Chapter 0 Preliminaries (第零章 預備知識)

Page 1

0

Preliminaries

第零章 預備知識 什麼是微積分(Calculus)的預備知識(Preliminaries)呢?其實他就是高中(職)的 時候所學過的基礎數學(Basic Mathematics)。本章將利用最少之篇幅介紹本書將 用到的基礎數學。 本章主要是提供學生複習之用，授課教師可視學生之程度，配合課程之進度， 選擇部分內容講授。

0-1 集合(Set) 許多微積分之教科書為了方便解說，經常使用集合符號。本節將介紹本書中 需使用到之集合符號。 集合(set)是由一群物件(objects)所組成，集合中每個物件稱為這個集合的元 素(element)。通常我們用大寫英文字母表示集合，而用小寫英文字母表示元素。 如果 a 是集合 A 的一個元素，則寫成 a ∈ A(讀作屬於集合 A)，如果 b 不是集合 A 的元素，則寫成 b ∉ A。 集合之表示法有兩種，一種是用括號{

}將集合中之所有元素列出。例如

a、b、c 三個英文字母所乘的集合 A，可寫成 A={a,b,c}，而 1、3、5、7 四個數 所成的集合 B 可寫成 B={1,3,5,7}。 集合之另一種表示方法是將集合中之元素所具有的性質寫出，其標準寫法為 {x∣x 所具有的性質}，或{ x:x 所具有的性質}。 例如：A={𝑥 ∣ 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 10，𝑥為實數}，則 A 表示所有由 1 至 10 間之質數 (prime numbers)所成之集合，即 A={2,3,5,7}。 如果一個集合中沒有任何元素則稱為空集合(empty set)，通常用符號 Ø 表示 空集合。例如方程式𝑥 2 + 3 = 0所有實根(real roots)所成之集合是 Ø ，比 0 小之所 有正數所成之集合也是 Ø 。

♢定義(Definition)0.1：部分集合(subset) 設 A 與 B 為二集合，若在 A 中之元素都在 B 中，則稱 A 是 B 的部分集合(subset)， 寫成 A∁B。 A 是 B 的部分集合(A is a subset of B)可用下面圖形表示

♣例(Example)0.1 設 A={1,2,3,4,5}，B={1,3,5}，C={2,6}，問 (1)B 是否為 A 之部分集合(subset)? (2) C 是否為 A 之部分集合? 【解】

(1)因 B 中之元素都在 A 中，故B ⊂ A (2)因 6 ∈ C，但6 ∉ A，故C ⊄ A。

♢定義 0.2：聯集(union) 設 A 與 B 為二集合，A 與 B 的聯集(union) A ∪ B為在 A 或在 B 中所有元素所 成之集合，即 A ∪ B = {𝓍 ∣ 𝓍 ∈ A 或 x ∈ B}。 集合 A 與集合 B 之聯集(The union of A and B)可用下面圖形表示：

♣䞋 0.2 č‹Ľ A={a,b,c}ďźŒB={a,c,b}ďźŒćą‚A âˆŞ B。 ă€?解】

A âˆŞ B = {a, b, c, d}。

♢厚瞊 0.3ďźš交集(intersection) 設 A čˆ‡ B ç‚şäşŒé›†ĺ?ˆďźŒA čˆ‡ B çš„交集(intersection)ç‚şĺ?Œć™‚ĺœ¨ A čˆ‡ B 中äš‹ć‰€ćœ‰ĺ…ƒç´ ć‰€ćˆ?䚋集ĺ?ˆďźŒĺ?ł A ∊ B = { đ?“? âˆŁâˆŁâˆŁ đ?“? ∈ A 且 x ∈ B }。 集ĺ?ˆ A čˆ‡é›†ĺ?ˆ B çš„交集(The intersection of A and B)ĺ?Żç”¨ä¸‹é?˘ĺœ–形襨示ďźš

♣䞋 0.3 č‹Ľ A={đ?“? âˆŁ đ?“?ĺ?Żć•´é™¤ 8 䚋正整數}ďźŒB={đ?“? âˆŁ đ?“?ĺ?Żć•´é™¤ 12 䚋正整數}ďźŒćą‚ A ∊ B。 ă€?解】

A={1,2,4,8}ďźŒB={1,2,3,4,6,12} A ∊ B = {1,2,4}。

垎çŠ?ĺˆ†裥ćœ€常茋䚋集ĺ?ˆç‚şć•¸(numbers)所ćˆ?䚋集ĺ?ˆćˆ–éťž(points)所ćˆ?䚋集ĺ?ˆă€‚ 下é?˘ĺ°‡äť‹級垎çŠ?ĺˆ†裥常用䚋一些集ĺ?ˆ珌č™&#x;。 N:襨示ć‰€ćœ‰č‡Şç„ść•¸ć‰€ćˆ?䚋集ĺ?ˆ(The set of all natural numbers) I:襨示ć‰€ćœ‰ć•´ć•¸ć‰€ćˆ?䚋集ĺ?ˆ(The set of all integers) Q:襨示ć‰€ćœ‰ç?†ć•¸ć‰€ćˆ?䚋集ĺ?ˆ(The set of all rational numbers) R:襨示ć‰€ćœ‰富數所ćˆ?䚋集ĺ?ˆ(The set of all real numbers) ĺœ¨éŤ˜中(č ˇ)äš‹ć•¸ĺ­¸čŁĄďźŒ塲çś“ĺ­¸çż’é Žďźšč‡Şç„ść•¸(Natural numbers)ĺż…ĺŽšć˜Żć•´ć•¸

(Integers)，整數必定是有理數(Real numbers)，有理數必定是實數(Real numbers)， 即 N ⊂ I ⊂ Q ⊂ R ，圖示如下

♢定義 0.4：開區間(Open interval) 開區間(Open interval) (𝑎, 𝑏)表示比 a 大且比 b 小之所有實數所成之集合，即 (𝑎, b) = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 < b}。 開區間(𝑎, b) = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 < b}可用下面數線上之點表示。在𝓍 = 𝒶與𝓍 = b 處用空心之點表示，其意義就是開區間(𝑎, b)不包含𝓍 = 𝒶 及 𝓍 = b兩點。

♢定義 0.5：閉區間(closed interval) 閉區間(closed interval) [a,b]表示大於或等於 a 且小於或等於 b 之所有實數所成 之集合，即 [𝒶, b] = {𝓍 ∣ 𝒶 ≤ 𝓍 ≤ b} 閉區間[𝒶, b] = {𝓍 ∣ 𝒶 ≤ 𝓍 ≤ b} 可用下面數線上之點表示。在𝓍 = 𝒶與𝓍 = b 處用實心之點表示，其意義就是閉區間[𝒶, b] 包含𝓍 = 𝒶 及𝓍 = b 兩點。

♢定義 0.6：半開區間(Half-open interval) (1) 半開區間(Half-open interval) (𝒶, b]表示比 𝒶 大且小於或等於 b 之所有實數 所成之集合，即 (𝒶, b] = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 ≤ b} 。 (2) 半開區間(Half-open interval) [𝒶, b)表示比 𝒶 大且小於或等於 b 之所有實數 所成之集合，即 [𝒶, b) = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 ≤ b} 。 半開區間(𝒶, b] = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 ≤ b} 可用下面數線上之點表示：

半開區間[𝒶, b) = {𝓍 ∣ 𝒶 < 𝑥 ≤ b} 可用下面數線上之點表示：

符號∞ 讀作正無窮大(Positive infinity)，而−∞ 讀作負無窮大(Negative infinity)。須注意者，∞ 與−∞ 都不是實數，對於任意實數𝓍 都滿足𝓍 < ∞且𝓍 > −∞。 對於任意正數𝒶，規定𝒶 × ∞ = ∞，𝑎 × (−∞) = −∞ 對於任意負數 b，規定𝑏 × ∞ = −∞，𝑏 × (−∞) = ∞ 對於任意實數𝓍，規定𝓍 + ∞ = ∞，𝓍 + (−∞) = −∞ 對於任意實數𝓍，規定

𝓍 ∞

= 0，

𝓍 −∞

=0

區間(−∞, ∞)表示整條數線，即所有實數所成之集合ℛ。 區間(0, ∞)表示數線之右半部，或所有正數所成之集合。 區間(interval)是直線上之點所成之集合，而區間(region)是平面上之點所成之 集合。在微積分裡，常遇到下面類型之區域。

♣例 0.4 集合符號 ℛ = {(𝓍, 𝓎 ) ∣ 𝒶 ≤ 𝓍 ≤ 𝑏, 𝑓 (𝓍) ≤ 𝓎 ≤ ℊ(𝓍)} 表示由直線𝓍 = 𝒶 ，𝓍 = b，曲線 𝓎 = 𝑓(𝓍) ， 𝓎 = 𝑓 (𝓍) 所圍成之區域，試在座標平面上描出區域ℛ 之 圖形。 【解】區域 ℛ 為下圖陰影部分

♣例 0.5 集合符號 ℛ = {(𝓍, 𝓎 ) ∣ 𝒸 ≤ 𝓎 ≤ 𝒹, 𝑓(𝓎 ) ≤ 𝓍 ≤ ℊ(𝓎 )} 表示由直線𝓎 = 𝒸 ， 𝓎 = 𝒹，曲線 𝓍 = 𝑓 (𝓎 ) ， 𝓍 = ℊ(𝓎 ) 所圍成之區域，試在座標平面上描出區 域 ℛ 之圖形。 【解】區域 ℛ 為下圖陰影部分

♣例 0.6 集合符號 ℛ = {(𝓍, 𝓎 ) ∣ 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4} 表示由直線由圓𝓍 2 + 𝑦 2 = 1 及圓 𝓍 2 + 𝑦 2 = 4 所圍成之環形區域，試在座標平面上描出區域 ℛ 之圖形。 【解】區域 ℛ 為下圖陰影部分

0-2 實數之性質 (Properties of Real Numbers) 微積分中所討論的數都是實數 (Real numbers)，所有實數所成之集合用ℛ表示。 實數與數限 (number line) 上之點有一對一的關係，即 ① 對於任意一個實數(Real numbers) 𝒶，可在數線上找到唯一的點 𝒫，而𝒫 點之坐標 (coordinate) 為 𝒶。 ② 對於數線上任意一點 𝒬，可找到唯一的實數 b，而 b 就是 𝒬點之坐標。 在微積分 (Calculus) 裡，實數 (Real numbers) 與數線上之點 (point) 常混合使 用。

♡ 三一律 (The Trichotomy Property) 實數之三一律可用下面兩種意義相同之方法表示 ① 若 𝓍 為一實數，則 𝓍 > 0 ， 𝓍 = 0 ， 𝓍 < 0 三者必有一成立，且只有 一成立。 ② 若 𝓍，y 為二實數，則 𝓍 > y ， 𝓍 = y ， 𝓍 < 𝑦 三者必有一成立，且只 有一成立。

♢定義 0.7：絕對值(Absolute value) 設 𝓍 為一實數，符號 |𝓍| 表示的絕對值(Absolute value)： 若 𝓍 ≥ 0，則 |𝓍| = 𝓍，若 𝓍 < 0 時，則 |𝓍| = −𝓍。 ♣例 0.7 解方程式 |3𝓍 − 5| = 2。 【解】

由 |3𝓍 − 5| = 2 得 3𝓍 − 5 = 2 或 3𝓍 − 5 = −2 7

當 3𝓍 − 5 = 2 時，得 3𝓍 = 7，𝓍 = 3 當 3𝓍 − 5 = −2 時，得 3𝓍 = 3，𝓍 = 1 7

故此方程式之解為 𝓍 = 3 或 𝓍 = 1。

♡絕對值之性質(Properties of Absolute value) 設 ① ② ③

𝓍 與 y 為任意二實數，則下面各等式及不等式成立。 |𝓍 | ≥ 0 |𝓍 − 𝑦 | = |𝑦 − 𝓍 | −|𝓍| ≤ 𝓍 ≤ |𝓍|

④ |𝓍 + 𝑦| ≤ |𝓍| + |𝑦|，|𝓍 − 𝑦| ≤ |𝓍| + |𝑦| ⑤ ||𝓍| − |𝑦|| ≤ |𝓍 − 𝑦| ⑥ |𝓍𝑦| = |𝓍||𝑦| ⑦ √𝓍 2 = |𝓍|

