積分表 Table of Integrals 本積分表包括① 不定積分 ② 常用定積分 ③ 常用瑕積分 必須熟記之積分公式 1. ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 1
𝑥 𝑛+1 𝑛+1
+ 𝐶，𝑛 ≠ 1
2. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥 | + 𝐶 3. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑥
4. ∫ 𝑎 𝑥 = ln 𝑎 + 𝐶 5. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 6. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 7. ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 8. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶 9. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 10. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶 11. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝐶 12. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥 | + 𝐶 13. ∫ 14. ∫ 15. ∫
1
1
𝑎 2 +𝑥 2 1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎 + 𝐶
√𝑎 2+𝑥 2 1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 + 𝐶
𝑥√𝑥 2 −𝑎 2
𝑥
𝑑𝑥 = sec −1 𝑎 + 𝐶
16. ∫ 𝑠𝑖𝑛 h 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 h 𝑥 + 𝐶 17. ∫ 𝑐𝑜𝑠 h 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 h 𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑎𝑥
18. ∫ 𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑥 − 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 ) + 𝐶 𝑒 𝑎𝑥
19. ∫ 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑥 ) + 𝐶 含有𝑎𝑥 + 𝑏之積分公式 20. ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 =
(𝑎𝑥+𝑏)𝑛+1
21. ∫ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 =
+ 𝐶，𝑛 ≠ −1
𝑎(𝑛+1) (𝑎𝑥+𝑏)𝑛+1 𝑎𝑥+𝑏 𝑎2
[
𝑛+2
其中 𝑛 ≠ −1, −2 22. ∫
1 𝑎𝑥+𝑏
1
𝑑𝑥 = 𝑎 ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + C
−
𝑏 𝑛+1
]+C
23. ∫ 24. ∫ 25. ∫ 26. ∫ 27. ∫
𝑥
𝑥
𝑎𝑥+𝑏 𝑥
𝑏
𝑑𝑥 = 𝑎 − 𝑎2 ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + C 1
𝑏
𝑑𝑥 = 𝑎2 [ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑎𝑥+𝑏 ] + 𝐶
(𝑎𝑥+𝑏)2 𝑥
1
𝑥(𝑎𝑥+𝑏) 1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑏 ln |𝑎𝑥+𝑏| + 𝐶
𝑥 2 (𝑎𝑥+𝑏) 1
1
𝑎
𝑎2
𝑎𝑥−𝑏
𝑥 3 (𝑎𝑥+𝑏)
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 = − 𝑏𝑥 + 𝑏2 ln |
𝑥 𝑥
|+𝐶
𝑑𝑥 = 2𝑏2 𝑥 2 + 𝑏3 ln |𝑎𝑥+𝑏| + 𝐶 含有𝑥 2 + 𝑎2 之積分公式
28. ∫ 29. ∫ 30. ∫ 31. ∫
𝑥
1
𝑥 2 +𝑎 2 𝑥2 𝑥 2 +𝑎 2 𝑥3 𝑥 2 +𝑎 2
𝑑𝑥 = 2 ln(𝑥 2 + 𝑎2 ) + C 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 =
1
𝑥(𝑥 2+𝑎 2 )
𝑥2 2
− 1
𝑎2
ln(𝑥 2 + 𝑎2 ) + C
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 2𝑎2 ln (𝑥 2+𝑎2 ) + C
含有𝑎2 − 𝑥 2 之積分公式 32. ∫ 33. ∫ 34. ∫ 35. ∫ 36. ∫ 37. ∫
𝑑𝑥
1
𝑎 2 −𝑥 2 𝑥 𝑎 2 −𝑥 2 𝑥2 𝑎 2 −𝑥 2 𝑥3 𝑎 2 −𝑥 2
𝑥+𝑎
1
𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑎 ln |𝑥−𝑎| + C = 𝑎 𝑡𝑎𝑛h−1 𝑎 + 𝐶 1
𝑑𝑥 = − 2 ln|𝑎2 − 𝑥 2 | + C 𝑎
𝑎+𝑥
𝑑𝑥 = −𝑥 + 2 ln |𝑎−𝑥| + C 𝑑𝑥 = −
