Índice de desarrollo humano

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´INDICE DE DESARROLLO HUMANO MEDIANTE METANALISIS ´ ´ BAYESIANO Y RAZON DE MORTALIDAD MATERNA CON ´ ´ METANALISIS CLASICO Erwin Kraenau Espinal 1 & Mar´ıa E. Ponce Aruneri 2

Resumen: El objetivo de la presente investigaci´on fue sintetizar cuantitativamente la informaci´on de la Raz´on de la Mortalidad Materna (RMM) para los a˜ nos 1990, 1995, 2000, ´ 2005 y 2008 aplicando el Metan´alisis Cl´asico; y el Indice de Desarrollo Humano (IDH) para el a˜ no 2010 aplicando el Metan´alisis Bayesiano, combinando las distintas investigaciones desarrolladas en cada pa´ıs; los resultados obtenidos se muestran para las regiones de Sudam´erica y Latinoam´erica (los datos utilizados fueros publicados por la Organizaci´on Mundial de la Salud y el Programa de Naciones Unidas para el Desarrollo). Los resultados para el IDH de Sudam´erica y Latinoam´erica fueron 0.6971 y 0.6719, respectivamente. Adicionalmente, los RMM para Sudam´erica los a˜ nos 1990, 1995, 2000, 2005 y 2008 fueron 123, 101, 90.1, 82.1 y 80.7, respectivamente, y las RMM para Latinoam´erica fueron 117, 105, 90.1 79.1 y 75.5, respectivamente. La heterogeneidad de los estudios individuales (por pa´ıses) es inherente a estas mediciones, la cual se detect´o anal´ıticamente utilizando la prueba Q y visualmente mediante el Metaplot. Palabras clave: RMM, IDH, Metan´alisis Cl´asico, Metan´alisis Bayesiano, Metaplot. HUMAN DEVELOPMENT INDEX USING BAYESIAN META-ANALYSIS AND MATERNAL MORTALITY RATIO WITH CLASSIC META-ANALYSIS Abstract: The objective of this research was to quantitatively synthesize the information from the Maternal Mortality Ratio (MMR) for the years 1990, 1995, 2000, 2005 and 2008 using the Classic Meta-analysis, and the Human Development Index (HDI) for the year 2010 using the Bayesian Meta-analysis combining the various investigations carried out in each country, the results obtained are shown for the regions of South America and Latin America (data used were published by the World Health Organization and United Nations Program for Development). The results for the HDI of South America and Latin America were 0.6971 and 0.6719, respectively. Additionally, the MMR for South America the 1990, 1995, 2000, 2005 and 2008 were 123, 101, 90.1, 82.1 and 80.7, respectively, and MMR for Latin America at 117, 105, 90.1 79.1 and 75.5, respectively. The heterogeneity of individual studies (by countries) is inherent in these measurements, which was detected using the Q test analytically and visually by Metaplot. Keywords: MMR, HDI, Classic Meta-analysis, Bayesian Meta-analysis, Metaplot. 1 2

Departamento Acad´emico de Estad´ıstica. UNMSM, e-mail: stoned@ec-red.com Departamento Acad´emico de Estad´ıstica. UNMSM, e-mail: mepaunmsm@yahoo.es

1

1.

