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Partial Derivatives 第八章 偏導數
前面各章所討論之函數，都是只含有一個自變數(Independent variable)之函數， 例如𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3，𝑔(𝑡) = sin 𝑡 等，這些都稱為單變數函數(Single-variable function)。 本章將討論二個自變數之函數𝑓(𝑥, 𝑦)及三個自變數之函數𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)，這些都 稱為多變數函數(Multivariable function)。
8-1 空間之直角坐標系與向量 (The Rectangular Coordinate System and Vectors in Space) 建立空間之直角坐標系是為了表示空間之點(point)的位置，有了空間之直角 坐標系之後，我們就很方便討論空間之向量。
圖 8.1 如圖 8.1，𝑂為空間某定點，過𝑂作三條互相垂直之直線𝑂𝑥 、𝑂𝑦 、𝑂𝑧 ，此三 直線分別稱為𝑥軸(𝑥-axis)、𝑦軸(𝑦-axis)、及𝑧軸(𝑧-axis)，通稱坐標軸(Coordinate axis)， 三坐標軸之交點稱為原點(origin)。一般是將𝑥軸與𝑦軸放在水平之位置，𝑧軸為鉛 垂之直線，各坐標軸之正方向加個箭頭。由𝑥軸、𝑦軸、𝑧軸及原點所構成之坐標 系稱為直角坐標系(Rectangular coordinate system)。 直角坐標系中之𝑥軸、𝑦軸、𝑧軸，實際上就是以𝑂為原點之三條數線(Number lines)。
圖 8.2 如圖 8.2，設 P 為空間一已知點，過 P 點分別作一個垂質於𝑥軸、𝑦軸及𝑧軸 之平面，其交點分別為 A、B 及 C。若 A、B 及 C 在三個數線(坐標軸)上之坐標 分別為 a、b 及 c，則空間之點 P 與有序的三個數 a、b 及 c 成了一一對應的關係， 我們稱(𝑎, 𝑏, 𝑐)為 P 點之坐標，記為P(𝑎, 𝑏, 𝑐)。 由𝑥軸與𝑦軸所決定之平面稱為𝑥𝑦平面(𝑥𝑦 plane) 由𝑦軸與𝑧軸所決定之平面稱為𝑦𝑧平面(𝑦𝑧 plane) 由𝑥軸與𝑧軸所決定之平面稱為𝑥𝑧平面(𝑥𝑧 plane) 𝑥𝑦平面、𝑦𝑧平面、及𝑥𝑧平面通稱坐標平面(Coordinate plane)。 三個坐標平面將空間分成八部分，每一部分稱為一個掛限(octant)。所有滿 足𝑥 > 0、𝑦 > 0、及𝑧 > 0之點P(𝑥, 𝑦, 𝑧)所成之集合稱為第一卦限(First octant)。 由圖 8.2 可看出，已知空間一點 P，求 P 點之坐標，又可說成過 P 點作直 線垂直於𝑥𝑦平面，其垂足 Q 點，過 Q 點作直線分別垂質於𝑥軸與𝑦軸，則其交點 分別 A 與 B，且限段 OC 與線斷 QP 之長度相等，因此得 P 點坐標為(𝑎, 𝑏, 𝑐)。
例 8.1 描出點A(4,3,5)及點B(2,0,3)。 【解】點A(4,3,5)如下面之左圖，點B(2,0,3)如下面之右圖
已知空間兩點A(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )與B(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )，則由圖 8.3 可看出 𝐶𝐷 = |𝑥2 −𝑥1 |，𝐴𝐶 = |𝑦2 −𝑦1 |，𝐵𝐷 = |𝑧2 −𝑧1 | 𝐴𝐷 = √𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐷2 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 −𝑦1 )2 𝐴𝐵 = √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 −𝑦1 )2 + (𝑧2 −𝑧1 )2 故由 A 至 B 之距離(distance)為 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝐴𝐵 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 −𝑦1 )2 + (𝑧2 −𝑧1 )2
圖 8.3
有了空間直角坐標系的概念之後，接著就可以討論空間之向量。在物理學裡，所 遇到的量有兩種，一種像時間(time)、溫度(temperature)及面積(area)等，可以完 全用數值之大小(magnitude)來表示的，我們稱這類量為數量或純量(scalar)。另一 種像力(force)、速度(velocity)及加速度(acceleration)等需用大小(magnitude)及方向 (direction)才能表是的，我們稱這類量為向量(vector)。 ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其長度(magnitude)為由始點 A 至 以 A 為始點而已 B 為終點之向量記為AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 。 終點 B 之距離，記為AB 向量𝑎常用粗體字(Bold-face)𝒂表示，即𝑎 = 𝒂。 若向量𝑎之長度|𝒂| = 0，則稱𝒂為零向量(Zero vector)。若向量𝒂之長度|𝒂| = 1， 則稱𝒂為單位向量(Unit vector)。 ⃗⃗⃗⃗⃗ 稱為位置向量 若向量之始點為原點 O，終點 P 之座標為(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )，則OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )，而OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 。 (position vector)，寫成OP 在微積分裡，常用符號𝒊、𝒋及𝒌或𝑖、𝑗及𝑘⃗表示 x 軸、y 軸及 z 軸上之單位向 量，即𝒊 = 𝑖 = (1,0,0) 𝒋 = 𝑗 = (0,1,0) 𝒌 = 𝑘⃗ = (0,0,1) 向量𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )可寫成𝒂 = 𝑎1 𝒊 + 𝑎2 𝒋 + 𝑎3 𝒌 向量𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )可寫成𝐛 = 𝑏1 𝒊 + 𝑏2 𝒋 + 𝑏3 𝒌 𝒂 = 𝐛之充要條件為𝑎1 = 𝑏1 ，𝑏1 = 𝑏2 ，𝑎3 = 𝑏3 向量𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) = 𝑎1 𝒊 + 𝑎2 𝒋 + 𝑎3 𝒌與 向量𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) = 𝑏1 𝒊 + 𝑏2 𝒋 + 𝑏3 𝒌之加法(addition)定義成 𝒂 + 𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ) = (𝑎1 + 𝑏1 )𝒊 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝒋 + (𝑎3 + 𝑏3 )𝒌 若 r 為一實數，則 r 與向量𝒂之數乘(Scalar multiplication)定義成為 r𝒂 = (r𝑎1 , r𝑎2 , r𝑎3 ) = r𝑎1 𝒊 + r𝑎2 𝒋 + r𝑎3 𝒌 向量𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )與向量𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )之內積(Inner product)定義成為 𝒂 ∙ 𝐛 = |𝒂||𝐛| cos θ 其中θ為𝒂與𝐛之夾角，0 ≤ θ ≤ π 由餘弦定理可得 𝒂 ∙ 𝐛 = |𝒂||𝐛| cos θ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 設向量𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )與向量𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )之夾角為θ，則 𝒂∙𝐛 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = = |𝒂||𝐛| √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 √𝑏1 2 + 𝑏2 2 + 𝑏3 2 當𝒂與𝐛相垂直(orthogonal)時，𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 故𝒂與𝐛相垂直時𝒂 ∙ 𝐛 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 = 0
例 8.2 設𝒂 = (8,4,1)，𝐛 = (3,4,5)， (a)求𝒂與𝐛之內積(Inner product)
(b)求𝒂與𝐛之夾角。
【解】(a) 𝒂 ∙ 𝐛 = 8 × 3 + 4 × 4 + 1 × 5 = 45 (b) |𝒂| = √82 + 42 + 12 = 9，|𝒃| = √32 + 42 + 52 = √50 𝒂∙𝐛
45
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = |𝒂||𝐛| = 9×√50 =
1 √
π
，故夾角𝜃 = 4 。 2
習題 8－1
1.求 A(2,5,3)與 B(4,6,8)兩點間的距離。 2.若𝒂 = (4,6,2)，𝐛 = (3,5,8)，求𝒂 ∙ 𝐛。 3.若𝒂 = (3,4, −2)，𝐛 = (2, −3,2)，𝒄 = (−2,4,5) (a)問𝒂與𝐛是否垂直? (b)問𝒂與𝐜是否垂直? 4.求𝒂 = (2,0,2)，𝐛 = (3,3,0)之夾角。
8-2 空間之直線與平面及曲面 (Lines and Planes and Surfaces in Space) 在平面直角座標系中，直線之方程式為𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0，𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0。 下面將應用空間二向量平行之性質討論空間之直線的方程式，也就是說： 二向量𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )與𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )相平行(parallel)之充分且必要條件 (Necessary and sufficient condition)為：存在一非零之實數 t，使得 𝑏1 = t𝑎1 ，𝑏2 = t𝑎2 ，𝑏3 = t𝑎3
圖 8.4 如圖 8.4，設空間一直線 L 通過點𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )且與向量𝐀 = 𝑎𝒊 + 𝑏𝒋 + c𝒌相 平行，若𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)為在 L 上異於𝑃0 之任意一點，則向量(𝑥 − 𝑥0 )𝒊 + (𝑦 − 𝑦0 )𝒋 + (𝑧 − 𝑧0 )𝒌 與 A 相平行，故存在一實數 t 使得 (𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑡𝑎，(𝑦 − 𝑦0 ) = 𝑡𝑏，(𝑧 − 𝑧0 ) = 𝑡𝑐 當𝑎𝑏𝑐 ≠ 0時，則得直線 L 方程式為 𝑥−𝑥0 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧 = 𝑏0= 𝑐0 𝑎 當𝑎、𝑏 及 𝑐 中有一個為 0，例如𝑏 = 0，則𝑦 = 𝑦0 ，直線 L 之方程式為 𝑥−𝑥0 𝑎
=
𝑧−𝑧0 𝑐
，𝑦 = 𝑦0 。
例 8.3 下列直線之方程式： (a) 求過點P(1,3, −2)且與向量a = 6𝒊 + 2𝒋 + 3𝒌平行之直線 L (b) 過P(2,4,3)與Q(5,8,9)兩點之直線 M。 【解】(a) 直線 L 之方程式為 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝒊 + 4𝒋 + 6𝒌 (b)PQ
𝑥−1 6
=
𝑦−3 2
=
𝑧+2 3
⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝒊 + 4𝒋 + 6𝒌 因直線 M 過點P(2,4,3)且平行於PQ 故直線 M 之方程式為
𝑥−2 3
=
𝑦−4 4
=
𝑧−3 6
設 E 表示空間之一平面，𝐧 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)為垂直於平面 E 之非零向量，則稱𝐧為 E 之法向量(Normal vector)。
圖 8.5 如圖 8.5，在直角座標系中，已知𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )為平面 E 上一點，𝐧 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 為 E 之一個法向量，𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)為 E 上易於𝑃0 之任意點，則 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃0 = (𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 垂直於𝐧，故𝑃𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 ∙ 𝐧 = 0，即 因𝑃𝑃 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0
♡定理 8.1：平面方程式(Equation of a plane) 設平面 E 過點𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )，且其法線平行於向量𝐀 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)，則平面 E 方 程式為𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0。 平面方程式𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 上是可寫成𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0，其中𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0，𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 ≠ 0稱平面之一般式。
例 8.4 若平面 E 過點(2, −4,8)，且其法線平行於向量5𝒊 + 7𝒋 + 3𝒌，求 E 之方程式。 【解】平面 E 之方程式為5(𝑥 − 2) + 7(𝑦 + 4) + 3(𝑧 − 8) = 0
♡定理 8.2：點至平面之距離(Distance between point and plane) 由點𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )至平面𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0之距離為 D=
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑 | √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2
。
【證】設𝑃在平面上之垂足為(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 則𝑥1 − 𝑥0 = 𝑎𝑡，𝑦1 − 𝑦0 = 𝑏𝑡，𝑧1 − 𝑧0 = 𝑐𝑡 D2 = (𝑥1 − 𝑥0 )2 + (𝑦1 − 𝑦0 )2 + (𝑧1 − 𝑧0 )2 = (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 ) 𝑡 2 𝑥1 = 𝑥0 + 𝑎𝑡，𝑦1 = 𝑦0 + 𝑏𝑡，𝑧1 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 由𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑 = 0 得𝑎(𝑥0 + 𝑎𝑡) + 𝑏(𝑦0 + 𝑏𝑡) + 𝑐(𝑧0 + 𝑐𝑡) + d = 0 (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 )𝑡 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑) −(𝑎𝑥0+𝑏𝑦0 +𝑐𝑧0 +𝑑) 𝑡= 𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2 2 D = (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 ) 𝑡 2 = (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 ) =
(𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐𝑧0
故D =
(𝑎𝑥0+𝑏𝑦0 +𝑐𝑧0+𝑑)2
+𝑑)2
(𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2 )2
𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2 |𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐𝑧0 +𝑑| √𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2
。
例 8.5 求由點(3,1,5)至平面12𝑥 + 3 + 4 − 26 = 0之距離。 【解】D = = =
|𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐𝑧0 +𝑑|
√𝑎 2 +𝑏2 +𝑐 2 |12×13+3×1+4×5−26| 33 √169
√122 +32 +42 33
= 13。
函數𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)及隱函數𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0在空間之圖形是一個曲面(surface)。 例如 (1) 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 之圖形是一個圓拋物面(Circular paraboloid)，其圖形如下
(2) 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 之圖形是一個圓錐面(Circular cone)，其圖形如下
(3) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 之圖形是一個球面(sphere)，其圖形如下
(4) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 之圖形是一個圓柱面(Circular cylinder)，其圖形如下
習題 8-2 1.