♡不等式(Inequalities) ① 0 < |𝓍 − 𝒶| < 𝛿 的充要條件 (Necessary and sufficient condition) 0 < |𝓍 − 𝒶| < 𝛿 ⟺ 𝒶 − 𝛿 < 𝓍 < 𝒶 + 𝛿 ，且 𝓍 ≠ 𝒶 0 < |𝓍 − 𝒶 | < 𝛿 ⟺ 𝒶 − 𝛿 < 𝓍 < 𝑎 + 𝛿 或 𝒶 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ② |𝑓(𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀 的充要條件 |𝑓 (𝑥 ) − 𝐿 | < 𝜀 ⟺ 𝐿 − 𝜀 < 𝑓 (𝑥 ) < 𝐿 + 𝜀 。 ♣例 0.8 解不等式 |𝓍 − 3| < 5 。 【解】

−5 < 𝓍 − 3 < 5 −2 < 𝓍 < 8 。

♣例 0.9 解不等式 |5𝓍 − 8| < 3 。 【解】

|5𝓍 − 8| < 3 −3 < 5𝓍 − 8 < 3 5 < 5𝓍 < 11 11 1<𝑥< 5 。

0-3 函數與其圖形(Functions and Their Graphs) 在討論函數(function)之前，先要了解什麼是變數 (variable)。已知一個閉區間 (closed interval) [𝒶, 𝑏]，如果𝓍滿足條件𝒶 ≤ 𝓍 ≤ b，則稱𝓍屬於區間[𝒶, 𝑏]，或稱𝓍在 區間[𝒶, 𝑏]上。若𝓍為區間[𝒶, 𝑏]上之任意數值，或者說𝓍可在區間[𝒶, 𝑏]上任意變 動時，則稱𝓍為區間[𝒶, 𝑏]上的一個變數。 當然一個變數𝓍不一定要限制在閉區間上，𝓍也可以在給定的集合內。例如 A = {1，2，3，4，5}，我們說𝓍是集合A內的一個變數時，指的是𝓍可為 1，2， 3，4，5 中之任意一個值。

♢定義 0.8：函數(Function) 若變數 y 隨著變數 𝓍依照某種規則而變動，則稱 y 為 𝓍的函數。通常用符號 y= 𝑓(𝑥 )表示 y 為 𝓍的函數，並稱 𝓍為自變數(Independent variable)，y 為應變數 (Dependent variable)。在函數y = 𝑓(𝑥 )中，自變數 𝓍允許變動的範圍稱為定義域 (Domain of definition)。若𝒶為函數 𝑓(𝑥 )之定義域中的一個數，則 𝑓(𝒶)表示將 𝑓 (𝑥 )中的 𝑥用𝒶代入後，所求出的數值，我們稱 𝑓 (𝒶)為𝒶的函數值 (value)，所 有函數值所成之集合稱為值域(range)。

♣例 0.10 若 𝑓(𝑥 ) = 𝓍 2 − 7 𝑥 + 15，求 𝑓(3)。 【解】 𝑓 (3) = 32 − 7 ∙ 3 + 15 = 9 − 21 + 15 = 3。

♢定義 0.9：函數之圖形 (Graph of a function) 若函數 𝑓之定義域為 A，則{(𝑥, 𝑓 (𝑥 ))|𝑥 ∈ 𝐴}稱為 𝑓之圖形(The graph of 𝑓)。 令 y=𝑓 (𝑥 )，則函數𝑓之圖形{(𝑥, 𝑓 (𝑥))|𝑥 ∈ 𝐴}可寫成{(𝑥, 𝑦)|, 𝑦 = 𝑓(𝑥 ), 𝑥 ∈ 𝐴}。在 直角坐標平面上，將所有滿足 y=𝑓(𝑥 )，𝑥 ∈ 𝐴之點(𝑥, 𝑦)描出，就成為函數𝑓之圖 形表示(Graphical representation)。

♣例 0.11 描出函數𝑓(𝑥 ) = 𝓍 2 之圖形。 【解】函數𝑓之定義域為所有實數所成之集合 ℛ 函數𝑓之值域為[0,∞) 函數𝑓之圖形為一個拋物線(parabola)，如下圖所示：

在微積分裡，最簡單之函數就是多項式函數 (Polynomial function)，此種函數可 用下面形式表示： 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝓍 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 其中𝑎𝑘 (𝑘 = 0,1,2, ⋯ , 𝑛)稱為多項式𝑓(𝑥 )之係數 (Coefficient of the polynomial 𝑓 (𝑥 )) ，𝑎𝑘 𝓍 𝑘 稱為此多項式之項 (Term of the polynomial) 。若𝑎𝑛 ≠ 0，則稱𝑓(𝑥 ) 為𝑛次多項式(Polynomial of degree 𝑛)。如果沒有特別指定時，多項式函數之定義 域為所有實數所成之集合ℛ。 常數函數 (Constant function) 𝑓(𝑥 ) = 𝒸之圖形為水平線 (Horizontal line)，如 下圖所示：

硚性函數 (Linear function) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?äš‹ĺœ–形為直硚(line)ďźŒĺ…śä¸­đ?‘Žç‚şç›´çˇš äš‹ć–œçŽ‡ (slope)ďźŒb ç‚ş y ćˆŞčˇ? (intercept)ďźŒĺŚ‚ä¸‹ĺœ–ć‰€示ďźš

äşŒ揥函數 (Quadratic function) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?“? 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?ďźŒđ?’ś ≠0äš‹ĺœ–形為拋牊硚 đ?‘?

đ?‘?

(parabola)ďźŒĺ…śé ‚éťž(vertex) äš‹đ?‘Ľĺ??ć¨™ç‚şâˆ’ 2đ?‘ŽďźŒy ĺ??標為đ?‘“ (− 2đ?‘Ž )ďźŒç•śđ?’ś > 0ć™‚ďźŒć‹‹ç‰Š 硚開ĺ?Łĺ?‘上 (The parabola opens upward)ďźŒç•śđ?’ś < 0ć™‚ďźŒć‹‹ç‰Šçˇšé–‹ĺ?Łĺ?‘下(The parabola opens downward)。

一個斚程ĺź? (equation)äš‹ĺœ–形 (graph) ĺ°?稹ć–źđ?‘Ľčť¸(Symmetric with respect to the đ?‘Ľ − axis) ⇔畜非(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)ĺœ¨ĺœ–形ä¸Šć™‚ďźŒéťž(đ?‘Ľ, −đ?‘Ś)äš&#x;ĺœ¨ĺœ–形上。

一個斚程ĺź?äš‹ĺœ–形ĺ°?稹ć–ź y 蝸 (Symmetric with respect to the đ?‘Ś − axis) ⇔ ç•śéťž(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)ĺœ¨ĺœ–形ä¸Šć™‚ďźŒéťž(−đ?‘Ľ, đ?‘Ś)äš&#x;ĺœ¨ĺœ–形上。

一個方程式之圖形對稱於原點 (Symmetric with respect to the origin ) ⇔當點 (𝑥, 𝑦)在圖形上時，點(−𝑥, − 𝑦)也在圖形上。 𝑦 = 𝓍3 (𝑥, 𝑦)

(−𝑥, − 𝑦)

奇函數與偶函數之圖形 (Graphs of Odd and Even Functions) 1.

若對於函數𝑓(𝑥 )之定義域中的所有𝑥，都滿足𝑓(−𝑥 ) = −𝑓(𝑥 )，則稱𝑓(𝑥) 為奇函數(Odd function)。

2.

若對於函數𝑓(𝑥 )之定義域中的所有𝑥，都滿足𝑓(−𝑥 ) = 𝑓(𝑥)，則稱𝑓 (𝑥 )為 偶函數(Even function)。

3.

奇函數 (Odd function)的圖形對稱於原點 (orgin)，偶函數 (Even function)的圖形對稱於 y 軸 (𝑦 − axis)。

例如𝑓 (𝑥 ) = 𝓍 3 是奇函數(Odd function)，其圖形對稱於原點，而ℊ(𝑥 ) = 𝓍 2 是偶函數(Even function)，其圖形對稱於 y 軸，圖示如下：

𝑦 = 𝓍3 (𝑥, 𝑦)

(−𝑥, − 𝑦)

下面討論函數圖形之平移 (translation)，包括上下平移與左右平移。 設𝒶 > 0，y = 𝑓 (𝑥)之圖形與y = 𝑓(𝑥 ± 𝒶)之圖形的關係。 1.

將𝑦 = 𝑓 (𝑥 )的圖形向右(沿𝑥軸的正方向) 平移𝒶個單位，就得到𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝒶)的圖形。例如將拋物線y = 𝓍 2 向右平移 2 個單位，即得拋物線 y = (𝑥 − 2)2 ，圖示如下：

2.

將𝑦 = 𝑓 (𝑥 )的圖形向左(沿 x 軸的負方向)平移 a 各單位，就得到𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)的圖形。例如將拋物線𝑦 = 𝑥 2 向左平移 2 個單位，即得拋物線 𝑦 = (𝑥 + 2)2 ，圖示如下：

設 𝑏 > 0，𝑦 = 𝑓(𝑥)之圖形與 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) ± 𝑏之圖形的關係

1. 將y = 𝑓 (𝑥 )的圖形向上(沿𝑦軸的負方向) 平移b個單位，就得到𝑓 (𝑥 ) + b 的圖形。例如將拋物線y = 𝓍 2 向上平移 2 個單位，即得拋物線y = 𝑥 2 + 2， 圖示如下：

2. .將y = 𝑓(𝑥 )的圖形向下(沿 y軸的正方向) 平移b個單位，就得到𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑏的圖形。例如將拋物線 y = 𝓍 2 向下平移 2 個單位，即得拋物 線 y = 𝓍 2 − 2，圖示如下：

二函數之和、差、積、商 設𝒶在𝑓 (𝑥 )之定義域內也在ℊ(𝑥 )之定義域內 1.

二函數之和 (sum) 若ℎ(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) + ℊ(𝑥 )，則ℎ(𝒶) = 𝑓 (𝒶) + ℊ(𝒶)

2.

二函數之差 (difference) 若ℎ(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) − ℊ(𝑥 )，則ℎ(𝒶) = 𝑓 (𝒶) − ℊ(𝒶)

3.

二函數之積 (product) 若ℎ(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 )ℊ(𝑥 )，則ℎ(𝒶) = 𝑓(𝒶)ℊ(𝒶)

4.

二函數之商 (quotient) 𝑓(𝑥)

𝑓(𝒶)

若ℎ(𝑥 ) = ℊ(𝑥)，則ℎ(𝒶) = ℊ(𝒶)，ℊ(𝒶) ≠ 0

複合函數(Composite function) 1. 2.