Introducci´ on

La mejora de la salud materna y la reducci´on de la mortalidad materna han sido puntos clave de varias cumbres y conferencias internacionales desde finales de los ochenta, y tambi´en de la Cumbre del Milenio del a˜ no 2000. Uno de los ocho Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM) adoptados en la Cumbre del Milenio es mejorar la salud materna, dentro del marco de seguimiento de los ODM, la comunidad internacional se comprometi´o a reducir entre 1990 y 2015 la RMM en tres cuartos. La RMM se define como el n´ umero de defunciones maternas durante un mismo per´ıodo de tiempo en una poblaci´on, dividida por cada 100,000 nacidos vivos en el mismo per´ıodo; representa el riesgo de defunci´on materna en relaci´on con el n´ umero de nacidos vivos. El desarrollo humano, seg´ un el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD), es aquel que sit´ ua a las personas en el centro del desarrollo, trata de la promoci´on del desarrollo potencial de las personas, del aumento de sus posibilidades y del disfrute de la libertad para vivir la vida que valoran. El desarrollo humano es el proceso por el que una sociedad mejora las condiciones de vida de sus ciudadanos a trav´es de un incremento de los bienes con los que puede cubrir sus necesidades b´asicas y complementarias, y de la creaci´on de un entorno en el que se respeten los derechos humanos de todos. El desarrollo humano podr´ıa definirse tambi´en como una forma de medir la calidad de vida del ser humano en el medio en que se desenvuelve, y una variable fundamental para la calificaci´on de un pa´ıs o regi´on. La informaci´on proporcionada por la OMS y el PNUD, es el resultado individual de la investigaci´on desarrollada en cada pa´ıs, dentro de su contexto, tiempo, recursos y metodolog´ıa aplicada. Nos preguntamos: ¿Se pueden construir estimadores combinados (pooled) del IDH y RMM a partir de las investigaciones individuales, que describa alg´ un aspecto de la realidad Sudamericana y Latinoamericana? La respuesta a la pregunta anterior fue respondida con la aplicaci´on del met´analisis, considerando que los datos disponibles de la RMM para cada pa´ıs est´a elaborada con distintos dise˜ nos muestrales y considerando que para el IDH s´olo se dispone de estimaciones puntuales. Los objetivos al aplicar esta metodolog´ıa estad´ıstica propuesta son: 1. Mostrar la importancia de la aplicaci´on del Metan´alisis Cl´asico y Bayesiano como alternativa para sintetizar la informaci´on de la RMM y del IDH para la regi´on de Sudam´erica y Latinoam´erica. 2. Enriquecer los resultados que muestra la OMS y el PNUD sobre estos indicadores. 3. Motivar a los investigadores a utilizar esta metodolog´ıa, que permite ahorrar tiempo y recursos econ´omicos, sin disminuir la confiabilidad de los resultados. El procesamiento de los datos se hizo a trav´es de la ejecuci´on de los c´odigos fuentes dise˜ nados para MATLAB versi´on R2010a y R Project versi´on 2.13.1.

2

2. 2.1.

Metodolog´ıa Metan´ alisis Cl´ asico

El t´ermino metan´alisis se refiere al an´alisis estad´ıstico de una serie de resultados obtenidos individualmente con la finalidad de integrarlos, produciendo conclusiones estad´ısticas basadas en la revisi´on sistem´atica, principalmente se utiliza para calcular un valor medio global de la medida de inter´es, o para analizar la heterogeneidad de los diferentes resultados individuales. Es decir los objetivos del metan´alisis son: la estimaci´on de un efecto global y la cuantificaci´on de la heterogeneidad de los resultados. Aunque existen diferentes t´ecnicas estad´ısticas para combinar resultados, hay tres fundamentales, que se conocen con el nombre modelo de efectos fijos, modelo de efectos aleatorios y por u ´ltimo el modelo Bayesiano. 2.1.1.

Modelo de efectos fijos

El m´etodo m´as antiguo y popular para combinar resultados de estudios individuales siguiendo un modelo de efectos fijos se conoce como m´etodo ponderado por la inversa de la varianza (inverse variance weighted method), y fue desarrollado en 1930 por Birge y luego por Cochran [6]. En este m´etodo cada estudio individual contribuye a la estimaci´on global de forma proporcional a la precisi´on de cada resultado, donde el peso est´a dado por la inversa de la varianza, por ser la varianza una medida de dispersi´on y por lo tanto su inversa una medida de precisi´on. Para formular este modelo, se asume que se tiene k resultados de estudios individuales, donde cada yi es la medici´on del efecto individual en el i-´esimo estudio, para i = 1, 2, ..., k. Se considera que existe un efecto global fijo µ que se estima como: k X

y¯ =

wi yi

i=1 k X

(1) wi

i=1

donde los pesos wi de (1) son obtenidos por: wi =

1 s2i

siendo s2i la varianza observada de la medida del efecto en el estudio i-´esimo, cuya expresi´on anal´ıtica o aproximada depende del tipo de medida utilizada (raz´on de ventajas, riesgo relativo, media, etc.). La estimaci´on de la varianza de y¯ se obtiene mediante la siguiente expresi´on: V (¯ y) =

