Manual matemáticas by Estudiantes Indígenas

Matemáticas Manual de Apoyo Académico Contenido Presentación I Aritmética 1) Números y medidas. 2) Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división. 3) Operaciones básicas con punto decimal. 4) Operaciones con números fraccionarios: suma, resta, multiplicación, división. 5) Leyes de los signos y escala numérica. 6) Orden de las operaciones. 7) Porcentaje y regla de tres. II Álgebra 1) Planteamiento algebraico, sustitución algebraica. 2) Leyes de exponentes y radicales, equivalencias y conversiones. 3) Operaciones algebraicas básicas: suma, resta, multiplicación, división. 4) Productos notables, factorización y reducción a mínima expresión. 5) Ecuaciones de primer grado con misma incógnita: resolución y despejes. 6) Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: método de reducción, sustitución e igualación. 7) Inecuaciones o desigualdades. III Geometría 1) Algunas propiedades básicas de los ángulos. 2) Algunas propiedades básicas de los cuadriláteros. 3) Algunas propiedades básicas de los triángulos. 4) Algunas propiedades básicas del círculo. 5) Perímetro y área de principales figuras geométricas. 6) Teorema de Pitágoras. IV Estadística 1) Clasificación y ordenamiento de datos. 2) Media (promedio), mediana, moda. 3) Principales tipos de gráficas. 4) Interpretación de gráficas. Bibliografía 1

Presentación Distinguido alumno, esta es la parte de matemáticas de tu manual de apoyo académico. Los contenidos de este manual son temas seleccionados cuidadosamente; están pensados para que revises lo que viste en grados anteriores y te sean útiles para resolver ejercicios y problemas matemáticos elementales una vez recordados los temas necesarios. Esta parte de matemáticas está dividida en cuatro temas: Aritmética, Álgebra, Geometría y Estadística. Todos los temas tienen puntos específicos, son complementarios y están presentados en orden, de tal manera que un tema te llevará a otro sin sobresaltos. Cada tema y punto específico tiene fundamento teórico, necesario para que tengas referencia y certeza teórica. A este fundamento lo acompañan explicaciones mediante argumentos para que te sea más sencillo comprender la teoría, y es complementado con un enfoque regional, con situaciones prácticas que permitirán hacerte más amable la aplicación matemática. En cada punto de cada tema hay ejercicios y problemas para contestar, también actividades que te invitan a reforzar lo recordado mediante la práctica. Al final del manual viene información bibliográfica complementaria, que también puede servirte como referencia teórica y práctica. Con este material tienes la ventaja de revisar solo los temas de tu interés, los que pienses necesario fortalecer sin la obligación de retomar todo el manual. Aún sin asesor, la estructura complementaria y ordenada de los contenidos te permitirán comenzar a revisar temas donde tú creas conveniente. Espero que este manual de apoyo académico, en su parte de matemáticas, sirva a tus necesidades y sea punto de partida para el gusto por esta hermosa ciencia y estudios posteriores. Ing. Antonio Diosdado Hernández

Objetivos: 

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Que el alumno encuentre en el manual de matemáticas conocimientos matemáticos para aplicarlos adecuadamente y le permitan aprobar la prueba de aptitud académica (PAA) o prueba College Board, para ingresar a licenciaturas de la Universidad de Guadalajara. Que el alumno recupere temas de matemáticas vistos en primaria, secundaria y preparatoria y los asocie con planteamientos, mediciones, cálculos y conocimientos prácticos de su cultura. Que el alumno identifique y seleccione del manual preferentemente los temas matemáticos en que tenga deficiencias. Que el alumno aplique razonamiento lógico matemático, reglas y algoritmos necesarios para resolver problemas y ejercicios matemáticos específicos.

Competencias generales:      

El alumno examina temas y contenidos con enfoque regional o intercultural. El alumno distingue, diferencia y compara el conocimiento teórico matemático formal y el conocimiento matemático práctico e intuitivo aplicado en su cultura. El alumno discute y argumenta sobre los contenidos con base a los temas propuestos, y contrasta entre el conocimiento teórico matemático formal y el conocimiento matemático práctico e intuitivo aplicado en su cultura. El alumno descubre y experimenta distintas formas o caminos para resolver ejercicios y problemas matemáticos. El alumno combina y aplica el conocimiento teórico matemático formal y el conocimiento matemático práctico e intuitivo de su cultura. El alumno recoge el conocimiento teórico matemático formal necesario, lo valora y aplica en la prueba de aptitud académica (PAA) o College Board.

1 Aritmética Competencias:   

El alumno recuerda, muestra y domina conocimiento aritmético, su cálculo y planteamiento. El alumno recuerda y muestra unidades de medición; identifica y compara las unidades de medida del S.M.D (Sistema Métrico Decimal) y su forma tradicional de medición; experimenta equivalencias en sistemas de medición. El alumno es capaz de plantear problemas; probar, demostrar y explicar la resolución; formular, desarrollar y resolver ejercicios matemáticos y aritméticos.

La aritmética es la parte de las matemáticas que tiene por objeto exponer, calcular y estudiar las propiedades de los números y de las cantidades consideradas como tales (Postigo). Esto quiere decir que es la parte de las matemáticas donde estudiamos todo lo que tiene que ver con los números (sin letras como en el álgebra), y sus operaciones como la suma, resta, multiplicación y división. Hay muchas otras operaciones aritméticas –como la raíz cuadrada-, pero que en esta ocasión no revisaremos muchas de ellas porque sólo nos interesan las que servirán para resolver ejercicios matemáticos y problemas donde apliquemos estos conocimientos. En esta unidad revisarás aspectos relacionados con la aritmética que estudiaste en niveles escolares anteriores, como en la primaria y la secundaria. 1- Números y medidas Una definición de número es, lo que resulta de comparar o medir la cantidad con la unidad; el número es, pues, un conjunto de unidades y a veces la unidad misma (Postigo). Los números son signos que el ser humano ha inventado para representar y medir cantidades de algo, de cualquier cosa. Estos signos inventados, a los que llamamos números, son el resultado del pensar, de la actividad que realiza nuestro cerebro. Pensar números y hacer cuentas u operaciones con ellos es hacer matemáticas a partir de la realidad. Los números tienen distintos nombres según estén agrupados para su utilidad; es decir, el ser humano los ha separado en distintos conjuntos para disponer de ellos cuando lo requiera, dependiendo la operación o cálculo matemático que quiera realizar. Así, tenemos por ejemplo: los números reales, naturales, racionales, fraccionarios, enteros, positivos, negativos, etc. Hacer operaciones y representaciones matemáticas a partir de la realidad también es conocido como abstracción matemática; es decir, representar y medir la realidad con números y realizar cuentas donde entran todas las operaciones, cálculos y demostraciones por muy complejas que estas sean. Ejemplos de abstracciones matemáticas son las siguientes:

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Al pensar y decir “tres naranjas”, estamos haciendo abstracción o una representación matemática de tres naranjas; si queremos escribirlo queda así: 3 naranjas. El signo 3 representa la cantidad de objetos o cosas concretas, en este caso son las tres naranjas.  Pensar y decir “la mitad de una naranja” o “media naranja” es la abstracción o representación matemática de 1/2 naranja, si lo queremos escribir.  Pensar y decir “a tres naranjas le voy a sumar otras dos naranjas”; es una abstracción y la podemos representar matemáticamente así: 3+2, pero sabemos que en este caso hablamos de naranjas.  Si digo que “a tres naranjas le voy a sumar otras dos naranjas y ahora tengo cinco naranjas”, entonces queda así: 3+2=5, teniendo también conocimiento de que en este caso hablamos de naranjas. Debemos considerar que las oraciones pueden expresarse de varias maneras y representarían lo mismo en lenguaje matemático; un ejemplo de lo anterior es que si digo “tres naranjas mas dos naranjas es igual a cinco naranjas”, se representa también matemática y aritméticamente: 3+2=5. O si digo “si a tres naranjas le agrego otras dos naranjas, tengo como resultado un total de cinco naranjas”, se escribe también 3+2=5. Lo importante es que siempre debemos saber de qué estamos hablando en un problema, en este caso ha sido de naranjas. Vale la pena ver el siguiente ejemplo: “a tres naranjas le voy a sumar dos peras y ahora tengo cinco frutas”, puedo escribirlo así: 3naranjas + 2peras = 5frutas. Este último ejemplo es para mostrar que hay muchas maneras de abstraer o representar objetos distintos o similares con sus respectivas cantidades. En el apartado de álgebra veremos más detalles de esto. De la misma forma en que anteriormente hemos representado naranjas, peras y frutas por medio de números (abstracción), podemos hacerlo con todas las cosas y sus respectivas cantidades y medidas; por ejemplo: 8 metros de tela; 3 kg. (kilogramos) de tortilla; 1 litro de leche; 2 medidas de maíz; 1 tonelada de arena para construcción; 1 litro de gasolina cuesta 9 pesos; el boleto del camión cuesta 35 pesos; la distancia entre el rancho Fulanito y el rancho Perenganito son 63 km. (kilómetros); la avioneta despega del suelo cuando va a una velocidad de 110 km/hr (kilómetros por hora) y mantiene su vuelo a 1,800 mts. (metros) de altura; etc. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Qué son para ti los números? 2. ¿En qué utilizas los números? 3. ¿Tienes otra manera de representar y utilizar las cosas en vez de con números? ¿Cómo? 4. En tu cultura existe algún símbolo que represente algún número? 5. En tu cultura, ¿cuáles medidas conoces que no sean kilos, metros, gramos, litros, kilómetros, etc? Actividad. Da 5 ejemplos de representación o abstracción matemática de diferentes cosas.

2- Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división. Recordar las operaciones básicas de la aritmética te permitirán poner las bases más simples, pero muy sólidas, para realizar cálculos matemáticos. Las operaciones del cálculo aritmético u operaciones aritméticas, son los modos distintos de obtener o formar un número por medio de otros dados (Postigo); es decir, de un número puedo obtener otro mediante cualquiera de las operaciones de cálculo; por ejemplo, del 2 y el 3 obtengo el 6 si hago una multiplicación 2×3; o del 2 y el 3 obtengo el 5 si hago una suma o adición 2+3. Las operaciones aritméticas de cálculo son seis (Postigo): adición o suma, substracción o resta, multiplicación, división, potenciación y radicación (extraer raíz). Las operaciones básicas también son conocidas como fundamentales. Son estas operaciones básicas o fundamentales las que nos interesan en este apartado. La suma o adición es una operación directa o de composición que tiene por objeto reunir en uno solo los valores de varios números; los números cuyos valores se han de reunir se llaman sumandos, y el resultado suma (Postigo). La suma es, pues, la operación donde agregamos una cantidad a otra para obtener un resultado o una cantidad nueva. Una suma muy simple es 5+7=12; el 5 y el 7 son sumandos, el 12 es el resultado o la suma. Hay sumas con más números y de mayores cantidades; por ejemplo, 3,415+309+7,132. Esta suma se complica si la queremos resolver mentalmente, y si no tenemos calculadora para realizar la operación, entonces tenemos que responderla analíticamente, es decir, a mano, escribiendo. En este tipo de sumas debemos recordar y considerar algunos elementos de los números de cantidades mayores a un dígito: las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar, las centenas de millar, las unidades de millón, etc. Por ejemplo, en el número 3,415: 5 es la unidad 1 es la decena 4 es la centena 3 es la unidad de millar Entonces, al sumar debemos acomodar las cantidades de tal manera que queden alineadas las unidades, las decenas, las centenas, etc., de derecha a izquierda; y es desde la derecha (las unidades) donde comenzamos a resolver la suma: 3,414+ 309 7,132= 10,855 Resuelve los siguientes ejercicios. 45+968+15+3= 328+569+23+18= 1,479+58+10,10,168= 33,500+8,123= 458+106,798+547+58,345=

La resta o substracción es la operación inversa de la adición o suma, y tiene por objeto, dada la suma (resultado) de dos sumandos y uno de los sumandos, hallar el otro sumando (Postigo). En otras palabras, quitar cierta cantidad a otra para encontrar la cantidad nueva restante o resultante, que sumada ésta a la cantidad que quitamos con anterioridad, nos de la cantidad inicial (como cuando hacemos la comprobación). En este tipo de restas y a diferencia de las que veremos en álgebra, siempre debemos quitar la cantidad menor a la mayor y acomodarla de esa forma, porque en estas operaciones fundamentales nos referimos a la abstracción matemática de cantidades de cosas concretas que se pueden numerar o contar, y no nos deben dar resultados negativos. Por ejemplo cuando restamos personas, sacos de azúcar, paquetes con alimento, árboles, animales, etc., no podemos restar una cantidad mayor a la que tengamos. Por ejemplo, si tengo 10 sacos de azúcar, no le puedo quitar más de 10 porque no tengo más de 10, sólo podré quitarle de 1 a 10 sacos; esto puede resultar demasiado obvio pero es importante aclararlo para diferenciarlo de las restas donde sí manejaremos números negativos. Un ejemplo de las restas a las que nos referimos ahora es la siguiente 1,958-421. Primero ordenamos por unidades, decenas, centenas; luego resolvemos desde la derecha; a unidades quitamos unidades, a decenas las decenas y a centenas las centenas, etc.: 1,958421= 1,537 Lo que hicimos fue quitar 421 a 1,958 y restaron 1,537. De acuerdo a la definición de la resta, si sumamos lo restante (1,537) a lo que quitamos (421), nos da la cantidad inicial (1,958). La operación de la resta se complica cuando la cantidad inicial tiene números más pequeños que los números que conforman la cantidad que vamos a quitar; por ejemplo 932-678. En este caso, si no tenemos calculadora para resolver la resta, debemos aplicar un método que nos permita resolverla sin equivocarnos. Ordenamos nuestras unidades, decenas y centenas, y comenzamos a resolverla desde las unidades; podemos observar que las dos cantidades numéricas coinciden en sus dígitos (3 cada una): 932678= 254 En este ejercicio, la cantidad o el número 932 es mayor que el 678, entonces sí los podemos restar; pero sus unidades y decenas de manera individual no, porque el 8 y 7 son números y cantidades mayores que el 2 y 3; es decir, al 2 no le puedo quitar 8 y al 3 no le puedo quitar 7 porque me darían números negativos, y como dijimos anteriormente, en este tipo de restas no manejaremos números negativos. Entonces, aplicaremos un método especial para resolver este tipo de restas; uno de ellos es el siguiente:

En la cantidad 932, al 2 le agregamos un 1 imaginario para que se convierta en 12; y ahora sí al 12 podemos quitar 8: 93 1267 8= 4 Luego el 1 imaginario del 12 lo sumamos al 7 del 678 para que se convierta en 8: 9 3 26 8 8= 4 Pero ahora como al 3 no le podemos quitar 8, entonces al 3 le agregamos un 1 imaginario: 9 13 26 8 8= 4 Ahora sí al 13 podemos quitar 8: 9 13 26 8 8= 54 Finalmente, el 1 imaginario del 13 lo sumamos al 6 de abajo (del 678) y realizamos la última resta: 9 327 78= 2 54 Resuelve los siguientes ejercicios. 457-260= 999-208= 1,539-921= 35,724-32,856= 568,002-389,998=

El producto o multiplicación es la operación que consiste en repetir un número, llamado multiplicando, tantas veces como sumando, como unidades tiene otro llamado multiplicador (Postigo); es decir, repetir sumados cierta cantidad o número, la cantidad de veces que te diga el otro número. Por ejemplo 8×3=24, o sea, sumar 3 veces el 8: 8+8+8=24. Otra manera de recordarlo y comprenderlo es, dados dos números, multiplicando y multiplicador, hallar un tercero llamado producto; en el caso de 8×3, el multiplicando es el 8 y el multiplicador el 3. 8

Es muy importante que este tipo de multiplicación no se confunda con la potenciación, que la veremos más adelante. Otro ejemplo de multiplicación es 32×2,329. Aquí tendríamos que sumar el 32 en 2,329 ocasiones; pero como esto es impráctico, la multiplicación se resuelve mediante su propio método con ayuda de las tablas de multiplicar, razón por la cual es necesario saber las tablas pero haciendo el esfuerzo de comprender que es la suma del multiplicando la cantidad de veces que indica el multiplicador. Es recomendable colocar primero la cantidad mayor para realizar la menor cantidad de tablas, y comenzar a multiplicar desde la derecha:

2,329× 32= 4,658 + 6,987 74,528 Se observa que comenzamos con el multiplicador desde la derecha, con la tabla del 2, y también desde la derecha por cada uno de los números del multiplicando: 2×9, 2×2, sumamos si llevamos decenas..., 2×3..., etc. Al final se realiza la suma y obtenemos el resultado o producto. Resuelve los siguientes ejercicios. 58×6= 142×8= 1,985×39= 46,324×987= 630,542×54=

La división es la operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores y uno de ellos, hallar el otro (Postigo). Esto significa que si tenemos un cierto número llamado dividendo y otro divisor, debemos encontrar el resultado o cociente. Por ejemplo:

3 9/¯27¯ 0 El dividendo es el número que está dentro de la casita (27), el divisor el que está afuera (9), el cociente o resultado el que está arriba (3), y el residuo o sobrante es el de abajo (0). Esta división debe leerse “27 entre 9 es igual a 3 y sobran o restan 0”; esto quiere decir que si multiplico 9×3 me da como resultado 27, la cantidad exacta del dividendo, por eso sobran 0. 9

La manera de encontrar el cociente es mediante tanteo y el conocimiento de las tablas; comprendiendo que, de lo que se trata, es de encontrar un número (cociente) que multiplicado por el divisor nos de el resultado exacto o lo más cercano posible al dividendo, sin que sobre la misma o mayor cantidad del divisor, porque entonces cabría una vez más. Otra manera de comprenderlo o buscar el cociente es planteando la pregunta: ¿cuántas veces cabe el divisor en el dividendo?, y así podemos acercarnos a la cantidad del cociente que necesitamos. Si observamos con detalle, nos percatamos que no es otra cosa mas que sumar tantas veces el divisor, como sean necesarias, para alcanzar la cantidad del dividendo, y esas tantas veces es el cociente; por eso la división es considerada la operación inversa de la multiplicación. Cuando el divisor tiene dos o más dígitos, se deben tomar igual cantidad de dígitos en el dividendo, siempre y cuando el divisor “quepa” en la cantidad de dígitos considerados en el dividendo para realizar el cálculo de búsqueda del cociente; si la cantidad de dígitos del divisor son iguales a los del dividendo pero las cifras del dividendo representan una cantidad menor a las del divisor, se debe tomar un dígito más del dividendo para que su cantidad sea mayor y el divisor quepa por lo menos una vez. Por ejemplo: 1,163 ÷ 12= 12/¯1163¯ En este caso, para comenzar a resolver la división debemos tomar los primeros dos dígitos del dividendo (11) porque hay una cantidad con dos dígitos en el divisor (12); pero el 12 no cabe en el 11, razón por la cual debemos tomar tres dígitos del dividendo, o sea 116. Entonces, 116 ÷ 12, ¿a cuánto da?, o ¿cuántas veces cabe el 12 en el 116? Recordemos que este cálculo debe ser por tanteo. Si sabemos que 9×9=81 y considerando que nos queremos acercar al 116, y considerando también que debemos utilizar de a un solo dígito (del 1 al 9) para irlos colocando en el espacio donde va el cociente, entonces es el número 9 el primer dígito que buscamos: 9 12/¯1163¯ 83

9 12/¯116-¯3¯ 108= 8 3

El primer dígito encontrado se coloca en el espacio del cociente arriba del último dígito del dividendo considerado para realizar nuestro cálculo por tanteo. Se multiplica 12×9 dando como resultado 108, esta cantidad es restada a 116 y nos sobra 8; la regla de la división nos indica que el siguiente número o dígito no calculado debe bajar, en este caso el 3 que con el 8 forman ahora el número 83. Ahora la división es de 83 ÷ 12 y se hace el mismo procedimiento que al principio: 96 12/¯1163¯ 83 11

9 6 12/¯116-¯3¯ 108= 8 37 2= 11

Resuelve los siguientes ejercicios. 457÷3= 1,736÷8= 15,068÷24= 67,221÷63= 128,349÷128=

La potenciación o elevación a potencias xª es la operación que tiene por objeto determinar la potencia de un número; potencia de un número es el producto de varios factores iguales a este número, el cual se llama base de la potencia (Postigo). La potenciación es, en otras palabras, la operación mediante el cual una cantidad o número base la multiplicamos otra cierta cantidad de veces que está indicada en el exponente representado por otro número. Por ejemplo 3³=27 porque 3×3×3=27; 2^4=16 porque 2×2×2×2=16. ¿Cuál es la diferencia entre la multiplicación y la potencia?, el siguiente ejemplo nos lo indica: 2×3=6, recordemos que en la multiplicación se suma el multiplicando la cantidad de veces que indica el multiplicador, o sea 2+2+2=6 y; 2³=8 porque 2×2×2=8, en la potenciación no se suma la base, sino que se multiplica la cantidad de veces que indica el exponente. Resuelve los siguientes ejercicios. 5²= 16²= 3³= 8^4= 6^5= Para saber más. Los signos operacionales principales que necesitamos repasar son los siguientes: Suma + Resta – Multiplicación, principalmente es representado por los signos × , y paréntesis ( ) ; en ocasiones se utilizan puntos · , corchetes [ ], o llaves { }. División, se usan varios signos: la casita /¯¯¯ , el signo del quebrado / que en realidad es una división de dos números (1/2 o 2/1) que pueden dar un entero o decimales, y la rayita entre dos puntos, 4 ÷ 2=2. Igualdad = , también es común utilizar la expresión “equivale a”. Desigualdad ≠ , es un signo igual con una raya transversal cruzada; significa que “no es igual a”, por ejemplo 3 ≠ 2 (3 es desigual, o no es igual a 2). Mayor que y menor que > < , son utilizados en las inecuaciones o desigualdades y en los límites. _ Promedio X , es una equis con una rayita arriba y es utilizado en el análisis estadístico.

Preguntas. 11

Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Cuántas operaciones aritméticas conoces? 2. ¿Cuáles aplicas en la vida diaria? 3. ¿Tienes alguna otra manera de resolver operaciones aritméticas? Actividad. Inventa 5 ejemplos donde apliques las diferentes operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división).

