ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ علي حميد

‫للعام الدراسي‬

‫طبعة جديدة‬ ‫ومنقحة‬

‫‪2017‬‬

‫أعداد األسـتاذ‬

‫‪ ‬شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل الرابع ‪.‬‬ ‫‪ ‬حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل الرابع ‪.‬‬ ‫‪ ‬أسئلة أضافية محلولة ‪.‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫الفصل الرابع‪/‬التكامل‬ ‫اٌجاد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة منطمة مستوٌة‬ ‫أذا كانت 𝒇 دالة ( منحنً ) وكانت 𝑨 المنطمة المحصورة بٌنها وبيٌ اححيدا ً السيٌنً ايً الفتيرة 𝒃 ‪ 𝒂,‬كميا‬ ‫هو مبٌ اً الشكل أدناه ‪ ,‬اٌمكننا أٌجاد مساحة المنطمة 𝑨 المحددة بالرسم ‪.‬‬

‫مالحظات ‪:‬‬ ‫① نرسم مستطٌالً م أدنى نمطة اً المنحنً ضم الفترة‬ ‫② نرسم مستطٌالً م أعلى نمطة اً المنحنً ضم الفترة‬ ‫③ نوجد مساحة المنطمتٌ المستطٌلتٌ 𝟏 و 𝟐 ‪.‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫ونرمز له بالرمز‬ ‫ونرمز له بالرمز‬

‫④ المطلوب هو حساب المٌمة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬باالعتماد على المانو‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫⑤ مساحة أي منطمة هً عدد حمٌمً غٌر سالب‬ ‫مساحة‬ ‫مساحة 𝟐‬ ‫اأ مساحة 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫⑥ أذا كانت 𝟐‬ ‫⑦ ٌمكننا تحدٌد أبعاد المنطمتٌ المسيتطٌلتٌ مي ليالل إحيدا ٌات النمياط ايً نهياٌتً الفتيرة الميذكورة ايً السي ال‬ ‫وتعوٌضها اً الدالة احصلٌة ‪.‬‬ ‫حٌث‬ ‫⑧ نرمز حرتفاع المستطٌل الصغٌر 𝟏 بالرمز‬ ‫⑨ نرمز حرتفاع المستطٌل الكبٌر‬ ‫م ال (‪/)1‬‬

‫𝟐‬

‫بالرمز‬

‫اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث }𝟏‬

‫حٌث‬ ‫‪,‬‬

‫√‬

‫𝟎 ‪𝟓,‬‬

‫‪{ ,‬‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫المساحة التقرٌبٌة للمنطقة‬

‫‪304‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟏 𝟓√‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫𝟔‬ ‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏 𝟐√‬ ‫𝟑 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال (‪/)2‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث }𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐,‬‬

‫‪{ ,‬‬

‫𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫م ال ‪/‬‬

‫اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث }𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏 𝟓‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫المساحة التقرٌبٌة للمنطقة‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎 ‪𝟑,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪{ ,‬‬

‫𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟐‬ ‫المساحة التقرٌبٌة للمنطقة‬

‫م ال ‪/‬‬

‫اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث }𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪𝟓 ,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐 𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪{ ,‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟎𝟏‬

‫‪2‬‬

‫𝟑𝟕‬

‫‪2‬‬ ‫𝟎𝟑‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫المساحة التقرٌبٌة للمنطقة‬

‫واجب ‪ /:‬اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث‬

‫}𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪305‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫𝟗𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑 𝟎𝟏‬

‫𝟗𝟏𝟐‬ ‫𝟒𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟑 𝟑𝟕‬

‫𝟗𝟏𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟎 ‪𝟒,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫‪{ ,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫مساحة منطمة مستوٌة بدلة أكبر‬ ‫‪ Ⓘ‬نجزأ الفترة المعطاة‬

‫‪,‬‬

‫الى اترات حسب الطلب ولٌك عدد الفترات هو )‪ (n‬وبذلن ٌكو طول الفترة‬

‫حٌث ٌرمز لالعداد م ) ‪ (1,2,…,n‬بالرمز )𝛔( (سكما ) حٌث أ‬ ‫② نحسب مساحة أكبر منطمة مستطٌلة دالل ‪ A‬حٌث تساوي‬ ‫③ نحسب مساحة أصغر منطمة مستطٌلة دالل ‪ A‬حٌث تساوي )‬ ‫∑‬

‫④ نجييد مسيياحة المنطميية ‪ A‬حسييب المييانو التييالً‬

‫‪𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫∑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫ونالحييظ أنييه كلمييا زادت عييدد نميياط التجز يية اييأ‬

‫المحصلة النها ٌة تمل وتصبح المٌمٌة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة )‪ (A‬أك ر دلة ‪.‬‬ ‫م يييال ( )‪ /‬اوجيييد لٌمييية تمرٌبٌييية لمسييياحة المنطمييية ‪ A‬حٌيييث }𝟏‬ ‫باستلدام التجز ة‬

‫𝟐‬

‫‪𝟓 ,‬‬

‫وذلييين‬

‫‪{ ,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏𝛔‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑,‬‬ ‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑, 𝟒,‬‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝟔‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟑𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟎𝟏 𝟏‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐 𝟑 𝟓‬ ‫𝟔𝟐 𝟐‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟓‬

‫𝟕𝟖‬ ‫𝟐‬

‫𝟓 ‪𝟑,‬‬ ‫𝟑 𝟓‬ ‫𝟏‬ ‫𝟎𝟏 𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟑 ‪𝟐,‬‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟓 𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝟔‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫∴ القٌمة التقرٌبٌة لمساحة المنطقة‬

‫=‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑,‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏𝛔 𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑𝟒‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟓 ‪𝟒,‬‬ ‫𝟐𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑𝟓‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟓𝟖‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟑𝟓‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔𝟐 𝟏‬ ‫)𝟑‬

‫𝟑 𝟒‬ ‫𝟕𝟏 𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫وذلن باستلدام التجز ة 𝟓 ‪𝟐, 𝟑, 𝟒,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑,‬‬

‫𝟏𝛔 𝟏‬

‫‪306‬‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟎𝟏 𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫القٌمة التقرٌبٌة لمساحة المنطقة‬

‫واجب ‪ /:‬اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬حٌث }𝟑‬

‫𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫𝟐 𝟑 𝟒‬ ‫𝟑 𝟒 𝟓‬ ‫𝟏‬ ‫𝟎𝟏 𝟏‬ ‫𝟕𝟏 𝟏‬ ‫𝟎𝟏 𝟓‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟔𝟐‬

‫𝟒 ‪𝟑,‬‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑, 𝟒,‬‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟓 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎 ‪𝟓 ,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝛔 𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪{ ,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫المجامٌــــع العلٌا والمجامٌع السفلى‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫حٌث أ‬ ‫‪,‬‬ ‫وٌرمز للمجامٌع السفلى بالرمز‬ ‫ٌرمز للمجامٌع العلٌا بالرمز ‪,‬‬ ‫مستمرة على الفترة ‪ ,‬حٌث ٌمك أ تكو الدالة متزاٌدة أو متنالصة أو تحتوي على نمطة حرجة‬ ‫‪,‬‬ ‫سنعتبر الدالة ‪:‬‬ ‫أذا كانت التجزٌ ات متساوٌة والدالة هً عبارة ع ابت اً هذه الحالة ٌتساوى المجموع احعلى مع المجموع احسفل‬ ‫نعوض الرلم احكبر الذي تنتهً به الفترة‬ ‫نعوض الرلم احصغر لبداٌة الفترة واذا اردنا استلراج‬ ‫اذا أردنا استلراج‬ ‫اً حالة أحتواء الفترة الجز ٌة ع لى نمطة حرجة نحسب لٌم بداٌية الفتيرة ونهاٌتهيا ولٌمية النمطية الحرجية وتكيو المٌمية الصيغٌرة هيً‬ ‫والمٌمة احكبر هً‬ ‫عييدد موجييب أو سييالب أو صييفروبالم ل‬ ‫‪,‬‬ ‫اييأ م ي المتولييع ظهييور المجموعيية السييفلى‬ ‫أذا لييم نشييترط أ تكييو 𝟎‬ ‫واح سنألذ أم لة لتوضٌح النماط السابمة بالتفصٌــــــــــــــــــــــــــــــل‬ ‫‪,‬‬ ‫للمجموعة العلٌا‬

‫م يييال (‪ /)4‬ليييتك‬ ‫احعلى ‪,‬‬

‫𝟐‬

‫وليييتك‬

‫𝟓‬

‫اأوجيييد المجميييوع احسيييفل‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫والمجميييوع‬

‫‪,‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) الدالة متزاٌدة(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) ثالث فترات(‬

‫𝟒 ‪𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫𝟗 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬

‫𝟕 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫]‪[1,2‬‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟏𝟏 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟗 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟑𝟏 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏𝟏 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫𝟗‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟕𝟐‬ ‫𝟑𝟑‬