ℊ𝑓 (𝑥) = ℊ(𝑓 (𝑥 )) 𝑓ℊ(𝑥 ) = 𝑓(ℊ (𝑥))

♣例 0.12 若 𝑓(𝑥 ) = 𝓍 2 + 3， 𝑔(𝑥 ) = 𝓍 2 + 𝑥 + 2，𝓂( 𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )， 𝓃( 𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )， 𝓅( 𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )， 𝓆( 𝑥 ) =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

，

求𝓂(𝒶)，𝓃(𝒶)，𝓅(𝒶)，𝓆(𝒶)，ℊ𝑓 (𝒶)，𝑓ℊ(𝒶)。 【解】𝓂(𝒶) = 𝑓 (𝒶) + 𝑔(𝒶) = (𝒶2 + 3) + (𝒶2 + 𝒶 + 2) = 2𝒶2 + 𝒶 + 5 𝓃(𝒶) = 𝑓 (𝒶) − 𝑔(𝒶) = (𝒶2 + 3) − (𝒶2 + 𝒶 + 2) = −𝒶 + 1 𝓅(𝒶) = 𝑓 (𝒶)𝑔(𝒶) = (𝒶2 + 3)(𝒶2 + 𝒶 + 2) = 𝒶4 + 𝒶3 + 5𝒶2 + 3𝒶 + 6 𝑓(𝒶) 𝒶2 +3 𝓆 (𝒶 ) = = 2 𝑔(𝒶)

𝒶 +𝒶+2

𝑔𝑓 (𝒶) = 𝑔(𝑓 (𝒶)) = 𝑔(𝒶2 + 3) = (𝒶2 + 3)2 + (𝒶2 + 3) + 2 = 𝒶4 + 7𝒶2 + 14 𝑓𝑔(𝒶) = 𝑓(𝑔(𝒶)) = 𝑔(𝒶2 + 𝒶 + 2) = (𝒶2 + 𝒶 + 2)2 + 3 = 𝒶4 + 𝒶2 + 4 + 2𝒶3 + 4𝒶 + 4𝒶2 + 3 = 𝒶4 + 2𝒶3 + 5𝒶2 + 4𝒶 + 7

♡定義 0.10：反函數 (Inverse function) 設函數𝑓之定義域 (Domain of definition) 為 A，值域 (range)為ℬ，函數 𝑔之定 義域為 β，值域為 A，若對於𝑓之定義域 A 中之任意 𝑥都滿足 𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥，對 於 𝑔之定義域ℬ中之任意 y 都滿足 𝑓(𝑔(y))，則稱 𝑔為 𝑓的反函數 (Inverse function)，記為 𝑔 = 𝑓 −1。若函數 𝑓之反函數存在，則稱 𝑓為可逆函數(Invertible function)。 註：由反函數之定義知，若 𝑔為𝑓之反函數，則𝑓為 𝑔之反函數。

♢定義 0.11：一對一函數 (One-to-one function) 設函數𝑓之定義域為 A，若對於𝑓之定義域中之二元素𝑥1 ，𝑥2 ，若𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 )，則𝑥1 = 𝑥2，則 𝑓稱為一對一函數(One-to-one function)。

♡定理 0.1：一對一函數為可逆函數 若𝑓為一對一函數(One-to-one function)，則𝑓為可逆函數 (Invertible function)。 【證】令𝑓之定義域為Α，值域為Β 作一個以Β為定義域之函數 因Β為一對一函數𝑓之值域 故對於任意y ∈ B，在Α中存在唯一之𝑥使得𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 令函數𝑔之對應規則為 𝑔(𝑦) = 𝑥，其中𝑥為Α中唯一可使𝑓 (𝑥 ) = 𝑦之元素 則𝑓(𝑔(𝑦)) = 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦，𝑔(𝑓 (𝑥 )) = 𝑔(𝑦) = 𝑥 令𝒲為𝑔之值域，即𝒲 = {𝓌 |𝓌 = 𝑔(𝑣), 𝑣 ∈ B} 若𝒶 ∈ Α，則𝑓 (𝒶) ∈ B，𝑔(𝑓 (𝒶)) = 𝒶，即𝒶 ∈ 𝒲， 故Α ⊂ 𝒲 若b ∈ 𝒲，則𝑏 = 𝑔(𝓏 )，𝓏 ∈ B 因Β為𝑓之值域 故在Α中存在𝑟使得𝑓 (𝑟) = 𝓏 𝑟 = 𝑔(𝑓 (𝑟)) = 𝑔(𝓏 ) = 𝑏 故b ∈ Α，即𝒲 ⊂ Α 故Α = 𝒲，即Α為𝑔之值域 故𝑔為𝑓之反函數 即𝑓為可逆函數。

♡定理 0.2：可逆函數必為一對一函數 若𝑓為可逆函數 (Invertible function)，則𝑓為一對一函數(One-to-one function)。 【證】若𝑔為𝑓之反函數，𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )， 則𝑥1 = 𝑔(𝑓 (𝑥1 ) = 𝑔(𝑥2 ) = 𝑥2 故𝑓為一對一函數。

♣例 0.13 求 𝑓(𝑥 ) = 𝓍 3 之反函數 (Inverse function)。 【解 1】因 𝑓 (𝑥 ) = 𝓍 3 為一對一函數 故函數𝑓為可逆 令𝑔為𝑓之反函數 3

𝑓(𝑔(𝑥 )) = (𝑔(𝑥)) = 𝑥 故𝑔(𝑥 ) = 3√𝑥 。 【解 2】 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) = 𝓍 3 ，𝓍 = 3√𝑦 故𝑓之反函數𝑔(𝑥 ) = 3√𝑥 。 片段定義函數(Piecewise defined functions) 下面將舉一些片段定義函數，並描繪出其圖形。 ♣例 0.14 將 𝑓(𝑥 ) = |𝑥 − 3|改寫成片段定義函數(Piecewise defined functions)，並描繪出此 函數之圖形。 【解】因𝑥 ≥ 3時，|𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 𝑥 < 3時，|𝑥 − 3| = −(𝑥 − 3) = 3 − 𝑥 故𝑓 (𝑥 ) = |𝑥 − 3|可改寫成片段定義函數 𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 3 𝑓 (𝑥 ) = { 3 − 𝑥, 𝑥 < 3 此函數之圖形如下圖所示

♣例 0.15 描出片段定義函數 𝑓 (𝑥 ) = {

𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 之圖形。 2, 1 < 𝑥 ≤ 2

【解】此函數之圖形如下圖所示

最大整數函數 (The greatest integer functions) 函數𝑓(𝑥 ) = [𝑥]稱為𝑥之最大整數函數，即對於任意實數𝑥而言，符號[𝑥 ]表示 小於或等於之最大整數(The greatest integer less than or equal to 𝑥)， 例如： [1.6] = 1，[3] = 3，[−2] = −2，[−4.3] = −5。 最大整數函數𝑓 (𝑥 ) = [𝑥]之圖形如下圖所示：

0-4 三角函數 (Trigonometric Functions) 三角學 (trigonometry) 起源於古希臘人研究三角形 (triangle) 之角 (angles) 與 邊 (sides) 而發展出來的一門數學。 角之度量 (measurement) 有度 (degree) 與弧度 (radian) 二種單位。將圓周 分成 360 等分，則每等分圓弧所對之圓心角稱為 1 度。故一圓周為360𝑜 。 與半徑等長之圓弧所對之圓心角稱為 1 弧度。因圓周長為 2𝜋𝑟 ，故一圓周 為 2𝜋 弧度。因此得2𝜋弧度 = 360 度，𝜋 弧度 = 180 度。為了方便起見，常寫 成

𝜋 = 180𝑜 。

♡ 弧度 (radian) 與度 (degree) 之換算 (1) 2𝜋 弧度 = 360 度 (或寫成2𝜋=360𝑜 ) (2) 1 弧度=

180 𝜋

度≈ 57.2957 度

𝜋

(3) 1 度= 180 ≈ 0.0175432 弧度 。 特別角之弧度制與度制之換算 30° 45° 60° 90° 120°

Ѳ(度)

0°

135°

150°

180°

Ѳ(弧度)

0

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

2𝜋 3

3𝜋 4

5𝜋 6

𝜋

Ѳ(度)

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Ѳ(弧度)

7𝜋 6

5𝜋 4

4𝜋 3

3𝜋 2

5𝜋 3

7𝜋 4

11𝜋 6

2𝜋

三角函數䚋厚瞊 (Definition Trigonometric Functions) 設 θ ć˜Żć¨™ćş–ä˝?罎č§’ďźŒ䝼ĺŽ&#x;éťžç‚şĺœ“ĺżƒĺ?Šĺž‘镡 1 ä˝œä¸€ĺœ“ďźŒč‹Ľć­¤ĺ–Žä˝?ĺœ“čˆ‡č§’ θ çš„ çľ‚é‚Šç›¸äş¤ć–źéťžďźŒĺŽš瞊角 θ 的三角函數匂下 sin θ = y đ?‘Ś tan θ = đ?“?

cos θ = đ?“? đ?“? cot θ = đ?‘Ś

sec θ = đ?“?

csc θ = đ?‘Ś

1

1

三角函數䚋直角三角形厚瞊ćł• Right Triangle Definition of Trigonometric Functions

Opposite

sin θ = Hypotenuse = Opposite

tan θ = Adjacent = sec θ =

Hypotenuse Adjacent

ĺ°?é‚Š

Adjacent

cos θ = Hypotenuse =

ć–œé‚Š

ĺ°?é‚Š

Adjacent

cot θ = Opposite =

é„°é‚Š

=

ć–œé‚Š

csc θ =

é„°é‚Š

ĺ&#x;şćœŹć †ç­‰ĺź? (Basic Identities) sin θ

1. tan θ = cos θ 1

1 cos θ 1

= sec θ

2. cot θ = tanθ = cos θ sec θ 2 2 3. sin θ + cos θ = 1 4. 1 + tan2 θ = sec 2 θ 5. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ

1 tan θ 1 csc θ

= cot θ

= sin θ

č˛ č§’ĺ…Źĺź? (Negative-Angle formulas) 1. sin (−θ) = −sinθ cos (−θ) = cosθ 2. tan (−θ) = −tanθ cot (−θ) = −cotθ 3. sec (−θ) = secθ csc (−θ) = −cscθ

Hypotenuse Opposite

é„°é‚Š ć–œé‚Š

é„°é‚Š ĺ°?é‚Š

=

ć–œé‚Š ĺ°?é‚Š

é¤˜č§’ć †ç­‰ĺź? (Coangle Identities) đ?œ‹

đ?œ‹

1. sin ( 2 − θ) = cos θ

cos ( 2 − θ) = sin θ

2. tan ( 2 − θ) = cot θ

cot ( 2 − θ) = tan θ

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

3. sec ( 2 − θ) = csc θ csc ( 2 − θ) = sec θ ĺ’Œčˆ‡塎ĺ…Źĺź? (Sum and Difference Formulas) 塲ç&#x;ĽäşŒč§’ Îą čˆ‡ β çš„ä¸‰č§’ĺ‡˝ć•¸ĺ€źďźŒĺ?Żç”ąä¸‹é?˘äşŒč§’äš‹ĺ’Œĺ?Š塎äš‹ĺ…Źĺź? 湂出 Îą+β ĺ?Š Îą – β 的三角函數借。 1. sin(Îą + β) = sin Îą cosβ + cos Îą sinβ 2. sin(Îą − β) = sin Îą cosβ − cos Îą sinβ 3. cos(Îą + β) = cos Îą cosβ − sin Îą sinβ 4. cos(Îą − β) = cos Îą cosβ + sin Îą sinβ tan Îą+tanβ 5. tan(Îą + β) = 1−tan Îą tanβ 6. tan(Îą − β) =

tan Îąâˆ’tanβ

1+tan ι tanβ

äşŒĺ€?角兏ĺź? (Double-Angle Formulas) 1. sin 2θ = 2 sin θ cos θ 2. cos 2θ = cos 2 θ − sin2 θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sin2 θ 2tan θ 3. tan 2θ = 1−tan2 θ ĺ?Šč§’ĺ…Źĺź? (Half-Angle Formulas) 1. sin

θ

2. cos

θ

2

Âą

= √ Âą

1−cos θ

= √ 2

2

3. sin đ?‘Ľ = 4. cos 2 đ?‘Ľ =

2 1+cos θ

2 1−cos 2đ?‘Ľ 2 1+cos 2đ?‘Ľ 2

�冪兏� (Reduce power Formulas) 3

1

1

1. sin4 đ?‘Ľ = 8 − 2 cos 2đ?‘Ľ + 8 cos 4đ?‘Ľă€‚ ă€?證】甹ĺ?Šč§’ĺ…Źĺź? sin2 đ?‘Ľ = sin4 đ?‘Ľ = (sin2 đ?‘Ľ)2 = 1

1−cos 2đ?‘Ľ

ďźŒĺž—

2 1−cos 2đ?‘Ľ 2 ( 2 ) 2

= 4 (1 − 2cos 2đ?‘Ľ + cos 2đ?‘Ľ) 1

= 4 (1 − 2cos 2đ?‘Ľ + 3

1

1

8

2

8

1+cos 4đ?‘Ľ 2

= − cos 2đ?‘Ľ + cos 4đ?‘Ľă€‚

)

1

2. sin2 đ?‘Ľ cos 2 đ?‘Ľ = 8 (1 − cos 4đ?‘Ľ)。 ă€?č­‰ă€‘ç”ąäşŒĺ€?角兏ĺź? sin 2đ?‘Ľ = 2sin đ?‘Ľ cos đ?‘ĽďźŒĺž— 1

