EDITORIAL
Índice 1- INTRODUCCION……………………………………………………........Pag. 1 2- INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO……………………….……………………………………………….Pag. 2 2.1- ALGUNOS CONCEPTOS………………………………………..………Pag. 5 2.2-DEFINICION……………………………………………..………………....Pag. 6 2.3- ORIGEN…………………………………………………………………......Pag. 7 2.4- METODOS NUMERICOS………………..…………………………..Pag. 11 2.5-TIPOS DE METODOS……………….….………………………………Pag. 13 3- LA INTERPOLACION……………………………………………………..Pag. 14 4- DIFERENCIACION NUMERICA………………………….…………..Pag. 16 4.1- CONOCIENDO UN POCO DE HISTORIA……………………..Pag. 19
Introducción Los métodos numéricos son procedimientos lógicos que se realizan a partir de los problemas planteados matemáticamente y de manera aritmética. Estos métodos son herramientas poderosas que se usan en la formulación de problemas complejos que requieren un conocimiento básico en matemáticas e ingeniería. Si conocemos bien los métodos numéricos podemos diseñar programas propios y así no comprar el software costoso.
Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que se tiene que determinar. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos.
DEFINICION: El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Introducción al Análisis Numérico Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituyendo un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna. Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así.
A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano.
Esta disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas. De este modo, se podría deducirse que la disciplina del Análisis Numérico data de hace medio siglo. Pero un análisis un poco más detallado de la historia de las Matemáticas indica que cuando los grandes científicos de la época (siglo XVIII esencialmente) desarrollaban el programa de Newton y establecían los principios y herramientas fundamentales del Análisis y del Cálculo Diferencial, estaban ya estableciendo los cimientos del Análisis Numérico. Esto fue primero con el objeto de construir el complejo edificio del Cálculo Diferencial a partir de la más simple aritmética, para después, ya en siglo XX, deshacer ese camino traduciendo las Matemáticas al lenguaje del ordenador.
En concordancia, en el ámbito del área de ingeniería, se busca dar soluciones exactas a un determinado problema, mediante la aplicación de métodos numéricos, dando con ellos una aproximación pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos. De ahí que, se considera importante el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.
Es por ello, que el desarrollo del Análisis numérico como disciplina con entidad propia ha ido indisolublemente ligado a la vertiginosa evolución que los ordenadores han experimentado desde su aparición en la década de los años cuarenta. No en vano, los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la inmensa mayoría de los métodos que el Análisis numérico propone, dado el considerable volumen de cálculos y manipulaciones de datos que suelen llevar aparejados.
Por consiguiente, los problemas que trata el Análisis numérico se pueden clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza numérica (o finito–dimensional) o naturaleza funcional (o infinito–dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores propios, y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Son del segundo tipo, por el contrario, los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación e integración numérica, los problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales.
Algunos Conceptos Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida. Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, excenta de ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución. 2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores: Existencia y unicidad. Estabilidad y convergencia 3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa
Definición El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Análisis Numérico, es definido por Henrici (citado por Álvarez y Martínez, 2004) como “la disciplina que se ocupa de la descripción y análisis de los algoritmos numéricos para la obtención de la solución de un problema matemático, en el que intervienen números, ya sea de manera exacta o aproximada” (p. 3) De ahí que, con ésta técnica es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos
Origen Debido a la estrecha relación existente entre las diferentes ramas de la Ciencia (y en particular de las Matemáticas), no es fácil determinar dónde acaba una y empieza otra. Por ello la extensión exacta del Análisis Numérico no es conocida. De hecho, el concepto de Análisis Numérico no fue creado hasta 1947 en que se fundó el Instituto de Análisis Numérico en la Universidad de California. Sin embargo, el nombre parece estar asociado a aquellos temas que requieran unos procesamientos de datos. Como la extensión de estos temas es considerable (puede ir, por ejemplo, desde la interpretación de datos médicos hasta la reserva automática de plazas de avión o gestión de una biblioteca), nos limitaremos a ciertos aspectos matemáticos de la idea.
