Chapter 1 Limits and Continuity (第一章 極限與連續)

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Limits and Continuity 第一章 極限與連續

自從英國人 Newton(1642-1727)及德國人 Leibniz(1646-1716)發明微積分 (Calculus)以來，已經有三百多年的歷史，這門數學主要試用極限(limit)的觀念來 討論函數(function)的性質。 1-1 函數極限的直觀概念(The Intuitive Notion for the Limit of a Function) 讀者在學習高中(職)數學時，已經熟悉函數符號 y = f(x)的意義。這種符號 是瑞士數學家 Euler(1707-1783)首先使用，比微積分的發明還要晚些。 如何使大一學生建立起極限之概念，一直都挑戰著微積分教科書之作者以 及微積分授課之教師。微積分之教科書，因學習對象的不同，常使用不同之方法 來建立極限之概念。 1.只用直觀之概念及極限之法則(Limit rules)來討論極限，完全不對極限作 嚴密的定義，因此也就無法證明極限之法則。 2.直接對極限做嚴密之定義，先證明極限之法則後，才放心的用極限之法 則求極限。 3.先用直觀之概念，及極限之法則來討論極限，然後對極限作嚴密之定義， 並證明極限之法則，以滿足讀者之求知慾。 本書採用第三種方法，也是最近大部分微積分書籍所採用之方法。授課教 師如果感到時間不足，或學生不喜歡抽象之概念時，本章第二節可不講授也不會 影響學生對微積分之學習。 如果 x 充分的接近 a，且 x≠ 𝑎時，可使 f(x)任意的接近 L，則稱當 x 趨近於 a 時， f(x)的極限為 L，記為𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 𝐿。 𝑥→2

♡例 1.1 若 f(x)=𝑥 2 ，試用直觀的方法求極限 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 )。 𝑥→2

【解】用計算器計算可得下面數據 f(1.9)=1.92 =3.6100 f(1.99)= 1.992 =3.9601 f(1.999)= 1.9992 =3.9960 f(1.9999)= 1.99992=3.9996

f(2.1)= 2.12 =4.4100 f(2.01)= 2.012 =4.0401 f(2.001)= 2.0012 =4.004 f(2.0001)= 2.00012=4.0004

圖 1.1 由上表或圖 1.1 可以看出 x 充分的接近 2，則 f(x)=𝑥 2 就可任意的接近 4，故得 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 4。 𝑥→2

♡例 1.2 若 f(x) =

𝑥 2−1 x−1

，x≠1，試用直觀的方法求極限𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 )。 𝑥→1

【解】用計算器計算可得下面數據 f(1.1)= 2.1000 f(1.01)= 2.0100 f(1.001)= 2.0010 f(1.0001)= 2.0001

f(0.9)=1.9000 f(0.99)= 1.9900 f(0.999)= 1.9990 f(0.9999)= 1.9999

圖 1.2 由上表或圖 1.2 可以看出 x 充分的接近 1，且 x ≠ 1時，則 f(x)就可任意 的接近 2，故得𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 2。 𝑥→1

在上例中說明一個事實，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 2，但𝑓 (1)並沒有定義，一般來說，當 𝑥→1

𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )存在時，𝑓 (𝑎)未必要有定義，就是𝑓(𝑎)有定義，其值也未必要與𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) 𝑥→𝑎

之直相等。

𝑥→𝑎

許多函數會有𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )之值與𝑓 (𝑎)相等之情形，例如常數函數(Constant 𝑥→𝑎

function)、恆等函數(Identity fuction)等。 如圖 1.3，不論 x 之值為何都有𝑓(𝑥 ) = 𝑘。

圖 1.3 當 x 接近 a 時，𝑓(𝑥 )與𝑘相等，當然𝑓 (𝑥 )可與 k 任意接近，故得下面定理

♡定理 1.1：常數函數之極限(Limit of a constant function ) 設 𝑓(𝑥 ) = k，k 為一常數，a 為任意實數，則𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘。 𝑥→𝑎

例如：𝑙𝑖𝑚 5 = 5，𝑙𝑖𝑚 2 = 2。 𝑥→3

𝑥→0

恆等函數(Identity function) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥之極限也可由其函數圖形直接看出，說明如 下

圖 1.4 如圖 1.4，當充分 x 接近 a 時，𝑓 (𝑥 )可任意接近 a，故得下面定理 ♡定理 1.2：恆等函數之極限(Limit of the identity function ) 若 𝑓(𝑥 ) = 𝑥，a 為任意實數，則𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥) = 𝑎。 𝑥→𝑎

例如：𝑙𝑖𝑚 = 6， 𝑙𝑖𝑚 = −5。 𝑥→6

𝑥→−5

下面極限之法則(Limit rules)，可用來求一些函數之極限，其證將留在本章第 三節中討論。

♡定理 1.3：恆等函數之極限(Limit rules ) 若 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 𝐿，𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 𝑀，k 為常數，則 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

○1 𝑙𝑖𝑚 𝑘𝑓 (𝑥 ) = 𝑘𝐿 𝑥→𝑎 ○2 𝑙𝑖𝑚[𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥 )] = 𝐿 + 𝑀 𝑥→𝑎

○3 𝑙𝑖𝑚[𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥 )] = 𝐿 − 𝑀 𝑥→𝑎 ○4 𝑙𝑖𝑚[𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥 )] = 𝐿𝑀 𝑥→𝑎

○5 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

𝐿

= 𝑀，但𝑀 ≠ 0。

有了𝑙𝑖𝑚𝑘 = 𝑘 及 𝑙𝑖𝑚𝑥 = 𝑎 二個公式之後，再用極限之法則，可求出多項 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

式函數及有理函數之極限。 ♡例 1.3 試求○1 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2

○2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 3

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

【解】○1 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 = 𝑙𝑖𝑚(𝑥 ∙ 𝑥) = (𝑙𝑖𝑚 𝑥) (𝑙𝑖𝑚 𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

○2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚(x ∙ 𝑥) = (𝑙𝑖𝑚 𝑥 ) (𝑙𝑖𝑚 𝑥) = 𝑎2 ∙ 𝑎 = 𝑎3 。 3

𝑥→𝑎

2

2

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

♡例 1.4 求lim(3𝑥 2 + 5𝑥 + 6) 。 x→2

【解】lim(3𝑥 2 + 5𝑥 + 6) x→2

=3lim 𝑥 2 + 5 lim 𝑥 + lim 6 x→2

x→2

x→2

=3 ∙ 22 + 5 ∙ 2 + 6 = 28。 ♡例 1.5 求𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] = 15，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) − 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 1， 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

試求𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )之值。 𝑥→𝑎

【解】由𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) − 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 1知，𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )與𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 )都存在。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

故𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) + 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 15 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) + 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 15 𝑥→𝑎 由 {𝑥→𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) − 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 1 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

得𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 8，𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 7 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

故𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ∙ 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 ) = 8 ∙ 7 = 56。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

習題 1-1 √𝑥−√2 。 𝑥→2 𝑥−2 2 𝑥 −5𝑥+6

1.

求𝑙𝑖𝑚

2.

求𝑙𝑖𝑚 (𝑥−2)(𝑥+3)。

3.