‫‪307‬‬

‫𝟏𝟏‬ ‫𝟑𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟕‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟗‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬ ‫ولييتك‬ ‫𝟑‬ ‫مستلدما أربعة تجزٌ ات منتظمة‬

‫م ييال (‪ /)5‬لييتك‬ ‫احعلى ‪,‬‬

‫اأوجييد المجمييوع احسييفل‬

‫𝟒 ‪𝟎,‬‬

‫والمجمييوع‬

‫‪,‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟒 ‪𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑,‬‬ ‫𝟒 ‪𝟎,‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ‪𝟏,‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) 𝟐( 𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[0,1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫]‪[1,2‬‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫مالحظة ‪:‬‬ ‫تحتوي الفترة الجز ٌة 𝟐 ‪ 𝟏,‬اً الم ال )‪ (5‬السابك على نمطة حرجة لذا نحسب لٌم بداٌة الفترة ونهاٌتها ولٌمة‬ ‫والمٌمة احكبر هً‬ ‫النمطة الحرجة وتكو المٌمة الصغٌرة هً‬

‫‪308‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬

‫م ال ‪ /‬لتك 𝟑‬ ‫علما أ‬ ‫‪,‬‬

‫ولتك‬

‫𝟐‬ ‫𝟑 ‪𝟏, 𝟎, 𝟐,‬‬

‫اأوجد المجميوع احسيفل‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫والمجميوع احعليى‬

‫‪,‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟐 , 𝟐,‬‬ ‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟏‬ ‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[-1,0‬‬ ‫]‪[0,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟔 𝟏‬ ‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟔 𝟏‬

‫𝟔‬ ‫𝟔‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟖𝟏‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫∑‬ ‫∑‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫مالحظة ‪:‬‬ ‫اً الم ال اللارجً (أعاله ) تحتوي الفترة الجز ٌة 𝟐 ‪ 𝟎,‬على نمطة حرجية ليذا نحسيب ليٌم بداٌية الفتيرة ونهاٌتهيا ولٌمية‬ ‫والمٌمة احكبر هً‬ ‫النمطة الحرجة وتكو المٌمة الصغٌرة هً‬

‫وليتك‬

‫م ال ‪ /‬لتك‬ ‫علما أ )‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫اأوجيد المجميوع احسيفل‬

‫‪𝟎,‬‬

‫والمجميوع احعليى‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫(‬

‫‪𝟎,‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫‪𝟎,‬‬

‫𝟎‬

‫‪𝟎,‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟏 ) (‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) () (‬ ‫𝟐 𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎 ) (‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫) () (‬ ‫𝟐 𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎 ) (‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫∑‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟑‬

‫‪309‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫] ‪[0,‬‬ ‫𝟑‬

‫] ‪[ ,‬‬ ‫𝟐 𝟑‬

‫]‬ ‫∑‬

‫‪[ ,‬‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫واجب ‪ /:‬لتك 𝟐 𝟑‬ ‫أربعة تجزٌ ات منتظمة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫ولتك‬

‫𝟔‬

‫واجب ‪ /:‬لتك‬ ‫جز ٌتٌ منتظمتٌ‬

‫اأوجد المجموع احسفل‬

‫𝟒 ‪𝟎,‬‬

‫ولتك‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫اأوجد المجموع احسفل‬

‫تمارين 𝟏‬ ‫اوجد كل م‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫والمجموع احعلى‬

‫‪,‬‬

‫والمجموع احعلى‬

‫‪,‬‬

‫مستلدما‬

‫‪,‬‬

‫مستلدما اترتتٌ‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏 ‪𝟐,‬‬ ‫𝟏 ‪𝟐, 𝟎,‬‬

‫تقسٌم الفترة ‪2,‬‬

‫الحل ‪/‬‬

‫الى ثالث فترات جزئٌة منتظمة‬

‫الفترات هً ]‪[-2,0] , [0,1‬‬ ‫) التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة(‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[-2,0‬‬ ‫]‪[0,1‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟓 𝟐‬ ‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟑𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫تمسم الفترة الى الث اترات جز ٌة منتظمة‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫) التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة(‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫طول الفترة‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟓 𝟏‬ ‫𝟒 𝟏‬ ‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟒 𝟏‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫‪310‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[-2,-1‬‬ ‫]‪[-1,0‬‬ ‫]‪[0,1‬‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬

‫أذا كا‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪𝟎,‬‬

‫𝟒 ‪𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫الحل ‪ /‬الفترات هً ]‪[0,1] , [1,2] , [2,3] , [3,4‬‬ ‫𝟐 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫توجد نمطة حرجة هً )‪ (2,4‬وهً نهاٌة عظمى محلٌة وال تجزئ الفترة‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟑‬

‫]‪[3,4‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫]‪[2,3‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫]‪[0,1‬‬ ‫]‪[1,2‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪,‬‬

‫∑‬

‫𝟔‬

‫‪,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫أحٌانا ً ٌطلب أٌجاد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة 𝐴 وكما ٌلً ‪:‬‬ ‫أذا كا 𝟐𝒙 𝒙𝟒‬ ‫𝝈‬ ‫𝟒 ‪𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫𝒙 𝒇 ‪𝑹 ,‬‬

‫𝟒 ‪ 𝒇 𝟎,‬جد لٌمة تمرٌبٌة لمسياحة المنطمية ‪ A‬تحيت المنحنيً أذا كيا‬

‫نفس الحل أعاله وٌضاف له‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟒𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∴ المٌمة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪= A‬‬

‫𝟏𝑨‬

‫𝟐𝑨‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝑨‬

‫𝒕𝒊𝒏𝒖 𝟎𝟏‬

‫‪311‬‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝒇 ‪𝑼 𝝈,‬‬

‫𝟐𝑨‬

‫𝟔‬

‫𝒇 ‪𝑳 𝝈,‬‬

‫𝟏𝑨 𝒕𝒆𝒍‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬ ‫𝟒 ‪𝟏, 𝟐,‬‬

‫أستخدام ثالث تجزٌئات متساوٌة‬

‫الحل ‪/‬‬

‫الفترات هً ]‪[1,2] , [2,4‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,4‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐𝟏𝟏‬

‫𝟔𝟏 𝟏‬ ‫𝟔𝟓 𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟐𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟓 𝟏‬ ‫𝟔𝟏 𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟔𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟕𝟑‬ ‫𝟖𝟐𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟐𝟏𝟏‬

‫𝟓‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫أستخدام ثالث تجزٌئات متساوٌة‬

‫𝟒 ‪𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫الفترات هً ]‪[1,2] , [2,3] , [3,4‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟔𝟓‬

‫𝟔𝟏 𝟏‬ ‫𝟑𝟑 𝟏‬ ‫𝟔𝟓 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟓 𝟏‬ ‫𝟔𝟏 𝟏‬ ‫𝟑𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟔𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟓‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟒𝟓‬ ‫𝟓𝟎𝟏‬

‫‪312‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟑𝟑‬ ‫𝟔𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬ ‫]‪[3,4‬‬

‫𝟓‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫𝟐‬

‫م ييييال ‪ /‬أذا كييييا‬ ‫𝟓 ‪𝟏, 𝟐, 𝟒,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫جييييد لٌميييية تمرٌبٌيييية لمسيييياحة المنطميييية ‪ A‬تحييييت المنحنييييً اذا‬

‫𝟓 ‪𝟏,‬‬

‫𝛔‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟒 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫م ال ‪ /‬أذا كا 𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟎‬

‫𝟒 ‪𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫) الدالة متزاٌدة(‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟓 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟕𝟏 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟓 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫‪,‬‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,4‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[4,5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟏‬

‫جد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬تحت المنحنً اذا‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟎‬

‫‪,‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝛔‬

‫𝟎‬

‫𝟒 ‪𝟏, 𝟐,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝛔‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,4‬‬ ‫‪,‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟓‬ ‫𝟒𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟏𝟓‬ ‫𝟐‬

‫) الدالة متزاٌدة(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟏 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟕𝟏 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟏 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟗𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟗𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬ ‫𝟕𝟏‬ ‫𝟗𝟑 𝟒𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟓‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬ ‫𝟐𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪313‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫𝟕𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫مالحظة ‪:‬‬ ‫أذا ذكر اً الم ال السابك أستلدم الث تجزٌ ات متساوٌة االحل ٌكو نفس الفرع )‪ (b‬السابك بالضبط‬ ‫واجب ‪ //:‬أذا كا‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫جد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة ‪ A‬تحت المنحنً اذا‬

‫𝟕 ‪𝟏,‬‬

‫أستخدم أربع تجزٌئات متساوٌة‬

‫𝟕 ‪𝟏, 𝟐, 𝟒,‬‬

‫𝛔‬

‫تعرٌف التكامـــل‬ ‫أذا كانت‬ ‫اً الفترة‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫اأ‬

‫دالة مستمرة على الفترة‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫نسمً العدد ‪ K‬التكامل المحدد للدالة‬ ‫الى ل ‪ b‬للدالة‬

