Presentación tensores

Erwin Kraenau Espinal

IDEA DE TENSOR • Es una interpretación matemática de un concepto físico. Sus componentes adoptan valores que dependen del sistema de coordenadas elegido para representarlo • Es cierta clase de entidad geométrica, que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier marco de referencia elegido.

TENSOR ESFUERZO

TENSOR MÉTRICO

DISTRIBUCIÓN NORMAL BIVARIANTE Sea el vector aleatorio bidimensional  X1 , X 2  con densidad conjunta:

f  X1, X 2  

1 2 1 2 1  

2

e

2   X   2       1 X   X   X     1 1   2   1 1   2 2   2 2             2  2 1    1  1 2 2        





   X 1  ,    X 2  ,  1    1, 0   1 , 0   2

DISTRIBUCIÓN NORMAL BIVARIANTE 0.2

0.15

0.1

0.05

0 4 2 0 -2 -4

4

2

0

-2

-4

DISTRIBUCIÓN NORMAL BIVARIANTE Representación gráfica f(x1,x2)

x2 c1

e1

x2 

x1

y2

y1

c2

f ( x1 , x2 )  c 2  ( x   )'  1 ( x   )  c 2

 1,  2 autovalore s de  e1 , e2 autovectores de 

e2

c2

x1

CONTORNOS 80

80

60

60

40

40

20

20

20

40

60

80

20

ρ=-0.8 80

60

60

40

40

20

20

40

ρ=0.4

60

80

60

80

ρ=0

80

20

40

60

80

20

40

ρ=0.9

,

SIMULACIÓN DE VECTORES NORMALES BIVARIADOS ,

• Primera transformación u

X 1  1

1

v

X 2  2

2

• Segunda transformación w

uv

1  2

dw 

du 1  2

• Tomando coordenadas polares

1 f d ,   e 2



d 2

1    2

0  d   0    2

ALGORITMO

SIMULACIÓN DE VECTORES NORMALES BIVARIADOS 45 40 35 30 25 20 15 10 5 -20

-10

0

10

20

30

40

50

60

DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE

SIMULACIÓN DE VECTORES NORMALES MULTIVARIADOS • Transformación de Karhunen-Loève (KLT)

Y  L' X • O con varianza unitaria ΣY  I

YD

1/2

L' X

ALGORITMO

SIMULACIÓN DE VECTORES NORMALES MULTIVARIADOS

BÚSQUEDA DE LA PROJECTION PURSUIT

BÚSQUEDA DE LA PROJECTION PURSUIT 3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

ÍNDICE DE PROYECCIÓN CHI-CUADRADO

8

48

1 1 PI  2 α, β    9 j 1 k  1 ck





1    j    j   ck    I Bk zi , zi  n i 1  n

2

PROYECCIÓN DE LOS DATOS ESFERIZADOS SOBRE LA REGIÓN ANTERIOR 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

MEDICIONES MORFOLÓGICAS DE LOS CANGREJOS LEPTOGRAPSUS (Data Crabs) Se describen cinco mediciones morfológicas de 50 cangrejos de cada una de dos formas de color y de ambos sexos, de las especies variegatus Leptograpsus recogidos en Fremantle, Australia Occidental.

• • • • •

Descripción FL : tamaño del lóbulo frontal (mm) RW : anchura trasera (mm) CL : longitud del caparazón (mm) CW: ancho del caparazón (mm) BD : profundidad del cuerpo (mm)

DATA CRABS sp sex index FL RW CL CW BD 1 B M 1 8.1 6.7 16.1 19.0 7.0 2 B M 2 8.8 7.7 18.1 20.8 7.4 3 B M 3 9.2 7.8 19.0 22.4 7.7 4 B M 4 9.6 7.9 20.1 23.1 8.2 5 B M 5 9.8 8.0 20.3 23.0 8.2 6 B M 6 10.8 9.0 23.0 26.5 9.8 …………………………………………….

