2016 E-book 1_Matemática_5ª Série_6° ano Unidade 2 – Sistemas numéricos.
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Vamos selecionar histórias de várias partes da Matemática. Começaremos por um tópico interessante: a história dos números. A Matemática como foi pensada no mundo será nosso segundo tópico. Chineses, Babilônios, Hindus, Árabes e todos os demais povos que se dedicaram ao comércio, à engenharia a praticaram. Esta História da Matemática será o objeto de nosso estudo, além de recordarmos Aritmética, aprendermos Álgebra e Geometria Plana. Estas e outras histórias serão nossas companheiras na 6ª série do Fundamental. Bom curso!
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Introdução Estamos disponibilizando o ebook 1 de uma série de dezesseis ebooks a serem produzidos para a 6ª série do Ensino Fundamental, cujo programa segue esta orientação abaixo:
Em cada unidade teremos quatro painéis com textos para leitura, explicações teóricas e exercícios, além de sites selecionados para pesquisa, vídeos e filmes.
Uma possibilidade de um quadro branco online.
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Sumário Painel 1: Os números nas diferentes culturas........................................4 Painel 2: Homens, vidas e números.......................................................7 Painel 3: Símbolos e a Matemática......................................................12 Painel 4: A formação dos números e o papel do zero.........................17 Filmes compartilhados.........................................................................21 Atividades de pesquisa........................................................................22 Vídeos, QUIZ, fórum e chat..................................................................23
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Painel 1: Os números nas diferentes culturas Vamos iniciar nossos estudos pensando como o homem concebeu as quantidades, os números e a importância da Matemática em nossa vida. Tópico 1 – Os números e o homem
A Matemática está presente em todas as culturas. Pensar as quantidades é um fato que constatamos em todas as culturas, em diferentes grupos sociais e, portanto, um conhecimento universal. Em certas culturas primitivas, noções como muito, pouco, mais ou menos que os dedos de uma das mãos, mais ou menos que os dedos de duas mãos são indicadores da importância de quantidades ou riquezas na vida das comunidades. Afinal, saber se há muito ou pouco alimento, se existe o suficiente para toda uma comunidade ou uma tribo é vital para a sobrevivência destes homens.
Tópico 2 – A necessidade de contar as coisas e os seres do mundo. As mãos são muito importantes para os homens. Se observarmos uma caverna da Era da Pedra Lascada, encontraremos sinais de mãos nas paredes. Que significavam?
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Poderiam significar que um homem estivera ali, um homem existira em algum momento, naquele local? Poderiam representar que os desenhos da caverna, os animais, pertenciam ou viriam a pertencer àquele homem? Não sabemos ao certo, mas querem nos dizer algo, sem dúvida. E algo que tem a ver com quantidades. Tópico 3 – Como surgiram os números? Números, letras e símbolos: representações das quantidades Os números, como já estudamos, são representações de quantidades. Inicialmente, os homens usavam pequenas pedrinhas para corresponder às unidades de objetos, por exemplo: 1 pedrinha = 1 ovelha. Com o crescimento dos rebanhos, carregar um grande saco de pedras para representar a quantidade de ovelhas ficou um pouco difícil... A linguagem das mãos As mãos e os dedos poderiam ser utilizados para indicar quantidades ou para expressar outras mensagens, como na linguagem das mãos. O surgimento dos números De uma forma ou de outra, os números surgiram como pequenas marcas nas pedras de uma caverna, numa tabuinha de argila, rabiscados em um papiro egípcio, num pergaminho de pele de animais ou de tecido de linho, como entre os romanos e na Idade Média. Tópico 4 – A contagem entre diferentes povos Cada povo tem sua própria língua e escrita, sua forma de representar os sons. Deste modo, a quantidade é representada de forma oral e escrita de modos diferentes, embora signifiquem a mesma coisa: quantidades de objetos ou seres no mundo.
