Diseños de Sistemas de Control en Tiempo Discreto

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1- Estabilidad en los sistemas de control en tiempo discreto…………………………………………………………………........Pag. 2 2- Pasos para calcular el error en estado permanente………………………………………………………………….Pag. 6 3- Definiciones importantes…………………………………………Pag. 12 4- Diagrama de Bode………………………………………………....Pag. 14 5- Parte II. Practico…………………………………………………......Pag. 16

La estabilidad de un sistema puede determinarse por las Localizaciones de sus polos en lazo cerrado en el plano Z o Por la raĂ­ces de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica. đ?‘ƒ đ?‘§ = 1 + đ??şđ??ť đ?‘§ = 0

Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las RaĂ­ces de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica deben presentarse en el Plano z dentro del circulo unitario. Cualquier polo en el lazo Cerrado exterior al circulo unitario hace inestable el sistema. Si un polo simple se presenta en Z=1, entonces el sistema se Convierte en crĂ­ticamente estable. TambiĂŠn el sistema se puede Convertir en crĂ­ticamente estable si un solo par de polos Complejos conjugados se presentan sobre el circulo unitario en El plano z. Cualquier polo mĂşltiple en el lazo cerrado sobre El circulo unitario hace el sistema inestable. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y Por lo tanto pueden quedar localizado en cualquier parte del Plano z. Entonces, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo Discreto lineal e invariante con el tiempo de una entrada/salida Se vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado Se presenta por fuera del circulo unitario o tambiĂŠn cualquier Polo mĂşltiple en lazo cerrado se presenta sobre el circulo Unitario del plano z.

En este articulo se explicara dos criterios para determinar la Estabilidad de un sistema de control en tiempo discreto. Criterio de estabilidad de Jury:

Este mĂŠtodo prueba la estabilidad absoluta, revela la existencia de cualquier raĂ­z inestable, pero no da su localizaciĂłn. Pasos para determinar la estabilidad: Paso 1: Partir de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica del sistema, identificar los coeficientes y determinar el numero de filas de la tabla. đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 đ?‘§ đ?‘› + đ?‘Ž1 đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘§ + đ?‘Žđ?‘› Paso 2: Verificar si đ?‘Ž0 > 0, el sistema es estable si todas las condiciones Siguientes se cumplen: CondiciĂłn 1:

đ?‘Žđ?‘› < đ?‘Ž0

CondiciĂłn 2: đ?‘ƒ(đ?‘§) đ?‘§ = 1 > 0 CondiciĂłn 3:

đ?‘ƒ(đ?‘§) đ?‘§ = 1 >

> 0 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; < 0 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘› đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

CondiciĂłn 4: đ?’ƒđ?’?−đ?&#x;? > đ?’ƒđ?&#x;Ž đ?’„đ?’?−đ?&#x;? > đ?’„đ?&#x;Ž . . . đ?’’ đ?&#x;? > đ?’’đ?&#x;Ž Paso 3: Formar una tabla que tendrĂĄ 2n-3 filas, un sistema de segundo grado le corresponde una fila. Forma general de la tabla de estabilidad de Jury

Criterio Routh- Hurwitz La estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su función de transferencia, es decir por la ubicación de las raíces del denominador, entonces este criterio establece: “Si el denominador tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero, entonces tiene al menos una raíz en el semiplano derecho o en el eje imaginario, es decir que el sistema es inestable.” Si el denominador tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos extraer conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces y, por consiguiente, sobre su estabilidad. Procedimiento: Dado:

donde G (s) es la ecuación característica de un sistema

La respuesta permanente es aquella que se alcanza cuando el sistema se establece y es muy importante su estudio pues informa lo que sucede con la salida permanente una vez que el sistema es perturbado. Se pueden tener casos en los cuales, ante una entrada acotada, no se logra un valor de establecimiento constante, siendo éstas situaciones no deseadas, tal como sucede para la respuesta ante el escalón de los sistemas de tipo I.

En secciones anteriores se estudió el valor de establecimiento que alcanzaban distintos tipos de sistemas, en tanto que en esta sección se estudiará la respuesta permanente desde el punto de vista del error del sistema en estado estacionario, el cual solamente está definido para sistemas a lazo cerrado pues corresponde con la diferencia entre la entrada o señal de referencia y la salida del sistema. La señal de referencia es el valor que la salida está siguiendo y si fuese posible se desearía que la diferencia entre ellas fuese cero. Para un sistema con retroalimentación unitaria, como el que se muestra en la Figura.

El error se expresa según la Ecuación:

En la cual G(s) coincide con la función de transferencia a lazo abierto.