求過點P(2,5, −3)且與向量a = 4𝑖 + 2𝑗 + 6𝑘平行之直線方程式。
2.
若平面 E 過點(3,6,5)，且其法線平行於向量4𝒊 + 2𝒋 + 6𝒌，求 E 之方程式。
3.
求以(3,1,4)為球心，半徑等於 3 之求的方程式。
4.
試描出𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 之圖形。
8-3 極限與連續(Limits and Continuity) 定義 8.1：函數之極限 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿對於任意給定正數ε，都可以找到一正數δ，當
0 < √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < δ 時，恆可使|𝑓 (𝑥, 𝑦) − 𝐿| < ε 成立。 lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿之幾何意義為：
在不含圓心(𝑎, 𝑏)之圓形區域0 < (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < δ2 上這部分曲面𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，必落在兩個互相平行之平面 𝑧 = 𝐿 − ε 及𝑧 = 𝐿 + ε 之間。 例 8.6 𝑥 2𝑦
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 若𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥 2+𝑦 2 求 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦)。 ( ) 0, 𝑥, 𝑦 = (0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 【解】令ε為任意給定之正數 𝑥𝑦平面上之點可表示成𝑥 = 𝑟 cos 𝜃，𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 0 < (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < δ2 ，相當於0 < 𝑟 2 < δ2 取δ = ε，則當0 < (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < δ2 時 即𝑟 2 < ε2 ，𝑟 < ε時 |𝑓 (𝑥, 𝑦) − 0| = | (𝑟 cos 𝜃)2 (𝑟 sin
=| 故
𝑥 2+𝑦 2 𝜃)
𝑟2
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥 2𝑦
|
| = |𝑟cos 2 𝜃sin 𝜃| ≤ 𝑟 < 𝜀
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0。
例 8.7 𝑥𝑦
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 若𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥 2+𝑦 2 問 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦)是否存在？ 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 【解】如果(𝑥, 𝑦)沿著直線𝑦 = 𝑚𝑥，𝑚 ≠ 0，趨近於(0,0)，則 𝑥 → 0，𝑦 → 0時 𝑥𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 2 = 𝑚𝑥 2
𝑥 +𝑦
𝑥∙𝑚𝑥 𝑥 2+𝑚 2 𝑥 2
𝑚
= (1+𝑚)2𝑥 2 = 1+𝑚2 其值是隨著直線之斜率𝑚而改變，故
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦)不存在。
定義 8.2：函數之連續 函數𝑓 (𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處連續
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)。
例 8.8 𝑥 2𝑦
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 若𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥 2+𝑦 2 問 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦)處是否連續？ ( ) 0, 𝑥, 𝑦 = (0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 【解】前面已證明
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0
又因𝑓 (0,0) = 0 故𝑓(𝑥, 𝑦)在(0,0)處連續。
習題 8-3 𝑥𝑦 2
1.
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 若𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 2+𝑦 2 ，求 lim 𝑓(𝑥, 𝑦)。 (𝑥,𝑦)→(0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0)
2.
試證
3.
問𝑓(𝑥, 𝑦) = {
lim
𝑥𝑦+𝑦 4
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2 sin 𝑥𝑦 𝑥𝑦
不存在。
, 𝑥𝑦 ≠ (0,0) 在點(0,0)處是否連續？ 0, 𝑥𝑦 = (0,0)
8-4 偏導數(Partial Derivatives) 定義 8.3：二變數函數之偏導數(Partial Derivatives) ∂
𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦)+𝑓(𝑥,𝑦)
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = ∂𝑥 𝑓 (𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥 𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥→0
∂
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = ∂𝑦 𝑓 (𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
∆𝑦
。
註：𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) 讀作𝑓 (𝑥, 𝑦)對𝑥的偏導數(The partial derivatives of 𝑓(𝑥, 𝑦) with respect to 𝑥) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) 讀作𝑓 (𝑥, 𝑦)對𝑦的偏導數(The partial derivatives of 𝑓(𝑥, 𝑦) with respect to 𝑦) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) 表示將𝑓 (𝑥, 𝑦)中之𝑦看成常數，就𝑥求常導數 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) 表示將𝑓 (𝑥, 𝑦)中之𝑥看成常數，就𝑦求常導數
定義 8.4：三變數函數之偏導數(Partial Derivatives) ∂
𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∂𝑥 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim ∂
∆𝑥→0
𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∂𝑦 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑦→0
∂
𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∂𝑦 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
𝐹(𝑥+∆𝑥,𝑦,𝑧)+𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) ∆𝑥 𝐹(𝑥,𝑦+∆𝑦,𝑧)+𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) ∆𝑦 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧)+𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑦→0
∆𝑧
。
。
註：𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 讀作𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)對𝑥的偏導數 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 讀作𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)對𝑦的偏導數 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 讀作𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)對𝑧的偏導數 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 表示將𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)中之𝑦，𝑧看成常數，就𝑥求常導數 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 表示將𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)中之𝑥，𝑧看成常數，就𝑦求常導數 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 表示將𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)中之𝑥，𝑦看成常數，就𝑧求常導數 例 8.9 𝜕𝑓
𝜕𝑓
若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥 + 3𝑦 + 8，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦。 𝜕𝑓
【解】𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2𝑥 + 2 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑦 + 3。
例 8.10 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
若𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥𝑦𝑧，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦 ， 𝜕𝑧 。 𝜕𝑓
【解】𝜕𝑥 = 2𝑥 − 3𝑦𝑧 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧
= 2𝑦 − 3𝑥𝑧 = 2𝑧 − 3𝑥𝑦。
例 8.11 𝜕𝑧
𝜕𝑧
若𝑥 > 0，𝑧 = 𝑥 𝑥𝑦 ，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦 。 【解】𝑙𝑛 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 𝑙𝑛 𝑥 1 𝜕𝑧
1
= (𝑥𝑦) 𝑥 + 𝑦 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 + 𝑦 𝑙𝑛 𝑥
𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧
故𝜕𝑥 = 𝑧(𝑦 + 𝑦 𝑙𝑛 𝑥 ) = 𝑥 𝑥𝑦 (𝑦 + 𝑦 𝑙𝑛 𝑥 ) 1 𝜕𝑧
= 𝑥 𝑙𝑛 𝑥
𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧
故𝜕𝑦 = 𝑥 𝑥𝑦 (𝑥 𝑙𝑛 𝑥 ) = 𝑥 𝑥𝑦+1 (𝑙𝑛 𝑥)。 在單變數函數𝑦 = 𝑓(𝑥)裡，導數(derivative)𝑓 ′ (𝑎)表示曲線𝑦 = 𝑓(𝑥)在點 (𝑎, 𝑓’(𝑎))處之切線(Tangent)的斜率(slope)。下面將說明二變數函數𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)之 偏導數(Partial derivatives)之幾何意義。 函數𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)之圖形為一曲面(surface)，𝑦 = 𝑏之圖形為垂直於𝑦軸之平面 (plane)，𝑥 = 𝑎之圖形為垂直於𝑥軸之平面。 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) }表示曲面(surface) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)與平面(plane) 𝑦 = 𝑏所交成 方程組{ 𝑦=𝑏 之曲線(curve)C1 ，如圖 8.6 之左圖所示：
圖 8.6
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)}表示曲面𝑧 方程組{ = 𝑓(𝑥, 𝑦)與平面𝑥 = 𝑎所交成之曲線C2，如圖 𝑥=𝑎 8.6 之右圖所示：
圖 8.7 如圖 8.7 之左圖，函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處對𝑥之偏導數 𝑓 (𝑎 + ∆𝑥, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = lim ∆𝑦→0 ∆𝑥 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) }在點(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏))處之切線T1 的斜率。 表示曲線C1 ： { 𝑦=𝑏 切線T1 之方程式為𝑧 − 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)，𝑦 = 𝑏。 如圖 8.7 之右圖，函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處對𝑦之偏導數 𝑓 (𝑎, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = lim ∆𝑦→0 ∆𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) }在點(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏))處之切線T2 的斜率。 表示曲線C2 ： { 𝑥=𝑎 切線T2 之方程式為𝑧 − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)，𝑥 = 𝑎。 例 8.12 求曲線𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ，𝑦 = 1，在點(2,1,5)處之切線的斜率。 𝜕𝑧
【解】切線之斜率為𝜕𝑥|
(2,1,5)
= 2𝑥 |(2,1,5) = 4
定義 8.5：全微分(Total
differential)
𝑑𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦，稱為𝑓(𝑥, 𝑦)之全微分。 𝑑𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 稱為𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)之全微分。 例 8.13 求𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥 3 − 𝑦 3 之全微分(Total differential)。 𝜕𝑧
【解】𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 3𝑥 2 𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 3𝑦 2 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = (𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 3𝑥 2 )𝑑𝑥 + (−𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 3𝑦 2 )𝑑𝑦
定義 8.6：二變數函數之可導(可微)( differentiable) 函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處可導 𝑓 (𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 + ε1 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑥 + ε2 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑦 且
lim
(∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
ε1 (∆𝑥, ∆𝑦) = 0，
lim
(∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
ε2 (∆𝑥, ∆𝑦) = 0。
定義 8.7：三變數函數之可導(可微)( differentiable) 函數𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐)處可導 𝐹(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦, 𝑐 + ∆𝑧) − 𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐 ) = 𝐹𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )∆𝑥 + 𝐹𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )∆𝑦 + 𝐹𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )∆𝑧 +ε1 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧)∆𝑥 + ε2 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧)∆𝑦 + ε3 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧)∆𝑧 且 lim ε1 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) = 0， (∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧)→(0,0,0)
lim
ε2 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) = 0
lim