As coisas ficaram um pouco difíceis Como cada povo tinha seu sistema, as coisas ficaram um pouco difíceis... Assim os homens começaram a traçar na areia ou marcar nas pedras ou em tabuinhas de barro, as quantidades de objetos a partir de risquinhos. Procure comparar os sistemas de contagem dos egípcios, maias, árabes, fenícios, gregos e romanos.
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Conheça a astronomia e o calendário maia.
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Painel 2: Homens, vidas e números Nômades, sedentários e os números Quanto mais o homem se organizava, mais os números se tornaram importantes e até mesmo vitais para os homens. Vamos comprovar suas experiências ao longo de sua evolução como seres humanos.
Tópico 1 – Os números em nosso dia a dia. Nômades e dez dedos para contar Na Era da Pedra Lascada (Paleolítico) e da Pedra Polida (Neolítico), os homens eram principalmente nômades. Vagavam pelo ambiente à procura de comida e água. Seus vestígios são evidentes:
Encontramos marcas de mãos no interior das cavernas, indicando sua presença e, possivelmente, a indicação mágica do que queriam possuir. Talvez as quantidades exatas não importassem, mas as mãos nas cavernas nos indicam que a idéia de possuir algo é inata ao homem, assim como seus 10 dedos para contar.
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Os homens se tornam sedentários A partir da Era da Pedra Polida, os homens tornaram-se mais sedentários, isto é, passaram a viver num mesmo local, onde plantavam algumas culturas, colhiam e criavam gado. Matemática e administração entre primitivos Passaram a se organizar em coletividades e a estocar mais comida do que podiam consumir. Armazenavam alimentos, especialmente grãos, em locais próprios – potes e vasos de argila - e, com isso, passaram a controlar suas reservas de alimentos. Assim, nos tempos em que faltasse comida, teriam reservas. Faziam a mesma coisa com a água em cisternas. Começaram a desenvolver sistemas de administração e, conseqüentemente, desenvolveram os princípios de matemática. Os controles e a escrita Neste instante, a Matemática e os controles escritos (em tábuas de argilas, em papiros, em pergaminhos de couro ou de cobre) passaram a ser muito importantes. A tecnologia de administração estava começando. Tópico 2 – A Matemática na Antiguidade. A vida não era muito simples na Antiguidade. Era até bastante complexa e perigosa! A vida nas cidades, desde a Antiguidade pressupunha controle e hierarquia. Os homens, em sua vida em comunidade, tinham chefes, normalmente guerreiros mais fortes, e estes chefes recebiam parte das colheitas e da caça.
Os Egípcios Entre os egípcios, por exemplo, a colheita pertencia ao Faraó que a recebia como uma forma de impostos, pagava salários com grãos e doava em momentos de fome ou vendia para estrangeiros. Os excedentes das colheitas Esta colheita excedente era medida e armazenada para momentos de maior dificuldade, para alimentar os exércitos ou para comerciar com outros povos. Servos do Faraó anotavam o que se produzira e se estocara (copistas) e fiscais se encarregavam de administrar os estoques ou cobrar pagamentos de todas as comunidades
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Os sistemas de medida e os registros Este controle de estoque era baseado em medidas e os sistemas de medida surgiram destes procedimentos, bem como as operações matemáticas, a geometria de construção de pirâmides, a astrologia e tantas outras áreas ligadas aos números, inclusive mapas. Povos diversos e diferentes sistemas de representação O mesmo procedimento irá acontecer em todas as comunidades do mundo: na Mesopotâmia, entre hititas, caldeus, babilônios, judeus, persas, na Grécia, na China e Japão, entre maias, incas e astecas e demais povos précolombianos na América do Sul. Diversos sistemas de representação, inclusive mapas e a Matemática, estão presente em todo mundo desde a Antiguidade.