求𝑙𝑖𝑚 𝑥−3 (𝑥−2 + 𝑥−4)之值。

𝑥→2 𝑥→3

1

1

1

1-2 函數極限之定義 (The Definition for the Limit of a Function) 極限(limit)是微積分最基本的概念，一班學生都要花上一些時間才能建立起 極限之概念。回顧微積分發展的歷史，在德國數學家 Weierstrass(1815-1897)提出 ε − δ法定義函數的極限之前，也就是極限之法則(Limit rules)未獲得嚴密證明之 前，微積分已經被大量應用在物理學及其他科學方面，歷史的經驗告訴我們，極 限的嚴密定義，只是為了能夠對極限之法則做嚴密的證明。以為微積分教材發展 的歷史來說，用ε − δ這種語言來定義函數的極限，證明極限之法則等，一百多 年來一直未被其他的方法取代，也許永遠無法被取代。 Weierstrass 的ε − δ語言，只不過是把值觀的極限概念，改用正式的數學術語 來表達。我們把 x 充分的接近 a 且𝑥 ≠ 𝑎寫成：存在一個正數δ，當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 時，而把𝑓(𝑥 )可任意的接近 L 寫成：對於任意正數 ε (不論如何小)都可使 |𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀 成立，則可得下面定義。

♡定義 1.1：極限之定義(The definition of limt) 若對於任意給定𝜀 > 0，都存在δ > 0，當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時，恆可使|𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀成立，則稱當 x 趨近於 a 時， 𝑓 (𝑥)的極限為 L，記為 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿。 𝑥→𝑎

(the limit of 𝑓(𝑥)as x approaches a is L, written 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 𝐿, if for every 𝑥→𝑎

given 𝜀 > 0, there exists a 𝛿 > 0 such that |𝑓(𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀 whenever 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.) 有時將定義 1.1 改寫成下面形式，證明問題時更方便。 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿 ↔對於任意𝜀 > 0，存在δ > 0，當𝑎 − δ < 𝑥 < 𝑎或a < 𝑥 < 𝑎 + δ恆 𝑥→𝑎

可使 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥 ) < 𝐿 + 𝜀成立。

𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿之意義可用下圖 1.5 表示 𝑥→𝑎

圖 1.5

在圖 1.5 中，表示只要𝑎 − δ < 𝑥 < 𝑎 + δ且x ≠ 𝑎時，y = 𝑓(𝑥)之圖形必落在二直 線y = 𝐿 − 𝜀與y = 𝐿 + 𝜀之間，即|𝑓(𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀。

極限存在的意義 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )存在，是表示可以找到一個實數 𝐿，對於任意給定正數𝜀，都可至找到 𝑥→𝑎

一個正數δ，當0 < |x − 𝑎| < 𝛿時，恆可使 |𝑓(𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀成立。

以下讓我們來演練ε − δ法。讀者必須注意，ε是任意給定的一個正數，而 δ 是隨著 ε 變動的一個正數。ε − δ法也只能用來驗證函數之極限值，而無法求函 數之極限值。

例 1.6 試由極限之定義(ε − δ法)證明 lim(4𝑥 + 5) = 17。 x→3

【證】令ε為任意給定之正數 ε

因|(4𝑥 + 5) − 17| < 𝜀 ⇔ |4𝑥 − 12| < 𝜀 ⟺ |𝑥 − 3| < 4 ε

取δ = 4，則當0 < |𝑥 − 3| < 𝛿時 恆可使|(4𝑥 + 5) − 17| < 𝜀成立 故由極限的定義知，lim (4𝑥 + 5) = 17。 𝑥→3

例 1.7 1

若 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 + 4，L=10，ε = 5，試求一正數 δ，當0 < |𝑥 − 2| < δ時，恆可使 |𝑓 (𝑥 ) = −𝐿| < ε成立。

1

1

【解】|𝑓 (𝑥 ) = −𝐿| = |(3𝑥 + 4) − 10| = |3𝑥 − 6| = 3|𝑥 − 2| < 5 ⇔ |𝑥 − 2| < 15 1

取 δ=15，則當0 < |x − 2| < δ時，恆可使|𝑓(𝑥 ) = −𝐿| < ε成立。 例 1.8 若 k 為一常數，試由極限的定義證明lim 𝑘 = 𝑘。 𝑥→𝑎

【證】令 ε 為任意給定的正數，取 δ=ε(事實上，δ 可取任何正數) 則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時，|𝑘 − 𝑘| = 0 < ε 故由極限的定義知，lim 𝑘 = 𝑘。 𝑥→𝑎

例 1.9 若 a 為一任意實數，試由極限之定義證明lim 𝑥 = 𝑎。 𝑥→𝑎

【證】令 ε 為任意給定的正數，取 δ=ε 則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時，|𝑘 − 𝑘| < ε 故由極限的定義知，lim 𝑥 = 𝑎。 𝑥→𝑎

例 1.10 1

1

𝑥→2 𝑥

2

試由極限之定義證明lim = 。

【證】設 ε 為任意給定的正數 令|x − 2| < 1，則1 < 𝑥 < 3，故得2 < |2𝑥| < 6 取δ = min{1,2ε}，故當0 < |𝑥 − 2| < δ時 1

1

可使|𝑥 − 2| = 1

|𝑥−2| |2𝑥|

1

1

< 2 ∙ 2ε = ε

故lim 𝑥 = 2。 𝑥→2

例 1.11 試由極限之定義證明lim 𝑥 2 = 𝑎2 。 𝑥→𝑎

【證】設 ε 為任意給定的正數 我們希望找到一正數δ，當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時 可使|𝑥 2 − 𝑎2 | < 𝜀成立。 令|𝑥 − 𝑎| < 1，則 |𝑥 − 𝑎| = |2𝑎 + (𝑥 − 𝑎)| ≤ 2|𝑎| + |x − 𝑎| < 2|𝑎| + 1 ε } 取δ = min {1, 2|𝑎|+1

則當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時，可使 ε |𝑥 2 − 𝑎2 | = |x + 𝑎||x − 𝑎| < (2|𝑎| + 1) ∙ =ε 2|𝑎|+1 故由極限的定義得lim 𝑥 2 = 𝑎2 。 𝑥→𝑎

例 1.12 試由極限之定義證明lim √𝑥 = 2。 𝑥→4

【證】設 ε 為任意給定的正數 取δ = 2ε，則當0 < |𝑥 − 4| < 𝛿時，恆可使 |√𝑥 − 2| =

|𝑥−4| √

≤ 𝑥+2

|𝑥−4| 2

<

2ε 2

=ε

故由極限的定義知，lim √𝑥 = 2。 𝑥→4

例 1.13 試由極限之定義證明lim √𝑓 (𝑥 ) = √L。 𝑥→𝑎

【證】設 ε 為任意給定的正數 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L > 0 𝑥→𝑎

故可找到δ1 > 0，當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ1 時 恆可使|𝑓 (x) − L| < √Lε 成立 又因 L>0，故可找到δ2 > 0 L

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ2 時，恆可使|𝑓(x) − L| < 2成立 L

L

L

即− 2 < 𝑓(x) − L < 2，即𝑓(𝑥 ) > 2 > 0 取δ = min{δ1 , δ2 }，則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時 |√𝑓(x) − √L| =

|𝑓(𝑥)−L| √𝑓(𝑥)+√L

≤

|𝑓(𝑥)−L| √L

<

√Lε √L

故由極限的定義知，lim √𝑓 (𝑥 ) = √L。 𝑥→𝑎

習題 1－2 1. 試用𝜀 − 𝛿法證明 lim (2𝑥 + 9) = 13。 𝑥→2

2. 試用𝜀 − 𝛿法證明 lim (𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏。 𝑥→𝑎

3. 試用𝜀 − 𝛿法證明 lim 𝑥 3 = 8。 𝑥→2

𝑥 2−4

4. 試用𝜀 − 𝛿法證明 lim x2−2 = 4。 𝑥→2

5. 若 lim 𝑓 (𝑥 ) = L，試證 lim |𝑓 (𝑥 )| = |L|。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

=ε

1-3 極限的性質(Properties of Limit) 本節極限的性質，以後經常會引用到，但其證明對於剛學習微積分之學生來說， 可能會相當吃力，授課老師可視學生之程度做適當之調整。

♡定理 1.4：極限的唯一性(Uniqueness of limit) 若lim 𝑓 (𝑥 )存在，則其值為唯一。 𝑥→𝑎

【證】若lim 𝑓 (𝑥 ) = L，lim 𝑓 (𝑥 ) = M 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

且𝐿 ≠ 𝑀，則|L − M| > 0 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L，故可找到𝛿1 > 0， 𝑥→𝑎

1

當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1時，恆可使|𝑓 (𝑥 ) − L| < 2 |L − M| 因lim 𝑓 (𝑥 ) = M，故可找到𝛿2 > 0， 𝑥→𝑎

1

當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 時，恆可使|𝑓(𝑥 ) − M| < 2 |L − M| 取δ = min{𝛿1 , 𝛿2 }，則當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時 恆可使|L − M| = |𝑓 (𝑥 ) − M − (𝑓 (𝑥 ) − L)| ≤ |𝑓 (𝑥) − M| + |𝑓(𝑥 ) − L| 1

1

< 2 |L − M| + 2 |L − M| = |L − M| 因此得到|L − M| < |L − M|之矛盾結果 故 L=M，即lim f(x)之值為唯一的。 𝑥→𝑎

♡定理 1.5：和的極限(Limit of sum) 若lim 𝑓 (𝑥 ) = L，lim g(x) = M，則lim [𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥 )] = L + M。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

