un predicado) Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. La notación a
utilizar para este conjunto es
Ap(x), y se define como:
Ejemplo (Conjuntos de verdad). Con referencia a los tres ejemplos anteriores:
Ap(x) = {1, 3, 5} Aq(x) = {1, 2, 3, 4} Ar(x) = {2} Todos los elementos que no pertenezcan al conjunto de verdad de un predicado pero que sean parte del referencial considerado para el análisis, estarán contenidos en el complemento del conjunto de verdad de dicho predicado, lo cual puede expresarse así: Ap(x) = ACp(x)
Ejemplo (Complementos de conjuntos de verdad). Partiendo de los mismos ejemplos ya citados anteriormente, se puede concluir que:
En relación a los conjuntos de verdad de predicados compuestos, se cumplen las siguientes propiedades:
Cuadro: Leyes de los Conjuntos de Verdad de Predicados.
Ejemplo (Aplicación de las propiedades de los conjuntos de verdad).
Dado que ya se ha definido a los predicados y en la sección 1.9 se describieron los dos tipos de cuantificadores que se utilizan en la lógica simbólica, se pueden traducir expresiones del lenguaje natural que combinan predicados y cuantificadores. Para el efecto, si se tiene un predicado p(x) y un conjunto referencial siguientes enunciados son proposiciones con cuantificadores:
Re, los
Ya que el primero de ellos se lee “para todo x elemento del Re, se cumple p(x)”, y el segundo de ellos se lee “existe al menos un x elemento de Re que cumple con p(x)”, ambos pueden ser calificados como proposiciones verdaderas o falsas. De aquí que, si un predicado es cuantificado con alguno de los dos cuantificadores definidos, se obtiene una proposición, tal como se define a continuación. Definición (Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores)
Obsérvese que si
aRe, los siguientes enunciados hipotéticos:
son verdaderos. Considerando a como elemento de Re, el primer enunciado quiere decir: “Si todos los elementos del referencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente a satisface el predicado”. El segundo enunciado quiere decir: “Si a satisface el predicado, entonces necesariamente existirá por lo menos un elemento del referencial que satisface el predicado Resulta interesante estudiar los valores de verdad función del conjunto referencial escogido. Consideremos
3 casos.
Caso 1: Conjunto Vacío
Caso 2: Conjunto Unitario
Caso 3: N(Re) > 1
de en
En este caso siempre se cumple que: De aquí en adelante, vamos a considerar en la mayoría de los problemas este tipo de conjunto, como referencial para los predicados
Leyes de los Cuantificadores
Cuadro: Leyes de los
Cuantificadores.
Ejemplo (Demostración de leyes de cuantificadores)
Ejemplo (Demostración de leyes de cuantificadores).
Ejemplo (Demostración de leyes de cuantificadores). Por contraejemplo se puede demostrar que las dos últimas leyes de cuantificadores no son válidas si se consideran las implicaciones recíprocas.
Se puede comprobar que:
Es evidente entonces que, en este caso, las implicaciones:
son falsas.