‫ونسمً‬

‫اأنه ٌوجد عدد حمٌمً وحٌد ‪ k‬بحٌث حي تجز ة )𝛔(‬

‫‪,‬‬

‫على الفترة‬

‫ونرمز له بالرمز‬

‫‪,‬‬

‫∫ وٌمرأ التكامل مي‬

‫حدي التكامل المحدد‬

‫‪,‬‬

‫مالحظات‬ ‫① أذا كانيييت الدالييية‬

‫مسيييتمرة عليييى الفتيييرة‬

‫المٌمة التمرٌبٌة لهذا التكامل‬ ‫② أذا كانت الدالة 𝟎‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫∫‬ ‫‪,‬‬

‫ايييأ ‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟐‬

‫اأ‬

‫‪,‬‬

‫وهو عدد غٌر سالب ‪ dx ,‬تشٌر الى أ حدي التكامل ‪ ,‬أما‬ ‫③ أذا كانييت الداليية 𝟎‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫∫‬

‫∫ ٌعطً مساحة المنطمة ‪ A‬تحت المنحنيً ‪f‬‬ ‫‪,‬‬

‫لٌمتا للمتغٌر ‪x‬‬

‫اييأ 𝟎‬

‫‪,‬‬

‫∫ وهييذا ال ٌييدل علييى المسيياحة ‪ ,‬أمييا‬

‫مساحة المنطمة ‪ A‬اهً ستساوي‬ ‫|‬ ‫④أ لٌمة‬

‫∫ تتولف على الفترة‬

‫‪,‬‬

‫‪ ,‬وتكيييو‬

‫∫|‬ ‫‪,‬‬

‫وعلى لٌمة‬

‫‪314‬‬

‫∫‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ( )‪/‬‬

‫لتك‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬ ‫𝟐‬

‫أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل‬ ‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫حٌث‬

‫𝟐‬

‫𝟏∫‬

‫أذا جز ت الفترة 𝟑 ‪ 𝟏,‬الى تجز تٌ‬

‫𝟑‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟑 ‪ 𝟏,‬حنها ك ٌرة حدود‬ ‫𝟎‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟏, 𝟐,‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟗 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟒‬ ‫𝟗‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∑‬ ‫تقرٌبا‬

‫م ال (‪ /)2‬لتك‬ ‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫𝟓 ‪𝟐,‬‬

‫حٌث 𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟗‬

‫‪,‬‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫∑‬ ‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫‪ ,‬أوجد‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟐∫‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟓 ‪ 𝟐,‬حنها ك ٌرة حدود‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝛔‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑 , 𝟑,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓 ‪𝟐, 𝟑,‬‬ ‫طول الفترة‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟕 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟑‬ ‫تقرٌبا‬

‫𝟑‬ ‫𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪,‬‬ ‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪315‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟕𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟔‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟏‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫𝛔‬ ‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[2,3‬‬ ‫]‪[3,5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ∫‬ ‫𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال (‪ /)3‬لتك‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪,‬‬

‫𝟓 ‪𝟏,‬‬

‫𝟓‬

‫أوجد‬

‫𝟏∫‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟓 ‪ 𝟏,‬حنها ك ٌرة حدود‬ ‫𝟎‬

‫𝟓 ‪𝟏, 𝟑 , 𝟑,‬‬

‫𝟑‬

‫𝛔‬

‫𝟓 ‪𝟏, 𝟑,‬‬ ‫طول الفترة‬

‫𝟔‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫∑‬ ‫تقرٌبا‬

‫‪,‬‬ ‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫تمارين 𝟐‬ ‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,3‬‬ ‫]‪[3,5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟓‬

‫‪,‬‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟏∫ بأستلدام التجز ة 𝟑 ‪𝟏, 𝟐,‬‬

‫𝛔‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟑 ‪ 𝟏,‬حنها ك ٌرة حدود‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟑‬

‫س ‪ / 1‬أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝛔‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟏‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫‪316‬‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫]‪[1,2‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫‪,‬‬ ‫𝟕‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟏‬ ‫)𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫∑‬

‫𝟏‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪∫ . /‬‬ ‫𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ / 2‬لتك‬

‫𝟑‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬

‫𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏∫ بأستلدام التجز ة 𝟒 ‪𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫أوجد لٌمة التكامل‬

‫𝛔‬

‫م تحمك هندسٌا بحساب المنطمة تحت منحنً الدالة ‪F‬‬

‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟒 ‪ 𝟏,‬حنها ك ٌرة حدود‬ ‫) التوجد نقطة حرجة و الدالة متزاٌدة(‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟔 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟗 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟔 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫∑‬

‫‪,‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟕𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟗‬

‫𝟑‬

‫∑‬

‫‪,‬‬ ‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ∫‬ ‫𝟏‬

‫الحل الهندسً ‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟎 𝟑 𝟑‬ ‫𝟎 ‪𝟏,‬‬ ‫𝟗 𝟑 𝟐𝟏‬ ‫𝟗 ‪𝟒,‬‬ ‫𝟏‬ ‫مساحة‬ ‫) األرتفاع() طول القاعدة( ) (‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟕𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟗 𝟏 𝟒 ) ( مساحة‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ / 3‬أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑 𝟐∫ بأستلدام التجز ة 𝟒 ‪𝟐, 𝟑,‬‬

‫𝛔‬

‫الحل ‪ /‬الفترات 𝟒 ‪𝟐, 𝟑 , 𝟑,‬‬ ‫الدالة متزاٌدة‬

‫𝟎‬

‫𝟒 ‪𝟐,‬‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟒𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝟒‬

‫𝟓𝟒 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟔‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟗 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫𝟒𝟐 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫𝟗‬ ‫𝟒𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟒‬

‫𝟒𝟐‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟏𝟓‬

‫𝟐𝟎𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪317‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟑𝟑‬

‫𝟗𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟑‬

‫𝟒𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟗‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫)𝟑‬

‫𝟐 𝟑( ∫‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫س ‪ / 4‬أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل‬ ‫الحل ‪ /‬الدالة‬

‫∫ حٌث أ 𝟒‬ ‫حنها ك ٌرة حدود‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟐 ‪𝟑,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟎𝟐‬

‫∑‬

‫𝟐𝟏‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟏‬

‫‪3‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[-3,0‬‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫]‪[0,2‬‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫∑‬

‫أو نحل حسب التجزٌ ات التالٌة‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∑‬

‫𝟐𝟏‬

‫س ‪ /5‬أوجد لٌمة التكامل‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟎𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟎𝟐‬

‫𝟖‬

‫طول الفترة‬ ‫𝟏‬

‫‪2‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[-3,-1‬‬

‫𝟐‬

‫‪3‬‬

‫]‪[-1,2‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟎𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟏∫ بأستلدام أربعة تجزٌ ات ممكنة‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) التوجد نقطة حرجة و الدالة متزاٌدة(‬

‫𝟐 𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫الفترات 𝟓 ‪𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟒,‬‬ ‫طول الفترة‬ ‫𝟖 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟕𝟐 𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪𝟔4‬‬

‫𝟒𝟔 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟐𝟏 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓𝟐𝟏‬

‫𝟒𝟐𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟏‬

‫𝟖‬ ‫𝟕𝟐‬ ‫‪𝟔4‬‬

‫𝟖‬

‫𝟖‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟖 𝟏‬ ‫𝟕𝟐 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟒𝟔 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓𝟐𝟏‬

‫∑‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫‪,‬‬

‫𝟐𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪318‬‬

‫𝟒𝟐𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫]‪[3,4‬‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬

‫]‪[4,5‬‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬ ‫]‪[1,2‬‬ ‫]‪[2,3‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫∑‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟓‬ ‫𝟑‬ ‫∫‬ ‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م ييييال ‪ /‬لييييتك‬ ‫𝟑 ‪𝟎, 𝟏, 𝟐,‬‬

‫𝟑 ‪𝟎,‬‬ ‫ولييييتك‬ ‫𝟒 𝟐 𝟑‬ ‫𝛔 أو بأستلدام الث تجزٌ ات متساوٌة‬

‫أوجــييييـد لٌمــييييـة تمرٌبٌيييية للتكامييييل باســييييـتلدام التجز يييية‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‪𝟎 ,‬‬

‫𝟔‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬ ‫أصغر قٌمة‬ ‫𝟑‬

‫أكبر قٌمة 𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫الفترات 𝟑 ‪𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐,‬‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟗𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟑‬

‫‪𝟏 .‬‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟓𝟏‬ ‫𝟏𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟏 𝟐𝟔‬ ‫) ()‬ ‫𝟐 𝟑‬

‫(‬

‫∑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐𝟔‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟕𝟓‬ ‫)‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪319‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫‪. /‬‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫]‪[0,1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫]‪[1,2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫‪,‬‬ ‫𝟓‬ ‫(‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫𝟓‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟗𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫∑‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟎‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫ولتك‬

‫م ال ‪ /‬لتك‬

‫‪𝟎,‬‬

‫أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل بأستلدام تجز تٌ متساوٌتا‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫‪𝟎,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫أصغر قٌمة 𝟎‬

‫أكبر قٌمة 𝟏‬

‫𝟎‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫طول الفترة‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏 ) (‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎 ) (‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏 ) (‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎 ) (‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫∑‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫‪,‬‬ ‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫] ‪[𝟎 ,‬‬ ‫𝟐‬