1

sin2 đ?‘Ľ cos 2 đ?‘Ľ = 4 (2sin đ?‘Ľ cos đ?‘Ľ)2 = 4 sin2 2đ?‘Ľ 1

= 4(

1−cos 4đ?‘Ľ

3

2 1

1

) = 8 (1 − cos 4đ?‘Ľ )。 1

3. cos 4 � = 8 + 2 cos 2� + 8 cos 4�。 �證】甹��角兏� cos 2 � =

1+cos 2đ?‘Ľ

2 1+cos 2đ?‘Ľ 2 ( 2 ) 2

cos 4 đ?‘Ľ = (cos 2 đ?‘Ľ)2 = 1

ďźŒĺž—

= 4 (1 + 2cos 2đ?‘Ľ + cos 2đ?‘Ľ) 1

= 4 (1 + 2cos 2đ?‘Ľ + 3

1

1+cos 4đ?‘Ľ 2

1

)

= 8 + 2 cos 2đ?‘Ľ + 8 cos 4đ?‘Ľă€‚ çŠ?ĺŒ–ĺ’Œĺ…Źĺź? (Product to Sum Formulas) â‘ sin Îą cosβ = â‘Ą cos Îą sinβ = ③ cos Îą cosβ = â‘Ł sin Îą sinβ =

1

[sin(Îą + β) + sin(Îą − β)]

2 1 2 1 2 1 2

[sin(Îą + β) − sin(Îą − β)] [cos(Îą + β) + cos(Îą − β)]

[cos(Îą − β) − cos(Îą + β)]

ĺ’ŒĺŒ–çŠ?ĺ…Źĺź? (Sum to Product Formulas) â‘ sin θ + sin φ = 2 sin â‘Ą sin θ − sin φ = 2 cos

θ+φ 2 θ+φ

③ cos θ + cos φ = 2 cos

θ sin θ cos θ tan θ

0 0 1 0

√3

sin

2 θ+φ

â‘Ł cos θ − cos φ = −2 sin

đ?œ‹ 6 1 2 √3 2 1

cos

2 θâˆ’Ď†

cos

2 θ+φ 2

θâˆ’Ď†

2 θâˆ’Ď†

sin

2 θâˆ’Ď† 2

ç‰šĺˆĽč§’äš‹ä¸‰č§’ĺ‡˝ć•¸ĺ€ź đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ 4 3 2 √3 √2 1 2 2 1 √2 0 2 2 1

√3

ç„Ą

đ?œ‹

3đ?œ‹ 2

2đ?œ‹

0

−1

0

−1

0

1

0

ç„Ą

0

♡ 扇形之面積公式 若扇形之半徑為 𝑟 ，圓心角為 θ ，θ 以弧度為單位，則扇形之面積為 1

A = 2 𝑟2θ 。

♢定義 0.12：週期函數 (Periodic function) 若存在一正數 𝑇 ，對於函數 𝑓 之定義域上任何 𝑥 都有 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥 ) ， 則稱 𝑓 為一個週期函數 (Periodic function)。

♡ 定理 0.3：週期函數 (Periodic function) 之性質 若 𝑓(𝑥 ) 為週期 𝑇 之函數，則對於任意正整數 𝑛 都有 𝑓 (𝑥 + 𝑛𝑇) = 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 − 𝑛𝑇) 。 六個三角函數 (trigonometric functions) sin𝓍 ， cos 𝓍，tan𝓍，cot𝓍，sec 𝓍，csc𝓍 有個共通之性質，就是他們都是週期函數 (Periodic function) 。 sin(𝓍 + 2𝜋) = sin𝓍 (即 sin𝓍 為週期 2𝜋 之函數) cos(𝓍 + 2𝜋) = cos𝓍 (即 cos𝓍 為週期 2𝜋 之函數) tan(𝓍 + 𝜋) = tan𝓍 (即 tan𝓍 為週期 𝜋 之函數) cot(𝓍 + 𝜋) = cot𝓍 (即 cot𝓍 為週期 𝜋 之函數) sec(𝓍 + 2𝜋) = sec𝓍 (即 sec𝓍 為週期 2𝜋 之函數) csc(𝓍 + 2𝜋) = csc𝓍 (即 csc𝓍 為週期 2𝜋 之函數)

三角函數之圖形 (Graph of Trigonometric Functions) y = sin 𝑥 與 y = cos 𝑥 之圖形

y = tan đ?‘Ľ čˆ‡ y = cot đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形

y = sec đ?‘Ľ čˆ‡ y = csc đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形

正弦定律 (The Law of Sins) 設△ABC 為任意三角形，則

𝑎

𝑏

sin 𝐴

𝑐

= sin 𝐵 = sin 𝐶

餘弦定律 (The Law of Cosines) 設△ABC 為任意三角形，則 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 {𝑏2 = 𝑐 2 + 𝑎2 − 2𝑐𝑎 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑐 cos C

cos 𝐴 = 或

cos 𝐵 = { cos 𝐶 =

𝑏2 +𝑐 2 −𝑎 2 2𝑏𝑐 𝑐 2 +𝑎 2 −𝑏2 2𝑐𝑎 𝑎 2 +𝑏2 −𝑐 2 2𝑎𝑏

反三角函數 (Inverse Trigonometric Functions) 三角數 sin𝓍 ， cos 𝓍，tan𝓍，cot𝓍，sec 𝓍，csc𝓍 都不是一對一函數， 因此他們是沒有反函數。討論反三角函數時，採取限定三角函數之定義域之 方法，使得這些三角函數在此限定之定義域內成為一對一函數。 函數 𝑓 (𝑥 ) = sin𝓍 之圖形如下

𝜋 𝜋

此函數在區間[− 2 , 2 ]上為一對一函數，因此存在反函數。

♢定義 0.13：𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝔁 的定義 π

若 𝓍 = sin 𝑦， − 2 ≤ y ≤

π 2

，則定義 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝓍 。

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝓍 之圖形如下

𝜋

π

因 sin (− 2 ) = −1，故 𝑠𝑖𝑛−1 (−1) = − 2 𝜋

因 sin (− 3 ) = − 𝜋

因 sin (− 4 ) = −

√3 ，故 2 √2

2 −1

𝑠𝑖𝑛−1 (−

，故 𝑠𝑖𝑛−1 (−

√3 ) 2 √2 2

π

=−3

π

)=−4

因 sin=0，故 𝑠𝑖𝑛 0 = 0 𝜋

因 sin ( 4 ) = 因 sin 因 sin

𝜋 3 𝜋 2

=

√2 ，故 2

𝑠𝑖𝑛−1

√2 2

=

π 4

√3 ，故 2

= 1，故

π √3 𝑠𝑖𝑛−1 2 = 3 π 𝑠𝑖𝑛−1 1 = 2

函數 𝑓(𝓍) = cos 𝑥 之圖形如下

此函數在區間 [0, π]上為一對一函數，因此存在反函數。

♢定義 0.14：cos −1𝓍 的定義 若 𝓍 = cos 𝑦，0 ≤ y ≤ π ，則定義 y = cos −1 𝓍 。 因 cos 0=1，故 cos −1 1 = 0 因 cos 因 cos

π 4 π 2

=

√2 ，故 2

cos −1

√2 2

=

= 0，故 𝑐𝑜𝑠 −1 0 =

因 cos π = −1，故 𝑐𝑜𝑠

−1

π

π 4

2

(−1) = π

函數 𝑓(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 之圖形如下

π π

此函數在區間 [− 2 , 2 ]上為一對一函數，因此存在反函數。

♢定義 0.15：𝑡𝑎𝑛−1𝑥 的定義 π

若 𝑥 = tan 𝑦， − 2 ≤ y ≤

π 2

，則定義 y = tan−1 𝓍 。

函數 y = tan −1 x 之圖形如下

𝜋

𝜋

因𝑡𝑎𝑛 (− 3 ) = −√3，故 𝑡𝑎𝑛−1 (−√3) = − 3 𝜋

𝜋

因𝑡𝑎𝑛 (− 4 ) = −1，故 𝑡𝑎𝑛−1 (−1) = − 4 因𝑡𝑎𝑛 0 = 0，故 𝑡𝑎𝑛 −1 0 = 0 因𝑡𝑎𝑛 因𝑡𝑎𝑛

𝜋 4 𝜋 3

= 1，故 𝑡𝑎𝑛 −1 (−1) = −1

= √3，故 𝑡𝑎𝑛 √3 =

𝜋 4 𝜋 3

函數 𝑓(𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 之圖形如下

此函數在區間 [0, 𝜋]上為一對一函數，因此存在反函數。

♢定義 0.16：𝑐𝑜𝑡 −𝟏 𝑥 的定義 若 𝑥 = cot y，0 < 𝑦 < 𝜋 ，則定義 y = cot −1 𝓍 。 因𝑐𝑜𝑡 因𝑐𝑜𝑡 因𝑐𝑜𝑡 因𝑐𝑜𝑡

𝜋 2 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 4

= 0，故 𝑐𝑜𝑡 −1 0 = = 1，故 𝑐𝑜𝑡 −1 1 = =

1 √3

，故 𝑐𝑜𝑡

−1

= 1，故 𝑡𝑎𝑛 −1

𝜋 2 𝜋 4

0=0 1

√3

=

𝜋 3

函數 𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 之圖形如下

𝜋

𝜋

此函數在區間 0 ≤ 𝑥 < 2 ，或

2

≤ 𝑥 < 𝜋上為一對一函數，因此存在反函

數。

♢定義 0.17：𝑠𝑒𝑐 −𝟏 𝒙 的定義 π

若 𝑓(𝓍) = sec y，0 ≤ y < 2 ，或 因𝑠𝑒𝑐 0 = 0，故 𝑠𝑒𝑐 −1 1 = 因𝑠𝑒𝑐 因𝑠𝑒𝑐 因𝑠𝑒𝑐

𝜋 4 𝜋 3 𝜋 4

= √2，故 𝑠𝑒𝑐 = 2，故 𝑠𝑒𝑐 = −1，故

−1

−1

π 2

𝜋 2

√2 =

2=

1 𝑠𝑒𝑐 −1 3 √

< 𝑦 ≤ 𝜋，則定義 y = sec −1 𝓍 。

𝜋

𝜋 4

3

=𝜋

函數 𝑓(𝓍) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 之圖形如下

𝜋

𝜋

此函數在區間 0 ≤ 𝑥 < 2 ，或 − 2 ≤ 𝑥 < 𝜋上為一對一函數，因此存在反函 數。

♢定義 0.18：𝑐𝑠𝑐 −𝟏 𝒙 的定義 π

π

若 𝑓(𝓍) = csc y，0 < y ≤ 2 ，或 − 2 ≤ y < 0，則定義 y = csc −1 𝓍 。 因𝑐𝑠𝑐 0 = 0，故 sec −1 1 = 因𝑐𝑠𝑐 因𝑐𝑠𝑐

𝜋

= √2，故 𝑠𝑒𝑐

4 −𝜋 2

−1

= −1，故 𝑠𝑒𝑐

π 2

√2 =

−1

𝜋 4

(−1) =

−𝜋 2

0-5 多項式 (Polynomials) 一個變數(variable) 𝑥 之多項式(Polynomials) 的一般形式為 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝓍 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 其中 𝑛 是正整數，𝑎𝑛 ，𝑎𝑛−1 ， ⋯ ，𝑎1 ，𝑎0 都是常數(Constant)。 𝑎𝑘 稱為多項式 𝑓(𝑥 ) 之 𝑘 係數，𝑎0 稱為常數項。當𝑎𝑛 ≠ 0，則稱 𝑓 (𝑥 ) 為 𝑛 次多項式，或稱為 𝑥 的 𝑛 次式。 例如 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 + 8 是 𝑥 的一次式 𝑓 (𝑥 ) = 5𝓍 2 − 7𝑥 + 9 是 𝑥 的二次式 二多項式 𝑓 (𝑥 ) 與 𝑔(𝑥 ) 恆等之充要條件為二個多項式之次數相等，且其對 應項的係數也相等，即 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝓍 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ， 𝑔(𝑥 ) = 𝑏𝑛 𝓍 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 恆等之充要條件為 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ， 𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 ， ⋯ ， 𝑎0 = 𝑏0 。 用多項式所表示之函數稱為多項式函數 (Polynomial function)， 一些常用的乘法公式 1. 𝑎(𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏 2. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥 2 − 𝑎2 3. (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 4. (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 5. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 6. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 ) = 𝑎𝑐𝑥 2 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 )𝑥 + 𝑏𝑑 7. (𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥 3 + 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 + 𝑎3 8. (𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 − 𝑎3 9. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) = 𝑥 3 + 𝑎3 10. (𝑥 − 𝑎)(𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) = 𝑥 3 − 𝑎3

