ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD PARA DATOS BIVARIADOS MEDIANTE LOS TRIOGRAMAS Vértices en la Triangulación nodo
vért. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15
vért. 2 1 2 3 2 4 3 3 4 5 1 3 5 1 5 13 13 5 11 11 12 13 12 1 13 5 4 6 4 8 6 6 8 7 7 5 6 5 7 9 9 7 10 10
0 3 1.5 3 3 1.5 1.5 3 0 0 1.5 0 0 0 -1.5 -1.5 0 -3 -3 -3 -1.5 -3 0 -1.5 0 3 1.5 3 3 1.5 1.5 3 0 0 0 1.5 0 0 -1.5 -1.5 0 -3 -3
vért. 3 -3 -3 -1.5 -3 0 -1.5 -1.5 0 0 -3 -1.5 0 -3 0 -1.5 -1.5 0 0 0 -3 -1.5 -3 -3 -1.5 0 0 1.5 0 3 1.5 1.5 3 3 3 0 1.5 0 3 1.5 1.5 3 3 3
1
15 15 16 16 16
11 9 9 11 5
-3 -1.5 -1.5 -3 0
0 1.5 1.5 0 0
La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas de cada nodo o vértice. La triangulación generada así junto con los datos se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Triangulación de la Región ocupada por los Datos Bivariados Normales
2
Figura 2. Función de Densidad Estimada mediante el Modelo Triograma a partir de los Datos Bivariados Normales Simulados
Estimación de cada α i en cada Iteración 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
iter. 0 1.7913 1.4619 1.1557 0.0806 1.3542 1.1378 -0.5113 -0.7549 -0.5918 -2.9503 -0.468 0.2369 0.6296
iter. 1 0.7861 0.4642 0.1558 -0.9197 0.409 0.1429 -1.5133 -1.7567 -1.532 -3.9847 -1.4602 -0.7654 -0.362
…………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. ……………..
iter. 15 -4.5248 -18.5287 -3.9747 -5.0551 -1.1746 -3.5521 -5.5989 18.5865 -3.2743 -12.1234 -4.9294 -15.5439 -3.5904
Los 13 parámetros fueron obtenidos por el método de Newton, al tratarse de un sistema de ecuaciones no lineal. Para este método numérico es necesario hallar la matriz de segundas derivadas (Hessiana), a partir de la cual se obtiene la matriz de información de Fisher.
3
Matriz de Covarianzas 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0.1 -0.1109 -0.0201 0.0122 -0.006 0.0013 0.0061 -0.0302 0.0011 -0.016 0.0117 -0.0798 -0.0185
2 -0.1109 32.515 -0.2755 -0.1043 0.0389 -0.0042 -0.0377 0.2123 -0.0153 0.0876 -0.034 0.1762 -0.0006
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 -0.0201 -0.2755 0.0901 -0.0222 -0.0053 0.0082 0.002 -0.0047 0.0031 -0.0102 0.0017 -0.0016 0.008
9 0.0011 -0.0153 0.0031 0.0013 -0.0042 0.0066 -0.0212 -0.0064 0.0627 -0.1224 -0.0187 -0.0027 0.0065
4 0.0122 -0.1043 -0.0222 0.1307 -0.0068 -0.0226 0.0154 -0.1116 0.0013 -0.0173 0.0059 -0.0264 0.0016
10 -0.016 0.0876 -0.0102 -0.0173 0.02 -0.0034 -0.0544 0.1 -0.1224 6.045 -0.056 0.0828 -0.0018
5 -0.006 0.0389 -0.0053 -0.0068 0.0093 -0.0048 -0.0074 0.0385 -0.0042 0.02 -0.0064 0.0291 -0.0048
11 0.0117 -0.034 0.0017 0.0059 -0.0064 0.0014 0.0151 -0.0314 -0.0187 -0.056 0.1115 -0.0718 -0.0181
6 0.0013 -0.0042 0.0082 -0.0226 -0.0048 0.0776 -0.0225 -0.2718 0.0066 -0.0034 0.0014 -0.0131 0.0032
12 -0.0798 0.1762 -0.0016 -0.0264 0.0291 -0.0131 -0.0284 0.1257 -0.0027 0.0828 -0.0718 14.4847 -0.1814
7 0.0061 -0.0377 0.002 0.0154 -0.0074 -0.0225 0.1535 -0.0971 -0.0212 -0.0544 0.0151 -0.0284 0.0017
8 -0.0302 0.2123 -0.0047 -0.1116 0.0385 -0.2718 -0.0971 32.305 -0.0064 0.1 -0.0314 0.1257 -0.0177
13 -0.0185 -0.0006 0.008 0.0016 -0.0048 0.0032 0.0017 -0.0177 0.0065 -0.0018 -0.0181 -0.1814 0.0712
Se obtiene la matriz de covarianza de los parámetros. A partir de la diagonal principal de esta matriz, se puede determinar, los parámetros que son influyentes y los que no lo son. Intervalos de Confianza para i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
αi inferior αi superior -5.1446 -3.905 -29.705 -7.3524 -4.5629 -3.3865 -5.7638 -4.3464 -1.3639 -0.9853 -4.0982 -3.006 -6.3668 -4.8311 -29.7267 -7.4464 -3.7651 -2.7835 -16.9423 -7.3044 -5.5837 -4.275 -23.0034 -8.0844 -4.1135 -3.0673
4
Se construye intervalos de confianza al 95% para los parámetros estimados. A partir de los resultados presentados en la columna anterior, no hay ningún intervalo que incluya el valor de cero, por lo que todos los parámetros estimados son significativos. Medidas de Desempeño y Grados de Libertad loglik -1858.1
AIC 3742.3
BIC 3797.0
Mv 13
Estos resultados, se utilizan para la comparación triangulaciones a partir de los mismos datos.