Resuelve. Santiago vende leche en su tienda. El litro de leche le cuesta $8.00 y lo vende en $12.00. Si la semana pasada vendió dieciocho litros de leche, ¿cuánto invirtió en total?, ¿cuánto obtuvo de ingreso total?, y ¿cuál fue la ganancia? Rosita es de las organizadoras de la fiesta de graduación de su salón. El precio por la renta del salón de baile es de $6,000.00; el luz y sonido $900.00; y el banquete otros $1,500.00 para diez personas. Si son treinta alumnos a graduarse, ¿cuánto es el costo total del salón, luz y sonido y banquete?, ¿cuánto va a tener que gastar en total cada alumno? María tiene que viajar a la cabecera municipal, la corrida le cuesta $22.00 por adulto y $10.00 por niño menor de ocho años. María va a viajar con sus hijos de nueve y siete años. ¿Cuánto tiene que guardar para el viaje de ida y vuelta? Un grupo de personas han decidido guardar tres medidas de maíz cada uno al año para tener reservas si un temporal no es bueno. Al acuerdo se comprometieron 35 personas. ¿Cuántas medidas alcanzaron a juntar si lo hicieron por seis años? Juanito invitó a jugar canicas a 3 amiguitos. Juanito tiene 563 canicas y quiere repartirlas en partes iguales para poder realizar el juego. ¿De cuántas canicas les tocó a cada uno y cuántas sobraron?

3- Operaciones básicas con punto decimal. Las operaciones con números que llevan punto decimal son tan comunes como las operaciones con números sin punto decimal. Las aplicamos en la vida diaria al hacer cuentas con dinero y cálculos más complejos, como en el ramo de la ingeniería, mecánica o electrónica. En este apartado recordarás el método para hacer operaciones básicas de números con punto decimal. Dedicamos especial atención al tema de las operaciones con punto decimal por la diversa manera en que se nos presentan los casos para resolver y acomodar los puntos decimales y los números.

El punto decimal es el signo que se utiliza para denotar que un número contiene fracciones decimales; así, el número 4.2 nos dice que el 4 es entero y el 2 es una fracción decimal; 0.25 es una fracción decimal sin enteros; 3.1459... es una fracción decimal infinita (irracional) seguida del entero 3, etc. Los números decimales son el resultado de quebrados racionales e irracionales, y los de fracciones decimales de potencia 10; también de muchas divisiones no exactas de números enteros como 426 ÷ 23= 18.521739 donde el 9 es el último decimal de la fracción (luego le seguirían ceros). La suma o adición con punto decimal tiene exactamente el mismo procedimiento que la suma sin decimales. Aquí lo único que hay que hacer es alinear los puntos y colocar los enteros del lado izquierdo y los decimales del lado derecho. Por ejemplo, sumar 328.54+54.123+1.4+0.097+1,678.6= Entonces acomodamos y sumamos: 328.54+ 54.123 1.4 0.097 1,678.6 = 2,062.76 Al igual que la suma, lo único que tenemos que hacer en la resta con números decimales es alinear los puntos y acomodar los números enteros del lado izquierdo del punto y los decimales del lado derecho del punto, luego hacer la operación de resta tal cual la conocemos. Por ejemplo, restar 837.42-729.102= Acomodamos y restamos: 837.42 729.102= 108.318 Es importante mencionar que en la resta anterior vemos otro caso distinto de aplicación de la regla en la resta, donde arriba del decimal 2 del número 729.102 y que representa 2 milésimas, no hay nada porque el número 837.42 no tiene milésimas, tiene solo centésimas (42). En el caso de la resta que tenemos de ejemplo debemos considerar que el 837.42 tiene un 0 como milésima; entonces será 837.420. Y como a 0 o nada no le podemos quitar 2, entonces al 0 le agregamos un 1 imaginario para convertirlo en 10, y así poder quitar 2 a 10. 837.42 10729.10 2= 8 Después, la resta se hace normalmente, como lo vimos en el apartado anterior.

La multiplicación con números decimales se resuelve de la misma manera como se resuelve la multiplicación sin decimales, aquí no importa alinear los puntos; sólo tiene por regla 13

contar los decimales que tiene el multiplicando y el multiplicador y colocarlos en el resultado o producto, de derecha a izquierda. Por ejemplo:

367.56 × 4 = 1,470.24

263.28 × 3.2 = 52656 78984 842.496

6.564 × 0.15 = 32820 6564 0.98460

Al igual que las operaciones anteriores, la división con decimales se resuelve igual que la división sin decimales. Pero sí hay reglas para manejar el punto decimal, los casos son los siguientes: 1) Cuando el punto decimal esté en el dividendo, o sea dentro de la casita, el punto decimal se sube justo arriba de donde se encuentra el punto, en el espacio donde se colocará el cociente: Sea

6/¯12.6¯

Entonces subimos el punto y se resuelve normalmente la división: 2.1 6/¯12 6¯ 06 0 2) Cuando el punto decimal se encuentra en el divisor, o sea fuera de la casita, se elimina ese punto y se coloca dentro de la casita en forma de ceros en el dividendo dependiendo de la cantidad de decimales del divisor: un decimal, un cero; dos decimales, dos ceros, tres decimales, tres ceros, etc. Por ejemplo: 5.4/¯426¯

Entonces: 78 54/¯4260¯ 480 48

Observemos lo siguiente:

De la última división podemos decir algunas cosas:

78.8888..... 54/¯4260.¯¯¯¯¯¯ 480 480 480 480 480

1. Que el punto decimal realmente queda después del 0 que colocamos en el dividendo por eliminar el punto decimal en el divisor, aunque no lo veamos, porque después de cada número entero siempre hay un “punto imaginario”; es decir, el número es 4260.0000..n (en este caso n representa la cantidad que queramos de ceros), por tanto, por la regla del primer caso, el punto sube al cociente quedando 78.888... 2. Que esta es una división que da como resultado o cociente un número irracional (no todas las divisiones dan resultado irracional); es decir, un número con fracción decimal infinita: por más que dividamos 480 ÷ 54 siempre nos va a dar 8 y sobrarán 48. 3. Que después del 0 que colocamos en el dividendo por eliminar el punto en el divisor, hay ceros “imaginarios” que podemos utilizar para bajarlos –según la regla de la división- y que nuestro número se transforme en uno más grande (en este caso 480) para poder seguir dividiendo hasta que nosotros decidamos continuar con los decimales que queramos. 3) Cuando el punto decimal está en el dividendo y en el divisor, se elimina el punto decimal del divisor y recorremos a la derecha el punto decimal del dividendo la cantidad de decimales que tenga el divisor. Si la cantidad de decimales del divisor es mayor a la del dividendo, se agregan los ceros necesarios; y si se quieren agregar decimales en el cociente, se sube el punto como en el caso descrito en el punto anterior. Por ejemplo:

2.53/¯5.3486¯

2.11 253/¯534.86¯ 288 356 103

Entonces

Si deseamos seguir buscando decimales, entonces agregamos un cero a 103 para que quede 1030 y poderlo dividir entre 253, y así sucesivamente. Ahora veamos el siguiente ejemplo:

1.5648/¯22.45¯

14.3 15648/¯224500¯ 68020 54280 7336

Entonces

4) Cuando tengamos ceros inmediatos después del punto decimal en el dividendo y/o en el divisor, se elimina el punto decimal del divisor y se recorre el punto decimal del dividendo los espacios que sean necesarios –incluso agregando ceros como en el punto anterior; y se eliminan los primeros ceros del dividendo y del divisor, por ejemplo:

0.003/¯0.0054¯

Entonces queda

1.8 3/¯5.4¯ 24 0

En las divisiones con decimales nos podemos enfrentar a un caso como este:

3.1/¯0.056¯

Entonces

.01 31/¯0.56¯ 56 25

En la división anterior observamos que fue necesario agregar un 0 en el cociente después del punto decimal por la razón de que 56 puede dividirse entre 31, el 1 del cociente tiene que ir arriba del 6 del dividendo y porque no puede dejarse ningún espacio sin ningún número después del punto decimal, que tuvo que subirse según el primer caso del punto decimal. Para saber más. Números decimales: son exclusivamente los que se escriben con décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc. Estos números son el resultado de los números racionales e irracionales y pueden acompañar números enteros o pueden ser menores a la unidad; también pueden ser positivos y negativos; por ejemplo: 3.15, 254.39, 0.4567, -21.8, -0.97, etc. También se les conoce como fracciones decimales y pueden ser el resultado de una división cuyo denominador es una potencia de diez, esto es, la unidad seguida de uno o más ceros; así 0.8 es el resultado de la fracción decimal 8/10, 0.375 es el resultado de 375/1000, etc. Este tipo de fracciones decimales –dividir entre 10, 100, 1000, 10000 etc.- se utilizan solo cuando un ejercicio o problema específico lo pide o requiere. Números racionales: son los números reales que se pueden expresar como el cociente (división) de dos números enteros, siempre que el divisor sea diferente de cero (Rees, Sparks). Estos números son los quebrados, que pueden ser representados con números decimales que den cantidad exacta, por ejemplo, ½=0.5, ¾=.75, etc.; o números decimales que den cantidad inexacta e infinita, por ejemplo 1/3=0.3333... Números irracionales: son los números reales que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Los números irracionales suelen ser raíces y constantes no exactas y que tienen cifras decimales infinitas; por ejemplo, \/¯2¯=1.4142..., π =3.14159..., etc. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Utilizas en la vida diaria operaciones con punto decimal?, ¿dónde? 2. ¿Sabes cuándo podrías aplicar el punto y los números decimales o cuándo se utiliza normalmente? Actividad. Inventa 5 ejemplos donde apliques las diferentes operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) con diferentes medidas y con punto y números decimales. Resuelve. Rafael tiene que trasladar 10 toneladas de arena de un lado a otro de su localidad. ¿Cuántos viajes debe dar si tiene una camioneta con capacidad de 3 toneladas y en cada viaje sólo echa 2.8 toneladas?, ¿cuántas toneladas trasladó en su último viaje? 16

Julia tiene que cortar un listón en partes iguales para colocar las tiras en un sombrero que va a ser usado en una fiesta tradicional. El listón es lo que le quedó del año pasado y mide 174.6 cm. Tiene que cortar tiras de 13 cm. ¿Cuántas tiras de 13 cm. alcanzará a cortar del listón?, ¿cuántos centímetros le van a sobrar? Una institución autorizó $51,239.50 a un grupo de mujeres para realizar un proyecto. De esos $51,239.50 les designaron $20,000.00 para gastos personales, el resto es para comprar materiales. Son tres mujeres, ¿cuánto recibirá exactamente cada mujer si tienen que recibir partes iguales?, ¿cuánto es la cantidad de dinero para materiales? Ramiro tiene un sueldo de $8,654.00 mensual. Sabe que destina aproximadamente $3,500.00 a la alimentación de su familia. Quiere saber cuánto destina de su gasto en comida al día. Ayúdale a calcularlo considerando al mes con 31 días. Cándida y Lupita trabajan en una tienda. El encargado les pidió urgentemente que le den un corte de ingresos de los últimos cinco días de ventas y que le resten los gastos. Los ingresos fueron de $396.50, $285.00, $316.00, $354.20 y $223.00. Los gastos ascendieron a $561.50 ¿Qué informaron Cándida y Lupita al encargado de la tienda? Calcúlalo.

4- Operaciones con números fraccionarios: suma, resta, multiplicación, división. A continuación revisaremos algunos conceptos que son importantes para realizar las operaciones básicas con quebrados. Entenderemos por fracción a la parte o a las partes de un número entero; si dividimos la unidad en un número cualquiera de partes iguales, cada una de estas partes recibe el nombre de unidad fraccionaria, y el conjunto de varias de estas partes recibe el nombre de número fraccionario, número quebrado o fracción (Postigo). Los quebrados o fracciones son abstracciones numéricas que representan partes de la unidad. Los quebrados son fracciones ordinarias que constan de dos partes, el numerador y el denominador; a diferencia de los quebrados o fracciones decimales donde es utilizado el punto decimal. Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción recibe el nombre de ordinaria; si el numerador es mayor que el denominador, la fracción recibe el nombre de impropia, que a su vez puede convertirse en número mixto, que consta de entero y fracción ordinaria, y es el resultado de dividir el numerador entre el denominador de una fracción impropia. Se conoce como numerador al número que está en la parte superior de un quebrado o fracción; indica cuántas partes de un entero se han tomado. El denominador es el número que está en la parte inferior de un quebrado o fracción; expresa el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. Por ejemplo:  En la fracción ¾, el 3 es el numerador y el 4 es el denominador; el 4 nos dice que la unidad o entero se dividió en 4 partes, y el 3 nos indica que de esas cuatro partes sólo hemos tomado 3. Esta fracción ¾ es común que la utilicemos para pedir cantidades de alimento: “tres cuartos de azúcar”, o sea ¾ de kilo de azúcar, o tres



cuartas partes de 1 kilo de azúcar que es la unidad; “tres cuartos de huevo”, o sea ¾ de kilo de huevo; etc. En la fracción ½, el 1 es el numerador y el 2 el denominador; significa que el entero o la unidad la hemos dividido en 2 partes y hemos tomado solo 1 de ella. Solemos pedir “medio kilo de tortilla”, o sea la mitad o ´ de un kilo de tortilla; “medio litro de leche” o la mitad de 1 litro de leche, ´ litro de leche; cuando decimos “quién es tu media naranja” significa la otra persona, la mitad (1/2) o una de las dos partes de la pareja de novios o esposos, etc. En la fracción 2/5, el numerador es el 2 y el denominador es el 5; significa que la unidad la dividimos en 5 partes iguales y sólo hemos tomado 2. En la fracción 3/8 el 3 es el numerador y el 8 el denominador; quiere decir que hemos tomado 3 partes de las 8 en que se dividió la unidad. Tal vez este tipo de fracciones no es muy común que las utilicemos pero suelen utilizarse, por ejemplo, en la confección de ropa; en el cálculo de proporciones para una mezcla que se utiliza en la construcción; o por ejemplo para calcular la porción de grano que se necesita en una parte de tierra que hemos seleccionado para cierto tipo de siembra; etc.

Para sumar o restar quebrados del mismo denominador se suman o restan los numeradores (según el signo que tenga cada quebrado) y al resultado se le pone por denominador el denominador común de dichos quebrados; es decir, el denominador pasa igual. Ejemplos: 1 + 7 + 4 = 12 16 16 16 16 9–7=2 4 4 4

2+1=3 5 5 5 5–2–1= 1 8 8 8 8

Cuando los quebrados tienen distinto denominador, es necesario buscar y encontrar un común denominador para poder realizar la suma, resta o la combinación de estas operaciones. Por ejemplo: 1 + 2 = 3 + 8 = 11 4 3 12 12

1-1=4–3=1 3 4 12 12

Observamos que en las anteriores suma y resta de quebrados, el denominador es distinto: 3 y 4. Por tanto, fue necesario buscar un común denominador que me permitiera hacer las operaciones. Podemos decir que hay hasta cuatro maneras distintas para encontrar el común denominador:  La primera y más práctica es la mental, aunque en ocasiones, por la complejidad de tener muchos denominadores o de cantidades muy grandes, no es recomendable utilizar este método porque en ocasiones nos podemos equivocar. Consiste en buscar un número, lo más pequeño posible, que pueda ser dividido en forma exacta y al mismo tiempo entre los denominadores de los quebrados que vamos a sumar y/o restar. En nuestros quebrados anteriores, no puede ser el 8 porque sólo es divisible entre 4 y no entre 3; tampoco puede ser el 6 porque sólo es divisible entre 3 y no entre 4. El número más pequeño que podemos dividir entre el 4 y 3 al mismo



tiempo es el 12; y si observamos, en la división no resta nada: 12 ÷ 4 = 3 y sobra 0; y 12 ÷ 3 = 4 y sobra 0. Otra variante de hacerlo mentalmente es si multiplicamos directamente los denominadores. Este método es el más rápido de todos, pero tiene el inconveniente de que si los denominadores son muy grandes, entonces mi común denominador resultará literalmente multiplicado -probablemente muy grande- de tal manera que pueda ser más difícil operar con él. En el caso de nuestros ejemplos, coincide que el método descrito en el punto anterior y el utilizado en este segundo punto -el de la multiplicación-, coinciden en el resultado: 4×3=12 ó 3×4=12. Pero ¿qué sucede si tengo un ejemplo como el siguiente?

10 + 11 = 12 34 En este caso multiplicar 12×34 para encontrar el común denominador resulta impráctico porque es difícil hacer la multiplicación mental y porque el producto de ella me resultará muy grande. Buscar el número más pequeño divisible en forma exacta y al mismo tiempo entre 12 y 34 también puede complicarnos; pero tenemos otras formas que nos ayudan a encontrar el común denominador.  Tenemos el método del m. c. m. Que lo obtenemos por medio de factores o números primos; así para los denominadores 4 y 3: 4 2 1 1

3|2 3|2 3|3 1|

Entonces, 2×2×3=12

Y para 12 y 34: 12 6 3 1

34 | 2 17 | 2 17 | 3 17 | 17 1 |

Entonces, 2×2×3×17= 204

Observamos en este último ejemplo que es más sencillo hacer las multiplicaciones con números pequeños -los primos 2, 3 y 17- en vez de hacerlo con números más grandes; y que el resultado de multiplicar 12×34 es igual a 408, cantidad mucho más grande y más difícil de operar que el 204, por muy grande que sea esta última cantidad. 10 + 11 = 170 + 66 = 236 12 34 204 204 Pongamos atención en el resultado del quebrado de arriba, 236/204 porque sirve para analizar la reducción de fracciones y recordar el de fracciones impropias. 19

Tenemos 236 si reducimos por mitad queda 118 otra mitad 59 204 102 51 Ya no podemos sacar mitades, entonces revisamos si podemos reducir en tercios, cuartos, etc. Observemos que de la fracción 59/51, solo el 51 es divisible entre 3 y 17, lo que imposibilita la reducción de la fracción completa, porque el 59 es un número primo, es decir, es un número que sólo puede ser divisible entre él mismo el 59- y la unidad, o sea el 1. No se podría hacer nada a esta fracción 59/51 si no es porque es una fracción también llamada impropia. Las fracciones impropias son aquellas en las que el numerador es un número mayor que el número del denominador. Entonces lo que se puede hacer es obtener el número mixto, lo cual procede de la siguiente manera: dividiendo 59 entre 51: 1 51/¯59¯ 8 Entonces, de la fracción impropia 59/51 obtuvimos el número mixto 1 8 51 Donde el entero es el cociente 1, el numerador de la nueva fracción es el residuo 8, y el denominador es el divisor 51. Ahora veamos el siguiente ejemplo donde aplicamos sumas y restas simultáneamente: 4 + 2 – 3 = 12 + 10 – 9 = 13 5 3 5 15 15 En la multiplicación de quebrados, el método es muy sencillo: se multiplica directamente numerador por numerador colocando el producto o resultado en el numerador, y denominador por denominador colocando el resultado o producto en el denominador. Ejemplos: 1×2= 2 4 3 12

Reduciendo: 2 = 1 12 6

2×1= 2 3 5 15

La división de quebrados también es muy sencilla; para resolverla se hacen multiplicaciones cruzadas, es decir, numerador del primer quebrado por denominador del segundo quebrado colocando el producto en el numerador del quebrado resultante, y denominador del primer quebrado por numerador del segundo quebrado colocando el resultado en el denominador del quebrado resultante. Por ejemplo: 1 ÷2= 3 4 3 8

2 ÷ 1 = 10 3 5 3

Convirtiendo a número mixto = 3 enteros 1/3

Para saber más.

Números fraccionarios o quebrados: son los que expresan que la cantidad es menor que la unidad, pero que contiene exactamente partes iguales de la unidad (Postigo), como, por ejemplo, media hora (1/2 hr.), tres cuartos de kilo (3/4 Kg.). Estos números son racionales pero serán siempre expresados en forma de quebrado; aquí el quebrado es el que será exacto, sin realizar la división y, obviamente, sin utilizar decimales: 2/3, 11/12, 5/6, 9/13, etc. Son todos los números que no son enteros. Números mixtos: son los que expresan que la cantidad contiene a la unidad un cierto número de veces y, además, una o varias partes de la unidad (Postigo), como, por ejemplo, dos metros y medio (2 ½ mts.). El número mixto está conformado por un número entero y un quebrado. Fracciones impropias: son los números en forma de quebrado donde la cantidad que expresan es mayor a la unidad; contienen partes desiguales a la unidad. Las fracciones impropias tienen el numerador mayor que el denominador, por ejemplo: 3/2, 6/5, 8/3, etc. Las fracciones impropias pueden hacerse números mixtos después de realizar la división, por ejemplo, si divido 2/¯3¯, mi resultado es 1 (entero), y mi sobrante o residuo es 1. Por tanto 3/2= 1 ½ ; siendo el 1 entero el cociente resultante (lo de arriba de la casita), el 1 del quebrado es el residuo, y el 2 del quebrado el divisor (lo de afuera de la casita). Números primos: son los números naturales, enteros y positivos, que pueden ser divisibles entre el 1 y entre sí mismos, y su resultado es recíproco. Son números primos el 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,n (en este caso n representa los números primos consecutivos que queramos). Por ejemplo: el número 7 sólo se puede dividir entre 1 y 7; 1/¯7¯=7 y sobra 0; 7/¯7¯=1 y sobra 0. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Utilizas en la vida diaria los quebrados o números fraccionarios?, ¿podrías decir cómo? Actividad. Da 5 ejemplos de medidas de cosas con quebrados. Inventa 5 ejemplos donde apliques las diferentes operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) con diferentes medidas y con quebrados. Resuelve. Perla va a hacer un pastel y compró para ello ½ kilo de azúcar. Pero vio la receta y ahí dice que necesita ¾. ¿Cuánto le hace falta de azúcar? Justino va a llenar ½ galón de gasolina sabiendo que aproximadamente una cuarta parte se evapora. ¿Qué fracción de gasolina le queda para trabajar? La maestra de preescolar tiene que dividir 5 litros y medio de pegamento blanco para que trabajen los niños en la materia de artísticas. Hizo tres grupos con seis niños cada uno. ¿Qué cantidad de pegamento le corresponde a cada grupo?, ¿qué porción le tocaría a cada niño? Ayúdale a la maestra a resolverlo.

Felipe quiere sembrar hortaliza en los espacios de terreno que le sobra donde sembró maíz. En un lado es la sexta parte y en otra un octavo. ¿Qué fracción total de terreno utilizó para sembrar de hortalizas? Los asistentes a una asamblea decidieron que siete personas van a repartirse en partes iguales dos terrenos y ¾ partes de otro. ¿Qué fracción le corresponde a cada uno? A Silverio le alcanzan dos medidas de maíz para sembrar una hectárea de tierra. Silverio tiene tres hectáreas y cinco medidas de maíz. Resuelve y explica cuál es la situación de Silverio.