Al principio, la mayor parte del trabajo que se efectuaba en el campo de las Matemáticas, inspirado por cuestiones y problemas concretos, se basaba en métodos constructivos para determinar la solución (predicciones sobre eclipses, aparición de un cometa, etc...).
El punto culminante de la utilización de los algoritmos está en Euler (1707-1783), que en los 70 volúmenes que comprenden sus trabajos incluye gran número de algoritmos y fórmulas. Los algoritmos infinitos que presenta, aparecen, normalmente, como desarrollos en serie.
Posteriormente, la perfección de los conocimientos matemáticos y la generalización de los problemas hacen que se sustituyan los razonamientos constructivos por otros de Tipo lógico. Así, interesa más determinar si existe la solución a un determinado problema, que calcularlo de forma efectiva. Este proceso sigue hasta aproximadamente el año 1950. La razón del proceso de abstracción era que los algoritmos para el cálculo de las soluciones de los problemas eran, aunque finitos, irrealizables por la gran cantidad de cálculos que exigían. A partir de la segunda mitad del siglo XX, la aparición de las computadoras libera al algoritmo de la pesadez del cálculo, lo que supone un nuevo auge para los métodos constructivos.
Podríamos decir que si desde la antigüedad hasta 1945 la velocidad de cálculo se había multiplicado por 10 mediante rudimentarios artefactos (como el ábaco), desde entonces hasta ahora se ha multiplicado por un millón o más. Esto supone que 1 hora de trabajo de ordenador equivale a 200 años de trabajo de una persona, lo que permite realizar tareas inalcanzables en otros tiempos. Esto no significa que todos los algoritmos puedan ser tratados por un ordenador, pues algunos exigen más de 100 años de trabajo del ordenador actual más potente para poder ser llevados a cabo.
Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, la elección del método apropiado para aproximar la solución de un problema está influenciada significativamente por los cambios tecnológicos en calculadoras y computadoras. El factor limitante en la actualidad es generalmente la capacidad de almacenamiento de la computadora, a pesar de que el costo asociado con los tiempos de cómputo es, desde luego, también un factor importante
Características Suministra métodos efectivos a fin de resolver problemas. Es un instrumento esencial en los estudios numéricos actuales. Se consiguen soluciones de modelos matemáticos que representan situaciones reales concretas. Aplicaciones El análisis numéricos se pueden utilizar en muy diversos campos de la Ingeniería, la Mecánica, la Técnica, la Física y su desarrollo está íntimamente ligado al de los ordenadores y medios informáticos en general.
Ejemplo de aplicaciones Grau y Loguera (2001) establecen los siguientes ejemplos para las aplicaciones de análisis numéricos: Astrodinámica: cálculo de trayectoria de satélites. La mecánica celeste: estudio del movimiento de los astros considerando las perturbaciones creadas por sus vecinos. Astrofísica: modelado de la evolución de las estrellas. Ingeniería Civil: estudio de las características estructurales de grandes construcciones (edificios, puentes, presas, entre otras). Biología: dinámica de poblaciones, flujo de la sangre en el cuerpo humano. Mecánica de fluidos: simulación del flujo de aire alrededor de una nave y las correspondientes presiones sobre la estructura. Dispersión de contaminantes en diferentes medios.
Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
De este modo, los métodos numéricos vuelven aptos a los individuos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Según Luthe (1980) los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. - Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados. - Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. - Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones. - Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. - Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.
Tipos de Métodos -Series de McLaurin / Taylor (Seno). - Métodos de Bisección, Falsa Posición, Newton-Raphston - Métodos de Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y Montante Pardo - Interpolación de Newton
AUTOR DEL ARTICULO: DANA MARCIALES
La Interpolación En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. ANTECEDENTES DE LA INTERPOLACIÓN Algunos estudios hablan de que, las interpolaciones fueron propuestas por los astrónomos para “predecir “o ubicar los cuerpos celestes en el espacio.