1 k X i=1

3

(2) wi

Si se puede asumir que y¯ sigue una distribuci´on normal se podr´an obtener intervalos de confianza para el efecto global en funci´on de la ra´ız cuadrada de la expresi´on (2). Algunas medidas requieren una transformaci´on previa, tomar logaritmos, antes de que puedan ser combinadas en un metan´alisis, con el fin de que se aproximen a una distribuci´on normal. Es lo que ocurre con la raz´on de ventajas y el riesgo relativo, entre otros, por lo que frecuentemente se trabaja con sus transformaciones logar´ıtmicas [5]. 2.1.2.

Modelo de efectos aleatorios

Si los resultados de los estudios incluidos en el an´alisis constituyen una muestra aleatoria del universo de estudios posibles, se considera m´as apropiado utilizar el modelo de efectos aleatorios, donde el efecto yi en cada uno de los estudios se expresa mediante la suma de dos componentes: yi = θi + ei (3) donde ei es el error con el que yi estima el verdadero efecto θi , por lo que la varianza de (3) viene dada por la expresi´on: V (yi ) = τθ2 + νi siendo νi la varianza debida al error de muestreo en el i-´esimo estudio y τθ2 corresponde a la varianza entre estudios. La estimaci´on de la varianza debida a la variaci´on entre estudios, se hace a partir de las siguientes expresiones: k X wi w¯ = 1 s2w = k−1

i=1

k k X

(4) ! wi2 − k w¯ 2

(5)

s2w U = (k − 1) w¯ − k w¯

(6)

i=1

De los resultados (4), (5) y (6) se estima la varianza debida a la variaci´on entre estudios obteniendo: Q − (k − 1) cuando Q > k − 1 (7) τ2 = U donde Q es el resultado de la prueba de heterogeneidad que se describe m´as adelante. Si Q < k − 1 entonces la variaci´on entre estudios se considera nula y el modelo coincide con el de efectos fijos descrito anteriormente. Mediante la siguiente expresi´on se obtienen los pesos ajustados para cada estudio: wi∗ =

1 1 + τ2 wi

4

la estimaci´on del efecto global y su respectiva varianza se muestran en (8) y (9): k X

y¯ =

wi∗ yi

i=1 k X

(8) wi∗

i=1

V (¯ y) =

1 k X wi∗

(9)

i=1

2.1.3.

Heterogeneidad

A menudo ocurre que la variabilidad entre estudios es mayor a lo esperado por el azar [5] , y por ello es importante contrastar la hip´otesis de homogeneidad. La prueba a utilizar es la desarrollada por Cochran en 1954, pero debido a su baja potencia, es recomendable verificar sus resultados por otros medios, como por ejemplo un an´alisis por subgrupos [6]. Esta prueba calcula la suma ponderada de las desviaciones al cuadrado del efecto determinado en cada estudio con respecto a la media global: Q=

k X

wi (yi − y¯)2

(10)

i=1

En esta prueba (10) de homogeneidad, Q se distribuye asint´oticamente como una χ2 con k − 1 grados de libertad. Se recomienda que aunque esta prueba muestre una heterogeneidad no significativa, se debe confirmar estos resultados con otras alternativas de tipo gr´afico [6].

2.2.

Metan´ alisis Bayesiano

En un enfoque Bayesiano se considera que todos los par´ametros provienen de una superpoblaci´on, con sus propios par´ametros. El metan´alisis Bayesiano sintetiza los datos de los estudios realizados individualmente, incorporando la incertidumbre de los par´ametros. Por otro lado, provee una distribuci´on predictiva para futuras observaciones procedentes de cualquier estudio, que puede ser de fundamental inter´es para investigadores que deben tomar decisiones. 2.2.1.