【證】設 ε 為任意給定的正數 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L，lim 𝑔(𝑥 ) = M 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

故可找到正數δ1 與δ2 ， ε

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ1 時，可使|𝑓 (𝑥 ) − L| < 2

ε

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ2 時，可使|𝑔(𝑥 ) − M| < 2 取δ = 𝑚𝑖𝑛{δ1 , δ2 }，則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時 ε

ε

可使 |[𝑓(𝑥) + g(x)] − (L + M) ≤ |𝑓 (𝑥 ) − L| + |𝑔(𝑥 ) − M|| < 2 + 2 = ε 故𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] = 𝐿 + 𝑀。 𝑥→𝑎

♡定理 1.6：積的極限(Limit of product) 若lim 𝑓 (𝑥 ) = L，lim g(x) = M，則lim [𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥 )] = LM。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

【證】設 ε 為任意給定的正數 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L，故可找到正數δ1 與δ2 𝑥→𝑎

1

ε

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ1 時，可使|𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| < 2 |M|+1 當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ2 時，可使|𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| < 1 故|𝑓(𝑥)| = |𝑓 (𝑥 ) − 𝐿 + 𝐿| ≤ |𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| + |𝐿| < |𝐿 + 1| 因lim g(x) = M，故可找到正數δ3 𝑥→𝑎

1

𝜀

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ3 時，可使|𝑔(𝑥 ) − 𝑀| < 2 |𝐿|+1 取δ = min{δ1 , δ2 , δ3 }，則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時 可使|[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)] − (LM)| = |𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 )𝑀 + 𝑓(𝑥 )𝑀 − 𝐿𝑀| ≤ |𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥 )𝑀| + |𝑓(𝑥 )𝑀 − 𝐿𝑀| ≤ |𝑓 (𝑥 )||𝑔(𝑥 ) − 𝑀 | + |𝑓(𝑥 ) − 𝐿||𝑀| 1 ε 1 ε ε ε |M| ≤ + = ε < (|L| + 1) + 2 | L| + 1 2 | M | + 1 2 2 故由極限的定義知lim [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )] = LM。 𝑥→𝑎

♡定理 1.7：倒數的極限(Limit of reciprocal a function) 1

1

若lim 𝑓 (𝑥 ) = L ≠ 0，則lim 𝑓(𝑥) = L。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

【證】設 ε 為任意給定的正數 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L ≠ 0，故可找到正數δ1 與δ2 𝑥→𝑎

當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ1 時，可使|𝑓 (𝑥 ) − L| <

|L| 2

故|𝑓(𝑥)| = |L + 𝑓 (𝑥) − L| ≥ |L| − |𝑓(𝑥 ) − L| + |L| ≥ |L| − 當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ2 時，可使|f(x) − L| <

ε|L|2 2

取δ = min{δ1 , δ2 }，則當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時 1

1

可使|𝑓(𝑥) − L| =

|L−𝑓(𝑥)| |𝑓(𝑥)L| 1

2 |L−𝑓(𝑥)|

< |L|

|L|

2 ε|L|2

< |L|2

1

2

=ε

故由極限的定義知lim 𝑓(𝑥) = L。 𝑥→𝑎

♡定理 1.8：商的極限(Limit of quotient) 𝑓(𝑥)

L

若lim 𝑓 (𝑥 ) = L，lim 𝑔(𝑥 ) = M ≠ 0，則lim 𝑔(𝑥) = M。 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

1

1

1

𝐿

【證】𝑙𝑖𝑚 [𝑔(𝑥)] = 𝑓 (𝑥 ) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀 = 𝑀 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

|L| 2

=

|L| 2

♡定理 1.9：夾擠定理(Squeeze Theorem) 設 在 包 含 𝑎 之 某 個 開 區 間 內 ， 當 𝑥 ≠ 𝑎 時 ， 都 有 𝑔 (𝑥 ) ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ ℎ(𝑥 ) ， 若 lim 𝑔(𝑥 ) = L，lim ℎ(𝑥 ) = L，則lim 𝑓 (𝑥 ) = L。 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 (Suppose that 𝑔(𝑥 ) ≤ 𝑓(𝑥 ) ≤ ℎ(𝑥 ) for all 𝑥 ≠ 𝑎 in some open interval containing 𝑎. If lim 𝑔(𝑥 ) = L and lim h(x) = L, then lim 𝑓(𝑥) = L.) 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

圖 1.6

【證】因lim g(𝑥) = L，lim h(𝑥) = L，故對於任意給定之一正數，都可以 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

找到一正數δ，當0 < |𝑥 − 𝑎| < δ時，可使 L − ε < 𝑔(𝑥 ) ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ h(𝑥) < 𝐿 + 𝜀， 即L − ε < 𝑓(𝑥 ) < 𝐿 + 𝜀， 故lim 𝑓 (𝑥 ) = L。 𝑥→𝑎

例 1.14 若0 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ 4𝑥 2 + 9𝑥 4 ，試求

lim 𝑓(𝑥)。 x→0

【解】因lim 0 = 0，且lim (4𝑥 2 + 9𝑥 4 ) = 0， 𝑥→0

𝑥→0

故由夾擠定理知，lim 𝑓(𝑥) = 0。 𝑥→0

例 1.15 −1

1

若𝑥 4 + 𝑥 2 + 5 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ 2𝑥 2 + 5， 10 < 𝑥 < 10 ，求lim 𝑓(𝑥)。 x→0

【解】𝑙𝑖𝑚(𝑥 4 + 𝑥 2 + 5) = 5， 𝑥→0

𝑙𝑖𝑚(2𝑥 2 + 5) = 5， 𝑥→0

故由夾擠定理知，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 5。 𝑥→0

習題 1－3 1. 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]存在時，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)與𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)是否都要存在? 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

2. 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )]存在時，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)與𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)是否都要存在? 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

3. 若𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)存在，且𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]也存在，問𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)是否存在? 𝑥→𝑎

𝑝(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

4. 若𝑙𝑖𝑚 𝑥−𝑎 存在，則𝑙𝑖𝑚 𝑝(𝑥) =? 𝑥→𝑎

5. 若𝑙𝑖𝑚 𝑥→1

𝑎𝑥 2 +𝑥+𝑏 𝑥−1

𝑥→𝑎

= 5，求 a，b 之值。

6. 若𝑥 6 + 3𝑥 2 + 5 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ 6𝑥 2 + 5， − 0.1 < 𝑥 < 0.1，求 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 。 𝑥→0

1-4 單邊極限(One-Sided Limits) 讀者在前面已經學過lim 𝑓(𝑥 ) = L之直觀意義為：只要 x 充分的接近 a(不論 x→𝑎

從左邊接近 a 或從右邊接近 a)，則 f(x)可任意的接近 L。本傑將討論 x 只從 a 之 左邊趨近 a，或只從 a 知右邊趨近 a 時之情形。 左極限(Left-hand limit)知直觀意義： 如果 x 從 a 知左邊充分的接近 a 且𝑥 ≠ 𝑎時，f(x)可任意的接近 L，則稱 f(x) 在 a 處之左極限為 L，記為 lim 𝑓(𝑥 ) = L。 x→a−

左極限之嚴密定義如下：

定義 1.2：左極限(Left-hand limit) 若對於任意給定ε > 0，都存在δ > 0，當𝑎 − δ < 𝑥 < 𝑎時，恆可使 |𝑓 (𝑥 ) − L| < 𝜀成立，則稱當 x 由左邊趨近於 a 時，f(x)的左極限為 L， 記為 lim 𝑓 (𝑥) = L。 𝑥→𝑎−

(The left-hand limit of f(x) as x approaches a from the left is L, written lim f(x) = L, if for every given ε > 0, 𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠 𝑎 𝛿 > 0 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑥→𝑎− |𝑓 (𝑥 ) − L| < 𝜀 𝑤ℎ𝑒𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎.) 如圖 1-7，當 x 由 a 之左邊趨近於 a 時，f(x)就以 L 為極限。

圖 1.7 右極限(Right-hand limit)之直觀意義： 如果 x 從 a 知右邊充分的接近 a 且𝑥 ≠ 𝑎時，f(x)可任意的接近 L，則稱 f(x)

ĺœ¨ a 處䚋ĺ?łćĽľé™?ç‚ş LďźŒč¨˜ç‚ş lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = L。 đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž+

ĺ?łćĽľé™?䚋嚴密厚瞊匂下

ďƒ ĺŽš瞊 1.3ďźšĺ?łćĽľé™?(Right-hand limit) č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚ξ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨Î´ > 0ďźŒç•śđ?‘Ž < đ?‘Ľ < đ?‘Ž + δ ć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż |đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − L| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡稹ç•ś x 甹ĺ?łé‚Š蜨čż‘ć–ź a ć™‚ďźŒf(x)çš„ĺ?łćĽľé™?ç‚ş LďźŒ č¨˜ç‚ş lim đ?‘“ (đ?‘Ľ) = L。 đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž+

(The right-hand limit of f(x) as x approaches a from the right is L, written lim f(x) = L, if for every given Îľ > 0, there exists đ?‘Ž đ?›ż > 0 đ?‘ đ?‘˘đ?‘?â„Ž đ?‘Ąâ„Žđ?‘Žđ?‘Ą

�→�+

|đ?‘“ (x) − L| < đ?œ€ whenever đ?‘Ž < đ?‘Ľ < đ?‘Ž + δ.)