♡ 一些常用因式分解公式 𝑥 2 − 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)2 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑐𝑥 2 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 )𝑥 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 ) 𝑥 3 + 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)3 𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)3 𝑥 3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) 𝑥 3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) 𝑥 5 − 𝑎5 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 4 + 𝑎𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 + 𝑎4 ) 𝑥 5 + 𝑎5 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 4 − 𝑎𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎3 𝑥 + 𝑎4 ) 關於方程式 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 之解法，如果 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 可因式分解成 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑠) 時，則其解(根)為 𝑥 = 𝑟 及 𝑥 = 𝑠 ♣ 例 0.16 試解方程式 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 。

【解】

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 故此方程式的解為𝑥 = 2 及 𝑥 = 3

如果 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 不能因式分解時，則採用下面公式(當然可因式分解時，也可 採用此公式)。

♡ 一元二次方程式解得公式 若𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅，𝑎 ≠ 0，則 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 之解為 𝑥 =

♡ 一元二次方程式之根的判定 設 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ，則方程式 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (1) 當 𝐷 > 0 時，有相異二實根 (2) 當 𝐷 = 0 時，有二重根 (3) 當 𝐷 < 0 時，有共軛複根。

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

。

♡ 一元二次方程式之根與係數的關係 𝑏

𝐶

若α，β 為 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 之二根，則 α + β = − 𝑎 ， αβ = 𝑎 。 綜合除法(synthetic division) 用 𝑥 − 𝑐 去除多項式 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝓍 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 可用綜合 除法求出商及餘式。 令商為 q(𝑥 ) = 𝑏𝑛−1 𝓍 𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 𝓍 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ，餘式為 r`。

綜合除法可用下表表示 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 + 𝑐𝑏𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑏1 + 𝑐𝑏0 𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 + ⋯ + 𝑏0 + 𝑟

c 𝑏𝑛−1 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛−2 = 𝑎𝑛−1 + 𝑐𝑏𝑛−1 ⋮ 𝑏0 = 𝑎1 + 𝑐𝑏1 𝑟 = 𝑎0 + 𝑐𝑏0

商為 q(𝑥 ) = 𝑏𝑛−1𝓍 𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 𝓍 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ，餘式𝑟 = 𝑎0 + 𝑐𝑏0 ♣ 例 0.17 若𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 2𝑥 + 8 求 𝑥 − 3 除 𝑓 (𝑥) 之商及餘式。 【解】 3

2+ 6− 2+ 8 + 6 + 36 + 102 2 + 12 + 34 + 110

商為 2𝑥 2 − 12𝑥 + 34，餘式為 110 綜合除法可應用於多項式之因式分解

♣ 例 0.18 因式分解 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 。 【解】 1+ 0− + 1+ 1+ 1− + 2+ 1+ 3+

1 2

7+ 6 1− 6 6+ 0 6 0

故 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ♣ 例 0.19 因式分解 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 。 【解】 1− 2− + 1− 1− 1− + 3+ 1+ 2+

1 3

5+ 6 1− 6 6+ 0 6 0 “

故 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 綜合除法可應用於解 n 次方程式 ♣ 例 0.20 解方程式 𝑥 3 − 9𝑥 + 8 = 0 。 【解】 1− 0− 9+ 8 1 + 1+ 1− 8 1+ 1− 8+ 0 3 2 𝑥 − 9𝑥 + 8 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑥 − 8) = 0 故 𝑥=1 或 𝑥=

−1±√33 2

。

♣ 例 0.21 解方程式 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12 = 0 。 【解】 1 − 3 − 4 + 12 3 + 3 + 0 − 12 1+ 0− 4 + 0 “ 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 2 − 4) = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 故 𝑥 = −2 或 𝑥 = 2 或 𝑥 = 3。 二項式定理 (Binomial Theorem) (𝓍 + 𝑎)𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 +

𝑛(𝑛−1) 2!

𝑎2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ +

𝑛(𝑛−1)…(𝑛−𝑘+1) 𝑘!

𝑎𝑘 𝑥 𝑛−𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛

巴斯卡三角形 (Pascal’s triangle) (𝑥 + 𝑎)𝑛 之二項式展開之係數可由下面巴斯卡三角形求得 (𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑎)2 (𝑥 + 𝑎)3 (𝑥 + 𝑎)4 (𝑥 + 𝑎)5 (𝑥 + 𝑎)6

定理 0.4:餘式定理 (Remainder Theorem) 以 𝑥 − 𝑎 除多項式 𝑓 (𝑥 ) 的餘式 𝑟 = 𝑓 (𝑎) 。

♣ 例 0.22 設 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 3𝑥 + 8 ，試用綜合除法及餘式定理求 𝑥 − 3 除 𝑓 (𝑥 ) 的餘式 。 【解】

由綜合除法” 3

1+ 6− 3+ 8 + 3 + 27 + 72 1 + 9 + 24 + 80

故餘式為 r = 80 或由餘式定理知，餘式為 𝑟 = 𝑓 (3) = 33 + 6 ∙ 32 − 3 ∙ 3 + 8 = 80 ♣ 例 0.23 若 𝑝(𝑥 ) = 𝑥 3 + 8𝑥 2 − 6𝑥 + 5 ，求 𝑝(2) 之值。 【解】 1+ 8− 6+ 5 2 + 2 + 20 + 28 1 + 10 + 14 + 33 “ 故由餘式定理知， 𝑝(2) = 33

♡

定理 0.5:因式定理 (Factor Theorem)

設 𝑓(𝑥 ) 為一多項式，則 𝑥 − 𝑎 為 𝑓 (𝑥 ) 之一因式之充要條件為 𝑓 (𝑎 ) = 0 。 在微積分裡，常需化簡

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

或

𝑓(𝑥+h)−𝑓(𝑥) ℎ

。

♣ 例 0.24 若 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 ，化簡 【解】

𝑓(𝑥)−𝑓(3) 𝑥−3

𝑓(𝑥)−𝑓(3) 𝑥−3

=

𝑥 2 −9 𝑥−3

。

=𝑥+3 。

“

♣ 例 0.25 若 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 ，化簡 【解】

♡

𝑓(𝑥+h)−𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥+h)−𝑓(𝑥) ℎ

。

(𝑥+ℎ)3−𝑥 3

= ℎ ℎ 𝑥 3 + 3ℎ𝑥 2 + 3ℎ2 𝑥 + ℎ3 − 𝑥 3 = ℎ 3ℎ𝑥 2 +3ℎ 2 𝑥+ℎ 3 = = 3𝑥 2 + 3ℎ𝑥 + ℎ2 。 ℎ

定理 0.6 二次不等式(Quadratic inequalities)

若 𝑎，𝑏 為二實數且 𝑎 < 𝑏 ，則 (1) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) < 0 之解為 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (2) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) > 0 之解為 𝑥 > 𝑏 或 𝑥 < 𝑎 。 ♣ 例 0.26 試解不等式 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 < 0 。 【解】

𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0 故 1<𝑥<3 。

♣ 例 0.27 試解不等式 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 > 0 。 【解】

𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0 故 𝑥 > 3 或 𝑥 < −1 。

若 a < b < c ，則由下圖可看出

−

+

−

+

\ a

b

c

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐 ) > 0 之解為 𝑥 > 𝑐 或 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐 ) < 0 之解為 𝑥 > 𝑎 或 b < 𝑥 < 𝑐

x

♣ 例 0.28 試解不等式 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 > 0 。 【解】 1− 4+ 1+ 6 −1 − 1+ 5− 6 1− 5+ 6 + 0 “ 3 2 ( 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6 = 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) > 0 𝑥 > 3 或 −1 < 𝑥 < 2 。 配方法(Completing the square) 在學習微積分之過程裡，常需將 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 改寫成 𝑘 2 + 𝑢2 或 𝑘 2 − 𝑢2 之形式，其技巧是根據 (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥 2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 或 (𝑥 − ℎ)2 = 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 ♣ 例 0.29 將下列各式化成 𝑘 2 + 𝑢2 之形式 (a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 13 (b) 𝑥 2 − 4𝑥 + 29 (c) 𝑥 2 + 𝑥 + 2 。 【解】 (a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 13 = (𝑥 + 3)2 + 4 = 22 + (𝑥 + 3)2 (b) 𝑥 2 − 4𝑥 + 29 1

7

√7

1

(c) 𝑥 2 + 𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)2 + 4 = ( 2 )2 + (𝑥 + 2)2 。 ♣ 例 0.30 將下列各式化成 k 2 − u2 之形式 (a) 6𝑥 − 𝑥 2 − 5 (b) 2 − 2𝑥 − 𝑥 2 (c) 5 + 4𝑥 − 𝑥 2 。 【解】 (𝑎)6𝑥 − 𝑥 2 − 5 = −(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + 4 = 22 − (𝑥 − 3)2 (𝑏)2 − 2𝑥 − 𝑥 2 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 3 = (√3)2 − (𝑥 + 1)2 (c)5 + 4𝑥 − 𝑥 2 = −(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) + 9 = 32 − (𝑥 − 2)2

0-6 分式及部分分式 (Fractions and Partial Fractions) 如果 𝑝(𝑥 ) 與 𝑞 (𝑥) 都是多項式，且 𝑞 (𝑥 ) ≠ 0，則

𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

稱為一個分式。其

中𝑝(𝑥 ) 稱為分子(numerator)， 𝑞(𝑥 ) 稱為分母(denominator) 。 一個分式之分子的次數小分母的次數時稱為真分式(Proper fraction)，而分子 的次數不小於分母之次數時稱為假分式(Improper fraction)。 如果一個分式的分子與分母無公因式時，則稱為最簡分式。 ♣ 例 0.31 化簡

𝑥 2−5𝑥+6 𝑥 2−9

【解】

。

𝑥 2−5𝑥+6 𝑥 2−9

(x−2)(x−3)

x−2

= (x−3)(x+3) = x+3 。

分式之加、減、乘、除 二分式

𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥)

與

𝐶(𝑥) 𝐷(𝑥)

之加、減、乘、除規則為

1. 加法(addition) 𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐴(𝑥 )𝐷(𝑥) + 𝐵(𝑥)𝐶(𝑥) + = 𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝐵(𝑥)𝐷(𝑥) 2. 減法(subtraction) 𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐴(𝑥 )𝐷(𝑥 ) − 𝐵(𝑥)𝐶(𝑥) − = 𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝐵(𝑥)𝐷(𝑥) 3. 乘法(multiplication) 𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐴(𝑥 )𝐶(𝑥) ∙ = 𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝐵(𝑥)𝐷(𝑥) 4. 除法(division) 𝐴 (𝑥 ) 𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥 ) 𝐷(𝑥) ÷ = = ∙ 𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐷(𝑥)

♣ 例 0.32 求

2𝑥+3 𝑥−5

+

3𝑥+4

2𝑥+3

【解】

。

𝑥+6

+

3𝑥+4

𝑥−5 𝑥+6 (2𝑥+3)(𝑥+6)+(𝑥−5)(3𝑥+4)

= = =

(𝑥−5)(𝑥+6) 2𝑥 2+12𝑥+3𝑥+18+3𝑥 2+4𝑥−15𝑥−20 5𝑥 2+4𝑥−2 𝑥 2 +𝑥−30

𝑥 2+𝑥−30

。

♣ 例 0.33 求

3𝑥+1

𝑥+2

∙

2𝑥−5 4𝑥−3

【解】

3𝑥+1

。 ∙

𝑥+2

=

(3𝑥+1)(𝑥+2)

2𝑥−5 4𝑥−3 (2𝑥−5)(4𝑥−3) 3𝑥 2 +7𝑥+2

= 8𝑥 2 −26𝑥+15 。

如果一個分式形式之數學式之分子(numerator) 或分母(denominator)含有分 式時，則稱為繁分式(Complex fraction)。 ♣ 例 0.34 𝑥+2 +1 𝑥−2 𝑥−2 1+ 𝑥+2