‫]‬ ‫∑‬

‫‪,‬‬

‫الفترة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪[𝟐,‬‬

‫‪,‬‬ ‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫******************************************************************‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫س ‪ : 1‬أوجييد لٌميية التكامييل‬

‫𝟎∫ بأسييتلدام التجز يية ) 𝟏 ‪,‬‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫‪( 𝟎,‬‬

‫𝛔‬

‫أي بأسييتلدام أربييع‬

‫تجزٌ ات منتظمة‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ : 2‬أوجد لٌمة التكامل‬ ‫س ‪ : 3‬ليييتك‬ ‫تجزٌ ات منتظمة‬

‫وليييتك‬

‫س ‪ : 4‬ليييييتك‬ ‫) ‪, 𝟎,‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟎∫ بأستلدام التجز ة ) 𝟏 ‪,‬‬

‫وليييييتك‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟗‬ ‫𝟎𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫‪( 𝟎,‬‬

‫𝛔‬

‫أوجـــيييـد لٌمييية تمرٌبٌييية للتكاميييل بأســــيييـتلدام أربيييع‬

‫‪,‬‬

‫‪, +‬‬

‫𝟔 𝟐‬

‫*‬

‫𝛔‬

‫‪320‬‬

‫أوجيييييد لٌمييييية تمرٌبٌييييية للتكامــيييييـل باســـيييييـتلدام‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫النظرٌة احساسٌة للتكامــــــــــل – الدالة الممابلة‬ ‫أذا كانت‬

‫دالة مستمرة على الفترة‬

‫‪,‬‬

‫اأنه توجد دالة ‪ F‬مستمرة على الفترة‬

‫بحٌث ‪:‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫∫ حٌث تسمى‬

‫وٌكو‬ ‫م ال ( )‪ /‬أذا كانت‬

‫‪,‬‬

‫الدالة الممابلة للدالة ‪ f‬على الفترة‬ ‫𝟐‬

‫دالة مستمرة على الفترة 𝟓 ‪ 𝟏,‬بحٌث‬

‫‪,‬‬ ‫𝟓‬

‫دالة ممابلة للدالة ‪ f‬اجد لٌمة‬

‫𝟑‬

‫𝟏∫‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟐𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟏 𝟑‬

‫𝟓𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝟐 𝟑‬

‫∫‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫وٌمك أ نكتب ذلن بالصورة احتٌة ‪:‬‬ ‫𝟓‬ ‫𝟐𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟕‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫م ال (‪ /)2‬أذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ‪ *𝟎, +‬و أ الدالة الممابلة للدالة ‪ f‬هً ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫‪*𝟎, 𝟐 +‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐𝟎∫‬

‫اأوجد لٌمة‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫م ال (‪ /)3‬أ بت أ الدالة 𝟐‬ ‫الحل ‪∵ /‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على‬

‫∴ ‪ F‬هً دالة مستمرة على 𝟑 ‪ 𝟏,‬و لابلة لألشتماق على‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫هً دالة ممابلة للدالة‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫( حنها ك ٌرة حدود )‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫∴ ‪ F‬هً دالة ممابلة للدالة‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫على 𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫‪321‬‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال (‪ /)4‬أ بت أ الدالة‬ ‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫هً دالة ممابلة للدالة‬

‫‪,‬‬

‫م جد لٌمة‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟎∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫∵‬

‫هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∴‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫هً دالة مقابلة للدالة‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫]𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫]) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫] 𝟎 𝟐‬

‫‪322‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫]) ( 𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫𝟒‬

‫] 𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫والجدول أدناه ٌوضح العاللة بٌ ‪ f‬والدالة الممابلة لها ‪F‬‬ ‫الدالة‬

‫الدالة الممابلة لها‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫من الجدول نستنتج‬ ‫مجموعة الدوال الممابلة حٌة دالة‬

‫∫‬ ‫كما اً الجدول أعاله هً ‪ F+C‬حٌث أ ‪ C‬عدد ابت حمٌمً‬

‫‪323‬‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ( )‪ /‬أوجد‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟎∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫م ال (‪ /)6‬أوجد‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬ ‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫𝟐∫‬ ‫𝟒‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟏‬

‫م ال (‪ /)7‬أوجد‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫*‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫∫‬

‫𝟒‬

‫𝟑𝟎∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫م ال (‪ /)8‬أوجد‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟏∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟎𝟐‬

‫‪324‬‬

‫𝟎𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫]‬ ‫𝟒‬

‫𝟏𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟑 𝟒‬

‫[‬

‫‪1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫لواص التكامـــــل المحدد‬ ‫أوال‪ Ⓘ :‬أذا كانت‬

‫دالة مستمرة على‬

‫فأن 𝟎‬

‫وكانت‬

‫‪,‬‬

‫‪𝟎 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫مثالً ‪:‬‬

‫∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫ألن ∶‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫𝑥𝑑‬

‫𝟎‬

‫𝑥𝑑 𝟑 ∫‬

‫‪,2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝜖𝑥‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝑥‬

‫𝑎‬

‫𝑥 𝑓‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫ألن ∶‬

‫‪2,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝜖𝑥‬

‫‪0‬‬

‫𝑏‬

‫𝑥 𝑓‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫∫‬

‫𝑥𝑑 𝟏‬

‫ألن ∶‬

‫‪𝑥𝜖 2,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑥‬

‫‪0‬‬

‫𝑐‬

‫𝑥 𝑓‬

‫𝟐‬

‫② أذا كانت‬

‫‪,‬‬ ‫دالة مستمرة على‬ ‫مثالً ‪:‬‬ ‫∫‬

‫فأن 𝟎‬

‫وكانت‬

‫‪𝟎 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟎 < 𝑥𝑑 𝟐‬

‫ألن ∶‬

‫‪𝑥𝜖 ,2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑎‬

‫‪𝑓 𝑥 <0‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟎 < 𝑥𝑑‬

‫ألن ∶‬

‫‪2,‬‬

‫𝜖𝑥‬

‫‪,‬‬

‫𝑏‬

‫‪𝑓 𝑥 <0‬‬

‫𝟐‬

‫انٌا‪ :‬أذا كانت‬ ‫𝒙‬

‫دالة مستمرة على‬

‫𝒃‬ ‫𝒇 𝒂∫ 𝑪‬

‫م ال (‪ /)9‬أذا كا‬

‫𝒙 𝒇𝑪‬ ‫𝟖‬

‫‪,‬‬

‫وكان ‪ C‬عدد حقٌقً ثابت فأن‬

‫𝒃‬ ‫𝒂∫‬ ‫𝟓‬

‫𝟐∫ اأوجد‬

‫𝟓‬

‫𝟓 𝟐∫‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟎𝟒‬

‫‪325‬‬

‫𝟖𝟓‬

‫𝟓‬

‫∫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫∫‬ ‫𝟐‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫ال ا‪ :‬أذا كانت‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫دالتٌن مستمرة على‬

‫𝟏‬

‫𝒃‬

‫فأن‬

‫‪,‬‬

‫𝒃‬

‫𝒂∫‬

‫𝟐‬

‫𝒂∫‬

‫𝟏‬

‫وٌمكننا تعمٌم هذه الخاصٌة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على‬ ‫م ال (‪/)10‬‬

‫𝟑‬

‫أذا كانت 𝟕𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏∫‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟏‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫اأوجد كال م ‪:‬‬

‫𝟏∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫𝒃‬

‫𝒂∫‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫( ∫‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫( ∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫م ال (‪ /)11‬أذا كانت‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫( ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫( ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫اأوجد‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏∫‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫رابعا‪ :‬أذا كانت‬

‫دالة مستمرة على‬

‫𝟑∫‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫فأن ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫𝒃‬

‫𝒄‬

‫𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫‬ ‫م ال (‪ /)12‬أذا كانت 𝟖‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟏∫‬

‫𝒃‬

‫𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫‬

‫𝒄‬ ‫𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪4‬‬

‫وكانت‬

‫𝟐‬

‫𝒂‬

‫𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫‬ ‫𝒂‬

‫𝟕‬

‫اأوجد‬

‫𝟏∫‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟕‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟖‬

‫‪326‬‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟕‬

‫∫‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال (‪ /)13‬أذا كا‬

‫الحل ‪/‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫أوجد‬

‫| |‬

‫دالة مستمرة على 𝟒 ‪𝟑,‬‬

‫∫‬

‫ولها لاعدتا هما ‪:‬‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎<‬ ‫𝟒‬

‫𝟎 𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫م ال (‪/)14‬‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫أذا كا‬

‫الدالة‬

‫𝟏‬ ‫𝟏<‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫∫‬ ‫‪9‬‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫‪9‬‬ ‫])‬ ‫‪2‬‬

‫[‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫‪[0‬‬

‫𝟓‬

‫اأوجد‬

‫𝟎∫‬

‫مستمرة على الفترة 𝟓 ‪ 𝟎,‬وذلن حنها مستمرة عند 𝟏‬

‫ح‬ ‫معرفة 𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫∫‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫]‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫‪6‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫{‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫∴ الدالة‬ ‫∵ الدالة‬

