Chapter2 Derivatives (第二章 導數)

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Derivatives 第二章 導數

在第一章裡，我們已經提到極限(limit)是微積分(Calculus)最基本的概念。 本章將用極限的概念，探討微積分裡的導數(derivative)問題。導數的概念來自幾 何學中曲線之切線的斜率(slope)，以及物理學中之瞬時速率(Instantaneous speed) 因此導數在幾何學及物理學上之應用很廣，我們將在下章討論導數之應用。

2-1 函數的導數(The Derivative of a Function) 定義 2.1：導函數 (Derivative Function) 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

函數𝑓(𝑥)之導函數為函數𝑓 ′ = (𝑥)定義成𝑓 ′ (𝑥) = lim 。 ℎ ℎ→0 ′ (The derivative function of a function 𝑓 = (𝑥 ) is the function 𝑓 = (𝑥) , defined 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) by 𝑓 ′ (𝑥) = lim .) ℎ ℎ→0

註：𝑓 ′ (𝑥)常寫成𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥→0

∆𝑥

。

導函數之符號𝑓 ′ (𝑥 )為數學家 Lagrange(1736-1813)首先使用，讀做 𝑓 prime of 𝑥 。導函數(Derivative function)長簡稱為導數(derivative)。 例 2.1 若𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 ，是由導函數之定義求𝑓 ′ (𝑥)。 【解】 𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

ℎ→0

= lim

ℎ→0

= lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ (𝑥+ℎ)3−𝑥 3 ℎ (𝑥 3+3𝑥 2ℎ+3𝑥ℎ 2 +ℎ 3 )−𝑥 3 ℎ

ℎ→0

= lim(3𝑥 + 3𝑥ℎ + ℎ2 ) = 3𝑥 2。 2

ℎ→0

定義 2.2：在一點的導數 (Derivative at a point) 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

函數𝑓(𝑥)在𝑎處之導數記為𝑓 ′ = (𝑎)，定義成𝑓 ′ (𝑎) = lim 。 ℎ ℎ→0 (The derivative of 𝑓 = (𝑥 ) at 𝑎,written 𝑓 ′ = (𝑎)is defined as𝑓 ′ (𝑎) = 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) lim ). ℎ ℎ→0

令𝑥 = 𝑎 + ℎ，則ℎ = 𝑥 − 𝑎，𝑥 → 𝑎 ℎ → 𝑎 故定義 2.2 可改寫成： 𝑓 ′ (𝑎) = lim

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

稱為 𝑓 = (𝑥 )在 𝑎處的導數。

𝑥−𝑎

𝑥→a

例 2.2 若𝑓 (𝑥 ) = √𝑥，求𝑓 ′ (4)。 【解】𝑓 ′ (4) = lim

𝑓(𝑥)−𝑓(4) 𝑥−4 𝑥−4

𝑥→4

= lim ( 𝑥→4

√𝑥−2 𝑥→4 𝑥−4 1

= lim

= lim

√𝑥−2)(𝑥−4) 𝑥→4 √𝑥+2

1

1

= 2+2 = 4。

例 2.3 (𝑥+1)(𝑥+2)

若𝑓 (𝑥 ) = (𝑥+3)(𝑥+4)，試求𝑓 ′ (−2)。 【解】𝑓 ′ (−2) = lim

𝑓(𝑥)−𝑓(−2)

𝑥→−2

= lim

𝑥+2

(𝑥+1)(𝑥+2) −0 (𝑥+3)(𝑥+4)

𝑥→−2

= lim

𝑥→−2

𝑥+2 (𝑥+1)

= (𝑥+3)(𝑥+4)

−1 2

定義 2.3：可導 (differentiable) 若lim

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

因lim

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ→0

ℎ→0

ℎ

ℎ

存在，則稱𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處可導。 = lim

𝑥→a

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

故𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處可導之定義可改寫為

若lim

𝑥→a

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

存在，則稱𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處可導。

註：函數𝑓(𝑥 )在𝑎處可導(differentiable)，與𝑓(𝑥 )在𝑎處的導數(derivative) 𝑓 ′ (𝑎)存 在的意義是相同的，可導有些書稱為可微。

例 2.4 若𝑓 (𝑥 ) = |𝑥 |，問𝑓(𝑥)在𝑥 = 0處是否可導？ 【解】 因 lim+ 𝑥→0

故lim

𝑥→0

|𝑥|

= 1， lim−

𝑥 𝑓(𝑥)−𝑓(0) 𝑥−0

𝑥→0

= lim

|𝑥| 𝑥 |𝑥|

= −1

𝑥→0 𝑥

不存在

故𝑓(𝑥 ) = |𝑥 |在𝑥 = 0處不可導。

例 2.5 若𝑓 (𝑥 ) = 𝑥|𝑥 |，問𝑓(𝑥)在𝑥 = 0處是否可導？ 【解】 因lim

𝑥→0 ′

𝑓(𝑥)−𝑓(0) 𝑥−0

= lim

𝑥|𝑥|

𝑥→0 𝑥

= lim |𝑥 | = 0 𝑥→0

即𝑓 (0) = 0 故𝑓(𝑥 ) = 𝑥|𝑥 | 在 𝑥 = 0處可導。

前面已經用極限之概念來定義函數之導數，下面將說明如何由幾何問題以及 物理問題導入導數之概念。首先我們以幾何學中平面曲線之切線的斜率，以及物 理學中直線運動之瞬時速度，這兩個讀者所熟悉的問題來說明導數之幾何與物理

意義。

 曲線的斜率 (The slpoe of a curve) 如果函數𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑥0 處可導，也就是說𝑓′(𝑥0 )存在，則曲線𝑦 = 𝑓(𝑥 )在點 (𝑥0 , 𝑓 (𝑥0 ))處有唯一的一條切線(Tangent line)，此時曲線𝑦 = 𝑓 (𝑥 )在點(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) 處是平滑的(smooth)。所謂曲線在某點處是平滑之意義，是指在曲線上取包含該 點之一段，其形狀可任意的接近一個線段。

圖 2.1 如圖 2.1，設𝑃(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))為平滑曲線𝑦 = 𝑓(𝑥 )上一定點，而 𝑄(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ))為其上一動點，割線𝑃𝑄的斜率(slope)為 𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 ) = 0 (𝑥0 +∆𝑥)−𝑥0 ∆𝑥 當𝑄點任意接近𝑃點時，其極限位置之直線稱為曲線𝑦 = 𝑓 (𝑥 )過點𝑃之切線 (Tangent lime)。𝑄點任意接近𝑃點相當於∆𝑥 → 0， 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 ) ∆𝑥

稱為曲線 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 在點 (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) 處之切線的斜

率(slope)。曲線之切線的斜率簡稱為曲線的斜率。 過曲線𝑦 = 𝑓 (𝑥 )上一點𝑃(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))之切線方程式為 𝑦 − 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )

定義 2.4：導數為曲線之斜率 (Derivative as slope of a curve) 曲線𝑦 = 𝑓 (𝑥 )在點(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))處之切線的斜率(slope) 或稱曲線 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )在點(𝑥0 , 𝑓 (𝑥0 ))處之斜率(slope)為 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥0 ) 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim = 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim ∆𝑥→0 𝑥→𝑥0 ∆𝑥 𝑥 − 𝑥0 例 2.6 求拋育線 𝑦 = 𝑥 2 在點(2,4)處之切線的斜率(slope)。 【解】 令𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ，則 𝑓 ′ (2) = lim

𝑥→2

= lim

𝑓(𝑥)−𝑓(2) 𝑥−2 𝑥 2−4

𝑥→2 𝑥−2

= lim (𝑥 + 2) = 4。 𝑥→2

故斜率𝑚 = 4。

瞬時速度(Instantaneous velicity) 如果物體做直線運動(Rectilinear motion)，𝑠(𝑡)表示物體在時間 𝑡 時之位置 (position)，則

𝑠(𝑡0 +ℎ)−𝑠(𝑡0 ) ℎ

表示物體由時間 𝑡 = 𝑡0 至 𝑡 = 𝑡0 + ℎ 之平均速度

(Average velocity)，當ℎ → 0時，則成為在 𝑡 = 𝑡0 時之瞬時速度(Instantaneous velocity) ，因此可用導數定義瞬時速度。

定義 2.5：導數之物理意義 若物體作直線運動，t 表示時間， 𝑠(t)表示位置函數， 𝑠(𝑡0+ℎ)−𝑠(𝑡0 ) ℎ h→0

則導數 𝑠 ′ (𝑡0) = lim

稱為物體在 𝑡 = 𝑡0 時之瞬時速度。

例 2.7 若物體作直線運動(rectilinear motion)，其位置(position) s 與時間 (time) t 之關 係為 𝑠(𝑡) = √𝑡 ，求該物體在 𝑡 = 4 時之瞬時速度(instantaneous velocity)。 𝑠(t)−𝑠(4) 𝑡−4 t→4 1

【解】 令𝑠 ′ (4) = lim

故瞬時速度為

𝑡−2

𝑡−2

1

1

√ = lim √𝑡−4 = lim (√𝑡−4 = lim √𝑡+2 = 4 )(√𝑡+2) t→4

t→4

t→4

4 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

𝑓 (𝑥 + h) − 𝑓(𝑥)稱為函數𝑓(𝑥)對於間距 h 之差分(difference)，

h

稱為一個差商(difference quotient)，此差商表示函數𝑓(𝑥)由 x 到 x+h 間之平均變率 (Average rate of change)。 導數𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim h→0

𝑓(𝑥0 +h)−𝑓(𝑥0 )

表示對𝑓(𝑥)對 x 在𝑥 = 𝑥0 處之瞬時變

h

率(instantaneous rate of change)。 若變數 𝑦 是隨著時間 (time) 變數 t 而變，則 𝑦 ′ (𝑡)稱為 y 對 t 之變率。 若 𝑦 = 𝑓(𝑥)，令 △ 𝑦 = 𝑓 (𝑥 +△ 𝑥 ) − 𝑓(𝑥)，此處 △ 𝑥 稱為 x 增量(x increment) ，△ 𝑦 稱為 y 增量(y increment) 𝑓(𝑥 +△ 𝑥) − 𝑓(𝑥 ) △𝑦 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim = lim △𝑥→0 △𝑥→0 △ 𝑥 △𝑥 我們將 lim

△𝑦

△𝑥→0 △𝑥

寫成

𝑑𝑦 𝑑𝑥

，且稱

𝑑𝑦 𝑑𝑥

為 y 對 x 之導數。

№Ѓат░јТЋИС╣Ітљёуе«угдУЎЪ (Notations of a derivative) УІЦ ­ЮЉд = ­ЮЉЊ (­ЮЉЦ )№╝їтЅЄ

­ЮЉд Рђ▓ = ­ЮЉЊ Рђ▓ (­ЮЉЦ ) =

­ЮЉЉ­ЮЉд ­ЮЉЉ­ЮЉЦ

=

­ЮЉЉ ­ЮЉЉ­ЮЉЦ

­ЮЉЊ(­ЮЉЦ) = ­Юљи­ЮЉд = ­Юљи­ЮЉЊ(­ЮЉЦ) = ├й

­ЮЉЊ Рђ▓ (­ЮЉЦ ) уе▒уѓ║ Lagrange С╣Іт░јТЋИугдУЎЪ ­ЮЉЉ­ЮЉд ­ЮЉЉ­ЮЉЦ

уе▒уѓ║ Leibniz С╣Іт░јТЋИугдУЎЪ

D­ЮЉЊ(­ЮЉЦ)уе▒уѓ║ Cauchy С╣Іт░јТЋИугдУЎЪ ├й уе▒уѓ║ Newton С╣Іт░јТЋИугдУЎЪ уЋХ ­ЮЉд = ­ЮЉЊ (­ЮЉЦ ) ТЎѓ№╝ї­ЮЉЊ (­ЮЉЦ)тюе ­ЮЉЦ = ­ЮЉј УЎЋС╣Іт░јТЋИт»ФТѕљ ­ЮЉЊРђ▓(­ЮЉј) Тѕќ

­ЮЉЉ­ЮЉд

| сђѓ ­ЮЉЉ­ЮЉЦ ­ЮЉЦ=­ЮЉј

СЙІтдѓ ­ЮЉд = ­ЮЉЊ (­ЮЉЦ ) = ­ЮЉЦ 3 №╝їтЅЄ ­ЮЉд т░Ї ­ЮЉЦ С╣Іт░јТЋИ (The derivative with respect x of y)№╝їтЈ»

т»ФТѕљ ­ЮЉЉ­ЮЉд = y Рђ▓ = Dy = ├й = ­ЮЉЊ Рђ▓ (­ЮЉЦ ) = 3­ЮЉЦ 2 ­ЮЉЉ­ЮЉЦ ­ЮЉЉ­ЮЉд | = ­ЮЉЊ Рђ▓ (2) = 3­ЮЉЦ 2 |­ЮЉЦ=2 = 12 ­ЮЉЉ­ЮЉЦ ­ЮЉЦ=2

習題 2-1 1.

試由導函數的定義求 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 的導函數

2.

設 𝑓 (𝑥 ) =

3.

若 𝑓 (𝑥 ) =

4. 5.

設 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 2+4𝑥+5)4 ，試求𝑓′(0)。 𝑥, 𝑥≤1 設𝑓(𝑥 ) = { ， 2𝑥 − 1, 𝑥 > 1 問𝑓(𝑥 )在𝑥 = 1處是否為連續(continuous)?

6.

𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 1處是否可導(differentiable)? 𝑥 2 + 1, 𝑥 ≥ 0 若 𝑓 (𝑥 ) = { 2𝑥 + 1, 𝑥 < 0 (a) 試求 lim 𝑓(𝑥)

𝑥(𝑥+1)(𝑥+2) (𝑥+3)(𝑥+4) (𝑥−1)(𝑥 2+3) 𝑥+6 (𝑥 2−3𝑥+2)3

，試求𝑓′(0)。

，求𝑓 ′ (1)。

△𝑥→0

(b) 問𝑓(𝑥) 在 𝑥 = 0 是否為連續? (c) 問𝑓(𝑥) 在 𝑥 = 0 是否為可導? 7.

設𝑓(𝑥)在 𝑥 = 𝑎 處為可導(differentiable)，試求 lim

h→0

8.

𝑓(𝑎−h)−𝑓(𝑎) h

之值

若𝑓(𝑥) 為可導的偶函數(Even function)，且𝑔(𝑥) 為可導的奇函數 (Odd function)，試證𝑓′(𝑥)為奇函數，而𝑔′(𝑥)為偶函數。

2-2 求導公式(Formulas for Differentiation) 求導數(derivative)的過程稱為求導(differentiation)，下面將介紹一些基本的 求導公式。 註:求導(differentiation)有些書稱為微分，求導公式稱為微分公式。

♡定理 2.1:常數函數的導數 若 f(x)=k (常數)，則 f ’(x)=0 【證】f ’(x)= lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

=lim

𝑘−ℎ

ℎ→0 ℎ

0

=lim ℎ。 ℎ→0

♠例 2.8 若 f(x) =9，求 f ’(x)。 【解】 因 f(x)=9 為一常數函數，故 f ’(x)=0。 下面定理之證明需要用到二項式定理(見第零章) ♡二項式定理(Binomial Theorem) 𝑛

𝑛

(𝑥 + ℎ)𝑛 = 𝑥 𝑛 +( )𝑥 𝑛−1 ℎ + ⋯ +( )𝑥 𝑛−𝑘 ℎ𝑘 +…+ℎ𝑛 1 𝑘 𝑛

𝑛!