1
𝑥2
2 1
+
𝑎2 2
ln|𝑎2 − 𝑥 2 | + C 𝑥2
𝑑𝑥 = 2𝑎2 ln |𝑎2−𝑥 2 | + C 𝑥(𝑎 2 −𝑥 2 ) 1
1
𝑥 2 (𝑎 2−𝑥 2)
1
𝑎+𝑥
𝑑𝑥 = − 𝑎2 𝑥 + 2𝑎3 ln |𝑎−𝑥| + C 含有𝑥 3 + 𝑎3 之積分公式
38. ∫ 39. ∫
1
(𝑥+𝑎)2
1
1
𝑥 3 +𝑎 3
𝑑𝑥 = 6𝑎2 ln 𝑥 2 −𝑎𝑥+𝑎2 + 𝑎2
𝑥 3 +𝑎 3
𝑑𝑥 = 6𝑎 ln
𝑥
1
𝑥 2 −𝑎𝑥+𝑎 2 (𝑥+𝑎)2
+
√3
𝑡𝑎𝑛−1
2𝑥−𝑎
+𝐶
𝑎 √3 1 −1 2𝑥−𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑎 3 + 𝑎 √3 √
𝐶
含有𝑥 4 + 𝑎4 之積分公式 40. ∫ 41. ∫
1
1
𝑑𝑥 = 4𝑎3 𝑥 4 +𝑎 4 𝑥
𝑥 4 +𝑎 4
1
√
𝑥 2+𝑎𝑥 √2+𝑎 2
ln 𝑥 2−𝑎𝑥 2 𝑥2
√2+𝑎 2
1
− 2𝑎3
√2
𝑎𝑥 √2
𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 2 −𝑎2 + 𝐶
𝑑𝑥 = 2𝑎2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎2 + 𝐶 含有√𝑎2 − 𝑥 2 之積分公式
42. ∫
1 √𝑎 2−𝑥 2
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 + 𝐶
43. ∫ 44. ∫ 45. ∫ 46. ∫ 47. ∫
1 √𝑎 2−𝑥 2 𝑥2 √𝑎 2−𝑥 2 𝑥3 √𝑎 2−𝑥 2 1
𝑑𝑥 = −√𝑎2 − 𝑥 2 + C
𝑑𝑥 =
𝑥 2 √𝑎 2 −𝑥 2 𝑥2 √𝑎 2−𝑥 2
𝑥√𝑎 2 −𝑥 2
𝑑𝑥 = −
2
𝑥
𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 + 𝐶
2
3
(𝑎 2 −𝑥 2 )2
− 𝑎2 √𝑎2 − 𝑥 2 + 𝐶
3 √𝑎 2 −𝑥 2
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑥 =
𝑎2
+
𝑎2 𝑥 𝑥 𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 2 𝑥 2
𝑎2
+𝐶 1
− 2 𝑥√𝑎2 − 𝑥 2 + 𝐶
48. ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 √𝑎 − 𝑥 2 + 49. ∫
√𝑎 2−𝑥 2
50. ∫
√𝑎 2−𝑥 2
51. ∫
𝑥 𝑥2 √𝑎 2−𝑥 2 𝑥3
𝑎2
𝑥 𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 + 2 𝑎+√𝑎 2 −𝑥 2
𝑑𝑥 = √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑎 ln | 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛−1 𝑎 −
√𝑎 2 −𝑥 2
𝑑𝑥 = −
1
𝑥
√𝑎 2 −𝑥 2 2𝑥 2
𝑥
𝐶
|+𝐶
𝑥
+𝐶
𝑎+√𝑎 2 −𝑥 2
+ 2𝑎 ln |
𝑥
|+𝐶
含有√𝑥 2 − 𝑎2 之積分公式 52. ∫ 53. ∫ 54. ∫
𝑑𝑥 √𝑥 2−𝑎 2 𝑑𝑥
𝑥
= ln|𝑥 + √𝑥 2 −𝑎2 | + 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠ℎ−1 𝑎 + 𝐶 1
𝑥√𝑥 2 −𝑎 2 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑎 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑎 + 𝐶
𝑥 2 √𝑥 2−𝑎 2
=
√𝑥 2 −𝑎 2 𝑎2 𝑥 𝑥
+𝐶
55. ∫ √𝑥 2 −𝑎2 𝑑𝑥 = 2 √𝑥 2 −𝑎2 − 56. ∫ 57. ∫
√𝑥 2−𝑎 2 𝑥2
𝑑𝑥 √𝑎 2+𝑥 2
60. ∫
ln|𝑥 + √𝑥 2 −𝑎2 | + C √𝑥 2 −𝑎 2 𝑥
+C
= ln(𝑥 + √𝑎2 +𝑥 2 ) + C 𝑥
1 𝑥 2 √𝑎 2 +𝑥 2 √𝑎 2+𝑥 2 𝑥2
2
𝑑𝑥 = ln|𝑥 + √𝑥 2 −𝑎2 | −
58. ∫ √𝑥 2 +𝑎2 𝑑𝑥 = 2 √𝑥 2 +𝑎2 + 59. ∫
𝑎2
𝑑𝑥 = −
√𝑎 2 +𝑥 2 𝑎2 𝑥
𝑎2 2
ln|𝑥 + √𝑥 2 +𝑎2 | + C
+𝐶
𝑑𝑥 = ln|𝑥 + √𝑎2 +𝑥 2 | −
√𝑎 2 +𝑥 2 𝑥
+C
含有𝑒 𝑎𝑥 之積分公式 61. ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
+𝐶 𝑥
62. ∫ 𝑥𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑒 𝑎𝑥 − 𝑎2 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶 = 𝑥
63. ∫ 𝑥𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑒 𝑎𝑥 (𝑥 2 − 1
64. ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑒 𝑛 𝑎𝑥
65. ∫ 𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = (−1) 66. ∫
𝑛!
𝑛 𝑎𝑥
2𝑥
𝑎 𝑛
2