‫مستمرة على كل م }𝟏‬ ‫مستمرة على الفترة 𝟓 ‪𝟎,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫{ ‪< 𝟏} ,‬‬

‫𝟓‬

‫موجودة 𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟑 𝟎∫‬

‫𝟏‬

‫𝟎∫‬

‫𝟏∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟓‬ ‫𝟏𝟑‬

‫𝟖𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟑‬

‫∴‬

‫𝟏‬

‫{‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟏∫‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫∵‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫‪327‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟎∫ ∴‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬أذا كا‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟏<‬

‫الدالة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟑{‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫اأوجد‬

‫مستمرة على الفترة 𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫∫‬ ‫ح‬

‫وذلن حنها مستمرة عند 𝟏‬ ‫معرفة 𝟓‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟑‬

‫𝟑‬

‫{‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫∴ الدالة‬ ‫∵ الدالة‬

‫مستمرة على كل م }𝟏‬ ‫مستمرة على الفترة 𝟑 ‪𝟐,‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫{ ‪< 𝟏} ,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑 𝟏∫‬

‫𝟔‬

‫موجودة 𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟐‬

‫𝟒𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫| |‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫الحل ‪/‬‬

‫∴‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫∫ ∴‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫م ال ‪ /‬أذا كا‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟏‬

‫{‬

‫∫‬

‫𝟒𝟏‬

‫=‬

‫∵‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫اأوجد‬

‫∫‬

‫نفس طرٌمة أ بات الحل اً الس ال السابك‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎<‬ ‫𝟒‬

‫‪𝟑 1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟎 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫𝟕𝟔‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟕𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪328‬‬

‫𝟑‪0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫∫‬

‫]𝟎‬

‫)𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟎‬

‫𝟔𝟏‬ ‫([‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬ ‫])‬ ‫𝟐‬

‫𝟗 (‬

‫∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟎[‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫لامسا‪:‬‬ ‫∫‬

‫‪,‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫مثالً ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫𝟑‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫تمارين 𝟑‬

‫𝟒‬

‫س ‪ /1‬أحسب كال م التكامالت التالٌة ‪:‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟒1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫]‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬

‫𝟎𝟖 𝟐𝟒𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟒𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟒 𝟑‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟒1‬‬

‫[‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫]𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫[‬

‫𝟏‬

‫]𝟖𝟏‬

‫‪329‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟒𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐 1‬‬

‫𝟑‪0‬‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫[‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫‪0‬‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟐‬

‫| ∫‬

‫|𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟏<‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫])‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫|𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫∫‬

‫|𝟏‬

‫∫‬

‫| ∫‬ ‫𝟎‬

‫])‬

‫‪2‬‬

‫(‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐 𝟎‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫) (‬ ‫𝟐 [‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫|‬

‫‪𝟎 1‬‬

‫‪[ 2‬‬

‫)‬

‫]‪0‬‬

‫([‬

‫‪2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫)𝟒(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫]𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫[‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫مالحظة‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪/‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟏‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫𝟐‬

‫‪21/‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪6‬‬

‫𝟑‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪.0‬‬

‫𝟐 ∫‬

‫‪1‬‬

‫𝟓‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪330‬‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫]‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫‪[9‬‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /2‬أ بت أ الدالة‬ ‫𝟔‬

‫حٌث‬

‫𝟏‬

‫ن بت أ‬

‫هً دالة ممابلة للدالة )‪ f(x‬حٌث‬

‫حٌث‬

‫‪*𝟎, +‬‬

‫الحل ‪/‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫لـكً ن بت أ‬

‫م أحسب‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟔𝟎∫‬

‫دالة ممابلة للدالة‬

‫‪*𝟎, +‬‬

‫مستمرة على الفترة‬

‫𝟔‬

‫‪*𝟎, +‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟔‬

‫∴‬

‫مستمرة اً مجالها‬

‫∴‬

‫دالة ممابلة للدالة‬

‫̅‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫]‬

‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫[‬

‫𝟔‬

‫) (‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫س ‪ /3‬أوجد كال م التكامالت التالٌة ‪:‬‬ ‫𝟒‬

‫)𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫( ∫‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫( 𝟐‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫‪𝟐1‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟓 𝟔𝟑𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫] 𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏𝟒𝟏‬ ‫𝟒‬

‫‪331‬‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫)𝟐‬

‫[‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫( ∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟒𝟑‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐𝟑‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟏‬

‫| ∫‬

‫|𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) خارج الفترة( 𝟏 <‬

‫{‬ ‫𝟏‬

‫|‬

‫|𝟏‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫( 𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫]𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫]𝟑‬

‫𝟒[‬ ‫𝟑𝟏𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫)𝟒‬

‫(‬

‫( 𝟏‬ ‫𝟏‬

‫(‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫[‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫( 𝟐‬

‫𝟖𝟒‬

‫()𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟔𝟕‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟎𝟒 𝟎𝟑‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫𝟖‬ ‫]‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫[‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟏𝟖‬ ‫𝟒‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫س ‪ /4‬أذا كانت‬ ‫𝟑<‬ ‫الحل ‪ /‬نبره أ الدالة‬

‫∫‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫√𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫( ∫‬

‫𝟖‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫( √ ∫‬

‫√( √ ∫‬

‫)𝟐‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫) 𝟐‬

‫[‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫( ∫‬ ‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫اأوجد‬

‫𝟏∫‬

‫مستمرة على الفترة 𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪332‬‬

‫𝟔‬ ‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) الدالة مستمرة عندما 𝟑‬

‫𝟗𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫) الدالة معرفة عندما 𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬

‫)𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫]‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟓 𝟑𝟒𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪2‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝟑‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫|𝟏‬

‫| ∫‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫(‬

‫{‬

‫𝟔‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ∫‬

‫𝟔 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝟎<‬

‫س ‪ /5‬أذا كا‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الحل ‪ /‬نبره أ الدالة‬

‫𝟑{‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫اأوجد‬

‫مستمرة على الفترة 𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫وذلن بأ بات أنها مستمرة عند 𝟎‬

‫) الدالة معرفة عندما 𝟎‬

‫𝟏‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟐‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟑‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟑‬

‫{‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ∫‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟎‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎 𝟐‬

‫) الدالة مستمرة عندما 𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫******************************************************************‬

‫التكامـــل الغٌــر المحدد‬ ‫دالة ممابلة ‪ F‬اأنه ٌوجد عدد ال نها ً م الدوال الممابلة للدالة ‪ f‬وكل‬ ‫المستمرة على الفترة ‪,‬‬ ‫أذا كانت للدالة‬ ‫منها ٌساوي ‪ F + C‬حٌث ‪ٌ C‬م ل عدد ابت والفرق بٌ أك ر م أ نٌ منها ٌساوي عدد ابت‬ ‫‪ ‬تســـــمى مجموعــــة الدوال الممابلـــــة على الصورة ‪ F+C‬بالتكامل غٌر المحدد للدالية 𝒇 المسيتمرة عليى الفتيرة‬ ‫‪ ,‬وٌرمز لها بالرمز 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 ∫ أذا كا رمز متغٌر الدالة هو 𝒙‬ ‫‪ٌ ‬صطلح على كتابة التكامل غٌر المحدد بالصورة 𝐑 𝑪 ‪𝑪 ,‬‬ ‫𝒙 𝑭 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 ∫‬ ‫‪ ‬عملٌة التكامل غٌر المحدد هو العملٌة المعاكسة لعملٌة التفاضل أي أحداهما تنهً دور احلرى‬ ‫م ال (‪/)1‬‬

‫أوجد التكامل للدوال التالٌة ‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝟑𝒙‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝐧𝐢𝐬‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫‪333‬‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒄𝒆𝒔‬

‫𝟒‬

‫𝟑𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅)𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝒙 𝐧𝐢𝐬‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟐‬

‫𝒙𝒅) 𝟐 𝒙‬

‫𝟐𝒙𝟑(∫‬

‫𝒂‬

‫𝒙 𝐬𝐨𝐜(∫‬

‫𝒃‬

‫𝒙 ∫‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝒅‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝐧𝐚𝐭 𝒙 𝐜𝐞𝐬‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟐 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝟒‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال (‪/)2‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫جد التكامالت لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟑‬

‫)𝟑‬

‫𝒄‬ ‫𝒙𝟑 ‪2‬‬

‫𝒙𝒅 𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝟖‬

‫)𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝒄‬

‫𝟕‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝟖‬

‫𝒄‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅 𝟒‬

‫𝒙𝟑 )𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝟖‬

‫𝟐𝒙𝟑‬

‫𝒙𝟖‬

‫𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝒙 𝟓𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟓‬

‫𝑥 𝟕𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟕‬

‫𝟐𝒙𝟑(∫‬

‫𝒃‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬ ‫𝒄‬

‫𝒂‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 )𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝒙𝟑(∫ ‪. /‬‬

‫𝟐𝒙𝟑‬

‫𝟐𝒙 (‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙(∫‬

‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝑥 𝟔𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝒅‬

‫بعض العاللات اً الدوال الم ل ٌة‬

‫𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫)𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏‬

‫𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟑‬

‫𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟒‬

‫𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟓‬

‫𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟔‬

‫𝟏(‬

‫𝟏‬

‫𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕‬

‫𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬‬

‫𝟕‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝑨 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝟏‬ ‫𝑨 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐‬

‫𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 𝟖‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝑨 𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝟏‬ ‫𝑨 𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒔𝒐𝒄 𝟗‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝑨 𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙 𝑩‬

‫𝟏‬ ‫𝑨 𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝑩𝒏𝒊𝒔 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 𝟎𝟏‬

‫𝜃𝑠𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒊𝒔𝟐‬

‫‪334‬‬

‫𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫تكامالت الدوال المثلثٌة التربٌعٌة‬ ‫𝒄‬

‫𝜽𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝜽‬

‫𝜽𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒄‬

‫𝜽‬

‫𝜽𝒕𝒐𝒄‬

‫𝜽𝒅 ∫‬

‫𝜽𝒅 ∫‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫‬

‫𝜽𝒅 𝟏‬

‫𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟑‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫‬

‫𝜽𝒅 𝟏‬

‫𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ 𝟒‬

‫∫‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝟓‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫)𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝜽(‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝜽𝒅 𝟐 𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫)𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝜽(‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝜽𝒅 𝟐 𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟏‬ ‫𝜽𝒅‬ ‫𝜽𝒅 ∫(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝑐 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟒‬

‫أم لة ( م الكتاب صفحة ‪ 185‬وصفحة ‪) 186‬‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄 ‪∓‬‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙𝟑 ∫‬

‫𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝜽‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬‬

‫∫‬

‫𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟔‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝜽‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟑 ∫ 𝟑‬

‫𝒙𝟑 𝒔𝒐𝒄𝟑‬

‫𝟑𝒙 𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐‬

‫𝜽𝒕𝒐𝒄‬

‫𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟏‬ ‫𝜽𝒅‬ ‫𝜽𝒅 ∫(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝒄 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟒‬

‫𝒄‬

‫𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫ 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟗 ∫ 𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙 ∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬‬

‫∫‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝟏√ ∫‬

‫𝟑‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬ ‫𝒙𝒅 )𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 ‪𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 /‬‬ ‫𝒄‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐‬ ‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟏( ∫‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫‬

‫𝟏‬ ‫‪𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/‬‬ ‫𝟖‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 ‪𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 1‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 ‪∫0‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 )𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫∫(‬ ‫𝒙𝒅 ) 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫‬ ‫∫‪.‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝒄 ‪𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/‬‬ ‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙‪.‬‬ ‫𝒙 ‪.‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙𝟐 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝟒 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄‬ ‫𝟖‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐𝟑‬

‫‪335‬‬

‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫‪4‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟖‬

‫𝐱 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟖‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝐧𝐚𝐭‬

‫𝒙 𝟑𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟑‬

‫𝐱𝐝 𝐱𝐧𝐢𝐬‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝒄‬

‫𝐱𝐧𝐢𝐬‬

‫𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝐱 𝐬𝐨𝐜‬

‫𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙 𝟑𝐧𝐚𝐭‬

‫𝐧𝐚𝐭 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟕‬

‫𝐱 𝐬𝐨𝐜‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝐱𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫∫‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅𝒙 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫𝟕‬

‫𝒙𝒅𝒙𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫)𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬(‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪3‬‬ ‫𝒙𝒅 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬 𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐‬ ‫𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜‬

‫𝐜‬

‫𝟏‬

‫𝐜‬

‫𝟔‬

‫وزاري ‪ / 2016‬د‪1‬‬

‫𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬𝟐 ∫‬

‫𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟐‬ ‫‪. /‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟔𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬ ‫𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬 𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟑‬

‫مالحظة‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜‬

‫𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬ ‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟓𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟕 𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟕‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫‪𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙/‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‪.‬‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫∫‬

‫𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫‪∫0‬‬

‫𝐱𝐝 𝐱𝟑 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙𝒅)𝟏‬

‫𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝐱𝐝)𝟏‬

‫𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫‬

‫𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟑𝟏‬

‫‪336‬‬

‫𝐱𝐝 ‪𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 1‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫∫‬

‫𝟎𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م ال ‪ /‬أوجد التكامالت احتٌة ‪:‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒙𝟑(‬ ‫𝟖‬

‫) (‬

‫𝒄‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫) (‬

‫)𝟏‬

‫𝒄‬

‫)𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟏‬ ‫‪. /‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝒙 𝟐 𝟔𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝟒 𝟒𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝟐 𝟒𝐧𝐢𝐬‬ ‫𝟖‬

‫𝒄‬

‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟗 𝟐𝒙‬ ‫𝟑‬

‫)𝟗‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒄‬

‫𝟏( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑 )𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟒 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝟓𝐬𝐨𝐜 𝟐𝒙 ∫‬

‫𝟒‬

‫𝒙𝟐 𝟑𝐧𝐢𝐬‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐 𝒄𝒆𝒔‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝟐 𝟑𝐧𝐢𝐬‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝟏‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝒙𝟐 𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐 )𝟗‬

‫𝟐𝒙( 𝒙 ∫‬

‫𝒙 𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝒙( 𝒙 ∫‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝟑‬ ‫𝟏 𝒙‬

‫‪𝟓𝒙/‬‬ ‫𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏 𝒙 𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫‪.‬‬

‫𝒙𝒅 𝟓‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙 ∫𝟑‬

‫‪337‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝟑𝒙𝟐‬

‫𝒙 ∫‬ ‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅)𝒙𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒙 𝒙 ∫‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅 𝟗‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝒙 𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟔‬

‫𝒙 𝟓𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝟓‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬

‫𝟑𝒙 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟔‬

‫𝒄‬

‫)𝟗 𝟐𝒙( 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟐𝒙𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒙∫‬

‫𝟏‬

‫‪. /‬‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝟒 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟏‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫)𝟐 𝟐𝒙( 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟑(‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝟐 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙(‬

‫𝟐𝒙𝟑( 𝒙 ∫‬

‫‪. /‬‬

‫𝟑𝒙 𝟔𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝒄‬ ‫𝒙𝟐 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑 )𝟏‬

‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫)𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝟓𝟐‬ ‫∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟗‬

‫𝟑‬ ‫𝟐𝒙( ) (‬ ‫𝟖‬ ‫𝒙𝟎𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝒙‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬ ‫𝒙𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐𝒙‬

‫∫‬

‫𝟎𝟏‬

‫∫‬

‫𝟏𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟓‬

‫𝒄‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟑𝒙 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟏 𝒙𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟓‬

‫𝒙𝒅‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫𝟑𝒙 𝟏‬

‫𝒙𝟑‬

‫𝟐𝒙 ∫‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟓‬

‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝒙 𝟒 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝑐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 )‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟑𝒙√‬

‫𝒙𝟑‬

‫∫‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟑 𝟓‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝒙𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬𝟗 ∫‬

‫𝟒𝟏‬

‫(𝟗‬

‫م ال ‪ /‬أوجد التكامالت للدوال احتٌة ‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟑𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟕𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝟕‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝐱𝐝)𝟏‬

‫𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝐱𝐝)𝟏‬

‫𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟑‬

‫𝐜‬ ‫𝒙𝒅 𝟏‬ ‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏 ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫‪338‬‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟖‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟓‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄 ‪∓‬‬

‫𝟏 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟔‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟏√ ∫‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟕‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙(‬ ‫)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙(‬ ‫)𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝒙 𝟏 𝟓 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟏 𝟓 𝒏𝒊𝒔 ∫‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒄 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒄 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟔‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟑‬

‫𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬

‫𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟗‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟏‬ ‫(‬ ‫𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟒 𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟓𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟖‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝟎𝟏‬

‫𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫واجب ∶ حل السؤال 𝟎𝟏 ولكن أجعل األس 𝟒 بدل من 𝟔‬ ‫𝟏 𝟒𝒙 𝟓𝒙‬ ‫𝟑 ∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬ ‫𝟏 𝒙‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝐱𝐝 𝐱𝟐 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 ∫‬ ‫𝟑‬

‫𝐱𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐𝒙 ∫‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝐝 𝟐 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝐱𝐝 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫‬

‫𝟓𝟏‬

‫‪𝒙𝟐 9‬‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝟑 𝒙‬

‫∫‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒𝒙‬ ‫𝒙‬

‫∫‬

‫𝟕𝟏‬

‫) نقسم البسط على المقام ثم نكامل(‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟖‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫‪𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/‬‬ ‫𝟒‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝑥‬

‫𝒄‬

‫𝟑𝒙‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝒙‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫‪4‬‬

‫𝟐𝒙 ‪2 𝑥 2‬‬ ‫‪𝑥 2‬‬

‫𝒙‪2‬‬ ‫𝟑𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝟒𝒙‬ ‫𝟒‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‪.‬‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝑥‬

‫∫‬

‫𝒙‪2‬‬

‫𝟐𝒙 ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫‪339‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪∫0‬‬

‫𝟏‬ ‫𝐱𝐝 𝟕 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫‬ ‫𝟕‬ ‫𝑥‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝑥‪4‬‬

‫𝒙‬

‫𝒙 ∫‬

‫𝐱𝐝 ‪𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 1‬‬

‫𝑥 ∫‬ ‫𝑥‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟕 𝐭𝐨𝐜‬ ‫𝟕‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟑𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝑥‬ ‫𝑥‬