Conocida la transformada de Laplace del error es posible conocer el valor que alcanza el mismo cuando el tiempo tiende a infinito utilizando el Teorema del valor final, de allí se desprende que el Error depende de la entrada a la cual sea sometido el sistema a lazo cerrado y de la función de transferencia a lazo abierto.

Ante una entrada tipo escalón de magnitud M, se calcula a continuación el error para distintos casos dependiendo del tipo de la función de transferencia a lazo abierto.

donde Kp se conoce como el coeficiente estático de error de posición y su valor dependerá del tipo de la función de transferencia a lazo abierto. Partiendo de la expresión general para G(s) que se mostró en la Ecuación, el cálculo de Kp y del error será como sigue.

Como puede observarse, el error ante el escalón tendrá un valor finito para el caso que la función de transferencia a lazo abierto sea de tipo 0, en tanto que, si el tipo es I o más, el error siempre será cero. En la siguiente figura se puede apreciar la respuesta, ante un escalón unitario, de un sistema a lazo abierto de tipo 0 y tipo I, en la cual se aprecia lo calculado previamente.

Ante una entrada tipo rampa cuya pendiente sea M, se calcula a continuación el error para distintos casos dependiendo del tipo de la función de transferencia a lazo abierto.

donde Kv se conoce como el coeficiente estático de error de velocidad y su valor dependerá del tipo de la función de transferencia a lazo abierto, tal como se muestra a continuación.

Como puede observarse, el error ante la rampa tendrá un valor infinito para el caso que la función de transferencia a lazo abierto sea de tipo 0, para tipo I el error será finito, en tanto que para tipo II o más el error siempre será cero. En la Figura siguiente se puede apreciar la respuesta, ante una rampa unitaria, para tres sistemas que a lazo abierto son de tipo 0, de tipo I y de tipo II, en la cual se aprecia lo calculado previamente.

Ante una entrada tipo parábola, se calcula a continuación el error para distintos casos dependiendo del tipo de la función de transferencia a lazo abierto.

donde Ka se conoce como el coeficiente estático de error de aceleración y su valor dependerá del tipo de la función de transferencia a lazo abierto, tal como se muestra a continuación. Tomando la misma expresión general para G(s) que se mostró en la ecuacion, el cálculo de Ka y del error será como sigue.

Como puede observarse, el error ante la parábola tendrá un valor infinito para el caso que la función de transferencia a lazo abierto sea de tipo 0 y de tipo I, en tanto que para tipo II el error será finito y para sistemas de tipo III o más el error será cero. Finalmente, en la Tabla se resume el cálculo de error para diferentes entradas y tipos de sistemas a lazo abierto.

Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.

Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.

Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar.

Es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada.

En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

SoluciĂłn ejercicio 1: đ?‘ƒ đ?‘? =1+ =

đ??ž1.1353(đ?‘?+0.5232) =0 (đ?‘?−1)(đ?‘?−0.1353)

đ?‘? − 1 đ?‘? − 0.1353 + 1.3353đ??ž(đ?‘? + 0.5232) (đ?‘? − 1)(đ?‘? − 0.1353)

Polinomio caracterĂ­stico: đ?‘? 2 -1.1353Z+0.1353+1.3353KZ+0.5940K=0 = đ?‘? 2 + 1.3353 − 1.1353 đ?‘? + 0.5940đ??ž + 0.1353 = 0 Con n=2, se requieren 2 condiciones 1) đ?‘ƒ 1 > 0 = đ?‘ƒ 1 = 12 + 1.3353đ??ž − 1.1353 + 0.5950đ??ž + 0.1353 > 0

=1.9293K > 0 = K > 0 2) đ?‘ƒ −1 > 0 (đ?‘› = 2) = 1 − 13353đ??ž + 1.1353 + 0.5950đ??ž + 0.1353 > 0 = −0.7403K+2.2706 > 0 2.2706

= đ??ž < 0.7403= K< 3.067

AsĂ­, como por el criterio de JURY, el rango de valores de K para la estabilidad es 0 < đ??ž < 3.067

=đ??ž ∈(0, 3.067) SoluciĂłn ejercicio 2: đ?‘ƒ đ?‘? = 27đ?‘? 3 + 27đ?‘? 2 + 9đ?‘? + 1 = 0

La transformaciĂłn bilineal se describe por đ?‘¤+1 đ?‘?= đ?‘¤âˆ’1 đ?‘¤+1 = đ?‘ƒ đ?‘¤ = 27 đ?‘¤âˆ’1 đ?‘¤+1 = 27 đ?‘¤âˆ’1