Tópico 3 – Os algarismos arábicos em nossa vida Sistema de numeração romano e sistema de numeração arábico. Se compararmos os sistemas de numeração, romano e arábico, verificaremos que o sistema arábico é muito mais prático e, hoje, em todo mundo, seu uso é predominante. Números em nossa vida diária Em nossa vida, a todo o momento, fazemos uso de números, estamos sempre medindo algo: quantos metros de pano precisamos para fazer uma roupa;
quantos litros de leite para fazer um bolo;
a temperatura de uma pessoa com febre;
o peso de uma mercadoria;
as horas do dia;
a velocidade de um carro;
o gasto de eletricidade de uma casa;
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Enfim, os números são parte fundamental de nossa vida
Tópico 4 – Tecnologia e a Matemática Tecnologia é um conhecimento prático. Em sociedades tribais, primitivas ou que escolheram um determinado modo de vida mais alternativo, mais ligado à natureza, teremos uma tecnologia que acompanhará o modo destas pessoas pensarem e viverem o mundo. Observe estes índios navajos e seus enfeites de pena. Com certeza, eles conhecem Geometria qualitativa, prática, intuitiva.
Nas sociedades semelhantes à nossa, onde há predominância da ciência quantitativa, teremos a tecnologia que conhecemos, baseada na industrialização Industrialmente, nossa tecnologia é baseada em princípios matemáticos. Medimos e contamos elementos e desenvolvemos conhecimentos físicos, químicos e biológicos baseados principalmente em comparações de padrões e mensurações ou contagens. Daí que nosso principal elemento tecnológico seja uma calculadora.
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Só para analisarmos se a vida na antiguidade era mesmo complexa? Uma pergunta complexa: se você comparar as dificuldades e perigos da Antiguidade com os dois últimos séculos do Brasil, que poderia comentar?
Exercício-modelo 2 Quem administra sua casa? ______________________________________________ E importante ter uma casa organizada? ______________________________________________________ Descreva algumas tarefas da administração de sua casa. _____________________________________________________ _____________________________________________________ Ao administrar sua casa, seus pais usam alguma matemática? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Descreva o que fazem para administrar bem a casa? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Converse com seus colegas, discuta com seu professor e apresente as conclusões da classe.
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Painel 3: Símbolos e a Matemática Todas as culturas possuem de alguma forma, uma base matemática. Observe os padrões geométricos do artesanato indígena, não importa de que cultura. A partir dos números, os seres humanos organizam o tempo e o espaço e os tornam compreensíveis a todos.
As extensões de nosso corpo É curioso como as figuras de mãos nas cavernas do Paleolítico aparecem com muita constantemente. Diversos grupos humanos, em diferentes regiões do mundo e épocas os usam. A razão pode ser simples: tudo que o homem pensa ou faz é uma extensão de seu corpo: Um telescópio é extensão de seus olhos; Uma bicicleta, moto ou carro são extensões de suas pernas e capacidade de locomoção;
A carta, os instrumentos de escrever ou um computador são a extensão da voz e do pensamento humano;
e assim por diante. Símbolos matemáticos são universais Comparando os sistemas de numeração veremos que os símbolos matemáticos são universais e são as extensões de nossa fala, representadas por expressões matemáticas. Frases como: Eu comprei muitas roupas hoje ou João é ótimo estudante e a frase matemática 2 + 2 = 4 (Dois mais dois é igual a quatro) possuem um sujeito e um predicado e são compreendidas por todos. Tópico 2 - Se um símbolo representa alguma coisa ausente. E um sistema de numeração? Vamos tentar definir... Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos que nos permite: a partir de um conjunto mínimo de signos, os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
ampliar nossa capacidade de ler e escrever quaisquer números que representem quantidades até o infinito, a estabelecidas e compreendida por
partir de certas regras todos os usuários.
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Ampliando os números naturais. Exemplo: A partir dos números naturais, podemos ampliar os conjuntos colocando um zero no lado direito de um determinado numero e o multiplicando por dez : 1, 10, 100, 1000, 10.000, 100.000, 1.000.000, 1.000.000.000, etc.