ε3 (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) = 0。
(∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧)→(0,0,0) (∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧)→(0,0,0)
例 8.14 試證𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 在𝑥𝑦平面上所有點都可導。 【證】令(𝑎, 𝑏)為𝑥𝑦平面上之任意一點 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 2𝑥 |(𝑎,𝑏) = 2𝑎 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = 2𝑦|(𝑎,𝑏) = 2b 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 2𝑎∆𝑥 + 2𝑏∆𝑦 + ∆𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑦 ∙ ∆𝑦 = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 + ε1 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑥 + ε2 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑦 其中ε1 (∆𝑥, ∆𝑦) = ∆𝑥，ε2 (∆𝑥, ∆𝑦) = ∆𝑦 lim ε1 (∆𝑥, ∆𝑦) = lim ∆𝑥 = 0 (∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
lim
(∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
ε2 (∆𝑥, ∆𝑦) =
(∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
lim
(∆𝑥,∆𝑦)→(0,0)
∆𝑦 = 0
故𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處可導，因(𝑎, 𝑏)為𝑥𝑦平面上之任意點，故𝑓(𝑥, 𝑦)在𝑥𝑦 平面上之所有點都可導。
♡定理 8.3：線性近似 𝑓 (𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) ≈ 𝑓 (𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 例 8.15 應用全微分求√3.012 + 4.022 之近似值。 【解】令𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 ，𝑥1 = 3，𝑦1 = 4， ∆𝑥 = 0.01，∆𝑦 = 0.02，則 √3.012 + 4.022 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥, 𝑦1 + ∆𝑦) ≈ 𝑓(𝑥1 , 𝑦1 ) + 𝑓𝑥 (𝑥1 , 𝑦1 )∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥1 , 𝑦1 )∆𝑦 𝑥 𝑦 | | = √32 + 42 + ∙ (0.01) + ∙ (0.02) √𝑥 2 + 𝑦 2 (3,4) √𝑥 2 + 𝑦 2 (3,4) = 5 + 0.006 + 0.016 = 5.022。
定義 8.8：高階偏導數 函數𝑓(𝑥, 𝑦)之二階偏導數定義如下 𝜕2𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝜕2𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝑓𝑥𝑥 = 𝜕𝑥 2 = 𝜕𝑥 (𝜕𝑥) ，𝑓𝑦𝑦 = 𝜕𝑦 2 = 𝜕𝑦 (𝜕𝑦) 𝜕2𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝜕2𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝑓𝑦𝑥 = 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕𝑥 (𝜕𝑦) ，𝑓𝑥𝑦 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 (𝜕𝑥) 。
例 8.16 𝜕 2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦，求二階偏導數𝜕𝑥 2 ， 𝜕𝑦 2 ， 𝜕𝑥𝜕𝑦 ， 𝜕𝑦𝜕𝑥。 𝜕𝑓
𝜕𝑓
【解】𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦，𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑦 + 2𝑥 𝜕2𝑓
𝜕𝑥 2 𝜕 2𝑓 𝜕𝑦 2 𝜕2𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑓
= 𝜕𝑥 (𝜕𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2 = 𝜕𝑦 (𝜕𝑦) = −𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 2 𝜕
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑓
= 𝜕𝑥 (𝜕𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 𝜕𝑦 (𝜕𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2。
♡定理 8.4： 若𝑓(𝑥, 𝑦)，𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)，𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)，𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦)，𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處連續，則 𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑎, 𝑏)。 已知𝑓(𝑥)之導數𝑓′(𝑥)，則𝑓 (𝑥) = ∫ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥。 例如𝑓 ′ (𝑥 ) = cos 𝑥 + 2𝑥 則𝑓 (𝑥 ) = ∫ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(cos 𝑥 + 2𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥 2 + 𝐶。 𝜕𝑓
𝜕𝑓
以下將討論已知𝜕𝑥與𝜕𝑦時，如何求𝑓(𝑥, 𝑦)。 𝜕𝑓
𝜕𝑓
已知𝑓(𝑥, 𝑦)時，將𝑦看成常數就𝑥求導得𝜕𝑥，而將𝑥看成常數就𝑦求導得𝜕𝑦。 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
因此已知 時，可將 中之𝑦看成常數就𝑥積分而得𝑓(𝑥, 𝑦)。已知 時，可將 中 之𝑥看成常數就𝑦積分而得𝑓(𝑥, 𝑦)。 例 8.17 𝜕𝑓
𝜕𝑓
若𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2𝑥， 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑦，求𝑓(𝑥, 𝑦)。 𝜕𝑓
【解】由𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 2𝑥，得𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 + 𝑘(𝑦) 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑘 ′ (𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑦
𝑘 ′ (𝑦) = −2𝑦，𝑘 (𝑦) = −𝑦 2 + 𝐶 故得𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝐶，𝐶為任意常數
習題 8－4 𝜕𝑧
𝜕𝑧
1.
若𝑧 = 𝑥 3 𝑦 5 + 𝑥 2 + 𝑦 3 − 6𝑥 + 8y + 5，求𝜕𝑥，𝜕𝑦。
2.
若𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥，求𝑓𝑥 (3,2)與𝑓𝑦 (3,2)。
3.
設𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 sin 𝑥，求𝑓𝑥 (0,1)與𝑓𝑦 (0,1)。
𝑦
𝑥𝑦
, 當 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
𝑥 2 +𝑦 2
4.
若𝑓(𝑥, 𝑦) = {
5.
𝑥𝑦 2 2 , 當 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 若𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 +𝑦 ，試求當 𝑓𝑥𝑦 (0,0)及𝑓𝑦𝑥 (0,0)。 ( ) 0, 當 𝑥, 𝑦 = (0,0)
6.
試求√2.992 + 4.012之近似值。
7.
若𝑧 = 𝑥 + 𝑦，試證𝑥 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕𝑦 = 0。
8.
若𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦，試求𝑓(𝑥, 𝑦)之二階偏導數。
9.
若
0, 當 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
，試求當 𝑓𝑥 (0,0)與𝑓𝑦 (0,0)。
𝑥 2+𝑦 2
𝑦
𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑥−𝑦
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 3𝑥 2 − 2𝑦，
𝜕𝑦
𝜕𝑓
= −2𝑥 + 2𝑦，求𝑓(𝑥, 𝑦)。
𝜕𝑓
10. 若𝜕𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ，𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦，且𝑓 (0,0) = 1，試求𝑓 (𝑥, 𝑦)。 y
𝜕𝑓
𝜕𝑓
11. 若𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 ln|cos 𝑢| 𝑑𝑢，求𝜕𝑥，𝜕𝑦。
8-5 連鎖律(Chain Rules) 已知一函數𝑓 (𝑥, 𝑦)，若將𝑦看成常數就𝑥求導，即得𝑓(𝑥, 𝑦)對𝑥的偏導數𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)， 若將𝑥 看成常數就𝑦求導，則得𝑓(𝑥, 𝑦)對𝑦的偏導數𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)。 本節將討論下列幾個問題： 𝜕𝑧
𝜕𝑧
1.
若𝑧 = 𝑓(𝑢)，𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)，則𝑧為𝑥與𝑦之函數，如何求𝜕𝑥 與 𝜕𝑦？
2.
若𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑔 (𝑡)，𝑦 = h(𝑡)，則𝑧為𝑡之函數，如何求 𝑑𝑡 ？
3.
若𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑔 (𝑟, 𝑠)，𝑦 = h(𝑟, 𝑠)，則𝑧為𝑟與𝑠之函數，如何求𝜕𝑟 與 𝜕𝑠 ？
𝑑𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
在第二章裡已經學過連鎖律(Chain Rules)： 若𝑦 = 𝑓(𝑢)，𝑢 = 𝑔(𝑥 )，且𝑦對𝑢是可導，𝑢對𝑥是可導，則𝑦對𝑥是可導，且滿足 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 此連鎖律可推廣至下面偏導數之連鎖律。
♡定理 8.5：連鎖律 𝑑𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑢
設𝑧 = 𝑓(𝑢)，𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)，𝑑𝑢，𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦都存在，則 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝑢 = ， = 。 𝜕𝑥 𝑑𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑦 【證】在𝑧 = 𝑓 (𝑢)，𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)中 首先將𝑦看成常數，則𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)可看成𝑥之函數，因此𝑧可看成𝑥之函數 𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝜕𝑢
𝑑𝑢
可看成𝑑𝑥 ， 𝜕𝑥 可看成𝑑𝑥 𝜕𝑥
應用第二章之連鎖律，得 同理，將𝑥看成常數，則得
𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 =
𝑑𝑧 𝜕𝑢
𝑑𝑢 𝜕𝑦
。
例 8.18 𝜕𝑧
𝜕𝑧
若𝑧 = (𝑥 3 + 𝑦 4 )2 ，試用兩種方法求𝜕𝑥，𝜕𝑦。 【解 1】𝑧 = (𝑥 3 + 𝑦 4 )2 = 𝑥 6 +2𝑥 3 𝑦 4 + 𝑦 8 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧
= 6𝑥 5 + 6𝑥 2 𝑦 4 ，𝜕𝑦 = 8𝑥 3 𝑦 3 + 8𝑦 7
【解 2】令𝑢 = 𝑥 3 + 𝑦 4 ，則𝑧 = 𝑢2 𝜕𝑧
𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = 2𝑢(3𝑥 2 ) = 6𝑥 2 (𝑥 3 + 𝑦 4 ) = 6𝑥 5 + 6𝑥 2 𝑦 4 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝑢 = 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑥
= 2𝑢(4𝑦 3 ) = 8𝑦 3 (𝑥 3 + 𝑦 4 ) = 8𝑥 3 𝑦 3 + 8𝑦 7
例 8.19 𝜕𝑧
𝜕𝑧
若𝑧 = sin 𝑥 2 𝑦 3 ，求𝜕𝑥，𝜕𝑦。 【解】令𝑢 = 𝑥 2 𝑦 3 ，則𝑧 = sin 𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧
𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = (cos 𝑢)2𝑥𝑦 3 = 2𝑥𝑦 3 cos 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑦 = (cos 𝑢)3𝑥 2 𝑦 2 = 3𝑥 2 𝑦 2 cos 𝑥 2 𝑦 3 。 𝜕𝑦 例 8.20 𝜕𝑧
𝜕𝑧
若𝑧 = ln √𝑥 2 + 𝑦 2 ，求𝜕𝑥，𝜕𝑦。 1
【解】𝑧 = ln √𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 1
令𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ，則𝑧 = 2 ln 𝑢 𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝑑𝑧 𝜕𝑢
11
𝑥
𝑑𝑧 𝜕𝑢
11
𝑦
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = 2 𝑢 (2𝑥) = 𝑥 2 +𝑦 2 = 𝑑𝑢 𝜕𝑦 = 2 𝑢 (2𝑦) = 𝑥 2 +𝑦 2。
例 8.21 1
若𝑧 = e−2(𝑥
2+𝑦 2)
𝜕𝑧
𝜕𝑧
，求𝜕𝑥，𝜕𝑦。
1
【解】令𝑢 = − 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )，則𝑧 = 𝑒 𝑢 𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑧
1
𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑢 (−𝑥) = −𝑥𝑒 −2(𝑥 𝑑𝑧 𝜕𝑢
1
= 𝑑𝑢 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑢 (−𝑦) = −𝑦𝑒 −2(𝑥 𝜕𝑦
2 +𝑦 2 )
2+𝑦 2 )
。
♡定理 8.6：連鎖律(Chain Rule) 設𝑓 (𝑥, 𝑦)為𝑥, 𝑦之可導函數， 𝑥 = 𝑥(𝑡) ，𝑦 = 𝑦(𝑡)為𝑡之可導函數，則 𝑑𝑓 𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑓𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡 + 𝑓𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡 。
【證】令∆𝑥 = 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡) ∆𝑦 = 𝑦(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡) 因𝑥(𝑡)與𝑦(𝑡)為可導，故必連續 lim ∆𝑥 = lim [𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡)] = 0 ∆t→0
∆t→0
∆t→0
∆t→0
lim ∆𝑦 = lim [𝑦(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡)] = 0
因𝑓(𝑥, 𝑦)為可導，故 𝑓(𝑥 (𝑡 + ∆𝑡), 𝑦(𝑡 + ∆𝑡)) − 𝑓(𝑥 (𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑓𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))∆𝑦 + 𝜀1 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑥 + 𝜀2 (∆𝑥, ∆𝑦)∆𝑦 = [𝑓𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝜀1 (∆𝑥, ∆𝑦)]∆𝑥 + [𝑓𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝜀2 (∆𝑥, ∆𝑦)]∆𝑦，且 lim 𝜀1 (∆𝑥, ∆𝑦) = 0， lim 𝜀2 (∆𝑥, ∆𝑦) (∆𝑥,∆𝑦)→(0,0) (∆𝑥,∆𝑦)→(0,0) 𝑓(𝑥(𝑡+∆𝑡),𝑦(𝑡+∆𝑡))−𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)) 𝑑𝑓 𝑑𝑡
= lim
∆t
∆t→0
= lim [𝑓𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝜀1 (∆𝑥, ∆𝑦)] lim
∆𝑥
∆t→0 ∆t ∆𝑦
∆t→0
+
lim [𝑓𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝜀2 (∆𝑥, ∆𝑦)] lim