3

3

đ?‘¤+1 + 27 đ?‘¤âˆ’1

đ?‘¤+1 3 + 27 đ?‘¤ − 1

2

đ?‘¤+1 +9 +1=0 đ?‘¤âˆ’1

2

9 đ?‘¤+1 2+ đ?‘¤âˆ’1 +1=0

Multiplicando por đ?‘¤ − 1 3 resulta đ?‘ƒ đ?‘Š = 27 đ?‘Š + 1 3 + 27 đ?‘Š + 1 2 đ?‘Š − 1 + 9(đ?‘Š + 1) đ?‘Š − 1 2 + đ?‘Š − 1 3 Resolviendo resulta: đ?‘ƒ đ?‘Š = 27 đ?‘Š 3 + 3đ?‘Š 2 + 3đ?‘Š + 1 + 27 đ?‘Š 2 + 2đ?‘Š + 1 (đ?‘Š − 1) +9 đ?‘Š + 1 đ?‘Š 2 − 2đ?‘Š + 1 + (đ?‘Š 3 − 3đ?‘Š 2 + 3đ?‘Š − 1) = 27đ?‘Š 3 + 81đ?‘Š 2 + 81đ?‘Š + 27 + 27(đ?‘Š 3 + đ?‘Š 2 − đ?‘Š − 1)

+9 đ?‘Š 3 − đ?‘Š 2 − đ?‘Š − 1 + đ?‘Š 3 − 3đ?‘Š 2 + 3đ?‘Š − 1 = 0

đ?‘ƒ đ?‘Š = 27đ?‘Š 3 + 81đ?‘Š 2 + 81đ?‘Š + 27 + 27đ?‘Š 3 + 27đ?‘Š 2 − 27đ?‘Š − 27 +9đ?‘Š 3 − 9đ?‘Š 2 − 9đ?‘Š + 9 + đ?‘Š 3 − 3đ?‘Š 2 + 3đ?‘Š − 1 = 0 = 64đ?‘Š 3 + 96đ?‘Š 2 + 48đ?‘Š + 8 = 0 á 64: đ?‘ƒ đ?‘Š = đ?‘Š 3 + 1.5đ?‘Š 2 + 0.75đ?‘Š + 0.125 = 0

Del criterio de Routh-Hurwitz: đ?‘žđ?&#x;‘

1

đ?‘Š2

1.5

đ?‘Š1

A=0.667

0

đ?‘Š0

B=0.125

0

0.75 0.125

1.5 0.75 − 0.125 = 0.667 1.5 0.125đ??´ − 0 đ??ľ= = 0.125 đ??´ đ??´=

Todos los elementos de la columna son positivos , el sistema es estable.

Solución ejercicio 3:

𝐸 𝑆 = 𝑅 𝑆 − 𝐶 𝑆 𝐷(𝑆) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐶 𝑆 = 𝐸 ∗ 𝑆 𝐺𝐻(𝑆) Sustituciones 𝐸 𝑆 = 𝑅 𝑆 − 𝐸 ∗ 𝑆 𝐺𝐻 𝑆 𝐷(𝑆) 𝐸 ∗ 𝑆 = 𝑅∗ 𝑆 − 𝐸 ∗ 𝐺𝐻𝐷∗ (𝑆) 𝐸 ∗ 𝑆 + 𝐸 ∗ 𝐺𝐻𝐷∗ 𝑆 = 𝑅∗ (𝑆) 𝐸 ∗ 𝑆 1 + 𝐺𝐻𝐷 ∗ 𝑆 = 𝑅∗ (𝑆) 𝑅(𝑆) 𝐸∗ 𝑆 = 1 + 𝐺𝐻𝐷(𝑆) 𝑅(𝑍)

Asi 𝐸 ∗ 𝑍 = 1+𝐺𝐻𝐷(𝑍 Expresión del error El error en estado estacionario es 𝑒𝑠𝑠 = lim (1 − 𝑍 −1 ) 𝑍→1

𝑅(𝑍) 1 + 𝐺𝐻𝐷(𝑍)

Para el error de aceleración 𝑇2 𝑅 𝑍 = 1 − 𝑍 −1

3

𝑇2 1 − 𝑍 −1 3 . 1 + 𝐺𝐻𝐷(𝑍)

𝑒𝑠𝑠 = lim 1 − 𝑍 −1 𝑍→1

lim

𝑧→1

1 − 𝑍 −1

𝑇2 2 1 + 𝐺𝐻𝐷(𝑍)

𝑇2 lim 𝑍−1 1 − 𝑍 1 2 + 1 − 𝑍 −1 2 𝐺𝐻𝐷(𝑍) lim

𝑍→1

1

𝑇2 1 − 𝑍 −1

1 − 𝑍 −1 2 𝐺𝐻𝐷(𝑍) lim 2 𝐺𝐻𝐷(𝑍) = 𝑍→1 𝑇2

𝐾𝑎 = lim 1 − 𝑧→1

𝑍 −1 2 𝐺𝐻𝐷

1 𝑍 ; ess = 𝑎 𝐾𝑎

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