Análisis y diseño en el espacio de estados

Mendoza, Ernesto 25753822

Como transformar la forma canónica las ecuaciones en el espacio De estado: Considere la siguiente ecuación en estado en tiempo discreto y la de Salida. 𝑥 𝑘 + 1 = 𝐺𝑥 𝑘 + 𝐻𝑢 𝑘 y 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Las técnicas para transformar las ecuaciones en espacios de estado Definidas por las ecuaciones anteriores en las 3 formas canónicas: - Forma canónica controlable - Forma canónica observable - Forma canónica Diagonal o de Jordán Forma canónica controlable: el sistema esta definido en las ecuaciones anteriores , mediante la matriz de transformación. 𝑇 = 𝑀𝑊 Donde

Los elemento a, mostrados en la matriz w son coeficientes de la EcuaciĂłn caracterĂ­stica

Donde puede mostrarse que:

Ahora definimos đ?‘Ľ đ?‘˜ = đ?‘‡đ?‘Ľ (đ?‘˜)

Donde la matriz de transformaciĂłn esta dada por la 3 ecuaciĂłn.

Entonces las ecuaciones se convierten en: đ?‘Ľ k + 1 = đ?‘‡ −1 đ??şđ?‘‡đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ?‘‡ −1 đ??ťđ?‘˘ đ?‘˜ = đ??ş đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ??ťđ?‘˘ đ?‘˜

đ?‘Ś đ?‘˜ = đ??śđ?‘‡đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ??ˇđ?‘˘ đ?‘˜ = đ??ś đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ??ťđ?‘˘(đ?‘˜) Donde:

đ??ş = đ?‘‡ −1 đ??şđ?‘‡, đ??ť = đ?‘‡ −1 đ??ť, đ??ś = đ??śđ?‘‡, đ??ˇ = đ??ˇ

Estas ultimas ecuaciones estĂĄn en forma canĂłnica controlable

AquĂ­ las đ?‘?đ?‘˜ son los coeficientes que aparecen en el numerador de La funcion de transferencia pulso siguiente:

Forma canĂłnica observable: el sistema esta definido por las ecuaciones 1 y 2 pueden ser transformado en forma canĂłnica observable , mediante la raĂ­z de transformaciĂłn. đ?‘„ = (đ?‘Šđ?‘ ∗ )−1 Donde

Y W esta dado por la ecuaciĂłn 5. puede demostrarse que:

Donde đ?‘?đ?‘˜ son los coeficientes que aparecen en el numerador de la Funcion de transferencia pulso dada la ecuaciĂłn 14. entonces al Definir: đ?‘Ľ đ?‘˜ = đ?‘„đ?‘Ľ (đ?‘˜) Las ecuaciones 1 y 2 se convierten en:

Estas dos ultimas ecuaciones están en una forma canónica observable Forma canónica Diagonal o de Jordán: si los valores característicos de Pi de la matriz G son distintos, entonces los vectores característicos Correspondientes E1, E2,…En también son distintos . Defina la matriz De transformación P como sigue:

đ?‘Ľ đ?‘˜ = đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘˜) Se tiene que las ecuaciones 1 y 2 pueden estar dadas por las Ecuaciones

Donde đ??ş = đ?‘ƒâˆ’1 đ??şđ?‘ƒ, đ??ť = đ?‘ƒâˆ’1 , đ??ś = đ??śđ?‘ƒ đ?‘Ś đ??ˇ = đ??ˇ Por lo tanto:

� � � son constantes

En muchos casos escogemos �1, �2, ‌ . �� = 1 Si existen varios valores para pi de la matriz G, entonces escogemos La matriz transformación S definida como sigue:

Donde las ni son vectores caracterĂ­sticos generalizados đ?‘† −đ?‘– đ??şđ?‘† = MATRIZ EN LA FORMA CANONICA JORDAN Ahora si definimos

Entonces se pueden dar las ecuaciones 1 y 2 como sigue:

Donde:

Las ecuaciones en el espacio de estado

Donde �� � �� son constantes

En muchos casos escogemos �� = �� + 1 = ⋯ = �� = 1

Si el polinomio mĂ­nimo es de un grado s-1 menor que el del Polinomio caracterĂ­stico, entonces đ?‘† −1 GS tendra una forma CanĂłnica de JordĂĄn distinta.