∆t→0
∆t→0 ∆t 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡 + 𝑓𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡 。
♡定理 8.7：連鎖律(Chain Rule) 𝑑𝑦
若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0，則
𝑑𝑥
𝜕𝑓
= − 𝜕𝑥 𝜕𝑓 。 𝜕𝑦
【證】因𝑓(𝑥, 𝑦) = 0，可令𝑥 = 𝑥，𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑑
𝜕𝑓 𝑑𝑥
𝜕𝑓 𝑑𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝑑𝑦
𝑑
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑥 = 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 (0) = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥 故得𝑑𝑥 = − 𝜕𝑓 。 𝜕𝑦
=0
例 8.22 𝑑𝑦
若𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑥 2 + 2𝑦 3 + 5𝑥 + 8𝑦 + 3 = 0，求𝑑𝑥 。 【解】令𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑥 2 + 2𝑦 3 + 5𝑥 + 8𝑦 + 3 則𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝜕𝑓
−(𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦−2𝑥𝑦 3+6𝑥+5)
𝜕𝑥 = − 𝜕𝑓 =
𝑒 𝑥 cos 𝑦−3𝑥 2 𝑦 2+6𝑦 2 +8
𝜕𝑦
♡定理 8.8：連鎖律(Chain Rule) 若𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑔(𝑟, 𝑠)，𝑦 = h(𝑟, 𝑠)，則 𝜕𝑧 𝜕𝑟
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
= 𝜕𝑥 𝜕𝑟 + 𝜕𝑦 𝜕𝑟 ， 𝜕𝑠 = 𝜕𝑥 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 𝜕𝑠 。
【證】在𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑔(𝑟, 𝑠)，𝑦 = h(𝑟, 𝑠)中，將𝑠看成常數則由定理 8.6 得 𝜕𝑧 𝜕𝑟
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
= 𝜕𝑥 𝜕𝑟 + 𝜕𝑦 𝜕𝑟
在𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑔(𝑟, 𝑠)，𝑦 = ℎ(𝑟, 𝑠)中，將𝑟看成常數則由定理 8.6 得 𝜕𝑧 𝜕𝑠
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
= 𝜕𝑥 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 𝜕𝑠
例 8.23 𝜕𝑓
𝜕𝑓
若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 ，𝑥 = 𝑟 2 + 𝑠 2 ，𝑦 = 5𝑟𝑠，求𝜕𝑟 與 𝜕𝑠 。 𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
【解】𝜕𝑟 = 𝜕𝑥 𝜕𝑟 + 𝜕𝑦 𝜕𝑟 = (2𝑥 + 2𝑦)(2𝑟) + (2𝑥 + 6𝑦)(5𝑠)
= [2(𝑟 2 + 𝑠 2 ) + 2(5𝑟𝑠)](2𝑠) + [2(𝑟 2 + 𝑠 2 ) + 6(5𝑟𝑠)](5𝑟) = 4𝑟 3 + 30𝑟 2 𝑠 + 154𝑟𝑠 2 + 10𝑠 3 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕𝑥 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 𝜕𝑠 = (2𝑥 + 2𝑦)(2𝑠) + (2𝑥 + 6𝑦)(5𝑟) 𝜕𝑠 = [2(𝑟 2 + 𝑠 2 ) + 2(5𝑟𝑠)](2𝑠) + [2(𝑟 2 + 𝑠 2 ) + 6(5𝑟𝑠)](5𝑟) = 154𝑟 2 𝑠 + 30𝑟𝑠 2 + 10𝑟 3 + 4𝑠 3
例 8.24 若𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦, 𝑦 − 𝑥)，試證𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 = 0。 【證】令𝑢 = 𝑥 − 𝑦，𝑣 = 𝑦 − 𝑥，則 𝜕𝑓 𝜕𝑢
𝜕𝑓 𝜕𝑣
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝑢
𝜕𝑓 𝜕𝑣
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝐹𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢 (1) + 𝜕𝑣 (−1) = 𝜕𝑢 − 𝜕𝑣 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝐹𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕𝑢 (−1) + 𝜕𝑣 (1) = − 𝜕𝑢 + 𝜕𝑣 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
故𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 = 𝜕𝑢 − 𝜕𝑣 − 𝜕𝑢 + 𝜕𝑣 = 0。
♡定理 8.9：連鎖律(Chain Rule) 若𝑤 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)，𝑥 = 𝑔(𝑟, 𝑠)，𝑦 = ℎ(𝑟, 𝑠)，𝑧 = 𝑘(𝑟, 𝑠)，則 𝜕𝑤 𝜕𝑟
=
𝜕𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑦
+ 𝜕𝑦 𝜕𝑟 + 𝜕𝑥 𝜕𝑟
𝜕𝑤 𝜕𝑧
𝜕𝑤
， 𝜕𝑠 = 𝜕𝑧 𝜕𝑟
𝜕𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑦
+ 𝜕𝑦 𝜕𝑠 + 𝜕𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑠
。
♡定理 8.10：連鎖律(Chain Rule) 若𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0，則
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧
=−
𝜕𝑧
， 𝜕𝑦 = −
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧
。
【證】因𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0，可令𝑥 = 𝑥，𝑦 = 𝑦，𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 由連鎖律知 𝜕 𝜕𝑥
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝐹
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
+
𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
+
𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕
=
𝜕𝑥
(0) = 0
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑥 故𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0，故得𝜕𝑥 = − 𝜕𝐹
𝜕
𝜕𝐹 𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝐹 𝜕𝑦
𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝜕𝑦 (0) = 0 𝜕𝑦 𝜕𝐹
𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝑧
故𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0，故得𝜕𝑦 = −
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧
。
例 8.25 𝜕𝑧
𝜕𝑧
若𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑧 3 + 4𝑥𝑦𝑧 = 0，求𝜕𝑥 與 𝜕𝑦 。 【解】令𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑧 3 + 4𝑥𝑦𝑧，則𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝜕𝑧 𝜕𝑥
=−
𝜕𝑧
=− 𝜕𝑦
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧
=− =−
𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦+4𝑦𝑧 3𝑧 2 +4𝑥𝑦 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦+4𝑥𝑧 3𝑧 2+4𝑥𝑦
。
例 8.26 𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
若𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0，且𝜕𝑥 ≠ 0，𝜕𝑦 ≠ 0， 𝜕𝑧 ≠ 0，則(𝜕𝑥) (𝜕𝑦) ( 𝜕𝑧 ) = −1。 𝜕𝑧
【證】𝜕𝑥 = − 𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝑥
，𝜕𝑦 = − 𝜕𝑦
(𝜕𝑥) (𝜕𝑦) ( 𝜕𝑧 ) = (−
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝑦
， 𝜕𝑧 = − ) (−
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑥
𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝐹 𝜕𝑦
，
) (−
𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝐹 𝜕𝑦
) = −1。
例 8.27 𝜕𝑧 2
𝜕𝑧 2
𝜕𝑧 2
1
𝜕𝑧 2
若𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)，𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃，𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃，試證(𝜕𝑥) + (𝜕𝑦) = (𝜕𝑟) + 𝑟 2 (𝜕𝜃) 。 【證】由連鎖律知 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= 𝜕𝑥 𝜕𝑟 + 𝜕𝑦 𝜕𝑟 = 𝜕𝑥 cos 𝜃 + 𝜕𝑦 sin 𝜃 𝜕𝑧
= 𝜕𝑥 𝜕𝜃 + 𝜕𝑦 𝜕𝜃 = 𝜕𝑥 (−𝑟 sin 𝜃) + 𝜕𝑦 𝑟 cos 𝜃
𝜕𝜃 1 𝜕𝑧
=−
𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 2
𝜕𝑧
𝜕𝑧
sin 𝜃 +
𝜕𝑥 1 𝜕𝑧 2
cos 𝜃
𝜕𝑦 𝜕𝑧
2
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
(𝜕𝑟) + 𝑟 2 (𝜕𝜃) = (𝜕𝑥 cos 𝜃 + 𝜕𝑦 sin 𝜃) + (− 𝜕𝑥 sin 𝜃 + 𝜕𝑦 cos 𝜃) 𝜕𝑧 2
𝜕𝑧 2
= (𝜕𝑥) + (𝜕𝑦) 。 例 8.28 試證𝑧 = 𝑔(𝑥 + 𝑘𝑡)滿足偏微分方程
𝜕2𝑧 𝜕𝑡 2
𝜕 2𝑧
= 𝑘 2 𝜕𝑥 2。
【證】令𝑢 = 𝑥 + 𝑘𝑡，則𝑧 = 𝑔(𝑢) 𝜕𝑧
𝑑𝑧 𝜕𝑢
𝑑𝑧
𝑑𝑧
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = 𝑑𝑢 ∙ 1 = 𝑑𝑢
𝜕𝑥 𝜕2𝑧
𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝑑𝑧
𝑑
𝑑𝑧
𝑑2 𝑧
𝜕𝑢
𝑑2 𝑧
= 𝜕𝑥 (𝜕𝑥) = 𝜕𝑥 (𝑑𝑢) = 𝑑𝑢 (𝑑𝑢) 𝜕𝑥 = 𝑑𝑢2 ∙ 1 = 𝑑𝑢2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧
𝑑𝑧 𝜕𝑢
𝑑𝑧
𝑑𝑧
= 𝑑𝑢 𝜕𝑡 = 𝑑𝑡 ∙ 𝑘 = 𝑘 𝑑𝑢
𝜕𝑡 𝜕2𝑧 𝜕𝑡 2
𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝑑𝑧
𝑑
𝑑𝑧
𝜕𝑢
𝑑2 𝑧
𝑑2 𝑧
= 𝜕𝑡 ( 𝜕𝑡 ) = 𝜕𝑡 (𝑘 𝑑𝑢 ) = 𝑑𝑢 (𝑘 𝑑𝑢) 𝜕𝑡 = 𝑘 𝑑𝑢2 𝑘 = 𝑘 2 𝑑𝑢2
故得
𝜕2𝑧 𝜕𝑡 2
= 𝑘2
𝜕2𝑧
𝜕𝑥 2
。
例 8.29 若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )，求𝑓𝑥 (1,2)，𝑓𝑦 (1,2)。 【解】令𝑢 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ，則𝑓 (𝑥, 𝑦) = ln 𝑢 𝑑𝑓 𝜕𝑢
1
2𝑥+𝑦
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑢 𝜕𝑥 = 𝑢 (2𝑥 + 𝑦) = 𝑥 2+𝑥𝑦+𝑦 2 2𝑥+𝑦
故𝑓𝑥 (1,2) = 𝑥 2+𝑥𝑦+𝑦 2 | 𝑑𝑓 𝜕𝑢
1
(1,2)
4
=7 𝑥+2𝑦
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑢 𝜕𝑦 = 𝑢 (𝑥 + 2𝑦) = 𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦 2 𝑥+2𝑦
故𝑓𝑥 (1,2) = 𝑥 2+𝑥𝑦+𝑦 2 |
(1,2)
5
= 7。
2
例 8.30 若𝑓 (𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦)，試證求𝑥𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑦𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑛𝑓(𝑥, 𝑦)。 【證】令𝑢 = 𝑡𝑥，𝑣 = 𝑡𝑦，則𝑓 (𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑓 (𝑢, 𝑣) = 𝑡 𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑓 𝑑𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑣
= 𝑓𝑢 (𝑢, 𝑣) 𝑑𝑡 + 𝑓𝑣 (𝑢, 𝑣) 𝑑𝑡 = 𝑥𝑓𝑢 (𝑢, 𝑣) + 𝑦𝑓𝑣 (𝑢, 𝑣)
𝑑
= 𝑑𝑡 𝑡 𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑛 𝑡 𝑛−1 𝑓(𝑥, 𝑦) 令𝑡 = 1，則得 𝑥𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑦𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑛𝑓(𝑥, 𝑦)
習題 8－5 1.若𝑧 = 𝑒 𝑥
2+3𝑥𝑦+𝑦 2
𝜕𝑧
𝜕𝑧
，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦 。 𝜕𝑧
𝜕𝑧
2.設𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 ，試求𝜕𝑥|
(3,4)
與 𝜕𝑥|
(3,4)
。
𝑦
3.若𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑎𝑛−1 ，求𝑓𝑥 (5,12)與𝑓𝑦 (5,12)。 𝑥
4.若𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒 𝑥
2+𝑦 2
𝜕𝑓
𝜕𝑓
，求𝜕𝑥與𝜕𝑦。
5.設𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 2 − 𝑦 2 = 0，試用第二章隱函數之求導法，及本章之公式 𝑑𝑦
求𝑑𝑥 。 𝜕𝑧
𝜕𝑧
6.若𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 3𝑥𝑦𝑧 = 0，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦 。 𝜕𝑧
𝜕𝑧
7.若𝑧 = 𝑓(𝑥 2 + 𝑦 2 )，試證𝑥 𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕𝑥 = 0。 𝜕𝑧
𝜕𝑧
8.若𝑧 = 𝑓(𝑥𝑦)，試證𝑥 𝜕𝑥 − 𝑦 𝜕𝑦 = 0。 𝑥2
2
𝜕𝑓
𝜕𝑓
9.若𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑦 2 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡，求𝜕𝑥 ， 𝜕𝑦。 𝜕𝑓
𝜕𝑓
10.若𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦 3 ，𝑥 = 𝑟 2 + 𝑠 2 ，𝑦 = 3𝑟𝑠，求𝜕𝑟 與 𝜕𝑠 。 11.若一圓柱體之高為 10 公分，以每秒 3 公分之速率遞減，而其底半徑為 5 公 分，以每秒 1 公分之速率遞增，求其體積之變率。
8-6 方向導數與梯度 (Directional Derivatives and the Gradient) 定義 8.9：方向導數 (Directional Derivatives) 函數𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，沿著單位向量𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 之方向導數 (Directional Derivatives)為 𝑓 (𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 ) − 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏) = lim 。 h→0 ℎ 函數𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)在(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處，沿著單位向量𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 + 𝑢3 𝒌 之 方向導數(Directional Derivatives)為 𝑓(𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 , 𝑐 + ℎ𝑢3 ) − 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = lim 。 h→0 ℎ 由方向導數導數之定義知： 1.