𝑒 𝑎𝑥 𝑎
+ 𝑎2 ) + 𝐶
− 𝑎 ∫ 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑛
𝑒 𝑎𝑥 [ 𝑎 −
𝑛𝑥 𝑛−1 𝑎2
+
𝑛(𝑛−1)𝑥 𝑛−2
] ，𝑛 ≥ 0
𝑎 𝑎+1 1
𝑝+𝑞𝑒 𝑎𝑥
𝑥
1
1
(𝑥 − 𝑎) + 𝐶
𝑑𝑥 = 𝑝 − 𝑎𝑝 ln(𝑝 + 𝑞𝑒 𝑎𝑥 ) + C
𝑎3
− ⋯ + (−1)𝑛−1
𝑛!𝑥 𝑎𝑛
+
𝑒 𝑎𝑥
67. ∫ 𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑎 cos 𝑏𝑥 ) + 𝐶 𝑒 𝑎𝑥
68. ∫ 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 cos 𝑏𝑥 − 𝑏 sin 𝑏𝑥 ) + 𝐶 含有sin α𝑥或 cos α𝑥之積分公式 69. ∫ sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 70. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
cos 𝑎𝑥
𝑎 sin 𝑎𝑥 𝑥
𝑎
+𝐶
+𝐶 1
71. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 2 − 4𝑎 sin 2𝑎𝑥 + 𝐶 𝑥
1
72. ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 2 + 4𝑎 sin 2𝑎𝑥 + 𝐶 1
73. ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑎 𝑐𝑜𝑠 3 𝑎𝑥 − 74. ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
sin 𝑎𝑥
75. ∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
3𝑥
76. ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
8 3𝑥 8
− +
𝑥
cos 𝑎𝑥
1
𝑎 3
+𝐶
− 3𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑥 + 𝐶
sin 2𝑎𝑥
4𝑎 sin 2𝑎𝑥 4𝑎
+ +
sin 4𝑎𝑥
32𝑎 sin 4𝑎𝑥 1
32𝑎
+𝐶 +𝐶
77. ∫ 𝑥 sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑎2 sin 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑥
1
78. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝐶 79. ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 80. ∫ 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 sin 𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑥 sin 𝑥 + 𝐶
含有tan α𝑥或 cot α𝑥之積分公式 1
81. ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ln|sec 𝑎𝑥 | + 𝐶 1
82. ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ln|sin 𝑎𝑥 | + 𝐶 1
83. ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝐶 1
84. ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝐶 1
1
85. ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑎 𝑡𝑎𝑛 2 𝑎𝑥 + 𝑎 ln|cos α𝑥 | + 𝐶 1
1
86. ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 2𝑎 𝑐𝑜𝑡 2 𝑎𝑥 − 𝑎 ln|sin 𝑎𝑥 | + 𝐶 87. ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑡𝑎𝑛 𝑛−1 𝑎𝑥
− ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑛−2 𝑎𝑥𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1
(𝑛−1)𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝑛−1𝑎𝑥
88. ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −
(𝑛−1)𝑎
− ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑛−2 𝑎𝑥𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1
含有sec α𝑥或 csc α𝑥之積分公式 1
1
89. ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 = 2 sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 2 ln|sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝐶 1