其中(𝑘 )=𝑘!(𝑛−𝑘)!，而 n!=n(n-1)…2∙1 因此(𝑥 + ℎ)𝑛 = 𝑥 2 +n𝑥 𝑛−1 h+

𝑛(𝑛−1) 2

𝑥 𝑛−2 ℎ2 +…+ℎ𝑛 。

♡定理 2.2: 冪法則(Power rule) 若 n 為一正整數，f(x)=𝑥 𝑛 ，則 f’(x)=n𝑥 𝑛−1 。 【證】f ’(x)= lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ→0

= lim

ℎ

= lim

ℎ→0

(𝑥+ℎ)𝑛−𝑥 𝑛 ℎ

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 2 𝑥 𝑛−𝑛𝑥 𝑛−1ℎ+ 𝑥 ℎ +⋯+ℎ 𝑛 −𝑥 𝑛 2

ℎ

ℎ→0

=lim (𝑛𝑥 𝑛−1 +

𝑛(𝑛−1)

ℎ→0

2

𝑥 𝑛−2 h + ⋯ + ℎ𝑛−1 )= 𝑛𝑥 𝑛−1 。

♠例 2.9 若 f(x)=𝑥 6 ，求 f ’(x)。 【解】f′(x)=6𝑥 6−1 = 6𝑥 5 。

♡定理 2.3:和的導數(Derivative of sum) 若 f(x)與 g(x)為可導函數(Differentiable functions)，則 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)]′=𝑓′(x) + 𝑔’(𝑥)。 【證】

[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )]′ =lim = lim

[𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

+ lim

ℎ

ℎ→0

ℎ 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)。

ℎ

ℎ→0

♡定理 2.4:導數的線性性質(Linearity of derivative) 若 f(x)與 g(x)為可導函數(Differentiable functions)，a 與 b 為二常數， 則[𝑎𝑓(𝑥 ) + 𝑏𝑔(𝑥)]′=af ’(x)+bg’(x)。 【證】[𝑎𝑓(𝑥 ) + 𝑏𝑔(𝑥 )]′ = lim = a lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ→0

𝒉

[𝑎𝑓(𝑥+ℎ)+𝑏𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑎𝑓(𝑥)+𝑏𝑔(𝑥)]

ℎ→0 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

+ b 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝒉

ℎ

= 𝑎𝑓’(x) + 𝑏𝑔’(x)。

在定理 2.4 中，另 a=b=1，則得[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)]′=f′(x)+g'(x)， 因此定理 2.3 二函數之和的導數公式，為定理 2.4 導數之線性性質的特例。 ♡例 2.10 若 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 5 ，求 f’(x)。 【解】 f ’(x)=3𝑥 3−1 + 5𝑥 5−1 =3𝑥 2 +5𝑥 4 。 ♡定理 2.5:可導性與連續性(Differentiability and continuity) 若 f(x)在 x=a 處可導(differentiable)，則 f(x)在 x=a 處連續(continuous)。 【證】當 x≠ 𝑎時，𝑓 (𝑥 )可寫成: 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

f(x)=f(a)+

𝑥−𝑎

(x-a)

因 f(x)在 x=a 處可導，故𝑙𝑖𝑚 lim f(x)= lim 𝑓(𝑎) + lim

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

=f(a)+f ’(a) ∙ 0 = f(a)

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

= f ’(a)

lim (x-a)

𝑥→𝑎

故由連續的定義知，f(x)在 x=a 處連續。 由定理 2.5 知，若 f(x)在 x=a 處不連續，則 f(x)在 x=a 處為不可導， 函數 f(x)在 x=a 處可導，是指曲線 y=f(x)在 x=a 處有唯一之一條切線(Tangent line)，且此條切線布垂直於 x 軸。

若 f(x)在 x=a 處有尖角(corner)，或在 x=a 處不 連續，或在 x=a 除處有鉛垂切線 (Vertical tangent line)，則 f(x)在 x 處不可導，如圖 2.2 所示。

圖 2.2 ♡定理 2.6:積的導數(Derivative of product) 若 f(x)與 g(x)為可導函數(Differentiable functions)，則 [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )]′ = 𝑓 ′ (𝑥 )𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝑔′ (𝑥)。 【證】[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′ = lim =𝑙𝑖𝑚[ ℎ→0

=𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]

ℎ ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ) 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ

+

ℎ

𝑙𝑖𝑚𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ→0

ℎ→0

]

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

=𝑓’(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥)。 註:上面定理之證明引用到 若 f(x)為可導⇒f(x)為連續函數⇒ lim 𝑓 (𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 )。 ℎ→0

♡定理 2.7:商的導數 (Derivative of quotient) 若 f(x)與 g(x)為可導函數(Differentiable functions)，且 𝑔(𝑥)𝑓 ′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑓(𝑥)

g(x)≠ 0，則[𝑔(𝑥)]’ =

[𝑔(𝑥)]2

。

此定理之證明需引用到: 若 f(x)為可導 f(x)為可導⇒f(x)為連續函數⇒ lim 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 )。 𝑓(𝑥)

【證】[𝑔(𝑥)]’ = 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥+ℎ) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥+ℎ) 𝑔(𝑥)

ℎ

ℎ→0

=𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] ℎ

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ→0

=

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ) 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 −𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 ℎ ℎ ℎ→0 ℎ→0

𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ→0

=

𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2

。

♡例 2.11 𝑥 2+3𝑥+2

設 f(x)=𝑥 2+5𝑥+8求 f ’(x)。 (𝑥 2+5𝑥+8)(2𝑥+3)−(𝑥 2+3𝑥+2)(2𝑥+5)

【解】f(x)= =

2𝑥 2+12𝑥+14 (𝑥 2+5𝑥+8)2

(𝑥 2+5𝑥+8)2

。

♡例 2.12 若 n 為負整數，f(x)=𝑥 𝑛 ，試證 f ’(x)=n𝑥 𝑛−1 。 【解】令 m= -n，則 m 為正整數 1

f(x)=𝑥 𝑛 = 𝑥 −𝑚 = 𝑥 𝑚

(𝑥 𝑚)(0)−(1)(𝑚𝑥 𝑚−1)

f ’(x)= =

−𝑚𝑥 𝑚−1 𝑥 2𝑚

(𝑥 𝑚)2

= −𝑚𝑥 −𝑚−1 = 𝑛𝑥 𝑛−1。

若 n=0，x≠ 0，則 f(x)=𝑥 𝑛 = 𝑥 0 = 1，故 f(x)=0，故當 n=0 時，f(x)=𝑥 𝑛 ，公式 f ’(x)=n𝑥 𝑛−1 亦成立。由定理 2.2，例 2.12 以及上面之討論可得下面一定理。

♡定理 2.8:整數冪函數之倒數公式 若 n 為一整數，f(x)=𝑥 𝑛 ，則 f ’(x)=n𝑥 𝑛−1 。

♡例 2.13 求(𝑥 − 2)2 除x 6 之餘式。 【解】令𝑥 6 = (𝑥 − 2)2 𝑞(𝑥 ) + 𝐴𝑥 + 𝐵 兩邊就 x 求導，得 6𝑥 5 = 2(𝑥 − 2)𝑞(𝑥 ) + (𝑥 − 2)2 𝑞 ′ (𝑥) + 𝐴 令 x=2，得 26 = 64 = 2𝐴 + 𝐵 6 ∙ 25 = 192 = 𝐴 B=64-384=-320 故餘式為 192x-320。

習題 2-2 𝑥2 ,𝑥 ≤ 1 1.若 f(x)={ 在=1 處為可導，求 a，b 之值。 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 > 1 (𝑓(𝑎+𝑚ℎ)−𝑓(𝑎−𝑛ℎ) 2.設 f(x)在 x=a 處為可導，m, n 為正整數，試證𝑙𝑖𝑚 = ℎ ℎ→0

(𝑚 + 𝑛 )𝑓 𝑎 )。 ′(

3.設𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

ℎ→0

= 𝐿，試證 lim [𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)] = 0。 h→0

4.已知 f(2)=15，且 f ’(2)=8，求limf(x)。 x→2

5.若 p(x)=f(x)g(x)h(x)，試證 p’(x)=g(x)h(x)f ’(x)+f(x)g’(x)h(x)+f(x)g(x)h’(x)。 6.試找出一函數 f(x)在 x=1 處連續但不可導。 7.設 f(x)=𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6，求 lim

𝑓(𝑎+2ℎ)−𝑓(𝑎−5ℎ) ℎ

h→0

之值。

8.是由 1+x+𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 之和的公式 導出 1 + 2𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 之和的公式。 3

9.試用導數之方法求𝑙𝑖𝑚 𝑡→0

√1+𝑡−1 5之值。 𝑡

10.若 f(x)=x|𝑥 |，試求𝑓 ′ (𝑥 )。 11.設 f(x)=𝑥 4 + 5𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 − 3，求 lim 𝑥 2+3

h→0

𝑓(2+ℎ)−𝑓(2) ℎ 2 +3ℎ

之值。

𝑑𝑦

12.若 y=𝑥 2+5，求𝑑𝑥 。 5𝑥

𝑑𝑦

13.若 y=𝑥+3，求𝑑𝑥 |

𝑥=2

。

14.若曲線 y=5𝑥 2 − 8 + 6 上一點切線與直線𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0垂直，是求切點的坐 標。 15.設 f(x)=𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏，若點 P(1,6)在曲線 𝑦 = 𝑓(𝑥 )上，且此曲線過 P 點之切線方程式為𝑦 = 5𝑥 + 1，試求𝑎，𝑏之值。 16.求過點(3,-4)而與拋物線𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥相切之直線方程式。 √𝑥 2 +1−𝑥

17.若 f(x)=√𝑥 2

+1+𝑥

+

√𝑥 2+1+𝑥 √𝑥 2+1−𝑥

，求 f ’(x)。

2-3 三角函數的導數 (Derivatives of Trigonometric Functions) 在討論三角函數的微分之前，建議先複習第零章三角函數部分。

♡定理 2.9: sin 𝑥 = 1。(在 𝑠𝑖𝑛 𝑥 中，𝑥以弧度(radian)為單位) 𝑥→0 𝑥 lim

【證】如圖 2.3

圖 2.3 設圓形 OAB 之半徑為 1 π 0<x< 2 三角形 OBD<扇形 OAB<三角形 OAE 1 2

1

1

sin x cos x < 2 𝑥 < 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥

sin x cos x < x < cos x <

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥 1

< 𝑐𝑜𝑠 𝑥

1

但 𝑙𝑖𝑚+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 𝑥→0

𝑥→0

故由夾擠定理知 𝑙𝑖𝑚

𝑥

𝑥→0+ 𝑠𝑖𝑛 𝑥

即 𝑙𝑖𝑚

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

𝑥→0+ 𝜋

=1

= 1。

若− 2 < 𝑥 < 0，另𝑦 = −𝑥 ，則 0 < 𝑦 < 𝑠𝑖𝑛 𝑥 sin(−𝑦) 𝑙𝑖𝑚− = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥→0 𝑦→0 𝑥 −𝑦 −𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ =1 −𝑦

𝑦→0

因 𝑙𝑖𝑚−

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 𝑥

故𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

𝑥

𝑦→0

𝑦

= 1， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥→0

= 1。

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

=1

π 2

♡定理 2.10: 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1 =0 ℎ→0 ℎ 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 1−𝑐𝑜𝑠 ℎ 【證】𝑙𝑖𝑚 ℎ = 0= -𝑙𝑖𝑚 ℎ 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

=−𝑙𝑖𝑚

2𝑠𝑖𝑛 2

ℎ→0

ℎ 2

ℎ

ℎ→0 ℎ 𝑠𝑖𝑛

= −𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ 2

2

ℎ

𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑛 2 ℎ→0

=−(1)(0)=0。 下面定理之證明需引用 1.sin(x+h)= sin x cos h + cos x sin h 2.𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

3.𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑠𝑖𝑛 𝑥

= 1 (定理 2.9)

𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 ℎ

= 0 (定理 2.10)

♡定理 2.11: sin x 之導數 若 f(x)=sin x，則 f′(x)=cos x。 【證】f ’(x)= 𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

=𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

=𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ ℎ→0 𝑠𝑖𝑛(𝑥+ℎ)−𝑠𝑖𝑛 𝑥 ℎ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ℎ−𝑠𝑖𝑛 𝑥 ℎ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 ℎ−1)+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ℎ ℎ

=𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

=(sin x)(0)+(cos x)(1)=cos x。 f(x)=sin x 與其導數 f ’(x)=cos x 之圖形如下

ℎ→0

𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 ℎ

+ 𝑙𝑖𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ→0

𝑠𝑖𝑛 ℎ ℎ

下面定理之證明需引用 1. cos (x+h)=cos x cos h – sin h sin x 2. lim

𝑥→0

3. lim

sin 𝑥

= 1(定理 2.9)

𝑥 cos h−1

= 0 (定理 2.10)

h

h→0

♡定理 2.12: cos x 之導數 若 f(x)=cos x，則 f ’(x)= −sin x。 【證】f'(x)= 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ ℎ→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥+ℎ)−𝑐𝑜𝑠 𝑥

ℎ ℎ→0 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1

= 𝑙𝑖𝑚

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ−𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ℎ−𝑐𝑜𝑠 𝑥 ℎ

ℎ→0 𝑠𝑖𝑛 ℎ

− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑙𝑖𝑚

ℎ

ℎ→0

= 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ

=𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 0 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ 1 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥。 ♠例 2.14 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑𝑦

若 y=1+𝑠𝑖𝑛 𝑥，求𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

𝑑

【證】𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = = =

𝑐𝑜𝑠 𝑥

1+𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑 𝑑 (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 𝑑𝑥

𝑑𝑥

(1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2 (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥)(− 𝑠𝑖𝑛 𝑥)−(𝑐𝑜𝑠 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥) (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2

=

− 𝑠𝑖𝑛 𝑥−1 (1+𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2

−1

= 1+𝑠𝑖𝑛 𝑥。

♡定理 2.13: tan x 之導數 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥。 𝑑𝑥 𝑑

𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑥

【證】𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑 𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

=

𝑐𝑜𝑠 2𝑥+𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

1

= 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥。

♠例 2.15 𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑑𝑦

若y=1+𝑡𝑎𝑛 𝑥，求𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

【解】𝑑𝑥 =

(1+𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 𝑥−𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 (1+𝑡𝑎𝑛 𝑥) 2

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

= (1+𝑡𝑎𝑛 𝑥)2 。

♡定理 2.14: cot x 之導數 𝑑 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥。 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑥 【證】𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =

𝑑 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 −𝑠𝑖𝑛 2𝑥−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 −1

𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

𝑥

= 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥。

𝑠𝑖𝑛 2 𝑥

♡定理 2.15: sec x 之導數 𝑑 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 。 𝑑𝑥 【證】

𝑑 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑥 𝑥 =

=

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

𝑑

1

𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

(𝑐𝑜𝑠 𝑥)(0)−(1)(− 𝑠𝑖𝑛 𝑥)

=

(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 2

= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥。

♡定理 2.16: csc x 之導數 𝑑 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 。 𝑑𝑥 𝑑

𝑑

1

(𝑠𝑖𝑛 𝑥)(0)−(1)(𝑐𝑜𝑠 𝑥)

【證】𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = (𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = = − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥。 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ♠例 2.16 𝜋

若 f(x)=4 csc x+3 sec x，求 f'(6 )。 【解】f ’(x)= −4 csc x cot x+3 sec x tan x 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 f ’(6 ) = −4 𝑐𝑠𝑐 6 𝑐𝑜𝑡 6 + 3𝑠𝑒𝑐 6 𝑡𝑎𝑛 6 =−4 ∙ 2 ∙ √3 + 3