𝑓 (𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，由於𝑥之偏導數𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)，相當於𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，沿著 單位向量𝒖 = 𝐢 之方向的方向導數。
2.
𝑓 (𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，由於𝑦之偏導數𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)，相當於𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，沿著 單位向量𝒖 = 𝐣 之方向的方向導數。 下面將說明方向導數(Directional Derivatives) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏)之幾何意義： 如圖 8.8，方程式 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 表是一個曲面(surface) 𝑆。令𝑐 = 𝑓(𝑎, 𝑏)，
則點𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)在曲面𝑆上，過點𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)與𝑄(𝑎, 𝑏)而平行於𝒖之平面與曲面𝑆相交 成曲線(curve) 𝐶，方向導數(Directional Derivatives) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏)就是曲線𝐶在點 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)處之斜率(slope)。
圖 8.8
♡定理 8.11 若𝑓(𝑥, 𝑦)是一個可導函數，則𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處，沿著單位向量𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 之方向導數為 𝐷𝒖 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝑢2 。 若𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)是一個可導函數，則𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處，沿著單位向量 𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 + 𝑢3 𝐤 之方向導數為 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢2 + 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢3。 【證】令𝑔(ℎ) = 𝑓 (𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 ) 由導數之定義 𝑔′ (ℎ) = lim = lim
𝑔(ℎ)−𝑔(0)
ℎ h→0 𝑓(𝑎+ℎ𝑢1 ,𝑏+ℎ𝑢2 )−𝑓(𝑎,𝑏) ℎ
h→0
= 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏)
令𝑥 = 𝑎 + ℎ𝑢1 ， 𝑦 = 𝑏 + ℎ𝑢2 ，則 𝑔(ℎ) = 𝑓 (𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 由連鎖律得 𝜕𝑓 𝑑𝑥
𝜕𝑓 𝑑𝑦
𝑔′ (ℎ) = 𝜕𝑥 𝑑ℎ + 𝜕𝑦 𝑑ℎ
= 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑢2 令ℎ = 0，則𝑥 = 𝑎， 𝑦 = 𝑏 故得𝑔′ (0) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝑢2 因𝑔′ (0) = 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏)，且𝑔′ (0) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝑢2 故𝐷𝒖 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝑢2 。 令𝑔(ℎ) = 𝑓(𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 , 𝑐 + ℎ𝑢3 ) 由導數之定義 𝑔′ (ℎ) = lim = lim
𝑔(ℎ)−𝑔(0)
ℎ h→0 𝑓(𝑎+ℎ𝑢1 ,𝑏+ℎ𝑢2 ,𝑐+ℎ𝑢3 )−𝑓(𝑎,𝑏,𝑐) ℎ
h→0
= 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 )
令𝑥 = 𝑎 + ℎ𝑢1 ， 𝑦 = 𝑏 + ℎ𝑢2 ，𝑧 = 𝑐 + ℎ𝑢3 則 𝑔(ℎ) = 𝑓 (𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 , 𝑐 + ℎ𝑢3 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 由連鎖律得 𝜕𝑓 𝑑𝑥
𝜕𝑓 𝑑𝑦
𝜕𝑓 𝑑𝑧
𝑔′ (ℎ) = 𝜕𝑥 𝑑ℎ + 𝜕𝑦 𝑑ℎ + 𝜕𝑧 𝑑ℎ
= 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢2 + 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢3 令ℎ = 0，則𝑥 = 𝑎， 𝑦 = 𝑏，𝑧 = 𝑐 故得𝑔′ (0) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢2 + 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢3 因𝑔′ (0) = 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 )，且
𝑔′ (0) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢2 + 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢3 故𝐷𝒖 𝑓 (𝑎, 𝑏, 𝑐 ) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢1 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢2 + 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝑢3。
定義 8.10：梯度 (gradient) 函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處之梯度為向量 ∇𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝐢 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝐣。 函數𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處之梯度為向量 ∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐢 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐣+𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐤。 註：∇𝑓讀作del 𝑓。 由定理 8.11 及定義 8.10 得
♡定理 8.12 若𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處之梯度為∇𝑓(𝑎, 𝑏)，則𝑓(𝑥, 𝑦)沿著單位向量𝐮之方向 導數為𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏) = ∇𝑓(𝑎, 𝑏) ∙ 𝐮。 若𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處之梯度為∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)，則𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑧沿著單位向量𝐮 之方向導數為𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 ) = ∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ 𝐮。 例 8.31 求𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3 + 𝑥 2 − 𝑦 2 在點 (3,2) 處，沿著 a = 4𝐢 + 3𝐣 之方向的方向導 數(Directional Derivatives)。 a
4
3
【解】𝐮 = |a| = 5 𝐢 + 5 𝐣 𝑓𝑥 (3,2) = (2𝑥)|(3,2) = 6，𝑓𝑦 (3,2) = (−2𝑦)|(3,2) = −4 ∇𝑓(3,2) = 𝑓𝑥 (3,2)𝐢 + 𝑓𝑦 (3,2)𝐣 = 6𝐢 − 4𝐣 𝐷𝒖 𝑓 (3,2)=∇𝑓(3,2) ∙ 𝐮 4
3
12
5
5
5
= (6𝐢 − 4𝐣) ∙ ( 𝐢 + 𝐣) =
。
例 8.32 求𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 3 + 5𝑥𝑦𝑧 在點 (2,2,3) 處，沿著 a = 3𝐢 + 4𝐣 + 12𝐤 之方向的方向導數(Directional Derivatives)。 a
3
4
12
【解】𝐮 = |a| = 13 𝐢 + 13 𝐣 + 13 𝐤 𝑓𝑥 (2,2,3) = (2𝑥 − 5𝑦𝑧)|(2,2,3) = −26 𝑓𝑦 (2,2,3) = (2𝑦 − 5𝑥𝑧)|(2,2,3) = −26 𝑓𝑧 (2,2,3) = (3𝑧 2 − 5𝑥𝑦)|(2,2,3) = 7 ∇𝑓(2,2,3) = 𝑓𝑥 (2,2,3)𝐢 + 𝑓𝑦 (2,2,3)𝐣 + 𝑓𝑧 (2,2,3)𝐤 = −26𝐢 − 26𝐣 + 7𝐤 𝐷𝒖 𝑓 (2,2,3)=∇𝑓 (2,2,3) ∙ 𝐮
3
4
12
= (−26𝐢 − 26𝐣 + 7𝐤) ∙ (13 𝐢 + 13 𝐣 + 13) =
−98 13
。
因𝑓 (𝑥, 𝑦)沿著單位向量𝐮之方向導數為 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏) = ∇𝑓(𝑎, 𝑏) ∙ 𝐮 = |∇𝑓(𝑎, 𝑏)||𝐮| cos θ = |∇𝑓(𝑎, 𝑏)| cos θ 其中θ為∇𝑓(𝑎, 𝑏)與𝐮之夾角。 當θ = 0，即𝐮之方向與梯度∇𝑓(𝑎, 𝑏)之方向相同時，得𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處之 最大方向導數為 |∇𝑓(𝑎, 𝑏)| = √[𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)]2 + [𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)]2 。 如圖 8.9，𝑓 (𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處，沿著∇𝑓(𝑎, 𝑏)之方向之方向導數為最大。
圖 8.9 同理，當𝐮之方向與梯度∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)之方項相同時，得𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐)處 之最大方向導數為 |∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)| = √[𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )]2 + [𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )]2 + [𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )]2。 例 8.33
試求一個單位向量𝐮，使得𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 在點 (2,3) 處，沿著𝐮之方向 時有最大方向導數，並求此方向導數。 【解】𝑓𝑥 (2,3) = 2𝑥 |(2,3) = 4 𝑓𝑦 (2,3) = 2𝑦|(2,3) = 6 ∇𝑓(2,3) = 𝑓𝑥 (2,3)𝐢 + 𝑓𝑦 (2,3)𝐣 = 4𝐢 + 6𝐣 ∇𝑓(2,3)
沿著𝐮 = |∇𝑓(2,3)| =
4
√52
𝐢+
6
√52
𝐣
之方向時有最大方向導數 最大方向導數為|∇𝑓 (2,3)| = √42 + 62 = √52。 例 8.34 試求一個單位向量𝐮，使得𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 3𝑥𝑦𝑧 在點 (1,2,3) 處， 沿著𝐮之方向時有最大方向導數，並求此方向導數。 【解】𝑓𝑥 (1,2,3) = (2𝑥 + 3𝑦𝑧)|(1,2,3) = 20 𝑓𝑦 (1,2,3) = (2𝑦 + 3𝑥𝑧)|(1,2,3) = 13 𝑓𝑧 (1,2,3) = (2𝑧 + 3𝑥𝑦)|(1,2,3) = 12 ∇𝑓(1,2,3) = 𝑓𝑥 (1,2,3)𝐢 + 𝑓𝑦 (1,2,3)𝐣 + 𝑓𝑧 (1,2,3)𝐤 = 20𝐢 + 13𝐣 + 12𝐤 ∇𝑓(1,2,3)
沿著𝐮 = |∇𝑓(1,2,3)| =
20
√713
𝐢+
13
√713
𝐣+
12
√713
𝐤
之方向時有最大方向導數 最大方向導數為|∇𝑓 (1,2,3)| = √202 + 132 + 122 = √713。
習題 8-6 1.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥𝑦 之梯度(gradient)。
2.
求𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 3𝑥𝑦𝑧 之梯度(gradient)。
3.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 3𝑥𝑦+𝑦 2 在點𝑃(2,3)處，沿著單位向量u = 2 𝐢 +
1
√3 𝐣之方向的 2
方向導數(Directional Derivatives)。 4.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 𝑥 2 − 𝑦 2 在點 (1,2) 處，沿著 a = 3𝐢 + 4𝐣 之方向的方向導數 (Directional Derivatives)。
5.
若𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 3 + 𝑧 4 + 𝑥𝑦𝑧，求𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 在點 (1,2,3)處，沿著向量 a = 3𝐢 + 4𝐣 + 12𝐤之方向的方向導數(Directional Derivatives)。
8-7 切平面與法線(Tangent Planes and Normal Lines) 函數𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)之圖形為一曲面(surface)，𝑥 = 𝑥0 與𝑦 = 𝑦0 之圖形為平面 (plane)。如圖 8.10 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) C1 ： { 表示由曲面𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 與平面𝑦 = 𝑦0 所交成之平面曲線 𝑦 = 𝑦0 (在平面𝑦 = 𝑦0 上)。 由 8.4 節之討論之，過曲線C1 上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )， (其中𝑧0 = 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ))之切線𝑇1 之方程式為 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 )，𝑦 = 𝑦0
圖 8.10
C2 ： {
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 表示由曲面𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 與平面𝑥 = 𝑥0 所交成之平面曲線 𝑥 = 𝑥0
(在平面𝑥 = 𝑥0 上)。 過C2 上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )，之切線𝑇2 之方程式為 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 )，𝑥 = 𝑥0
如圖 8.11，過曲面𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )之切平面(Tangent Planes)為由二切 線𝑇1 與𝑇2 所決定之平面，也就是說𝑇1 與𝑇2 都切在平面上，與切平面垂直之直線稱 為曲面之法線(Normal line)。
圖 8.11
設切平面之方程式為𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 因𝑇1 ：𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 )，𝑦 = 𝑦0 在切平面上，故得 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑐𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) = 0，即𝑎 = − 𝑐𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) 因𝑇2 ：𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 )，𝑥 = 𝑥0 在切平面上，故得 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) = 0，即𝑏 = − 𝑐𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) 代入切平面方程式，得 −𝑐𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑐𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 消去−𝑐，得切平面方程式為 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑦 − 𝑦0 ) − (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 𝑥−𝑥0
法線方程式為𝑓 (𝑥 𝑥
因此得下面定理
0 ,𝑦0 )
=𝑓
𝑦−𝑦0
𝑦 (𝑥0 ,𝑦0 )
=
𝑧−𝑧0 −1
。
♡定理 8.13 過曲面𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )之 切平面方程式為：𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) − (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 𝑥−𝑥0
法線方程式為：𝑓 (𝑥 𝑥
0 ,𝑦0 )
=𝑓
𝑦−𝑦0
𝑦 (𝑥0,𝑦0 )
=
𝑧−𝑧0 −1
。
例 8.35 求曲面𝑧 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 上一點 (1,2,13)之切平面(Tangent Planes)與法線 (Normal line)方程式。 𝜕𝑧
【解】 |
𝜕𝑥 (1,2)
= (2𝑥 + 4𝑦)|(1,2) = 10
𝜕𝑧
= (4𝑥 + 2𝑦)|(1,2) = 8
|
𝜕𝑦 (1,2)
切平面(Tangent Planes)之方程式為 10(𝑥 − 1) + 8(𝑦 − 2) − (𝑧 − 13) = 0 法線(Normal line)方程式為 𝑥−1 10
=
𝑦−2 8
𝑧−13
=
−1
若曲面𝑆用方程式𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0表示，在連鎖律裡已經導出 𝜕𝑧 𝜕𝑥
=−
𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝑧
，𝜕𝑦 = −
𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧
令𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，則在曲面𝑆：𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )，上式可寫成 𝐹 (𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )
𝐹 (𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )
𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = − 𝐹𝑥 (𝑥0,𝑦0 ,𝑧0)，𝑓y (𝑥0 , 𝑦0 ) = − 𝐹𝑦(𝑥 0,𝑦0,𝑧0) 𝑧
0 0 0
𝑧
0 0 0
代入切平面方程式 𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑦 − 𝑦0 ) − (𝑧 − 𝑧0 ) = 0，得 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 因此得下面定理
♡定理 8.14 曲面𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0上一點(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )之切平面方程式為： 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 法線方程式為：𝐹
𝑥−𝑥0
𝑥 (𝑥0,𝑦0 ,𝑧0 )
=𝐹
𝑦−𝑦0
𝑦 (𝑥0,𝑦0 ,𝑧0 )
𝑧−𝑧0
= 𝐹 (𝑥 𝑧
0,𝑦0 ,𝑧0 )
。
例 8.36 求球面𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 169 上一點 (3,4,12)之切平面與法線方程式。 【解】令𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 169，則𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0。 𝐹𝑥 (3,4,12) = 2𝑥|(3,4,12) = 6 𝐹𝑦 (3,4,12) = 2𝑦|(3,4,12) = 8 𝐹𝑧 (3,4,12) = 2𝑧|(3,4,12) = 24 故切平面之方程式為 6(𝑥 − 3) + 8(𝑦 − 4) + 24(𝑧 − 12) = 0 即3(𝑥 − 3) + 4(𝑦 − 4) + 12(𝑧 − 12) = 0 法線之方程式為 𝑥−3 3
=
𝑦−40 4
=
𝑧−12 12
。
習題 8-7 1.
求曲面𝑧 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 3 上一點 (1,2,17)之切平面與法線方程式。
2.
求曲面𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 上一點 (1,2,5)之切平面與法線方程式。
2+𝑦 2 )
3.
求曲面𝑧 = 𝑒 −(𝑥
上一點 (0,0,1)之切平面與法線方程式。
4.
求曲面𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 50 上一點 (3,4,5)之切平面與法線方程式。
8-8 二變數函數之極值 (Extrema of a Function of Two Variables) 若存在以(𝑥0 , 𝑦0 )為中心之圓C，當(𝑥, 𝑦)在C之內部時，恆可使𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦)，則稱𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )為𝑓(𝑥, 𝑦)之一個局部極大值(Local maximum)，而𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)恆成立時，則稱為之一個局部極小值(Local minimum)。局部極大值與局部 極小值都稱為局部極值(Local extremum)。
下面一定理可判定及求出𝑓(𝑥, 𝑦)之極值，其證明可參考高等為積分之書籍。
♡定理 8. 15 若𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 0，𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = 0 𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) − [𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏)]2，則 (a)當𝐷 (𝑎, 𝑏) > 0且𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) < 0時，𝑓 (𝑎, 𝑏)為𝑓(𝑥, 𝑦)之局部極大值 (Local maximum)。 (b) 當𝐷(𝑎, 𝑏) > 0且𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) > 0時，𝑓 (𝑎, 𝑏)為𝑓(𝑥, 𝑦)之局部極小值 (Local minimum)。 (c) 當𝐷 (𝑎, 𝑏) < 0，(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏))為鞍點(Saddle point)。
曲面𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)之鞍點(Saddle point)如下圖所示
如上圖，點(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏))為曲面𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)之一個鞍點(Saddle point)，此時 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 0，𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = 0，且在任何以點(𝑎, 𝑏)為中心之小圓形區域內，都存在 點(𝑥, 𝑦)與(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )使得𝑓 (𝑎, 𝑏) < 𝑓(𝑥, 𝑦)且𝑓(𝑎, 𝑏) > 𝑓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )。 例 8.37 求𝑓𝑋 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 + 3𝑥𝑦之局部極值(Local extrema)及鞍點(Saddle point)。 【解】𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 + 3𝑦 fy (x, y) = -3y 2 + 3x fxx (x, y) = 6x fyy (x, y) = -6𝑦 fxy (x, y) = 3 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 + 3𝑦 = 0 令{ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = −3𝑦 2 + 3𝑥 = 0 則(𝑥, 𝑦) = (0,0) ，(𝑥, 𝑦) = (1, −1) 因 D(0,0) = 𝑓𝑥𝑥 (0,0)𝑓𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) − [𝑓𝑥𝑦 (0,0)]2 = −9 < 0 故點(0,0,0)為鞍點 因 D(1, −1) = 𝑓𝑥𝑥 (1, −1)𝑓𝑦𝑦 (1, −1) − [𝑓𝑥𝑦 (1, −1)]2 = 27 > 0 且fxx (1, -1) = 6 > 0 故fxy (1, -1) = −1為局部極小值
例 8.38 求𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 3 − 4之局部極值(Local extrema)及鞍點(Saddle point)。 【解】𝑓𝑥 = 3𝑥 2 + 3𝑦，𝑓𝑦 = 3𝑥 + 3𝑦 2 fxx = 6x ，fyy = 6y ，fxy = 3 令𝑓𝑥 = 0 ，𝑓𝑦 = 0 ， 得 3𝑥 2 + 3𝑦 = 0 { ，y = -𝑥 2 ，x = -𝑦 2 3𝑥 + 3𝑦 2 = 0 𝑥 = −(−𝑥 2 )2 = −𝑥 4 𝑥4 + 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 3 + 1) = 0 𝑥=0 𝑥 = −1 得 { 或 { 𝑦=0 𝑦 = −1 (1)在點 (0,0) 處 D(0,0) = 𝑓𝑥𝑥 (0,0)𝑓𝑦𝑦 (0,0) − [𝑓𝑥𝑦 (0,0)]2 = 0 − 9 = −9 < 0 故點 𝑓 (0,0,-4) 為鞍點。 (2)在點 (-1,-1) 處 D(−1, −1) = 𝑓𝑥𝑥 (−1, −1)𝑓𝑦𝑦 (−1, −1) − [𝑓𝑥𝑦 (−1, −1)]2 = (−6)(−6) − (3)2 = 27 < 0 fxx (-1, -1) = -6 < 0 故f(-1, -1) = -3 為局部極大值
習題 8-8 5.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 − 𝑥 3 − 𝑦 2 + 3之局部極值(Local extrema)及鞍點(Saddle points)。
6.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 4之局部極值(Local extrema)及鞍 點(Saddle points)。
7.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 12𝑥𝑦 − 8𝑦 3 之局部極值及鞍點。
8.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 2x + 2y − 6之局部極值。
9.
求𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 2 − 24𝑥𝑦 − 𝑦 3 + 50之局部極值及鞍點。
10. 求𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 − 3𝑥 2 − 3𝑦 2 + 5之局部極值及鞍點。
8-9 Lagrange 乘數(Lagrange Multiplier) 本節將討論二變數函數𝑓(𝑥, 𝑦)對於限制條件(Subject to the constraint) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0之極值，以及三變函數𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)對於限制條件𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 之極值。著名的 Lagrange 乘數法(Lagrange Multiplier)是最常用之方法。
♡定理 8.16：二變數之 Lagrange 乘數法 (Lagrange Multiplier Method) 𝑓(𝑥, 𝑦) 對 於 限 制 條 件 (Subject to the constraint) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 之 極 值 ， 可 由 𝐿(𝑥, 𝑦, ) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝜕𝐿 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦)=0 𝜕𝑥 𝜕𝐿
𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕
= 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦)=0 = 𝑔(𝑥, 𝑦)=0
解出 𝑥 與 𝑦
例 8.39 求𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦 對限制條件極值𝑥 2 + 𝑦 2 = 1之極值。
【解】由 Lagrange 乘數法(Langrange Multiplier Mothod) 令𝐿(𝑥, 𝑦, ) =3𝑥+4𝑦+(𝑥 2 + 𝑦 2 − 1) 𝜕𝐿
令
𝜕𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑦
= 3 + 2 𝑥 = 0 = 4 + 2 𝑦 = 0
2 2 { 𝑥 +𝑦 −1 =0 −3 −2 𝑥 = 2 ，𝑦 = −3 −2 ( )2 + ( )2 = 1 2 5 2 4 = 25， = ± 2 5
= 2 時，𝑥 = −3 −4
𝑓( 5 ,
5 5
−3
−3
5
，𝑦 = −4
−4 5
) =3( 5 )+4( 5 )=-5 為極小值 3
4
= − 2 時，𝑥 = 5，𝑦 = 5 3 4
3
4
𝑓(5 , 5) =3(5)+4(5)=5 為極大值
例 8.40 求由雙曲線2𝑥 2 − 𝑦 2 =1 至點(3,0)之最小距離。 【解】𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 =𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 − 𝑦 2 − 1 = 0 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 6 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 2y 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 4x 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦) = −2𝑦 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 6 + 4𝑥 = 0 由{ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 2𝑥 = 0 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 − 𝑦 2 − 1 = 0 得 = 1，𝑥 = 1，𝑦 = ±1 𝑓(1,1) = 5，𝑓 (1, −1) = 5， 故最小距離為√5
♡定理 8.17：三變數之 Lagrange 乘數法 (Lagrange Multiplier Method) 𝑓(𝑥, 𝑦, z) 對於限制條件(Subject to the constraint) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0之極值，可由 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, ) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝐿 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)=0 𝜕𝑥 𝜕𝐿
𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕
= 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)=0 = 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)=0 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0
解出 𝑥 , 𝑦 , z
例 8.41 求𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧，𝑥, 𝑦, 𝑧為正數，對限制條件 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144之極大 值。 【解】由 Lagrange 乘數法(Langrange Multiplier Mothod) 令𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, ) = 𝑥𝑦𝑧+(4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 16𝑧 2 − 144) 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝐿
令
𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕𝑧 2
= 𝑦𝑧 + (8𝑥) = 0 = 𝑥𝑧 + (18𝑦) = 0 = 𝑥𝑦 + (32𝑦) = 0
{ 4𝑥 + 9𝑦 2 + 16𝑧 2 − 144 = 0 𝑥yz+8𝑥 2 = 0 𝑥yz+18𝑦 2 = 0 𝑥yz+32𝑧 2 = 0 −8𝑥 2=−18𝑦 2 = −32𝑧 2 4𝑥 2 =9𝑦 2 = 16𝑧 2 4𝑥 2 +4𝑥 4 + 4𝑥 2 = 144 𝑥 2 =12，x = 2√3 9𝑦 2 = 4𝑥 2 = 48，𝑦 2 =
16 3
，𝑦 =
4 √3
16𝑧 2 = 4𝑥 2 = 48，𝑧 2 = 3，𝑧 = √3 𝑔 (2√3,
4 √
, √3)=2√3 ∙ 3
4 √3
∙ √3=8√3
例 8.42 求𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 3𝑥𝑧對限制條件𝑥𝑦𝑧 = 6000之極值。
【解】由 Lagrange 乘數法(Lagrange Multiplier Method) 令𝐿(𝑥, 𝑦, ) = 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 3𝑥𝑧 + (𝑥𝑦 − 6000) 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝐿
由
𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕𝑧
= (𝑦 + 3𝑧) + 𝑦𝑧 = 0 = (𝑥 + 2𝑧) + 𝑥𝑧 = 0 = (2𝑦 + 3𝑥 ) + 𝑥𝑦 = 0
{ 𝑥𝑦𝑧 − 6000 = 0 即𝑦𝑧 = −𝑦 − 3𝑧 𝑥𝑧 = −𝑥 − 2𝑧 𝑥𝑦 = −2𝑦 − 3𝑥 上式分別乘以𝑥，𝑦，𝑧，得 𝑥𝑦𝑧 = −𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧 = −𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧 = −2𝑦𝑧 − 3𝑥𝑧 2
由𝑥𝑦𝑧 = −𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧，𝑥𝑦𝑧 = −𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧，得𝑥=3 𝑦 𝑦
𝑥𝑦𝑧 = −𝑥𝑦 − 3𝑦𝑧，𝑥𝑦𝑧 = −2𝑦𝑧 − 3𝑥𝑧，得𝑧=3 2
𝑥𝑦𝑧 = 9 𝑦 3 = 6000，𝑦 3 = 27000 𝑦 = 30，x=20，z=10 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)之極小值 𝑓(20,30,10) = 600 + 600 + 600 = 1800
習題 8-9 11. 求𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑥 + 5 對於限制條件(Subject to the constraint) 2𝑥 2 +3𝑦 2 − 5 = 0 之極值。 12. 求雙曲線𝑥𝑦 = 4至原點之最小距離。 13. 求圓𝑥 2 +𝑦 2 = 25 上之點，使得𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦之值為極大。 14. 求橢圓𝑥 2 +4𝑦 2 = 4 上之點，使得𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 -𝑦 2 之值為極大或極小。 15. 求𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧，𝑥, 𝑦, 𝑧均為正，對於限制條件𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 2xz=48 之極大 值。 16. 求𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 + 8𝑦 + 6𝑧，對於限制條件𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑧 2 = 116，𝑥 ≥ 0，𝑦 ≥ 0，z ≥ 0之極大值。
第八章內容摘要 7.
極限(limit) lim
(x,y)→(a,b)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿對於任意給定正數，都可以找到一正數，當0 =
√(x − 𝑎)2 + (y − 𝑏)2 <時，都可使|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 成立。 8.
連續(continuity) 函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處連續
lim
(x,y)→(a,b)
9.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑎, 𝑏)
偏導數(Partial derivatives) 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥 +△ x, 𝑦) − 𝑓(x, 𝑦) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = = lim 𝜕𝑥 △x→0 △x 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦 +△ 𝑦) − 𝑓(x, 𝑦) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = = lim 𝜕𝑦 △y→0 △y
10. 可導(可微)(differentiable) 函數𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處可導 𝑓 (𝑎 +△ 𝑥, 𝑏 +△ 𝑦) − 𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) △ 𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) △ 𝑦 + 1 (△ 𝑥,△ 𝑦) △ 𝑥 + 2 (△ 𝑥,△ 𝑦) △ 𝑦 且
lim
(△x,,△y)→(0,0)
1 (△ 𝑥,△ 𝑦) = 0，
lim
(△x,,△y)→(0,0)
2 (△ 𝑥,△ 𝑦) = 0
11. 全微分(Total differentiable) 𝑑𝑓(𝑥, y) = 𝑓𝑥 (𝑥, y)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥, y)𝑑𝑦 稱為𝑓 (𝑥, y)之全微分 𝑑𝐹(𝑥, y, z) = 𝐹𝑥 (𝑥, y, z)𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 (𝑥, y, z)𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 (𝑥, y, z)𝑑𝑧 稱之 F(𝑥, y, z)之全微分。 12. 線性近似(Linear approximation) 𝑓 (𝑎 +△ x, y +△ y) ≈ 𝑓 (𝑎, b) + 𝑓𝑥 (𝑎, b) △ 𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, b) △ 𝑦 13. 連鎖率(Chain rules) 若𝑧 = 𝑓 (𝑢)，𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦)，則 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝑑𝑧 𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑑𝑧 𝜕𝑢
= 𝑑𝑢 𝜕𝑥 ，𝜕𝑦 = 𝑑𝑢 𝜕𝑦
若𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，x = 𝑔(𝑡)，y = ℎ(𝑡)則 𝑑𝑧 𝑑𝑡
𝜕𝑧 𝑑𝑥
𝜕𝑧 𝑑𝑦
= 𝜕𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑦 𝑑𝑡
若𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)，x = 𝑔(𝑟, 𝑠)，y = ℎ(𝑟, 𝑠)則 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑠
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
= 𝜕𝑥 𝜕𝑟 + 𝜕𝑦 𝜕𝑟 = 𝜕𝑥 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 𝜕𝑡
若𝑤 = 𝐹 (𝑢)，u = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)，則 𝜕𝑤 𝜕𝑥
=
𝑑𝑤 𝜕𝑢 𝑑𝑢 𝜕𝑥
𝜕𝑤
， 𝜕𝑦 =
𝑑𝑤 𝜕𝑢 𝑑𝑢 𝜕𝑦
𝜕𝑤
， 𝜕𝑧 =
𝑑𝑤 𝜕𝑢 𝑑𝑢 𝜕𝑧
若𝑤 = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)，x = 𝑔(𝑟, 𝑠)，y = ℎ(𝑟, 𝑠)，z = 𝑘(𝑟, 𝑠)則
𝑑𝑤 𝑑𝑟 𝑑𝑤 𝑑𝑠
=
𝜕𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑦
𝜕𝑤 𝜕𝑧
=
𝜕𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑤 𝜕𝑧
+ 𝜕𝑦 𝜕𝑟 + 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝑠
+ 𝜕𝑦 𝜕𝑠 +
𝜕𝑧 𝜕𝑠
若𝑤 = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧)，x = 𝑔(𝑡)，y = ℎ(𝑡)，z = 𝑘(𝑡)則 𝑑𝑤 𝑑𝑡
=
𝜕𝑤 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡
𝜕𝑤 𝑑𝑦
+ 𝜕𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝑤 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑡
14. 連鎖律所導出之隱函數求導公式 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦
𝑑𝑦
若𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0，則 𝑑𝑥 = −
𝜕𝐹
𝜕𝑧
{
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑥 若𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0，則 𝜕𝑥 = − 𝜕𝐹 ， 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝜕𝑧
15. 高階偏導數(Higher order partial derivatives) 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝑓𝑥𝑥 = 2 = ( ) ，𝑓𝑦𝑦 = 2 = ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑧 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝑓𝑦𝑥 = = ( ) ，𝑓𝑥𝑦 = = ( ) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 16. 切平面與法線(Tangent plane and normal line) 曲面𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)上一點(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )之切平面方程式為： 𝑓𝑥 (𝑥1 , 𝑦1 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓𝑦 (𝑥1 , 𝑦1 )(𝑦 − 𝑦1 ) − (𝑧 − 𝑧1 ) = 0 𝑥−𝑥1
法線方程式為：𝑓 (𝑥 𝑥
1 ,𝑦1 )
=𝑓
𝑦−𝑦1
𝑦 (𝑥1 ,𝑦1 )
=
𝑧−𝑧1 −1
。
曲面𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0上一點(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )之切平面方程式為： 𝐹𝑥 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝐹𝑦 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝐹𝑧 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )(𝑧 − 𝑧1 ) = 0 法線方程式為：𝐹
𝑥−𝑥0
𝑥 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0)
=𝐹
𝑦−𝑦0
𝑦 (𝑥0 ,𝑦0 ,𝑧0)
𝑧−𝑧0
= 𝐹 (𝑥 𝑧
。
0 ,𝑦0 ,𝑧0 )
17. 方向導數 (Directional Derivatives ) 函數𝑓 (𝑥, 𝑦)在(𝑎, 𝑏)處，沿著單位向量𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 之方向導數 (Directional Derivatives)為 𝑓 (𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 ) − 𝑓(𝑎, 𝑏) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏) = lim 。 h→0 ℎ 函數𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)在(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處，沿著單位向量𝒖 = 𝑢1 𝐢 + 𝑢2 𝐣 + 𝑢3 𝒌 之方向導數 (Directional Derivatives)為 𝑓(𝑎 + ℎ𝑢1 , 𝑏 + ℎ𝑢2 , 𝑐 + ℎ𝑢3 ) − 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = lim 。 h→0 ℎ 18. 梯度(gradient) 函數𝑓 (𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處之梯度為向量 ∇𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)𝐢 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝐣 函數𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處之梯度為向量 ∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐢 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐣+𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏, 𝑐 )𝐤
19. 方向導數之計算 (Calculating the Directional Derivatives ) 若𝑓(𝑥, 𝑦)在點(𝑎, 𝑏)處之梯度為▽𝑓(𝑎, 𝑏)，則𝑓(𝑥, 𝑦)沿著單位向量𝒖 之方向導數為𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏) = ∇𝑓(𝑎, 𝑏) · 𝒖 若𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)在點(𝑎, 𝑏, 𝑐 )處之梯度為▽𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 )，則𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)沿著單位向量𝒖 之方向導數為𝐷𝒖 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 ) = ∇𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐 ) · 𝒖 函數在一定點處，沿著梯度(gradient)之方向的方向導數為最大。 20. 局部極值與鞍點之判定法(Test for local extrema and saddle point) 若𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 0，𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = 0 𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏)𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) − [𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏)]2，則 (a)當𝐷 (𝑎, 𝑏) > 0且𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) < 0時，𝑓(𝑎, 𝑏)為𝑓(𝑥, 𝑦)之局部極大值 (Local maximum)。 (b) 當𝐷(𝑎, 𝑏) > 0且𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) > 0時，𝑓(𝑎, 𝑏)為𝑓(𝑥, 𝑦)之局部極小值 (Local minimum)。 (c) 當𝐷(𝑎, 𝑏) < 0，(𝑎, 𝑏, 𝑓 (𝑎, 𝑏))為鞍點(Saddle point)。 21. 二變數之 Lagrange 乘數法(Langrange Multiplier mothod) 𝑓 (𝑥, 𝑦)對於限制條件(Subject to the constraint) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0之極值，可由 𝐿(𝑥, 𝑦, ) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝜕𝐿 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦)=0 𝜕𝑥 𝜕𝐿
𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕
= 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦)=0 = 𝑔(𝑥, 𝑦)=0
解出 𝑥 與 𝑦 22. 三變數之 Lagrange 乘數法(Langrange Multiplier mothod) 𝑓 (𝑥, 𝑦, z)對於限制條件(Subject to the constraint) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0之極值，可 由𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, ) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕
= 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 = 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)=0 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0
解出 𝑥 , 𝑦 , z
⑧Partial Derivatives 習題 8-1 解答 1. 𝑑 = √30 2. 𝑎 · 𝑏 = 58 3. (a)𝑎與𝑏不垂直 (b)𝑎與𝑐不垂直 4. 夾角 θ =
π 3
習題 8-2 解答 1. 直線方程式為
𝑥−2 4
=
𝑦−5 2
=
𝑧+3 2
2. 平面 E 之方程式為 4(𝑥 − 3) + 2(𝑦 − 6) + 6(𝑧 − 5) = 0 3. 球之方程式為 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 4)2 = 9 4. 為圖形為以原點為球心，半徑為 2 之上半球，圖形如下
習題 8-3 解答 1. 令 𝜀 為任意給定之正數 𝑥𝑦 平面上之點可表示成 𝑥 = 𝑟 cos θ，𝑦 = 𝑟 sin θ 0 < (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿 2 相當於 0 < 𝑟 2 < 𝛿 2 取 𝛿 = 𝜀 ，則當
0 < (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿 2 時
即 𝑟 2 < 𝜀 2 ，𝑟 < 𝜀時 |𝑓(𝑥, 𝑦) − 0| = | = 故
(𝑟 cos θ)(𝑟 sin θ)2 𝑟2
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦 2
𝑥 2+𝑦 2
|
= |𝑟 cos θ 𝑠𝑖𝑛2 θ| ≤ r < 𝜀
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0
2. 令𝑦 = 𝑚𝑥 則 當 𝑥 → 0時，
𝑥𝑦+𝑦 4
𝑥 2+𝑦 2 𝑚+𝑚 4 𝑥 2 1+𝑚 2
=
𝑚+𝑚 4𝑥 2 1+𝑚 2 𝑚
= 1+𝑚2
，𝑥 ≠ 0 𝑥𝑦+𝑦 4
𝑚
故(𝑥, 𝑦)沿著 𝑦 = 𝑚𝑥趨近於(0,0)時， 𝑥 2+𝑦 2 趨近於1+𝑚2 時， 此值隨著 m 值而改變
因極限存在時，其值為唯一的 故
𝑥𝑦+𝑦 4
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2+𝑦 2
3. 因
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
不存在。
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 1 ≠ 𝑓 (0,0) = 3
故𝑓 (𝑥, 𝑦)在點(0,0)處不連續。
習題 8-4 解答 1.
