ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 الأستاذ علي حميد

Page 1

‫للعام الدراسي‬

‫طبعة جديدة‬ ‫ومنقحة‬

‫‪2017‬‬

‫أعداد األسـتاذ‬

‫‪ ‬شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل السادس ‪.‬‬ ‫‪ ‬حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل السادس ‪.‬‬ ‫‪ ‬أسئلة أضافية محلولة ‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل السادس‬ ‫الهندسة الفضائٌة‪SPACE GEOMETRY/‬‬ ‫مراجعة‪:‬‬ ‫‪ -1‬لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -2‬لكل مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -3‬عبارة التوازي (إذا علم مستقٌم ونقطة ال تنتمً إلٌه فٌوجد مستقٌم وحٌد ٌمر من تلك النقطة وٌوازي‬ ‫المستقٌم المعلوم)‪.‬‬ ‫‪ -4‬فً المستوى الواحد المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -5‬المستقٌم العمودي على أحد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -6‬فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم واحد فقط عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة معلومة ( تنتمً‬ ‫للمستقٌم أو ال تنتمً إلٌه)‪.‬‬ ‫‪ -7‬إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -8‬المستوى العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -9‬فً المستوى الواحد المستقٌمان العمودٌان على مستقٌم واحد متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ - 11‬إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ٌوازي اآلخر‪.‬‬ ‫‪ - 11‬المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما‪.‬‬ ‫‪ - 12‬المستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن المستوي‪.‬‬ ‫‪ - 13‬إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوي معلوم فأن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم‪.‬‬ ‫‪ - 14‬إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوت الزاوٌتان وتوازى مستوٌهما‪.‬‬ ‫‪ - 15‬قطعة المستقٌم الواصلة بٌن منتصفً ضلعً مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقٌاس‪.‬‬ ‫‪ - 16‬العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها‪.‬‬ ‫‪ - 17‬إذا وازى مستقٌم مستوي فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقااط المساتوي موازٌاا ً للمساتقٌم المعلاوم‬ ‫ٌكون محتوى فً ذلك المستوي‪.‬‬ ‫‪ - 18‬المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ - 19‬المستقٌمان الموازٌان لمستقٌم ثالث فً الفراغ متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ٌ - 21‬كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه‪.‬‬ ‫‪ٌ - 21‬كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعٌن متقابلٌن فٌه‪.‬‬ ‫‪ - 22‬المستطٌل هو متوازي أضالع أحدى زواٌاه قائمة‪.‬‬ ‫‪ٌ - 23‬مكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة‪.‬‬ ‫‪ٌ - 24‬تطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما‪.‬‬ ‫‪ - 25‬العمود النازل من نقطة معلومة على مست ٍو هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي‪.‬‬ ‫‪ - 26‬مبرهنة األعمدة الثالثة ونتٌجتها‪.‬‬

‫‪429‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الزاوٌة الزوجٌة والمستوٌات المتعامدة‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪ :‬اتحاد نصفً مستوٌ​ٌن لهما حافة (‪ )Edge‬مشتركة‪.‬‬ ‫وتسمى الحافة المشتركة بـ (حرف الزاوٌة الزوجٌة)‪.‬‬ ‫وٌسمى كل من نصفً المستوٌ​ٌن بـ (وجه الزاوٌة الزوجٌة) كما فً الشكل‪:‬‬

‫⃡ هو حرف الزاوٌة الزوجٌة‬

‫حٌث‬

‫(‪ )X‬و (‪ )Y‬هما وجهاها‬ ‫وٌعبر عن الزاوٌة الزوجٌة بالتعبٌر‪:‬‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫وقد ٌعبر عنها بحرف الزاوٌة الزوجٌة أن لم ٌكن مشتركا ً مع زاوٌة أخرى‪.‬‬ ‫مثالً‪:‬‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪:‬‬ ‫–‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫وال ٌمكن أن تكتب الزاوٌة الزوجٌة بشكل‬

‫⃡ فً هذا المثال ألن الحرف‬

‫مالحظة‪ :‬عندما تكون أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد‬ ‫نكتب الزاوٌة الزوجٌة ‪– D‬‬

‫⃡ – ‪ A‬أو‬

‫الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌ​ٌن )‪ (DBC‬و‬ ‫(‪ )ABC‬كما فً الشكل‪:‬‬

‫‪431‬‬

‫⃡ مشترك فً أكثر من زاوٌة زوجٌة‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وتقاس الزاوٌة الزوجٌة كاآلتً‪:‬‬ ‫⃡ ونرسم من ‪ D‬العمود‬

‫⃡ فً‬

‫نأخذ نقطة ‪ D‬على الحافة المشتركة‬ ‫⃡ فٌكون قٌاس الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌ​ٌن هو قٌاس الزاوٌة‬ ‫للزاوٌة الزوجٌة‪ ,‬كما فً الشكل‪:‬‬

‫بعبارة أخرى لدٌنا الزاوٌة الزوجٌة‬

‫⃡‬

‫وتسمى الزاوٌة‬

‫الزاوٌة العائدة‬

‫⃡–‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫ولدٌنا‬

‫–‬

‫والعمود‬

‫⃡ فً‬

‫على الحرف‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫∢ هً الزاوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة‬

‫⃡ أو‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة‪ :‬هً الزاوٌة التً ضلعاها عمودٌان على حرف الزاوٌة الزوجٌة من‬ ‫نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة‪.‬‬ ‫أو‪ :‬هً اتحاد شعاعٌن عمودٌ​ٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪.‬‬ ‫ومن تعرٌف الزاوٌتٌن العائدة والزوجٌة ٌمكن استنتاج اآلتً‪:‬‬ ‫‪ -1‬قٌاس زاوٌة عائدة لزاوٌة زوجٌة ثابت‪.‬‬ ‫‪ -2‬قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس‪.‬‬ ‫إذا كانت الزاوٌة الزوجٌة قائمة فأن المستوٌ​ٌن متعامدان وبالعكس‪.‬‬ ‫أي ‪ :‬أذا كان قٌاس ‪𝟗𝟎°‬‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫فأن‬

‫‪431‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مبرهنة (‪( :)7‬وزاري ‪ /2011‬د‪ )1‬و (وزاري ‪ /2013‬د‪ )2‬و(وزاري ‪ /2015‬د‪: )3‬‬ ‫إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوي اآلخر‪.‬‬

‫أي أنه‪:‬‬ ‫إذا كان‪:‬‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ في‬ ‫⃡‬

‫فأن‬

‫المعطٌات‪ :‬فً نقطة ‪, D‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫فً‬

‫⃡‬

‫نرسم‬

‫⃡ (فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (معطى)‬

‫(تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫– ⃡–‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬ ‫(قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)‬ ‫∢‬ ‫𝟎𝟗‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (إذا كان قٌاس الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن 𝟎𝟗 فأن المستقٌمٌن متعامدان وبالعكس)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫نتٌجة مبرهنة (‪( :)7‬وزاري ‪ /2013‬د‪ )3‬و (وزاري ‪ /2015‬د‪:)2‬‬ ‫إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم من نقطة فً احدهما عمودٌا ً على المستوى اآلخر ٌكون محتوى فٌه‪.‬‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬لٌكن‬ ‫ان لم ٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡‬

‫⃡ وعمودي على‬ ‫نرسم‬ ‫(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬ ‫⃡‬

‫‪432‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(معطى)‬ ‫⃡(مبرهنة ‪ ( )7‬إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما العمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون‬ ‫عمودٌا ً على المستوى اآلخر)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫ولكن‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من‬ ‫نقطة تنتمً أو ال تنتمً إلٌه)‬ ‫⃡‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫مبرهنة (‪( :)8‬وزاري ‪ /2011‬د‪ )1‬و (وزاري ‪ /2016‬د‪: )1‬‬ ‫كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو آخر ٌكون عمودٌا ً على ذلك المستوي‬ ‫أو ‪ٌ :‬تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر‪.‬‬ ‫أي أنه ‪:‬‬ ‫⃡‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝒙‬ ‫𝑥‬

‫⇒‬

‫𝑦‬

‫𝒚‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑩𝑨⃡‬ ‫⃡​⃡‬

‫المطلوب إثباته ‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬لٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡‬

‫فً‬

‫⃡‬

‫نرسم‬ ‫⃡ ( معطى)‬

‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫(مستقٌم التقاطع ٌحتوي على النقاط المشتركة)‬ ‫⃡ (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬

‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستوى ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتوى فً‬ ‫المستوي والمارة من أثره)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫⃡‬ ‫ألن ⃡‬ ‫∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬ ‫(قٌاس الزاوٌة الزوجٌـــــة ٌســــاوي قٌاس الزاوٌة العائدة‬ ‫– ⃡–‬ ‫قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪𝟗𝟎°‬‬ ‫لها وبالعكس)‬ ‫( إذا كان قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪ 90 °‬فأن المستوٌ​ٌن متعامدان وبالعكس )‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪433‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مبرهنة (‪( :)9‬وزاري ‪ /2014‬د‪:)1‬‬ ‫من مستقٌم غٌر عمودي على مست ٍو معلوم ٌوجد مست ٍو وحٌد عمودي‬ ‫على المستوى المعلوم ‪.‬‬ ‫أي أنه‪:‬‬

‫⃡غٌر عمودي على‬ ‫⃡ وعمودي على‬

‫فٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوي‬ ‫المعطٌات‪ ⃡ :‬غٌر عمودي على‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد مست ٍو وحٌد ٌحتوي‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫من نقطة‬ ‫⃡‬

‫⃡ وعمودي على‬

‫⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫نرسم‬ ‫⃡ متقاطعان‬

‫ٌحوٌهما (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)‬

‫ٌوجد مست ٍو وحٌد مثل‬

‫(مبرهنة ‪ٌ( )8‬تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫ولبرهنة الوحدانٌة‪:‬‬ ‫لٌكن (‪ )Z‬مستوي آخر ٌحوي ⃡ وعمودي على‬ ‫⃡ (بالبرهان)‬ ‫⃡ (نتٌجة مبرهنة ‪)7‬‬ ‫(لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫نتٌجة مبرهنة (‪( :)9‬وزاري ‪ /2012‬د‪:)3‬‬ ‫إذا كان كل من مستوٌ​ٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوى‬ ‫الثالث‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬إن لم ٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡ عمودٌا ً على‬

‫لما وجد أكثر من مستوي ٌحوي‬

‫⃡ وعمودي على‬

‫(مبرهنة ‪)9‬‬

‫⃡‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪434‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)1‬‬ ‫فً ‪∆ ABC‬‬ ‫‪𝟑𝟎°‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫∢‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟓‬

‫– ̅​̅​̅​̅ –‬

‫جد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫𝟓‬

‫‪𝟑𝟎°‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫∢‬

‫– ̅​̅​̅​̅ –‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫فً المستوى‬ ‫من نقطة معلومة)‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫نرسم ̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ فً نقطة‬

‫(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على آخر‬

‫(معطى)‬

‫̅​̅​̅​̅ (مبرهنة األعمدة الثالثة)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅​̅​̅​̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬

‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ (المســـتقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتواة فً المستوى‬ ‫والمارة من أثره)‬ ‫‪ ∆ DBE‬قائم الزاوٌة فً ‪B‬‬ ‫فً ‪ ∆ BEA‬القائم الزاوٌة فً ‪:E‬‬ ‫⇒‬

‫𝟓‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟑‬

‫⇒‬

‫فً ‪ ∆ DBE‬القائم الزاوٌة فً ‪:B‬‬ ‫𝟏‬ ‫قٌاس‪𝟒𝟓°‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫∢‬

‫∢‬

‫قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪𝟒𝟓°‬‬

‫– ̅​̅​̅​̅ –‬

‫( قٌاس الزاوٌة الزوجٌة هو قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪435‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)2‬‬ ‫لٌكن ‪ ABC‬مثلثا ً ولٌكن‬ ‫̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫برهن أن‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅ (معطى)‬ ‫(مبرهنة ‪ٌ( )8‬تعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅ (مبرهنة ‪( )7‬إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع‬