ĺœ– 1.8 ĺŚ‚ĺœ– 1-8ďźŒç•ś x 甹 a äš‹ĺ?łé‚Š蜨čż‘ć–ź a ć™‚ďźŒf(x)尹䝼 L 為漾é™?。 甹đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ??ż ďźŒlim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = LďźŒ lim đ?‘“(đ?‘Ľ ) = L䚋厚瞊ďźŒĺ?Żĺž—下é?˘ĺŽšç?† đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

x→a+

x→a−

♡定理 1.10：極限存在充要條件 lim 𝑓 (𝑥 ) = L的充要條件為： lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = L。 x→a

x→a−

x→a+

圖 1.9

例 1.16 |𝑥|

,𝑥 ≠ 0 𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥 ，問lim 𝑓 (𝑥)是否存在？ x→0 1, 𝑥 = 0 【解】

|x|

−x

|x|

x

當x < 0時，𝑓(𝑥 ) = x = x = −1 𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− (−1) = −1 𝑥→0

𝑥→0

當x > 0時，𝑓(𝑥 ) = x = x = 1 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+ 1 = 1 𝑥→0

𝑥→0

因 𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓 (𝑥 ) 𝑥→0

𝑥→0

故𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )不存在。 𝑥→0

習題 1-4 2 + 𝑥, 𝑥 ≤ 1 1. 若𝑓(𝑥 ) = { ，問𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 )是否存在？ 2 − 𝑥, 𝑥 > 1 𝑥→1 2 𝑥 + 2𝑥, 𝑥 ≤ 1 2𝑥 3 , 𝑥 ≤ 1 2. 若𝑓(𝑥 ) = { ，𝑔(𝑥 ) = { 2𝑥, 𝑥>1 3, 𝑥 > 1 (a)問𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )是否存在？ 𝑥→1

(b)問𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 )是否存在？ 𝑥→1

(c)問𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)]是否存在？ 𝑥→0

(d)問𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]是否存在？ 𝑥→0 𝑥[𝑥 ], 𝑥 < 2 3.若𝑓(𝑥 ) = { ，問𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) 是否存在？ 2𝑥 − 2, 𝑥 ≥ 2 𝑥→2

1-5 連續性(Contimuity) 定義 1.4：連續(continuity) 若lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑎)，則稱函數在𝑎處連續。 x→𝑎 (𝑎 function f(x) is continuous 𝑎t 𝑎,if lim 𝑓(𝑥 ) = f(𝑎).) x→𝑎

若函數 f(x)在𝑎處連續，表示 (𝑎)

lim 𝑓(𝑥 )存在 (lim𝑓(𝑥) exists)

x→𝑎

x→𝑎

(b) f(𝑎)有定義( f(𝑎) is defined ) (c) lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎) x→𝑎

函數𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處連續之幾何意義為：曲線 y = 𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處不中斷， 如下面圖 1.10 所示

圖 1.10 下面是判定𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處不連續之方法： 1. 只要lim 𝑓 (𝑥 )不存在，則𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處就不連續。 x→𝑎

2. 只要𝑓(𝑎)沒有定義，則𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處不連續。 3. 若lim 𝑓 (𝑥 ) 存在，𝑓(𝑎)也有定義，但 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ≠ 𝑓(𝑎)， x→𝑎

則𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處不連續。

𝑥→𝑎

圖 1.11 如圖 1.11，因lim 𝑓(𝑥 )不存在，故𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處不連續。因𝑓 (𝑏)沒 x→𝑎

有定義，故𝑓 (𝑥 )在𝑥 = b處不連續。雖然lim 𝑓(𝑥)存在，𝑓(𝑐 )也有定義， x→𝑎

但𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ≠ 𝑓 (𝑐 )，故𝑓(𝑥 )在𝑥 = c處不連續。 𝑥→𝑐

註：函數𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 𝑎處連續↔ lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑎) x→𝑎

此定義可改寫成： 函數𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處連續⟺ lim 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) h→0

【證】 因𝑓(𝑥 )在 x = 𝑎處連續，故lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑎) x→𝑎

令h = 𝑥 − 𝑎，則𝑥 = 𝑎 + h，當 h → 0 時，則𝑥 → 𝑎 故lim 𝑓(𝑎 + ℎ) = lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎)。 h→0

x→𝑎

例 1.17 問𝑓 (𝑥 ) = { 【解】

x2 −7x+12

5,

x−3

,𝑥 ≠ 3 𝑥=3

𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

𝑥→3 (𝑥−3)(𝑥−4)

=𝑙𝑖𝑚 𝑥−3 𝑥→3 𝑓 (3 ) = 5

，在 𝑥 = 3處是否連續？

𝑥 2 −7𝑥+12 𝑥−3

=𝑙𝑖𝑚(𝑥 − 4) = −1 𝑥→3

因 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ≠ 𝑓 (3) 𝑥→3

故𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 3 處不連續。

符號[𝑥 ]表是小於或等於 x 之最大整數，稱為 x 之高斯函數(G𝑎uss function)， 或 x 之最大整數函數(Gre𝑎test integer function)。

例 1.18 設𝑓 (𝑥 ) = 𝑥[𝑥]，試問 𝑓 (𝑥 )在 𝑥 = 0處是否連續？ 【解】

當0 < 𝑥 < 1 時，𝑓 (𝑥 ) = 0，故 lim 𝑓(𝑥 ) = 0 x→0+

當−1 < 𝑥 < 0 時，𝑓 (𝑥 ) = −𝑥，故 lim 𝑓 (𝑥) = lim 𝑓 (−𝑥 ) = 0 x→0−

x→0−

故lim 𝑓 (𝑥 ) = 0 = 𝑓(0)，故𝑓 (𝑥)在𝑥 = 0處為連續。 x→0

例 1.19 𝑥 2 + 4，𝑥 < 2

若𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥3 【解】

，則 𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 2處是否連續？ ，𝑥 ≥ 2

因 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 4) = 8 𝑥→2−

𝑥→2−

𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 = 8

𝑥→2+

𝑥→2+

故𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 8 𝑥→2

又𝑓 (2) = x 3 = 8 故得𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 8 = 𝑓(2) 𝑥→2

即𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 2處連續。

例 1.20 𝑥 2−9

，𝑥 ≠ 3 若𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥−3 在𝑥 = 3處為連續，試求 k 之值。 𝑘 ，𝑥 =3 【解】 因𝑓(𝑥 )在𝑥 = 3 處為連續，故𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(3) 即k = 𝑓 (3) = lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 x→3

𝑥→3 𝑥 2−9

𝑥→3 𝑥−3

= 𝑙𝑖𝑚(𝑥 + 3) = 6。 𝑥→3

例 1.21 𝑥 3 −3𝑥 2+2 𝑥 2 −1

若𝑓 (𝑥 ) = { 𝑎

，𝑥 ≠ 1

，𝑥 =1

在𝑥 = 1處為連續，試求𝑎之值。

因𝑓 (𝑥 )在𝑥 = 1 處為連續，故𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(1)

【解】

即𝑎= 𝑓 (1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1

𝑥→1

𝑥→1 𝑥 3−3𝑥 2 +2 𝑥 2 −1

= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

𝑥 2 −2𝑥+2 𝑥+1

=

1−2−2 2

=

−3 2

。

定義 1.5：開區間上連續(Continuous on an open interval) 設𝑓 (𝑥 )為定義於開區間(𝑎, b)上之函數，若 𝑓(𝑥 )在(𝑎, b) 上任何點都連續，則稱 𝑓 (𝑥 )在開區間(𝑎, b)上連續。

