Función exponencial

Escuela Normal Superior “Gral M. Belgrano”

Función Exponencial Estudio del comportamiento de un fractal.

Prof. Fabiana Giacinti

2015

6º año Ciencias Sociales y Humanidades

La función exponencial observada desde un fractal

¿Qué es un fractal? ¿Qué regularidad presenta el triángulo de Sierpinski? ¿De qué manera se relacionan los triángulos negros formados con la posición que se ubica? ¿Es necesario “contar” o se puede “modelizar” las regularidades?

El desarrollo de la secuencia se llevó a cabo en el aula y se propone el trabajo en dupla.

Se explicó que van a trabajar con un fractal y que desde el comportamiento de su autosimilitud deben obtener una función matemática.

Al comenzar el desarrollo de la secuencia, se generó un espacio para acordar con los alumnos la dinámica

general

de

trabajo,

las

competencias

genéricas disciplinares a lograr, la metodología a seguir,

el

proceso,

así

contenidos, los recursos.

como

los

principales

Para iniciar el estudio de las características del modelo exponencial se propuso un problema en el que se parte de la observación de regularidades

del

triángulo de Sierpinski en una secuencia de figuras para obtener la fórmula y la gráfica.

a) La fórmula de los Triángulos de Sierpinski se relaciona con la cantidad de triángulos blancos y con la posición que ocupa la figura.

Posición Inicial Cantidad 1 de triángulos blanco

1

2

3

4

5

3

9

27

81

243

En esta tabla se puede observar que el resultado de la cantidad de triángulos blancos son potencias con base tres. Es decir

b) No existe ninguna posición para la cantidad de triángulos blancos de 512, ya que no es potencia de base 3.

Por lo tanto, la fórmula de la cantidad de triángulos blancos es la siguiente:

Fórmula general

Análisis: Dominio: R Es creciente a>1

Imagen: R+

Es continua

Corta al eje en: (0; 1)

Asíntota horizontal: y=0

X10 es la posición que ocupa, la cantidad de triángulos blancos es 59049 porque f(x) = 310

En esta la actividad, los alumnos trataron de descubrir la función que representara la longitud del lado de los triángulos blancos y la posición en la que se encuentra. Ya sabían que iba a ser exponencial pero en este caso, se encontraron con la sorpresa que era decreciente. En realidad dijeron “es para el otro lado”.

Actividad: Triángulo de Sierpinski y la función exponencial

a. Completar la tabla relacionando la longitud del lado de los triángulos blancos con la posición que ocupa la figura.

Posición Longitud del lado del triángulo blanco.

0 l

1

2

3

4

b. Encontrar la fórmula que representa esta relación considerando l = 1 unidad. c. Construir la gráfica.

Proponemos al lector realizar esta actividad!!!