Un modelo para efectos aleatorios

Asumi´endose una estructura de error Gaussiana, se obtiene el siguiente modelo de efectos aleatorios: yi ∼ N (θi , σi2 /ni ) θi ∼ N (µ, τ 2 )

i = 1, 2, ..., k 5

(11)

En el modelo (11), θi es el verdadero, pero desconocido, efecto en el i-´esimo estudio, y µ es el efecto poblacional tambi´en desconocido, y de mayor inter´es, ya que representa el efecto combinado obtenido de los resultados individuales. Adicionalmente, τ 2 es la varianza poblacional, que cuantifica la dispersi´on entre estudios, la cual informa de cu´an variable es este efecto en la poblaci´on. En el caso de que τ 2 = 0 se obtiene el modelo dado en la Secci´on 2.1.1. En un enfoque Bayesiano se desear´ıa conocer distribuciones a priori sobre los par´ametros desconocidos de (11), esto es, σi2 s, µ y τ 2 . En la pr´actica esta informaci´on a priori probablemente est´e disponible para µ , el efecto poblacional, y τ 2 la variabilidad poblacional del efecto sobre los estudios. Por tanto para σi2 , las varianzas de los resultados individuales, se asume un conjunto no informativo de distribuciones a priori [1]. Siguiendo el proceso de inferencia Bayesiana tradicional, se utiliza el m´etodo de Jeffrey para obtener distribuciones a priori proporcionales a la inversa de las varianzas individuales, esto es, P (σi2 ) ∝ 1/σi2 . Se ha observado que el uso de esta distribuci´on a priori proporciona resultados muy similares a los obtenidos por la presunci´on com´ un que los σi2 son conocidos y reemplazados por los s2i , las varianzas observadas dentro de los estudios. La distribuci´on a priori para τ 2 debe de ser lo suficientemente flexible para poder incorporar f´acilmente informaci´on a priori mientras que al mismo tiempo sea matem´aticamente tratable. Por este motivo la distribuci´on gamma inversa es utilizada [1]. Para los prop´ositos de este trabajo se asume solamente informaci´on a priori no informativa para el efecto poblacional µ, manteni´endose algo de objetividad con respecto a la estimaci´on del efecto global. Se asume que esta sigue una distribuci´on a priori localmente uniforme. 2.2.2.

M´ etodo de Laplace

Una de las dificultades del enfoque Bayesiano es el obtener estimaciones posteriores precisas sin aumentar en demas´ıa la dificultad matem´atica. Una t´ecnica basada en la expansi´on en serie de potencias que se utiliza para este fin en conocida como el M´etodo de Laplace. Este m´etodo se basa en suponer una funci´on f que depende del vector de par´ametros m-dimensional θ , suave y positiva. Adem´as se tiene la funci´on h de θ, donde −h tiene b Sin p´erdida de generalidad, se toma θ univariado, y se desea un u ´nico m´aximo en θ. aproximar la siguiente integral: Z I = f (θ)e−nh(θ) dθ (12) b se obtiene: Expandiendo a f y h en series de Taylor en (12) alrededor de θ, # Z " 00 b 0 b f ( θ) f ( θ) b + b2 b + (θ − θ) (θ − θ) I= f (θ) 1! 2! "

# b2 (θ − θ) b − nh00 (θ) b × exp −nh(θ) − nh0 (θ)(θ − θ) dθ 2!

6

b −nh(θ)

Z "

=e

00 b b + f (θ)(θ b − θ) b + f (θ) (θ − θ) b2 f (θ) 2 " # b2 (θ − θ) Ă— exp − dθ b −1 2(nh00 (θ))