Podemos ainda acrescentar frações de dez ou de seus múltiplos:
11, 101, 1072, etc.
Podemos usar o sinal – para indicar números inteiros negativos:
-3, - 5, - 8, - 12, -17, -268, etc. Continuando em nossas considerações: Podemos usar a vírgula para indicar números decimais:
7,8; 9,34; etc
Podemos usar o sinal de fração para indicar partes da unidade: ¾, ½ , etc. Usando os símbolos de operações matemáticas, podemos expressar as
operações fundamentais: +, - , Existem inúmeros outros símbolos em matemática e o uso destes símbolos
complementa a linguagem matemática, nos permitindo realizar uma infinidade de operações. Através de uma mesma simbologia e regras conhecidas por todos, os matemáticos, não importa seus idiomas, conversam e resolvem problemas. Ao mesmo tempo, os matemáticos criaram grupos ou conjuntos de números: > numeros positivos (0, 1, 2, 3, 4, 5,...) ; > números negativos (...-5, -4, -3, -2, -1); > números decimais ( entre o 1 e o 2, temos 1,1, 1,2, 1,3, etc ou números representados por frações; e os classificaram com relação às suas propriedades, como estudaremos em Teoria dos Conjuntos. Tópico 3 - As diversas formas de contagem A Matemática possui uma relação direta com a vida prática. Seus princípios estão referenciados à contagem e, quando contamos, montamos conjuntos de objetos similares e os pensamos em medidas que em cada cultura são ideais para negociação. Por exemplo: Ovos dúzia Grosa doze dúzias de qualquer coisa. Papel Resma pacote de 500 folhas.
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Semana - sete dias Dia - 24 horas Hora 60 minutos Minuto 60 segundos Meia hora 30 minutos Quarto de hora 15 minutos Tópico 4 - Pensando conjuntos Como pensamos o mundo matematicamente? Do mesmo modo que pensamos as coisas e os seres do mundo em conjuntos: cacho de bananas, parelha de cavalos ou de bois,
time de futebol de salão e de campo.
Observe que temos de pensar os sistemas decimais: Para os primeiros 9 elementos: Temos um numero associado a ele de um só algarismo e que ocupa a primeira casa à direita: o algarismo das unidades. Entre mais de nove (10) e menos de cem (99): Associamos um segundo algarismo
disposto
à
esquerda
do
Entre mais de cem (100) e menos de novecentos e noventa e nove (999): Associamos um terceiro algarismo disposto à esquerda
do
primeiro algarismo das dezenas.
segundo algarismo das centenas. E assim por diante. Observem as ordens abaixo:
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Vamos analisar os números abaixo. 2 2 unidades (unidades simples 1a ordem) 48 4 dezenas (dezenas 2ª ordem) 8 unidades (unidades simples 1a ordem) 389 3 centenas (centenas 3ª ordem) 8 dezenas (dezenas 2ª ordem) > 9 unidades (unidades simples 1a ordem) 1649 1 unidade de milhar (unidade de milhar 4a ordem) 6 centenas (centenas 3ª ordem) 4 dezenas (dezenas 2ª ordem) 9 unidades (unidades simples 1a ordem) 12 786 1 dezena de milhar (dezena de milhar 5a ordem) 2 unidades de milhar (unidade de milhar 4a ordem) 7 centenas (centenas 3ª ordem) 8 dezenas (dezenas 2ª ordem) 6 unidades (unidades simples 1a ordem) 252 821 2 centenas de milhar (centena de milhar 6a ordem) 5 dezenas de milhar (dezena de milhar 5a ordem) 2 unidades de milhar (unidade de milhar 4a ordem) 8 centenas (centenas 3ª ordem) > 2 dezenas (dezenas 2ª ordem) > 1 unidade (unidades simples 1a ordem) E assim por diante: unidade de milhões, dezena de milhões, centena de milhões, etc.