化簡(simplify) 【解】

𝑥+2 +1 𝑥−2 𝑥−2 1+ 𝑥+2 2𝑥 𝑥−2 2𝑥 𝑥+2

=

將分式

=

。

𝑥+2+𝑥−2 𝑥−2 𝑥+2+𝑥−2 𝑥+2

𝑥+2

= 𝑥−2 。

𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

表示成幾個真分式的和，則這幾個真分式的和就稱為分式

𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

的部分分式。 求部分分式之步驟： 1. 第一步：檢查分子之次數(The degree of the numerator) 是否低於分母之次 數(The degree of the denominator)，如果不是，則用長除法(Long division method) 將它化為整式與真分式之和，然後將真分式部分化為部分分 式。 2. 第二步：將分母作質因式分解，這些因式決定部分分式之形式。 𝐴

若分母有一次因式 𝑎𝑥 + 𝑏 ，則部份分式有𝑎𝑥+𝑏 之項，其中𝐴 為 待定之常數。

若分母有重覆之一次因式 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 ，則部份分式有 𝐵 (𝑎𝑥+𝑏)2

+

之項，其中𝐴，𝐵 為待定之常數。

若分母有重覆之一次因式 (𝑎𝑥 + 𝑏)3 ，則部份分式有 𝐵

𝐴 𝑎𝑥+𝑏

𝐴 𝑎𝑥+𝑏

+

𝐶

(𝑎𝑥+𝑏)2

+ (𝑎𝑥+𝑏)3 之項，其中𝐴，𝐵，𝐶 為待定之常數。

若分母有不可因式分解之二次因式 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ，則部份分式有 𝐴𝑥+𝐵

之項，其中𝐴，𝐵，為待定之常數。

𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐

若分母有重覆之不可因式分解之二次因式 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2 ，則部 份分式有

𝐴𝑥+𝐵

𝐶𝑥+𝐷

𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐

之項，其中 𝐴，𝐵，𝐶，𝐷 為待定之

+ (𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐)2

常數。

♣ 例 0.35 將

3𝑥+6 𝑥 2−7𝑥+12

【解】

化為部分分式。

因 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) 3𝑥+6

故

𝑥 2−7𝑥+12

3𝑥+6

𝑥 2−7𝑥+12

的部分分式為 𝐴

𝐵

= 𝑥−3 + 𝑥−4 之形式。

下面用比較係數法及代入法求出 𝐴 與 𝐵 之值。 (1) 比較係數法 令

3𝑥+6 𝑥 2−7𝑥+12

3𝑥+6

𝐴

𝐵

= (𝑥−3)(𝑥−4) = 𝑥−3 + 𝑥−4

則 3𝑥 + 6 = 𝐴(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 3) = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (−4𝐴 − 3𝐵) 故 𝐴 + 𝐵 = 3， − 4𝐴 − 3𝐵 = 6 解得 𝐴 = −15，𝐵 = 18 。 故

3𝑥+6 𝑥 2−7𝑥+12

−15

18

= 𝑥−3 + 𝑥−4 。

(2) 代入法 令

3𝑥+6 𝑥 2−7𝑥+12

3𝑥+6

𝐴

𝐵

= (𝑥−3)(𝑥−4) = 𝑥−3 + 𝑥−4

則 3𝑥 + 6 = 𝐴(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 3) 令 𝑥 = 3 ，得 15 = −𝐴，𝐴 = −15 令 𝑥 = 4 ，得 18 = 𝐵，𝐵 = 18 故

3𝑥+6 𝑥 2−7𝑥+12

=

−15 𝑥−3

+

18 𝑥−4

。

♣ 例 0.36 將

𝑐𝑥+𝑑

部分分式為。

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏) 𝑐𝑥+𝑑 𝑎𝑐+𝑑 1

=

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)

【解】

令

𝑎−𝑏 𝑥−𝑎 𝑐𝑥+𝑑

+

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)

𝑏𝑐+𝑑 1

。

𝑏−𝑎 𝑥−𝑏 𝐴 𝐵

= 𝑥−𝑎 + 𝑥−𝑏

則 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝐴(𝑥 − 𝑏) + 𝐵(𝑥 − 𝑎) 令 𝑥 = 𝑎，得 𝑎𝑐 + 𝑑 = 𝐴(𝑎 − 𝑏) 故 𝐴=

𝑎𝑐+𝑑 𝑎−𝑏

令 𝑥 = 𝑏，得 𝑏𝑐 + 𝑑 = 𝐵(𝑏 − 𝑎) 故 𝐵= 故

𝑏𝑐+𝑑

𝑏−𝑎 𝑐𝑥+𝑑

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)

=

𝑎𝑐+𝑑 1 𝑎−𝑏 𝑥−𝑎

+

𝑏𝑐+𝑑 1 𝑏−𝑎 𝑥−𝑏

。

♣ 例 0.37 將

4𝑥+5 2𝑥 2 −3𝑥+1

【解】

令

化為部分分式。 4𝑥+5 2𝑥 2 −3𝑥+1

=

4𝑥+5

=

(𝑥−1)(2𝑥−1)

𝐴 𝑥−1

+

𝐵 2𝑥−1

則 4𝑥 + 5 = 𝐴(2𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 1) 令 𝑥 = 1，得 9 = 𝐴，𝐴 = 9 1

1

令 𝑥 = 2，得 7 = − 2 𝐵，𝐵 = −14 故

4𝑥+5

9

2𝑥 2 −3𝑥+1

14

= 𝑥−1 + 2𝑥−1

♣ 例 0.38 將

2𝑥 2 +5𝑥+9 (𝑥−2)3

【解】

化為部分分式。

2𝑥 2 + 5𝑥 + 9 = 2(𝑥 − 2)2 + 13𝑥 + 1 = 2(𝑥 − 2)2 + 13(𝑥 − 2) + 27 2𝑥 2 +5𝑥+9 (𝑥−2)3 2

=

2(𝑥−2)2+13(𝑥−2)+27

13

(𝑥−2)3 27

= 𝑥−2 + (𝑥−2)2 + (𝑥−2)3 。 【另解】此題之形式也可以用綜合除法求部分分式 2+ 5+ 9 2 + 4 + 18 2 + 9 + 27 2 + 4 2 + 13 2𝑥 2 + 5𝑥 + 9 = 2(𝑥 − 2)2 + 13(𝑥 − 2) + 27 2𝑥 2 + 5𝑥 + 9 2 13 27 = + + 3 2 (𝑥 − 2) 𝑥 − 2 (𝑥 − 2) (𝑥 − 2)3

♣ 例 0.39 化

1 𝑥 2(𝑥+1)

【解】

為部分分式。

令

1 𝑥 2(𝑥+1)

𝐴

𝐵

𝐶

= 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥+1

等式兩邊同乘以 𝑥 2 (𝑥 + 1)，得 1 = 𝐴𝑥(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥 2 = (𝐴 + 𝐶 )𝑥 2 + ( 𝐴 + 𝐵 )𝑥 + 𝐵 𝐴+𝐶 =0 解 {𝐴 + 𝐵 = 0，得 𝐴 = −1，𝐵 = 1，𝐶 = 1 𝐵=1 1 −1 1 1 故 𝑥 2(𝑥+1) = 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥+1 。 ♣ 例 0.40 化

𝑥 3 +𝑥+4 𝑥 2+7𝑥+12

【解】

為部分分式。 𝑥 3 +𝑥+4

由長除法得 令

𝑥 2+7𝑥+12

38𝑥+88

𝐴

(𝑥+3)(𝑥+4)

38𝑥+88

= 𝑥 − 7 + (𝑥+3)(𝑥+4) 𝐵

= 𝑥+3 + 𝑥+4

等式兩邊同乘以 (𝑥 + 3)(𝑥 + 4) ，得 38𝑥 + 88 = 𝐴(𝑥 + 4) + 𝐵(𝑥 + 3) = (𝐴 + 𝐶 )𝑥 2 + ( 𝐴 + 𝐵 )𝑥 + 𝐵 令 𝑥 = −3 ，得 𝐴 = −26 令 𝑥 = −4 ，得 𝐵 = 64 故

𝑥 3 +𝑥+4 𝑥 2+7𝑥+12

26

64

= 𝑥 − 7 − 𝑥+3 + 𝑥+4 。

0-7 有限級數 (Finite Series) ♡ 算術數列與級數(Arithmetic sequence and series) 算術數列 (Arithmetic sequence)之第 𝑛項 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 ，其中 𝑎為首項 (The first term)， 𝑑為公差(Common difference)。 算術級數 (Arithmetic series ) 𝑎，𝑎 + 𝑑， 𝑎 + 2𝑑，⋯， 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑之和 𝑛 ∑𝑛−1 𝑘=0(𝑎 + 𝑘𝑑 ) = 𝑎 + (𝑎 + 𝑑 ) + (𝑎 + 2𝑑 ) + ⋯ + [𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 ] = [2𝑎 + 2

𝑛

(𝑛 − 1)𝑑 = (𝑎 + 1)，其中 𝑙 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 (算術級數之末項)。 2

♡ 幾何級數(Geometric sequence and series) 幾何數列(Geometric sequence)之第𝑛項 𝑎𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 ，其中 𝑎為首項( The first term)，為 𝑟 公比(Common ratio)。 幾何級數(Geometric series) 𝑎，𝑎𝑟，𝑎𝑟 2 ， ⋯ ，𝑎𝑟 𝑛−1 之和 𝑛

∑ 𝑎𝑟 𝑘−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 = 𝑘=1

𝑎 (1 − 𝑟 𝑛 ) ，𝑟 ≠ 1 1−𝑟

♡ 一些特殊和公式(Some special summation formulas) (4) ∑𝑛𝑘=1 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =

𝑛(𝑛+1) 2

(5) ∑𝑛𝑘=1(2𝑘 − 1) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1)2 = 𝑛2 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) (6) ∑𝑛𝑘=1 𝑘 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = (7)

∑𝑛𝑘=1 𝑘 3

3

3

3

3

= 1 +2 + 3 + ⋯+𝑛 =

6 𝑛 2(𝑛+1)2 4

= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)2

0-8 指數與對數(Exponent and Logarithm) ♡ 指數律(Laws of exponents) 若 a 與 b 為正數(positive numbers)，x 與 y 為任意實數(real numbers)，則 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎𝑥

𝑎𝑦 =𝑎 𝑥−𝑦 (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 (𝑎 𝑥 )𝑦 =𝑎 𝑥𝑦 。

分數指數與根式(Frctional Exponents and Radicals) 若𝑎 ≠ 0，n 為正整數，則𝑎 −𝑛 =

1 𝑎𝑛

1

1

，例如 3−2 = 32 = 9

◇n 次方根 若𝑥 𝑛 = 𝑏，則稱 x 為 b 的一個 n 次方根。二次方根稱為平方根(square root)，而 三次方根稱為立方根(Cubic roots)

因(−5)2 = 25，52 = 25，故−5 與 5 都是 25 之分平方根，而√25表示 25 之 正平方根，即√25 = 5，不要將√25寫成√25 = ±5。 因(−2)3 = −8，故−2 為−8 之立方根，可寫成√−8 = −2。同樣的，因(2)3 = 3

3

8，故 2 為 8 之立方根，可寫成 √−8 = 2。

◇分數指數與根式之關係 m

m

若𝑎為一實數，m 為整數，n 為正整數，則𝑎 n = ( n√𝑎) = ( √𝑎m )，其中 n√𝑎須 為實數，即 n 為偶數時，須滿足𝑎 ≥ 0。

n

♡根式規則(Radical rules)  n√𝑎 √𝑏 = √𝑎b，𝑎 ≥ 0，𝑏 ≥ 0 n

n

√𝑎

n

n

𝑎

 n = √b ，𝑎 ≥ 0，𝑏 > 0 √b m

 √ n√𝑎 = mn√𝑎，𝑎 ≥ 0，𝑏 ≥ 0 若 n 為奇數，則 √𝑎n = 𝑎，若 n 為偶數，則 √𝑎n = |𝑎|。 n

n

例 0.41 4

化簡273 。 4

3

【解】273 =√274 = 34 = 81。 例 0.42 6

化簡√𝑎4 x 2 。 1

1

6 3 【解】√𝑎4 x 2 = [(𝑎2 x)2 ]6 = (𝑎2 x)3 = √𝑎2 x。

例 0.43 3 12 x 9 y 6 。 化簡√𝑎 3 12 𝑥 9 𝑦 6 = 3√(𝑎 4 )3 (𝑥 3 )3 (𝑦 2 )3 = 3√(𝑎 4 𝑥 3 𝑦 2 )3 = 𝑎 4 𝑥 3 𝑦 2 。 【解】√𝑎