#

0

(13)

b = 0 por definici´on de θ. b Se observa que el t´ermino final dentro de la desde que h0 (θ) b [nh00 (θ)] b −1 ) para θ, adem´as el segundo integral (13) es proporcional a una densidad N (θ, b = 0. De esta manera se obtiene t´ermino dentro de esta integral desaparece ya que E(θ − θ) la siguiente aproximaci´on: ! s 00 b 2Ď€ f (θ) b b I ≈ e−nh(θ) f (θ) 1+ V (θ) (14) 00 b b nh (θ) 2f (θ) 1 −1 b donde V (θ) = [nh (θ)] = O . En general, para el caso del vector de par´ametros θ, n 1 , donde: se tiene que I = Ib 1 + O n 00

b Ib = f (θ)

2Ď€ n

m/2

b Ëœ 1/2 exp (−nh(θ)) |ÎŁ|

(15)

b −1 . Entonces, (15) es una aproximaci´on de primer orden de (14) en el Ëœ = [D2 h(θ)] y ÎŁ sentido asint´otico. Ahora, el inter´es se orienta a obtener el valor esperado posterior de una funci´on g(θ), donde −nh(θ) es vista como una densidad posterior no normalizada, log[f (y|θ) Ď€(θ)] . Entonces: R E(g(θ)) =

b g(θ)exp (−nh(θ))dθ R b exp (−nh(θ))dθ

(16)

Para evaluar la integral (16) se aplica el m´etodo de Laplace (15) haciendo para el numerador f = g y denominador f = 1 obteni´endose: m/2 1 2Ď€ 1/2 b Ëœ |ÎŁ| exp (−nh(θ)) 1 + O1 n n E(g(θ)) = m/2 2Ď€ b 1 + O2 1 Ëœ 1/2 exp (−nh(θ)) |ÎŁ| n n   1 1 1 1 + O − O + O 2 1 2  n n n  b   = g(θ)   1 1 + O2 n

b g(θ)

7

 1 O3   1 n b b    = g(θ) 1 + O = g(θ) 1 + 1 n 1 + O2 n 

(17)

b es una aproximaci´on de primer orden para la media posterior de g(θ). mostrando que g(θ) 2.2.3.

Inferencia aproximada

La base de las aproximaciones para el primer y segundo momento posterior de los par´ametros en el modelo (11) es la aproximaci´on de la densidad marginal de los datos, m(y) (ni +2)/2 ni /2 Z Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ Y k 1 1 m(y) âˆ? ... 2 Ďƒi 2Ď€ Rk 0 0 0 −∞ i=1 ni s2i ni (yi − θi )2 Ă—exp − 2 − Nk (θ|Âľ, Ď„ 2 I) IG(Ď„ 2 |a, b) dÂľ dĎ„ 2 dĎƒ 2 dθ (18) 2Ďƒi 2Ďƒi2 donde s2i es la varianza observada del i-´esimo resultado, Nk (x|ν, W) denota una densidad Normal k-variada evaluada en x, con vector de medias ν y matriz de varianza-covarianza W; IG(x|Îą, β) denota una densidad gamma inversa evaluada en x, con par´ametros Îą y β e I es una matriz identidad de orden k. Cambiando el orden de integraci´on e integrando sobre θ en (18), se obtiene: Z

+∞

Z

+∞

Z

+∞

Z

...

m(y) =

0

0

k +∞ Y

−∞

0

i=1

2Ď€ ni

1/2 Y k i=1

Ă—Nk (y|Âľ, diag(Ďƒi2 /ni ) + Ď„ 2 I) IG(Ď„ 2 |a, b) exp {−

X

1 Ďƒi2

(ni +1)/2

1 2Ď€

ni /2

ni s2i /2Ďƒi2 } dÂľ dĎ„ 2 dĎƒ 2

(19)

donde y = (y1 , ..., yk )T . Para grandes ni , Nk (y|Âľ, diag(Ďƒi2 /ni )+Ď„ 2 I) tiende a Nk (y|Âľ, Ď„ 2 I). Todo lo dicho anteriormente produce la siguiente aproximaci´on para m(y): Z m(y) =