∂z
= 3𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 − 6
∂𝑥 ∂z
= 5𝑥 3 𝑦 4 + 3𝑦 4 + 8
∂𝑦
1
2. 𝑓𝑥 (3,2) = 2，𝑓𝑦 (3,2) =
−3 4
3. 𝑓𝑥 (0,1) = 2，𝑓𝑦 (0,1) = 0 4. 𝑓𝑥 (0,0) = 0，𝑓𝑦 (0,0) = 0 5. 𝑓𝑥𝑦 (0,0) = −1，𝑓𝑦𝑥 (0,0) = 1 6. 令𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 ，𝑥1 = 3，𝑦1 = 4，△ 𝑥 = −0.01，△ 𝑦 = −0.01， 則 √2.992 + 4.012 = 𝑓(𝑥1 +△ 𝑥, 𝑦1 +△ 𝑦) ≈ 𝑓 (𝑥1 , 𝑦1 ) + 𝑓𝑥 (𝑥1 , 𝑦1 ) △ 𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥1 , 𝑦1 ) △ 𝑦 = 5.002 ∂z
7. 因
=
∂𝑥 ∂z
−𝑦 𝑥2
1
∂z
1
𝑥
+ 𝑦 ， ∂𝑦 = 𝑥 + 𝑦 2 ∂z
故 𝑥 ∂𝑥 + 𝑦 ∂𝑦 = 0 8.
∂2 𝑓
=
∂𝑥 2 ∂2 𝑓 ∂𝑦 2 ∂2 𝑓
−4𝑦 (𝑥+𝑦)3 4𝑥
= (𝑥+𝑦)3
2𝑥−2𝑦
∂𝑥 ∂𝑦 ∂2 𝑓 ∂𝑦 ∂𝑥
= (𝑥+𝑦)3 2𝑥−2𝑦
= (𝑥+𝑦)3
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 3 + 𝐶 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 11.
∂𝑓 ∂𝑥 ∂𝑓
𝑥3 3
+ 𝑥𝑦 3 + 1
= − ln|cos 𝑥 |
= ln|cos 𝑦|
∂𝑦
習題 8-5 解答 1.
2.
∂𝑧 ∂𝑥 ∂𝑧 ∂𝑦 ∂𝑧
= (2𝑥 + 3𝑦)𝑒 𝑥
2+3𝑥𝑦+𝑦 2
= (3𝑥 + 2𝑦)𝑒 𝑥
2+3𝑥𝑦+𝑦 2
|
∂𝑥 (3,4)
3
=5 ，
∂𝑧
|
∂𝑦 (3,4)
4
=5
−𝑦
3. 𝑓𝑥 (5,12) = 𝑥 2 +𝑦 2 |
(5,12)
𝑥
𝑓𝑦 (5,12) = 𝑥 2+𝑦 2 |
(5,12)
∂𝑓
4.
== (2𝑥 2 𝑦 + 𝑦)𝑒 𝑥
∂𝑥
=
−12 169 5
= 169
2+𝑦 2
∂𝑓
， ∂𝑦 == (2𝑥𝑦 2 + 𝑥)𝑒 𝑥
2+𝑦 2
5. 直接用隱含數之求導法 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
(𝑒 𝑥 sin 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 2 − 𝑦 2 ) = =−
𝑒 𝑥 sin 𝑦+2𝑥𝑦 3 +2𝑥
∂𝑧
=−
∂𝑥
(0)
𝑒 𝑥 cos 𝑦+3𝑥 2𝑦 2 −2𝑦
應用公式 6.
𝑑 𝑑𝑥
∂𝑧
=− ∂𝑦
∂𝑓
𝑑𝑦 𝑑𝑥
∂𝐹 ∂𝑥 ∂𝐹 ∂𝑧 ∂𝐹 ∂𝑦 ∂𝐹 ∂𝑧
𝑒 𝑥 sin 𝑦+2𝑥𝑦 3+2𝑥
= − ∂𝑥 ∂𝑓 = − 𝑒 𝑥 cos 𝑦+3𝑥 2 𝑦 2−2𝑦 ∂𝑦
=− =−
𝑒 𝑥 sin 𝑦+2𝑥+3𝑦𝑧 2𝑧−3𝑥𝑦 𝑒 𝑥 cos 𝑦+2𝑦+3𝑥𝑧 2𝑧−3𝑥𝑦
7. 令 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ，則 𝑧 = 𝑓(𝑢) ∂𝑧
∂𝑧
= ∂𝑢 (2𝑥)
∂𝑥 ∂𝑧
=
∂𝑧
(2𝑦)
∂𝑦 ∂𝑢 ∂𝑧 ∂𝑧
𝑥 ∂𝑦 − 𝑦 ∂𝑥 = 0 8. 令 𝑢 = 𝑥𝑦，則 𝑧 = 𝑓(𝑢) ∂𝑧
∂𝑧
= ∂𝑢 (𝑦) ∂𝑥 ∂𝑧
=
∂𝑧
(𝑥)
∂𝑦 ∂𝑢 ∂𝑧 ∂𝑧
𝑥 ∂𝑦 − 𝑦 ∂𝑥 = 0 9.
∂𝑓 ∂𝑥 ∂𝑓
= 2𝑥𝑒 −𝑥
2
= −2𝑦𝑒 −𝑦 ∂𝑦 10.
∂𝑓 ∂𝑟 ∂𝑓 ∂𝑠
2
= 4𝑟 3 + 4𝑟𝑠 2 + 45𝑟 3 𝑠 + 15𝑠 3 + 81𝑟 2 𝑠 3
= 4𝑟 2 𝑠 + 4𝑠 3 + 15𝑟 3 + 45𝑟𝑠 2 + 81𝑟 3 𝑠 2
11. 其體積以每秒 25 𝜋 立方公分之速率遞增。
習題 8-6 解答 1. ▽𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 6𝑦)i + (2𝑥 + 6𝑦)j ▽ 2. ▽𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 3𝑦𝑧)i + (2𝑦 + 3𝑥𝑧)j + +(2𝑧 + 3𝑥𝑦)k 3. Du𝑓(2,3) =
13+12√3
4. Du𝑓(1,2) = − a
3
2 22 5 4
12
5. u = |a| = 13 i + 13 j + 13 k
▽𝑓 (1,2,3) = 22i + 27j + 110k Du𝑓(1,2,3) = ▽𝑓 (1,2,3) · u =
1494 13
習題 8-7 解答 1. 切平面方程式：10(𝑥 − 1) + 16(𝑦 − 1) − (𝑧 − 17) = 0 𝑥−1
法線方程式： 10 =
𝑦−2 16
=
𝑧−17 −1
2. 切平面方程式：2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2) − (𝑧 − 5) = 0 法線方程式：
𝑥−1 2
=
𝑦−2 4
=
𝑧−5 −1
3. 切平面方程式：𝑧 = 1 法線方程式：𝑥 = 0，𝑦 = 0，即𝑧軸 4. 切平面方程式：3(𝑥 − 3) + 4(𝑦 − 4) − 5(𝑧 − 5) = 0 法線方程式：
𝑥−3 3
=
𝑦−4 4
=
𝑧−5 5
習題 8-8 解答 1. 點(0,0,3)為鞍點(saddle point) 𝑓 (6,18) = 111為局部極大值(local maximum) 2. 𝑓(1,0) = 3為局部極小值(local minimum) 3. 點𝑓(0,0,0)為鞍點(saddle point) 𝑓 (2,1) = −8為局部極小值(local minimum) 4. 𝑓(−2, −2) = −10為局部極小值(local minimum) 5. 點(0,0,50)為鞍點(saddle point) 𝑓 (2,4) = −14為局部極小值(local minimum) 6. 𝑓(0,0) = 5為局部極大值(local maximum) 𝑓 (0,2) = 1為局部極小值(local minimum) 點(1,1,3)為鞍點(saddle point) 點(−1,1,3)為鞍點(saddle point)
習題 8-9 解答 1. 𝑓(1,1) = 10為極大值， 𝑓 (−1, −1) = 0為極小值。
2. 雙曲線 𝑥𝑦 = 4上點(2,2)及點(−2, −2)至原點之距離為最小， 其距離 2√2。 3. 𝑓 (
5
,
5
√2 √2
)=𝑓(
5
,
5
√2 √2
) = 50為極大值。
4. 𝑓(0,1) = 𝑓 (0, −1) = −1為極小值 𝑓 (2,0) = 𝑓 (−2,0) = 4為極大值 5. 𝑓(4,4,2) = 32為極大值 6. 𝑓(4,8,6) = 116為極大值