定義 1.6：閉區間上連續(Continuous on an closed interval) 設𝑓 (𝑥 )為定義於閉區間[𝑎, b]上之函數，若 (a) 𝑓 (𝑥 )在(𝑎, b)上連續 (b) lim+ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎

(c)

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑏)

𝑥→𝑏−

則稱𝑓 (𝑥 )在閉區間[𝑎, b]上連續。

例 1.22 試討論函數𝑓 (𝑥 ) = √9 − 𝑥 2 之連續性(continuity) 【解】 函數𝑓 (𝑥 )之定義域為[−3,3] 若 c 為開區間(−3,3)內之一點，則 lim 𝑓 (𝑥 ) = √9 − c 2 = 𝑓 (𝑐 ) x→c

故𝑓(𝑥 )在開區間(−3,3)內為連續 lim+ 𝑓(𝑥 ) = 0 = 𝑓 (−3) x→−3

lim 𝑓(𝑥 ) = 0 = 𝑓 (3)

x→3−

故𝑓(𝑥 )在閉區間[−3,3]為連續 若𝑓 (𝑥 )與𝑔(𝑥 )在𝑥 = 𝑎為連續，則lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑎)，lim 𝑔(𝑥 ) = 𝑔(𝑎) x→𝑎

x→𝑎

因lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 )] = 𝑓 (𝑎) + 𝑔(𝑎)。 x→𝑎

lim [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑓 (𝑎) − 𝑔(𝑥) x→𝑎 lim 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑎)𝑔(𝑎) x→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑎)

𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎)，𝑔(𝑎) ≠ 0 𝑥→𝑎

故得下面定理

♡定理 1.11：二連續函數的合、差、積、商之連續性 若𝑓 (𝑥 )與𝑔(𝑥 )在𝑥 = 𝑎為連續，則 (a) 𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥)在𝑥 = 𝑎處仍為連續， (b) 𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥)在𝑥 = 𝑎處仍為連續 (c) 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )在x = 𝑎處仍為連續 (d) 若𝑓(𝑥 )與𝑔(𝑥 )在𝑥 = 𝑎為連續， 𝑔(𝑎) ≠ 0

𝑓(𝑥)

則ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)在𝑥 = 𝑎處仍為連續。 例 1.23 求lim(4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 8𝑥 + 5)。 x→3

【解】 因𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 8𝑥 + 5為多項式函數 故lim(4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 8𝑥 + 5) = lim𝑓(𝑥 ) = 𝑓 (3) = 152 x→3

x→3

♡定理 1.12：複合函數(Composite function)的連續性 若𝑔(𝑥 )在𝑎處連續，則 𝑓 (𝑔(x))在 𝑔(𝑎)處連續，則複合函數 𝑓 (𝑔(x))在𝑎處連續。 (If 𝑔(𝑥 ) is continuous 𝑎t 𝑎 𝑎nd 𝑓 (𝑔(x)) is continuous 𝑎t 𝑔(𝑎) ,then the composite function 𝑓 (𝑔(𝑥 )) is continuous 𝑎t 𝑎.) 【證】 設 ε 為任意給定的正數 因𝑓(𝑔(x))在𝑔(𝑎)處連續，故可找到一個 δ1 > 0 當|𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎)| < δ1 時，恆可使|𝑓 (𝑔(x)) − 𝑓 (𝑔(𝑎))| < 𝜀𝜀 成立 因𝑔(𝑥 )在𝑎處連續，即lim g(x) = g(𝑎) x→𝑎

故對於所選定的的正數 δ1 而言，可找到一個 δ2 > 0 當|x − 𝑎| < δ2 時，恆可使|𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎)| < δ1 成立 故當|x − 𝑎| < δ2 時，恆可使|𝑓(𝑔(x)) − 𝑓 (𝑔(𝑎))| < 𝜀 成立，即 lim 𝑓 (𝑔(x)) = 𝑓 (𝑔(𝑎)) x→𝑎

故𝑓(𝑔(x))在𝑥 = 𝑎處連續。 因𝑔(𝑥 )在𝑎𝑎處連續，故lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎) x→𝑎

故lim f(𝑔(𝑥 )) = f(g(a)) = f(lim g(𝑥)) x→𝑎

x→a

例 1.24 問𝑓 (𝑥 ) = (3𝑥 2 + 6𝑥 + 2)2 在 x=1 處是否連續?並求lim 𝑓(𝑥)之值。 x→1

【解】令g(u) = u3 ，ℎ(x) = 3x 2 + 6x + 2 則f(x) = g(h(x)) 因 h(x)在 x=1 處連續 g(u)在 u=h(1)=11 連續 由複合函數之連續性知 f(x)=g(h(x))在 x=1 連續 lim f(x) = 𝑓(1) = (11)3 = 1331。 x→1

♡定理 1.13：介值定理(Intermediate Value Theorem) 若f(𝑥 )在[𝑎, b]上連續，α 為 f( 𝑎 )與 f(b)間之一實數，則存在c ∈ [𝑎, b]，使得𝑓(𝑐) = α。

圖 1.12 設 f(x)是一個多項式函數，則 f(x)是一個連續函數，若𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0，則由介值定 理(Intermediate Value Theorem)知，方程式 f(x)=0 必有一根介於𝑎與 b 之間。

例 1.25 試證方程式𝑥 3 − 2𝑥 − 1 = 0必有一實根介於 1 與 2 之間。

【解】令𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 − 2𝑥 − 1，則𝑓 (𝑥 )在閉區間[1,2]上連續 𝑓(1) = −2 < 0 𝑓(2) = 3 > 0 −2 = 𝑓(1) < 0 < 𝑓(2) = 3 由介值定理知，在開區間(1,2)上有一點𝑐，使得𝑓(𝑐) = 0，即𝑐為 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 − 2𝑥 − 1 = 0在區間(1,2)上之一實根。

♡定理 1.14：極值定理(Extreme Value Theorems) 若𝑓 (𝑥 )在閉區間[𝑎, b]上連續，則 𝑓 (𝑥)在[𝑎, b]有最大值𝑀及最小值𝑚。 即在[𝑎, b]上存在c1 與c2 使得M = 𝑓(c1 )，m = 𝑓(c2 )且對於[𝑎, b]上所有點 x 均滿 足𝑓(x) ≤ M，且𝑓(x) ≥ m。

圖 1.13

習題 1－5 1. 若𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處為連續，而 g(x)在𝑥 = 𝑎處為不連續，問ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)在 𝑥 = 𝑎處是否可能為連續？ 2. 若𝑓(𝑥 )在𝑥 = 𝑎處為連續，而 g(x)在x = 𝑎處為不連續，問ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)在 𝑥 = 𝑎處是否可能為連續？ 3. 如何用ε − δ法定義：𝑓(𝑥 )在x = 𝑎處連續? 𝑥+3

,當 𝑥 < 1

4. 若𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏, 當 1 ≤ 𝑥 < 2，試求𝑎,b 之值，使得 f(x)在每一點都為連 { 3𝑥 + 1

, 當𝑥 ≥ 2

續。 5. 若𝑓(𝑥 ) = { 6. 若𝑓(𝑥 ) = {

𝑥 2 −12𝑥+35

𝑘

𝑥−5

𝑚𝑥 2 −𝑥−𝑚+1 𝑥−1

5 𝑥2 7 若. 𝑓(𝑥 ) = { 2𝑥 − 1 𝑥2 + 2 8. 若𝑓(𝑥 ) = { 5𝑥 − 1

,𝑥 ≠ 5 ,𝑥 = 5 ,𝑥 ≠ 1

在𝑥 = 5處連續，求 k 之值。

在𝑥 = 1處為連續，求 m 之值。 ,𝑥 = 1 ,𝑥 > 1 問 f(x)在𝑥 = 1處是否連續? ,𝑥 < 1 ,𝑥 > 1 則 f(x)在𝑥 = 1是否連續? ,𝑥 ≤ 1

1-6 無窮極限(Infinite Limits) 前面所討論之極限 lim 𝑓(𝑥 ) = L裡，規定𝑎與 L 都是有限之數。本節將討論 x→𝑎

𝑎或 L 為無窮大(Infinite)之情形。 無窮極限(Infinite limits)