+∞

Z

+∞

Z

+∞

Z

... 0

0

0

k +∞ Y

−∞

i=1

2Ď€ ni

Ă—Nk (y|Âľ, Ď„ 2 I) IG(Ď„ 2 |a, b) exp {−

1/2 Y k

X

i=1

1 Ďƒi2

(ni +1)/2

1 2Ď€

ni s2i /2Ďƒi2 } dÂľ dĎ„ 2 dĎƒ 2

ni /2

(20)

A partir de (20) se tiene el primer momento del efecto del i-simo estudio como se describi´o en el modelo (11) y que est´a dado por: E(θi | y, s2 , n) ≈ yÂŻ −

(ni − 1)s2i b(2a + k − 1) (yi − yÂŻ) 2ni (ni − 3)(1 + bRSSB /2)

(21)

donde y se defini´o anteriormente, s2 = (s21 , ..., s2k )T , es el vector varianzas observadas de cada estudio, n = (n1 , ..., nk )T el vector de los tamaËœ nos muestrales de cada uno de 8

los estudios y RSSB =

k X

yi2 − kÂŻ y 2 es la suma de cuadrados residual entre estudios.

i=1

Tambi´en, yÂŻ es la media aritm´etica de los efectos individuales yi , a y b son los par´ametros de la distribuci´on a priori gamma inversa para Ď„ 2 . Una aproximaci´on para el segundo momento est´a dado por: (ni − 1) (ni − 1) s2i b2 (2a + k − 1)(ni − 4 + 2a + k)(yi − yÂŻ)2 2 V (θi | y, s , n) ≈ 1+ ni (ni − 3) 2 ni (ni − 3)(ni − 5)(1 + b RSSB /2)2 (ni − 1) s2i b2 (2a + k − 1) (22) + 2 k ni (ni − 5)(1 + b RSSB /2) Similarmente, una aproximaci´on para el primer momento de Ďƒi2 , la variabilidad en el i-´esimo estudio, est´a dada por: ni 2 E(Ďƒi2 | s2 , n) ≈ s (23) ni − 2 i Considerando el efecto poblacional, Âľ , aproximaciones iniciales, basadas en las expansiones de Taylor de primer orden, para el primer y segundo momento est´an dadas por: E(Âľ | y, s2 , n) ≈ yÂŻ, V (Âľ | y, s2 , n) ≈

2 (1 + b RSSB /2) b k (2 a + k − 3)

(24)

Finalmente, aproximaciones para el primer y segundo momento de la variabilidad poblacional, Ď„ 2 , est´an dadas por: 8 (1 + b RSSB /2)2 2 (1 + b RSSB /2) , V (Ď„ 2 | y, s2 , n) ≈ 2 b (2 a + k − 3) b (2 a + k − 3)2 (k + 2a − 5) (25) Cabe seËœ nalar que todas las aproximaciones tratadas en esta secci´on, son obtenidas utilizando expansiones de Taylor de primer orden de la densidad posterior. E(Ď„ 2 | y, s2 , n) ≈

3. 3.1.

Resultados Metan´ alisis Cl´ asico

Para la obtenci´on de los resultados presentados en este art´Ĺculo, se utiliz´o la base de datos de las RMM de los pa´Ĺses de Sudam´erica y Latinoam´erica de los aËœ nos 1990, 1995, 2000, 2005 y 2008, publicadas por la OMS [8]. Para obtener los errores est´andar de las estimaciones individuales, los datos se transformaron a escala logar´Ĺtmica y se extrajo los errores a partir de los intervalos de confianza (la base de datos s´olo contiene la estimaci´on puntual y su respectivo intervalo de confianza al 95 %, m´as no el error est´andar). Para combinar las diferentes RMM de los pa´Ĺses de Sudam´erica y Latinoam´erica, se aplic´o el modelo de efectos fijos (no heterogeneidad) y luego, el modelo de efectos aleatorios (heterogeneidad). Previamente se utiliz´o la prueba Q para contrastar la siguiente hip´otesis de homogeneidad: 9