‫ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ (معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪436‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪( :)3‬وزاري ‪ /2012‬د ‪)2‬‬ ‫مستوٌان متعامدان ‪,‬‬ ‫⃡ عمودٌان على‬

‫⃡‬

‫⃡ وٌقطعان‬

‫فً ‪ C, D‬على الترتٌب‬

‫⃡‬

‫برهن أن‪:‬‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫إن )‬

‫⃡‬

‫‪,‬‬

‫⃡‬

‫⃡ عمودٌ​ٌن على‬

‫⃡ وٌقطعان‬

‫فً ‪ C, D‬على الترتٌب‪.‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن‬

‫لٌكن‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوٌا ً وحٌداً ٌحوٌهما)‬

‫⃡ (معطى)‬

‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫ولما كان‬

‫⃡‬

‫(ألنه محتوى فً كل منهما)‬ ‫⃡ (إذا كان كل من مستوٌ​ٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً‬ ‫على المستوي الثالث)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪437‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين‬ ‫س‪ / 1‬برهن أن مستوي الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة ٌكون عمودٌا ً على حرفها‪.‬‬

‫(وزاري ‪ / 2013‬د ‪)1‬‬

‫– ⃡–‬ ‫المعطٌات‪ :‬الزاوٌة الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة ‪ CDE‬زاوٌة مستوٌة عائدة لها‪.‬‬ ‫⃡‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡–‬

‫الزاوٌة ‪ CDE‬زاوٌة عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫(من تعرٌف الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة)‬ ‫–‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫(معطى)‬

‫(هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌ​ٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً‬ ‫إلٌه وكل منهما فً احد وجهً الزاوٌة الزوجٌة)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫(وزاري ‪/2014‬د‪)3‬‬ ‫س‪ / 2‬برهن أنه إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً وكان عمودٌا ً على مست ٍو آخر فأن المستوٌ​ٌن متعامدان‪.‬‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫ٌقطع‬ ‫أن لم ٌكن‬ ‫⃡ (معطى)‬

‫⃡‬

‫فأن‬

‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫يقطع‬ ‫ولكن هذا خالف المعطٌات‬ ‫ولٌكن ⃡‬ ‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫⃡‬

‫لتكن‬ ‫تنتمً إلٌه)‬

‫‪ ,‬ولتكن‬

‫⃡‬

‫⃡ (عبارة التوازي‪ٌ :‬وجد مستقٌم وحٌد ٌوازي مستقٌم معلوم من نقطة ال‬

‫⃡ (معطى)‬ ‫⃡ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقط المستوي موازٌا ً للمستقٌم‬ ‫المعلوم ٌكون محتوى فٌه)‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (المستوي العمود على احد مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) أو (كل مست ٍو مار بمستقٌم‬ ‫عمودي على مست ٍو ٌكون عمودي على المست ٍو اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪438‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(وزاري ‪/ 2014‬د‪) 2‬‬ ‫س‪ / 3‬برهن أن المستوي العمودي على احد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر أٌضا‪ً.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫لٌكن ⃡‬ ‫ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫ولتكن‬ ‫⃡ بحٌث ⃡‬ ‫⃡‬ ‫نرسم‬ ‫(ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫(معطى )‬ ‫⃡ (إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرســـوم فً احدهما والعمودي على مســــتقٌم التقاطع ٌكون‬ ‫عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫ولكن‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫س‪ A, B, C, D / 4‬أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد بحٌث‬ ‫‪.‬‬ ‫عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅​̅​̅​̅ – برهن‬

‫و ̅​̅​̅​̅‬

‫فإذا كانت‬

‫المعطٌات‪ A, B, C, D :‬أربع نقاط مختلفة لٌست فً مست ٍو واحد‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬

‫– ̅​̅​̅​̅ –‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅​̅​̅​̅ – (معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ (الزاوٌة العائدة هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌ​ٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة‬ ‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅‬ ‫من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة)‬ ‫(معطى)‬ ‫فً المثلث ‪ABC‬‬ ‫(العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)‬ ‫المثلثان ‪ DEB‬و ‪ DEC‬فٌهما‪:‬‬ ‫(قوائم)‬ ‫𝟏∢‬ ‫𝟐∢‬ ‫(ضلع مشترك)‬ ‫‪( CE = BE‬بالبرهان)‬ ‫ٌتطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما‪.‬‬ ‫ومن التطابق ٌنتج‪:‬‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪439‬‬

‫∢‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(وزاري ‪ / 2015‬د‪)1‬‬ ‫س‪ / 5‬برهن أنه إذا وازى كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن مستوٌا ً معلوم وكانا عمودٌ​ٌن على مستوٌ​ٌن متقاطعٌن‬ ‫فأن مستقٌم تقاطع المستوٌ​ٌن المتقاطعٌن ٌكون عمودٌا ً على المستوى المعلوم‪.‬‬

‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ يوازيان‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫لٌكن‬

‫مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوٌهما)‬

‫⃡ (معطى)‬ ‫(إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوٌا ً معلوما ً فإن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم)‬

‫ولكن‬

‫⃡‬ ‫(معطى)‬ ‫⃡‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫⃡ ( إذا كان كل من مستوٌ​ٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً‬

‫على المستوي الثالث)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪441‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 6‬دائرة قطرها ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ عمودي على مســــتوٌها ‪ D ,‬نقطة تنتمً للدائرة برهن أن‬

‫عمودي‬

‫على‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅ قطر فً دائرة و ̅​̅​̅​̅​̅‬

‫مستوي الدائرة‪.‬‬

‫‪ D‬نقطة تنتمً للدائرة‪.‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫زاوٌة محٌطٌة‬ ‫∢‬

‫(الزاوٌة المحٌطٌة المقابلة لنصف دائرة قائمة)‬

‫̅​̅​̅​̅ (إذا كانت الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن قائمة فأن المستقٌمٌن متعامدٌن)‬

‫̅​̅​̅​̅ عمودي على مستوي الدائرة (معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (مبرهنة االعمدة الثالثة)‬

‫اصبح لدٌنا‪̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ :‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ (بالبرهان)‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫ولكن‬

‫̅​̅​̅​̅‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪441‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫االسقاط العمودي على مست ٍو‬ ‫‪ -1‬مسقط نقطة على مست ٍو‪ :‬هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬مسقط مجموعة نقط على مستوي‪ :‬لتكن ‪ L‬مجموعة من نقاط فً الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار‬ ‫االعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي‪.‬‬ ‫‪ -3‬مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم‪ :‬هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن‬ ‫من نهاٌتً القطعة على المستوي المعلوم‪.‬‬ ‫لٌكن ̅​̅​̅​̅ غٌر عمودي على‬ ‫ولٌكن‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫مسقط ‪ A‬على‬

‫هو‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫مسقط ‪ B‬على‬

‫هو‬

‫هو ̅​̅​̅​̅‬

‫مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬

‫̅​̅​̅​̅ فأن‬

‫مالحظة‪ :‬إذا كان‬

‫‪ -4‬المستقٌم المائل على مست ٍو‪ :‬هو المستقٌم غٌر العمودي على المستوي وقاطع له‪.‬‬ ‫‪ -5‬زاوٌة المٌل‪ :‬هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي‪.‬‬ ‫فً‬ ‫لٌكن ⃡ مائالً على‬ ‫̅​̅​̅​̅ فً‬

‫ولٌكن‬ ‫مسقط‬ ‫كذلك‬

‫على‬

‫حٌث‬

‫مسقط نفسها حٌث‬

‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫أي أن ‪𝟗𝟎°‬‬ ‫‪𝟎 𝟗𝟎°‬‬

‫𝛉‬

‫𝟎‬

‫𝜽‬

‫‪ -6‬طول المسقط‪ :‬طول مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو = طول المائل‬

‫جٌب تمام زاوٌة المٌل‪.‬‬

‫فعندما تكون ̅​̅​̅​̅ مائالً على‬

‫وزاوٌة مٌلة 𝜽 ومسقطه ̅​̅​̅​̅ فأن 𝛉‬

‫‪ -7‬مسقط مستوي مائل على‬ ‫الزوجٌة بٌنهما‪.‬‬

‫‪ :‬زاوٌة مٌل مست ٍو على مست ٍو معلوم هو قٌاس الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة‬

‫مساحة مسقط منطقة مائلة على مست ٍو معلوم = مساحة المنطقة المائلة‬ ‫مساحة المنطقة المائلة و‬

‫جٌب تمام زاوٌة المٌل‬

‫مساحة المسقط و 𝜽 قٌاس زاوٌة المٌل 𝛉‬

‫‪442‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪( :)4‬وزاري ‪ /2013‬د ‪:)2‬‬ ‫إذا وازى أحد ضلعً زاوٌة قائمة مستوٌا ً معلوما ً فأن مسقطً ضلعٌهما على المستوي متعامدان‪.‬‬ ‫∢ قائمة فً ‪B‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ هو مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ هو مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫المطلوب إثباته‪A'B' ┴ B'C' :‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅‬ ‫(معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅​̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن‬ ‫المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة)‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)‬ ‫نعٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن المتوازٌ​ٌن‬ ‫( لكل مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما )‬ ‫نعٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن المتوازٌ​ٌن‬ ‫يحتويهما‬ ‫̅​̅​̅​̅ (معطى)‬ ‫لكن‬ ‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المســــتقٌمات الناتجة من تقاطع هذا‬ ‫المستوي والمستوٌات التً تحوي المستقٌم)‬

‫كذلك ̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ (المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره‬ ‫ضمن ذلك المستوي)‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫لكن ̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ ( فً المستوي الواحد‪ :‬المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر )‬ ‫̅​̅​̅​̅ ( ألن 𝟎𝟗‬

‫∢‬

‫معطى)‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ (المستوي العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅​̅​̅(المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره‬ ‫ضمن ذلك المستوي)‪.‬‬ ‫(و‪ .‬هـــ ‪ .‬م)‬

‫‪443‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)5‬‬ ‫̅​̅​̅​̅ والزاوٌة الزوجٌة بٌن مستوي المثلث‬

‫مثلث‪,‬‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫‪ ∆ ABC‬على‬

‫‪.‬‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫𝟑𝟏‬

‫قٌاس ‪𝟔𝟎°‬‬

‫علااى‬

‫ثاام جااد مساااحة مسااقط‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫𝟎𝟏‬

‫والمستوي‬

‫جااد مسااقط المثلااث‬

‫قٌاسها ‪ 𝟔𝟎°‬فإذا كان‬

‫𝟑𝟏‬ ‫على‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد مسقط‬ ‫على‬ ‫وإٌجاد مساحة مسقط‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫(ٌمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة)‬ ‫فً‬ ‫نرسم‬ ‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن‬ ‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅‬ ‫المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة)‬ ‫̅​̅​̅​̅ مسقط نفسه على‬ ‫على‬

‫مسقط‬

‫̅​̅​̅​̅ فً‬

‫نرسم ̅​̅​̅​̅‬

‫فً‬ ‫وبما أن‬

‫(فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم عمود على آخر من نقطة معلومة)‬

‫(معطى)‬ ‫(العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)‬

‫𝟓‬

‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅​̅​̅​̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫لكن قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ̅​̅​̅​̅‬ ‫فً‬

‫القائم فً ‪:‬‬

‫فً‬

‫‪:‬‬

‫القائم فً‬

‫‪( 𝟔𝟎°‬معطى)‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟒𝟏√‬

‫⇒‬ ‫𝟎𝟑‬

‫(و‪ .‬هـ ‪.‬م)‬

‫‪444‬‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟗𝟔𝟏√‬ ‫𝟎𝟔‬

‫= مساحة المثلث ‪BCD‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين‬ ‫س‪ / 1‬برهن أن طول قطعة المســتقٌم الموازي لمســت ٍو معلوم ٌســـــاوي طول مســـقطه على المستوي المعلوم‬ ‫وٌوازٌه‪( .‬وزاري ‪ /2011‬د ‪ 1‬و ‪ /2014‬د ‪ 1‬و ‪ /2016‬د ‪) 1‬‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫أوال ً ‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫ثانٌا ً ‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬

‫(معطى)‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ عمودان على‬

‫(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسـومٌن‬ ‫من طرفً القطعة على المستوي)‬

‫̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)‬

‫بالمستقٌمٌن المتوازٌ​ٌن‬

‫نعٌن‬

‫(لكل مستقٌمٌن متوازٌ​ٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما)‬

‫̅​̅​̅​̅ (معطى)‬ ‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (مستقٌم تقاطع مستوٌ​ٌن ٌوازي كل مستقٌم محتوى فً احدهما وٌوازي اآلخر)‬ ‫أو (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المستقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي‬ ‫مع المستوٌات التً تحوي هذا المستقٌم)‬ ‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م) (‪)1‬‬

‫الشكل‬

‫متوازي أضالع (ألن كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متوازٌ​ٌن)‬ ‫خواص متوازي األضالع ( كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متساوٌ​ٌن بالطول)‬ ‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م) (‪)2‬‬

‫‪445‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 2‬برهن أنه إذا قطع مســـتوٌان متوازٌان بمستقٌم فأن مٌله على احدهما ٌساوي مٌل اآلخر علٌه‪.‬‬ ‫(وزاري ‪ /2012‬د ‪ )2‬و (وزاري ‪ /2015‬د ‪)3‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫} {‬

‫⃡‬

‫} {‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫⃡ على‬

‫مٌل‬

‫⃡ على‬

‫مٌل‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )‬

‫نرسم‬

‫(معطى)‬ ‫⃡ فً نقطة‬ ‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬ ‫وكذلك‬

‫(المستقٌم العمودي على أحد مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫𝟏∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫𝟐∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫⃡‬ ‫𝟐∢‬ ‫مٌل‬

‫(مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم هو قطعة المستقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي)‬ ‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هاً الزاوٌاة المحاددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )‬

‫⃡ ( خطأ تقاطع مستوٌ​ٌن متوازٌ​ٌن بمست ٍو ثالث متوازٌان )‬ ‫𝟏∢‬ ‫⃡ على‬

‫( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازى مستوٌهما )‬ ‫مٌل‬

‫⃡ على‬

‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م)‬

‫‪446‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 3‬برهن على أن للمستقٌمات المتوازٌة المائلة على مست ٍو المٌل نفسه‪.‬‬ ‫( وزاري ‪ /2011‬د ‪( )3‬وزاري ‪ /2013‬د ‪)3‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫⃡ وكل منهما مائل على‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫⃡ على‬

‫قٌاس زاوٌة مٌل‬

‫= قٌاس زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡ فً‬

‫لٌكن‬

‫( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )‬

‫⃡ فً‬

‫ولٌكن‬ ‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫‪ ∢ 1‬هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫‪ ∢ 2‬هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )‬

‫⃡‬

‫⃡ ( معطى )‬

‫⃡‬

‫⃡ ( المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو متوازٌان )‬

‫𝟒∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬

‫𝟑∢‬ ‫𝟔∢‬

‫( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازي مستوٌهما )‬ ‫𝟓∢‬

‫( المســتقٌم العمودي على مســتوي ٌكون عمودٌا ً على جمـٌع المســــتقٌمات‬ ‫المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي )‬

‫‪) 𝟏𝟖𝟎°‬‬ ‫𝟏 ∢ ( مجموع قٌاسات زواٌا المثلث‬ ‫𝟐∢‬ ‫قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على‬ ‫قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪447‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 4‬برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان فً الطول من نقطة ال تنتمً إلى مست ٍو معلوم فإن أطولهما زاوٌة‬ ‫مٌله على المستوي أصغر من زاوٌة مٌل اآلخر علٌه‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )‬

‫لٌكن‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )‬

‫( معطى )‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫(خواص التراجح)‬

‫وبضرب طرفً المتراجحة بـ‬ ‫𝟐𝜽‬ ‫𝟐𝜽‬

‫𝟏𝜽‬

‫ٌنتج‪:‬‬

‫( وبرفع‬

‫الطرفٌن ألن دالة‬

‫𝟏𝛉‬

‫زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪448‬‬

‫دالة متزاٌدة)‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 5‬برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مست ٍو فأصغرهما مٌالً هو األطول‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ مائالن على‬ ‫زاوٌة مٌل̅​̅​̅​̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫̅​̅​̅​̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )‬

‫لٌكن‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫وكذلك ̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬

‫( مسقط قطعة مستقٌم غٌار عمودٌاة علاى مسات ٍو معلاوم هاو قطعاة المساتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫𝟐𝜽 ∢‬

‫𝟏𝛉 ∢‬

‫وبأخذ دالة الـ‬ ‫𝟐𝛉‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )‬

‫للطرفٌن‪:‬‬ ‫𝟏𝛉‬ ‫و بقسمة طرفً المتراجحة على ‪AD‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫وبقلب التراجح ٌنتج ‪:‬‬ ‫( خواص التراجح )‬

‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م)‬

‫‪449‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 6‬برهن على أنه زاوٌة المٌل بٌن المستقٌم ومسقطه على مست ٍو أصغر من الزاوٌة المحصورة بٌن المستقٌم‬ ‫(وزاري ‪ /2012‬د‪)3‬‬ ‫نفسه وأي مستقٌم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫‪ ̅​̅​̅​̅ ,‬مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬

‫̅​̅​̅​̅ مائل على‬

‫∢ محددة بـ ̅​̅​̅​̅ و ̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅​̅ ‪,‬‬

‫∢ محددة بـ ̅​̅​̅​̅ و ̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫∢‬

‫∢‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅​̅​̅​̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫نرسم‬ ‫ونرسم ̅​̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫لتكن 𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬

‫∢‬

‫̅​̅​̅​̅ مسقط ̅​̅​̅​̅ على‬ ‫‪AD‬‬

‫∢‬

‫(معطى)‬

‫‪( AC‬العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي)‬

‫وبالقسمة على ‪AB‬‬ ‫(خواص التراجح)‬ ‫𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬ ‫𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬ ‫∢‬

‫∢‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪451‬‬


โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ

โ ซุงู ู ุตู ุงู ุณุงุฏุณโ ช /โ ฌุงู ู ู ุฏุณุฉ ุงู ู ุถุงุฆู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ

โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ

โ ซุงู ู ุฌุณู ุงุชโ ฌ โ ซุณุจู ู ู ุทุงู ุจ ุฏุฑุงุณุฉ ุงู ู ุฌุณู ุงุช ู ู ุงู ู ุฑุญู ุฉ ุงู ู ุชู ุณุทุฉ ู ู ู ุฎุต ู ู ู ุง ู ู ู ู ู ุงู ู ู ุงู ุญุฌู ู ู ุงู ู ุณุงุญุงุช ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซู ุงู ู ู ู ุฉ ู ุจุนุถ ุงู ู ุฌุณู ุงุช ุนู ู ุง ู ุฃู ุงู ุญุฏู ุซ ุนู ุญุฌู ู ุฌุณู ู ู ุตุฏ ุจู ุญุฌู ุงู ู ู ุทู ุฉ ู ู ุงู ู ุฑุงุบ (ุงู ู ุถุงุก) ุงู ู ุงู ุนุฉโ ฌ โ ซุฏุงุฎู ุงู ู ุฌุณู ู ู ุง ู ู ุงู ุฌุฏู ู โ ช:โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช โ 1โ ฌุงู ู ู ุดู ุฑ (ุงู ู ู ุดู ุฑ ุงู ู ุงุฆู ) โ ชRight Prismโ ฌโ ฌ

โ ซุงู ุฑุณู โ ฌ

โ ซุงู ุญุฌู โ ฌ โ ซโ ชVolumeโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซโ ชLateral Areaโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ชTotal Areaโ ฌโ ฌ

โ ซู ุณุงุญุฉ ุงู ู ุงุนุฏุฉ ร ุงุงู ุฑุชู ุงุนโ ฌ โ ซู ุฌู ู ุน ู ุณุงุญุงุช ุงุฃู ู ุฌู ุงู ุฌุงู ุจู ุฉ = ู ุญู ุท ุงู ู ุงุนุฏุฉ ร ุงุงู ุฑุชู ุงุนโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉ โ ช +โ ฌู ุณุงุญุฉ ุงู ู ุงุนุฏุชู ู โ ฌ

โ ซโ ช โ 2โ ฌู ุชู ุงุฒู ุงู ุณุทู ุญ ุงู ู ุณุชุทู ู ุฉ ( ู ุชู ุงุฒู ุงู ู ุณุชุทู ุงู ุช ) โ ชParallel pipedโ ฌโ ฌ

โ ซุงู ุฑุณู โ ฌ

โ ซุงู ุญุฌู โ ฌ โ ซโ ชVolumeโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซโ ชLateral Areaโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ชTotal Areaโ ฌโ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซโ ช451โ ฌโ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫‪ –3‬المكعب ‪Cube‬‬

‫الرسم‬

‫الحجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫المساحة الجانبٌة‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫المساحة الكلٌة‬ ‫‪Total Area‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫‪ –4‬األسطوانة الدائرٌة القائمة ‪Right Circular Cylinder‬‬

‫الرسم‬

‫الحجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫المساحة الجانبٌة‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫المساحة الكلٌة‬ ‫‪Total Area‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪452‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪ –5‬الهرم ‪Pyramid‬‬ ‫األرتفاع الجانبً‬

‫𝒃 ∶ مساحة القاعدة‬

‫الرسم‬ ‫𝒉 ∶ األرتفاع‬

‫الحجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫المساحة الجانبٌة‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫المساحة الكلٌة‬ ‫‪Total Area‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫) طول األرتفاع الجانبي(‬ ‫المساحة الجانبية‬

‫𝟏‬ ‫) محيط القاعدة(‬ ‫𝟐‬

‫مساحة القاعدة‬

‫‪ –6‬المخروط الدائري القائم ‪Right Circular Cone‬‬

‫الرسم‬

‫الحجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫المساحة الجانبٌة‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫المساحة الكلٌة‬ ‫‪Total Area‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪453‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪ –7‬الكرة ‪Sphere‬‬

‫الرسم‬

‫𝟑‬

‫الحجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫المساحة الكلٌة‬ ‫‪Total Area‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫مساحة مسطح الكرة = مساحة ‪ 4‬دوائر عظٌمة‬ ‫𝟐‬

‫مالحظة‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ذو الوجوه األربعة المنتظم‪ :‬هرم ثالثً قائم منتظم أوجهه االربعة مثلثات متساوٌة األضالع ومتطابقة‪.‬‬ ‫‪ - 2‬إذا قطع المخروط الدائري بمستوي مار من أحد مولداته فأن المقطع مثلث وٌكون المثلث فً المخروط الدائري‬ ‫القائم متساوي الساقٌن‪.‬‬

‫‪454‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين‬ ‫𝟐‬

‫س‪ / 1‬إذا كانت المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت‬ ‫𝟐 𝟎𝟏𝟏 جد ابعاده وحجمه‪.‬‬ ‫احد أوجهه الجانبٌة‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐𝟕 ومساحة قاعدته‬

‫𝟐𝟑𝟏 ومساحة‬

‫المعطٌات‪ ABCD – EFGH :‬متوازي مستطٌالت‬ ‫مساحته الكلٌة‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐𝟕‬

‫ومساحة الوجه الجانبً ‪CBFG‬‬ ‫ومساحة القاعدة ‪EFGH‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏𝟏‬

‫𝟐𝟑𝟏‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إٌجاد أبعاد متوازي المستطٌالت ‪ABCD – EFGH‬‬ ‫‪ - 2‬إٌجاد حجم متوازي المستطٌالت ‪ABCD – EFGH‬‬ ‫المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت‬ ‫البرهان‪ :‬لتكن‬ ‫المساحة الكلٌة له‬ ‫عرض قاعدته‬ ‫طول قاعدة متوازي المستطٌالت‬ ‫ولٌكن‬ ‫𝟐‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫مساحة الوجهٌن المتقابلٌن‬