Otros afirman que la historia de la interpolación comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en las tablas exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores intermedios. El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de las diferencias finitas, empezando por la cuadratura del círculo de Wallis en 1655, con la que propuso el principio de “intercálculo” o interpolación.
Esto fue aceptado por Newton en 1676, lo cual le permitió la derivación de las series binómicas, es decir, a partir de un problema de cuadraturas, Newton pudo obtener el teorema binomial. Luego se continúa con la construcción de fórmulas prácticas de interpolación. Aunque “la historia de las fórmulas de interpolación es complicada y muy discutida” (Bell, 1995, p. 421), se le puede considerar como un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente de las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.
TIPOS Y MÉTODOS Interpolación Lineal Interpolación Polinómica Polinomio Interpolante De Gauss Interpolación De Hermite Interpolación Usando Splines Polinomio Interpolante De Lagrange
AUTOR DEL ARTICULO: DARCY BLANCO 22198208
Diferenciación Numérica Las fórmulas de diferenciación numérica tienen su aplicación más importante en la solución numérica de ecuaciones diferenciales; y la integración numérica es el proceso del cual se genera un valor numérico para la integración de una función sobre un conjunto. Polinomio Interpolante Newton Gregory Se dice que los datos estén uniformemente espaciados sixi+1 − xi = Δx es constante para i =1, 2, 3. ... Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma mas sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera: Diferencia de orden 0: Δ0fi = fi Diferencia de orden 1: Δ1fi = fi+1 – fi Diferencia de orden 2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 − Δfi = fi+2 −2fi+1 + fi Diferencia de orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 − Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1− fi
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de NewtonGregory (en avance y retroceso).La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores, que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi.
Extrapolación de Richardson El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.
Sirve para generar resultados de gran exactitud cuando se usan fĂłrmulas de bajo orden. Puede aplicarse siempre que sepamos que el mĂŠtodo de aproximaciĂłn tiene un tĂŠrmino de error de una forma previsible. Encuentra un modo de combinar las aproximaciones imprecisas para producir formulas con un error de truncamiento de orden superior. En la interpolaciĂłn de Richardson Denotamos por I, cualquier fĂłrmula numĂŠrica para aproximar I(f), e.g., la fĂłrmula del Trapezoide o la regla de Simpson. La correspondiente fĂłrmula asintĂłtica del mĂŠtodo nos garantiza que para alguna constante C
đ??ś = đ??śâ„Žđ?‘? đ?‘? đ?‘› Donde p es el orden de convergencia del mĂŠtodo, e.g., p=2 para el mĂŠtodo del Trapezoide y p=4 para el de Simpson. Despejando para I(f) obtenemos que: 1 đ??ź đ?‘“ ≈ đ?‘? 2đ?‘? đ??ź2đ?‘› − đ??źđ?‘› = đ?‘…2đ?‘› 2 −1 Lo cual se conoce como la fĂłrmula de extrapolaciĂłn de Richardson y se puede demostrar que: đ??ź đ?‘“ − đ?‘…2đ?‘› = đ?‘‚(â„Ž2đ?‘? ) đ??ź đ?‘“ − đ??źđ?‘› ≈
Conociendo un Poco de Historia Lewis Fry Richardson (11 de octubre de 1881 - 30 de septiembre de 1953) fue un matemático, físico, meteorólogo y pacifista inglés. Fue pionero en las modernas técnicas matemáticas de la predicción del tiempo atmosférico y en la aplicación de técnicas similares para el estudio de las causas de las guerras y el cómo prevenirlas. También destacó por su trabajo precursor de la teoría de fractales y por el desarrollo de un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que lleva su nombre. Fue miembro de la Royal Society.
AUTOR DEL ARTICULO: ERNESTO MENDOZA