con
otras
Vértices en la Triangulación 1 nodo
vért. 1 1 1 1
1 2 3
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416
vért. 3 -5.6506 2.7864 2.7864
Vértices en la Triangulación 2 nodo
vért. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
4 2 3 1 4 3 1 2 4
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416 -0.0705 -0.0705 -4.9416 -0.0705 4.8006 -0.0705
vért. 3 -0.026 2.7864 2.7864 -5.6506 -0.026 2.7864 -5.6506 2.7864 -0.026
La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas de cada nodo o vértice. El primer bloque indica la triangulación inicial que es mostrada en la Figura 3, donde el punto de intersección de las tres líneas, indica el centro de gravedad del triángulo.
5
Figura 3. Triangulación Inicial de la Región ocupada por los Datos Bivariados Normales
Vértices en la Triangulación 1 nodo
vért. 1 1 1 1
1 2 3
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416
vért. 3 -5.6506 2.7864 2.7864
Vértices en la Triangulación 2 nodo
vért. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
4 2 3 1 4 3 1 2 4
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416 -0.0705 -0.0705 -4.9416 -0.0705 4.8006 -0.0705
vért. 3 -0.026 2.7864 2.7864 -5.6506 -0.026 2.7864 -5.6506 2.7864 -0.026
La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas de cada nodo o vértice. La Figura 4 muestra una vista desde abajo, donde se observa la triangulación inicial, junto con los datos simulados.
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Figura 4. Modelo Triograma Estimador de la Funci贸n de Densidad para los Datos Bivariados Normales Simulados. Vista de Abajo.
Figura 5. Modelo Triograma Estimador de la Funci贸n de Densidad para los Datos Bivariados Normales Simulados. Vista de Perfil.
7
Estimación de cada α i en cada Iteración iter. 0 -0.263 0.7798 0.176 -1.2709
1 2 3 4 error
iter. 1 -1.3014 -0.2627 -0.8648 -2.0375 1.9585
…………….. iter. 10 …………….. -6.4695 …………….. -6.4695 …………….. -6.4695 …………….. -0.9747 …………….. 7.9475E-07
Matriz de Covarianzas 1 0.0697 -0.004 -0.0041 -0.0076
1 2 3 4
2 -0.004 0.0697 -0.0039 -0.0076
3 -0.0041 -0.0039 0.0697 -0.0076
4 -0.0076 -0.0076 -0.0076 0.007
Intervalos de Confianza para i 1 2 3 4
αi inferior αi superior -6.9868 -5.9522 -6.987 -5.952 -6.987 -5.952 -1.1383 -0.8112
Medidas de Desempeño y Grados de Libertad loglik -1923.4
AIC 3854.8
BIC 3871.6
Mv 4
La Figura 5 muestra en forma visual, la superficie que es el estimador de la función de densidad, para los datos bivariados simulados. Obsérvese que se aproxima bastante a una distribución normal bivariada. El método numérico utilizado, es el de Newton, ya que al derivar la función de verosimilitud se genera un sistema de ecuaciones no lineales. A partir de la matriz Hessiana calculada, se obtiene la matriz de información de Fisher observada y por ende la matriz de covarianzas de los parámetros como son mostrados. También se han calculado los intervalos de confianza al 95%. Los criterios BIC, AIC aquí son mayores que los obtenidos mediante la triangulación mostrada en la Figura 4. Además el loglik de este modelo es menor que el de la triangulación anterior, por lo que el estimador de la función de densidad que representa mejor a los datos es el de la Figura 5 por su simplicidad.