5- Leyes de los signos y escala numérica. Se conocen como leyes de los signos a las reglas matemáticas que utilizamos en la multiplicación y división de números o cantidades algebraicas. Estas operaciones introducen modalidades originadas por la naturaleza positiva o negativa de ellas (Postigo) determinadas por sus cantidades numéricas y algebraicas, teniendo cuatro únicos casos posibles, tanto para la multiplicación como para la división. En la multiplicación: Cantidad positiva por cantidad positiva es igual a cantidad positiva (+) (+) = + Cantidad positiva por cantidad negativa es igual a cantidad negativa (+) (-) = Cantidad negativa por cantidad positiva es igual a cantidad negativa (-) (+) = Cantidad negativa por cantidad negativa es igual a cantidad positiva (-) (-) = + Y en la división: Cantidad positiva entre cantidad positiva es igual a cantidad positiva (+) / (+) = + Cantidad positiva entre cantidad negativa es igual a cantidad negativa (+) / (-) = Cantidad negativa entre cantidad positiva es igual a cantidad negativa (-) / (+) = Cantidad negativa entre cantidad negativa es igual a cantidad positiva (-) / (-) = + Recuerda que las divisiones también pueden ser representadas con el símbolo / porque significa que divide una cantidad, formando una fracción. Un número fraccionario es en realidad una división del entero o unidad. Así que para aplicar las leyes de los signos sólo tenemos que fijarnos en el signo que contiene cada cantidad a multiplicar o dividir, por ejemplo si multiplicamos: (3) (5) = 15 (3) (-5) = -15 (-3) (5) = -15 (-3) (-5) = 15 y si dividimos: (14) / (7) = 2 (-14) / (7) = -2 22

(14) / (-7) = -2 (-14) / (-7) = 2 Estas propiedades de los signos en las operaciones obedecen a valores absolutos de cantidades algebraicas, que no es necesario explicarlo para comprender la multiplicación y división, pero sí para sumar y restar. Es común que la multiplicación y la división con números positivos y negativos se te presenten sin paréntesis o sin algunos de ellos. Ejemplos de esto son los siguientes: 6(-4) = -24 -14 (-3) = 42 -80 / 4 = -20 En la suma y resta de cantidades algebraicas o la suma y resta de números positivos y negativos se aplican otras reglas, distintas, a las que aplicamos en la multiplicación y división y que conocemos como leyes de los signos. Esto es importante tenerlo presente para que el estudiante de matemáticas no se confunda. Las confusiones y equivocaciones en matemáticas, por mínimas que sean, resultan catastróficas al momento de realizar los cálculos. En la suma o adición, y en la resta o diferencia de cantidades algebraicas, los términos suma y resta se usan en el mismo sentido que en aritmética si se aplican a números positivos. Sin embargo, su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de adición. Esta operación más amplia, que se conoce como adición algebraica, se describe en la regla siguiente: la suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; y la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto (Rees, Sparks). Por ejemplo: 3+5=8 3 - 5 = -2 -3 + 5 = 2 -3 - 5 = -8 Si observas, aquí no tienen nada que ver las leyes de los signos aplicados en la multiplicación y división. Para comprender mejor la regla descrita en el párrafo anterior y los ejemplos de aquí arriba, tomaremos en cuenta el valor absoluto o numérico de una cantidad algebraica o de un número. Por ejemplo: El valor absoluto de 3 es igual al valor absoluto de –3, y por tanto el valor absoluto de ambas cantidades es 3, o sea: |3| = |-3| = 3 O, el valor absoluto de 3-5 es igual al valor absoluto de 5-3, y por tanto su valor absoluto es 2, es decir, la diferencia entre ambos números, o sea: |3-5| = |5-3| = 2 23

En el ejemplo anterior nos estamos refiriendo solamente a la diferencia en valores absolutos, por eso llevan el signo || y el resultado en ambos es 2. Pero sabemos que si quitamos los signos absolutos, el resultado va a ser positivo o negativo. El ejemplo de los valores absolutos se presenta para comprender mejor la suma y resta de números positivos y negativos. Entonces, cuando realices sumas y restas de dos o más números con signos positivos y negativos, tienes que hacer una adición o suma considerando los valores absolutos para obtener el resultado y respetando su signo. Otra forma de comprender la suma y resta de cantidades algebraicas o de números positivos y negativos es con la escala numérica. Una escala numérica es una representación gráfica de los números reales por medio de los puntos de una recta. A cada número le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente. Por tanto, los vocablos número y punto (en una escala numérica) se pueden utilizar indistintamente (Ayres). Para establecer una escala numérica sobre una recta hay que efectuar las siguientes pasos: 1) Tomar un punto cualquiera de ella como origen (asignándole el 0). 2) Elegir un sentido positivo (se indica por medio de una flecha). 3) Con una unidad de medida adecuada situar el punto +1 a una distancia del 0 igual a dicha unidad. Los números (puntos) N y –N están a ambos lados de 0 y a |N| unidades de él (Ayres). La siguiente es una escala numérica: -4

-3

-2

-1

Para saber más. Números reales: está formado por los números racionales -enteros positivos y negativos, cero y los fraccionarios de la forma a/b (quebrados) siendo a y b números enteros- y el de los números irracionales (de infinitas cifras decimales, como por ejemplo π =3.14159... que no se pueden expresar como una relación entre enteros) (Ayres); por ejemplo: -16, -7, -5/6, -1/4, 0, ½, 7/8, 1, 5, 8, 23; también 2.5, 9.81, 1.4142..., etc. Números enteros: son los que expresan que la cantidad contiene a la unidad un número exacto de veces (Postigo), como diez árboles (10), o cuarenta personas (40). Son todos los números que no son quebrados, ni irracionales, ni los que tienen decimales. Los números enteros son los naturales. Números naturales: está formado únicamente por los números enteros y positivos; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... n (en este caso, n significa el número consecutivo que tú quieras; hasta donde tú quieras llegar). Los números naturales son reales. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿En la vida diaria utilizas números negativos?, ¿cómo? 2. ¿En tu cultura son utilizados los números negativos o utilizan alguna otra idea parecida? 24

3. ¿Cómo entienden o qué significa en tu cultura el número cero? Actividad. Marca y escribe en la escala numérica los siguientes números: ¾, π, -1/2, 2 π, -3/2, - π, 5/2, ¼, -6, 5.6, 7. Inventa 5 ejemplos donde apliques las leyes de los signos en multiplicación y división y 5 ejemplos donde apliques la regla de números negativos y positivos en suma y resta. Resuelve. 8 + 15 – 7 + 3 = -60 + 8 + 12 - 6 = -32 – 10 – 6 = (8) (-12) = -10 (6) = -15 (-9) = 45 / -15 = - 120 / -12 =

6- Orden de las operaciones. Una particularidad de las operaciones matemáticas es que, cuando hay más de una por realizar, debemos seguir cierto camino para resolverlas, y así obtener el resultado preciso. Si tenemos un conjunto de operaciones combinadas para resolver, será obligatorio fijarnos si podemos resolverlas de forma ordenada, desde el principio, o si debemos comenzar del medio, o desde el final, según sea lo más conveniente. Pero es más importante poner atención en el tipo de operaciones que se presentan en el conjunto, porque tenemos que seguir y cumplir reglas específicas respetando la jerarquía de las operaciones. Observa el siguiente grupo, serie o conjunto de operaciones combinadas: 2+7×4+9–3= ¿Cómo lo resolverías? Normalmente, los estudiantes escogen la manera de resolverlas, ya sea de corrido desde el inicio, o habrá quien prefiera comenzar con lo que podría considerar más fácil, la suma y la resta. Supongamos que Fulanito decidó resolver la serie de operaciones de manera corrida, entonces obtuvo el siguiente resultado: 2 + 7 × 4 + 9 – 3 = 42, porque 2 + 7 = 9, y 9 × 4 = 36, y 36 + 9 = 45, y 45 – 3 = 42 Ahora supongamos que Sutanito quiere comenzar con lo que considera más fácil, las sumas y restas, para luego hacer la operación más difícil para él, la multiplicación. Pero la multiplicación está en medio, entonces decide hacer las sumas y restas por separado para luego multiplicar. Entonces obtuvo lo siguiente: 2 + 7 × 4 + 9 – 3 = 90, porque 2 + 7 = 9, y 4 + 9 - 3 = 10, y 9 × 10 = 90

¡Fulanito y Sutanito obtuvieron resultados distintos aún cuando son las mismas operaciones!, ¿cuál es el resultado correcto?, ¿cuál es el procedimiento correcto? Por lo anterior, es importante la exposición de este tema, sencillo pero fundamental para temas subsiguientes. Hemos demostrado que será necesario seguir reglas y procedimientos precisos para obtener el resultado correcto. Entonces, ¿qué sucedió con los resultados de Fulanito y Sutanito? Lamentablemente, los dos están equivocados. Si hubieran resuelto en el orden adecuado, respetando las jerarquías, la respuesta sería correcta. La forma correcta de resolver la serie de operaciones de nuestro ejemplo, es la siguiente: 2 + 7 × 4 + 9 – 3 = 36, porque 7 × 4 = 28, y 2 + 28 = 30, y 30 + 9 = 39, y 39 – 3 = 36 Cuando se presenten series de operaciones combinadas –sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces- sin ningún paréntesis, el orden para resolver las operaciones será comenzando con las potencias y raíces, luego con multiplicaciones y divisiones siguiendo la secuencia en que se presentan, y luego con las sumas y restas siguiendo también con la secuencia en que se presenten. Ahora veamos el siguiente ejemplo: 8 + 6 × 2 ÷ 3 + 16 ÷ 4 – 5 = Ya sabemos que debemos comenzar con multiplicaciones y divisiones, y luego hacer sumas y restas, pero también es recomendable marcar o separar la serie de operaciones en las partes necesarias para identificar qué operaciones tenemos y cómo vamos a proceder: 8

6×2÷3

16 ÷ 4

–5=

Entonces 8 + 6 × 2 ÷ 3 + 16 ÷ 4 – 5 = 11 Porque el resultado de la primer secuencia de operaciones con multiplicación y división es 6 × 2 = 12, y 12 ÷ 3 = 4. Y el resultado de la segunda división es 16 ÷ 4 = 4. Por tanto, el resultado final con sumas y restas es 8 + 4 = 12, y 12 + 4 = 16, y 16 – 5 = 11. No importa si la secuencia de multiplicaciones y divisiones comienzan con la división, debes resolverla como se va presentando. Igual con sumas y restas: no importa que la secuencia comience con restas. Otro ejemplo: 8 + 3² × 2 ÷ 3 + 16 ÷ 4 – 5 = 13 Porque 3² = 9, y 9 × 2 = 18, y 18 ÷ 3 = 6. Luego 16 ÷ 4 = 4. Finalmente 8 + 6 = 14, y 14 + 4 = 18, y 18 – 5 = 13. Hemos visto cómo resolver una serie de operaciones sin paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }. Pero ¿qué sucede si nos indican que hagamos operaciones con estos signos?

Normalmente se usan paréntesis y solo en casos especiales, cuando el ejercicio lo presente, habrá que considerar los corchetes y las llaves. Veamos un ejemplo parecido al anterior pero con paréntesis: 8 + 3² × (2 ÷ 3 + 16) ÷ 4 – 5 = 13 Con el simple hecho de agregar paréntesis, el resultado de este conjunto de operaciones combinadas cambia totalmente con respecto a si no los tuviera. De hecho, cambia también el orden en que se realizarán las operaciones siguiendo en cada parte una secuencia particular para resolverlas. Con fines de claridad, la serie de operaciones puede proponerse de la siguiente manera: 8 + 3² (2 ÷ 3 + 16) ÷ 4 – 5 = Quitamos el signo × porque un número seguido del paréntesis representa multiplicación. Entonces, la manera de proceder cuando hay paréntesis, corchetes y llaves, es comenzando con las operaciones que están dentro de ellas y en ese orden –paréntesis, corchetes, llavesrespetando su orden jerárquico: primero potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, al final sumas y restas. Si la especificación es dar resultado con decimales, entonces las operaciones se hacen considerando los puntos decimales. Si la especificación es dar el resultado con fracciones, entonces hay que hacer las operaciones con quebrados. Veamos los dos casos. Resolviendo el paréntesis: 2 ÷ 3 = 0.66, y 0.66 + 16 = 16.66, luego 3² = 9, y 9 × 16.66 = 149.94, y 149.94 ÷ 4 = 37.48, finalmente 8 + 37.48 = 45.48, y 45.48 – 5 = 40.48 Por tanto

8 + 3² × (2 ÷ 3 + 16) ÷ 4 – 5 = 40.48

O con quebrados: 2 ÷ 3 = 2/3 porque no es exacto, y 2/3 + 16 = 2 + 16 = 2 + 48 = 50 3 3 3 Ahora 3² = 9, y 9 × 50 = 450, y 450 ÷ 4 = 450 3 3 3 12 Luego 8 + 450 – 5 = 96 + 450 – 60 = 486 12 12 12

o sea

Resuelve los siguientes ejercicios. 6² + 4 × 3 ÷ 3 – 20 = 123 – 5(15 + 8 × 2) + 65 = 12 × 4 + (32 ÷ 8 × 9 × 2 – 3³) – 18 = -(-15² + 56) + [-6(4 + 5)] = 63 – 2{5 + 6[8 × 9 – 7 – (-14 ÷ 2)] – 3}- 31 =

40 6 = 40 ½ 12

7- Porcentaje y regla de tres. La palabra porcentaje es en realidad una palabra conformada por las palabras por y ciento, y que significa la relación de una cierta cantidad con respecto al todo, tomando como base el número cien. Nosotros en la vida diaria decimos que el porcentaje de alguna cantidad de algo o de cosas es “un tanto por ciento” de ellas. Por ejemplo tenemos las siguientes expresiones:  Cincuenta por ciento (50%) del dinero se utilizó en compras.  Toda la tienda está con el veinte por ciento (20%) de descuento.  El iva es del dieciséis por ciento (16%).  El ocho por ciento (8%) de las ventas.  Hay ochenta por ciento (80%) de probabilidad de lluvia.  Estoy cien por ciento (100%) seguro de que voy a entrar a la universidad. Como vemos, el porcentaje es algo que utilizamos en las conversaciones, y tiene la intención de referir relaciones proporcionales de la misma cosa o cantidad a medir. Es decir, cuando nos dicen o leemos que “toda la tienda está con el 20% de descuento”, significa que todos sus artículos a la venta tienen el 20% de descuento tomando como base el precio de cada mercancía. O tal vez alguien nos diga que “en la tienda hay 20% de artículos con descuento”, esto significa que de todos los artículos, solo el 20% tienen diferente tipo de rebajas. Es muy importante saber a qué totalidad nos referimos para poder comprender y manejar bien los datos del porcentaje. Para facilitar la comprensión del porcentaje es recomendable recordar y considerar el principio de los quebrados que vimos en el apartado de las fracciones, por tratarse de proporciones o partes de un todo. Ahora observa lo siguiente: Cien por ciento o cien de cien:

100% = 100 = 1 100

porque 100 ÷ 100 = 1

En el ejemplo anterior, la relación nos indica que debemos considerar 100 de las 100 partes del todo. Y como vemos, la totalidad en el porcentaje siempre estará representada por la unidad, o sea el 1. Veamos ahora lo siguiente, observa con detenimiento: Setenta y cinco por ciento o setenta y cinco de cien: 75% = 75 = 3 = 0.75 porque 75 ÷ 100 = 0.75, y 3 ÷ 4 = 0.75 100 4 Cincuenta por ciento o cincuenta de cien: 50% = 50 = 1 = 0.50 porque 50 ÷ 100 = 0.50, y 1 ÷ 2 = 0.50 100 2 Veinticinco por ciento o veinticinco de cien:

25% = 25 = 1 = 0.25 porque 25 ÷ 100 = 0.25, y 1 ÷ 4 = 0.25 100 4 Ochenta y cinco por ciento: 85% = 85 = 17 = 0.85 porque 85 ÷ 100 = 0.85, y 17 ÷ 20 = 0.85 100 20

Treinta y cuatro por ciento: 34% = 34 = 17 = 0.34 porque 34 ÷ 100 = 0.34, y 17 ÷ 50 = 0.34 100 50 Por lo anterior, podemos comprobar que existe relación entre el porcentaje, las fracciones y los números decimales. Ahora observa qué sucede con porcentajes decimales: 60.2% = 60.2 = 0.602 porque 60.2 ÷ 100 = 0.602 100 28.3% = 28.3 = 0.283 porque 28.3 ÷ 100 = 0.283 100 76.94% = 76.94 = 0.7694 porque 76.94 ÷ 100 = 0.7694 100 En los ejemplos anteriores no exponemos otras equivalencias en quebrados porque no se manejan números enteros como en los porcentajes enteros. Si observas con detalle, el número decimal correspondiente a cada porcentaje sólo se recorre dos números a la izquierda como resultado de la división, y que son los dos ceros del cien. Pero hay ocasiones en que es necesario utilizar los porcentajes por encima del 100%, esto es posible en fenómenos como económicos, biológicos, químicos, físicos, o en cualquier otro en el que se quiera buscar alguna proporción. Observemos lo siguiente:

130% = 130 = 65 = 13 = 1.3 100 50 10

1 3 10

Resuelve los siguientes ejercicios.

Convierte a sólo a fracción y reduce a su forma más pequeña de quebrado los siguientes porcentajes: 29% = 15% = 20% = 48% = Convierte a fracción, luego a decimal, los siguientes porcentajes: 80% = 60% = 99% = 36.6% = 69.85% = 1.05% = 109% = 123 % = Una vez revisado y recordado lo referente al porcentaje podemos abordar con mayor facilidad la regla de tres. La regla de tres se denomina así porque se dan tres cantidades ligadas entre sí por una cierta relación y se trata de encontrar una cuarta cantidad que con las tres dadas forme una proporción (Postigo). La regla de tres es de suma utilidad para solucionar problemas matemáticos de la vida diaria. Con la regla de tres también podemos obtener equivalencias de forma muy sencilla. Lo más importante en la regla de tres es acomodar los datos correctamente, o disponerlos de manera tal que la incógnita pueda ser ubicada con facilidad y no confunda al buscarla. En este método siempre se aplican dos operaciones, una multiplicación y una división, no importando cómo hayan quedado acomodados los datos. Hay veces que la incógnita o dato a buscar se ubica abajo, arriba, a la derecha o a la izquierda, pero siempre deben corresponderse. Los datos correspondientes no son de la misma especie, son los que guardan relación para definir la proporcionalidad de cualquier cosa. La sugerencia es que la incógnita o dato a buscar siempre quede abajo y del lado derecho, y los datos correspondientes dispuestos horizontalmente: 

Caso 1:

dato 1 - dato correspondiente a dato 1 dato 2 - ¿ (incógnita correspondiente a dato 2)

Pero puede quedar de la siguiente manera: 

Caso 2:



Caso 3:

dato 1 - ¿ (incógnita correspondiente a dato 1) dato 2 - dato correspondiente a dato 2

dato correspondiente a dato 1 - dato 1 ¿ (incógnita correspondiente a dato 2) - dato 2



Caso 4

¿ (incógnita correspondiente a dato 1) - dato 1 dato correspondiente a dato 2 - dato 2

Los datos también podrían acomodarse verticalmente –datos correspondientes arriba y abajo- pero esta disposición de datos no es recomendable. Una vez acomodados los datos, procedemos a realizar las operaciones, una multiplicación y una división. La multiplicación se hace con los datos que están cruzados y el resultado se divide entre el dato que sobra. Veamos el siguiente ejemplo: Queremos utilizar el 10% de dinero del total otorgado para un proyecto que asciende a $25,000.00 para cierto tipo de gastos. Entonces: 100% - 25,000 10% - ¿ 25,000 × 10 = 250,000 y 250,000 ÷ 100 = 2,500 El 10% a utilizar de los $25,000.00 son $2,500.00 Ahora supongamos que Rosario tiene $35,000.00 de otro proyecto aprobado. Pero le dijeron que sólo utilice $15,000.00 para cierto material. Rosario quiere saber qué porcentaje representan esos $15,000, porque teme que sea más de la mitad del presupuesto, o sea 50%. Entonces: 35,000 - 100% 15,000 - ¿ 15,000 × 100 = 1´500,000 y 1´500,000 ÷ 35,000 = 42.85% Rosario comprobó que $15,000.00 de $35,000.00 es el 42.85% y no es más de la mitad de su presupuesto. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Alguna vez has utilizado la regla de tres?, ¿cómo? 2. ¿En qué casos puedes utilizar la regla de tres? Actividad. Da 5 ejemplos de casos donde apliques la regla de tres. Inventa 5 ejemplos donde apliques la regla de tres con diferentes unidades o datos. Resuelve. Compraste una televisión que te costó $2,500.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagaste en total? De la televisión que compraste quieres que te hagan factura, pero te dice el cajero que te aumentarán el iva del 16%. ¿Cuál es tu nueva cantidad? 31

Hace un año la televisión costaba $2,380.00. ¿Qué porcentaje de precio aumentó? La comunidad recibió de una fundación $120,000.00 para aplicarlo en tres rubros, 42% para material de construcción de la clínica, 38% para arreglos de la casa comunitaria y el resto para materiales e insumos del centro de cultivo de hortaliza. ¿Qué porcentaje corresponde al centro de cultivo de hortaliza?, ¿qué cantidad de dinero corresponde para cada uno de los rubros? El granero comunitario apartó seis medidas y media de maíz para dárselas como apoyo a dos mujeres y un hombre. La comunidad decidió darle a cada mujer 35% del total. ¿Qué porcentaje del total le correspondió al hombre?, ¿qué cantidad de medidas de maíz le correspondió a cada persona, a las mujeres y al hombre?

2 Álgebra Competencias:    

El alumno es capaz de plantear problemas algebraicamente; probar, demostrar y explicar la resolución; formular, desarrollar y resolver ejercicios algebraicos. El alumno experimenta algunas fórmulas equivalentes y demuestra matemáticamente otras. El alumno muestra y domina conocimiento algebraico, su cálculo y planteamiento. El alumno muestra, aplica y domina reglas matemáticas.

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible (Baldor), por eso utiliza letras para representar números. En términos generales, el álgebra trata con números y con letras que representan números (Rees, Sparks). El álgebra puede comprenderse mejor si la reconocemos como una doble abstracción matemática, porque las letras representan números que a su vez representan cosas; o sea, es una abstracción matemática de los números que a su vez son de las cosas concretas. Pero se supera esta dificultad en el momento que sabemos que la letra en el álgebra representa un número determinado pero desconocido, y que “cobra vida” o tiene sentido en el momento que le damos algún valor numérico. En este apartado repasaremos lo básico que tiene que ver con esta interesante rama de la matemática. 1- Planteamiento algebraico, sustitución algebraica.