1
90. ∫ 𝑐𝑠𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 = − 2 csc 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 2 ln|csc 𝑥 − cot 𝑥 | + 𝐶 1
1
91. ∫ 𝑥 𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 ln 𝑥 − (𝑛+1)2 𝑥 𝑛+1 + 𝐶
92. ∫
1 𝑥 ln 𝑥
𝑑𝑥 = ln|ln 𝑥 | + 𝐶 含有反三角函數之積分公式 1
93. ∫ 𝑠𝑖𝑛−1 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑖𝑛−1 𝑎𝑥 + 𝑎 √1 − 𝑎2 𝑥 2 + 𝐶 1
94. ∫ 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 −1 𝑎𝑥 − 𝑎 √1 − 𝑎2 𝑥 2 + 𝐶 1
95. ∫ 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑡𝑎𝑛 −1 𝑎𝑥 − 2𝑎 ln(1 + 𝑎2 𝑥 2 ) + 𝐶 1
96. ∫ 𝑐𝑜𝑡 −1 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑡 −1 𝑎𝑥 + 2𝑎 ln(1 + 𝑎2 𝑥 2 ) + 𝐶 97. ∫
𝑑𝑥
√𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐
=
1
√𝑎
ln|2𝑎𝑥 + 𝑏 + 2√𝑎√𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝐶 含有雙曲函數之積分公式
1
98. ∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 1
99. ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 100. ∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 101. ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝑎𝑥
𝑥
4𝑎 𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝑎𝑥 4𝑎
𝑥
−2+𝐶 𝑥
+2+𝐶 1
102. ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑥
1
103. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 − 𝑎2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 1
104. ∫ 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ln(𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥) + 𝐶 1
105. ∫ 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ln|𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑎𝑥 | + 𝐶 1
106. ∫ 𝑡𝑎𝑛ℎ2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 1
107. ∫ 𝑐𝑜𝑡ℎ2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑐𝑜𝑡 ℎ 𝑎𝑥 + 𝐶 積分化簡公式 108. ∫ 𝑥 𝑛 sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 109. ∫ 𝑥 cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛
𝑥𝑛
𝑥𝑛 𝑎
𝑎
𝑛
cos 𝑎𝑥 + 𝑎 ∫ 𝑥 𝑛−1 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1 𝑛
sin 𝑎𝑥 − 𝑎 ∫ 𝑥 𝑛−1 sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1
110. ∫ (ln 𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥(ln 𝑥)𝑛 − 𝑛∫ (ln 𝑥)𝑛−1 𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1 1
111. ∫ (sin 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = − 𝑛𝑎 (sin 𝑎𝑥)𝑛−1 cos 𝑎𝑥 + 1
112. ∫ (cos 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛𝑎 (cos 𝑎𝑥)𝑛−1 cos 𝑎𝑥 + 1
𝑛−1
𝑛 𝑛−1 𝑛
∫ (sin 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1
∫ (cos 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥，𝑛 ≠ 1