‫𝟎𝟔𝟒‬

‫مساحة الوجه ̅​̅​̅​̅​̅‬

‫𝟎𝟒𝟐‬

‫𝟎𝟐𝟏‬ ‫𝟐𝟑𝟏‬

‫معادلة 𝟏‬

‫𝟎𝟐𝟏‬

‫معادلة 𝟐‬ ‫𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟑𝟏‬

‫𝟐𝟑𝟏 𝟐 – 𝟒𝟐𝟕‬

‫𝟎𝟏𝟏 𝟐 – 𝟎𝟔𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫ارتفاعه‬

‫𝟒𝟔𝟐 – 𝟒𝟐𝟕‬

‫حجمه‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏𝟏‬

‫⇒‬

‫𝟎𝟏𝟏‬

‫𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟑𝟏‬

‫𝟒𝟒𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏𝟏‬ ‫𝟎𝟐𝟑𝟏‬

‫‪455‬‬

‫𝟎𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟏‬

‫⇒‬

‫𝟐𝟑𝟏‬

‫⇒‬

‫𝟎𝟐𝟏‬

‫⇒‬

‫𝟎𝟏𝟏‬

‫𝟎𝟐𝟏 𝟎𝟑𝟏‬ ‫𝟎𝟏𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬ ‫الحجم‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟐‬ ‫𝟎𝟎𝟒 وحجمها‬ ‫س‪ / 2‬اسطوانة دائرٌة قائمة مساحتها الجانبٌة‬ ‫قطر قاعدتها‪( .‬وزاري ‪ / 2014‬د‪ )2‬و (وزاري ‪ / 2015‬د‪)2‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐 أوجد ارتفاعها ونصف‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫اسطوانة دائرٌة قائمة مساحتها الجانبٌة‬ ‫وحجمها‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إٌجاد ارتفاع االسطوانة الدائرٌة القائمة‪.‬‬ ‫‪ - 2‬إٌجاد نصف قطر االسطوانة الدائرٌة القائمة‪.‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫لٌكن طول نصف قطر االسطوانة الدائرٌة القائمة‬

‫‪ ,‬وحجمها‬

‫‪ ,‬وارتفاعها‬

‫ومساحتها الجانبٌة‬ ‫المساحة الجانبٌة = محٌط القاعدة × االرتفاع‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫)‬

‫𝟎𝟎𝟐‬

‫تقسيم 𝟐(‬

‫⇒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫حجم االسطوانة = مساحة القاعدة × االرتفاع‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬

‫)‬

‫تقسيم (‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬

‫وبقسمة معادلة (‪ )2‬على معادلة (‪:)1‬‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫وبتعوٌض قٌمة‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬ ‫𝟎𝟎𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫فً معادلة (‪ٌ )1‬نتج‪:‬‬ ‫𝟎𝟐‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪456‬‬

‫⇒‬

‫𝟎𝟎𝟐‬

‫𝟎𝟏‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 3‬برهن على أن حجم ذو الوجوه االربعة المنتظم والذي طول حرفه ‪ L‬هو‬ ‫(وزاري ‪ /2012‬د ‪ )1‬و (وزاري ‪ /2014‬د ‪)3‬‬

‫𝟐𝟏√‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وحدة مكعبة‪.‬‬

‫المعطٌات‪ A – DBC :‬ذو الوجوه االربعة المنتظم وطول حرفه ‪.L‬‬ ‫المطلوب إثباته‪ :‬وحدة مكعبة‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟏√‬

‫= الحجم‬

‫𝟐𝟏‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫ذو الوجوه االربعة المنتظم هو هرم ثالثً قائم منتظم أوجهه‬ ‫االربعة مثلثات متساوٌة االضالع ومتطابقة‪.‬‬ ‫القاعدة ‪ BCD‬مثلث متساوي االضالع‪.‬‬ ‫نرسم االعمدة المنصفة من رؤوس ‪ ∆ BCD‬على القاعدة فٌنصفها (العمود النازل من رأس مثلث متساوي‬ ‫الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)‬ ‫قٌاس كل زاوٌة من زواٌا المثلث المتساوي االضالع‬ ‫‪𝟑𝟎°‬‬

‫‪𝟔𝟎°‬‬

‫∢‬

‫لٌكن ارتفاع ذو الوجوه االربعة المنتظم‬ ‫‪ ∆ BEF‬قائم الزاوٌة فً‬

‫𝟎𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑√‬ ‫𝟐‬ ‫⇒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑√‬ ‫‪ ∆ AEB‬قائم الزاوٌة فً ‪( E‬المستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من‬ ‫أثره ضمن ذلك المستوي)‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐√‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫⇒‬ ‫𝟐 ⇒‬ ‫⇒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑√‬ ‫𝟏‬

‫حجم الهرم = مساحة القاعدة × االرتفاع‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐√‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐√‬

‫)‬

‫𝟑√‬

‫()‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑√( )𝟐𝟏(‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑√‬ ‫𝟒‬

‫*‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫مالحظة ‪:‬‬ ‫مساحة قاعدة الهرم‬

‫مساحة مثلث متساوي األضالع‬

‫‪457‬‬

‫𝟐 𝟑√‬ ‫𝑳‬ ‫𝟒‬

‫حيث 𝒍 هو طول الحرف للهرم‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 4‬مخروط دائري قائم مر برأسه مست ٍو فقطع قاعدته بقطعة مستقٌم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار ‪, 8 cm‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟏 أحسب‪:‬‬ ‫𝟐𝟎𝟏 وارتفاع المخروط‬ ‫فإذا كانت مساحة المقطع‬ ‫③مساحته الكلٌة‪.‬‬ ‫② مساحته الجانبٌة‪.‬‬ ‫① حجمه‪.‬‬ ‫(وزاري ‪ / 2015‬د‪)1‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫مخروط دائري قائم مر برأسه مست ٍو فقطع قاعدته بقطعة مستقٌم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار ‪ , 8 cm‬فإذا كانت‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟏‬ ‫𝟐𝟎𝟏 وارتفاع المخروط‬ ‫مساحة المقطع‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫‪ - 1‬حساب حجم المخروط‪.‬‬ ‫‪ - 2‬حساب مساحته الجانبٌة‪.‬‬ ‫‪ - 3‬حساب مساحته الكلٌة‪.‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫وٌمثل االرتفاع ‪ٌ V ,‬مثل الحجم ‪,‬‬ ‫وٌمثل طول نصف قطر قاعدة المخروط ‪,‬‬ ‫لٌكن‬ ‫‪ = L.A‬المساحة الجانبٌة ‪ L =AB ,‬وٌمثل االرتفاع الجانبً ‪ = T.A ,‬المساحة الكلٌة‪.‬‬ ‫فً المثلث ‪ ADE‬القائم الزاوٌة فً ‪ ( D‬المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات‬ ‫المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي )‬ ‫𝟐‬