定義 1.7：無窮極限𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞ 𝐱→𝒂

若對於任意給定M > 0，都存在δ > 0，當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時，恆可使 𝑓(𝑥) > 𝑀 成立，則稱當 x 趨近於𝑎時，f(x)之極限為無窮大，記為lim 𝑓(𝑥 ) = ∞。 x→𝑎

(The limit of f(x) 𝑎s x approaches 𝑎 is infinity, written lim 𝑓(𝑥 ) = ∞,if for every 𝑥→𝑎 given M > 0,there exists 𝑎 δ>0 ,such th𝑎t f(x)>M whenever 0 < |x − 𝑎| < 𝛿 )

定義 1.8：無窮極限𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −∞ 𝐱→𝒂

若對於任意給定M < 0，都存在δ > 0，當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時，恆可使𝑓(𝑥 ) < 𝑀成 立，則稱當 x 趨近於𝑎時，f(x)之極限為負無窮大，記為lim 𝑓(𝑥 ) = −∞。 x→𝑎

(The limit of f(x) 𝑎s x approaches 𝑎 is negative infinity, written lim 𝑓(𝑥 ) = −∞,if x→𝑎

for every given M < 0 ,there exists 𝑎 δ >0 ,such th𝑎t f(x)>M whenever 0 < |𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 ) 無窮極限之左極限(Left-hand limit)與右極限(Right-hand limit)定義如下：  lim+ 𝑓(𝑥 ) = ∞ ⇔對於任意給定一正數 M，都存在δ > 0，當𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + δ時， x→𝑎

恆可使𝑓(𝑥) > 𝑀。  lim− 𝑓(𝑥 ) = ∞ ⇔對於任意給定一正數 M，都存在δ > 0，當𝑎 − δ < 𝑥 < 𝑎時， x→𝑎

恆可使𝑓(𝑥) > 𝑀。  lim+ 𝑓(𝑥 ) = −∞ ⇔對於任意給定 M<0，都存在δ > 0，當𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + δ時， x→𝑎

恆可使f(x) < 𝑀。  lim+ 𝑓(𝑥 ) = −∞ ⇔對於任意給定 M<0，都存在δ > 0，當𝑎 − δ < 𝑥 < 𝑎時， x→𝑎

恆可使𝑓(𝑥 ) < 𝑀。

ĺœ¨ç„ĄçŞŽĺ¤§č™•äš‹漾é™?(Limits đ?‘Žt infinity)

ďƒ ĺŽš瞊 1.9ďźšĺœ¨ç„ĄçŞŽĺ¤§č™•äš‹漾é™?đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = đ??‹ đ??ąâ†’∞

č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚ξ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨M > 0ďźŒç•śđ?‘Ľ > đ?‘€ć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż|đ?‘“(đ?‘Ľ ) − L| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒ 則稹ç•ś x 蜨čż‘ć–źç„ĄçŞŽĺ¤§ć™‚ďźŒf(x)äš‹漾é™?ç‚ş LďźŒč¨˜ç‚ş lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = L。 x→∞ (The limit of f(x) đ?‘Žs x đ?‘Žpprođ?‘Žches infinity is L ,written lim đ?‘“(đ?‘Ľ ) = L,if for every x→∞ given Îľ > 0,there exists đ?‘Ž M > 0 ,such thđ?‘Žt |đ?‘“(đ?‘Ľ ) − L| < đ?œ€ whenever x > đ?‘€.)

ďƒ ĺŽš瞊 1.10ďźšĺœ¨ç„ĄçŞŽĺ¤§č™•äš‹漾é™? đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = đ??‹ đ??ąâ†’−∞

č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚ξ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨M > 0ďźŒç•śx > đ?‘€ć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż|đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − L| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒ 則稹ç•ś x 蜨čż‘ć–źč˛ ç„ĄçŞŽĺ¤§ć™‚ďźŒf(x)äš‹漾é™?ç‚ş LďźŒč¨˜ç‚ş lim đ?‘“(đ?‘Ľ ) = L。 x→−∞

(The limit of f(x) đ?‘Žs x approaches negative infinity is L ,written lim đ?‘“(đ?‘Ľ ) = L,if x→−∞ for every given Îľ > 0, there exists đ?‘Ž M < 0 ,such thđ?‘Žt |đ?‘“(đ?‘Ľ ) − L| < đ?œ€ whenever đ?‘Ľ < đ?‘€.) ď‚Şäž‹ 1.26 ćą‚ lim tđ?‘Žn x。 Ď€âˆ’ x→

2

ă€?解】 甹y = tđ?‘Žn x äš‹ĺœ–形ĺ?ŻäťĽçœ‹ĺ‡ş lim tđ?‘Žn x = âˆžă€‚ Ď€âˆ’ x→

2

例 1.27 求 𝑙𝑖𝑚+ 𝑙𝑛 𝑥。 𝑥→0

【解】 由𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥之圖形可以看出 𝑙𝑖𝑚+ 𝑙𝑛 𝑥 = −∞。 𝑥→0

例 1.28 求 lim

2x2 +5x+8

x→∞ x2 −2x+3

【解】求 lim

。

2x2 +5x+8

x→∞ x2 −2x+3

例 1.29 5

求 lim+ x−2。 x→2

5

【解】 lim+ x−2 = ∞。 x→2

= lim

5

8

2

3

2+ + 2 x x

x→∞ 1−x+ 2 x

2+0+0

= 1−0+0 = 2。

ďƒ ĺŽš瞊 1.11ďźš水嚳柸近硚 (Horizontal asymptote) č‹Ľ lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = bďźŒćˆ– lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = bďźŒĺ‰‡稹直硚y = b為曲硚y = f(x)的一個水嚳 x→∞

x→−∞

柸近硚。 (The line y = b is called đ?‘Ž horizontal asymptote of the curve y = f(x) if either lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = b or lim đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = b.) x→∞

x→−∞

ĺœ– 1.14 ď‚Şäž‹ 1.30 湂曲硚y = ex äš‹水嚳柸近硚( Horizontal asymptote)。

ă€?解】 lim đ?‘Ś = lim ex = 0ďźŒć•…y = 0(ĺ?ł x 蝸)為水嚳柸近硚。 x→−∞

x→−∞

ďƒ ĺŽš瞊 1.12垂直柸近硚(Vertical asymptote) 苼下é?˘ć˘?äťśďźš lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = âˆžďźŒ lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ ) = âˆ’âˆžďźŒ lim− đ?‘“(đ?‘Ľ ) = âˆžďźŒ lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) = âˆ’âˆžćœ‰č‡łĺ°‘ä¸€ĺ€‹

x→� +

x→�

x→�

x→�

ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡稹直硚 x=đ?‘Žç‚şć›˛çˇšy = f(x)的一個垂直柸近硚。(The line x = đ?‘Ž is called đ?‘Ž vertical asymptote of the curve y = f(x), if one or more of the following đ?‘Žre satisfiedďźš lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ ) = âˆžďźŒ lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ ) = âˆ’âˆžďźŒ lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) = âˆžďźŒ lim− đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −∞.) x→đ?‘Ž

x→�

x→�

x→�

đ?‘Ś

đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ=đ?‘Ž ĺœ– 1.15

例 1.31 1

求曲線𝑦 = 𝑥 2之垂直漸近線(Vertical asymptote)。 1

【解】 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 = ∞ 𝑥→0

𝑥→0

故 𝑦 = 0 (即 y 軸) 為垂直漸近線。

例 1.32 1

求曲線 𝑦 = 𝑥之水平漸近線(Horizontal asymptote)與垂直 漸近線( Vertical asymptote)。 1

【解】 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = 0 𝑥→0

𝑥→0

故y = 0 (即 x 軸) 為水平漸近線。 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0+

1

𝑥→0+ 𝑥

=∞

故 𝑥 = 0 (即 y 軸) 為垂直漸近線。

習題 1-6 1.

求 𝑙𝑖𝑚 (√𝑥 2 + 1 − √𝑥 2 − 4𝑥 )。

2.

求 𝑙𝑖𝑚

3.

求 𝑙𝑖𝑚

4.

已知函數 𝑓(𝑥) =

𝑥→∞

[𝑥]

𝑥→∞ 𝑥

，其中[𝑥 ]為 Gauss 函數。 𝑥

。

𝑥→−∞ √𝑥 2+1

𝑎√𝑥 2+21−𝑏 𝑥−2

，

若 lim 𝑓 (𝑥 ) = 3，且lim 𝑓(𝑥)存在 x→∞

x→2

(a) 求 a，b 之值。 (b) 求lim 𝑓(𝑥)之值。 x→2

5.