例 0.44 𝑥 −2−𝑦 −2

化簡𝑥 −1−𝑦 −1。 【解】

𝑥 −2−𝑦 −2 𝑥 −1−𝑦 −1

=

1 1 − 𝑥2 𝑦2 1 1 − 𝑥 𝑦

=

𝑦2 −𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑦−𝑥 𝑥𝑦

=

𝑦+𝑥 𝑥𝑦

。

指數函數之圖形(The graph of exponential function) 設𝑎 > 0，則𝑓 (𝑥 ) = 𝑎 𝑥 稱為指數函數(Exponential functions)。指數函數f(x) = 𝑎 𝑥 之定義域(Domain of definition)，為(-∞,∞)，值域(range)為(0,∞)。

y = 2𝑥 與y = 2−𝑥 之圖形如下之左圖

在微積分裡有兩個常數非常有用，一個是圓周率，另一個是自然對數之底 e， 這兩個數都是無理數，也就是說它們都是不循環之無限小數，與 e 之近似值為  ≈ 3.14159 e ≈ 2.71828 𝑦 = 𝑒 𝑥 與 𝑦 = 𝑒 −𝑥 之圖形如上之右圖

♡對數之基本性質 設𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，則 若 𝑎 𝑦 = 𝑥，則y = log 𝑎 x 若M > 0，𝑁 > 0，則log 𝑎 MN = log 𝑎 M + log𝑎 N M

若M > 0，𝑁 > 0，則log 𝑎 N = log 𝑎 M − log𝑎 N 若 M > 0，r 為實數，log 𝑎 M r = r log 𝑎 M 若b < 0， 𝑏 ≠ 1， M > 0，則 log 𝑎 M =

logb M logb 𝑎

log𝑎 1 = 0，log 𝑎 𝑎 = 1。 設𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，則𝑓 (𝑥 ) = log𝑎 𝑥 稱為對數函數(Logarithmic function)。對 數函數𝑓(𝑥 ) = log𝑎 𝑥之定義域 (Domain of definition)，為(0,∞)，值域(range)為 (-∞,∞)。 以 e 為底之對數函數f(x) = log 𝑒 𝑥 稱為自然對數函數(Natural logarithmic

function)ďźŒé€š常ĺ°‡log e đ?‘Ľ = ln đ?‘Ľă€‚ 下é?˘ĺ?„自焜ĺ°?ć•¸ĺ‡˝ć•¸čˆ‡ćŒ‡ć•¸ĺ‡˝ć•¸äš‹ĺ‡˝ć•¸ĺ€źĺœ¨ĺžŽçŠ?ĺˆ†裥常ç”¨ĺˆ° ln 1 = 0ďźŒln e = 1 1

1

1

ln √e = lnđ?‘’ 2 = 2 ln đ?‘’ = 2 8

ln 8 − ln 2 = ln 2 = ln 4 ln 4 + ln 3 = ln 4 ∙ 3 = ln 12 1 ln đ?‘’ = ln đ?‘’ −1 = (−1) ln đ?‘’ = −1 ln đ?‘’ 2 = 2 ln đ?‘’ = 2 1 1 1 ln e = ln 1 − ln √e = 0 − 2 ln e = − 2 √

ĺ› y = ln đ?‘Ľ ⇔ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ś Ln ey = ln đ?‘Ľ = đ?‘Ś eln x = ey = x ć•…đ?‘“(đ?‘Ľ ) = ln đ?‘Ľ čˆ‡ g(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ äş’ç‚şĺ??函數。 ĺ°?ć–źäťťć„?富數 x éƒ˝ćœ‰đ?‘™đ?‘› đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ĺ°?ć–źäťťć„?正富數 x éƒ˝ćœ‰eln x = x 2

eln x = đ?‘Ľ 2 ďźŒx ≠0 1

e2 ln x = eln √x = √xďźŒx > 0 e2ln 3 = eln 9 = 9 1

1

e−3 ln 2 = eln8 = 8

ĺ°?ć•¸ĺ‡˝ć•¸äš‹ĺœ–形(The graph of logarithmic function) đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形

đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘› đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形

因f(x) = ln x 與 g(x) = 𝑒 𝑥 互為反函數，故𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 與 𝑦 = 𝑒 𝑥 之圖形對稱於直 線 y = x。

0-9 čĄŒĺˆ—ĺź?(Determinant) đ?‘Ž äşŒéšŽčĄŒĺˆ—ĺź?| 1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž | 1 đ?‘Ž2

b1 |的借厚瞊ćˆ?ďźš b2

b1 | = đ?‘Ž1 b2 − đ?‘Ž2 b1 b2

ď‚Şäž‹ 0.45 1 ćą‚čĄŒĺˆ—ĺź?| 3 1 ă€?解】| 3

2 |䚋借。 4 2 | = 1 Ă— 4 − 2 Ă— 3 = −2 4

ď‚Şäž‹ 0.46 cos θ ćą‚čĄŒĺˆ—ĺź?| sin θ

− sin θ cos θ

cos θ

− sin θ

sin θ

cos θ

ă€?解】|

|。

| = cos 2 θ + sin2 θ = 1。

ď‚Şäž‹ 0.47 log 2 log 2 3 ćą‚čĄŒĺˆ—ĺź?| 2 |。 log 2 1 log 2 4 log 2 −log 2 3 ă€?解】| 2 | = (log 2 2)(log 2 4) − (log2 1)(log2 3) log 2 1 log 2 4 = 1 Ă— 2 − 0 Ă— log 2 3 = 2 − 0 = 2。 ď‚Şäž‹ 0.48 đ?‘Ľ č‹Ľ| 3

2 | = 0ďźŒćą‚ x 䚋借。 5

đ?‘Ľ ă€?解】| 3

6 2 | = 5x − 6 = 0ďźŒć•…x = 。 5 5 đ?‘Ž1 b1 c1 ä¸‰éšŽčĄŒĺˆ—ĺź?|đ?‘Ž2 b2 c2 |䚋借厚瞊ćˆ?ďźš đ?‘Ž3 b3 c3 đ?‘Ž1 b1 c1 |đ?‘Ž2 b2 c2 | = đ?‘Ž1 b2 c3 + đ?‘Ž3 b1 c2 + đ?‘Ž2 b3 c1 − đ?‘Ž3 b2 c1 − đ?‘Ž2 b1 c3 − đ?‘Ž1 b3 c2 đ?‘Ž3 b3 c3

例 0.49 2 3 若| 2 −1 −3 −2

1 0|之值。 1

2 3 1 【解】| 2 −1 0| = −2 + 0 − 4 − 3 − 6 − 0 = −15 −3 −2 1 三階行列式也可以用下列方法求值 𝑎1 b1 c1 𝑎2 c2 b c 𝑎 b2 |𝑎2 b2 c2 | = 𝑎1 | 2 2 | − b1 |𝑎 c | + c1 | 2 | b3 c3 𝑎3 b3 3 3 𝑎3 b3 c3 例 0.50 1 2 若| 3 −1 −2 1 【解】

0 4|之值。 3 𝑎1 b1 c1 𝑎2 c2 b c 𝑎 b2 由公式 |𝑎2 b2 c2 | = 𝑎1 | 2 2 | − b1 |𝑎 c | + c1 | 2 | b3 c3 𝑎3 b3 3 3 𝑎3 b3 c3 1 2 0 −1 4 3 4 3 −1 | 3 −1 4| = 1‧ | | − 2‧ | | + 0‧ | | 1 3 −2 3 −2 1 −2 1 3 = 1(−3 − 4) − 2(9 + 8) + 0 = −7 − 34 = −41

例 0.51 cos θ 求行列式|| −sinθ 0 cos θ 【解】

| −sinθ 0

sinθ

0

cosθ 0 0 1 sinθ

0

cosθ 0 0 1

|之值。

2

2

|=𝑐𝑜𝑠θ + 𝑠𝑖𝑛θ = 1

行列式的重要性質 1.行列式的行與列互換，其值不變。 2.行列式有一列〈或行〉全為 0，則行列式之值為 0。 3.行列式有一列〈或行〉相等，則行列式之值為 0。 4.行列式有一列〈或行〉成比例，則行列式之值為 0。 5. 行列式有一列〈或二行〉互換，其值變號。 6.將行列式之某列〈或行〉個元素同時乘以一數後，加至另一列〈或行〉所得行列式之值不變。 7.將行列式之某列或某行各元素同時乘以 k 後所得行列式之值為原行列式之值得 k 倍。

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 y = 𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 y = 𝑐2

二元一次方程組 {

可用 Cramer 法則求解，其法如下：

𝑎 令 𝐷=| 1 𝑎2

𝑐1 𝑏1 |，𝐷𝑥 = | 𝑐 𝑏2 2

若𝐷 ≠ 0，則𝑥 =

𝐷𝑥

， 𝑦=

𝐷

𝑎1 𝑏1 |，𝐷𝑦 = |𝑎 𝑏2 2

𝐷𝑦 𝐷

例 0.52 用 Cramer 法則解方成組 {

4𝑥 + 3𝑦 = 8 5𝑥 + 6𝑦 = 23

4 3 |=9 【解】D = | 5 6 8 3 | = −21 D1 = | 23 6 4 8 | = 52 D2 = | 5 23 𝐷 −21 −7 𝑥 = 𝐷1 = 9 = 3 y=

𝐷2 𝐷

=

52 9

例 0.53 用 Cramer 法則解方成組 {

2𝑥 − 𝑦 = 5 𝑥 + 3𝑦 = −1

2 −1 |=7 【解】D = | 1 3 5 −1| D1 = | = 14 −1 3 2 5| D2 = | = −7 1 −1 𝐷𝑥 14 𝑥= 𝐷 = 7 =2 𝑦=

𝐷𝑦 𝐷

=

−7 7

= −1

𝑐1 𝑐2 |

𝑎1 x + 𝑏1 y + 𝑐1 z = 𝑑1 三元一次方程組{𝑎2 x + 𝑏2 y + 𝑐2 z = 𝑑2 𝑎3 x + 𝑏3 y+𝑐3 z = 𝑑3 利用 Cramer 法則求解，其法如下： 𝑎1 b1 c1 令D = |𝑎2 b2 c2 | 𝑎3 b3 c3 𝑑1 b1 c1 D𝑥 = |𝑑2 b2 c2 | 𝑑3 b3 c3 𝑎1 𝑑1 c1 令D𝑦 = |𝑎2 𝑑2 c2 | 𝑎3 𝑑3 c3 𝑎1 b1 𝑑1 令D𝑧 = |𝑎2 b2 𝑑2 | 𝑎3 b3 𝑑3 若 D≠ 0，則 x=

𝐷𝑥 𝐷

， y=

𝐷𝑦 𝐷

， z=

Dz 𝐷

例 0.54 x + 2y − 3z = −4 用 Cramer 法則解方成組{ 2x − y + z = 3 3x + 2y + z = 10 1 2 3 【解】D = | 2 −1 1| = −22 −3 2 1 −4 2 3 | Dx = 3 −1 1| = −22 10 2 1 1 −4 3 Dy = | 2 3 1| = −44 −3 10 1 1 2 −4 Dz = | 2 −1 3 | = −66 −3 2 10 𝐷𝑥 −22 x = 𝐷 = −22 = 1 y= z=

𝐷𝑦

𝐷 Dz 𝐷

−44

= −22 = 2 −66

= −22 = 3

例 0.55 x+y=3 用 Cramer 法則解方成組{x + 2y + z = −2 。 x+z =4 1 1 0 【解】 D = |1 2 1| = 2 1 0 1 3 1 0 Dx = |−2 2 1| = 12 4 0 1 1 3 0 Dy = |1 2 1| = −6 1 4 1 1 1 3 Dz = |1 2 −2| = −4 1 0 4 𝐷 12 𝑥 = 𝐷𝑥 = 2 = 6 𝑦= 𝑧=