1. H0 : La RMM es homog´enea entre los pa´ıses de Sudam´erica. H1 : La RMM no es homog´enea entre los pa´ıses de Sudam´erica. 2. H0 : La RMM es homog´enea entre los pa´ıses de Latinoam´erica. H1 : La RMM no es homog´enea entre los pa´ıses de Latinoam´erica. A la luz de los resultados presentados en las tablas 1 y 2, se determin´o que: 1. La RMM es heterog´enea entre los pa´ıses sudamericanos. 2. La RMM es heterog´enea entre los pa´ıses latinoamericanos. Por tanto se decidi´o aplicar el modelo de efectos aleatorios para combinar las RMM de los pa´ıses de la regi´on. Los siguientes gr´aficos y tablas se obtuvieron como resultado de la elaboraci´on y ejecuci´on de los c´odigos fuente respectivos en el software R Project:

Figura 1: Metaplot de las RMM en Sudam´erica 2008

A˜ no 1990 1995 2000 2005 2008

´ Tabla 1. Raz´ on de Mortalidad Materna: SUDAMERICA Prueba Q p-value Modelo efectos RMM pooled LI (95 %) 0.25 0 aleatorios 123.0 92.2 0.33 0 aleatorios 101.0 71.5 0.26 0 aleatorios 90.1 66.1 0.17 0 aleatorios 82.1 63.5 0.18 0 aleatorios 80.7 62.1

10

LS (95 %) 165.0 142.0 123.0 106.0 105.0

Figura 2: Metaplot de las RMM en Latinoam´erica 2008

A˜ no 1990 1995 2000 2005 2008

3.2.

´ Tabla 2. Raz´ on de Mortalidad Materna: LATINOAMERICA Prueba Q p-value Modelo efectos MMR pooled LI (95 %) LS (95 %) 0.25 0 aleatorios 117.0 92.3 149.0 0.24 0 aleatorios 105.0 82.8 132.0 0.25 0 aleatorios 90.1 71.0 114.0 0.17 0 aleatorios 79.1 64.4 97.0 0.17 0 aleatorios 75.5 61.7 92.5

Metan´ alisis Bayesiano

Como la base de datos del IDH [9] s´olo la estimaci´on puntual, para poder combinar estas razones de los pa´ıses de la regi´on se utiliz´o el metan´alisis Bayesiano con una distribuci´on gamma inversa a priori, con par´ametros a = 0 y b = 2, recomendada cuando no hay informaci´on a la que se dispone es vaga [1]. Al no tener informaci´on del tama˜ no de muestra, error est´andar entre otros, se consider´o apropiado aplicar el metan´alisis Bayesiano para obtener el IDH de la regi´on. Los resultados que se obtuvieron despu´es de elaborar los c´odigos fuentes respectivos en MATLAB y luego de ejecutarlos se muestran en la Tabla 3:

11

´ Tabla 3. ´Indice de Desarrollo Humano Regi´ on E(µ) V(µ) LI(µ) 95 % LS(µ) 95 % ´ SUDAMERICA 0.6971 0.0096 0.5052 0.8890 ´ LATINOAMERICA 0.6719 0.0043 0.5438 0.8000

4. 4.1.

E(τ 2 ) 0.1150 0.0769

V(τ 2 ) 0.0038 0.0009

Discusi´ on Metan´ alisis Cl´ asico

En el modelo de efectos aleatorios la inferencia se basa en suponer que los estudios incluidos en el an´alisis constituyen una muestra aleatoria del universo de estudios posibles, y sus resultados son m´as conservadores al tener en cuenta una fuente extra de variaci´on, ya que ahora se incluyen dos fuentes de variabilidad: la existente dentro de los estudios y la variaci´on entre los estudios. 4.1.1.