197 O F 47 21.7 17.1 41.7 47.2 19.6 198 O F 48 21.9 17.2 42.6 47.4 19.5 199 O F 49 22.5 17.2 43.0 48.7 19.8 200 O F 50 23.1 20.2 46.2 52.5 21.1

PROJECTION PURSUIT DATA CRABS Estructura 3 2.5 2 1.5



*

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

*

0.5

1

1.5

2

2.5

COORDENADAS POLARES

GRÁFICO EN COORDENADAS POLARES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD 90

5

120

60 4 3

150

30 2 1

180

0

210

330

240

300 270

HISTOGRAMA CLÁSICO TRANSFORDO A COORDENADAS POLARES 2000

200

1500

150

1000

100

500

50

0 -5

0

120 150

5

90 20 60 10 30

180

0

210

330 240

270

300

0 -5

0

120

5

90 5

60 2.5 30

150 180

0

210

330 240

270

300

DIAGRAMA DE ROSA

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN EN COORDENADAS POLARES 90

40

120

60 30 20

150

30

10

180

0

210

330

240

300 270

HISTOGRAMA CIRCULAR 3D 90 120

1 60

150

30

180

0

210

330

240

300 270

HISTOGRAMA CIRCULAR 3D

La matriz ZZ contiene las frecuencias relativas en cada regi贸n as铆 particionada.

HISTOGRAMA CIRCULAR 3D

0.08

0.06

0.04

0.02

0 5 5 0

0 -5

-5

HISTOGRAMA CIRCULAR 3D 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -4

-2

0

2

4

6

8

10

12

HISTOGRAMA CIRCULAR 3D 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 5 5 0

0 -5

-5

SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

1 0  2 gij  0 r 0 0

0  0 1

SUPERFICIE CILÍNDRICA

4

2

0

-2

-4 1 0.5

1 0.5

0

0

-0.5

-0.5 -1

-1

PROYECCIÓN DE DATOS SIMULADOS

PROYECCIÓN DE DATOS SIMULADOS

PROYECCIÓN DE DATOS SIMULADOS

DIAGRAMA DE ROSA DE LOS DATOS SIMULADOS 90

200

120

60 150 100

150

30

50

180

0

210

330

240

300 270

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 3D DE LA ESTRUCTURA SIMULADA

20 10 0 -10 10 8 6 4

-5 2

0 0

5 -2

10 -4

15

PROYECCIÓN DE LA ESTRUCTURA SIMULADA SOBRE LA SUPERFICIE CILÍNDRICA

SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS

SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS

1 0  2 gij  0 r 0 0

0   0  r 2 cos2  

SUPERFICIE ESFÉRICA

1

0.5

0

-0.5

-1 1 0.5

1 0.5

0

0

-0.5

-0.5 -1

-1

PROYECCIÓN DE DATOS SIMULADOS

1

0.5

0

-0.5

-1 1 0.5

1 0.5

0

0

-0.5

-0.5 -1

-1

HISTOGRAMA ESFÉRICO 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 1 0 -1

1

0.5

0

-0.5

-1

HISTOGRAMA ESFÉRICO PRESENTADO POR NIVELES DE SUR A NORTE 10 120 90 60 5 150 30 180

120 150

0 180

210 330 240 270 300

210 240

50 120 90 60 25 150 30

120 150

180

90 20 60 10

0 180

270

210 240

330 300

90 50 60 25

0 180

210 330 240 270 300

30

20 120 90 60 10 150 30

30

270

0 180

0

210 330 210 330 240 270 300 240 270 300

50 120 90 60 25 150 30

0 180 330 300

20 120 90 60 10 150 30

50 120 90 60 25 150 30

0 180

0

210 330 210 330 240 270 300 240 270 300

GEODÉSICAS

ds

2

g 



 g  dz dz



representa las componentes del tensor métrico

GEODÉSICAS

OBTENCIÓN DE LAS GEODÉSICAS

1   gij  g kj  gik i k , j    k  i  j 2  z z z

de primera especie

g i k , j    lj

l ik

segunda especie

  

símbolos de Christoffel

símbolos de Christoffel de

GEODÉSICA EN UN SISTEMA COORDENADO CILÍNDRICO

GEODÉSICA EN UN SISTEMA COORDENADO ESFÉRICO

DISTANCIAS CALCULADAS MEDIANTE LAS GEODÉSICAS

DISTANCIAS CILÍNDRICAS Cangrejo i

Cangrejo j 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5

DISTANCIAS ESFÉRICAS Distancia

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4

0.0000 0.6864 1.6488 1.1776 1.2292 0.6864 0.0000 0.9720 0.4968 0.5475 1.6488 0.9720 0.0000 0.5551 0.5119 1.1776 0.4968 0.5551 0.0000 0.0519 1.2292 0.5475 0.5119 0.0519

Cangrejo i

Cangrejo j 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5

Distancia 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4

0.0000 0.2110 0.4519 0.3760 0.4000 0.2110 0.0000 0.2497 0.2570 0.2760 0.4519 0.2497 0.0000 0.2151 0.2108 0.3760 0.2570 0.2151 0.0000 0.0242 0.4000 0.2760 0.2108 0.0242