8
Vértices en la Triangulación 1 nodo
vért. 1 1 1 1
1 2 3
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416
vért. 3 -5.6506 2.7864 2.7864
Vértices en la Triangulación 2 nodo
vért. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
4 2 3 1 4 3 1 2 4
vért. 2 -0.0705 4.8006 -4.9416 -0.0705 -0.0705 -4.9416 -0.0705 4.8006 -0.0705
vért. 3 -0.026 2.7864 2.7864 -5.6506 -0.026 2.7864 -5.6506 2.7864 -0.026
Vértices en la Triangulación 3 nodo
vért. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9
5 2 3 4 5 3 4 2 5 6 4 3 1 6 3 1 4 6 7 2 4 1 7 4 1 2 7
vért. 2 -0.0883 4.8006 -4.9416 -0.0705 -0.0883 -4.9416 -0.0705 4.8006 -0.0883 -0.9076 -0.0705 -4.9416 -0.0705 -0.9076 -4.9416 -0.0705 -0.0705 -0.9076 0.8016 4.8006 -0.0705 -0.0705 0.8016 -0.0705 -0.0705 4.8006 0.8016
vért. 3 0.8832 2.7864 2.7864 -0.026 0.8832 2.7864 -0.026 2.7864 0.8832 -0.5132 -0.026 2.7864 -5.6506 -0.5132 2.7864 -5.6506 -0.026 -0.5132 -0.5178 2.7864 -0.026 -5.6506 -0.5178 -0.026 -5.6506 2.7864 -0.5178
La primera columna anterior, indica al o a los triángulos que pertenece cada vértice. En la segunda columna se indica el número de vértice o nodo. La tercera y cuarta columna indican las coordenadas cartesianas
9
de cada nodo o vértice. La Figura 4 muestra una vista desde abajo, donde se observa la triangulación inicial, junto con los datos simulados. Los bloques representan los refinamientos sucesivos a partir de la triangulación anterior. Obsérvese que el número de vértices o nodos crece en forma geométrica.
Figura 6. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los Datos Bivariados Normales Simulados. La Triangulación mostrada es un Refinamiento de la anterior. Vista de Abajo.
Figura 7. Modelo Triograma Estimador de la Función de Densidad para los Datos Bivariados Normales Simulados utilizando la Triangulación más Refinada. Vista de Perfil.
10
Estimación de cada α i en cada Iteración iter. 0 -1.1191 0.8873 -1.8998 1.5624 1.1379 -1.6434 -0.5312
1 2 3 4 5 6 7 error
iter. 1 -2.1523 -0.1285 -2.9127 0.6034 0.1711 -2.4188 -1.4483 2.5341
…………….. iter. 11 …………….. -7.4601 …………….. -7.4841 …………….. -7.4476 …………….. -1.347 …………….. -1.9137 …………….. -2.0329 …………….. -2.0631 …………….. 3.9093E-09
Matriz de Covarianzas 1 2 3 4 5 6 7
1 0.1432 -0.0018 -0.0023 -0.0038 0.0018 -0.0183 -0.0183
2 -0.0018 0.143 -0.0031 -0.0037 -0.0182 0.002 -0.0182
3 -0.0023 -0.0031 0.1415 -0.0035 -0.018 -0.0182 0.002
4 5 6 7 -0.0038 0.0018 -0.0183 -0.0183 -0.0037 -0.0182 0.002 -0.0182 -0.0035 -0.018 -0.0182 0.002 0.0109 -0.0025 -0.0028 -0.0029 -0.0025 0.0264 0.0031 0.0032 -0.0028 0.0031 0.0278 0.0033 -0.0029 0.0032 0.0033 0.0281
Intervalos de Confianza para i 1 2 3 4 5 6 7
αi inferior αi superior -8.2019 -6.7184 -8.2252 -6.7429 -8.185 -6.7103 -1.5512 -1.1427 -2.232 -1.5954 -2.3597 -1.7061 -2.3915 -1.7346
Medidas de Desempeño y Grados de Libertad loglik -1890.8
AIC 3795.5
BIC 3825.0
Mv 7
En la Figura 6 se muestra una vista desde abajo de la triangulación más refinada junto con los datos. Los resultados anteriores, son obtenidos de la misma manera como en la triangulación inicial. Como se observa este modelo triograma tiene los criterios AIC y BIC menores que el de la triangulación mostrada en la Figura 5, por lo que se toma este como mejor modelo.
11