2 √

∙ 3

1 √3

= 2 − 8√ 3。

♠例 2.17 𝑥

𝑑𝑦

若 y=sin2 2 ，求 𝑑𝑥 。 𝑥

【解】因 y=𝑠𝑖𝑛2 2 = 故

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑 1−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

2

=

1−𝑐𝑜𝑠 𝑥

1 𝑑 2 𝑑𝑥

2 1

(1-cos x)= 𝑠𝑖𝑛 𝑥。 2

♠例 2.18 試用兩種不同之方法求𝑙𝑖𝑚

𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑥

𝑥→0

。

【解】 1.利用𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=1 之方法: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

1

𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑥

= 𝑙𝑖𝑚[

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥→0

𝑥

1

∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥]

𝑙𝑖𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑥

𝑥→0

= 1 ∙ 1 = 1。 2.利用導數之定義 f ’(a)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

:

令 f(x)=tan x，則 f(0)=0，f ’(x)=𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

𝑙𝑖𝑚

𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑥→0

𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

=f ’(0)=𝑠𝑒𝑐 2 0 = 1。

習題 2-3 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

1.求𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 。 𝑥→0

𝑠𝑖𝑛𝑥

,𝑥 ≠ 0 ，問 f(x)在 x=0 處是否連續? 1, 𝑥 = 0 3.若 f(x)=x sin x，求 f ’(x)。 2.若 f(x)={

𝑥

4.若 f(x)=5x sec x+4tan x，求 f ’(0)。 𝑠𝑖𝑛 𝑥

，求𝑓 ′ (𝑥 )。 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑥 < 𝜋 6.若 f(x)={ 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑥 ≥ 𝜋 5.若 f(x)=

1+𝑐𝑜𝑠 𝑥

在 x=𝜋處可導，求𝑚與𝑏之值。 7.設 f ’(0)=p，試求𝑙𝑖𝑚

𝑓(5𝑥)−𝑓(𝑠𝑖𝑛 𝑥)

𝑥→0

𝑥

之值。

8.若 f(x)=sin x+cos x，且 0≤ 𝑥 ≤ 2𝜋， 試求 x 之值使得 f ’(x)=0。 9. 求𝑙𝑖𝑚 𝑥→0

(𝑥 2−1)𝑠𝑖𝑛(𝑥−1) (𝑥−1)2 𝑠𝑒𝑐 𝑥

。

𝑑𝑦

10.若 y=1+𝑡𝑎𝑛 𝑥 ，求 𝑑𝑥 。 𝜋

11.若 f(x)=tan x+3 sec x，求 f ’( 3 ) 。 12.求𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑥→

4

𝑡𝑎𝑛 𝑥−1 𝜋 4

𝑥−

。

𝑥→0

𝑓(𝑥)−𝑓(0) 𝑥−0

2-4 連鎖律(The Chain Rule) 本節將討論複合函數(Composite function) y=g(f(x))之求導方法，複合函數之求導 規則，稱為連鎖律。 ∆𝑦

∆𝑦 ∆𝑢

若 y=f(u)，u=g(x)，則∆𝑥 = ∆𝑢 ∆𝑥 𝑑𝑦

故𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑦

𝑙𝑖𝑚

∆𝑢

∆𝑢→0 ∆𝑢 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑢

= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 。

♡定理 2.17:連鎖律(Chain rule) 若 u=g(x)在 x=𝑥0 處可導，y=f(u)在 u=𝑢0 = 𝑔(𝑥0 )處可導， 𝑑𝑦

則𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑔(𝑥 ))在x=𝑥0 處可導，且𝑑𝑥 |

𝑥=𝑥0

𝑑𝑦

= 𝑑𝑢|

𝑑𝑢

下面第一種證明方法簡單而不嚴密，第二種為嚴密的證法。 【證 1.】u=g(x)，𝑢0 = 𝑔(𝑥0 )，𝑦 = 𝑓 (𝑢) = 𝑓(𝑔(𝑥0 )) ∆𝑢 = 𝑔(𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑔(𝑥0 ) ∆𝑦 = 𝑓(𝑢0 + ∆𝑢) − 𝑓 (𝑢0 ) = 𝑓 (𝑔(𝑥0 ) + ∆𝑢) − 𝑓(𝑔(𝑥0 )) ∆𝑦 ∆𝑥

∆𝑦 ∆𝑦 𝑓(𝑔(𝑥0)+∆𝑢)−𝑓(𝑔(𝑥0)) 𝑔(𝑥0+∆𝑥)−𝑔(𝑥0 )

= ∆𝑢 ∆𝑥 =

∆𝑢

∆𝑥

因∆𝑢 = 𝑔(𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑔(𝑥0 ) 且 g(x)在 x=𝑥0 處可導，故在𝑥 = 𝑥0 處連續。 故 𝑙𝑖𝑚 ∆𝑢 = 𝑙𝑖𝑚 (𝑔(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥0 )) =0 ∆𝑥→0

∆𝑥→0

因此∆𝑥 → 0 必可使∆𝑢 → 0 𝑑𝑦

故𝑑𝑥 |

= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑥=𝑥0 𝑓(𝑔(𝑥0)+∆𝑢)−𝑓(𝑔(𝑥0))

= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑢

∆𝑢→0 ′(

𝑑𝑦

𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

=f ’(g(𝑥0 ))𝑔 𝑥0 ) = 𝑑𝑥 |

𝑔(𝑥0 +∆𝑥)−𝑔(𝑥0 ) ∆𝑥 𝑑𝑢

|

𝑢=𝑔(𝑥0) 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

。

此證明之缺點為:當∆𝑥 ≠ 0 時不能保證 ∆𝑢 = 𝑔(𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 ∆𝑦

∆𝑦 ∆𝑢

故等式∆𝑥 = ∆𝑢 ∆𝑥有問題。 【證 2.】因 u=g(x)在 x= 𝑥0處可導， 故∆𝑢 = 𝑔(𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑔(𝑥0 ) = 𝑔′ (𝑥0 )∆𝑥 + 𝐸1 (∆𝑥)∆𝑥 且 𝑙𝑖𝑚 𝐸1 (∆𝑥) = 0 ∆𝑥→0

|

𝑢=𝑔(𝑥0) 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

。

因 y=f(u)在 u=𝑢0 = 𝑔(𝑥0 )處可導 故∆𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥𝑥0 + ∆𝑥)) − 𝑓(𝑔(𝑥0 )) = 𝑓(𝑢0 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢0 ) =𝑓 ′ (𝑢0 )∆𝑢 + 𝐸2 (∆𝑢)∆𝑢，且 𝑙𝑖𝑚 𝐸2 (∆𝑢) = 0 ∆𝑢→0

將∆𝑢 = 𝑔 𝑥0 )∆𝑥 + 𝐸1 (∆𝑥)∆𝑥代入得 ∆𝑦 = 𝑓 ′ (𝑢0 )[𝑔′ (𝑥0 )∆𝑥 + 𝐸1 (∆𝑥 )∆𝑥 ] + 𝐸2 (∆𝑢)[𝑔′ (𝑥0 )∆𝑥 + 𝐸1 (∆𝑥 )∆𝑥] =[f ’(𝑢0 ) + 𝐸2 (∆𝑢)[𝑔′ (𝑥0 ) + 𝐸1 (∆𝑥 )]∆𝑥 ′(

當∆𝑥 ≠ 0 時，得

∆𝑦 ∆𝑥

= [𝑓 ′ (𝑢0 ) + 𝐸2 (∆𝑢)][𝑔′ (𝑥0 ) + 𝐸1 (∆𝑥 )]

因 u=g(x)，在𝑥 = 𝑥0 處可微分，故必為連續 故∆𝑥 → 0 時，必可使∆𝑢 → 0 𝑑𝑦

故𝑑𝑥 |

= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑥=𝑥0

= 𝑙𝑖𝑚 = [𝑓 ′ (𝑢0 ) + 𝐸2 (∆𝑢)] 𝑙𝑖𝑚 [𝑔′ (𝑥0 ) + 𝐸1 (∆𝑥 )] ∆𝑢→0

∆𝑥→0

=[f ’(𝑢0 ) + 0][𝑔′ (𝑥0 ) + 0] = 𝑓 ′ (𝑢0 )𝑔′(𝑥0 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑢 | = | 。 𝑑𝑢 𝑢=𝑔(𝑥0 ) 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

設 u 為 x 的函數，由前面所討論之導數公式及連鎖律可得 ♡導數公式與連鎖律 𝑑

𝑑𝑢

1.𝑑𝑥 𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑

𝑑𝑢

𝑑

𝑑𝑥 𝑑𝑢

𝑑

𝑑𝑢

2.𝑑𝑥 sin 𝑢 = cos 𝑢

3.𝑑𝑥 cos 𝑢 = − sin 𝑢 𝑑𝑥 4.𝑑𝑥 tan 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑

𝑑𝑢

5.𝑑𝑥 cot 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑑

𝑑𝑢

6.𝑑𝑥 sec 𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑥 𝑑

𝑑𝑢

7.𝑑𝑥 csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑥 。

♠例 2.19 𝑑𝑦

設 y=(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)3 ，求 𝑑𝑥 。 【解】令 u=𝑥 2 + 4𝑥 + 5，則𝑦 = 𝑢3 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑 2 (𝑥 + 4𝑥 + 5) = = 3𝑢2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =3(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)2 (2𝑥 + 4) =(6x+12)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)2 。 熟練者可寫成 𝑑𝑦

𝑑

= 3(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)2 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 5)

𝑑𝑥

=3(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)2 (2𝑥 + 4) = (6𝑥 + 12)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)2。 ♠例 2.20 𝑑𝑦

設 y=𝑠𝑖𝑛𝑥 2 ，求 𝑑𝑥 。 【解】令 u=𝑥 2 ，則𝑦 = sin 𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑢

𝑑

𝑑

= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑢 ∙ 𝑑𝑥 𝑥 2

𝑑𝑥

=𝑐𝑜𝑠 𝑢 ∙ 2𝑥 = 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 。 ♠例 2.21 𝑑𝑦

設 y=√𝑥 2 + 5𝑥 + 10，求𝑑𝑥 |

𝑥=1

。

【解】令 u=𝑥 2 + 5𝑥 + 10，則𝑦 = √𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑢

=2

𝑑𝑦

𝑑

𝑑

= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 √𝑢 ∙ 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 5𝑥 + 10)

𝑑𝑥

1

√𝑢

|

(2𝑥 + 5) =

𝑑𝑥 𝑥=1

=2

7 √16

2𝑥+5

2√𝑥 2+5𝑥+10 7

= 8。

若 y=f(u)，u=g(w)，w=h(x)，我們可由 ∆𝑦 ∆𝑦 ∆𝑢 ∆𝑤 = ∆𝑥 ∆𝑢 ∆𝑤 ∆𝑥 導出下面之連鎖律 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑤

y=f(u)，u=g(w)，w=h(x)，則𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑤 𝑑𝑥 。

♠例 2.22 𝑑𝑦

若 y=𝑡𝑎𝑛3 (𝑥 2 + 4𝑥 + 9)，求 𝑑𝑥 。 【解】令 u=tan (𝑥 2 + 4𝑥 + 9) w=𝑥 2 + 4𝑥 + 9 則 y=𝑢3 ，𝑢 = tan 𝑤 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑤

=

𝑑𝑢 𝑑𝑤 𝑑𝑥

=3𝑢2 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑤 ∙ (2𝑥 + 4) =3𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 2 + 4𝑥 + 9) ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥 2 + 4𝑥 + 9) ∙ (2𝑥 + 4) =(6x+12)𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 2 + 4𝑥 + 9)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥 2 + 4𝑥 + 9)。 ♠例 2.23 求(𝑥 − 2)2 除𝑥 6 之餘式。 【解】令𝑥 6 = (𝑥 − 2)2 𝑞(𝑥 ) + 𝐴𝑥 + 𝐵 兩邊就 x 求導，得 6𝑥 5 = 2(𝑥 − 2)𝑞(𝑥 ) + (𝑥 − 2)2 𝑞 ′ (𝑥 ) + 𝐴 令 x=2，得 64=2A+B 192=A B=64-2A=64-384=-320 故餘式為 192x-320。 ♠例 2.24 求𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑥→

𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝑥−

3

𝜋 3

√3 2

。

【解】令 f(x)=sin 2𝑥，則𝑓 ′ (𝑥 ) = 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝜋

f(3 )=𝑠𝑖𝑛 𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑥→

2𝜋 3

𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝜋 𝑥− 3

3

𝜋

=

√3 2

√3 2

= 𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑥→ 𝜋

3

𝜋 3

𝑓(𝑥)−𝑓( ) 𝜋 𝑥− 3

1

=f ’( 3 ) = 2 𝑐𝑜𝑠 3 = 2 (− 2) = −1。

習題 2-4 1.若 f(x)=(𝑥 2 + 2𝑥 + 5)3 ，求𝑓 ′ (1)。 1−𝑥

𝑑𝑦

2.若 y=(1+𝑥)3 ，求 𝑑𝑥 。 3.設 f(x)=

1

𝑥−√𝑥 2−1

，求𝑓 ′ (𝑥 )。 𝑑𝑦

4.設 y=√1 + √𝑥 ，求 𝑑𝑥 。 5.求𝑙𝑖𝑚

√1+√𝑥−2 𝑥−9

𝑥→9

之值。 𝑑𝑦

6.設 y=√𝑥√𝑥 ，求 𝑑𝑥 。 √𝑥 2 +21( 3√𝑥+25−3)

7.lim

𝑥−2

𝑥→2

。

𝑑𝑦

8.設 y=𝑐𝑜𝑠 2 𝑥，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

9.若 y=𝑠𝑖𝑛3 𝑥 2 ，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

10.若 y=𝑡𝑎𝑛4 2𝑥，求 𝑑𝑥 |

𝑥=

𝑑

11.求

𝑑𝑥

𝜋 8

。

1

(𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥) 。 3

𝑑𝑦

12.若 y=(𝑥 + 3)2 𝑠𝑖𝑛5𝑥，求 𝑑𝑥 。 13.求

𝑑𝑦 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 1+𝑐𝑜𝑠 2𝑥

。 𝜋

14.若 f(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛2 𝜃，求𝑓 ′ ( 6 ) 。 𝜋

15.若 f(x)=tan 2x，求 f ’(8 )。 16.求 limπ 𝑥→

6

cos 2𝑥− 𝑥−

𝜋 6

1 2

。

2-5 éŤ˜éšŽĺ°Žć•¸ (Higher Order Derivatives) ĺ‰?é?˘ć‰€č¨ŽčŤ–䚋導數 f ’(x)=lim

đ?‘“(đ?‘Ľ+â„Ž)−đ?‘“(đ?‘Ľ) â„Ž

ℎ→0

ďźŒ稹ç‚ş f(x)䚋一階導數(The first order

derivative of f(x))ă€‚ćœŹçŻ€ĺ°‡č¨ŽčŤ– f(x)äš‹äşŒéšŽĺ°Žć•¸ f″(x)ďźŒä¸‰éšŽĺ°Žć•¸đ?‘“′′′(x)ďźŒâ€Śă€‚äşŒéšŽ ĺ?ŠäşŒéšŽ䝼ä¸Šäš‹ĺ°Žć•¸ç¨ąç‚şéŤ˜éšŽĺ°Žć•¸ă€‚