Recurrimos al planteamiento algebraico cuando es necesario tener claro cómo vamos a proceder ante un problema donde tendremos que aplicar razonamiento matemático. A diferencia de los problemas donde aplicamos operaciones aritméticas mediante el planteamiento matemático, como los problemas del apartado anterior de Aritmética, en el planteamiento algebraico se utiliza el recurso de las letras para realizar operaciones algebraicas y llegar a la solución del problema. Para realizar el planteamiento algebraico es necesario hacer sustitución algebraica de ciertos datos, a este método de “traducción” también se le llama notación algebraica. En la notación algebraica traducimos a forma abstracta -numérica y algebraicamente- algo que está escrito o lo que hablamos. Llevamos el lenguaje común, escrito y hablado, al lenguaje matemático con la representación de números y letras. Ejemplos de notación algebraica los vimos en el desarrollo del apartado Números y medidas y con el caso de las naranjas, pero son muchas las cosas y cantidades que pueden ser representadas algebraicamente. Retomemos uno de los ejemplos de las naranjas. El enunciado nos dice: “tres naranjas más dos naranjas es igual a cinco naranjas”, o la oración “tres más dos es igual a cinco”, y lo representamos aritméticamente así:

O simplemente

3 naranjas + 2 naranjas = 5 naranjas. 3 + 2 = 5 pero ya sabemos que estamos hablando de naranjas.

Pero que pasa si tenemos un enunciado como el siguiente: “a un número le voy a sumar 5”. Como “un número” es una cantidad desconocida, entonces la oración podría representarse algebraicamente así: x+5 ó “un número cualquiera entre 3”: y/3

y 3

“Seis medidas de maíz vamos a dividirlas entre un número indeterminado de mujeres para molerlo”; entonces lo representamos así: 6/x

6 x

Hay muchas formas de decir o escribir las cosas, de tal manera que el estudiante debe desarrollar habilidad para poder plantearlo algebraicamente tomando en cuenta los datos que son importantes o relevantes para la solución, y dejando de lado la información que describe el contexto o las circunstancias del problema. Un problema típico que incluye información irrelevante para la solución del problema es por ejemplo el siguiente: La tienda de la comunidad vende un promedio de 15 latas de atún de 240 gr. a la semana. ¿A cuánto ascienden los ingresos al mes si la lata de atún cuesta $12.50? Aquí observamos que en el problema hay un dato numérico que no es relevante para la solución del problema y que puede distraernos -los 240 gr.-, y si no ponemos suficiente 33

atención, podemos utilizar ese dato para realizar una operación, cuando lo único que hay que hacer para resolver el problema es la multiplicación de 15 x 12.50 x 4 =, porque es lo que nos están indicando resolver. Actividad. Inventa 5 ejemplos donde apliques la notación algebraica. Representa en notación algebraica las siguientes oraciones: La mitad de un número. Un número menos ocho. El producto de dos números. Veinte entre la diferencia de un número y cuatro. El triple de un número. El cuadrado de un número cualquiera. El cuadrado de la suma de dos números. El cubo de la resta de dos números. La diferencia de dos números entre dos. El tercio de la suma de dos números. Tres ejidatarios por cierta cantidad de medidas de maíz. Cuarenta mujeres entre el dinero que otorgó el proyecto. Florencio obtuvo este año el triple de ganancias. Rogelio ahora gana el doble de su sueldo anterior. Justina tendrá que quitar algo de tela a los 6 metros que le entregaron.

2- Leyes de exponentes y radicales, equivalencias y conversiones. El tema que recordaremos ahora es muy útil para comprender mejor el álgebra, pero también para tener recursos que sirvan para resolver ejercicios y problemas matemáticos. Hemos comentado que hay muchos caminos para resolver ejercicios y problemas. Con las fórmulas equivalentes encontrarás la manera de “convertir” una expresión algebraica en otra equivalente, podrás aplicar despejes o conversiones para mostrar equivalencias en las fórmulas, y recordarás algunas leyes al aplicar potencias y radicales en la suma, resta, multiplicación y división. Entenderemos por equivalencia a una expresión algebraica o aritmética igual a otra pero mostrada de distinta forma, muchas veces se muestran expresiones en forma descompuesta sin darnos cuenta que pueden representarse en otra y eso nos permite tener claridad para resolver cualquier ejercicio o problema matemático. Por ejemplo, la suma 3 +5 = 8 nos muestra una igualdad, por un lado la suma y por otro su resultado. Pero también podemos decir que son equivalentes, porque 3 + 5 es equivalente a dar su resultado en 8. Si tengo el número 10, yo puedo decir que lo puedo escribir de otras maneras, una de ellas es 5 + 5, otra 2 × 5, otra 100 ÷ 10, otra 20 ÷ 2, etc. Y si observas, podemos afirmar que el número 10 lo descompusimos en componentes de diferentes formas, y todas ellas son equivalentes. Por ejemplo: 2 × 5 = 20 ÷ 2 10 = 10 34

Lo anterior es igual en el sentido de que los resultados de las dos expresiones distintas es igual a 10, y podemos decir que son equivalentes en tanto las expresiones son presentadas en forma distinta, una en multiplicación y otra en división. ¿Recuerdas que también en los quebrados hay fracciones equivalentes?, es lo mismo que cuando reducimos una fracción o cuando convertimos una fracción impropia a número mixto y viceversa, por ejemplo: 4=1 8 2

5 1 = 16 3 3 Lo importante es que puedas utilizar este recurso cuando lo necesites, de tal manera que una expresión la puedas convertir en otra para realizar operaciones más fácilmente. Muchas veces, las expresiones equivalentes son los resultados de las operaciones. Las siguientes equivalencias tienen potencias, y son conocidas con el nombre de leyes exponentes y radicales, utilizaremos letras en los exponentes con tamaño normal para que puedas comprenderlo mejor. Exponentes. m n b b

m b

o bien

m-n = b

m n m+n (b) (b) = b

ejemplo:

ejemplo: x² (x) = x³

x³ = x x²

m n b

mn = b

m m m (ab) = a b

m a b

ejemplo:

(x²)³ = x^6

ejemplo:

(xy)² = x²y²

m = a

ejemplo: m

x ³ = x³ y y³

-n b =

ejemplo:

1 n b

x‾³ = 1 x³

Radicales.

1 n

1/n b

m/n b

n \/¯b¯

n \/¯a¯ n = \/¯b¯

½ ejemplo:

n m n m \/¯b¯ = \ b

n n n \/¯a¯ · \/¯b¯ o bien \/¯a¯

n a \ b

1 2 ó

\/¯x¯

¾ 4 3 4 3 ejemplo: x = \/¯x¯ = \ b

n n \/¯b¯ = \/¯ab¯

ejemplo:

3 \/¯x¯ 3 \/¯y¯

3 3 3 ejemplo: \/¯x¯ · \/¯y¯ = \/¯xy¯

3 x \ y

Nota: recuerda que cuando no aparece ningún número indicando el tipo de raíz, significa que es raíz cuadrada. También que cuando utilizamos términos equivalentes no siempre hay resolución aritmética o algebraica, su solución es una simplificación de términos. Para saber más. Números exponentes: son los números pequeños que colocamos a la derecha y arriba de los números reales, las expresiones exponenciales más comunes son de la forma xª, siendo x y a números. También es común encontrar la expresión de la siguiente manera: x^n, significa equis (la incógnita x) elevada a una cierta potencia (en este caso n representa cualquier número entero positivo); un ejemplo numérico sería 3², es decir, 3×3; más detalles los veremos en el tema correspondiente a potenciación. Resuelve y compara con tus compañeros. Simplifica aplicando leyes de exponentes y radicales: \/¯81¯ = 36

\/¯x²¯ = \/¯48¯ · \/¯3¯ = x ² 1 = y y Demuestra cómo \/¯x¯ · \/¯x¯ = x utilizando exponentes en vez de radicales. Desarróllalo.

Cuando nos referimos a equivalencias también lo hacemos con respecto a medidas. Es muy importante poder sacar medidas equivalentes porque existen distintos sistemas de medida y porque en la vida diaria nos encontramos con la combinación de ellas. Caso muy común son las medidas de los diámetros internos o externos de tuberías, o las tuercas y tornillos, o las llaves, desarmadores de boca y dados que sirven para aflojar, apretar o atornillar piezas de diferente material. Estas medidas son por lo regular en pulgadas; y las pulgadas pertenecen al sistema inglés. Es muy probable que tú hayas utilizado alguna herramienta como las que mencionamos y sabes que las medidas son en pulgadas. Sabes a qué nos referimos cuando decimos “pásame la de media”, o la de un cuarto, o la de tres cuartos. Esto significa que queremos, por ejemplo, que nos pasen la llave de media pulgada, la de un cuarto o la de tres cuartos de pulgada. El sistema inglés es utilizado principalmente en Estados Unidos de Norte América y Gran Bretaña (Inglaterra). Pero estas medidas tienen una equivalencia en otros sistemas, por ejemplo en el métrico decimal, que es el que se utiliza en muchas partes del mundo, por eso también a veces se le llama sistema internacional. Nosotros en México utilizamos el sistema métrico decimal, por esta razón medimos con metros, centímetros, kilómetros, litros, gramos, kilogramos, etc. Entonces, cuando tenemos ante nosotros “una llave de media”, significa que es de media pulgada, y esto tiene una equivalencia en centímetros. Observa lo siguiente: 1 pulgada = 2.54 centímetros, entonces ¿media pulgada cuantos centímetros son? Por pura lógica o sentido común dividimos entre dos la cantidad de centímetros que le corresponden a 1 pulgada: 2.54 centímetros ÷ 2 = 1.27 centímetros. Pero vamos a analizarlo, a hacerlo de forma analítica porque es importante recordarlo. Habrá ejemplos donde costará más trabajo hacerlo mentalmente y con el riesgo de equivocarnos, por eso la importancia de repasar la forma de obtener medidas equivalentes. Entonces tenemos que: 1 pulgada = 2.54 centímetros, ¿media pulgada a cuantos centímetros equivalen? Puedo aplicar regla de tres: 1 pulgada – 2.54 centímetros ½ pulgada ¿ Luego:

1 × 2.54 = 2.54 = 1.27 ÷ 1 = 1.27 centímetros. 2 2

¿Sabes cuántos centímetros tiene la llave o la boca de tres cuartos?

1 pulgada – 2.54 centímetros ¾ pulgada ¿ Luego:

3 × 2.54 = 7.62 = 1.905 ÷ 1 = 1.905 centímetros. 4 4

¿Y una pulgada y media? 1 pulgada – 2.54 centímetros 1 ½ pulgada ¿ Luego:

1 ½ = 3 × 2.54 = 7.62 = 3.81 ÷ 1 = 3.81 centímetros. 2 2

Ahora observa lo siguiente: ½ pulgada × 2.54 centímetros × 1 metro = 0.5 × 2.54 × 1 = 1.27 = 0.0127 metros 1 pulgada 100 centímetros 1 × 100 100 En el ejemplo anterior, media pulgada la convertimos a metros. Este recurso es muy importante y puede ser utilizado cuando no podamos realizar conversiones directamente con la regla de tres. Veamos otro ejemplo. Convertir 660 gramos a su equivalente a toneladas. Entonces: 660 gramos × 1 kilogramo × 1 tonelada = 660 = 0.00066 toneladas 1,000 gramos 1,000 kilogramos 1´000,000 0.00066 toneladas también pueden escribirse en forma de notación científica: 66 × 10‾ 5, se lee sesenta y seis por diez a la menos cinco. Es a la menos cinco porque la cantidad contiene cinco centésimas o números decimales. Entonces, cuando se nos presente una conversión compleja donde tengamos que hacer tres o más operaciones y no sea posible aplicar solo la regla de tres, tendremos que aplicar el método de eliminación directa, que podemos resumir en los siguientes pasos: 1) Colocamos la cantidad y las unidades de lo que queremos convertir. 2) Planteamos las respectivas equivalencias en forma de multiplicación y de manera tal que las unidades puedan ser eliminadas directamente, es decir, se colocan de manera inversa. 3) Resolvemos las multiplicaciones. 4) Eliminamos directamente las unidades inversamente proporcionales. A continuación presentamos algunas medidas equivalentes importantes que servirán como base para que hagas diferentes tipos de cálculos. En algunas comunidades indígenas tienen las siguientes medidas equivalentes, depende el tamaño de la medida o el recipiente: 1 medida de maíz = 3 litros de maíz 38

1 medida de maíz = 5 litros de maíz 20 medidas de maíz = 1 etólitro Del sistema métrico decimal: 1 centímetro = 10 milímetros 1 metro = 100 centímetros 1 kilómetro = 1,000 metros 1 hectárea = 100 metros cuadrados = 100 × 100 metros 1 kilogramo = 1,000 gramos 1 tonelada = 1,000 kilogramos 1 litro = 1,000 centímetros cúbicos Del sistema inglés: 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 pie = 30.48 centímetros 1 milla = 1,609 kilómetros 1 libra = 454 gramos 1 galón = 3.785 litros Otras medidas equivalentes importantes a considerar: 1 minuto = 60 segundos 1 hora = 60 minutos 1 día = 24 horas

Actividad. Toma un recipiente donde mides las medidas de maíz. Llénalo de un tipo de maíz. Ahora vacíalo en una bolsa de plástico y pésalo en una báscula. ¿Cuánto pesó 1 medida del tipo de maíz que pesaste? Escribe tus medidas equivalentes: 1 medida de maíz del tipo a = ¿ kilogramos o gramos aproximadamente. Ahora haz lo mismo con otro tipo de maíz. ¿Pesó lo mismo? Escribe tu resultado: 1 medida de maíz del tipo b = ¿ kilogramos o gramos aproximadamente. Si los tienes y usas, haz lo mismo con otros recipientes donde mides medidas de maíz y saca los resultados equivalentes correspondientes. Escríbelo todo. Ahora toma un recipiente donde mides los litros de maíz. Llénalo del maíz tipo a y vacíalo en una bolsa de plástico. Pésalo en una báscula y escribe el valor equivalente en gramos o kilogramos. Haz lo mismo con el maíz tipo b.

Resuelve. Genaro quiere vender maíz a la tienda del pueblo. Tiene 16 medidas de maíz del tipo a que calculaste en la actividad. Pero en la tienda venden el maíz en bolsas de a kilo. ¿Cuántas bolsas de a kilo alcanza sacar Genaro de las 16 medidas de maíz del tipo a? A Pedro le dejaron de tarea calcular cuántos gramos pesa un litro ½ de maíz tipo a. Ayúdale a sacar el valor equivalente.

Calcula cuánto pesan 20 medidas de maíz tipo a en kilogramos. Después saca su equivalente en toneladas. La comunidad piensa guardar dos toneladas de maíz del que no alcanzan a utilizar para consumo, como medida de prevención para tener reservas para el próximo año. ¿A cuántas medidas o etólitros equivalen las dos toneladas de maíz tipo a? María estudia nutrición y quiere saber cuánto consume su familia de maíz a la semana. Pero en la escuela le piden los datos en kilogramos. Ayúdale a calcular cuántas medidas de maíz consume su familia a la semana y cuál es su equivalencia en kilogramos. María quiere dar los datos del maíz tipo a y del tipo b. Un estadounidense viajó a tu comunidad y quiere llevar maíz del tipo a. Pero en el avión sólo le permiten subir 2 libras de maíz. Le vas a pedir a tu abuelito el maíz que se llevará el estadounidense, pero sólo sabe darte medidas de maíz ¿Qué cantidad de medidas de maíz le vas a pedir aproximadamente a tu abuelito? Si es necesario puedes utilizar quebrados. Celso utilizó 4 medidas de maíz para sembrar una hectárea. ¿Cuántas medidas necesita para sembrar tres hectáreas y media? ¿A cuántos kilogramos de maíz equivalen la cantidad de medidas que va a sembrar en las tres hectáreas y media?

3- Operaciones algebraicas básicas: suma, resta, multiplicación, división. Como lo vimos en el capítulo de Aritmética, las operaciones básicas o fundamentales son la suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia. En el álgebra, las operaciones básicas o fundamentales son las mismas. Pero a nosotros, en este apartado solo nos interesan las cuatro primeras: suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. Las operaciones básicas o fundamentales en álgebra tienen el mismo principio para resolverse que en aritmética, y haber revisado procedimientos aritméticos y algebraicos en temas anteriores, facilitarán la comprensión de las variantes en la resolución de estas interesantes operaciones. Comencemos recordando que el monomio es la expresión algebraica que tiene un solo término, y el polinomio es la expresión algebraica que tiene dos o más términos. Y en forma general debemos entender que el término es la expresión que tiene uno o varios números y letras combinadas. Las literales son las letras, y los grados la potencia que expresan los exponentes. Este es un ejemplo de un monomio: Este de un polinomio:

3x²y 2x² + 6y² + 9xy

En la suma de monomios y polinomios debemos considerar el principio de la suma algebraica, es decir, tomar en consideración que los términos pueden tener valores positivos

o negativos para poder sumar o restar sus valores absolutos y dejar el signo del término con mayor valor numérico. Para sumar monomios y polinomios debemos considerar los siguientes pasos: 1) Acomodar los términos semejantes por literales y grados. 2) Realizar la suma algebraica, considerando valores absolutos y signos de los términos. Ejemplo: Sumar 12x² - 6xy + y, a –6x², o lo podemos escribir así (12x² - 6xy + y) + (–6x²) = Se recomienda colocar arriba alguno de los polinomios más grandes para tener mayor claridad en la suma, entonces: 12x² - 6xy + y –6x² 6x² - 6xy + y

+ =

Otro ejemplo: sumar (10x³ + 7x² - 15x²y) + (6x²y) + (5x³ - 2x²y – 8y) = Entonces:

10x³ + 7x² - 15x²y + 6x²y 5x³ - 2x²y – 8y = 15x³ + 7x² - 11x²y – 8y

La resta de monomios y polinomios es muy parecida a la suma, la única diferencia es que debemos aplicar la ley de los signos en los términos que se van a restar. En la resta tenemos que respetar el orden en que nos indican la resta o sustracción, es decir, aquí no podemos acomodar los monomios y polinomios como queramos, sino como nos lo indican. Por ejemplo, restar –10x³y² + 4y, a 6x³y² + 18x³y – y, o lo podemos escribir así (6x³y² + 18x³y – y) – (–10x³y² + 4y), entonces:

por tanto es igual a

6x³y² + 18x³y – y 10x³y² - 4y = (después de aplicar ley de los signos) 16x³y² + 18x³y – 5y

Otro ejemplo: restar (42xy² - 13xy + 2y) – (25x²y + 20xy² - 9xy + 2y) = Entonces:

42xy² - 13xy + 2y - 25x²y - 20xy² + 9xy - 2y = - 25x²y + 22xy² - 4xy 0

Entones para restar monomios y polinomios debemos seguir los siguientes pasos: 1) Acomodar los términos semejantes por literales y grados. 2) Cambiar los signos a los términos que queremos restar o sustraer por aplicación de ley de los signos. 3) Realizar la suma algebraica, considerando valores absolutos y signos de los términos. 41

Si observas con detenimiento, la suma y la resta son en realidad reducciones de términos semejantes. En la multiplicación de monomios y polinomios, al igual que en la suma, es recomendable acomodar el polinomio más grande arriba y el monomio o polinomio más pequeño abajo, esto es sugerido para tener mayor claridad en la suma que vayamos a realizar. Veamos el siguiente ejemplo: 2x + 4 × x = 2x² + 4x La multiplicación anterior es equivalente a si se presentara de esta manera: (2x + 4) (x) Es posible que cuando la multiplicación se presente con paréntesis pueda ser resuelta de manera directa sin acomodar los factores porque uno de ellos es un monomio. El problema se complica cuando la multiplicación tiene polinomios, como el siguiente: (3x + 6y – 5) (x + 8) Entonces será necesario acomodar la multiplicación como lo hacemos en aritmética para disminuir la posibilidad de equivocarnos y tener mayor claridad al obtener el resultado: 3x + 6y – 5 × x+8 = 24x + 48y – 40 3x² + 6xy – 5x = 3x² + 6xy + 19x + 48y – 40 Tal vez quieras realizar de manera directa la multiplicación, término por término de cada uno de los factores, y aunque pueda resultar más largo el procedimiento, aquí presentamos la manera de obtener el resultado. Tenemos entonces que multiplicando uno por uno los términos del primer factor por todos los términos del segundo factor y respetando la ley de los signos queda así: (3x + 6y – 5) (x + 8) = 3x² + 24x + 6xy + 48y – 5x – 40 Haciendo sumas y restas de números positivos y negativos o reducción de términos semejantes, resaltados en la expresión anterior, obtenemos el resultado final: (3x + 6y – 5) (x + 8) = 3x² + 6xy + 19x + 48y – 40 Si la multiplicación de monomios y polinomios no es muy complicada, puedes resolverla directamente para luego hacer reducción de términos sumando y restando. Si la multiplicación es complicada puedes seguir los siguientes pasos:

1) Acomodar factores como en la multiplicación aritmética, arriba el factor con más términos, abajo el factor con menos términos. 2) Multiplicar término por término y acomodar los productos como en la suma de monomios y polinomios, es decir, por términos semejantes en literales y potencias. 3) Efectuar la suma algebraica. La división de monomios y polinomios puede tener por lo menos dos presentaciones: la que conocemos como la división con la casita, o la que se presenta en forma fraccionaria. A nosotros nos interesa más la segunda, pero veremos también la primera para fines de comprensión del principio de la división algebraica. Observemos la siguiente división: 4x³ + 2x² - x ÷ x La división presentada con la casita se resuelve así: 4x² x | 4x³ + 2x² - x - 4x³ = 0 + 2x² – x Luego: 4x² + 2x x | 4x³ + 2x² - x - 4x³ = 0 + 2x² – x - 2x² = 0 -x