求𝑥𝑦 − 2𝑥 + 3𝑦 = 0的水平漸近線與垂直漸近線。

6.

求 lim √𝑥(√𝑥 + 1 − √𝑥 )。

7.

求 𝑙𝑖𝑚 [𝑥+3] ， 其中[𝑥 + 3]為 Gauss 函數。

x→∞

3𝑥−5

𝑥→∞

珏ä¸€çŤ ĺ…§ĺŽšć‘˜čŚ 1.

函數漾é™?䚋厚瞊(The definition of a limit) č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚đ?œ€ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨Î´ > 0ďźŒç•ś0 < |x − a| < đ?›żć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż |đ?‘“(đ?‘Ľ ) − đ??ż| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡稹ç•ś x 蜨čż‘ć–ź a ć™‚ďźŒ đ?‘“(đ?‘Ľ )çš„漾é™?ç‚ş LďźŒč¨˜ç‚ş đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ??żă€‚ đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

(The limit of đ?‘“ (đ?‘Ľ ) as đ?‘Ľ approaches a is

L ,written đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ??ż, if đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

for Every given đ?œ€ > 0 ,there exists a δ > 0 such that |đ?‘“(đ?‘Ľ ) − đ??ż| < đ?œ€ whenever 0 < |x − a| < đ?›ż 2.

塌漾é™?(Left-hand limit) č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚ξ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨Î´ > 0ďźŒç•śa − δ < đ?‘Ľ < đ?‘Žć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż |f(x) − L| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡稹ç•ś x 甹塌邊蜨čż‘ć–ź a ć™‚ďźŒf(x)çš„塌漾é™?ç‚ş LďźŒ č¨˜ç‚ş lim f(x) = L。 đ?‘Ľâ†’đ?‘Žâˆ’

(The left-hand limit of f(x) as x approaches a from the left is L, written lim f(x) = L, if for every given Îľ > 0, đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘ đ?‘Ž đ?›ż > 0 đ?‘ đ?‘˘đ?‘?â„Ž đ?‘Ąâ„Žđ?‘Žđ?‘Ą

đ?‘Ľâ†’đ?‘Žâˆ’

|f(x) − L| < đ?œ€ đ?‘¤â„Žđ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Ž − đ?›ż < đ?‘Ľ < đ?‘Ž.) 3.

ĺ?łćĽľé™?(Right-hand limit) č‹Ľĺ°?ć–źäťťć„?羌厚ξ > 0ďźŒéƒ˝ĺ­˜ĺœ¨Î´ > 0ďźŒç•śa < đ?‘Ľ < đ?‘Ž + δ ć™‚ďźŒć †ĺ?Żä˝ż |f(x) − L| < đ?œ€ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡稹ç•ś x 甹ĺ?łé‚Š蜨čż‘ć–ź a ć™‚ďźŒf(x)çš„ĺ?łćĽľé™?ç‚ş LďźŒ č¨˜ç‚ş lim f(x) = L。 đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž+

(The right-hand limit of f(x) as x approaches a from the right is L, written lim f(x) = L, if for every given Îľ > 0, đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘ đ?‘Ž đ?›ż > 0 đ?‘ đ?‘˘đ?‘?â„Ž đ?‘Ąâ„Žđ?‘Žđ?‘Ą

�→�+

|f(x) − L| < đ?œ€ đ?‘¤â„Žđ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x; a < đ?‘Ľ < đ?‘Ž + δ.) 4.

漾é™?ĺ­˜ĺœ¨çš„ĺ……čŚ ć˘?äťś lim f(x) = Lçš„ĺ……čŚ ć˘?äťśç‚şďźš lim f(x) = lim f(x) = L。 x→a

5.

x→a−

漾é™?çš„ĺ&#x;şćœŹć€§čłŞ ď‚ 漾é™?䚋唯一性 č‹Ľlim f(x)ĺ­˜ĺœ¨ďźŒĺ‰‡ĺ…śĺ€źç‚şĺ”Żä¸€ă€‚ đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

ď‚‚ĺ’Œă€ çŠ?〠商䚋漾é™?

x→a+

č‹Ľlim f(x)čˆ‡lim g(x)éƒ˝ĺ­˜ĺœ¨ďźŒĺ‰‡ đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

�→�

(a) [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) �→�

�→�

(b) lim [f(x)g(x)] = [lim f(x)] [lim g(x)] �→�

f(x)

(c) lim g(x) = �→�

lim f(x)

x→a

lim g(x)

�→�

�→�

ďźŒä˝† lim g(x) ≠0

x→a

x→a

ď‚ƒ夞ć“ ĺŽšç?† Squeeze Theorem 設ĺœ¨ĺŒ…ĺ?Ť đ?‘Žäš‹ć&#x;?個開ĺ?€é–“ĺ…§ďźŒç•ś đ?‘Ľ ≠đ?‘Žć™‚ďźŒéƒ˝ćœ‰ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)ďźŒč‹Ľ lim g(x) = LďźŒlim h(x) = LďźŒĺ‰‡lim f(x) = L。

�→�

�→�

�→�

(Suppose that g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) for all x ≠� in some open interval containing �. If lim g(x) = L and lim h(x) = L, then lim f(x) = L.) �→�

6.

�→�

�→�

é€ŁçşŒ(contimuity) č‹Ľlim f(x) = f(đ?‘Ž)ďźŒĺ‰‡稹ĺ‡˝ć•¸ĺœ¨ đ?‘Ž č™•é€ŁçşŒă€‚ x→đ?‘Ž

(A function f(x) is continuous �t � , if lim f(x) = f(�).) x→�

苼函數 f(x)ĺœ¨đ?‘Žč™•é€ŁçşŒďźŒ襨示 (đ?‘Ž)

lim f(x)ĺ­˜ĺœ¨ (lim exists)

x→�

x→�

(b) f(đ?‘Ž)ćœ‰ĺŽš瞊( f(đ?‘Ž) is defined ) (c)

lim f(đ?‘Ľ ) = f(đ?‘Ž)

x→�

上é?˘ä¸‰ĺ€‹ć˘?äťśĺ?ŞčŚ ćœ‰ä¸€ĺ€‹ä¸?ćˆ?çŤ‹ďźŒĺ‰‡f(đ?‘Ž)ĺœ¨ a 處ä¸?é€ŁçşŒ 7.

é–‹ĺ?€é–“ä¸Šé€ŁçşŒ(Continuous on an open interval) f(x)ĺœ¨é–‹ĺ?€é–“(đ?‘Ž, b)ä¸Šç‚şé€ŁçşŒďƒ›f(x)ĺœ¨(đ?‘Ž, b)ä¸Šäťťä˝•éťžéƒ˝ç‚şé€ŁçşŒďźŒ ĺ?łč‹Ľa < đ?‘? < đ?‘?ďźŒĺ‰‡lim f(x) = f(c)。 x→đ?‘?

8.

é–‰ĺ?€é–“ä¸Šé€ŁçşŒ(Continuous on an closed interval) f(x)ĺœ¨é–‰ĺ?€é–“[đ?‘Ž, b]ä¸Šç‚şé€ŁçşŒďƒ› (a) f(x)ĺœ¨(đ?‘Ž, b)ä¸Šç‚şé€ŁçşŒ (b) (c)

9.

lim f(x) = f(a)

x→�+

lim f(x) = f(b)。

x→đ?‘?−

äşŒé€ŁçşŒĺ‡˝ć•¸çš„ĺ’Œäť?ç‚şé€ŁçşŒ č‹Ľđ?‘“(đ?‘Ľ )čˆ‡đ?‘”(đ?‘Ľ )ĺœ¨x = đ?‘Žč™•ç‚şé€ŁçşŒďźŒĺ‰‡ â„Ž(đ?‘Ľ ) = đ?‘“ (đ?‘Ľ )+đ?‘”(đ?‘Ľ )ĺœ¨x = đ?‘Žč™•äť?為連 çşŒă€‚