♥厚瞊 2.6:éŤ˜éšŽĺ°Žć•¸(Higher order derivative) fâ€?(x)=[f ’(x)]’稹ç‚ş f(x)äš‹äşŒéšŽĺ°Žć•¸ đ?‘“ (đ?‘›) (x)=[đ?‘“ (đ?‘›âˆ’1) (đ?‘Ľ)]′稹為 f(x)äš‹ n 階導數。 訝: č‹Ľ y=f(x)ďźŒĺ‰‡ f(x)ćˆ– y ĺ°? x äš‹ĺ?„階導數䚋珌č™&#x;匂下: 一階導數(First derivative): đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘

đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ś ′ = đ??ˇđ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ??ˇđ?‘Ś = đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘ŚĚ‡ äşŒéšŽĺ°Žć•¸(Second derivative): đ?‘“"(x)=y"= đ??ˇ2 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ??ˇ2 đ?‘Ś =

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2 = đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘ŚĚˆ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2

三階導數(Third derivative): 3

đ?‘“′′′(x)=y''' = đ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ??ˇ3 đ?‘Ś =

đ?‘‘3đ?‘Ś đ?‘‘3 = đ?‘“ (đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ 3

n 階導數(n –th derivative): �

(đ?‘›)

(x)=đ?‘Ś

(đ?‘›)

đ?‘‘đ?‘› đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘› = đ??ˇ đ?‘“ (đ?‘Ľ) == đ??ˇ đ?‘Ś = đ?‘› = đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘›

đ?‘›

â™ äž‹ 2.24 č‹Ľ f(x)=đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ + 6ďźŒ芌ćą‚ f ’(x)ďźŒfâ€?(x)ďźŒf ’’’(x)ďźŒđ?‘“ (4) (đ?‘Ľ )。 ă€?解】f ’(x)=3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 3 fâ€?(x)=6x+8 f ’’’(x)=6 đ?‘“ (4) (đ?‘Ľ) = 0 â™ äž‹ 2.25 設 a čˆ‡ b ç‚şäťťć„?äşŒ常ć•¸ďźŒč‹Ľ y=a cos x + b sin xďźŒ芌č­‰ yâ€?+y=0。 ă€?證】y’=−a sin x+ b cos x yâ€?=−a cos x – b sin x ć•… yâ€?+y= (-a cos x – b sin x)+(a cos x + b sin x)=0。

♠例 2.26 𝑥+2

若 f(x)=𝑥+1，n 為正整數，求𝑓 (𝑛) (0)。 (𝑥+1)(1)−(𝑥+2)(1)

【解】f ’(x)=

(𝑥+1)2 −3

−1

= (𝑥+1)2 = −(𝑥 + 1)−2

f”(x)=2(𝑥 + 1) f ’’’(x)=-3!(𝑥 + 1)−4 𝑓 (4) (𝑥) = 4! (𝑥 + 1)−5

對於任意正整數 n，𝑓 (𝑛) (𝑥) = (−1)𝑛 𝑛! (𝑥 + 1)−(𝑛+1) 𝑓 (𝑛) (0) = (−1)𝑛 𝑛! 。 ♠例 2.27 若 f(x)=𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ，求𝑓 (4) (𝑥 )。 【證】f ’(x)=2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 f”(x)= −4 sin 2x f ’’’(x)= −8 cos 2x 𝑓 (4) (𝑥) = 16 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

對於二函數 f(x)與 g(x)之積的 n 階導數[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)](𝑛) 其公式與二項式(𝑎 + 𝑏)𝑛 展開 之公式(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)𝑎𝑘 𝑏𝑛−𝑘 頗類似。 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]’ = 𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓’(𝑥)𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]” = [𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓’(𝑥)𝑔(𝑥)]’ = [𝑓(𝑥)𝑔’’(𝑥) + 𝑓’(𝑥)𝑔’(𝑥)] + [𝑓’(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓”(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔”(𝑥) + 2𝑓’(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓”(𝑥)𝑔(𝑥) 2 2 2 = ( ) 𝑓 (𝑥 )𝑔"(x)+ ( ) f'(x)g'(x)+ ( ) f"(𝑥)𝑔(𝑥) 0 1 2 [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′′′ = [𝑓(𝑥 )𝑔"(x)+2f ’(x)g’(x)+f"(𝑥 )𝑔(𝑥 )]′ = [𝑓(𝑥 )𝑔’’’(𝑥) + 𝑓’(𝑥 )𝑔”(𝑥)] + [2𝑓’(𝑥)𝑔”(𝑥) + 2𝑓”(𝑥 )𝑔’(𝑥 )] + [𝑓”(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓”’(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔’’’(𝑥) + 3𝑓’(𝑥)𝑔’’(𝑥) + 3𝑓’’(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑓’’’(𝑥)𝑔(𝑥) 3 3 3 3 = ( ) 𝑓 (𝑥 )𝑔′′′ (x)+ ( ) f'(x)g''(x)]+ ( ) f''(𝑥)𝑔′ (𝑥) + ( ) 𝑓 ′′′ (𝑥 )𝑔(𝑥) 0 1 2 3 (4) (5) 依次求 [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)] ，[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )] ， … 可得著名的 Leibniz 公式

♡定理 2.18:Leibniz 公式(二函數之積的 n 階導數公式) [𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)](𝑛) = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) 𝑓 (𝑘) (𝑥)𝑔(𝑛−𝑘) (𝑥 ) = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) 𝑓 (𝑛−𝑘) (𝑥 )𝑔(𝑘) (𝑥) 𝑛!

此處𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥 )，𝑔(0) (𝑥) = 𝑔(𝑥 )，(𝑛𝑘) = 𝑘!(𝑛−𝑘)!。 ♠例 2.28 若 f(x)=𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥，求𝑓′′′(𝑥 )。 【解】由 Leibniz 公式得 𝑓 ′′′ (𝑥) = (30)(𝑥 2 )(0) (𝑐𝑜𝑠 𝑥)(3) + (31)(𝑥 2 )(1) (𝑐𝑜𝑠 𝑥)(2) 3 + ( ) (𝑥 2 )(2) (𝑐𝑜𝑠 𝑥)(1) + 0 2 =𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3 ∙ 2𝑥(− 𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 3 ∙ 2(− 𝑠𝑖𝑛 𝑥) =𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 6𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 6 𝑠𝑖𝑛 𝑥。 ♠例 2.29 若 f(x)=x sin x，求𝑓 (4) (𝑥 )。 【解】由 Leibniz 公式得 𝑓 (4) (𝑥 ) = (40)(𝑥)(0) (𝑠𝑖𝑛 𝑥)(4) + (41)(𝑥)(1) (𝑠𝑖𝑛 𝑥)(3) + 0 = 1 ∙ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 4 ∙ 1(− 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 – 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥。 【另解】𝑓’(𝑥) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑓”(𝑥 ) = −𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑓 ′′′ (𝑥 ) = −𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠 − 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑓 (4) (𝑥) = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥。 設質點(particle)作直線運動，其位置函數(Position function)為 s=f(t)，則 𝑑𝑠 𝑣 (𝑡 ) = = 𝑓 ′ (𝑡)表示速度(velocity) 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑 2 𝑡 𝑎 (𝑡 ) = = = 𝑓 ′′ (𝑡)表示加速度(acceleration) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

♠例 2.30 設質點作直線運動，其位置函數(Position function)為𝑠(𝑡) = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 4𝑡 + 6， 求速度(velocity)與加速度(acceleration)。 𝑑𝑠

𝑑2 𝑡

【解】速度𝑣 (𝑡) = 𝑑𝑡 = 3𝑡 2 − 6𝑡 + 4 加速度𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑡 2 = 6𝑡 − 6。

♠例 2.31 設質點作直線運動，其位置函數(Position function)為s(t) = t 3 − 3t 2 + 4t + 6， 求速度(velocity)與加速度(acceleration)。 𝑑2 𝑡

𝑑𝑠

【解】速度𝑣 (𝑡) = 𝑑𝑡 = 3𝑡 2 − 6𝑡 + 4 加速度𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑡 2 = 6𝑡 − 6。

習題 2-5 1.若 f(x)=𝑥 5 + 3𝑥 2 + 8𝑥 + 6，求𝑓 ′′ (2)。 𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

2.若𝑦 = √𝑥 2 + 4，求 𝑑𝑥 與 𝑑𝑥 2 。 1

𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

3.若𝑦 = 𝑎2 +𝑥 2 ，求 𝑑𝑥 與 𝑑𝑥 2 。 𝑥3

4.若𝑓(𝑥 ) = 1−𝑥 ，求𝑓 (𝑛) (0)之值。 5.若𝑓(𝑥 ) = (1 − 𝑥 2 )𝑛 ，求𝑓 (𝑛) (1)之值。 6.若𝑓(𝑥 ) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 ，求𝑓 ′′′ (𝑥 )。 7.設 m 為正整數，f(x)=(𝑥 + √1 + 𝑥 2 )𝑚 試證𝑓′(0) = 𝑚，且𝑓 ′′ (0) = 𝑚2 。 8.設 g(0)=1，g'(0)=2，g''(0)=3 f(1)=3，f'(1)=4，f''(1)=6 若 h(x)=f(g(x))，試求 h’(0)及 h''(0)。 9.設 f(x)=𝑥(𝑥 + 1)8 ，求𝑓′′′(𝑥 )。 10.設 f(x)=x sin x，求𝑓 (5) (𝑥 )。 11.若 f(x)之一階與二階導數都存在，求𝑙𝑖𝑚[𝑙𝑖𝑚 𝑎→0 𝑏→0

12.若 y=cos 2x，試證𝑦 " + 4𝑦 = 0。 13.若𝑓(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ，求𝑓 " (𝑥 )。 14.求(𝑥 − 1)3 除𝑥 10 之餘式。

𝑓(𝑎+𝑏)−𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏)+𝑓(0) 𝑎𝑏

]。

2-6 隱函數求導(微分)法(Implicit Differentiation) 若 f(x,y)=0，則稱 y 為 x 之隱函數(Implicit function)，當然也可以說 x 是 y 的隱函 𝑑𝑦

數。如果題目要我們求𝑑𝑥 時，就表示 y 是 x 的函數。隱函數之求導一般都需要用 到連鎖律，以下將舉出許多實例，說明如何對隱函數之求導。 ♠例 2.32 𝑑𝑦

若𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 = 0，求 𝑑𝑥 。 𝑑

𝑑

【解】𝑑𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 − 25) = 𝑑𝑥 (0) 𝑑𝑦

2x+2y𝑑𝑥 − 0 = 0 𝑑𝑦

故得𝑑𝑥 =

−𝑥 𝑦

。

♠例 2.33 𝑑𝑦

若𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥 − 5𝑦 2 = 𝑥 2 + 3𝑦，求 𝑑𝑥 。 𝑑

𝑑

【解】𝑑𝑥 (𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥 − 5𝑦 2 ) = 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 3𝑦) 𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

2𝑥𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑥 + 4 − 10𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦

(3𝑥 2 𝑦 2 − 10𝑦 − 3) 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 2𝑥𝑦 3 -4 𝑑𝑦

2𝑥−2𝑥𝑦 3 −4

故得𝑑𝑥 = 3𝑥 2𝑦 2 −10𝑦−3。 ♠例 2.34 𝑑𝑦

若𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝑥𝑦 2 ，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

𝑑𝑦

【解】𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥(− 𝑠𝑖𝑛 𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑦 2 + 𝑥 (2𝑦 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦

− (𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2𝑥𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑦 2 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑐𝑜𝑠 𝑦−𝑦 2

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦+2𝑥𝑦

。

♠例 2.35 1

1

求曲線𝑥 + 𝑦 = 1上一點(2,2)處之切線的方程式。

1

【解】

1

由 𝑥 + 𝑦 = 1 得𝑦 + 𝑥 = 𝑥𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

+ 1 = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

m=𝑑𝑥 |

(2,2)

=

𝑦−1

𝑑𝑥

|

1−𝑥 (2,2)

𝑦−1

= 1−𝑥

= −1

切線方程式為 y−2=−(x-2)。 ♠例 2.36 𝑥

𝑑𝑦

若 y=𝑦 ，求 𝑑𝑥 。 𝑥

【解 1】由 y=𝑦 得𝑦 2 = 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑦

1

2y𝑑𝑥 = 1，故 𝑑𝑥 = 2𝑦 。 𝑑𝑦

【解 2】𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑦 2 𝑑𝑥 2

𝑦∙1−𝑥 𝑦2

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦

= 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦

(𝑦 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑦

= 𝑦 2 +𝑥

由上例可知，不同之方法對隱函數之求導，所得之答案其形式可能不同。但由 𝑥

y=𝑦 得𝑦 2 = 𝑥 𝑦

𝑦

𝑦

1

故𝑦 2 +𝑥 = 𝑦 2 +𝑦 2 = 2𝑦 2 = 2𝑦 𝑑𝑦

1

𝑑𝑦

𝑦

故由解法 1 所得之答案𝑑𝑥 = 2𝑦 與解法 2 之所得之答案𝑑𝑥 = 𝑦 2 +𝑥實際上是相同

的。 ♠例 2.37 𝑑2 𝑦

𝑑𝑦

若𝑥 2 + 𝑦 2 = 25，求 𝑑𝑥 與 𝑑𝑥 2 。 【解】將𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 等式兩邊就𝑥求導 𝑑𝑦

得𝑥 2 +2y𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦

故𝑑𝑥 =

d2 y dx2

−𝑥

𝑦 dy

d

y(−1)−(−x)

=

y2

x2 −y− y y2

=

d −x

= dx (dx ) = dx

=

y

dy dx

−y2 −x2 y3

=

−25 y3

。

習題 2-6 𝑑𝑦

1. 若𝑥 2 − 𝑦 2 + 3𝑥 − 5𝑦 + 20 = 0，求 𝑑𝑥 。 1

𝑑𝑦

2. 若𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑦 = 2 ，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

3. 若𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 3 − 𝑦 4 + 3𝑥 + 5𝑦 − 6 = 0，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

4. 若𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 − 6𝑥 + 8𝑦 − 9 = 0，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

5. 若𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑦，求 𝑑𝑥 。 6. 求曲線𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 4 上一點(2, −2)之切線的斜率。 𝑑2 𝑦

7. 設4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36，求 𝑑𝑥 2 。 𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

8. 若√𝑥 + √𝑦 = √𝑎，𝑎 > 0，求 𝑑𝑥 與 𝑑𝑥 2 。 𝑑𝑦

9. 若𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑥 2 − 𝑦 2 − 6 = 0，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

10. 若𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 1，求 𝑑𝑥 |

(2,3)

。

𝑑𝑦

11. 若𝑦 3 + 2𝑦 − 𝑥 3 = 0，求 𝑑𝑥 。 12. 求橢圓4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 40 上一點(1,2)處之切線方程式。

2-7 反三角函數之導數 (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions) 在討論反三角函數之導數前，先討論一班反函數之導數。在第零章已經學習過一 對一函數(One-to-one function)都有反函數，當 g(x)為 f(x)之反函數時，則 f(g(x))=x， 兩邊就 x 求導，由連鎖律(Chain rule)得 f ’(g(x))g’(x)=1 1 故 g’(x)=𝑓′ (𝑔(𝑥)) ♠例 2.38 若 f(x)=𝑥 3 ，求 f(x)之反函數𝑓 −1 (𝑥 )之導數。 【解】𝑓′ (x)=3𝑥 2 3

𝑓(𝑓 −1 (𝑥 )) = (𝑓 −1 (𝑥 )) = 𝑥 1

𝑓 −1 (𝑥 ) = 𝑥 3 1 1 (𝑓 −1 (𝑥))′ = 𝑓′ (𝑓−1 (𝑥)) = 3(𝑓−1(𝑥))2= 1

1 2

3𝑥 3

此與直接由𝑓 −1 (𝑥 ) = 𝑥 3，得 (𝑓 −1 (𝑥))′ =

1 2

之結果相同。

3𝑥 3

在第零章裡已經學習過反三角函數，下面將求這些反三角函數之導數。 𝜋

𝜋

若 x=sin y，− 2 ≤ 𝑦 ≤ 2 ，則𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥， − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1。 ♡ 定理 2.20 : 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 之導數 𝑑 𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛−1 𝑥 =