Finalmente: 4x² + 2x - 1 x | 4x³ + 2x² - x - 4x³ = 0 + 2x² – x - 2x² = 0 -x +x= 0 Si observas, es muy parecida a la división aritmética, en la que hay puros números. En la división algebraica debemos considerar a cada término como si fuera cada número en la división aritmética. Por eso fuimos tomando uno por uno los términos del dividendo (lo que está dentro de la casita), porque en el divisor (lo que está fuera de la casita) solo había un término, la x. Pero lo más importante, y seguro lo notaste, es que cuando ponemos el 43

resultado de la multiplicación de los términos de los factores del cociente (lo que está arriba de la casita) y el divisor, el signo cambia. Esto se debe a que en la división tenemos que ir restando los resultados que vamos obteniendo de las multiplicaciones, y como vimos en la resta algebraica, el sustraendo o lo que se va a restar tiene que cambiar de signo porque se aplica la ley de los signos, o sea que el resultado de la multiplicación viene con un signo pero al aplicar la ley de los signos para restar, el signo cambia. Baldor nos sugiere seguir los siguientes pasos: 1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. 3) Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. 5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. 6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Veamos otro ejemplo, dividir 3x² + 2x – 8 entre x + 2, entonces: 3x x + 2 | 3x² + 2x – 8 - 3x² - 6x = 0 - 4x – 8 Luego: 3x – 4 x + 2 | 3x² + 2x – 8 - 3x² - 6x = 0 - 4x – 8 + 4x + 8 = 0 Como ya te habrás percatado, al igual que en la división aritmética, en la división algebraica de monomios y polinomios el resultado no siempre es cero. En ocasiones, el residuo podrá tener uno o varios términos, esto depende del dividendo y del divisor. ¿Pero qué sucede si la división nos la presentan en forma fraccionaria? Observa la primera división que presentamos, pero ahora en forma de quebrado:

4x³ + 2x² - x = x Como la x es común denominador de las tres expresiones que están juntas o contenidas en el numerador, es decir, que la x divide a todas por igual, entonces podemos descomponer la división para poder resolver término por término: 4x³ + 2x² - x = x x x Entonces: 4x³ + 2x² - x = 4x² + 2x - 1 x x x Como lo estamos comprobando, en las divisiones algebraicas en forma de quebrado podremos eliminar directamente los términos del denominador o divisor correspondientes a la potencia de los términos o los términos de los numeradores, siempre y cuando tengan la misma literal, es decir, la misma letra. También es importante reafirmar que no es posible sumar términos con diferente potencia, aunque tengan misma literal. Cuando la división tiene diferentes literales se aplican los mismos principios de las operaciones algebraicas que vimos por separado, de tal manera que, por ejemplo: 8x³y² - 2x²y + xy = 2x²y Evidentemente no podemos sumar y restar los términos del numerador porque sus potencias son distintas, basta con que una sola potencia de las literales sea distinta para no poder hacerlo, entonces descomponemos la división en quebrados utilizando el mismo denominador: 8x³y² - 2x²y + xy = 2x²y 2x²y 2x²y Luego eliminamos directamente las potencias y literales respectivas a cada quebrado: 8x³y² - 2x²y + xy = 2x²y 2x²y 2x²y Luego: 8xy - 2 + 1 = 4xy – 1 + 1 2 2 2x 2x Después acomodamos el resultado para obtener una expresión más elegante:

4xy + 1 – 1 2x Tomemos el primer ejemplo de división fraccionaria, pero en vez de tener sumas y restas pongamos multiplicaciones: (4x³) (2x²) (x) = x En este caso no es necesario descomponer en fracciones, solo se tienen que hacer las multiplicaciones en el numerador porque los términos tienen la misma base literal, y se obtendrá una potencia elevada a ^6:

8x^6 = x Luego: 8x^6 = 8x^5 x Tenemos la siguiente división en forma fraccionaria: 81x²yz 9xyz³ Entonces: 81x²yz = 9x 9xyz³ z²

Era necesario que repasaras cómo se resuelven las divisiones algebraicas con el método de la casita, aunque pocas veces lo utilizarás. Será más de utilidad hacer las divisiones fraccionarias con reducciones directas, por los que puedes seguir los siguientes pasos: 1) Fijarte si hay sumas y restas en el numerador de una fracción para hacer las respectivas descomposiciones en otras fracciones. Lo mismo se hace si las sumas y restas están en el denominador. 2) Hacer reducciones directas en potencias y mismas literales. 3) Realizar reacomodos en los términos y operaciones correspondientes, si hay necesidad de ello.

Resuelve las siguientes operaciones algebraicas. Sumar 9x² + 6xy – 12y a –10x² + 8xy + 8y Restar –24x²y² + 15xy – 25x a -30x²y² + 5x 46

(8x + 9y) (x² - y + z) = 5xyz (-7x + 2y) = 9x³y²z² = 3x y³z² 4x(x + y) = x

4- Productos notables, factorización y reducción a mínima expresión. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación (Baldor). Los principales productos notables son el cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio al cuadrado; el cuadrado de la diferencia de dos cantidades, que es el mismo binomio al cuadrado pero con resta; y el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades o binomio conjugado. Como el resultado puede ser escrito por simple inspección, es necesario conocer las reglas que permiten encontrar dicho resultado o producto: 1) Binomio al cuadrado (suma): la regla nos dice que el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad. O sea: (a+b)² ó (a+b) (a+b) = a² + 2ab + b² porque: a+b × a+b = ab + b² a² + ab = a² + 2ab + b² 2) Binomio al cuadrado (resta): la regla indica que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad. (a-b)² ó (a-b) (a-b) = a² - 2ab + b²

porque:

a-b × a-b = - ab + b² a² - ab = a² - 2ab + b²

3) Binomio conjugado: la regla dice que el producto de la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad. (a+b) (a-b) = a² – b² porque: a+b × a-b = - ab – b² a² + ab a² - b²

Si el binomio conjugado comienza con la diferencia o la resta de dos cantidades para ser multiplicada por la suma de dos cantidades, (a-b) (a+b), la solución es la misma porque al hacer la multiplicación obtienes el mismo resultado. Conociendo cuáles son los principales productos notables, te será más fácil comprender el método de la factorización. La factorización es una operación que consiste en descomponer una expresión matemática o algebraica, en dos factores, tales que al multiplicarse den por resultado la expresión original (Parra Cabrera). En la factorización o descomposición factorial hay que ir, por así decirlo, del resultado de la multiplicación o producto hacia atrás. Para factorizar es necesario encontrar los factores que dieron como resultado lo que queremos factorizar. Vale la pena que tengamos como principio lo siguiente: si multiplicamos (3x+2) (x), el resultado es: 3x² + 2x 3x+2 × x= 3x² + 2x Entonces, si nos dicen que factoricemos la expresión 3x² + 2x, tenemos que encontrar sus factores, las expresiones que multiplicadas entre sí nos den el resultado 3x² + 2x. Por tanto, por la comprobación anterior sabemos que los factores de 3x² + 2x son 3x+2 y x: 3x² + 2x = x (3x+2) Si nos piden que factoricemos 12x² + 16xy, el resultado es 4x (3x + 4y) porque: 3x + 4y × 4x = 12x² + 16xy ó 12x² + 16xy = 4x (3x + 4y) Existen varios tipos de factorización, y algunos están relacionados con los productos notables. Podemos clasificarlo como a continuación: 48

1) Factor común: es una expresión que no tiene un determinado número de términos; su característica principal es que acepta un máximo común divisor diferente de 1. Este corresponde al factor común. Posteriormente se divide la expresión original entre el factor común colocando su resultado dentro de un paréntesis y a la derecha del factor común (Parra Cabrera). Cuando la factorización es por factor común, no es necesario poner el primer factor entre paréntesis porque se entiende que lo de afuera del paréntesis multiplica a lo de adentro. Por ejemplo: 8x²y² + 16xy² = 8xy² (x + 2) 2) Diferencia de cuadrados: es una expresión algebraica formada solamente por dos términos, separados entre sí por el signo menos y con la única condición de que cada término acepte la raíz cuadrada. Su factorización la forman dos binomios conjugados cuyos términos corresponden a las raíces de los términos que forman la diferencia de cuadrados (Parra Cabrera). Obsérvese el ejemplo: x² – z² = (x + z) (x - z) 3) Trinomio cuadrado perfecto: de los tres términos ordenados que lo forman, el primero y el tercero deben aceptar la raíz cuadrada y, además, el doble producto de esas raíces debe ser igual al segundo término. Su factorización se expresa como un binomio al cuadrado cuyos términos son las raíces de los términos primero y tercero, y separados por el signo del segundo término (Parra Cabrera). La definición anterior nos da la respuesta de cómo factorizar: a² + 2ab + b² = (a+b) (a+b) del binomio al cuadrado (a+b)² 4a² - 12a + 9 = (2a - 3) (2a - 3) del binomio al cuadrado (2a - 3)² Tanto los productos notables como la factorización, son reglas matemáticas que sirven como recursos para resolver ejercicios algebraicos. De hecho, llevar la factorización a producto notable o a su modo de descomposición factorial es una manera de llevar una expresión algebraica a su forma más simple, a este camino o método se le llama reducir a mínima expresión. La mínima expresión es la forma más pequeña y práctica a la que se puede llevar una expresión algebraica. Una ventaja de llevar cierta expresión algebraica a la mínima expresión es que se nos presenta con mayor claridad y podemos hacer operaciones con más facilidad. Es común que sean los resultados finales los que se sugiera llevar a la mínima expresión, aunque es recomendable hacerlo siempre que se pueda, sobre todo cuando estamos resolviendo ecuaciones o expresiones algebraicas muy largas. Resuelve los siguientes ejercicios algebraicos. (3x + y)² = (x – 6y)² = (2x + 4y) (2x – 4y) = Factoriza: 10x³ - 20x² + 5x = 49

64xy + 8y = 36x² - 25y² = 81x² + 54xy + 9y² =

5- Ecuaciones de primer grado con misma incógnita: resolución y despejes. Este tema es de muchísima importancia. La resolución de ecuaciones es uno de los métodos más importantes del álgebra y las matemáticas, y por tanto, cuando el método no es comprendido, es una de las razones por las cuales los estudiantes no pueden avanzar en la comprensión y estudio de temas más complejos de las matemáticas y las ciencias que utilizan sus métodos. Una ecuación es una igualdad que contiene una o varias incógnitas, y cuando es de primer grado significa que sus variables o incógnitas están elevadas a la potencia 1, por ejemplo cuando simplemente se nos presentan de la siguiente manera: x, y, z, w, a, b, c, d... Un ejemplo de ecuación de primer grado es la siguiente: x + 3 = 15 Podemos resolver lógica y mentalmente la ecuación anterior si pensamos que la incógnita debe valer 12 porque si sumo 12 + 3 = 15. Y es correcto. El problema surge cuando las ecuaciones son más complejas y no podemos resolverlas mentalmente, entonces debemos resolverlas analíticamente, hacer la comprobación. Para comprender mejor qué es una ecuación, podemos resolverla analíticamente y ver qué es lo que realmente sucede en el proceso de resolución. Tomemos como ejemplo la ecuación anterior: x + 3 = 15 Entonces, lo que queremos al resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita. Para lograr esto es necesario eliminar todos los valores numéricos que estorban a la incógnita respetando la igualdad entre los dos miembros de la ecuación, o sea los dos lados de la igualdad. En este caso será restando la cantidad de 3 a cada lado y resolvemos: x + 3 - 3 = 15 - 3 luego

x = 12

Lo que viste con anterioridad es el principio de la resolución de las ecuaciones. Si lo piensas de esa manera será muy fácil para ti resolverlas. Hay veces en que primero tenemos que hacer algunos acomodos en las ecuaciones más complejas, en estos casos, a parte de hacerlo, también es recomendable realizar las operaciones directamente para no tardar tanto tiempo en resolver la ecuación. Para esto utilizamos el método directo conocido como despeje con la operación contraria. Si tenemos:

x + 3 = 15 Y tenemos que despejar la x porque es la incógnita que queremos conocer, entonces el valor numérico 3 que estorba pasa al otro lado de la ecuación con su operación contraria, es decir, si el 3 está sumando, pasa al otro lado restando: x + 3 = 15 x = 15 - 3 luego

x = 12

Veamos el siguiente ejemplo: y + 2y - 5 = 19 entonces

3y = 19 + 5 3y = 24 y = 24 3 y=8

Recuerda que las operaciones contrarias son las siguientes:  De la suma es la resta.  De la resta es la suma.  De la multiplicación es la división.  De la división es la multiplicación.  De la raíz es la potencia.  De la potencia es la raíz.

Y para resolver cualquier ecuación podemos seguir de forma general los siguientes pasos: 1) Quitar paréntesis, corchetes y llaves. Si hay estos signos de agrupamiento, primero debemos quitarlos resolviendo las operaciones correspondientes y aplicando la ley de los signos. En ocasiones es necesario hacer operaciones dentro de los paréntesis, siempre y cuando pertenezcan a la misma especie de números: sólo aritméticos, o sólo algebraicos. 2) Acomodar los términos. Pasar en lo posible todos los valores numéricos al segundo miembro de la ecuación y todos los valores algebraicos al primer miembro de la ecuación con las respectivas operaciones contrarias, si es que lo requiere. En ocasiones hay que ir resolviendo operaciones o cambiando valores de lugar para concretar este primer paso. 3) Realizar operaciones. Resolver las operaciones que vaya permitiendo la ecuación mientras se va despejando la incógnita; pueden ser sumas; restas; multiplicaciones; divisiones; resolver paréntesis; corchetes; llaves; potencias; etc.

4) Despejar la incógnita. Dejar solo el valor algebraico resolviendo alguna operación y despejando la incógnita quitando el valor o valores numéricos pasándolos al otro lado con operación contraria y con respectivos signos si es multiplicación y división. 5) Encontrar el valor de la incógnita. Resolver las operaciones que hagan falta. Veamos otro ejemplo: x + 8 = 10x – 4 entonces, acomodamos los términos:

x – 10x = - 4 – 8

ahora realizamos operaciones:

-9x = -12

luego despejamos la incógnita:

x = -12 -9

aplicando ley de los signos, encontramos el valor de la incógnita:

x = 12 9

reduciendo la fracción a mínima expresión queda:

x=4 3

Un ejemplo con paréntesis: 17x +2(4 – 6x + 3x) = 2x –(3 - 2) puedo resolver operaciones dentro de paréntesis:

17x +2(4 – 3x) = 2x –(+1)

quito paréntesis con operaciones y respetando ley de los signos:

17x + 8 – 6x = 2x – 1

acomodo términos con operaciones contrarias:

17x - 6x - 2x = – 1 – 8 9x = – 9

realizo operaciones: despejo la incógnita con operaciones contrarias:

x=-9 9

el valor de x es negativo:

x=-1

1 1 3

¿Te das cuenta de que si ponemos atención y seguimos los pasos sugeridos, la resolución de ecuaciones y cualquier tipo de operaciones matemáticas –aritméticas y algebraicas- es muy sencilla? ¡Ahora vamos a resolver un problema con ecuaciones! La suma de dos números da sesenta y ocho, uno de ellos es mayor que el otro seis unidades. Encuentra los números. Aquí tenemos que resolver el problema mediante una ecuación porque hay datos que no conocemos, y la única manera de representarlos es de forma algebraica. Tenemos que estar muy atentos y fijarnos muy bien en los datos que nos dan, y valorar si son suficientes para poder plantear el problema..., leemos dos veces el problema..., detenidamente..., entonces planteamos con una ecuación: La suma de dos números da sesenta y ocho...: Uno de ellos es mayor que el otro seis unidades...: Encuentra los números... entonces:

x + x = 68 x +(x + 6) = 68

x +(x + 6) = 68 x + x + 6 = 68 2x + 6 = 68 2x = 68 – 6 2x = 62 x = 62 2 x = 31 De acuerdo con el problema, un número es: el otro número, seis unidades mayor es: entonces, por el resultado de la ecuación: y sustituyendo para encontrar el otro número:

x x+6=¿ x = 31 31 + 6 = 37

Por tanto, mis dos números buscados son el 31 y el 37, que sumados dan 68.

Luego sustituyendo en la ecuación comprobamos la igualdad:

x +(x + 6) = 68 31 + (31 + 6) = 68 31 + 37 = 68 68 = 68

Los matemáticos Rees y Sparks recomiendan los siguientes pasos para solucionar problemas que requieren alguna ecuación: 1) Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea.

2) Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3) Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla mediante una letra, generalmente x. Después, expresar las otras cantidades desconocidas en términos de esta letra. 4) Buscar en el problema los datos que indiquen qué cantidades o combinaciones de éstas son iguales. 5) Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior. 6) Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución. Para resolver problemas y ejercicios matemáticos es necesaria mucha práctica. Es muy raro que haya problemas o ejercicios que se resuelvan de la misma manera, por eso es necesario que el alumno desarrolle destreza resolviendo muchos ejercicios y problemas. Estamos acostumbrados a aplicar fórmulas sin saber qué representan o qué significan sus variables e incógnitas, un ejemplo de ello es la aplicación de la fórmula correspondiente a problemas de velocidad. ¿Recuerdas cuál es la fórmula de velocidad? La fórmula de la velocidad constante tiene tres elementos: V=d/t

V=d t

Donde V es la velocidad, d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que es recorrida la distancia. De tal manera que la velocidad V está en función de lo que suceda con la distancia d en un tiempo determinado t. También podemos decir que la velocidad V es igual o equivalente al valor del cociente resultante de la distancia d entre el tiempo t. Conociendo datos podemos encontrar cualquiera de las variables o incógnitas. La importancia de revisar este tema radica en la necesidad de aplicar fórmulas adecuadamente y comprender el papel de los elementos que lo constituyen, de esta manera podremos buscar cualquier incógnita o dato aplicando solamente la técnica del despeje de una ecuación. Tenemos la fórmula de la velocidad: V=d t Si queremos conocer la distancia, tenemos que despejar la d, de preferencia que quede del lado izquierdo; entonces primero acomodamos antes de despejar. En las ecuaciones podemos cambiar todos los términos del primer miembro al segundo miembro de la ecuación, y todos los del segundo al primero sin alterar signos y operaciones: d=V t Luego: d = V(t) 54

Y para despejar la t del tiempo hacemos lo siguiente a partir de la ecuación original de la velocidad: V=d t Luego: V(t) = d Y finalmente: t=d V

Veamos algunos problemas: Un automóvil viajó 80 km. en 45 minutos. ¿cuál habrá sido la velocidad promedio del automóvil? (En kilómetros por hora). Este problema lo podemos resolver de dos maneras. Una convirtiendo los minutos a horas; la otra utilizando una frase coloquial pero donde la fracción mencionada corresponde a su equivalente en horas. Resolveremos el problema por los dos caminos. Por medio de la conversión o equivalencia de unidades hacemos lo siguiente: 1 hora ¿

- 60 minutos - 45 minutos

Realizando las operaciones correspondientes en la regla de tres concluimos que 45 minutos = 0.75 horas, luego: V=d t V = 80 km. 0.75 hrs. V = 106.6 km./hr. Lo que es lo mismo a decir 106.6 kilómetros por hora o en cada hora. Sabemos que cuando decimos 45 minutos también es común decir que son “tres cuartos de hora”; entonces si queremos resolver el problema por el otro camino: V = 80 km. ¾ hr.

Disponemos los datos de manera que podamos realizar las operaciones mediante lo que coloquialmente conocemos como “la tortilla”, multiplicando los valores de los extremos y los internos: 80 V= 1 3 4

km. hr.

V = 320 km. 3 hr. V = 106.6 km./hr.

Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. En el álgebra se utilizan letras en vez de números, ¿conoces otra manera de representar números o cosas que no sea con letras y que utilices para resolver problemas matemáticos? 2. ¿Has utilizado las ecuaciones en la vida diaria para resolver algún problema matemático?, ¿cómo?

Resuelve los siguientes ejercicios. Despeja la incógnita: 3x + x = 12 y –5y = 20 4x + 6 = -2x 12y – 4y + 8 = -4y +10 x (6 + 20) – 8 = -4x + 2 7z +28z – 5z = 8 – 6z

Resuelve. Gaudencio tiene cierta cantidad de maíz, y Rosendo dice que tiene el triple de la cantidad de Gaudencio. Entre ambos suman 12 medidas. ¿Cuántas medidas de maíz tiene cada uno? El presupuesto de un proyecto que asciende a $15,000.00 se dividió en gastos fijos y gastos variables. Los gastos variables son el doble que los gastos fijos. ¿Cuánto dinero corresponde a cada tipo de gasto? La tienda de Chonita tuvo ganancias netas de $1,200.00 en la semana. Decidió dividirlas en dos partes, la reinversión y el ahorro, que corresponde a la quinta parte de la reinversión. ¿Qué cantidad le corresponde a cada parte?

José compró para su aseo personal, jabón, gel y pasta de dientes. La pasta de dientes le costó $9.00 más que el jabón y $15.00 menos que el gel. ¿Cuánto costó cada artículo si el gasto total fue de $48.00? Lucía mandó a su hijo a comprar tres artículos a la tienda con $100.00 pesos. El niño llegó con $15.00 de cambio. Un artículo costó el triple que otro, y el tercero la diferencia de esos dos. ¿Cuánto costó cada artículo?

6- Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: método de reducción, sustitución e igualación. Dos o más ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas reciben el nombre de sistema de ecuaciones lineales y pueden tener una solución común. Cuando ese es el caso reciben el nombre de ecuaciones simultáneas. Por lo general, dos ecuaciones simultáneas serán satisfechas por sólo un par de valores (Rees, Sparks). Este par de valores vienen normalmente representados por la x y la y, pero también veremos en ocasiones la w y z. Las ecuaciones simultáneas requieren de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, a diferencia de lo que vimos en el apartado anterior con ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los términos que contienen incógnitas distintas no deben estar multiplicándose ni dividiéndose, solo podrán estar sumando y restando. Existen cinco métodos de resolución: eliminación o reducción, sustitución, igualación, gráfico y determinantes. Nosotros veremos únicamente los primeros cuatro, y esto servirá para practicar la aplicación de reglas matemáticas y algebraicas indispensables para que obtengas habilidad y destreza matemática. El sistema de tres ecuaciones simultáneas con dos y tres incógnitas no será necesario repasarlo en este momento, aunque es recomendable que des un vistazo en algún libro de álgebra.