‫⇒ 𝟗𝟖𝟐 𝟒𝟔 𝟓𝟐𝟐‬ ‫𝟕𝟏 𝟗𝟖𝟐√‬ ‫̅​̅​̅​̅ عمودي على مستوي القاعدة ‪( ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ,‬ألنه بعد بٌن نقطة ومستقٌم)‬ ‫̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ( مبرهنة االعمدة الثالثة )‬ ‫𝟏‬

‫مساحة المثلث‬

‫𝟐𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏√𝟓‬ ‫حجم المخروط =‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫ولكن ‪( BE = EC‬العمود النازل من مركز دائرة على وتر فٌها ٌنصفه)‬ ‫𝟐‬ ‫فً المثلث ‪ DEB‬القائم الزاوٌة فً ‪:E‬‬ ‫𝟒𝟔‬ ‫⇒ 𝟎𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫فً المثلث ‪ ADB‬القائم الزاوٌة فً ‪:D‬‬ ‫𝟓𝟐𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫مساحة القاعدة × االرتفاع‬ ‫𝟑‬

‫و‪ .‬هـ‪ .‬م (‪)1‬‬ ‫المساحة الجانبٌة للمخروط =‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫محٌط القاعدة × االرتفاع الجانبً‬ ‫و‪ .‬هـ‪ .‬م (‪)2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏√𝟎𝟓‬

‫المساحة الكلٌة للمخروط = المساحة الجانبٌة ‪ +‬مساحة القاعدة‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐 𝟑𝟏√( 𝟎𝟓‬ ‫و‪ .‬هـ‪ .‬م (‪)3‬‬

‫‪458‬‬

‫)𝟑𝟏√𝟓(‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟏√𝟎𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 5‬إذا علمت أنه ٌمكن رسم كرة خارج ذو االوجه االربعة المنتظم ‪.‬‬ ‫برهن أن نصف قطر الكرة =‬

‫(وزاري ‪ /2011‬د‪)1‬‬

‫االرتفاع‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫رسمت الكرة التً مركزها ‪ C‬خارج ذو االوجه االربعة‬ ‫المنتظم ‪D – EFG‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫نصف قطر الكرة =‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫االرتفاع‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫ذو االوجه االربعة المنتظم هو هرم ثالثً قائم منتظم‪ ,‬أوجهه االربعة مثلثات متساوٌة االضالع ومتطابقة ‪.‬‬ ‫وارتفـــــاع الهرم‬

‫لتكن مســــــاحة القاعدة‬ ‫قطر الكره‬

‫وطول نصف‬

‫وحجمــــــه‬

‫مركز الكرة ‪ C‬قسم الهرم الكبٌر ‪ D – EFG‬إلى أربعة اهرامات متساوٌة بالحجم لتساوي القاعدة واالرتفاع وهً‪:‬‬ ‫‪ C – DEF‬و ‪ C – GDE‬و ‪ C – FGD‬و ‪ C – EFG‬وارتفاع كل منها‬ ‫حجم ذي الوجوه االربعة‬

‫𝟒‬

‫حجم الهرم‬

‫–‬

‫–‬ ‫𝟒‬ ‫)‬

‫وبالقسمة على )‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫(𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫( نحصل على‪:‬‬ ‫𝟑‬ ‫–‬

‫𝟒‬

‫𝟒– 𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪459‬‬

‫⇒‬

‫– 𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل السادس‬ ‫سؤال وزاري ‪/2013‬د‪1‬‬ ‫𝟑‬

‫س‪ / 1‬إذا كانت المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒𝟐 جد ابعاده وحجمه‪.‬‬ ‫احد أوجهه الجانبٌة‬

‫𝟎𝟖𝟏 ومساحة قاعدته‬

‫𝟑‬

‫𝟖𝟒 ومساحة‬

‫المعطٌات‪ ABCD – EFGH :‬متوازي مستطٌالت‬ ‫مساحته الكلٌة‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟖𝟏‬

‫ومساحة الوجه الجانبً ‪CBFG‬‬ ‫ومساحة القاعدة ‪EFGH‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟖𝟒‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إٌجاد أبعاد متوازي المستطٌالت ‪ABCD – EFGH‬‬ ‫‪ - 3‬إٌجاد حجم متوازي المستطٌالت ‪ABCD – EFGH‬‬ ‫المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت‬ ‫البرهان‪ :‬لتكن‬ ‫المساحة الكلٌة له‬ ‫عرض قاعدته‬ ‫طول قاعدة متوازي المستطٌالت‬ ‫ولٌكن‬ ‫𝟐‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫̅​̅​̅​̅‬

‫مساحة الوجهٌن المتقابلٌن‬

‫𝟒𝟖‬

‫مساحة الوجه ̅​̅​̅​̅​̅‬

‫𝟖𝟒 𝟐 – 𝟎𝟖𝟏‬

‫𝟒𝟐 𝟐 – 𝟒𝟖‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫ارتفاعه‬

‫𝟔𝟗 – 𝟎𝟖𝟏‬

‫حجمه‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟖𝟒‬

‫معادلة 𝟏‬

‫𝟖𝟏‬

‫معادلة 𝟐‬ ‫𝟖𝟏 𝟖𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟖𝟏 𝟖𝟒‬

‫𝟑‬

‫‪461‬‬

‫𝟖‬ ‫𝟒𝟒𝟏‬

‫⇒‬

‫𝟕𝟏‬

‫⇒‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟑‬

‫⇒‬

‫𝟖𝟒‬

‫𝟑 𝟖 𝟔‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟖𝟏 𝟖𝟒‬ ‫𝟒𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬ ‫الحجم‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.