10. äşŒé€ŁçşŒĺ‡˝ć•¸çš„çŠ?äť?ç‚şé€ŁçşŒ č‹Ľđ?‘“(đ?‘Ľ )čˆ‡đ?‘”(đ?‘Ľ )ĺœ¨x = đ?‘Žč™•ç‚şé€ŁçşŒďźŒĺ‰‡ â„Ž(đ?‘Ľ ) = đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘”(đ?‘Ľ)ĺœ¨x = đ?‘Žč™•äť?ç‚şé€ŁçşŒă€‚

11. 二連續函數的商在分母不為零處仍為連續 𝑓(𝑥)

若𝑓(𝑥 )與𝑔(𝑥 )在x = 𝑎處為連續，𝑔(𝑥 ) ≠ 0，ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)在x = 𝑎處仍為連續。 12. 多項式函數為連續函數 多項式函數𝑓 (𝑥 ) = a0 𝑥 𝑛 + a1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ +an−1 𝑥 + an 在任何點均為連續。 13. 複合函數的連續性(Composity of a composite function) 若𝑢 = 𝑔(𝑥)在𝑥 = 𝑥0 處連續，則 𝑓 (𝑢)在𝑢 = 𝑢0 = 𝑔(𝑢0 )處連續，則複合函數 𝑓(𝑔(𝑥 ))在𝑥 = 𝑥0 處連續。 14. 介值定理(Intermediate Value Theroem) 若𝑓(𝑥 )在[𝑎, b]上連續，α為f(𝑎)與f(𝑏)間之一實數，則存在c，a ≤ c ≤ b， 使得𝑓(𝑐 ) = α。 15. 極值定理(Extreme Value Theroem) 若𝑓(𝑥 )在[𝑎, b]上連續，則 𝑓 (𝑥)在[𝑎, b]有最大值𝑀及最小值𝑚。即在[𝑎, b]上 存在c1 與c2 使得M = 𝑓(c1 )，𝑚 = 𝑓(c2 )且對於[𝑎, b]上所有點 𝑥 均滿足 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀，且𝑓(𝑥) ≥ 𝑚。 16. 水平漸近線( Horizontal asymptote) 若 lim 𝑓(𝑥 ) = b，或 lim 𝑓(𝑥 ) = b，則稱直線y = b為曲線y = f(x)的一個水 x→∞

x→−∞

平漸近線。 (The line y = b is called a horizontal asymptote of the curve y = f(x) if either lim 𝑓 (𝑥 ) = b or lim 𝑓(𝑥 ) = b.) x→∞

x→−∞

17. 垂直漸近線(Vertical asymptote) lim 𝑓 (𝑥) = ∞， lim+ 𝑓(𝑥 ) = −∞， lim− 𝑓(𝑥 ) = ∞， lim− 𝑓 (𝑥 ) = −∞有至少

x→𝑎 +

x→𝑎

x→𝑎

x→𝑎

一個成立，則稱直線𝑥 = 𝑎為曲線𝑦 = 𝑓(𝑥)的一個垂直漸近線。(The line x = 𝑎 is called a vertical asymptote of the curve 𝑦 = 𝑓(𝑥 ), if one or more of the following are satisfied： lim+ 𝑓 (𝑥 ) = ∞， lim+ 𝑓 (𝑥) = −∞， x→𝑎

lim− 𝑓 (𝑥) = ∞， lim− 𝑓 (𝑥 ) = −∞.)

x→𝑎

x→𝑎

x→𝑎

①Limits and Continuity 習題 1-1 解答 1 √x−√2 = 2 2 √ x→2 x−2 x2 −5x+6 −1

4.

lim

5.

lim (x−2)(x+3) = x→2

6.

1

1

5

1

lim x−3 (x−2 + x−4) = -2。 x→3

習題 1－2 解答 𝜀

1. 取𝛿 = 2，則當 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 ，可使 |(2𝑥 + 9) − 13| < 𝜀。 2. 若𝑚 = 0，則對於任意正數𝛿，當 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時可使 |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| = 0 < 𝜀。 若𝑚 ≠ 0，則對於任意正數𝛿，當 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時可使 |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑎 + 𝑏)| = 0 < 𝜀。 3. 令|𝑥 − 2| < 1，則1 < 𝑥 < 3 故得|𝑥 2 + 2𝑥 + 4| ≤ |𝑥 2 | + 2|𝑥| + 4 < 9 + 6 + 4 = 19 𝜀

取 𝛿 = min {1, 19}，則當 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 時 |𝑥 3 − 8| = |𝑥 2 + 2𝑥 + 4||𝑥 − 2| < 𝜀 4. 設 𝜀 為任意給定的正數 當𝑥 ≠2 時 𝑥 2−4

|

x−4

− 4| < 𝜀 ⇔ |(𝑥 + 2) − 4| < 𝜀 ⇔ |𝑥 − 2| < 𝜀 𝑥 2 −4

取𝛿 = 𝜀，則當 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿時，可使| x−4 − 4| < 𝜀 5. 設 𝜀 為任意給定的正數 因lim 𝑓 (𝑥 ) = L，故存在 𝛿 > 0， 𝑥→𝑎

當0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時， ||𝑓(𝑥)| − |𝐿|| ≤ |𝑓(𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀 。

習題 1－3 解答 2𝑥−17

𝑥−5

1.不一定。例如：𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 −7𝑥+6 ，𝑔(𝑥 ) = 𝑥−6

8

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 與 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) 都不存在，但𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 5 𝑥→6

𝑥→6

𝑥→6

2. 不一定。例如：𝑓(𝑥 ) = 𝑥，𝑔(𝑥 ) = [𝑥 ]，其中 [𝑥 ] 表示 Gauss 函數。 則 lim 𝑔(𝑥)不存在，lim [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )] = 0。 x→0

𝑥→𝑎

3. 必存在，因 𝑔(𝑥 ) = [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] + (−𝑓(𝑥)) lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 )] 與 lim(−𝑓(𝑥))都存在

x→𝑎

x→𝑎

故lim 𝑔(𝑥 )必存在。 x→𝑎

4. 𝑙𝑖𝑚 𝑝(𝑥 ) = 0 𝑥→𝑎

5. 𝑎 = 2，𝑏 = −3 6. 由夾擠定理(squeeze theorem)知，𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) = 5 𝑥→0

習題 1－4 解答 1. 不存在，因 𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥 ) = 3， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥 ) = 1 𝑥→1

2.

𝑥→1

(a) 不存在，因 𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥 ) = 3， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓 (𝑥 ) = 2 𝑥→1

𝑥→1

(b) 不存在，因 𝑙𝑖𝑚− 𝑔 (𝑥 ) = 2， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑔(𝑥 ) = 3 𝑥→1

𝑥→1

(c) 存在，因 𝑙𝑖𝑚−[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] = 5， 𝑙𝑖𝑚+[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)] = 5 𝑥→1

𝑥→1

(d) 存在，因 𝑙𝑖𝑚−[𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)] = 6， 𝑙𝑖𝑚+ [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )] = 6 𝑥→1

𝑥→1

3. 存在，因 𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥 ) = 2 ， 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥 ) = 2 𝑥→2

𝑥→2

習題 1－5 解答 1. 不可能 2. 可能 3. 若𝑓(𝑎)有定義，且對於任意給定的正數𝜀，都可找到一正數 𝛿，當|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 時，恆可使 |𝑥 − 𝑎| < 𝛿時，恆可使 |𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 成立，則稱 𝑓(𝑥 ) 在 𝑥 =

𝑎處連續。 4. 𝑎 = 1，b = 1， 5. 𝑘 = 1， 6. 𝑚 = 3， 7. 𝑓(𝑥)在 𝑥 = 1 處連續 8. 𝑓(𝑥 )在 𝑥 = 1 處不連續

習題 1－6 解答 1. 𝑙𝑖𝑚− (√𝑥 2 + 1 − √𝑥 2 − 4𝑥) = 2 𝑥→2

2. 由夾擠定理得 𝑙𝑖𝑚 3. 𝑙𝑖𝑚

[𝑥]

𝑥→∞ 𝑥

𝑥

𝑥→−∞ √𝑥 2+1

=1

= −1

4. (a) 𝑎 = 3，b = 15 (b) 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥 ) = 𝑥→2

6 5

5. 𝑦 = 2 為水平漸近線，𝑥 = −3為垂直漸進線 1

6. 𝑙𝑖𝑚 √𝑥(√𝑥 + 1 − √𝑥) = 2 𝑥→−∞

7. 𝑙𝑖𝑚

3𝑥−5

𝑥→−∞ [𝑥+3]

=3

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