Método por eliminación. También es conocido como método de suma y resta algebraica, o reducción. Tiene el propósito de buscar que dos mismas incógnitas de las dos ecuaciones tengan el mismo valor numérico, pero con signo contrario, uno positivo y otro con negativo para poder eliminarlas, o que su resultado sea cero. Veamos la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 15 + 6x – 3y = 1 8x 0 = 16 8x = 16 x = 16 8 x=2 Luego de encontrar el valor de la incógnita x debemos encontrar el de y sustituyendo en la ecuación más sencilla de mi sistema de ecuaciones y despejamos y para encontrar su valor: 57

2(2) + 3y = 15 4 + 3y = 15 3y = 15 – 4 3y = 11 y = 11 3 ó y=3 2 3 Después volvemos a sustituir en la ecuación más sencilla de nuestro sistema de ecuaciones, pero ahora los dos valores que encontramos x y y, para comprobar la igualdad en la ecuación. Si nos resulta la igualdad significa que los valores de x y y que encontramos son los correctos. Es recomendable dejar fracciones impropias en vez de números mixtos para facilitar las operaciones:

2(2) + 3(11) = 15 3 4 + 33 = 15 3 4 + 11 = 15 15 = 15 El anterior es un ejemplo muy sencillo donde pudimos eliminar de inmediato la incógnita y, porque tenían mismo valor numérico, el 3, y diferente signo. Ahora veamos otro ejemplo con una pequeña variante: 2x + 4y = 12 + 2x + 10y = 3 En este caso no podemos eliminar directamente porque todos tienen signos positivos aunque la x tenga el mismo valor numérico 2, entonces tenemos que buscar eliminar la x cambiando a una ecuación sus signos, esto se hace multiplicando toda la ecuación por -1: 2x + 4y = 12 (-1) 2x + 10y = 3 Entonces con mi nueva ecuación con signos cambiados, es nuevo sistema de ecuaciones y su resolución quedan así: - 2x - 4y = -12 + 2x + 10y = 3 0 + 6y = -9 y = -9 6

Para encontrar x sustituimos en y de la ecuación original más sencilla: 2x + 4(-9) = 12 6 2x – 36 = 12 6 2x – 6 = 12 2x = 12 + 6 2x = 18 x = 18 2 x=9 Ahora comprobamos la igualdad sustituyendo los valores en la ecuación original más sencilla: 2x + 4y = 12 2(9) + 4(-9) = 12 6 18 – 36 = 12 6 18 – 6 = 12 12 = 12 El siguiente ejemplo tiene otra variante en el método de eliminación. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 4x + 5y = 7 + -2x + 6y = 8 En este caso tendremos que multiplicar por un valor numérico una de las ecuaciones para buscar la eliminación de una de las incógnitas porque los valores numéricos que acompañan a las incógnitas no son iguales. Si observas, nos conviene multiplicar la segunda ecuación por 2 positivo para que el valor de x de la primera ecuación sea el mismo que el de la primera ecuación pero con signo contrario. Entonces: 4x + 5y = 7 -2x + 6y = 8 (2) Y la resolución quedaría así: 4x + 5y = 7 + -4x + 12y = 16 0 17y = 23 y = 23 17

Aunque el resultado pueda parecernos extraño, como el anterior con dos números primos, continuamos con la búsqueda de incógnitas y comprobación. Para encontrar la x en nuestro sistema, sustituimos en y en la ecuación original que nos parezca más sencilla, observa el interesante caso que tenemos para su resolución, paso por paso: 4x + 5(23) = 7 17 4x + 115 = 7 17 4x = 7 – 115 17 4x = 119 – 115 17 4x = 4 17 x= 4 17(4) x= 4 68 x= 1 17

reducimos sacando cuarta o dividimos entre 4 en numerado y denominador

Ahora comprobamos la igualdad en la ecuación original que nos parezca más sencilla: 4(1) + 5(23) = 7 17 17 4 + 115 = 7 17 17 119 = 7 17 7=7 Un último caso que podría presentársenos al utilizar el método de reducción es el siguiente; observa cuidadosamente el siguiente sistema de ecuaciones: -6x + 3y = 2 + -5x + 4y = 1 En este sistema de ecuaciones no coinciden valores numéricos ni signos contrarios para poder eliminar, entonces debemos aplicar todo lo que sabemos del método de reducción para resolverlo. Es más fácil eliminar las y porque tienen números más pequeños; entonces debemos multiplicar las dos ecuaciones por sus números recíprocos para que nos den como resultado números iguales, y uno de ellos con signo negativo: -6x + 3y = 2 (-4) 60

-5x + 4y = 1 (3) Entonces: 24x - 12y = -8 + -15x + 12y = 3 9x 0 = -5 x = -5 9 Buscamos y: -5(-5) + 4y = 1 9 25 + 4y = 1 9 4y = 1 – 25 9 4y = 9 – 25 9 4y = -16 9 y = -16 9(4) y = -16 36 y = -4 9

sacando cuarta en numerador y denominador

Finalmente comprobamos: -5(-5) + 4(-4) = 1 9 9 25 – 16 = 1 9 9 9=1 9 1=1 Entonces, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación o reducción sugerimos los siguientes pasos: 1) Observar si puedo eliminar o reducir a cero alguna de las incógnitas realizando la suma y resta algebraica de forma directa. 2) Si es necesario, multiplicar alguna de las ecuaciones por –1 para cambiar los signos de los términos de dicha ecuación y poder eliminar la incógnita correspondiente con la ecuación con la que hace sistema. 61

3) Si es necesario, multiplicar alguna de las ecuaciones por algún número que permita igualar el valor numérico en una de las incógnitas de las dos ecuaciones para poder eliminarlas. 4) Si es necesario, aplicar los anteriores pasos 2 y 3 de forma combinada para poder eliminar alguna de las incógnitas en las dos ecuaciones. 5) Obtener el valor de x o de y, según sea el caso, aplicando la suma y resta algebraica y despejando. 6) Buscar la otra incógnita, x o y, sustituyendo la obtenida en la ecuación original que nos parezca más sencilla. 7) Sustituir los valores de x y de y encontrados en la ecuación original que nos parezca más sencilla para comprobar la igualación de la ecuación.

Método por sustitución. Este método es parecido a la comprobación que vimos anteriormente. El propósito es despejar alguna de las incógnitas de las ecuaciones del sistema y sustituirla en la otra ecuación. De esta manera tendremos una ecuación de primer grado con una incógnita y al resolverla obtenemos uno de los valores de una de las incógnitas. Tomaremos como ejemplo el primer sistema de ecuaciones del método de reducción para observar cómo llegamos al mismo resultado pero por otro camino: 2x + 3y = 15 6x – 3y = 1 Entonces escogemos cualquier ecuación, de preferencia la que permita tener en la incógnita un valor positivo, es decir, que en la incógnita despejada no me quede –x o –y; despejamos x: 2x + 3y = 15 2x = 15 –3y x = 15 – 3y 2 Ahora sustituimos la expresión algebraica obtenida de despejar x en la ecuación seleccionada en la x de la otra ecuación que no despejamos, y resolvemos. Observa con detenimiento, paso a paso: 6(15 – 3y) – 3y = 1 2 90 – 18y – 3y = 1 2 90 – 18y – 6y = 1 2 90 – 24y = 1 2 90 – 24y = 1(2) 90 – 24y = 2 -24y = 2 – 90 62

resta de quebrados

-24y = -88 y = -88 -24 y = 11 3

sacando octava y aplicando ley de los signos

Ahora sustituimos el valor de y obtenido en la ecuación del sistema que nos parezca más sencilla para encontrar x: 2x + 3(11) = 15 3 2x + 33 = 15 3 2x + 11 = 15 2x = 15 – 11 2x = 4 x=4 2 x=2 Finalmente comprobamos la igualdad en la ecuación más sencilla del sistema sustituyendo los valores de x y de y obtenidos con nuestro método de sustitución: 2(2) + 3(11) = 15 3 4 + 33 = 15 3 4 + 11 = 15 15 = 15 Otro ejemplo con el método de sustitución: 12x + 8y = 10 4x – 2y = 6 Escojo alguna de las ecuaciones para despejar una incógnita: 4x – 2y = 6 -2y = 6 – 4x y = 6 – 4x -2 La ecuación resultante la sustituyo en la otra ecuación del sistema y resuelvo: 12x + 8(6 – 4x) = 10 -2 63

12x + 48 – 32x = 10 -2 -24x + 48 – 32x = 10 -2 -56x + 48 = 10 -2 -56x + 48 = 10 (-2) -56x + 48 = -20 -56x = -20 - 48 -56x = -68 x = -68 -56 x = 17 14

sacando cuarta y aplicando ley de los signos

Busco la otra incógnita sustituyendo el valor de x en la ecuación más sencilla del sistema de ecuaciones: 4(17) – 2y = 6 14 68 – 2y = 6 14 – 2y = 6 – 68 14 – 2y = 6 – 34 7 – 2y = 42 – 34 7 – 2y = 8 7 y= 8 7(-2) y= 8 -14 y= 4 -7

reduzco para operar mejor sacando mitad

resta de quebrados

sacamos mitad para reducir

Compruebo la igualdad en la ecuación más sencilla de mi sistema:

atención en esta resta de quebrados con un signo negativo en el segundo denominador

4(17) – 2(4) = 6 14 -7 68 – 8 = 6 14 -7 68 + 16 = 6 14 84 = 6 14 64

tomo el común denominador con su respectivo signo luego hago operaciones con respectiva ley de signos

6=6 Para resolver un sistema de dos ecuaciones y con dos incógnitas por el método de sustitución es recomendable seguir los siguientes pasos: 1) Seleccionar una de las dos ecuaciones para despejar cualquiera de las dos incógnitas, x o y. 2) Sustituir la ecuación resultante en la incógnita correspondiente, x o y, de la otra ecuación que no despejamos con el propósito de obtener una nueva ecuación de primer grado con una incógnita. 3) Resolver la nueva ecuación para buscar el valor de la incógnita correspondiente. En este método de sustitución se presentará una suma o resta de quebrados que deberá resolverse con mucho cuidado. 4) Sustituir el valor encontrado de la incógnita x o y, y sustituirlo en una de las dos ecuaciones del sistema, la que nos parezca más sencilla. 5) Comprobar la igualdad y valores correctos de las incógnitas en alguna de las ecuaciones del sistema, la que nos parezca más sencilla, sustituyendo los valores de x y de y encontrados.

Método por igualación. Tiene el propósito de obtener una ecuación de primer grado con una incógnita igualando las dos ecuaciones del sistema previamente despejadas de la misma incógnita. Tomaremos el mismo ejemplo que resolvimos en los métodos de eliminación y sustitución para comprobar que sin importar el método utilizado, los valores de x y de y deben ser los mismos en un sistema de ecuaciones: 2x + 3y = 15 6x – 3y = 1 Ahora despejamos x o y en las dos ecuaciones. Se recomienda la incógnita que no quede con valor negativo. Ahora despejaremos la y: de la primera ecuación

2x + 3y = 15 3y = 15 – 2x y = 15 – 2x 3

de la segunda ecuación

6x – 3y = 1 -3y = 1 – 6x y = 1 – 6x -3

Igualamos las ecuaciones resultantes y resolvemos encontrando la incógnita, observa con cuidado, paso por paso: 15 – 2x = 1 – 6x 3 -3 -3(15 – 2x) = 3(1 – 6x) 65

-45 + 6x = 3 – 18x 6x + 18x = 3 + 45 24x = 48 x = 48 24 x=2 Buscamos ahora el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema utilizando y sustituyendo el valor de x: 2(2) + 3y = 15 4 + 3y = 15 3y = 15 – 4 3y = 11 y = 11 3 Y comprobamos: 2(2) + 3(11) = 15 3 4 + 33 = 15 3 4 + 11 = 15 15 = 15 Otro ejemplo con el método de igualación, observa con detenimiento la resolución: -8x – 10y = 6 6x – 2y = -3 Despejamos las dos ecuaciones, la incógnita que queramos: -8x – 10y = 6 -8x = 6 +10y x = 6 +10y -8 6x – 2y = -3 6x = -3 + 2y x = -3 + 2y 6 Igualamos las ecuaciones resultantes y resolvemos para encontrar la incógnita: 6 +10y = -3 + 2y -8 6 66

6(6 +10y) = -8(-3 + 2y) 36 + 60y = 24 – 16y 60y + 16y = 24 – 36 76y = -12 y = -12 76 y=-3 19

sacando cuarta

Buscamos el valor de x sustituyendo y en la ecuación más sencilla de nuestro sistema: 6x – 2(-3) = -3 19 6x + 6 = -3 19 6x = -3 – 6 19 6x = -57 – 6 19 6x = -63 19 x = -63 19(6) x = -63 114 x = -21 38

sacando tercia

Y comprobamos: 6(-21) – 2(-3) = -3 38 19 -126 + 6 = -3 38 19 -126 + 12 = -3 38 -114 = -3 38 -3 = -3 Muy bien, has seguido con detenimiento la resolución de los sistemas de ecuaciones. Finalmente sugerimos los siguientes pasos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación:

1) Despejar una de las incógnitas, x o y, en las dos ecuaciones del sistema. Tienen que ser las mismas incógnitas. 2) Igualar las dos ecuaciones resultantes formando una nueva ecuación de primer grado con una incógnita. 3) Resolver la nueva ecuación despejando la incógnita x o y, y hacer las operaciones correspondientes. 4) Sustituir el valor encontrado de x o de y en la ecuación más sencilla del sistema para encontrar la otra incógnita. 5) Sustituir las dos incógnitas encontradas en la ecuación más sencilla del sistema para comprobar la igualación y que los valores son correctos.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando libremente los tres métodos: 4x + 6y = 8; -4x + 10y = 4 x + y = -1; x + 2y = 7 -3x – 2y = 5; 4x – 2y = 3 6x + y = 10; 2x – 5y = -20 7x + 9y = 4; -5x + 4y = 2 Resuelve. Un taller comunitario invirtió $6,720.00 para hacer trajes tradicionales con un costo de $375.00 y sombreros de $45.00; si la cantidad de trajes tradicionales y sombreros hechos suman 54, ¿qué cantidad de trajes tradicionales y sombreros fueron hechos respectivamente? En una asamblea participan 1,200 comuneros. Por usos y costumbres, los comuneros con menos tierras productivas aportan $15.00 para realizar fiestas tradicionales, y $30.00 los que tienen más tierras productivas. Juntaron $27, 750. De acuerdo al criterio de los comuneros, ¿cuántos son los que tienen menos tierras y cuántos los que tienen más tierras?

7- Desigualdades o inecuaciones. En apartados anteriores revisamos la ecuación. Recordamos que una ecuación es una igualdad, que tiene dos miembros conformados por términos, cada uno de ellos en lados opuestos separados por el signo igual =, uno del lado izquierdo y otro del lado derecho. En la ecuación, el valor numérico de ambos miembros tiene que ser el mismo. Cuando encontramos los valores de las incógnitas de la ecuación y son sustituidos en ellas, el resultado obtenido de las operaciones de sus términos debe ser igual en ambos miembros. Contrario a la ecuación, la inecuación es una desigualdad.. Es decir, para que sea inecuación debe haber desigualdad en los miembros, en el lado izquierdo y lado derecho. Es indiferente que cualquiera de los dos lados o miembros de una inecuación sea mayor o menor que el otro.

El símbolo de desigualdad es ≠, pero en una inecuación no se utiliza este símbolo. Los símbolos utilizados en la inecuación son el de “mayor que” >, “menor que” <, “mayor o igual que” ≥, y “menor o igual que” ≤. En ocasiones, la desigualdad puede tener valores mayores e iguales, o menores e iguales al mismo tiempo en cada uno de sus miembros. Para comprender mejor esto es necesario dar un vistazo a lo más básico de la teoría de límites, intervalos, y recordar la escala numérica que vimos en el tema leyes de los signos y escala numérica. Si a y b son dos números diferentes, a < b significa que a está situado a la izquierda de b en la escala, mientras que a > b quiere decir que a está a la derecha de b (Ayres). Si a y b son dos números tales que a < b, el conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, recibe el nombre de intervalo abierto de a a b, y se escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene extremos. El intervalo abierto a < x < b junto con sus extremos a y b, recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b, y se escribe a ≤ x ≤ b (Ayres). Un intervalo abierto no contiene los puntos a y b, mientras que un intervalo cerrado sí los contiene, por eso es “menor o igual que” y “mayor o igual que”. Estos intervalos son conocidos también como finitos.

intervalo cerrado: a ≤ x ≤ b

intervalo abierto: a < x < b

Veamos los siguientes ejemplos para comprender lo anterior. Tenemos la siguiente escala numérica: _ + -4

-3

-2

-1

Si tenemos la expresión, -2 < x < 1, significa que el valor de x está entre –2 y 1 sin incluir estos números, es decir, el intervalo para todos los valores de x entre estos números es abierto. Ejemplos de valores de x que cumplan la condición -2 < x < 1 son: - 1.5, - 1, y ½ o 0.5, entre otros. Y si tenemos la expresión –2 ≤ x ≤ 1, significa que el valor de x está entre –2 y 1 incluyendo estos números, es decir, el intervalo para todos los valores de x entre estos números es cerrado. Ejemplos de valores de x que cumplan la condición –2 ≤ x ≤ 1 son: 1.5, - 1, y ½; pero también pueden ser – 2, 1, ¾ o 0.75, ¼ o 0.25, entre otros. A diferencia de los intervalos finitos –abiertos y cerrados-, donde existe un rango de valores para una incógnita, por definición, los intervalos infinitos no tienen rango delimitado.

Sea a un número cualquiera, entonces, el conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x ≤ a, x > a, y x ≥ a (Ayres). Ejemplo de lo anterior es lo siguiente: x > - 4, significa que el valor de x pueden ser todos los números a la derecha del – 4, hasta el infinito. Si tenemos x ≥ 4, el valor de x pueden ser todos los números a la derecha del – 4, pero también puede ser el – 4. Por otro lado, en x < 8, el valor de x pueden ser todos los números a la izquierda del 8, hasta el infinito. Y si tenemos x ≤ 8, el valor de x pueden ser todos los números a la izquierda del 8, pero también puede ser el 8, lo incluye. Ahora bien, si tenemos por ejemplo los números 2 y 4, y debemos indicar su desigualdad, entonces lo correcto es escribir 2 < 4; el dos es menor que cuatro, pero también el 2 está a la izquierda del 4 en la escala numérica. O si tenemos los números –1 y –3, y queremos indicar su desigualdad, entonces debemos escribir –1 > -3, porque –1 está a la derecha que el –3, por tanto –1 es mayor que –3. Para resolver inecuaciones o desigualdades se aplica el mismo método de las ecuaciones, pero tiene algunas variantes cuando con números negativos se multiplica o divide al momento de estar desarrollando la solución. Veamos el siguiente ejemplo: 2x + 6 > x – 1 Entonces resolvemos como cualquier ecuación, despejando para encontrar el valor de la incógnita: 2x + 6 > x – 1 2x - x > – 1 – 6 x>-7 El valor de x de la inecuación anterior debe ser mayor a – 7 para que se cumpla la condición de que 2x + 6 > x – 1, o sea que el valor numérico del primer miembro de la inecuación (el que está a la izquierda de la desigualdad) siempre será mayor que el segundo miembro cuando los valores de x cumplan la condición de que sea mayor a – 7. Lo comprobaremos con un número cualquiera mayor a – 7; tomaremos arbitrariamente el – 6 y 2 como ejemplos: 2x + 6 > x – 1 2(-6) + 6 > (-6) – 1 -12 + 6 > – 7 -6>–7 En efecto, - 6 es mayor que – 7, porque – 6 está a la derecha del – 7 en la escala numérica.

Ahora comprobaremos con 2 que es un número mayor a – 7, porque el 2 es positivo y porque está a la derecha del – 7 en la escala numérica: 2x + 6 > x – 1 2(2) + 6 > (2) – 1 4+6>1 10 > 1 También observamos que la condición con el 2 se cumple, no solo porque el 10 está a la derecha del 1 en la escala numérica, sino porque es evidente que 10 es mayor que 1. Tenemos la siguiente inecuación y la resolvemos: 5x – 2 < 3x + 8 5x – 3x < 8 + 2 2x < 10 x < 10 2 x<5 El valor para x en la inecuación anterior deberá ser siempre menor a 5 para que se cumpla la condición de que 5x – 2 < 3x + 8. Comprobamos con dos números menores a 5, arbitrariamente escogemos el 4 y 1 (también puede ser el 0 o números negativos): 5(4) – 2 < 3(4) + 8 20 – 2 < 12 + 8 18 < 20 Ahora con 1: 5(1) – 2 < 3(1) + 8 6–2<3+8 4 < 11 Como observamos, al sustituir en la inecuación números menores a 5, cumplimos la condición de que el valor del primer miembro es menor al del segundo miembro. Resolvamos lo siguiente: - 5x – 1 < 9 - 5x < 9 + 1 x > 10 -5 x>-2

cambió el sentido del signo por dividir entre número negativo

Si observas con detenimiento, el sentido del signo en esta inecuación cambió de “menor que” a “mayor que” porque en el proceso de despeje de la x, el número 5 del primer 71

miembro pasó a dividir al segundo miembro con signo negativo. Ahora comprobaremos que los valores de x de esta inecuación tienen que ser mayores a – 2 para que cumplan la condición de que - 5x – 1 < 9; tomaremos arbitrariamente el – 1 y 2 porque son números que están a la derecha del – 2 y por tanto son mayores: - 5(-1) – 1 < 9 -5–1<9 –6<9 Y ahora: - 5(2) – 1 < 9 - 10 – 1 < 9 – 11 < 9 Entonces, las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones, con los mismos pasos, y el objetivo es encontrar el valor de la incógnita. La única diferencia es que en la inecuación, cuando multiplicamos o dividimos con números negativos, el signo de desigualdad cambia de sentido, ya sea el “mayor que”, “menor que”, “mayor o igual que” o “menor o igual que”. Indica cinco números que estén en los siguientes intervalos: - 15 < x < - 4 - 3 < x < 10 -1≤x≤8 0<x<1 -2>x>-9 -1≥x≥0 Resuelve las siguientes inecuaciones. 6x + 4 > 2x + 8 7 + y > 5y – 10 x ≤ -4(x + 4) 2x + 8x – 5 < 5 12y + - 3y ≥ 2 – y

3 Geometría Competencias:

 

El alumno es capaz de plantear problemas geométricos con aritmética y álgebra; probar, demostrar y explicar la resolución; formular, desarrollar y resolver ejercicios geométricos. El alumno muestra y domina conocimiento geométrico, su cálculo y planteamiento.

La geometría (de ge, tierra, y metron, medida) es una ciencia que, como dice su nombre, nació de la necesidad de medir los terrenos y trazar sobre ellos líneas divisorias. La ciencia que se ocupa de los puntos y de las figuras engendradas por ellos conservó el nombre de geometría aún después que dejó de ser la medición de los terrenos su fin principal (Postigo). Esto obedece a que el desarrollo de la medición de figuras pasó al campo abstracto y analítico. Es decir, ya no se midieron sólo los terrenos, sino las figuras dibujadas en cualquier superficie, como por ejemplo las que dibujamos en hojas de papel. En este apartado veremos aspectos básicos de la geometría referentes a los ángulos y principales figuras geométricas, entre ellas, dos polígonos. Polígono es la porción de plano limitado por una línea poligonal cerrada formada por tres o más rectas. Dicho de manera más sencilla, el polígono es cualquier figura de tres o más lados, siendo estos lados segmentos o líneas rectas. Los polígonos que revisaremos son el cuadrilátero, y el triángulo. Preguntas. Instrucciones: Escribe tus respuestas, argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Cuáles figuras conoces y cuáles utilizas con mayor frecuencia? 2. ¿Cómo utilizas las figuras en la vida diaria? 3. ¿Cómo mides esas figuras? 4. En lo cotidiano en tu comunidad donde aplicarías la geometría? 5. Como mides los espacios de distribución de una casa, la parcela, etc.