‫𝟐𝒙 ‪4‬‬ ‫‪𝑥 2‬‬

‫‪4‬‬

‫𝒙 ∫‬ ‫𝑥‬

‫𝟐𝒙‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 ‪4‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝑥‬

‫𝑥‬

‫𝒙 ‪2‬‬

‫∫‬

‫‪6‬‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝟐‬ ‫𝑥 ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟑𝒙‬ ‫𝒙‬

‫∫‬

‫𝟖𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝒄‬

‫‪2‬‬

‫𝟑𝒙‬

‫𝟓‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝒙𝒅‬

‫×‬

‫‪2‬‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 𝒙‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙 𝒙∫‬

‫‪2‬‬ ‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝒙 𝟗 𝟒 𝐭𝐨𝐜 𝟏‬ ‫×‬ ‫𝟗‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝒙 𝟗 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝟑 𝐭𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟗‬

‫𝐱𝐝 𝟗‬

‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟑𝒙√‬

‫𝟓‬ ‫𝟑𝒙‬

‫𝟗𝟏‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫𝟑‬

‫𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝐭𝐨𝐜 ∫‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟗 𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝐱𝐝 𝟗 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫‬ ‫𝟗‬

‫𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫‬

‫𝟏𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟕 𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟕‬

‫𝟏‬ ‫𝐱𝐝 𝟕 𝒙 𝟕 𝐬𝐨𝐜 ∫‬ ‫𝟕‬

‫𝐱𝐝 𝒙 𝟕 𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟐𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬ ‫𝐱𝐝𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄‬

‫𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄‬

‫𝐱𝐝 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬ ‫𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝐜‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝟓𝟏‬

‫م ال ‪ :‬جد معادلة المنحنً الذي مٌله )‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝐜‬

‫𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟏‬ ‫×‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫𝐱𝐝 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟑𝟐‬

‫𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 𝟑 ∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟐( وٌمر بالنمطة )‪(0 , 1‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) نعوض النقطة 𝟏 ‪( 𝟎 ,‬‬

‫𝟑‬

‫معادلة المنحنً‬

‫𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪340‬‬

‫)‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐( ∫‬

‫𝟏‬

‫)المٌل(∫‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟐‬

‫م ال ‪ :‬جد معادلة المنحنً الذي مٌله‬

‫𝟑 وٌمر بالنمطة )‪(0 , 1‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫) نعوض النقطة 𝟏 ‪( 𝟎 ,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫)‬

‫معادلة المنحنً‬

‫م ال ‪ :‬جد معادلة المنحنً الذي مٌله 𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑(∫‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)المٌل(∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑 والمنحنً ٌمتلن نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )‪(15‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟗‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫) نجعل 𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫النمطة 𝟓𝟏 ‪𝟏,‬‬

‫𝟗‬

‫(‬ ‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫نهاٌة عظمى محلٌة‬

‫) نعوض النقطة 𝟓𝟏 ‪𝟏 ,‬‬

‫𝟗‬

‫(‬

‫معادلة المنحنً‬

‫م ال ‪ :‬جد معادلة المنحنً ) 𝟔‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫)𝟗‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑(∫‬

‫∫‬

‫𝟎𝟏‬

‫)المٌل(∫‬ ‫𝟗‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟏‬

‫( والمنحنً ٌمتلن نمطة حرجة عند )‪(-1,4‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫) نعوض النقطة 𝟒 ‪𝟏 ,‬‬

‫) نجعل 𝟎‬ ‫(‬ ‫معادلة المنحنً‬

‫عندما 𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪341‬‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫)𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑(∫‬

‫𝟔 ∫‬ ‫∫‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫)المٌل(∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ :‬جد معادلة المنحنً الذي مٌله‬

‫𝟑 مماسا له عندما 𝟐‬

‫𝟐 والمستمٌم 𝟕‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫‪Ⓘ‬نعوض لٌمة )‪ (x‬اً معادلة المستمٌم الستلراج لٌمة )‪ (y‬م أٌجاد نمطة التماس‬ ‫نقطة التماس 𝟏 ‪𝟐,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟑‬

‫𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟕‬

‫② نشتك معادلة المستمٌم إلٌجاد المٌل أي بمعنى ألر المشتمة احولى‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟕‬

‫③ نجد لٌمة المجاهٌل اً معادلة مٌل المنحنً حٌث 𝟑‬ ‫معادلة مٌل المنحنً‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫④ نكامل معادلة مٌل المنحنً م نجد لٌمة ابت التكامل )‪ (C‬اٌتم الحصول على معادلة المنحنً المطلوبة‬ ‫) نعوض النقطة‬

‫𝟐‬

‫‪( 2,‬‬

‫معادلة المنحنً‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐 ∫‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫)المٌل(∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫مالحظات ‪:‬‬ ‫‪ ‬ال تكامل مٌل منحنً واٌه ابت مجهول م ل )‪ (C‬او )‪ (P‬حتى تجد لٌمة المجهول ‪.‬‬ ‫‪ ‬حٌجاد معادلة منحنً دالة ٌفضل أ تجد أوال نمطة كاملة م معلومات الس ال حستلدمها اً أٌجاد وابت‬ ‫التكامل المجهولة‬

‫‪342‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫تمارين 𝟒‬

‫𝟒‬

‫جد تكامالت كل مما ٌأتً ضم مجال الدالة ‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫𝟑𝒙𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝟐𝟏‬

‫𝟐𝟏 𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒙‬ ‫𝐱𝐝‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝐱𝐝‬

‫∫‬

‫𝟒𝒙𝟒‬

‫𝟐𝒙𝟐𝟏‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟕‬

‫)نوفر المشتقة(‬

‫))𝒙√( 𝟓√‬

‫𝒙𝒅‬

‫)𝒙√(‬

‫𝟖‬ ‫𝟖‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫) 𝒙𝟓√‬

‫𝟑(‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏 𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏‬

‫𝟓𝟑√ 𝟒‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝒙 𝒄𝒔𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝐜‬

‫حل ألر ‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙‬

‫𝟕‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟕√‬

‫𝟑( 𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟓√ 𝟕√‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫))𝒙√( 𝟓√‬

‫𝒙𝒅‬

‫)𝒙√( 𝟕√‬ ‫))𝒙√( 𝟓√‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒄‬

‫𝟓‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬ ‫𝒙‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬ ‫)𝟑(‬

‫𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙‬

‫𝟒‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫)𝒙𝟓√‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙𝟕√‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑( 𝟓√‬ ‫‪( )∫ .‬‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓√ 𝟕√‬ ‫𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒙𝟑( 𝒙 𝟔 ∫‬ ‫𝟔‬

‫)𝟓‬

‫𝒙‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫‬ ‫𝒄‬

‫∫‬

‫𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝒙 ∫‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟏√ 𝒏𝒊𝒔 𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫𝟏( 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝟑( 𝒙 ∫‬

‫)𝟓‬

‫𝒙‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝟖𝟏‬

‫𝒙𝟎𝟏‬

‫𝐱𝐝 𝟓𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝒙 𝟏√𝒔𝒐𝒄 𝟏‬ ‫)‬ ‫𝐱𝐝‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙 𝟏√‬

‫‪343‬‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟕‬

‫𝟑(‬

‫𝟏‬

‫)𝒙√(‬

‫∫‬

‫𝟗‬

‫𝟑‬ ‫𝟐𝒙‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝟓‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑(‬

‫𝟕‬

‫)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏‬

‫𝟏‬

‫)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟏‬ ‫𝟔‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝐜‬

‫𝒙 𝒄𝒔𝒄‬ ‫𝟑‬

‫))𝒙√( 𝟓√‬

‫𝒄‬

‫𝟑(‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒙𝟐𝟏‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝟗‬

‫𝟒𝒙𝟒‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‪2‬‬

‫∫‬

‫𝟐𝒙𝟑‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟓‬

‫∫‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟕‬

‫𝒙𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫(∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏√𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙‬ ‫𝒙‬

‫𝟏√‬

‫∫‬

‫𝟖‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫)لو كان المثال(‬

‫𝒙𝒅 )𝒙√‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐 ) (‬ ‫) 𝟐𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟏√ 𝒔𝒐𝒄 𝟐‬ ‫𝟓 𝟗‬ ‫𝒙‬ ‫𝟓‬

‫𝟑𝒙𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏( ‪∫ (𝒙 𝟒 ) . √𝒙/‬‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟏( ] 𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐 ) (‬ ‫) 𝟐𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝒙‬

‫(‬

‫𝒙[ ∫‬

‫𝒙𝒅 )𝒙√‬

‫𝒄‬

‫𝟐‬ ‫) 𝟒‬

‫𝟏‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐 ) (‬ ‫) 𝟐𝒙‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝒙𝟗(∫‬