1 √1−𝑥 2

，-1 < x < 1。 π

π

【證】令 y = sin−1 𝑥，則 x = sin 𝑦，− 2 ≤ 𝑦 ≤ 2 ，cos 𝑦 ≥ 0 由 x = sin 𝑦，兩邊就 𝑥 求導，得 1 = cos 𝑦 𝑑𝑦

1

故 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 即

𝑑 𝑑𝑥

1 √1−𝑠𝑖𝑛 2 𝑦 1

𝑠𝑖𝑛−1 𝑥 = √1−𝑥 2 。

1

= √1−𝑥 2 。

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑓 (𝑥 ) = sin−1 𝑥及其導數𝑓′(𝑥 ) =

由連鎖律可得

𝑑 𝑑𝑥

1

1 √1 − 𝑥 2

之圖形如下:

𝑑𝑦

sin−1 𝑢 = √1−𝑢2 𝑑𝑥

♠例 2.38 若 𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑖𝑛−1 (𝑥 − 1)，求 𝑓 ′ (𝑥)及其定義域。 【解】𝑓 ′ (𝑥 ) =

1

1

在

𝑑

√1−(x−1) 2 𝑑𝑥

√2𝑥−𝑥 2

1

(𝑥 − 1) = √2𝑥−𝑥 2

中，必須 2𝑥 − 𝑥 2 > 0

x(2−x)> 0，即𝑥(𝑥 − 2) < 0 解得 0< 𝑥 < 2 故𝑓 ′ (𝑥 )之定義域為開區間(0,2) 在上例中，須注意 f(x)與 f′ (x)之定義域之不同，f(x)之定義域為閉區間[0,2]，而 f′ (x)之定義域為開區間(0,2)。 若 x= 𝑐𝑜𝑠 𝑦，0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋，則𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 ， − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1。

♡ 定理 2.21 : 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙之導數 𝑑 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 =

1 √1−𝑥 2

，−1 < x < 1。

【證】令 y =cos −1 𝑥，則 x= cos 𝑦，0 ≤ 𝑦 ≤ π，sin 𝑦 ≥ 0 𝑑𝑦

由 x = cos 𝑦兩邊就 𝑥 求導，得 1= −sin 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

−1

故 𝑑𝑥 = sin 𝑦 = 即

𝑑 𝑑𝑥

−1

−1

√1−cos2 𝑦 −1

cos −1 𝑥 =

√1−𝑥 2

π

= √1−𝑥 2。

。

π

若 x= tan 𝑦 ， − 2 < 𝑦 < 2 ，則 𝑦 = tan−1 𝑥， − ∞ < 𝑥 < ∞。

♡ 定理 2.22 : 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙之導數 𝑑 𝑑𝑥

1

tan−1 𝑥 =

1+𝑥 2

，−∞ < 𝑥 < ∞。 π

π

【證】令 y =tan−1 𝑥，則 x= tan 𝑦，− 2 ≤ 𝑦 ≤ 2 ， 由 x = tan 𝑦 兩邊就𝑥求導，得 1= sec 2 𝑦 𝑑𝑦

1

1

1

𝑑𝑦 𝑑𝑥

故 𝑑𝑥 = sec2 𝑦 = 1+tan2 𝑦 = 1+𝑥 2 。 即

𝑑 𝑑𝑥

1

tan−1 𝑥 = 1+𝑥 2。

𝑓 (𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 及其導數𝑓′(𝑥 ) =

由連鎖律可得

𝑑 𝑑𝑥

1

1 之圖形如下: 1 + 𝑥2

𝑑𝑦

𝑡𝑎𝑛−1 𝑢 = 1+𝑢2 𝑑𝑥

♠例 2.39 若 𝑦 = tan−1 (3𝑥 + 5)，求 𝑑𝑦

1

𝑑𝑦 。 𝑑𝑥

𝑑

3

【解】𝑑𝑥 = 1+(3𝑥+5)2 𝑑𝑥 (3𝑥 + 5) = 9𝑥 2+30𝑥+26。 若 x= cot 𝑦，0 < 𝑦 < 𝜋，則 𝑦 = cot −1 𝑥 ， − ∞ < 𝑥 < ∞。

♡ 定理 2.23 : 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 𝒙之導數 𝑑 𝑑𝑥

−1

cot −1 𝑥 =

1+𝑥 2

【證】令 y =cot −1 𝑥，則 x= cot 𝑦，0 ≤ 𝑦 ≤ π， 由 x = cot 𝑦 兩邊就 𝑥 求導，得 1= −csc 2 𝑦 𝑑𝑦

−1

−1

−1

𝑑𝑦 𝑑𝑥

故 𝑑𝑥 = csc2 y = √1+cot2 = √1+𝑥 2 。 𝑦

即

𝑑 𝑑𝑥

−1

cot −1 𝑥 = 1+𝑥 2。

由連鎖律可得

𝑑 𝑑𝑥

−1 𝑑𝑢

cot −1 𝑢 = = 1+𝑢2 𝑑𝑥 π

π

若 x= sec 𝑦，0 ≤ 𝑦 < 2 或 2 < 𝑦 ≤ π ，則 𝑦 = sec −1 𝑥。

♡ 定理 2.24 : 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝒙之導數 𝑑 𝑑𝑥

1

sec −1 𝑥 =

。

|𝑥|√𝑥 2−1

π

π

【證】令 y =sec −1 𝑥，則 x= sec 𝑦，0 ≤ 𝑦 < 2 ，或 2 < 𝑦 < 𝜋 𝑑𝑦

由 x = sec 𝑦 兩邊就 𝑥 求導，得 1= sec𝑦 tan𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

故

𝑑𝑥

=

1

sec 𝑦 tan 𝑦

○1 當 0≤ 𝑦 <

π 2

。

時， tan 𝑦 ≥ 0，

tan 𝑦 = √sec 2 𝑦 − 1 ，𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑦 ≥ 1 𝑑𝑦

1

故 𝑑𝑥 = sec 𝑦 tan 𝑦 = 1

=

1

𝑥√𝑥 2 −1

○2 當

π 2

= |𝑥|√𝑥 2

1 sec 𝑦√sec2 𝑦−1

−1

< 𝑦 < 𝜋時， tan 𝑦 ≤ 0，

tan 𝑦 = −√sec 2 𝑦 − 1 ，𝑥 = sec 𝑦 ≤ −1 故 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−𝑥√𝑥 2 −1 𝑑 −1

故 𝑑𝑥 sec 由連鎖律可得

1

=

sec 𝑦 tan 𝑦 1 1

𝑑 𝑑𝑥

1 − sec 𝑦√sec2 𝑦−1

= |𝑥|√𝑥 2

−1 1

𝑥 = |𝑥|√𝑥 2 。 −1

sec −1 𝑢 = π

1

𝑑𝑢

|𝑢|√𝑢 2−1

𝑑𝑥

π

若 x= csc 𝑦，0 < 𝑦 ≤ 2 或 − 2 ≤ 𝑦 < 0 ，則定義 𝑦 = csc −1 𝑥。

♡ 定理 2.25 : 𝐜𝐬𝐜 −𝟏 𝒙之導數 𝑑 𝑑𝑥

csc −1 𝑥 =

−1

。

|𝑥|√𝑥 2−1

π

π

【證】令 y =csc −1 𝑥，則 x = csc 𝑦，0 < 𝑦 ≤ 2 ，或− 2 ≤ 𝑦 < 0 𝑑𝑦

由 x = csc 𝑦 兩邊就 𝑥 求導，得 1= −csc𝑦 cot𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

−1

○1 當0 < 𝑦 ≤

π

故 𝑑𝑥 = csc 𝑦 cot 𝑦。 時， cot 𝑦 ≥ 0， cot 𝑦 = √csc 2 𝑦 − 1 ， 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑦 ≥ 1 𝑑𝑦 −1 −1 故 𝑑𝑥 = csc 𝑦 cot 𝑦 = 2 =

−1

csc 𝑦√csc 𝑦−1

−1

𝑥√𝑥 2 −1

○2 當−

2

= |𝑥|√𝑥 2

−1

π

≤ 𝑦 < 0 時， cot 𝑦 ≤ 0，cot 𝑦 = −√csc 2 𝑦 − 1 ， 𝑥 = csc 𝑦 ≤ −1 𝑑𝑦 −1 −1 故 𝑑𝑥 = csc 𝑦 cot 𝑦 = 2 =

2

−1 −𝑥√𝑥 2 −1 𝑑 −1

故 𝑑𝑥 csc

=

−1

−csc 𝑦√csc 𝑦−1

|𝑥|√𝑥 2 −1 −1

𝑥 = |𝑥|√𝑥 2 。 −1

𝑑

−1

由連鎖律可得𝑑𝑥 csc −1 𝑢 = |𝑢|√𝑢2

𝑑𝑢 −1 𝑑𝑥

習題 2-7 1. 若 f(x)= sin−1 (𝑥 − 2)，求𝑓 ′ (2)。 𝑑𝑦

2. 若 y= 𝑥 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥 + √1 − 𝑥 2 ，求 𝑑𝑥 |x= −1 𝑑𝑦

3. 若 y= 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 + 2) ，求 𝑑𝑥 。 1

𝑑𝑦

2

𝑑𝑥

4. 若 y= 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) ，求 𝑑𝑦

5. 若 y= (𝑥 2 +1)tan−1 𝑥 ，求 𝑑𝑥 |x=1 1

2𝑥

𝑑𝑦

6. 若 y=2 tan−1 1−𝑥 2 ，求 𝑑𝑥 。

|x=1

2-8 對數函數與指數函數之導數 (Derivatives of Logarithmic and Exponential Functions) 在第零章裡已經學過，若𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，𝑎 𝑥 = 𝑏，則稱 𝑥為以 a 為底 b 之對 數，記作log 𝑎 𝑏 = 𝑥。

對數之基本性質 若𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，𝑏 > 0，𝑏 ≠ 1，𝑥 > 0，𝑦 > 0，𝑟為實數，則 (a) 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 (b) log 𝑎 𝑎𝑟 = 𝑟 (c) log 𝑎 1 = 0 (d) log 𝑎 𝑎 = 1 (e) log 𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 𝑥 (f) log 𝑎 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 𝑦

(g) log 𝑎 𝑥 𝑟 = 𝑟log 𝑎 𝑥 log 𝑥 (h) log 𝑎 𝑥 = log𝑏 𝑎 𝑏

在微積分之領域裡，對數之底採用一個很特別的數，這個數通常以符號 e 表示。 常數 e 定義為 1

e = lim(1 + h)h ℎ→0

1 n

e = lim (1 + n) ≈ 2.71828 n→∞

以 e 為底之對數函數log 𝑒 𝑥稱為自然對數函數(Natural logarithmic function)， 記為ln 𝑥，即 log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥。 若𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，𝑥 > 0，𝑦 > 0，𝑟為實數，則 (a) 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 (b) ln 𝑒 𝑟 = 𝑟 (c) ln 1 = 0 (d) ln 𝑒 = 1 (e) ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦 𝑥 (f) ln 𝑦 = ln 𝑥 − ln 𝑦 (g) ln 𝑥 𝑟 = 𝑟 ln 𝑥 log 𝑥 (h) ln 𝑥 = log𝑎 𝑒 𝑎

函數𝑓 (𝑥 ) = ln 𝑥 在𝑥 > 0 上為連續，如圖 2.4 所示

圖 2.4

♡ 定理 2.26:對數函數之導數 𝑑 𝑑𝑥

ln 𝑥 =

1 𝑥

， x>0。

【證】 𝑓 ′(𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

，

ℎ→0

= lim

ℎ ln(𝑥+ℎ)−ln 𝑥 ℎ

ℎ→0

= lim

𝑥+ℎ ) 𝑥

ln(

ℎ→0

ℎ

1

= lim (1 + ℎ→0

ℎ ℎ ) ，(令 𝑥 1

ℎ

t= 𝑥 )

= lim ln(1 + 𝑡)𝑥𝑡 𝑡→0 1

1

= lim ln(1 + 𝑡)𝑡 𝑥 𝑡→0 1

1

= 𝑥 lnlim(1 + 𝑡)𝑡 𝑡→0 1

1

1

= 𝑥 ln 𝑒 = 𝑥 (1) = 𝑥 1

𝑓 (𝑥 ) = ln 𝑥與其導數𝑓 ′(𝑥) = 𝑥 之圖形如下

𝑑

1 𝑑𝑢

由連鎖律(chain rule)，得𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑢 = 𝑢 𝑑𝑥 。 ♠ 例 2.40 若𝑦 = ln(𝑥 2 + 4)，求 【解】

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

1

𝑑

𝑥 2+4 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

。

(𝑥 2 + 4) =

2

。

𝑥 2+4

♡ 定理 2.27: 𝐥𝐧|𝒙|之導數 𝑑 𝑑𝑥

1

ln|𝑥 | =

𝑥

， x≠0。

【證】若 x > 0，則 ln|𝑥 | = ln 𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝑑

1

ln|𝑥 | = 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 𝑥

若 x < 0，則ln|𝑥 | = ln(−𝑥 ) 令 u = −x，則 u > 0 𝑑 𝑑𝑥

ln|𝑥 | = 1

𝑑 𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑢

ln(−𝑥 ) = 𝑑𝑢 ln 𝑢 𝑑𝑥 1

1

= 𝑢 (−1) = −𝑢 = 𝑥 。 1

𝑓 (𝑥 ) = ln|𝑥 |與其導數𝑓′(𝑥 ) = 之圖形如下 𝑥

𝑑

1 𝑑𝑢

由連鎖律(chain rule)，得𝑑𝑥 ln|𝑢| = 𝑢 𝑑𝑥 。 ♠ 例 2.41 𝑑 𝑑𝑥

ln|csc 𝑥 − cot 𝑥 |。 𝑑

1

𝑑

【解】𝑑𝑥 ln|csc 𝑥 − cot 𝑥 | = csc 𝑥−cot 𝑥 𝑑𝑥 (csc 𝑥 − cot 𝑥 ) 1

= csc 𝑥−cot 𝑥 (− csc 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 ) 1

= csc 𝑥−cot 𝑥 ∙ csc 𝑥 (csc 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 ) = csc 𝑥。 有了𝑓 (𝑥 ) = ln 𝑥之導數公式之後，很容易就可導出 g(𝑥 ) = 𝑒 𝑥 之導數公式。

♡ 定理 2.28: 指數函數之導數 𝑑𝑦

若𝑦 = 𝑒 𝑥 ，則 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 。 【證】因𝑦 = 𝑒 𝑥 ，故𝑥 = ln 𝑦 1 𝑑𝑦

由𝑥 = ln 𝑦兩邊就 x 求導，得 1 = 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑

= 𝑦 = 𝑒𝑥

即𝑑𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑

𝑑𝑢

由連鎖律可得𝑑𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝑑𝑥 ♠ 例 2.42 若 𝑦 = 𝑒 3𝑥

2+2𝑥+8

𝑑𝑦

【解】𝑑𝑥 = 𝑒 3𝑥

𝑑𝑦

，求 𝑑𝑥 。

2+2𝑥+8

= (6𝑥 + 2)

𝑑

(3𝑥 2 + 2𝑥 + 8)