Actividad. Da 5 ejemplos de cosas que conozcas y que tengan figuras geométricas.

1- Algunas propiedades básicas de los ángulos. Comencemos recordando qué es un ángulo. El ángulo rectilíneo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto, origen común de ellas (Postigo). Ejemplos de ángulos son los siguientes:

Los ángulos pueden ser utilizados para la construcción de las casas; trazo de terrenos; calcular con detalle prendas de vestir; para construir objetos como puertas, ventanas; 73

calcular el ángulo de resistencia para ciertos pesos; para el análisis y cálculo matemático de figuras geométricas.

Clasificación de los ángulos. Un ángulo se dice que es llano cuando sus lados están dispuestos en direcciones opuestas sobre una misma recta (Postigo); es decir, en este caso se nos presenta solo una línea recta y el valor de su ángulo es de 180º:

Un ángulo se llama recto cuando vale la mitad de un ángulo llano (Postigo); es decir, se nos presenta un ángulo de 90º:

90º

El ángulo agudo se presenta cuando vale menos de un recto o menos de 90º. Y obtuso, cuando es mayor que un ángulo recto o de 90º:

Agudo

Obtuso

Ángulos complementarios y suplementarios. Dos ángulos son complementarios, o uno es complementario del otro, cuando su suma es igual a un ángulo recto (Postigo) o de 90º; y se denominan suplementarios, o uno es suplemento del otro, cuando su suma es igual a un ángulo llano (Postigo) o de 180º, esto es, a dos ángulos rectos de noventa.

Complementario

Suplementario 74

Ángulos adyacentes. Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y los otros dos son prolongaciones opuestas de una misma recta (Postigo). Los ángulos complementarios y suplementarios también son adyacentes.

a b

Ángulos opuestos por el vértice. Son los que, los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales (Postigo). El vértice es el lugar o punto donde se unen dos o más líneas creando ángulos.

a a

Nota: Es importante que conozcas estos conceptos y definiciones para que te familiarices con la terminología que encontrarás en otros textos, también en la prueba de aptitud para entrar a la universidad y en las mismas licenciaturas. Los ángulos pueden ser mayores a un ángulo llano o de 180º. Para analizar estos ángulos es necesario recordar los cuadrantes que utilizamos para localizar o ubicar las coordenadas cartesianas. Cuadrante II Ángulos de 90º a 180º

Cuadrante I ángulos de 0 a 90º

Cuadrante III Ángulos de 180º a 270º

Cuadrante IV ángulos de 270º a 360º

Actividad. Dibuja 5 ángulos con las siguientes medidas: 36º, 45º, 115º, 25º, 160º. Utiliza transportador. Ubícate en un punto cualquiera de tu casa frente a dos objetos (pueden ser muebles), traza líneas con tiza o gis, o con un hilo para crear un ángulo, mide los grados con un 75

transportador y dibújalo en tu cuaderno. Ahora muévete a otros dos puntos, traza nuevamente líneas y mide los ángulos, ¿miden lo mismo? Resuelve. A un ángulo de 36º incrementa otro de 20º, ¿cuánto es el ángulo resultante?, dibújalo utilizando transportador. A un ángulo de 86º resta uno de 65º, ¿cuánto es el ángulo resultante?, dibújalo utilizando transportador. ¿Qué sucede si a un ángulo de 150º le sumas otro de 63º?, dibújalo utilizando transportador. Dibuja un cuadrante, traza cuatro líneas a puntos cualquiera (una en cada cuadrante) y mide los grados de derecha a izquierda, del cuadrante I al IV.

2- Algunas propiedades básicas de los cuadriláteros. Entenderemos por cuadrilátero a la figura que tiene cuatro lados, pero que cumpla la condición de que por lo menos dos de sus lados opuestos sean iguales o paralelos. Son cuadriláteros las siguientes figuras: a

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

b a

Paralelogramo

Trapecio

El cuadrado puede tener varios tamaños, y sus cuatro lados siempre serán iguales; sus cuatro ángulos internos deberán ser siempre de 90º. El rectángulo, rombo, paralelogramo y trapecio pueden tener varios tamaños y formas. El rectángulo siempre deberá tener dos lados más largos e iguales entre sí que los otros dos más cortos y también iguales entre sí; el rectángulo siempre tendrá ángulos internos de 90º. El paralelogramo a diferencia del rectángulo es que dos de sus lados iguales tendrán un ángulo distinto a 90º, y todas sus líneas opuestas serán siempre paralelas. El trapecio tendrá dos lados opuestos paralelos y 76

otros dos lados opuestos no serán paralelos. El rombo tiene las mismas propiedades del cuadrado, pero esta figura puede tener ángulos distintos a 90º. Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, y los polígonos son figuras cerradas de tres o más lados. Algunos polígonos y cuadriláteros no necesariamente deben ser simétricos. Por ejemplo, el trapezoide –que puede tener varias formas- es un polígono asimétrico de cuatro lados, y el hexágono es un polígono simétrico de seis lados:

Trapezoide

Hexágono

Es necesario que recuerdes que al hacer líneas rectas, curvas o cualquier figura geométrica, también lo puedes hacer sobre un plano cartesiano; y es recomendable que tomes en cuenta las coordenadas (x, y) para que la figura tenga sentido mediante valores numéricos y algebraicos. El plano cartesiano tiene eje de las x y eje de las y, o abscisas y ordenadas respectivamente. Pero para ser más precisos con respecto a las abscisas y ordenadas, recuerda que la distancia de un punto al eje de las ordenadas se llama abscisa del punto y su distancia al eje de las abscisas se llama ordenada del punto (Baldor). Los signos positivos y negativos de las coordenadas dependerán del cuadrante en donde se encuentren. En ocasiones, algunos puntos se encuentran sobre el eje de las x o sobre el eje de las y. La coordenada del origen o donde equidistan el eje de las x y el eje de las y será siempre (0,0). + y

(-,+)

(+,+) (0,0)

Ordenadas

–

(-,-)

(+,-) –

Abscisas 77

A continuación algunos ejemplos de coordenadas:

6 5 4 3 2 1

(-3,4)

(0,5) (2,3)

x -7 –6 –5 –4 –3 –2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 (5,-2) -4 (-4,-4)

Actividad. Instrucciones: Sobre un plano cartesiano coloca al azar dos puntos e indica sus dos pares de coordenadas. Traza una línea recta en color rojo, azul o verde que una los dos puntos. Haz lo mismo con otras cuatro rectas utilizando los cuatro cuadrantes. En otros planos cartesianos dibuja de tres a cinco cuadriláteros diferentes. No olvides utilizar los cuatro cuadrantes (una figura puede abarcar varios de ellos), indicar las coordenadas donde se encuentran los vértices de las figuras y utilizar colores.

3- Algunas propiedades básicas de los triángulos. El triángulo rectilíneo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan a dos (Postigo). El triángulo también es un polígono. Todo triángulo tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices. En todos los triángulos, la suma de sus tres ángulos internos siempre será igual a 180º. Clasificación de los triángulos. Es equilátero, si sus tres lados son iguales: 60º a

b 60º

60º c

a=b=c 60º + 60º + 60º = 180º 78

Como el triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, entonces sus ángulos internos también son iguales; y como la suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180º, entonces los ángulos internos del triángulo equilátero siempre serán iguales a 60º. Será isósceles, si tiene dos lados iguales:

y a

b x

z c a=b x=z

Como el triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno desigual, entonces dos de sus ángulos necesariamente tendrán que ser iguales y uno diferente. El triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales, por tanto, sus tres ángulos medirán diferentes grados: a

y b

z c

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto o de 90º, medirán 45º sus otros dos ángulos sólo si los catetos o lados del triángulo más cortos miden lo mismo:

45º

b a 90º

y c

90º

45º c a=c 90º + 45º + 45º = 180º

Observa que si giras el segundo triángulo colocando el lado b como base, el triángulo rectángulo es, sólo en este caso, un triángulo isósceles; es decir, una forma de triángulo isósceles tendrá dos ángulos iguales de 45º y uno desigual de 90º.

Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo interno obtuso o mayor a 90º:

a b i c i es mayor a 90º

El triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos internos agudos o menores de 90º:

i a

s c i, r y s, siempre serán menores a 90º El triángulo equilátero también es un triángulo acutángulo, y el isósceles sólo lo será si el único ángulo desigual mide menos de 90º.

Nota: las incógnitas en los lados de los triángulos y en los ángulos fueron designados arbitrariamente, pueden designarse de manera diferente.

Actividad. Dibuja en tu cuaderno 5 triángulos con diferentes medidas, ¿qué tipo de triángulos son? Mide con tu transportador los tres ángulos de cada triángulo, luego suma los valores de los ángulos de cada triángulo, ¿qué resultados obtuviste en cada triángulo? Ubícate en un punto cualquiera de tu casa, traza líneas con tiza o gis, o con un hilo para crear un triángulo (puedes tomar como referencia muebles), mide con cinta métrica o flexómetro los lados de tu triángulo y con transportador los ángulos internos del mismo, dibújalo en tu cuaderno. Haz lo mismo haciendo tres triángulos. Ahora dibuja en tu cuaderno y sobre un plano cartesiano tres triángulos. No olvides utilizar diferentes colores para cada triángulo, puedes abarcar diferentes cuadrantes, y lo más importante: que los vértices correspondan a coordenadas, indícalas.

4- Algunas propiedades básicas del círculo. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno interior a ellos, llamado centro; la circunferencia es, por su generación, una línea plana, curva, cerrada, por cuya razón se la define también diciendo que es toda curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto situado en el interior (Postigo).

El círculo –como comúnmente llamamos a la circunferencia- al igual que otras figuras geométricas, era muy apreciado por sabios de la antigüedad; era considerado una figura perfecta. Por eso casi cualquier persona que distinga la figura del círculo y quiera dibujarlo, lo pretende hacer lo más perfecto posible; incluso en ocasiones nos apoyamos con el compás. Esta es una particularidad del círculo, que su línea curva y cerrada esté a la misma distancia del centro (aunque en ocasiones no se marque), cualquier modificación a la distancia podría resultar en una elipse o una figura curva sin simetría. Si cualquier punto de la curva cerrada equidista con el centro, entonces podemos dibujarla y obtenemos el radio del círculo:

radio

Y si prolongamos el radio del círculo hasta el otro extremo del mismo círculo, entonces obtenemos el diámetro del círculo:

diámetro

El radio y el diámetro de cualquier círculo pueden estar en cualquier dirección. Otra parte importante del círculo y que puede dibujarse es la cuerda, que es el segmento o línea que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Normalmente, la

cuerda está cerca de la circunferencia y siempre será menor al diámetro. Y a la fracción curva del círculo que limita los extremos de la cuerda se le denomina arco:

cuerda

arco

Seguramente recuerdas que un elemento importante que se asocia al círculo es el número pi; revisamos parte de sus características en apartados anteriores. Pi es el sonido de una letra griega y su símbolo es π. Recordarás que es un número irracional, es decir, que tienen cifras decimales infinitas. Nos enseñaron que el valor de π = 3.1416, de esta forma se redondea el número con cuatro decimales; pero en realidad, los primeros cuatro números decimales que anteceden al 9 son .1415, y después del 9 hay otros n números que no guardan secuencia ni patrón alguno, y que se consideran infinitos. En otras palabras, no hay una cantidad cerrada para el número π = 3.14159..., etc. Y por esta razón, la cantidad para hacer cálculos va de los dos a los cuatro decimales cerrando en 6, porque faltaría una diezmilésima para llegar al .1416; así que cuando sea necesario hacer cálculos con el valor de π, se recomienda que consideres 3.1416 o 3.14, depende de la precisión que se requiera o especifique el problema. Por si fuera poco, el número π es constante; es uno de esos números raros que existen en la matemática y en la naturaleza del círculo. El valor de 3.1416 es el cociente o el resultado de la relación entre la circunferencia y el diámetro del círculo, y esta característica es general, es decir, aplica a todos los círculos independientemente de su tamaño. Si tomamos el diámetro exacto de cualquier círculo y lo colocamos sobre su circunferencia, cabrá tres veces y sobrará una pequeña fracción. Por eso el valor de π comienza con 3 enteros, o sea las tres veces que el diámetro cabe alrededor de la circunferencia, y la fracción viene representada con los decimales .14159... etc., o .1416, o sea la pequeña fracción que sobre del círculo y que no fue cubierta por otro diámetro entero: π = circunferencia diámetro

circunferencia d

Comprender todo lo que hemos visto en este manual, el número π, y en general las matemáticas, hará más sencillo y ameno el aprendizaje y aplicación. Por eso nos detenemos

a revisar estos detalles. Verás que las matemáticas no son tan complicadas o aburridas como muchas veces creemos.

Actividad. Con una cinta métrica, hilaza, lazos de plástico o mecate, mide lo más exacto posible el diámetro de un objeto circular. Cuando tengas marcado cuánto mide el diámetro, coloca tu cinta, hilaza o lazo sobre la circunferencia de tu objeto circular. Repite la misma operación con varios objetos circulares, también con pequeños. ¿Qué observas? Haz anotaciones. Sobre un plano cartesiano dibuja tres círculos de distintos tamaños y colores. Utiliza coordenadas para ubicar el centro u origen de los círculos, y coordenadas que indiquen por donde va a ir la curva de la circunferencia. Para trazar el círculo utiliza compás; apóyate de la coordenada centro y lo abres a la coordenada de la circunferencia.

5- Perímetro y área de principales figuras geométricas. De las figuras puede medirse perímetro y área, en este apartado revisaremos las fórmulas más comunes y sus cálculos. Para efectos prácticos, entenderemos por perímetro lo que mide cualquier figura cerrada en su exterior en unidades de la misma medida. Para hacerlo más comprensible, repasaremos el cálculo de perímetros de las principales figuras en geometría. Para cuadriláteros, la forma general de calcular el perímetro es sumando lo que miden sus lados, y su fórmula es la siguiente: P=L+L+L+L Donde P es el perímetro y L los lados. Si es un cuadrado puede simplificarse a: P = 4L

o bien

P =4×L

porque todos sus lados son iguales.

Si es rectángulo o paralelogramo puede simplificarse de la manera siguiente: P

= 2L + 2L’

o bien

= 2 × L + 2 × L’

porque lados opuestos y paralelos son iguales.

Recordaremos unos sencillos ejemplos: Encontrar el perímetro de un cuadrado que mide 10 cm. de lado. Entonces: P

= 4L

= 4(10 cm.)

= 40 cm.

Encontrar el perímetro de un rectángulo que mide de un lado 5 cm. y de otro lado 8 cm. Entonces: P

= 2L + 2L’

= 2(5 cm.) + 2(8 cm.)

= 10 cm. + 16 cm.

= 26 cm.

Encontrar el perímetro de un trapezoide que tiene las siguientes medidas: 3 cm., 12 cm., 7 cm. y 6cm. Entonces: P=L+L+L+L P = 3 cm. + 12 cm. + 7 cm. + 6 cm. P = 28 cm.

Actividad. Con una cinta métrica o flexómetro mide una mesa que tenga forma cuadrilátera y calcula su perímetro. Haz lo mismo con una puerta y una habitación de tu casa; también en la cancha de basketball y volleyball de tu comunidad tomando como referencia las líneas. Resuelve. El terreno de Pablo mide 80 mts. de largo y 40 mts. de ancho. ¿Cuánto mide de perímetro? Lupita quiere cercar su sembradío de hortalizas. ¿Cuánto tiene que comprar de alambrado si el terreno mide 9 metros por cada lado? ¿Y cuánto va a gastar si el metro cuesta $15.00? A los habitantes de la localidad de Tres Ríos acaban de informarles que la zona donde viven la declararon protegida. Vía satélite se observa que la zona protegida forma un polígono con las siguientes dimensiones: 8 km., 22 km., 12 km., y 15 km. ¿Cuánto mide de perímetro el polígono? Ramona quiere hacer un mantel para su mesa que tiene forma rectangular. Las dimensiones de la mesa son de 3 mts. por 1.50 mts. Ramona va a dejar 10 cm. de sobra en cada lado. ¿Cuánto va a medir el mantel de perímetro?

Igual que en los cuadriláteros, el perímetro de un triángulo se obtiene sumando todos sus lados, entonces su fórmula es: P =L+L+L 84

Donde P es el perímetro y L los lados. Si es un triángulo equilátero puede reducirse a la forma siguiente: P = 3L

o bien

P=3×L

Repasemos ejemplos muy sencillos: Encontrar el perímetro de un triángulo que mide 6 cm. en sus tres lados. Entonces: P = 3L P = 3(6 cm.) P = 18 cm.

Encontrar el perímetro de un triángulo que mide en sus lados 2 cm., 4 cm. y 10 cm. Entonces: P =L+L+L P = 2 cm. + 4 cm. + 10 cm. P = 16 cm.

Resuelve. A un taller comunitario de herrería le encargaron hacer 26 piezas triangulares. Los triángulos tienen que medir por lado 50 cm. ¿Cuánta cantidad de material, en metros, va a necesitar el taller para hacer las 26 piezas? El perímetro de un triángulo mide 34.3 cm. Si un lado mide 14.5 cm. y otro 10.9 cm. ¿Cuánto mide el otro? Demuestra analíticamente, despejando. Si tenemos un triángulo rectángulo que mide 4 cm. en sus catetos o lados más cortos. ¿Cuántos triángulos igual a este son necesarios para formar un rectángulo de 4cm. por 12 cm.?

Finalmente, para conocer el perímetro de un círculo es necesario modificar la fórmula de la constante π. Para obtener el perímetro hay que multiplicar π por el diámetro; o π por dos veces el radio. El perímetro es lo mismo que la circunferencia, entonces: π = circunferencia diámetro

o bien

π = perímetro de un círculo diámetro

Luego: π=P d P=π d P = πd

o bien

P=π×d

Donde P es el perímetro, π es constante y d el diámetro. Y como el diámetro de un círculo es dos veces su radio, o sea d = 2r, entonces también puede ser:

luego sustituyendo 2r en d

P = πd P = π2r

o bien

P=π×2×r

Donde P es perímetro, π constante y r el radio del círculo. Repasemos con dos ejemplos. Un círculo tiene un diámetro de 15 cm. ¿Cuál es su perímetro? Aplicamos la fórmula sustituyendo datos: P = πd P = 3.1416(15 cm.) P = 47.12 cm. El radio de un círculo mide 4 cm. ¿Cuánto mide su circunferencia? Resolvemos: P = π2r P = 3.1416(2)(4 cm.) P = 25.13 cm. ¿Cuánto mide el radio de un círculo que tiene perímetro de 14 cm.? ¿Y su diámetro? Despejamos a partir de una de las fórmulas para conocer el radio: P = π2r π2r = P r= P π2 86

r = 14 cm. 3.1416(2) r = 14 cm. 6.2832 r = 2.2281 cm. Luego buscamos el diámetro: P = πd πd = P d=P π d = 14 cm. 3.1416 d = 4.45 cm. O bien

d = 2r d = 2(2.2281 cm.) d = 4.45 cm.

Actividad. Mide con una cinta métrica la circunferencia de una mesa redonda.. Calcula su diámetro y radio. Haz lo mismo con otros dos objetos más pequeños, como la boca de los vasos. Si hay kiosco en tu comunidad, mide la circunferencia de su base. Calcula su diámetro y radio. Resuelve. El kiosco de la localidad Los Limones tiene 30 metros de diámetro. Calcula su radio y su diámetro. Samuel tiene que hacer círculos de aluminio. La especificación es que midan 15 cm. de diámetro. ¿Cuántos círculos obtendrá de una lámina que mide 1.10 metros × 2 metros? ¿Cuánto mide el perímetro de cada círculo? Debido al espacio de su casa, Raúl solo puede hacer una pileta circular que mida 7 metros de diámetro exterior. Le va a hacer una barda de 20 cm. de ancho. ¿Cuánto va a medir el diámetro interior de la pileta?

Para comprender ciertas ideas o nociones matemáticas es necesario partir de las definiciones, solo como punto de referencia. Por tanto, independientemente de la figura que sea, la idea de área es mejor comprensible si la entendemos simplemente como el número de unidades cuadradas que contiene una superficie (Rich), todos los cuadrados o unidades cuadradas de medida son del mismo tamaño.

Entonces, el área es la superficie de algo, de cualquier objeto material o imaginario, o dibujo, siempre y cuando la figura sea limitada y cerrada con segmentos o líneas; por esta razón, el área también es entendida como la extensión de una porción limitada de un plano (Postigo). Repasaremos al cálculo del área para las figuras analizadas en este apartado. La fórmula para obtener el área del cuadrado y del rectángulo nos dice que multipliquemos lado por lado: A

=L×L

Donde A es el área y L los lados, en el rectángulo tiene que ser el ancho y el largo. L

Veamos algunos ejemplos: Un cuadrado mide 8 centímetros de lado, ¿cuánto mide su área? Entonces sustituimos en la fórmula: A

=L×L

= 8 cm. × 8 cm.

= 64 cm.²

El campo de fútbol es rectangular, la cancha de mi comunidad mide 80 metros de largo y 60 metros de ancho, ¿cuál es el área de esta cancha de fútbol? A

=L×L

= 80 mts. × 60 mts.

= 4,800 mts.²

Actividad. Calcula el área de una mesa cuadrada y una rectangular. Utiliza cinta métrica o flexómetro para medir los lados de la mesa. 88

Calcula el área de la cancha de basketball y de volleyball de tu localidad. Toma como base las líneas. Resuelve. El terreno donde siembra Rosendo mide 3 hectáreas. ¿Cuánto tiene de área, en metros, el terreno de Rosendo? Jacinta trabaja en un taller textil comunitario, le corresponde realizar la operación de corte de piezas de tela para bolsas de mandiles. La pieza mide 10 cm. por 10 cm. Le piden que corte 60 piezas. ¿Cuántos metros de tela utilizará si el rollo de donde cortará las piezas mide 1 mt. de ancho? Julián y sus dos hijos van a sembrar maíz a su terreno de 2 hectáreas. ¿Qué área, en metros, le corresponde sembrar a cada uno si decidieron repartirse una tercera parte cada uno para trabajar? De los problemas de perímetros resuelve lo siguiente: Si el terreno de Pablo mide 80 mts. de largo y 40 mts. de ancho. ¿Cuál es su área? Lupita quiere cercar su sembradío de hortalizas. El alambrado tiene 1.30 mts. de ancho. ¿Cuál es el área que tiene el alambrado si el terreno mide 9 metros por cada lado?, ¿cuál es el área del terreno? Ramona hizo un mantel para su mesa que tiene forma rectangular. Las dimensiones de la mesa son de 3 mts. por 1.50 mts. Ramona dejó 10 cm. de sobra en cada lado. ¿Cuál es el área de la mesa y del mantel?