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Exercício-modelo 3 Um ovo de avestruz vale 24 ovos de galinha. Responda: Quantas dúzias de ovos de galinha correspondem a 3 ovos de avestruz? Somos capazes de fazer uma omelete com três ovos de galinha. Quantas omeletes correspondentes podem ser feitos com três ovos de avestruz?
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Painel 4: A formação dos números e o papel do zero A idéia de calcular, conhecer certas quantidades, poder contar e transmitir ao seu companheiro quantos animais, peixes ou frutas existem é muito antiga. Sua origem perde-se no tempo.
Tópico 1 - A formação dos números Os nomes e as coisas do mundo Do mesmo modo que os homens dão nomes aos objetos e seres do mundo, também dão nome às quantidades. O que nós perceberemos é que, conforme a família lingüística, as palavras que representam os números se parecem ou têm origem comum. ”...Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa...” Fonte: http://www.somatematica.com.br/numeros.php
Tópico 2 - O zero e sua representação Vamos descrever sucintamente o código de nossa língua portuguesa Observe: Temos 5 vogais, 21 consoantes e sinais (acentos agudo, circunflexo, pontuação) e escrevemos tudo o que quisermos. Estas representações gráficas são relativas aos 40 sons de nossa língua portuguesa. 26 letras >>>>>> 40 a 50 sons aproximadamente. Compare agora com uma língua oriental com milhares de signos e analise a dificuldade.
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E o zero? Como representar o nada?...e as potências de 10? A história do zero é algo que permitiu aos hindus representar o “nada” e, a partir deste nada representado por um algarismo, os hindus puderam pensar a posição deste símbolo num número como 302 e verificar que este zero representava conforme sua posição, a dezena è 30 dezenas + 2 unidades A história do zero é extremamente interessante. Sugerimos sua visita ao site: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
Tópico 3 - Os algarismos e sua posição no número Como surgiram os números "arábicos"? A partir dos hindus, fenícios e, muito depois, os árabes, foi criado o sistema de 10 símbolos diferentes com que representamos todos os números matematicamente conhecidos. As regras básicas As regras para o uso destes algarismos, são as seguintes: Uso de 9 algarismos diferentes, correspondendo a 9 quantidades iniciais da contagem. Criação do 0 (zero) que significa "nada" quando sozinho ou não tem valor à esquerda de um outro número qualquer.
Quando o 0 (zero) é colocado à direita, aumenta o número em dez vezes.
Portanto, as quantidades são agrupadas de dez em dez, correspondendo ao sistema decimal. Assim, podemos concluir que é a posição do número que determina seu valor. Observe a disposição em classes e, dentro de cada classe, as ordens: centena, dezena e unidade: 406.934.328.564.375.523 è Leia este número. http://mat6keditfundamental.jimdo.com/un-1-sistemas-numéricos/
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Tópico 4 - Observando as palavras da mesma família Todas as civilizações possuem uma história de sua matemática e a representação das quantidades. Em nosso caso, temos uma linha de tradição que nos fez adotar os algarismos hindu-arábicos e o sistema decimal. Os números são signos e, como todo signo são uma representação arbitrária, saber porque um número tem um ou outro nome não vem ao caso. Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:
Nº Hindu
Grego arcaico
Latim
Alemão
Inglês
Francês
Russo
1
eka
en
unus
eins
one
un
odyn
2
dvi
duo
duo
zwei
two
deux
dva
3
tri
tri
tres
drei
three
trois
tri
4
catur
tetra
quatuor
vier
four
quatre
chetyre
5
pañca
pente
quinque
fünf
five
cinq
piat
6
sat
hex
sex
sechs
six
six
chest
7
sapta
hepta
septem
sieben
seven
sept
sem
8
asta
octo
octo
acht
eight
huit
vosem
9
nava
ennea
novem
neun
nine
neuf
deviat
10
dasa
deca
decem
zehn
ten
dix
desiat
100
sata
hecaton
centum
hundert
hundred
cent
sto
xilia
mille
tausend
thousand mille
sahasra 1000
tysiatsa
Fontes: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros. htm
Exercício-modelo
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Conte para nós cinco vezes em sua vida em que os números foram muito importantes para você.