𝑑𝑥 3𝑥 2 +2𝑥+8

。

♡ 定理 2.29: 𝒂𝒙 之導數(The derivative of 𝒂𝒙 ) 𝑑𝑦

若𝑎 > 0，𝑦 = 𝑎 𝑥 ，則 𝑑𝑥 = (ln 𝑎)𝑎 𝑥 。 【證】因 𝑦 = 𝑎 𝑥 ，則 ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑎 1 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑙𝑛 𝑎

= 𝑦 ln 𝑎 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 = (ln 𝑎) 𝑎 𝑥 𝑑

即𝑑𝑥 𝑎 𝑥 = (ln 𝑎) 𝑎 𝑥 𝑑

𝑑𝑢

由連鎖律可得，𝑑𝑥 𝑎𝑢 = (ln 𝑎) 𝑎𝑢 𝑑𝑥 ♠ 例 2.43 若 𝑦 = 5𝑥 𝑑𝑦

2+3𝑥+6

𝑑𝑦

，求 𝑑𝑥 。

【解】𝑑𝑥 = (ln 5)5𝑥

𝑑 (𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2+3𝑥+6

2+3𝑥+6

= (ln 5) (2𝑥 + 3)5

註: 𝑒 𝑥 常寫成 exp x，例如𝑒 𝑥

+ 3𝑥 + 6) 。

2+3𝑥+5

函數 ln 與 exp 互為反函數，即 ln(exp 𝑥 ) = 𝑥， − ∞ < 𝑥 < ∞ exp(ln 𝑥 ) = 𝑥，𝑥 > 0。

可以寫成exp(𝑥 2 + 3𝑥 + 5)。

â™ äž‹ 2.44 1

(b) đ?‘’ 2 ln(đ?‘Ľ

ĺŒ–ç°Ą (a) đ?‘’ 2 ln 3

2+1)

ă€?解】(a) đ?‘’ 2 ln 3 = đ?‘’ ln 9 = 9 1

(b) đ?‘’ 2 ln(đ?‘Ľ

2+1)

= đ?‘’ ln √đ?‘Ľ

2 +1

= √đ?‘Ľ 2 + 1。

ćŒ‡ć•¸ĺ‡˝ć•¸(Exponential function)ć˜Żć‡‰ç”¨ĺžˆ坣䚋一税ĺ‡˝ć•¸ďźŒä¸‹é?˘ĺ°‡č¨ŽčŤ–ç”ąćŒ‡đ?‘’ đ?‘Ľ čˆ‡đ?‘’ −đ?‘Ľ 所羄ćˆ?䚋函數稹為雙曲硚函數(Hyperbolic functions)。 đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形čˆ‡ đ?‘Ś = đ?‘’ −đ?‘Ľ äš‹ĺœ–形ĺŚ‚ĺœ– 2.5

ĺœ– 2.5

♥ 厚瞊 2.7: 雙曲硚函數(Hyperbolic functions) đ?‘ đ?‘–đ?‘› â„Ž đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž đ?‘Ľ =

đ?‘’ đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘Ľ 2

đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘’ −đ?‘Ľ 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘› â„Ž đ?‘Ľ

稹為雙曲正埌函數(Hyperbolic sine function) 稹ç‚şé›™ć›˛é¤˜埌函數(Hyperbolic cosine function)

đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› â„Ž đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž đ?‘Ľ 稹ç‚şé›™ć›˛ć­Łĺˆ‡ĺ‡˝ć•¸(Hyperbolic tangent function) đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą â„Ž đ?‘Ľ =

đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘› â„Ž đ?‘Ľ 1

稹ç‚şé›™ć›˛é¤˜ĺˆ‡ĺ‡˝ć•¸(Hyperbolic cotangent function)

đ?‘ đ?‘’đ?‘? â„Ž đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž đ?‘Ľ 稹為雙曲正割函數(Hyperbolic secant function) 1

đ?‘?đ?‘ đ?‘? â„Ž đ?‘Ľ = đ?‘ đ?‘–đ?‘› â„Ž đ?‘Ľ 稹ç‚şé›™ć›˛é¤˜ĺ‰˛ĺ‡˝ć•¸(Hyperbolic cosecant function) 訝: sin h đ?‘Ľ čŽ€ä˝œ hyperbolic sine of đ?‘Ľ cos h đ?‘Ľ čŽ€ä˝œ hyperbolic cosine of đ?‘Ľ

六個雙曲線函數(Hyperbolic functions)之圖形如圖 2.6 所示

圖 2.6 三角函數 sin 𝑥 與 cos 𝑥 滿足 sin 𝑥 2 + cos 𝑥 2 = 1，如果令 X= cos 𝑥，Y= sin 𝑥，則 𝑋 2 + 𝑌 2 = 1，即 X= cos 𝑥，Y= sin 𝑥 滿足圓方程式 𝑋 2 + 𝑌 2 = 1，因此 cos 𝑥 與sin 𝑥 又稱為圓函數(Circular functions)。 令 X= cos h 𝑥 =

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

，Y= sin h 𝑥 = 2 ，則 2 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑋 2 − 𝑌 2 = cos h2 𝑥 − sin h2 𝑥 = ( )−( )=1 2 2 即 X= cos h 𝑥，Y= sin h 𝑥 滿足雙曲線方程式 𝑋 2 − 𝑌 2 = 1，因此cos h 𝑥與 sin h 𝑥稱為雙曲線函數(Hyperbolic functions)。

cos h2 đ?‘Ľ − sin h2 đ?‘Ľ = 1 čˆ‡ cos đ?‘Ľ 2 + sin đ?‘Ľ 2 = 1äš‹ć€§čłŞćœ‰éťžç›¸äźźďźŒç”ąä¸‹é?˘é›™ć›˛ çˇšĺ‡˝ć•¸äš‹ĺ°Žć•¸ďźŒć›´čƒ˝çœ‹ĺ‡şé›™ć›˛çˇšĺ‡˝ć•¸čˆ‡ä¸‰č§’ĺ‡˝ć•¸äš‹ć€§čłŞé˘‡ç‚şç›¸äźźă€‚

♥ 厚� 2.30: 雙曲硚函數䚋導數(Derivatives of hyperbolic functions)

â—‹1 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ sin h đ?‘Ľ = cos h đ?‘Ľ â—‹2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ cos h đ?‘Ľ = sin h đ?‘Ľ â—‹3 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ tan h đ?‘Ľ = sec h2 đ?‘Ľ â—‹4 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ cot h đ?‘Ľ = −csc h2 đ?‘Ľ â—‹5 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ sec h đ?‘Ľ = −sec h đ?‘Ľ tan h đ?‘Ľ â—‹6 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ csc h đ?‘Ľ = −csc h đ?‘Ľ cot h đ?‘Ľ đ?‘‘

đ?‘‘ đ?‘’ đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘Ľ

đ?‘‘

2 đ?‘‘ đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘’ −đ?‘Ľ

1 �證】○ sin h � = �� ��

â—‹2 đ?‘‘đ?‘Ľ cos h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘

2

đ?‘‘ sin h đ?‘Ľ

= =

â—‹3 đ?‘‘đ?‘Ľ tan h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ cos h đ?‘Ľ =

đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘’ −đ?‘Ľ 2 đ?‘’ đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘Ľ

= cos h đ?‘Ľ = sin h đ?‘Ľ

2 đ?‘‘ đ?‘‘ cos h đ?‘Ľ sin h đ?‘Ľâˆ’sin h đ?‘Ľ cos h đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

cos h2 đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

cos h2 đ?‘Ľ − sin h2 đ?‘Ľ 1 = = = sec h2 đ?‘Ľ 2 2 cos h đ?‘Ľ cos h đ?‘Ľ

â—‹4

đ?‘‘

đ?‘‘ cos h đ?‘Ľ

sin h đ?‘Ľ

đ?‘‘ đ?‘‘ cos h đ?‘Ľâˆ’cos h đ?‘Ľ sin h đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ sin h2 đ?‘Ľ

cot h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ sin h đ?‘Ľ = sin h2 đ?‘Ľ − cos h2 đ?‘Ľ = = −1đ?‘œđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x; sin h2 đ?‘Ľ = − csc h2 đ?‘Ľ sin h2 đ?‘Ľ â—‹5 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ sec h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ cos1h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ (cos h đ?‘Ľ )−1 = −(cos h đ?‘Ľ )−2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ cos h đ?‘Ľ = −(cos h đ?‘Ľ )−2 sin h đ?‘Ľ = −sec h đ?‘Ľ tan h đ?‘Ľ đ?‘‘ â—‹6 đ?‘‘đ?‘Ľ csc h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ sin1h đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ (sin h đ?‘Ľ )−1 = −(sin h đ?‘Ľ )−2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘ sin h đ?‘Ľ = −(sin h đ?‘Ľ )−2 cos h đ?‘Ľ = −csc h đ?‘Ľ cot h đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

甹連鎖型ĺ?Żĺž— đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ sin h đ?‘˘ = cos h đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ cos h đ?‘˘ = sin h đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ tan h đ?‘˘ = sec h2 đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ cot h đ?‘˘ = −csc h2 đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ sec h đ?‘˘ = −sec h đ?‘˘ tan h đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ csc h đ?‘˘ = −csc h đ?‘˘ cot h đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ â™ äž‹ 2.45

若 𝑓 (𝑥 ) = sin h (𝑥 2 + 2)，求𝑓′(1)。 𝑑

【解】𝑓′(𝑥 ) = cos h (𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 2) = 2𝑥 cos h (𝑥 2 + 2) 𝑓′(1) = 2 cos h 3 = 2 ∙

𝑒 3 +𝑒 −3 2

1

= 𝑒 3 + 𝑒3。

如圖 2.5，𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ 𝑥 與 y = 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑥 之圖形可以看出，函數𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑖𝑛 ℎ 𝑥與𝑔(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑥在−∞ < 𝑥 < ∞都是一對一函數，因此都有反函數。 函數 h(x) = cos h 0 在 − ∞ ≤ 𝑥 < ∞是一對一函數，因此有反函數。

♡ 定義 2.8 反雙曲線函數(Inverse hyperbolic functions) 若 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ 𝑦， − ∞ < 𝑦 < ∞，則 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥。 若 x = cos h y，0 ≤ y < ∞，則 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥。 若 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑦， − ∞ < 𝑦 < ∞，則 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 ℎ−1 𝑥。

♡ 定理 2.31: 反雙曲線函數之對數表示 (1) 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 + 1) ， − ∞ < 𝑥 < ∞。 (2) 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) ，𝑥 ≥ 1。 1

1+𝑥

(3) 𝑡𝑎𝑛 ℎ−1 𝑦 = 𝑙𝑛 ， − 1 < 𝑥 < 1。 2 1−𝑥 𝑒 𝑦 −𝑒 −𝑦

【證】(1) 令 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥，則 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ 𝑦 = 2𝑥 = 𝑒 𝑦 − 𝑒 −𝑦 2𝑥𝑒 𝑦 = 𝑒 2𝑦 − 1 𝑒 2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 − 1 = 0 𝑒𝑦 =

2𝑥±√4𝑥 2 +4 2

2

= 𝑥 ± √𝑥 2 + 1

因𝑒 𝑦 > 0，故𝑒 𝑦 = 𝑥 + √𝑥 2 + 1 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 + 1) (2) 令 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥，則 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑦 = 2𝑥 = 𝑒 𝑦 + 𝑒 −𝑦 2𝑥𝑒 𝑦 = 𝑒 2𝑦 + 1 𝑒 2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 + 1 = 0 𝑒𝑦 =

2𝑥±√4𝑥 2 −4 2

𝑒 𝑦 +𝑒 −𝑦 2

= 𝑥 ± √𝑥 2 − 1

因𝑒 𝑦 > 0，故𝑒 𝑦 = 𝑥 + √𝑥 2 − 1 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) 𝑒 𝑦 −𝑒 −𝑦

(3)令 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 ℎ−1 𝑥，則𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑦 = 𝑦 −𝑦 𝑒 +𝑒

𝑥(𝑒 𝑦 + 𝑒 −𝑦 ) = 𝑒 𝑦 + 𝑒 −𝑦 𝑥(𝑒 2𝑦 + 1) = 𝑒 2𝑦 − 1 (1 − 𝑥 )𝑒 2𝑦 = 1 + 𝑥 1+𝑥 𝑒 2𝑦 = 1−𝑥 1+𝑥

2𝑦 = 𝑙𝑛 1−𝑥 1

1+𝑥

𝑦 = 2 𝑙𝑛 1−𝑥。 反雙曲線函數 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥， 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥， 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 ℎ−1 𝑥之倒數如下:

♡ 定理 2.32: 反雙曲線函數之導數 d 1 sin h−1 x = dx √x 2 + 1 1 (2) cos h−1 x = √x 2 − 1 1 (3) tan h−1 𝑥 = 。 1−𝑥 2 (1)

𝑑

𝑑

【證】(1) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 ℎ−1 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 + 1) = = = (2) = = = (3)

1

𝑑

𝑥+√𝑥 2+1 𝑑𝑥 1

(𝑥 + √𝑥 2 + 1)

(1 +

𝑥

)

√𝑥 2+1 𝑥+√𝑥 2+1 √𝑥 2+1+𝑥 1 𝑥+√𝑥 2+1 𝑑 𝑑𝑥

+1

𝑑

𝑐𝑜𝑠 ℎ−1 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1) 1

𝑑

𝑥+√𝑥 2−1 𝑑𝑥 1 𝑥+√𝑥 2+1

(𝑥 + √𝑥 2 − 1) 𝑥

(1 + √𝑥 2 )

1

√𝑥 2−1+𝑥

𝑥+√𝑥 2−1

√𝑥 2−1

𝑑

1

= √𝑥 2

√𝑥 2+1

−1

1

= √𝑥 2

𝑑 1

−1

1+𝑥

𝑡𝑎𝑛 ℎ−1 𝑥 = 𝑑𝑥 2 𝑙𝑛 1−𝑥

𝑑𝑥 1 𝑑

= 2 𝑑𝑥 [𝑙𝑛(1 + 𝑥 ) − 𝑙𝑛(1 − 𝑥 )] 1

1

1

1

= 2 (1+𝑥+1−𝑥) = 1−𝑥 2 。

習題 2-8 𝑥 2+1

𝑑𝑦

1. 若 y = 𝑙𝑛 𝑥 2+2，求 𝑑𝑥 。

𝑑𝑦

2. 若 y = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 + 1)，𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

3. 若 y = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 − 1)，𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

4. 若𝑥 > 0，𝑦 = 𝑥 𝑦 ，試求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

5. 若𝑥 > 0，𝑦 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ，試求 𝑑𝑥 。 6. 若 y = 𝑒 𝑥

2+5𝑥+6

𝑑𝑦

，求 𝑑𝑥 。

7. 若 𝑓(𝑥 ) = 𝑥𝑒 𝑥 ， 求𝑓′(𝑥 )。 𝑑𝑦

8. 若 y = 𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 )，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

9. 若 y = 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑥 |，求 𝑑𝑥 。

𝑑𝑦

10. 若 y = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 |，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

11. 若 y = 𝑥𝑙𝑛 𝑥，求 𝑑𝑥 。 𝑑𝑦

12. 若 y = 5𝑥 ，求 𝑑𝑥 。

𝑑𝑦

13. 若 y = 𝑐𝑜𝑠 ℎ (𝑥 2 + 3𝑥 + 5)，求𝑑𝑥 。 𝑥

𝑑

14. 試由 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑎 證明 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 = (𝑙𝑛 𝑎)𝑎 𝑥 。 15. 設 𝑥 > 0，n 為任意實數，試證