En el caso del triángulo la fórmula más común para sacar el área es la siguiente: A =bh 2

o bien

A =b×h 2

O sea, dividir entre dos el producto de la base por la altura. Donde A es el área, b es la base y h la altura.

Como la formula es aplicable a todo tipo de triángulo, veamos un ejemplo: Un triángulo mide de altura 5 cm. y de base 9 cm. ¿Cuánto mide de superficie? 89

Sustituimos: A =bh 2 A = 9 cm. × 5 cm. 2 A = 45 cm.² 2 A = 22.5 cm.²

En ocasiones las medidas del triángulo no vienen completas, por ejemplo, hay problemas donde no dan el dato de la altura. Esto es posible en la vida diaria si queremos calcular el área de un terreno que tenga forma triangular, ¿cómo mediríamos la altura?, esto no es posible. Con mucho trabajo trazaríamos una línea, tal vez imaginaria, que hiciera de altura en un triángulo dibujado en el suelo, pero la posibilidad de trazarla chueca sería alta. En estos casos es recomendable aplicar la fórmula de Herón, donde nada más son consideradas las medidas de los lados del triángulo; y esto sí es posible medirlo en la vida diaria, por ejemplo en terrenos, donde la posibilidad de equivocarnos para calcular el área sería mínima. Herón fue un inventor y matemático griego que vivió en el siglo I de nuestra era, formuló que el área de cualquier triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto del semi perímetro del triángulo por la diferencia del semi perímetro con cada uno de los lados del triángulo: _ A = \| s(s – a)(s – b)(s – c) Donde A es el área, s es el semi perímetro, y a, b, c son los lados del triángulo. Fórmula para obtener el semi perímetro de cualquier triángulo: s=a+b+c 2

Veamos con detenimiento que nos decía este excelente sabio de la antigüedad: Tenemos el siguiente triángulo donde no conocemos su altura y es difícil obtenerla mediante tanteos, pero conocemos o podemos medir sus lados:

c = 10 cm. b = 7 cm.

a = 4 cm.

Entonces sacamos el semi perímetro: s=a+b+c 2 s = 4 cm. + 7 cm. + 10 cm. 2 s = 21 cm. 2 s = 10.5 cm. Ahora aplicamos el dato obtenido en la fórmula de Herón para calcular el área: _ A = \| 10.5cm. (10.5cm. – 4cm.)(10.5cm. – 7cm.) (10.5cm. – 10cm.) _ A = \| 10.5cm. (6.5cm.)(3.5cm.) (0.5cm.) _ A = \| 119.43cm.^4 A = 10.92 cm.²

Resuelve. ¿Calcula el área de un triángulo isósceles que tiene de base 15 cm. y de altura 10 cm.? ¿Cuál es el área de un terreno triangular que mide 20 mts. por 8 mts., por 24 mts.? ¿Cuál es la altura de un triángulo que tiene de base 8 cm. y de área 13 cm.²? Calcula el área del siguiente triángulo, altura 4 cm., base 6 cm.:

4 cm.

6 cm. De los problemas de perímetro de triángulos, resuelve: El perímetro de un triángulo mide 34.3 cm. Si un lado mide 14.5 cm. y otro 10.9 cm. formando entre ambos lados un ángulo de 90º ¿Cuál es el área del triángulo?

Para obtener el área de un círculo, la fórmula también es única, y nos dice que es el resultado de multiplicar la constante π por el radio al cuadrado: A = π r²

o bien

A = π × r²

Donde A es el área, π es la constante de valor 3.1416 y r es el radio del círculo.

Veamos unos ejemplos: Un círculo tiene un diámetro de 16 cm. ¿Cuánto mide su área? El radio del círculo es la mitad del diámetro, entonces r = 8 cm., luego: A = π r² A = 3.1416 (8cm.)² A = 3.1416 (64cm.²) A = 201.06cm.² ¿Cuánto mide el diámetro de un círculo que tiene 3 metros de área? Primero buscamos r a partir de la fórmula del área porque es el dato que nos dan: A = π r² π r² = A r² = A π r² = 3 mts.² 3.1416 r² = 0.9549 mts.² r = \/¯0.9549 mts.²¯ r = 0.9771 mts. Luego buscamos el diámetro: d = 2r d = 2(0.9771 mts.) d = 1.9542 mts. 92

Actividad. Calcula el área de alguna mesa que tiene forma circular a partir de su perímetro. Utiliza cinta métrica para medir. Haz lo mismo con una tina, un volante, llanta de automóvil. Resuelve. En la localidad de La Esperanza hay una pequeña radiodifusora comunitaria. La señal llega como máximo hasta otra localidad que se encuentra a 30 km. de distancia. ¿Cuál es el área aproximada a la redonda de cobertura de la radiodifusora? Un potrero tiene forma circular, su perímetro mide 200 mts. ¿Cuál es su área? De los problemas de perímetro de la circunferencia, resuelve lo siguiente: El kiosco de la localidad Los Limones tiene 30 metros de diámetro. Calcula su área. Samuel hizo círculos de aluminio. Le especificaron que los hiciera con 15 cm. de diámetro. ¿Qué área tiene cada círculo? Raúl hizo una pileta circular que mide 7 metros de diámetro exterior. Le hizo una barda de 20 cm. de ancho. ¿Cuál es el área total de la pileta?, ¿cuál es el área de espacio útil para almacenar agua? ¿Cuál será área de espacio inutilizado por lo ancho de la barda?

6- Teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras es un tema muy interesante. Este teorema es muy antiguo, fue desarrollado hace más de 2,500 años en varias culturas del mundo. Se sabe que en China, la India y en el medio oriente -culturas que también conocieron y desarrollaron algunos algoritmos algebraicos como el binomio al cuadrado- tuvieron conocimiento de este teorema que se acredita sólo al griego Pitágoras. El teorema de Pitágoras es muy importante, es una de las nociones principales con las que se inicia el análisis trigonométrico. Este teorema tiene muchos fines prácticos; por ejemplo, sirve para encontrar las medidas de los lados y consecuentemente el área del triángulo. Este teorema tiene mucho sentido común -al igual que toda la matemática- pero no por esto debemos pensar que eran ingenuos quienes comprendieron esta propiedad del triángulo en la antigüedad. El sentido común aplicable en la matemática, y en este caso para comprender este teorema, sirve para desarrollar nuestro razonamiento lógico. Entremos pues de lleno a este bonito tema de la geometría, matemática y trigonometría. El teorema nos dice que el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. En otras palabras, el cuadrado del lado mayor de cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados más pequeños. En un apartado anterior recordaste cómo escribir un enunciado en forma de notación algebraica, entonces no debe darte dificultad comprender la siguiente ecuación: c² = a² + b²

Donde c es la hipotenusa o el lado del triángulo más grande; a, un cateto o uno de los lados pequeños del triángulo, y b el otro cateto o el otro lado pequeño del triángulo. Dibujemos el triángulo:

c a

b Supongamos que el valor de a es 3 y de b es 4, entonces, sustituimos en la fórmula para despejar c: c² = 3² + 4² Luego:

c² = 9 + 16 c² = 25 c = \/¯25¯ c=5

La fórmula nos indica que el cuadrado que se forma del lado c es igual y proporcional a la suma de los cuadrados que se forman de los lados a y b; o sea:

a c c=5 a

a=3

b=4

b 94

Entonces en nuestro ejemplo: a² = 9 b² = 16 c² = 25

porque a × a = 3 × 3 = 9 porque b × b = 4 × 4 = 16 porque c × c = 5 × 5 = 25

Ahora supongamos que vas a buscar alguno de los lados. Recuerda que podemos colocar las incógnitas donde queramos, nada más cuidando que la hipotenusa sea siempre c para tener claridad y congruencia con las incógnitas del teorema. Sea el siguiente triángulo:

c = 12

a = 10 Entonces para despejar b: c² = a² + b² a² + b² = c² b² = c² - a² b² = 12² - 10² b² = 144 – 100 b² = 44 b = \/¯44¯ b = 6.63

Actividad. Con un metro o flexómetro mide los lados de una puerta. Calcula la hipotenusa, que viene siendo la línea imaginaria transversal del rectángulo que es tu puerta. Haz lo mismo con una mesa, no importa que sea cuadrada o rectangular. Calcula su hipotenusa. Luego comprueba tu resultado midiendo con la cinta o flexómetro. Calcula la hipotenusa del piso de una habitación cuadrada o rectangular; de una cancha de basketball y de volleyball tomando en cuenta las medidas que tenga cada una en sus líneas. Resuelve. Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que mide en a = 6 centímetros y en b = 9 centímetros. Dibuja el triángulo y sus lados con las debidas proporciones. Calcula el valor del lado a de un triángulo rectángulo con hipotenusa = 15 centímetros y en b = 8 centímetros. Dibuja el triángulo con las medidas correspondientes. 95

Un triángulo tiene dos catetos que miden 10 centímetros. Calcula el valor de la hipotenusa.

Encuentra el valor de t. 12

4 Estadística Competencias:  

El alumno muestra y domina conocimiento estadístico. El alumno es capaz de plantear problemas estadísticos; probar, demostrar, interpretar y explicar la resolución; inventar y desarrollar problemas nuevos.

Con frecuencia, en la práctica estamos interesados en extraer conclusiones válidas respecto a un grupo grande de individuos, objetos, o datos. A cambio de examinar grupos enteros o el total de individuos, objetos y datos, lo cual pudiera resultar en algunos casos difícil o imposible, puede llegarse a la idea de examinar solamente una parte pequeña de esos grupos o sus totalidades. A estas partes pequeñas se les llama muestra. Esto se hace con el propósito de inferir ciertos hechos respecto a los resultados hallados en la muestra de los grupos o totalidades de individuos, objetos o datos. Este proceso de obtención de muestras es conocido como inferencia estadística (Spiegel). De ahí que comúnmente nos refiramos al muestreo estadístico. La estadística tiene mucha utilidad en la vida diaria, sobre todo en el ámbito profesional. En este tema revisaremos tres de sus principales y elementales aspectos.

1- Clasificación y ordenamiento de datos.

En el análisis estadístico son utilizados muchos tipos de gráficas. La gráfica a utilizar dependerá de lo que se va a estudiar o analizar; se utilizará aquella que nos otorgue mayor claridad en la distribución e información relevante en el análisis de los datos. Para elaborar una gráfica es necesario tener datos y organizarlos, y a la organización de los datos la podemos llamar clasificación y ordenamiento. Normalmente, la clasificación es por jerarquía de cualquier dato u objeto, siendo la clasificación por conjuntos, rangos o grupos de similares, pueden ser colores, formas, tamaños, tipo de objeto, etc; y la jerarquía casi siempre es organizar cantidades y medidas, de mayor a menor o de menor a mayor. Hacemos clasificación de datos cuando separamos por clase, tipo de objeto, o dato para diferenciar o distinguir entre ellos. Prácticamente todo puede clasificarse; aquí daremos solo algunos ejemplos de lo que puede clasificarse, ordenarse y organizarse para fines estadísticos:  Edades de las personas.  Tipos de automóviles.  Estaturas y pesos de las personas.  Ingresos económicos de personas.  Ventas, gastos, costos en negocios e industrias.  Calificaciones.  Ingresos y egresos de estudiantes.  Medidas y pesos de productos elaborados. Revisaremos un ejemplo de organización de datos para fines estadísticos. En la comunidad de Río Grande levantaron un censo de los habitantes para conocer sus edades. La institución que levantó el censo agrupó edades por cada diez años cumplidos y de ambos sexos. El censo arrojó los siguientes resultados: Niños y niñas hasta 10 años: 137 Niños y niñas, adolescentes y jóvenes de 11 a 20 años: 158 Jóvenes de 21 a 30 años: 240 Jóvenes adultos de 31 a 40 años: 219 Adultos de 41 a 50 años: 166 Adultos de 51 a 60 años: 124 Adultos de 61 a 70 años: 76 Adultos de 71 a 80 años: 43 Adultos de 81 a 90 años: 28 Adultos de más de 90 años: 15 Total de habitantes: 1,069

Preguntas. Argumenta y comparte las respuestas con tus compañeros: 1. ¿Has utilizado el registro o clasificación de datos en algún evento de la vida diaria de tu comunidad?, ¿cuáles eventos y cómo?

Actividad.

Levanta un censo tomando una muestra de 50 personas. La metodología es simple: salir a la calle o visitar casas y preguntar la edad de las personas hasta que completes 50 datos. En este caso vas a agrupar solo por edad repetida (frecuencia del dato). Da otros dos ejemplos de organización, ordenamiento y clasificación de datos estadísticos. Que la muestra tenga entre 20 y 30 datos.

2-. Media (promedio), mediana, moda Para tener claridad estadística es necesario ordenar los datos de la muestra que va a ser analizada. El ordenamiento de los datos dependerá del tipo de objeto o fenómeno a estudiar. Normalmente, el ordenamiento es jerárquico, ya sea de mayor a menor o de menor a mayor, por ejemplo edades, o ciertas medidas y cantidades concretas. También es común clasificar por estratos o agrupación de datos, medidas o cantidades específicas que requieren márgenes de tolerancia. Tres elementos importantes del análisis estadístico son la media, la mediana y la moda. Estos elementos son muy sencillos de comprender, pero es importante diferenciarlos para no confundirlos. _ La media es lo mismo que el promedio, y está representado por el signo X. Cuando nos referimos al promedio es porque sabemos que debemos tomar en cuenta por lo menos dos datos. El promedio de algo es la media, o por decirlo de otra manera: es el punto medio entre dos o más datos. Para obtener el promedio o la media de datos debemos sumar los valores de los datos a analizar y dividir el resultado entre la cantidad de datos sumados: _ X = x1 + x2 + x3 + x4 + ........ + xn n . Donde X es el promedio o la media, x son los valores de cada uno de los datos, y 1,2,3,....n, son la cantidad de datos a analizar. Hagamos el siguiente ejemplo: Las calificaciones que obtuvo Pedro en el bimestre fueron las siguientes: español 8, matemáticas 10, biología 9, química 9, física 10, artísticas 10, educación física 9, civismo 10, idioma extranjero 8. ¿Cuál es la calificación promedio de Pedro? Primero ordenamos las calificaciones por jerarquía, de menor a mayor o de mayor a menor. También podemos entender a este ordenamiento como clasificación de datos por grupos de iguales calificaciones: Matemáticas Física Artísticas Civismo Biología Química

10 10 10 10 9 9 98

Educación física Español Idioma extranjero

9 8 8

Ahora aplicamos la fórmula del promedio o media: _ X = x1 + x2 + x3 + x4 + ........ + xn n _ X = 10 + 10 + 10 + 10 + 9 + 9 + 9 + 8 + 8 9 _ X = 83 9 _ X = 9.2 La mediana es el dato ubicado en medio de todos los datos ordenados por jerarquía, de una muestra o de todos los datos a considerar. Si tomamos el ejemplo anterior de las calificaciones, la mediana es 9, porque es el dato que está ubicado en medio de todos los datos considerados en la muestra: Matemáticas Física Artísticas Civismo Biología Química Educación física Español Idioma extranjero

10 10 10 10 9

ésta es la mediana

9 9 8 8

En ocasiones no existe un solo dato a considerar para la mediana porque la cantidad de la muestra es par (en el ejemplo anterior tenemos nueve datos, razón por la cual fue posible tomar uno solo de en medio para obtener la mediana). En los casos donde haya datos pares, lo que hay que hacer para obtener la mediana es sacar el promedio entre los dos datos de en medio de la muestra, a menos que sean considerados dos datos o más estratificados o agrupados sin sacar promedio, pero esto último deberá especificarlo algún problema a analizar. La moda es el dato de la muestra o de todos los datos a considerar que se repite más veces, o con más frecuencia. Tomando el mismo ejemplo de las calificaciones, la moda es 10 porque es la calificación que se repite más veces, su frecuencia fue 4: Matemáticas Física Artísticas

10 10 10

la moda es 10 porque es el dato que se repite más veces, este dato 10 se repite 4 veces 99

Civismo

Biología Química Educación física

9 9 9

Español Idioma extranjero

8 8

9 se repite 3 veces

8 se repite 2 veces

Entonces, en el ejemplo anterior la media o promedio de las calificaciones de Pedro es de 9.2, la mediana es 9 y la moda es 10. Actividad. Calcula el promedio de los datos que clasificaste en el apartado anterior (Clasificación y ordenamiento de datos, de los ejemplos de la Actividad), e indica cuál es la moda y la mediana de cada clasificación.

3-. Principales tipos de gráficas. En el punto de Clasificación y ordenamiento de datos mencionamos que, depende de lo que se vaya a analizar, es el tipo de gráfica a utilizar. En ese apartado vimos un ejemplo donde los datos fueron ordenados, clasificados y jerarquizados con propósitos estadísticos. El análisis estadístico de los datos obtenidos en las muestras se complementa con los gráficos. Las gráficas normalmente relacionan dos tipos de datos. Y es la relación de datos la que proporciona mayor claridad en su análisis y estudio. Para observar este importante aspecto de la estadística, revisaremos el siguiente ejemplo: La cooperativa Unión vende productos de abarrotes. Quieren conocer el historial de ingresos de un año para hacer mejoras en ventas y estudiar la posibilidad de invertir en nuevos productos. Para este propósito, recabaron los datos del año 2012 correspondiente a ingresos. Aquí los resultados:

100

Ingresos de la Cooperativa Unión 8,000 7,000 6,000 5,000

Ingresos 4,000 3,000 2,000 1,000 Diciembre

Noviembre

Octubre

Septiembre

Agosto

Julio

Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

Enero

Meses

A continuación se muestran algunos tipos de gráficas utilizadas en la estadística (ejemplos de gráficas y datos arbitrarios):

Columnas: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

Círculo o pastel:

101

Barras:

4to trim. 3er trim. 2do trim. 1er trim. 0

100

LĂneas: 100 80 60 40 20 0 1er trim.

2do trim.

102

3er trim.

4to trim.

Dispersión: 100 80 60 40 20 0 0

Áreas:

100 50 0 1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

Norte Oeste Este

Preguntas. Argumenta y comparte con tus compañeros: 1. ¿Has utilizado en la vida diaria gráficas estadísticas?, ¿cómo y cuáles? 2. En lo cotidiano, en tu comunidad, ¿dónde aplicarías la estadística?

Actividad. Haz una breve investigación en tu comunidad de tres cosas o fenómenos. Recaba datos, ordénalos, clasifícalos y dibuja la gráfica correspondiente.

4- Interpretación de gráficas. En el apartado anterior adelantamos uno de los aspectos centrales de la estadística: la lectura e interpretación de gráficas. Cuando nos referimos a “interpretación”, significa que la información que arrojan los datos ordenados y graficados deben ser considerados objetivamente porque obedecen al comportamiento real de cosas y fenómenos. (En algunos casos sólo hay que poner atención a que los datos y resultados gráficos no estén manipulados. Existen métodos para disminuir márgenes de error, pero no es intención de este manual abordar este tema especial de la estadística). 103

No existe un método único para leer correctamente una gráfica o abstraer los datos de forma más acertada posible, es la práctica del que analiza las gráficas la que hace al experto a interpretarlas con mayor precisión y detalle. Algunos aspectos a considerar en la lectura de las gráficas son:  Observar relativa estabilidad en los datos.  Observar si existe disminución o incremento en alguna línea o curva de la gráfica.  Observar los datos raros: picos hacia arriba o abajo.  Observar si hay concentración de datos en alguna parte de la gráfica.  Observar patrones de comportamiento o distribución de datos en la gráfica.  Poner especial atención en los datos relacionados. Los que están en el eje de las x y los que están en el eje de las y.

Tomemos como ejemplo la gráfica de la cooperativa Unión que revisamos en el apartado Tipos de gráficas. Ingresos de la Cooperativa Unión 8,000 7,000 6,000 5,000

Ingresos 4,000 3,000 2,000 1,000 Diciembre

Noviembre

Octubre

Septiembre

Agosto

Julio

Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

Enero

Meses

Al echar un primer vistazo a la gráfica anterior podemos afirmar, declarar, o decir lo siguiente: 1) La cooperativa Unión tuvo una tendencia a la alza en sus ingresos. 2) Cuando obtuvieron mayores ingresos fue en el mes de septiembre. 3) Cuando obtuvieron menos ingresos fue en el mes de febrero. 4) En nueve meses del año obtuvieron ingresos entre $5,000.00 y $6,000.00 pesos. 5) En sólo dos meses del año rebasaron los $6,000.00 pesos en ingresos. 6) Se observa en este año analizado un patrón cuatrimestral donde los ingresos son más o menos sostenidos o estables, en el primer cuatrimestre, en el segundo y en el tercero. El cuatrimestre de mayor estabilidad en los ingresos fue el segundo, de mayo a agosto. A partir del análisis y descripción o interpretación de la gráfica podemos plantear algunas preguntas:

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1) ¿Qué sucedió en el mes de septiembre como para tener un repunte de ventas e ingresos? 2) ¿Cuáles son las posibles razones por las que en el mes de febrero se obtuvieron menos ingresos? Actividad. A partir de tu investigación, donde obtuviste datos y realizaste gráficas para analizar algunos fenómenos de tu comunidad, argumenta y escribe algunas proposiciones a partir de tu observación. Escribe algunas preguntas que motiven la investigación más detallada del fenómeno graficado. Compártelo con tus compañeros.

Bibliografía. Ayres, Frank. Cálculo diferencial e integral. Mc. Graw Hill, Serie Schaum, 1989. Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Cultural, México, 1983. Parra Cabrera; Luis H., Guillermo. Matemáticas. Kapelusz Mexicana, México, 1974. Postigo, Luis. Matemáticas. Ramón Sopena, Barcelona, 1981. Rees, Paul K.; Sparks, Fred W. Álgebra. Reverte Mexicana, México, 1980. Rich, Barnett. Geometría plana con coordenadas. Mc. Graw Hill, Serie Schaum. 1978. Spiegel, Murray R.; Probabilidad y estadística. Mc. Graw Hill, Serie Schaum. 1976. Willerding, Margaret, F.; Hoffman, Stephen. Fundamentos de álgebra. Limusa, México, 1981.

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