113. ∫ (𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎(𝑛−1) (𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥)𝑛−1 − ∫ (𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥 1
114. ∫ (𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = − 𝑎(𝑛−1) (𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥)𝑛−1 − ∫ (𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥 115. ∫ (𝑠𝑒𝑐 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 =
(𝑠𝑒𝑐 𝑎𝑥)𝑛−2𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥
116. ∫ (𝑐𝑠𝑐 𝑎𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = −
+
𝑛−2
∫ (𝑠𝑒𝑐 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥
𝑎(𝑛−1) 𝑛−1 (𝑐𝑠𝑐 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑥 𝑛−2 𝑎(𝑛−1)
+ 𝑛−1 ∫ (𝑐𝑠𝑐 𝑎𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥
0𝑚 ≠ 𝑛 𝜋 117. ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = { 𝜋 ，𝑚與𝑛都是整數 0 2𝑚 =𝑛 0𝑚 ≠ 𝑛 𝜋 118. ∫ cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = {𝜋 ，𝑚與𝑛都是整數 0 2𝑚 =𝑛 1 2𝜋 2𝜋 119. ∫ 𝑑𝑥 = √𝑎2 2 ，|𝑏| < |𝑎| 𝑎+𝑏 sin 𝑥 −𝑏 0 1 2𝜋 2𝜋 120. ∫ 𝑑𝑥 = √𝑎2 2 ，|𝑏| < |𝑎| −𝑏 0 𝑎+𝑏 cos 𝑥 1 2𝜋 2𝜋 121. ∫ 𝑑𝑥 = ，0 < 𝑎 < 1 2 1−2𝑎 cos 𝑥+𝑎 1−𝑎 2 0 𝜋 𝜋 122. ∫ 2 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 0 0 1 · 3 · 5 ··· (𝑛 − 1) 𝜋 ，𝑛為偶數，𝑛 ≥ 2 2 · 4 · 6 ··· (𝑛) 2 = 2 · 4 · 6 ··· (𝑛 − 1) ，𝑛為奇數，𝑛 ≥ 3 { 1 · 3 · 5 ··· (𝑛) 𝜋 𝑑𝑥 𝜋 123. ∫ 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑏2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑎𝑏 0
124. ∫ 125. ∫ 126. ∫ 127. ∫ 128. ∫ 129. ∫ 130. ∫ 131. ∫ 132. ∫ 133. ∫
∞ 0
常有定積分公式
𝑒
−𝑥 2
∞ sin 𝑥 0
∞
𝑥 1
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 =
0
𝑥 2 +𝑎 2 ∞ 𝑥 𝑎−1
0
1+𝑥
𝑥3 ∞ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥
0
𝑥4
0
𝜋
𝑑𝑥 = 2𝑎，𝑎 > 0 𝜋
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 =
∞ 𝑒 −𝑝𝑥−𝑒 −𝑝𝑥 ∞
2
𝑑𝑥 = sin 𝑎𝜋，0 < 𝑎 < 1
∞ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 0
√𝜋 2 𝜋
𝑥4
3𝜋 8 𝜋 3
𝑞
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑝 𝑎
0
𝑒 −𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2
0
𝑒 −𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎2 +𝑏2
0
𝑒 −𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 2 √𝑎 𝑒 −4𝑎
∞ ∞
𝑏
1
2
𝜋
𝑏2
交流電波常用積分公式 1
134. ∫ sin (𝜔𝑡 + ϕ) 𝑑𝑡 = − 𝜔 cos (𝜔𝑡 + ϕ) + 𝐶 1
135. ∫ cos (𝜔𝑡 + ϕ) 𝑑𝑡 = 𝜔 sin (𝜔𝑡 + ϕ) + 𝐶 𝑡
1
𝑡
1
136. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + ϕ) 𝑑𝑡 = 2 − 4𝜔 sin 2 (𝜔𝑡 + ϕ) + 𝐶 137. ∫ cos 2 (𝜔𝑡 + ϕ) 𝑑𝑡 = 2 + 4𝜔 sin 2 (𝜔𝑡 + ϕ) + 𝐶 𝑒 𝑎𝑡
138. ∫ 𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + ϕ) 𝑑𝑡 = 𝑎2 +𝜔2 [𝑎 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + ϕ) − 𝜔 cos (𝜔𝑡 + ϕ)] + 𝐶