𝐷𝑦 𝐷

Dz 𝐷

= =

−6

2 −4 2

= −3 = −2

0-10 解ćž?嚞何(Analytic Geometry) 解ćž?嚞何(Analytic Geometry)辡ćş?斟數學厜 Descartes(1596-1650)所癟 ć˜Žäš‹ç›´č§’ĺ??標糝(Rectangular coordinate system)ďźŒ此税ĺ??標ĺ?ˆ稹為珛ĺ?Ąĺ…’ĺ?? 標(Cartesian coordinate system)。 ćœ‰äş†ĺ??ć¨™çłťäš‹ĺžŒďźŒĺ°ąĺ?ŻäťĽç”¨äťŁć•¸äš‹ć–šćł•č¨ŽčŤ–嚞何䚋ĺ•?éĄŒă€‚

♥čˇ?離兏ĺź?(Distance formula) ĺšłé?˘ä¸Š P(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 )ďźŒQ(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) äşŒéťžé–“äš‹čˇ?離(distance) đ?‘‘ = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2

♡線段中點坐標之公式 平面上 P(𝑥1 , 𝑦1 )，Q(𝑥2 , 𝑦2 ) 二點所連成線段PQ之中點 M 的坐標為 (

𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 ， ) 2 2

直線之斜率(slope)與方程式(equation) 1 .水平線(Horizontal line)與垂直線(Vertical line) 水平線之方程式都可寫成 y = b 之形式 垂直線之方程式都可寫成 x = a 之形式

2 .過二點之直線的斜率(slope) 𝒚 −𝒚

過平面上 P(𝑥1 , 𝑦1 )，Q(𝑥2 , 𝑦2 ) 二點之直線的斜率 𝑚 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 。 𝟐

𝟏

3 .已知直線方程式求斜率之公式 𝑎

直線 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 之斜率 𝑚 = −𝑏。 4 .斜截式(slope-intercept form) 若直線之斜率(slope)為 m，y 截距(y-intercept)為 b，則直線之方程式為 y = 𝑚𝑥 + 𝑏。 5 .點斜式(point-slope form) 若直線之斜率(slope)為 m，且過點(x1 , y1 )，則直線之方程式為 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 + 𝑥1) 。 6 .平行線(Parallel lines)與垂直線(Perpendicular lines) 兩平行線之斜率：設直線L1 之斜率為m1 ，L2 之斜率為m2 ，若L1 與 L2 平行，則m1 = m2 。 兩垂直線之斜率：設直線L1 之斜率為m1 ≠ 0，L2 之斜率為m2 ≠ 0，若 L1 與 L2 垂直，則m1 ‧m2 = −1。

♡圓(circle)之方程式 以(h, k)為圓心，半徑為 r 之圓(circle)之方程式為 (𝑥 − ℎ)2 + (y − k)2 = 𝑟 2 。

♡對稱軸平行於坐標軸之拋物線(parabola) 拋物線(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑐(𝑦 − k)之頂點(h, 𝑘)，對稱軸為 𝑥 = ℎ。 若 c＞0，則拋物線開口向上；若 c＜0，則拋物線開口向下。 拋物線(y − k)2 = 4𝑐(𝑥 − ℎ)之頂點(h, k)，對稱軸為 y = k。 若 c＞0，則拋物線開口向右；若 c＜0，則拋物線開口向左。

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑐(y − k)

(y − k)2 = 4𝑐(𝑥 − ℎ)

♡標準形式之橢圓(ellipse)的圖形 若 a＞b，c = √𝑎2 − b 2 ，則橢圓

𝑥2 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2 = 1之中心為(0,0)，頂點為(a,0)、

(-a,0)、(0,b)、(0,-b)，焦點為(-c,0)與(c,0)，半長軸之長為 a，半短軸之長 為 b。 若 a＜b，c = √b 2 − 𝑎2 ，則橢圓

𝑥2 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2 = 1之中心為(0,0)，頂點為(a,0)、

(-a,0)、(0,b)、(0,-b)，焦點為(0,-c)與(0,c)，半長軸之長為 b，半短軸之長 為 a。 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏2

例 0.56 試描出 16𝑥 2 + 25y 2 − 400 = 0 之圖形。

【解】 方程式16𝑥 2 + 25y 2 − 400 = 0 可改寫成 𝑥2 52

𝑦2

+ 42 = 1

其圖形為一橢圓，如下圖所示：

♡標準形式之雙曲線(hyperbola)的圖形 雙曲線(hyperbola)

𝑥2 𝑎2

𝑦2

− 𝑏2 = 1 之中心為(0,0)，頂點為(a,0)、(-a,0)，焦點為

(-c,0)與(c,0)，其中 c = √𝑎2 + b 2 雙曲線

𝑦2 𝑏2

𝑥2

− 𝑎2 = 1 之中心為(0,0)，頂點為(0,b)、(0,-b)，焦點為(0,-c)與(0,c)，

其中 c = √𝑎2 + b 2 𝑥2 𝑎2

𝑦2

𝑦2

− b2 = 1

b2

例 0.58 試描出 4𝑥 2 − y 2 + 4 = 0 之圖形。

【解】方程式4𝑥 2 − y 2 + 4 = 0 可改寫成

𝑦2 22

𝑥2

− 12 = 1

其圖形為一雙曲線(hyperbola)，如下圖所示：

𝑥2

− 𝑎2 = 1

方程式 𝑥y = 1 之圖形也是雙曲線，其圖形為雙曲線 𝑥 2 − y 2 = 1 依反時針方 向旋轉

π 4

而得，如下圖所示

𝑥 2 − y2 = 1

求已知二曲線(curves) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 與 g(𝑥, 𝑦) = 0 之交點，想當於求二方程式 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 與 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 之聯立解。

例 0.59 求直線(line) y = 𝑥 + 2 與拋物線(parabola) y = 𝑥 2 之交點。

y = 𝑥+2 【解】 由{ 得 𝑥2 = 𝑥 + 2 y = 𝑥2 移項得𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 𝑥 = −1，y = 1 𝑥 = 2，y = 4 故交點為 (−1,1) 與 (2,4) 兩點。

例 0.60 求圓(circle)𝑥 2 + 𝑦 2 = 25與直線(line) y = 3𝑥 − 5 之交點。

【解】 將y = 3𝑥 − 5帶入𝑥 2 + 𝑦 2 = 25，得 𝑥 2 + (3𝑥 − 5)2 = 25 𝑥 2 + 9𝑥 2 − 30𝑥 + 25 = 25 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 𝑥 (𝑥 − 3) = 0 𝑥 = 0，𝑦 = −5 𝑥 = 3，𝑦 = 4 故交點為(0, −5)與(3,4)兩點。

0-11 極座標(Polar Coordinates) 表示平面上點的位置，除了可用直角坐標(Rectangular coordinates)之外，還可 以用極坐標(Polar coordinates)。 在平面上任取一點 O，稱 O 為極點(pole)，由 O 向右作一水平半線，此半線 稱為極軸(Polar axis)，如圖 0.4 所示

圖 0.4

設 P 為平面上異於極點 O 之一點，若線段OP之長度為 r，以極軸為始邊， 以OP為終邊之角的大小為θ，則稱(r, θ)為 P 點的極坐標，如圖 0.5 所示

圖 0.5

為了方便起見，極坐標通常都是用直角坐標作參考，其方法如下 取極坐標之極點與直角坐標之原點為同一點，並取極軸為直角坐標之 r 軸之 正方向，由圖 0.6 可得

圖 0.6 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃，y=r 𝑠𝑖𝑛𝜃，r = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =

𝑦 𝑥

𝑥 √𝑥 2 +𝑦 2

，𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

𝑦 𝑟

=

𝑦 √𝑥 2 +𝑦 2

，𝑥 ≠ 0

♡例 0.61 試將直角坐標方程式(Rectangular equation) 𝑥 2 + 𝑦 2 =25 所表事之圖形用極方程 式(Polar equation)表示。 【解】 由 x = r 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ，y = r 𝑠𝑖𝑛 𝜃 代入原方程式得，𝑟 2 = 25， 即 r = 5 為所求之極方程式。

♡例 0.62 將直角坐標方程式(Rectangular equation) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 = 0 化為極方程式(Polar equation)。

【解】將 x = r 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ，y = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 代入原方程式，得 𝑟 2 − 6𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0 r (r- 6 𝑠𝑖𝑛 𝜃) = 0 r = 0 或 r = 6 𝑠𝑖𝑛 𝜃 因θ = 0 時，r = 6 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0 故 r = 6 sin𝜃 可包含 r = 0 之情形 故極方程式為 r = 6 𝑠𝑖𝑛 𝜃

♡例 0.63 試將極方程式(Polar equation) r = 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃化為直角坐標方程式(Rectangular equation)。 【解】由 r = √𝑥 2 + 𝑦 2 ，𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

𝑦 √𝑥 2+𝑦 2

代入原方程式得 √𝑥 2 + 𝑦 2 =

𝑦 √𝑥 2+𝑦 2

故得𝑥 2 + 𝑦 2 - 2y = 0 為所求之直角坐標方程式。

♡例 0.64 將 極 方 程 式 (Polar equation) r = 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 化 為 直 角 坐 標 方 程 式 (Rectangular equation)。

【解】r = √𝑥 2 + 𝑦 2 ， 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = √𝑥 2 + 𝑦 2 =

4𝑥

𝑥 √𝑥 2+𝑦 2

√𝑥 2+𝑦 2

𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 故直角坐標方程式為 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0

已知極坐標之方程式 𝑟 = 𝑓(θ)，我們可依下表描出此方程式之圖形(graph) 𝜃

𝜃1

𝜃2

𝜃3

…

𝑟

𝑟1

𝑟2

𝑟3

…

許多數學軟體都很容易準確的繪出極方程式(polar equation) 𝑟 = 𝑓(𝜃)之圖 形。

♡例 0.65 試描出(a) r = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 及 (b) r = 2 sin𝜃 之圖形。 【解】r = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃與 r = 2 sin 𝜃之圖形都是圓(circle)

例 0.66 試描出(a) r = 1 + cos θ，(b) r = 1− cos θ (c) r = 1 + sin θ， (d) r = 1− sin θ之圖形。 【 解 】 r = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ， r = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ， r = 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ， r = 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 之圖形都是心臟線(cardioid)。

0-12 參數方程式(Parametric Equations) 平面曲線可用直角坐標方程式 f (x, y) = 0，極方程式(Polar equation) f ( r, 𝜃) = 0 表示外，還可用參數方程式(Parametric Equation) 𝑥 = 𝑔(𝑡) { ，t ∈ 𝑇表示， 𝑦 = ℎ(𝑡) 其中 t 稱為參數(parameter)，T 為 R 之部分集合。 對於 T 中每個 t，在 xy 平面上都有一點(g(t)，h(t))與之對應。 此參數方程式之圖形為{(𝑔(𝑡)，ℎ(𝑡) │𝑡 ∈ 𝑇)}，而實際作圖時，是給予 T 內 若干個 t 之值，得到對應之若干點，而將這些點用平滑之曲線連接起來，就得參 數方程式之圖形。 將參數方程式中之參數消去，則得參數式之直角坐標方程式 f (x, y) = 0。 ♡例 0.67 描出參數方程式 x = 2 cos t，y = 2 sin t，0≤ 𝑡 ≤ 2𝜋之圖形。

【解】 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 𝑐𝑜𝑠 2 t + 4 𝑠𝑖𝑛2 t = 4 因 0≤ 𝑡 ≤ 2𝜋，故其圖形為以(0,0)為圓心，半徑等於 2 之圓。

♡例 0.68 描出參數方程式 x = t，y = 𝑡 2 ，-2≤ 𝑡 ≤ 2 之圖形。 【解】y= 𝑡 2 = 𝑥 2 因-2≤ 𝑡 ≤ 2，故-2≤ 𝑥 ≤ 2 其圖形為拋物線 y = 𝑥 2 在-2≤ 𝑥 ≤ 2 之部分。

♡例 0.69 描出參數方程式 x = a cos t，y = b sin t 之圖形。 𝑥

𝑦

【解】𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ，𝑏 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑥2 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 = 1 𝑥2

𝑦2

其圖形為橢圓(ellipse) 𝑎2 + 𝑏2 = 1。

♡例 0.69 描出參數方程式 x = a sec t，y = b tan t 之圖形。 𝑥

𝑦

【解】𝑎 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ，𝑏 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑥2

𝑦2

− 𝑏2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 = 1 𝑎2 其圓形為雙曲線(hyperbola)

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

=1

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.