RMM para Sudam´ erica

Se muestra en el Metaplot (Figura 1) la heterogeneidad de las RMM entre los pa´ıses de Sudam´erica para el a˜ no 2008, junto con la estimaci´on combinada (pooled) que representa la RMM de Sudam´erica. La Tabla 1, muestra que se justifica utilizar el modelo de efectos aleatorios, al verificar con la prueba Q que existe heterogeneidad entre las RMM de los pa´ıses de Sudam´erica para los a˜ nos bajo estudio. Se observa un decrecimiento de la RMM en Sudam´erica de 1990 al 2008. Los intervalos de confianza al 95 % obtenidos para la RMM, muestran que con el transcurso de los a˜ nos disminuye el error de estimaci´on. 4.1.2.

RMM para Latinoam´ erica

El Metaplot (Figura 2) muestra la heterogeneidad de las RMM entre los pa´ıses latinoamericanos para el a˜ no 2008, junto con la estimaci´on combinada que representa el RMM para Latinoam´erica. La Tabla 2, muestra que se justifica utilizar el modelo de efectos aleatorios, al verificar con la estad´ıstica Q que existe heterogeneidad entre las RMM de los pa´ıses de latinoamericanos para los a˜ nos bajo estudio. Se observa un decrecimiento de la RMM de Latinoam´erica, pero en menor proporci´on del 2005 al 2008. Se muestra adem´as los intervalos de confianza al 95 % para la RMM.

4.2.

Metan´ alisis Bayesiano

Es una metodolog´ıa con una fuerte base estad´ıstica que permite obtener la distribuci´on completa de las medidas de inter´es teniendo en cuenta la incertidumbre inherente al proceso. En la Tabla 3 se muestran los resultados de los estudios de Sudam´erica y Latinoam´erica.

12

De esta tabla se observa que el IDH de los pa´ıses de Sudam´erica es mayor al de Latinoam´erica. Adicionalmente, se muestran estimaciones por intervalos al 95 % de confianza para las regiones.

5.

Conclusiones

1. El metaan´alisis utilizado en el presente art´ıculo es un estudio basado en la integraci´on estructurada y sistem´atica de la informaci´on obtenida sobre las RMM de los pa´ıses sudamericanos y latinoamericanos para los a˜ nos 1990, 1995, 2000, 2005 y 2008, con la finalidad de dar una estimaci´on cuantitativa sint´etica, que se muestra en la Tabla 4. Tabla 4. Raz´ on de Mortalidad Materna ´ ´ A˜ no SUDAMERICA LATINOAMERICA 1990 123.0 117.0 1995 101.0 105.0 2000 90.1 90.1 2005 82.1 79.1 2008 80.7 75.5 2. Para trabajar las bases de datos, previamente se transformaron estas razones a escala logar´ıtmica y luego se obtuvo el error est´andar de la estimaci´on, despej´andolo del intervalo de confianza puesto que dicha base publicada por la OMS s´olo contiene la estimaci´on puntual y su respectivo intervalo de confianza al 95 % para cada pa´ıs de la regi´on. El resumen de los resultados se presenta en la Tabla 4. Tabla 5. ´Indice de Desarrollo Humano Regi´ on 2010 ´ SUDAMERICA 0.6971 ´ LATINOAMERICA 0.6719 3. El metaan´alisis Bayesiano aplicado en la presente investigaci´on es un m´etodo basado en la integraci´on ordenada y l´ogica de la informaci´on obtenida del IDH de los pa´ıses de Sudam´erica y Latinoam´erica para el a˜ no 2010 incorporando la incertidumbre de los par´ametros, con la finalidad de dar una estimaci´on cuantitativa sint´etica, la que se muestra en la Tabla 5. 4. Como la base de datos del IDH publicado por el PNUD s´olo tiene el estimador puntual, para combinar los IDH de los pa´ıses de Sudam´erica y Latinoam´erica se utiliz´o el metan´alisis Bayesiano con una distribuci´on gamma inversa a priori con par´ametros a = 0, b = 2. 5. Esta forma de obtener estimaciones cuantitativas sint´eticas en el presente art´ıculo, es una propuesta para estimar la RMM y el IDH para las regiones de Sudam´erica y Latinoam´erica, la cual se puede extender a otras regiones. 13

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