Fractal, a geometria da natureza.
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Filmes compartilhados Todas as aulas têm filmes e vídeos selecionados que podem ser vistos por compartilhamento na Internet. Unidade 1: A história da Matemática 1 e 2.
Veja algumas imagens de nosso curso. Você vai gostar! Veja Galeria de Imagens. Conheça as ilusões que a Ótica, a Pintura e a Matemática nos proporcionam.
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Atividades de pesquisa Vamos usar bem e inteligentemente os recursos da Internet! A Internet é uma fonte infindável para pesquisas. Tem coisas maravilhosas, excelentes pesquisas... Mas também tem coisas muito ruins e opiniões falhas. Você deve pesquisar na Internet, mas SEMPRE exerça sua crítica, converse com seus pais e professores, consulte livros recomendados por seus professores, sobre os assuntos estudados. Visite nossos textos selecionados para sua leitura: Texto 1 – Tragédia Matemática Texto 2 – Como os índios Yoopinai pensam os conceitos matemáticos. Diversos outros textos sobre educação indígena…
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Vídeos, QUIZ, fórum e chat
Um bom programa: Vídeos selecionados Vídeo 1 – O garoto que era fera em Matemática. Vídeo 2 – A história do número 1 e outras histórias. Vídeo 3 – As trapalhadas do Pato Donald e a Matemática. Pesquise em nossos painéis, discuta com seus amigos e responda perguntas como esta: Fenícios e romanos foram contemporâneos na Antiguidade. Porque o sistema
de
numeração
arábico
decimal
prevaleceu
aos
sistema
de
numeração romano, no mundo atual? Use o Facebook ou o Twitter.
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Copyleft Texto resumo com exercícios correspondente à Unidade 1, painéis 1, 2, 3 e 4 e exercícios. Permitida cópia, reprodução, estocagem em qualquer tipo de mídia e transmissão de todas as formas possíveis e por diferentes meios: eletrônico, mecânico, gravação eletrônica, escaneamento sem prévia permissão do editor, tendo em vista o cliente ter acesso eletrônico à nossa página por senha individualizada, o que inclui nossa consultoria e o fornecimento de nossos serviços de difusão educacional na internet. Todo o material contido neste livro é fornecido apenas para fins educacionais e informativos. Nenhuma responsabilidade pode nos ser atribuída por quaisquer resultados ou efeitos que resultem da utilização deste material se usado indevidamente. Fontes de textos e imagens, sites, vídeos e outros elementos são sempre mencionados ou linkados. Embora tenham sido feitos todos os esforços para fornecer informações que sejam precisas e eficazes, os autores e o editor não assumem quaisquer responsabilidades pelo uso / abuso desta informação fora do seu contexto educacional óbvio. Colocamse à disposição para possíveis revisões de conceitos teóricos, mediante contato com nosso suporte kedit@zipmail.com.br . Agradecimentos Fontes e nomes de autores através dos quais pesquisamos e citamos, sejam textos ou imagens, encontram-se em web-bibliografia ao final de cada unidade deste livro eletrônico e destinam-se ao aprofundamento dos alunos e professores interessados no assunto. Estamos à disposição para acrescentar outras fontes, textos ou exercícios específicos ou regionalizados a critério dos professores ou diretores de escolas que venham a implantar nossa tecnologia e dispor de nossa consultoria.
Os autores.
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Mensagem pessoal do editor: k ebooks virtual shop. Utilizamos todos os elementos disponíveis na Internet para que você tenha excelentes aulas, seja como aluno ou como professor. Tudo agora depende de você. Implante nossa tecnologia em sua escola ou em sua rotina diária e você perceberá a diferença. Contate-nos: kedit@zipmail.com.br Visite nosso website:keditfundamental.jimdo.com
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