𝑑

𝑑𝑥

𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 。

2-9 參數方程式之求導 (Differentiation of the Parametric Equations) 平面曲線(Plane curves)除了可用直角坐標方程式(Rectangular coordinate equations) 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 或 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 表示外，還可用參數方程式(Parametric equations) 𝑥 = 𝑔(𝑡) 與 𝑦 = ℎ(𝑡) 表示，其中 t 稱為參數(Parameter)。 𝑥 = 𝑔(𝑡) 若 𝑥 = 𝑔(𝑡) 與 𝑦 = ℎ(𝑡) 在 t 處可導(differentiable)，則稱{ 在t 處 𝑦 = ℎ(𝑡) 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

可導。當 𝑑𝑡 ≠ 0時，可由下面定理求 𝑑𝑥 及 𝑑𝑥 2 。

♡ 定理 2.32: 若 𝑥 = 𝑔(𝑡)，𝑦 = ℎ(𝑡)對𝑡之一階與二階導數都存在，則 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑦 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑 𝑦 2 − 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 ， 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 。 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 【證】由連鎖律(chain rule)，得 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

= =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑡

∙ 𝑑𝑥 =

𝑑 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡

= 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 3 ( ) 𝑑𝑡

𝑑𝑡 𝑑𝑥

♠例 2.46 𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

若 𝑥 = 4 cos 𝑡 ，𝑦 = 3 sin 𝑡 ，求 𝑑𝑥 ， 𝑑𝑥 2 。 𝑑2 𝑥

𝑑𝑥

【解】 𝑑𝑡 = −4 𝑠𝑖𝑛 𝑡， 𝑑𝑡 2 = −4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦

= 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡，𝑑𝑥 2 = −3 𝑠𝑖𝑛 𝑡 =

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

= =

𝑑𝑦 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 −4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑2 𝑦 𝑑2𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 3 ( ) 𝑑𝑡

=

=

−3 4

𝑐𝑜𝑡 𝑡

=

(−4 𝑠𝑖𝑛 𝑡)(−3 𝑠𝑖𝑛 𝑡)−(−4 𝑐𝑜𝑠 𝑡)(3 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 12 −64𝑠𝑖𝑛 3 𝑡

=

(−4 𝑠𝑖𝑛 𝑡)3 −3 3 16

𝑐𝑠𝑐 𝑡。

♠例 2.47 π

求曲線 𝑥 = 2 cos 𝑡 ，𝑦 = 2 sin 𝑡 在 𝑡 = 6 處之斜率(slope)。 𝑑𝑥

𝑑𝑦

【解】 𝑑𝑡 = −2 sin 𝑡， 𝑑𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

2 cos 𝑡

= −2 sin 𝑡 = − cot 𝑡

斜率 m =

𝑑𝑦

|

𝑑𝑥 𝑡=π 6

= − cot 𝑡|𝑡=π = −√3。 6

在第零章裡已經提到直角坐標(Rectangular coordinates) (𝑥, 𝑦)與極坐標 (Polar coordinates) (𝑟, 𝜃)之關係為 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ，𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 極方程式(Polar equation) 𝑟 = 𝑓(𝜃)可用參數式 𝑥 = 𝑓(𝜃) cos 𝜃 ，𝑦 = 𝑓(𝜃) sin 𝜃 表示，其中𝜃為參數。

♡ 定理 2.33:極坐標曲線之斜率(Slope of a polar curve) 曲線𝑟 = 𝑓(𝜃)在(𝑟, 𝜃)處之斜率(slope)為 𝑓 ′ (𝜃) sin 𝜃 + 𝑓(𝜃) cos 𝜃 𝑟′ sin 𝜃 + 𝑟 cos 𝜃 𝑚= ′ = 。 𝑓 (𝜃) cos 𝜃 − 𝑓(𝜃) sin 𝜃 𝑟′ cos 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 【證】因 𝑥 = 𝑓(𝜃) cos 𝜃 ，𝑦 = 𝑓(𝜃) sin 𝜃 𝑑𝑦

𝑚 = 𝑑𝑥 =

𝑑𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃

𝑓′ (𝜃) sin 𝜃+𝑓(𝜃) cos 𝜃

𝑟′ sin 𝜃+𝑟 cos 𝜃

= 𝑓′ (𝜃) cos 𝜃−𝑓(𝜃) sin 𝜃 = 𝑟′ cos 𝜃−𝑟 sin 𝜃 。

♠例 2.48 𝜋

求四葉玫瑰線(Four-leaved rose) 𝑟 = 3 sin 2𝜃 在 𝜃 = 4 時之斜率(slope)。 𝑟 ′ 𝑠𝑖𝑛 𝜃+𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜋

【解】𝑚 = 𝑟 ′ 𝑐𝑜𝑠 𝜃−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃| 4

6 𝑐𝑜𝑠 2𝜃+3 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑐𝑜𝑠 2𝜃

𝜋

= 6 𝑐𝑜𝑠 2𝑐𝑜𝑠𝜃−3 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 | 4 =

0+3× 0−3×

1

√2 1 √2

= −1。

習題 2-9 𝑑𝑦

𝑑2 𝑦

1.

若𝑥 = 𝑡 2 ，𝑦 = 𝑡 3 ，求 𝑑𝑥 ，𝑑𝑥 2 。

2.

求曲線 𝑥 = 2sec ，𝑦 = tan 𝑡(如下圖)在 𝑡 =

3.

求曲線 𝑥 = cos3 𝑡，𝑦 = sin3 𝑡(如左下圖) 在𝑡 = 處之斜率(slope)。

4.

求三葉玫瑰線(Three-leaved rose) 𝑟 = 2 sin 3𝜃 (如右上圖) 在 𝜃 = 6 時之斜率

2

𝜋 3

處之斜率(slope)。

𝜋 4

𝜋

(slope)。

2-10 微分與線性近似 (Differential and Linear Approximation) ⟡ 定義 2.8: 微分(differential) 若函數 𝑓 (𝑥 )在 𝑥 = 𝑥0 處可導 (即 𝑓′(𝑥0 )存在)，則稱 𝑓 ′ (𝑥0 )∆𝑥 為 𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 𝑥0 處之微分，記為 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥。 令 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥，則 𝑓′(𝑥 ) = 1，𝑑𝑥 = 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥 )∆𝑥 = 1 ∙ ∆𝑥 = ∆𝑥 因此得自變數 𝑥之微分(differential) 𝑑𝑥與 𝑥之增量(increment) ∆𝑥 相等，也就是說 ∆𝑥 = 𝑑𝑥。故得自變數 𝑥 之微分 𝑑𝑥 與應變數 𝑦 之微分的關係為 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥0 )𝑑𝑥。 𝑑𝑦

若 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )，則 𝑦 之微分寫成 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥 )𝑑𝑥，而 𝑦 對 𝑥 之導數 𝑑𝑥 可看成 𝑦 之微分 𝑑𝑦 與 𝑥 之微分 𝑑𝑥 之商。 註: 𝑓(𝑥 ) 之導數(derivative)用 D𝑓 (𝑥 )表示，即 D𝑓(𝑥 ) = 𝑓′(𝑥)。 𝑓 (𝑥 ) 之微分(differential)用 d𝑓 (𝑥)表示，即 d𝑓(𝑥 ) = 𝑓′(𝑥 )𝑑𝑥。 ♠ 例 2.49 若(a) 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3

(b) 𝑔(𝑥 ) sin 𝑥，求 d𝑓(𝑥)與 d𝑔(𝑥)。

【解】(a) 𝑑𝑓(𝑥 ) = 𝑓′(𝑥 )𝑑𝑥 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 (b) 𝑑𝑔(𝑥 ) = 𝑔′(𝑥 )𝑑𝑥 = cos 𝑥 𝑑𝑥。 設 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) 為一個可導函數，則 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 之圖形為一條平滑之曲線， 如下面圖 2.7 所示。

圖 2.7

當 自 變 數 𝑥 之 值 由 𝑥 = 𝑥0 變 化 至 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 ， 也 就 是 說 𝑥 之 增 量 (increment)為 ∆𝑥 時，因變數 y 之值就由 𝑓(𝑥0) 變化至 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 )，也就是說 y 之增量為 ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥0 )。 一般來說，∆𝑦 計算比較不方便，實用上常用計算比較容易之 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥當作 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥0) 之近似值，而此種近似稱為線性近似(Linear approximation)，或切線近似(The tangent line approximation) 𝑓(𝑥 +∆𝑥)−𝑓(𝑥 )

0 0 因𝑓′(𝑥0 ) = lim ，故當∆𝑥很接近 0 時，則 ∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥

𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 )之確實值(True value)與近似值(Approximate value) 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥之誤差 𝐸 (∆𝑥 ) = 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) − [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥 ] lim 𝐸 (∆𝑥 ) = 0 ∆𝑥→0 𝐸 (∆𝑥) 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥0 ) − 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥 lim = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥0 ) = lim [ − 𝑓′(𝑥0 )] ∆𝑥→0 ∆𝑥 = 𝑓′(𝑥0 ) − 𝑓′(𝑥0 ) = 0。 因此當 ∆𝑥 很小時，不但 𝐸 (∆𝑥 ) 很小，且 𝐸 (∆𝑥) 相對於 ∆𝑥 也很小。

♠例 2.50 試用微分之方法求√99之近似值。 【解】令 𝑓(𝑥 ) = √𝑥，𝑥0 = 100，∆𝑥 = −1 𝑓′(𝑥 ) = 2

1

√𝑥

√99 = 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥 1 = √100 + 2 100 ∙ (−1) √ = 10 − 0.05 = 9.95

因為曲線 𝑦 = √𝑥 在 𝑥 = 99至 𝑥 = 100間 很接近直線，因此√99 ≈ 9.95，誤差應該很小 由計算機(calculator)計算得√99 = 9.949874， 可驗正誤差確實很小。

習題 2-10 1. 求下列各函數之微分(differential): (a) 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 3𝑥 (b) 𝑔(𝑥 ) = tan−1 𝑥

(c) ℎ(𝑥 ) = √𝑥 2 + 3

2. 試用微分之方法求√101之近似值。 (即應用公式: 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥

第二章內容摘要 1.可導(differentiable) (或可微) 函數𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 𝑎 處可導(可微)

lim

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

𝑥−𝑎

存在。

2.函數的導數(Derivative of a function) 1 ○

𝑓′(𝑥 ) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

稱為𝑓 (𝑥 )之導數。

ℎ

h→0

2 𝑓′(𝑥 ) = lim 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ○ 𝑥−𝑎 ℎ 𝑥→𝑎 h→0

稱為𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 𝑎 處之導數。 3.導數之各種符號 1 ○

𝑑𝑦

𝑑

𝑦 ′ = 𝑓′(𝑥 ) = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥 ) = D𝑦 = D𝑓 (𝑥 )

𝑑 𝑦 𝑑 2 𝑦 ′′ = 𝑓′′(𝑥 ) = ○ = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

2

2

3 𝑦 ′′′ = 𝑓′′′(𝑥 ) = 𝑑 𝑦 = 𝑑 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3

𝑓 (𝑥 ) = D2 𝑦 = D2 𝑓 (𝑥 )

2 3

3

𝑓 (𝑥 ) = D3 𝑦 = D3 𝑓 (𝑥 )

3

𝑑 𝑦 𝑑 4 𝑦 (4) = 𝑓 (4) (𝑥 ) = 4 = 4 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4

4

5 𝑦 (𝑛) = 𝑓 (𝑛) (𝑥 ) = 𝑑 𝑦 = 𝑑 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛

𝑓 (𝑥 ) = D4 𝑦 = D4 𝑓 (𝑥 )

𝑛

𝑛

𝑛

𝑓 (𝑥 ) = Dn 𝑦 = Dn 𝑓(𝑥 )。

4.可導性(可微性)與連續性(Differentiability and continuity) 若𝑓 (𝑥 )在 𝑥 = 𝑎 處可導，則 𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 𝑎 處連續。 但在𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 𝑎 處連續，未必可導。 5.導數之基本公式 1 [𝑘1 𝑓 (𝑥 ) + 𝑘2 𝑔(𝑥 )]′ = 𝑘1 𝑓′(𝑥 ) + 𝑘2 𝑔′(𝑥 ) ○ 2 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′ = 𝑓(𝑥 )𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥 )𝑓′(𝑥)

3 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)ℎ(𝑥 )]′ = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )ℎ′(𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑓′(𝑥 )𝑔(𝑥 )ℎ(𝑥)

4 ○

[

𝑓(𝑥) ′

] = 𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2

。

6.連鎖律(Chain rules) 連鎖律(Chain rules)為求複合函數(Composite function)之重要工具 1 若 𝑦 = 𝑓 (𝑢)，𝑢 = 𝑔 (𝑥 )，則 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

2 若 𝑦 = 𝑓 (𝑢)，𝑢 = 𝑔 (𝑤)，𝜔 = ℎ(𝑥 )，則𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝜔 。 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝜔 𝑑𝑥

7.Leibniz 公式(二函數之積的高階導數公式) 1 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′ = 𝑓(𝑥 )𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥 )𝑔(𝑥 )

2 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′′ = 𝑓 (𝑥 )𝑔′′(𝑥) + 2𝑓′(𝑥 )𝑔′(𝑥) + 𝑓′′(𝑥 )𝑔(𝑥 )

3 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]′′′ = 𝑓 (𝑥 )𝑔′′′(𝑥 ) + 3𝑓′(𝑥 )𝑔′′(𝑥) + 3𝑓′′(𝑥 )𝑔′(𝑥) + 𝑓′′′(𝑥 )𝑔(𝑥 )

4 ○

[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)](𝑛) = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) 𝑓 (𝑘) (𝑥 )𝑔(𝑛−𝑘) (𝑥 ) = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) 𝑓 (𝑛−𝑘) (𝑥 )𝑔(𝑘) (𝑥)

8.雙曲線函數(Hyperbolic function) 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 sin h 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 cos h 𝑥 = 2 sin h 𝑥 tan h 𝑥 = cos h 𝑥 cos h 𝑥 cot h 𝑥 = sin h 𝑥 1 sec h 𝑥 = cos h 𝑥 1

csc h 𝑥 = sin h 𝑥 9.常用函數之導數公式 1 𝑑 𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 ○ sin 𝑢 𝑑𝑥

= cos 𝑢 𝑑𝑥

3 𝑑 cos 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= − sin 𝑢 𝑑𝑥

4 𝑑 tan 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= sec 2 𝑢 𝑑𝑥

5 𝑑 cot 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= −csc 2 𝑢 𝑑𝑥

6 𝑑 sec 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑥

7 𝑑 csc 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= −csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑢

8 𝑑 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 9 𝑑 𝑎𝑢 = (ln 𝑎)𝑎𝑢 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥

，𝑎 > 0

10 𝑑 ln 𝑢 = 1 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑥 𝑑 11 sin−1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= √1−𝑢2 𝑑𝑥

𝑑 12 cos −1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= √1−𝑢2 𝑑𝑥

𝑑 13 tan−1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= 1+𝑢2 𝑑𝑥

14 𝑑 cot −1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= 1+𝑢2 𝑑𝑥

15 𝑑 sec −1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= |𝑢|√𝑢2

16 𝑑 csc −1 𝑢 ○ 𝑑𝑥

= |𝑢|√𝑢2

1

𝑑𝑢

−1

𝑑𝑢

1

𝑑𝑢

−1 𝑑𝑢

1

−1

𝑑𝑢 −1 𝑑𝑥 𝑑𝑢

−1 𝑑𝑥

17 𝑑 sin h 𝑢 = cos h 𝑢 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 18 𝑑 cos h 𝑢 = sin h 𝑢 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 19 𝑑 tan h 𝑢 = sec h2 𝑢 𝑑𝑢 ○ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑥) 20 𝑑 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥)𝑓 ○ + 𝑔′(𝑥) ln 𝑓 (𝑥 ))。 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ′

10.參數式之導數公式 若 𝑥 = 𝑔(𝑡)，𝑦 = ℎ(𝑡) 對 𝑡 之一階與二階導數都存在，則 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑦 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑 𝑦 2 − 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 ， 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 。 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 11.微分(differential) 若 𝑦 = 𝑓(𝑥 )，則𝑦之微分寫成𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥。 12.線性相似(Linear approximation)。 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )∆𝑥

②Derivatives 習題 2-1 解答 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

7.

𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

8.

𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

9.

𝑓 ′ (1) = lim

h→0

ℎ 𝑓(𝑥)−𝑓(0)

𝑥−0 𝑥→0 𝑓(𝑥)−𝑓(1) 𝑥→1

𝑥−1 𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥→1

𝑥−1

10. 𝑓 ′ (1) = lim

= 2𝑥 1

=6 4

=7 =0

11. 𝑓 (𝑥 )在 𝑥 = 1 處連續，𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 1 處不可導 12. (a)lim 𝑓 (𝑥 ) = 1 𝑥→0

(b) 𝑓(𝑥 ) 在 𝑥 = 0 處為連續 (c) 𝑓(𝑥) 在 𝑥 = 0 處為不可導 因 lim−

𝑓(𝑥)−𝑓(0)

𝑥−0 𝑥→0 𝑓(𝑎−h)−𝑓(𝑎)

13. lim

𝑥→0

h

= 2， lim+

𝑓(𝑥)−𝑓(0) 𝑥−0

𝑥→0

=0

= −𝑓 ′ (𝑎)

𝑓(−𝑥+h)−𝑓(−𝑥)

14. (a) 𝑓 ′ (−𝑥 ) = lim h h→0 𝑓 (−𝑥 + h) − 𝑓(𝑥 ) = lim h→0 h (令 p=−h) = lim

𝑓(𝑥+𝑝)−𝑓(𝑥) p

𝑝→0

= −𝑓 ′ (𝑥 )

故 𝑓 ′ (𝑥 )為奇函數 (b) 因 𝑔(𝑥 ) 為奇函數，故 𝑔(−𝑥 ) = −𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥 ) = lim

𝑔(𝑥+h)−𝑔(𝑥)

h→0

𝑔′(−𝑥 ) = lim =lim

h 𝑔(−𝑥+h)−𝑔(−𝑥)

h→0 𝑔(−𝑥+h)+𝑔(𝑥)

h

h

h→0

(令 p=−h) =lim

𝑔(−x−𝑝)+𝑔(𝑥)

−𝑝 h→0 𝑔(x+𝑝)−𝑔(𝑥)

=lim

−𝑝

p→0

=lim

−𝑔(𝑥+𝑝)+𝑔(𝑥)

𝑝→0

−𝑝

= 𝑔′(𝑥 )

故 𝑔(𝑥 )為偶函數

習題 2-2 解答 1. 𝑎 = 2，b = −1 2.

lim

h→0

𝑓(𝑎+𝑚h)−𝑓(𝑎−𝑛h) h

= (𝑚 + 𝑛)𝑓′(𝑎)

3. 𝑓(𝑥 ) 在 𝑥 = 𝑎 處為可導，故 𝑓(𝑥 ) 在 𝑥 = 𝑎處為連續

lim 𝑓(𝑎 + h) = 𝑓(𝑎)，即 lim [𝑓(𝑎 + h) − 𝑓(𝑎)] = 0

h→0

h→0

或因 h ≠ 0 時，𝑓 (𝑎 + h) − 𝑓(𝑎) = 故lim [𝑓 (𝑎 + h) − 𝑓(𝑎)] = lim h→0

𝑓(𝑎+h)−𝑓(𝑎)

h 𝑓(𝑎+h)−𝑓(𝑎)

h→0

h

⋅h

lim h

h→0

=L⋅0 =0 4.

lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓 (2) = 15

h→0

′

′

5.

𝑝′ (𝑥) = [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)] = [𝑓(𝑥) (𝑔(𝑥 )ℎ(𝑥))]

6.

= [𝑔(𝑥 )h(𝑥) ]𝑓 ′ (𝑥) + 𝑓(𝑥 )[𝑔(𝑥)h(𝑥) ]′ = [𝑔(𝑥 )h(𝑥) ]𝑓 ′ (𝑥) + 𝑓(𝑥 )[h(𝑥)𝑔′ (𝑥 ) + g(𝑥 )h′(𝑥) ] = 𝑔(𝑥 )h(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) + 𝑓 (𝑥 )h(𝑥)𝑔′ (𝑥) + 𝑓(𝑥 )g(𝑥)h′(𝑥) 令 𝑓(𝑥 ) = |𝑥 − 1|，則 𝑓 (𝑥 ) 在 𝑥 = 1處連續，但不可導。

7.

lim

8.

𝑓(𝑎+2h)−𝑓(𝑎−5h) h

h→0

= 7𝑓 ′(𝑎) = 21𝑎2 + 28𝑎 − 21

1+ 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 =

1−𝑥 𝑛+1 1−𝑥

兩邊就 x 求導，得 𝑑 1−𝑥 𝑛+1

9.

1+ 2𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 = 𝑑𝑥 1 − (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 + 𝑛𝑥 𝑛+1 = (1 − 𝑥)2 令 𝑓(𝑥 ) = 3√𝑥 ，則 𝑓′(𝑥 ) = 3

√1+𝑡 −1 lim 𝑡 𝑡→0

= lim

1−𝑥

1 3

3 √𝑥 2 𝑓(1+𝑡)−𝑓(1)

𝑡→0

𝑡

1

= 𝑓′(1) = 3

10. 𝑓′(𝑥 ) = 2|𝑥 | 11. 12. 13. 14.

lim

𝑓(2+h)−𝑓(2)

h→0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

h2 +3h 4𝑥

= 23

= (𝑥 2+5)2

|

𝑑𝑥 𝑥=2

3

=5

切點之坐標為(1,3)

15. 𝑎 = 3，b = 2 16.

切線方程式為 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 或 7𝑥 − 𝑦 − 25 = 0

17. 𝑓 ′ (𝑥 ) = 8𝑥

習題 2-3 解答 1.

lim

sin 3𝑥

𝑥→0 sin 2𝑥

3

=2

2. 𝑓(𝑥) 在 𝑥 = 0 處連續 3. 𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 4. 𝑓 ′ (0) = 9

1

5. 𝑓 ′ (𝑥 ) = 1+cos 𝑥 6. 𝑚 = −1，𝑏 = 𝜋 7.

𝑓(5𝑥)−𝑓(𝑠𝑖𝑛 𝑥)

lim

𝑥→0

8. 𝑥 = 9. 10.

lim

𝜋

= 4𝑝

5𝜋

或𝑥 =

4 4 (𝑥 2−1) 𝑠𝑖𝑛(𝑥−1)

𝑥→1 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑥

=

(𝑥−1)2 sec 𝑥(𝑡𝑎𝑛 𝑥−1)

=2

(1+𝑡𝑎𝑛 𝑥)2

𝜋

11. 𝑓 ′ ( 3 ) = 4 + √3 12. lim𝜋 𝑥→

6

𝑡𝑎𝑛 𝑥−1 𝑥−

4

=2

𝜋 4

習題 2-4 解答 1. 𝑓 ′ (1) = 768 2.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−6(1−𝑥)2 (1+𝑥)4 √𝑥 2−1+𝑥

3. 𝑓 ′ (𝑥 ) =

√𝑥 2−1

4.

𝑑𝑦

5.

√1+√𝑥−2 𝑥−9 𝑥→9 𝑑𝑦 3

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

𝑑𝑥

=

1 4

√𝑥+ 𝑥√𝑥

lim

𝑑𝑥

= 44 𝑥

lim

√ 3 √𝑥 2 +21( √𝑥 2+25−3) 𝑥−2

𝑥→2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑

1

= 24

= −sin 2𝑥 = 6𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2 cos 𝑥 2 = 16 1

(sin 𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛3 𝑥) = cos 3 𝑥 = 5(𝑥 + 3)2 cos 5𝑥 + 3(𝑥 + 3) sin 5𝑥 sin 2𝑥

=

𝑑𝑥 1+cos 2𝑥 𝜋 √3

14. 𝑓 ( 6 ) =

2 1+cos 2𝑥

2

𝜋

15. 𝑓′ ( 8 ) = 2√2 16. lim𝜋 𝑥→

5

= 27

6

1 2

cos 2𝑥− 𝜋 6

𝑥−

= −√3

習題 2-5 解答 1. 𝑓˝(2) = 154 𝑑2 𝑦

2.

𝑑𝑦

3.

𝑑𝑦

4.

當 𝑛 < 3 時，𝑓 (𝑛) (0)，當 𝑛 ≥ 3，𝑓 (𝑛) (0) = 𝑛!

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑥

4

= √𝑥 2 ，𝑑𝑥 2 = +4

−2𝑥

3

(𝑥 2 +4)2 𝑑2 𝑦 6𝑥 2−2𝑎 2

= (𝑎2+𝑥 2)2 ，𝑑𝑥 2 = (𝑎2+𝑥 2)3

5. 𝑓 (𝑛) (1) = (−1)𝑛 𝑛! 2𝑛 6. 𝑓 ‴ (𝑥) = 27𝑥 sin 3𝑥 − 27 cos 3𝑥 𝑚𝑓(𝑥)

7. 𝑓′(𝑥 ) = √1+𝑥 2 𝑓(0) = 1，故得 𝑓 ′ (0) = 𝑚𝑓(0) = 𝑚 𝑓˝(𝑥 ) =

√1+𝑥 2⋅𝑚⋅𝑓′(𝑥) ⋅𝑚𝑓(𝑥)⋅

𝑥 √1+𝑥2

1+𝑥 2 ′(0)

故 𝑓˝(0) = 𝑚 ⋅ 𝑓

− 0 = 𝑚 ⋅ 𝑚 = 𝑚2

8. 𝑓′(0) = 8，h˝(0) =36 9.

由 Leibniz 公式得 𝑓 ‴(𝑥) = 336𝑥 (𝑥 + 1)5 + 168 (𝑥 + 1)6

10. 由 Leibniz 公式得 𝑓 (5) (𝑥) = 𝑥 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 𝑓(𝑎+𝑏)−𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏)+𝑓(0) ] = 𝑓˝(0) 11. lim [lim 𝑎→0 𝑏→0

𝑎𝑏

12. 因 𝑦 = cos 2𝑥，𝑦˝ = −4 cos 2𝑥，故 𝑦˝ + 4y = 0 13. 𝑓˝(𝑥 ) = 2 sec 2 𝑥 tan 𝑥 14. 令 𝑥 10 = 10𝑥 9 = 90𝑥 8 =

(𝑥 − 1)3 𝑞 (𝑥 ) + A 𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 (𝑥 − 1)3 𝑞′(𝑥 ) + 3(𝑥 − 1)2 𝑞𝑥 + 2𝐴𝑥 + 𝐵 (𝑥 − 1)3 𝑞˝(𝑥 ) + 6(𝑥 − 1)2 𝑞′𝑥 + 6(𝑥 − 1)𝑞(𝑥) + 2𝐴

令𝑥 = 1得 A+B+C = 1 { 2A + B = 10 2A = 90 A=45，B=−80，C=36 故餘式為 45𝑥 2 − 80𝑥 + 36

習題 2-6 解答 1. 2. 3.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2𝑥+3

= 2𝑦+5 𝑦

=– 𝑥

2𝑥𝑦 3 +3𝑥 2+3

= − 3𝑥 2 𝑦 2 −4𝑦 3 +5

4. 5.

6−2𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑦−2𝑥𝑦 3

𝑑𝑦

= 2𝑥 2 cos 2𝑦+3𝑥 2𝑦 2 +8

𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦 sec2 𝑥𝑦

= 1−𝑥 sec2 𝑥𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

6. 𝑚 = 𝑑𝑥 | 7. 8. 9. 10. 11.

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦

=

=

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

= |

(2,−2) −16

=1

9𝑦 3 −√𝑦 𝑑2 𝑦 √𝑎 ，𝑑𝑥 2 = 2𝑥 𝑥 𝑥 √ cos(𝑥+𝑦)+2𝑦 cos(𝑥+𝑦)−2𝑦 7

=

𝑑𝑥 (2,3) 4 𝑑𝑦 3𝑥 2

= 3𝑦 2 +2

𝑑𝑥

12. 切線方程式為 𝑦 − 2 =

−2 9

(x-1)

習題 2-7 解答 1. 𝑓′(2) = 1 2. 3. 4. 5. 6.

𝑑𝑦

𝜋

|

= −2

𝑑𝑥 𝑥=−1 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦

= 𝑥 2+4𝑥+5 𝜋

|

=

|

=1+2

𝑑𝑥 𝑥=1 𝑑𝑦

4 𝜋

𝑑𝑥 𝑥=1 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥

= 1+𝑥 2

習題 2-8 解答 1. 2. 3. 4 5. 6.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2𝑥

= (𝑥 2+1)(𝑥 2+2) 1

= √𝑥 2

+1 1

= √𝑥 2

−1 𝑦2

= 𝑥(1−y ln x) 1

= 𝑥 tan 𝑥 [(sec 2 𝑥) ln 𝑥 + 𝑥 tan 𝑥] = (2𝑥 + 5) 𝑒 𝑥

2+5𝑥+6

7. 𝑓′(𝑥 ) = (𝑥 + 1) 𝑒 𝑥 8. 9. 10.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑒 𝑥 cos 𝑥 = − tan 𝑥 = sec 𝑥

11. 12. 13. 14.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

= 1 + 𝑙𝑛 𝑥 = (ln 5) 5𝑥 = (2𝑥 + 3) sin h (𝑥 2 + 3𝑥 + 5) 𝑑

𝑎 𝑥 == 𝑑𝑥 𝑒 ln 𝑎

= 𝑒 ln 𝑎

𝑥

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

ln 𝑎 𝑥

𝑑 (𝑥 ln 𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 = (ln 𝑎) 𝑎 𝑥 = 𝑒 ln 𝑎

𝑥

15.令 𝑦 = 𝑎 𝑥 ，兩邊取對數 ln 𝑦 = ln 𝑥 𝑛 = 𝑛 ln 𝑥 1 𝑑𝑦 𝑛 =𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝑛

𝑛

= y‧ 𝑥 = 𝑥 𝑛 ‧ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1

習題 2-9 解答 1.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦

3

3

= 2 𝑡 ，𝑑𝑥 2 = 4 𝑡 2

2. 𝑚 =

𝑑𝑦

3. 𝑚 =

𝑑𝑦

|

𝑑𝑥 𝑡=𝜋 3

|

𝑑𝑥 𝑡=𝜋

=

1

√3

= −1

4

4. 𝑚 = −√3

習題 2-10 解答 1. (a) 𝑑𝑓(𝑥 ) = 𝑓′(𝑥 )𝑑𝑥 = 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 (b) 𝑑𝑔(𝑥 ) = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = (c) 𝑑h(𝑥) = h′(𝑥)𝑑𝑥 =

1 1+𝑥 2 𝑥

𝑑𝑥

√𝑥 2+3

𝑑𝑥

2. 令 𝑓(𝑥 ) = √𝑥，𝑥0 = 100，△x=1 √101 = 𝑓(𝑥0 +△ 𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 ) △ 𝑥 = 10.05

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