‫𝒙𝒅 )𝒙√‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙√‬

‫𝒙‬

‫∫‬

‫𝟒‬

‫𝟑𝒙√‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫) 𝟒𝒙( ) 𝟒‬

‫𝟏(‬

‫𝟏√‬

‫𝟐𝒙𝟑(∫‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝒙( ∫‬

‫𝟐‬

‫(∫ 𝟐‬

‫𝟏(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫‬

‫𝟏(‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙𝟔‬

‫𝒙𝒅)𝟏‬

‫𝒙𝒅 )𝒙√‬

‫𝟏(‬

‫𝟑‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟐 ) (‬ ‫) 𝟐𝒙‬

‫𝟒‬ ‫𝟏(‬ ‫𝟑‬

‫𝒙 𝟏√𝒏𝒊𝒔 𝟏‬ ‫)‬ ‫𝐱𝐝‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙 𝟏√‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏√𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝟗‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝒙( ∫‬

‫)𝟏 ( 𝟏‬ ‫[∫ 𝟐‬ ‫𝟏( ] 𝟐 𝒙‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏(‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫)𝒙√‬

‫𝒄‬

‫)لو كان المثال(‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫)𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝒙√( ‪∫ (𝒙 𝟒 ) . √𝒙/‬‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫) 𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫𝟐 𝒙( ] 𝟐‬

‫𝒙[ ∫‬

‫𝒙√(‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏( 𝟒‬ ‫𝟐 𝒙(‬ ‫𝟑‬

‫𝒙( ∫‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐 𝒙(‬

‫)𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)𝟐(‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟑‬

‫𝒙√(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫) 𝟒𝒙( ) 𝟒‬

‫𝒙√(‬

‫𝒙√‬

‫𝒙‬ ‫𝟒‬

‫𝟑𝒙√‬

‫∫‬

‫𝒙( ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫𝟐 𝒙( ] 𝟐 𝒙[ ) ( ∫ 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝒙√(‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝒄‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝟐‬

‫𝟏(∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏 ∫‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟐‬ ‫𝒙𝒅 ] 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟏 [ ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫( ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙 𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔 𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟒‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟐𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟖𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟖‬

‫‪344‬‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝟒 ∫ ) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟐 ∫ ‪. /‬‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝒙𝟖 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝟐𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟒𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫وزاري ‪ / 2016‬د‪1‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟖‬

‫𝒄‬ ‫𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟐𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐(‬

‫𝟏‬ ‫)𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒅 ) 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫]𝒙𝒅 𝒙𝟐𝟏𝒔𝒐𝒄 𝟏 ∫ 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙[‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙‬ ‫𝒄 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟖‬ ‫𝟔𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏 (∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄√‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟐‬

‫𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝒙𝟔𝟏𝒔𝒐𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄(∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ 𝒙𝒅 ∫(‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙(‬ ‫𝒄 ])𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙[‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝑐 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟔𝟗‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م ال ‪ /‬جد التكامالت التالٌة‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝟐‬ ‫𝒄‬

‫𝒂‬ ‫𝒙 ) ( 𝟐 𝐜𝐞𝐬* ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 ‪𝟏+‬‬

‫𝒙𝒅𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝐜‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟗‬

‫𝟑‬

‫𝐜‬

‫𝟐‬

‫𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝟏‬ ‫) (∫ 𝟐‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙√ 𝟐‬

‫𝒙√𝒔𝒐𝒄𝟐‬

‫𝒂‬ ‫𝒙 )𝟐( 𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐‬ ‫𝒂‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅 𝒙 ) ( 𝟐𝐧𝐚𝐭 ∫ 𝒙𝒅‬ ‫𝒂‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙 ) ( 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝒂‬ ‫𝒄 𝒙 𝒙 ) ( 𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄‬ ‫×‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 ) ( 𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟒 𝒄𝒆𝒔𝟐 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔‬

‫‪345‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙√𝒏𝒊𝒔‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ∫‬

‫𝟒‬

‫𝒙√‬

‫𝒙𝒂𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒂𝒏𝒊𝒔‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄𝟒‬

‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 ) ( 𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟏∫‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄‬

‫‪4‬‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟔‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 ) (‬ ‫𝟐 ∫‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙 ) ( 𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅𝒙 ) ( 𝟐𝒄𝒆𝒔 ) ( ∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 ) (‬ ‫𝟐‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 ) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝐝 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝐝 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏(∫‬

‫𝟏√ ∫‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏(∫‬

‫𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟔‬

‫∫ 𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬

‫𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫‬

‫𝒙𝐝)𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒕𝒐𝒄‬

‫𝒄‬ ‫𝟒‬

‫𝟒 𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫(∫‬ ‫𝒙𝒅 )‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟏‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 ) ( 𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙‬ ‫𝒙‬

‫∫ 𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫(∫‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒄𝒔𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝟒 𝒙𝒄𝒆𝒔‬ ‫(∫‬ ‫𝒙𝒅 )‬ ‫𝒙𝒄𝒔𝒄‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝐱𝐝 )‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄( ∫‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝐱𝐝 ) ( 𝐬𝐨𝐜‬ ‫𝒙‬

‫) ( 𝒏𝒊𝒔𝟑‬

‫𝐜‬ ‫𝟏‬ ‫𝐱𝐝 )‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏 𝟐‬

‫𝟐)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟖‬

‫∫‬

‫𝟗‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔‬ ‫∫‬ ‫𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕‬ ‫∫ 𝟎𝟏‬ ‫𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫م نكمل الحل كما اً الم ال )‪ (9‬اً الصفحة )‪(36‬‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝟓 𝟏‬

‫𝒙𝟕‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟑(‬

‫𝟕‬

‫(∫𝟕‬ ‫𝒙‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙𝒅 𝒙‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝒙𝟕‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫)𝟑( 𝒙𝟕‬ ‫𝒙𝒅 𝒙 )‬ ‫𝟑𝒙‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝒙‬

‫𝟓‬ ‫𝐜‬

‫)‬ ‫𝟓‬

‫𝒙‬

‫𝟕‬ ‫𝟓 𝒙‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝟓 𝒙 𝟓𝟐‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫) (‬

‫)𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝒙‬

‫𝟒‬

‫𝟒𝒙‬ ‫∫𝟕‬ ‫𝟓 𝒙‬

‫𝟓 𝒙‬ ‫)𝟓 𝒙( 𝟕‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙( 𝒙𝟐 ∫ ‪. /‬‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬ ‫(∫‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬

‫)𝟑( 𝟕‬ ‫𝒙𝒅 𝒙 )‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝒙𝟕‬

‫𝟒𝒙𝟕‬ ‫𝒙 𝟒 𝟓‬

‫𝒙‬

‫𝟓‬ ‫𝟑 (∫‬ ‫𝒙‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟓‬ ‫𝟖𝟐‬ ‫∫‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝟔‬

‫𝟒𝒙𝟕‬ ‫∫ 𝟐𝟏‬ ‫𝟓 𝒙‬

‫𝟕‬ ‫𝟒 𝒙‬ ‫𝟏‬ ‫( 𝟓 ∫) (‬ ‫[ )‬ ‫𝒙𝒅 ]‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓 𝒙‬ ‫𝟐 𝟓 𝒙‬

‫) (‬

‫)𝟏‬

‫𝟐𝒙( 𝒙 ∫‬

‫𝒄‬

‫‪346‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫) (‬

‫)𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫𝒙(‬ ‫𝟖‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫) (‬

‫𝒄‬

‫𝒙 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝟑𝒙‬

‫)𝟏 𝟐𝒙( 𝟏‬ ‫‪. /‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟓𝒙‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫)𝟑‬

‫𝒙𝒅‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒙𝟓(𝒙 𝟎𝟏 ∫ ) (‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫(‬

‫𝒙‬

‫𝟕‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝟓‬

‫𝟓𝟑‬

‫𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟕‬ ‫𝟒𝒙( 𝟑𝒙 𝟒 ∫ ) (‬ ‫𝟒‬

‫𝟐𝒙𝟓(‬

‫)𝟑‬

‫𝟒‬ ‫)𝟑( 𝟏‬ ‫) (‬ ‫) 𝟐 𝒙𝟕‬

‫𝟑 𝒙𝟓 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟓‬ ‫𝟕‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬ ‫𝑐‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫𝐱𝐝 𝟔 𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬ ‫𝒙‬ ‫𝟑𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒄‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟒‬ ‫)𝟑(‬

‫𝒙𝟓 ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟑 ) (‬ ‫) 𝟐 𝒙𝟕‬

‫𝒄‬

‫𝟓 𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟒 𝟕‬ ‫𝒙(‬ ‫𝟔‬

‫‪347‬‬

‫𝟔 𝟑‬ ‫𝐱𝐝 )]‬ ‫𝒙‬

‫𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟒𝒙 𝟑𝒙𝟕 ∫‬ ‫)𝟏‬

‫(‬

‫)𝟑 𝟐𝒙𝟓( 𝟏‬ ‫‪. /‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟑 ) (‬ ‫) 𝟐 𝒙𝟕‬

‫𝟑‬ ‫𝟓(‬ ‫𝟒𝟏‬

‫𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙𝟓 𝒙 ∫‬

‫) (‬

‫𝟐‬ ‫𝟕‬ ‫𝟓( ] [ ∫ ] [‬ ‫𝟕‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟕‬

‫)𝟑‬

‫) (‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫) ( 𝟏‬ ‫𝟑 ) (‬ ‫) 𝟐 𝒙𝟕‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙𝟓(𝒙 ∫‬

‫𝒙𝒅 𝟑‬

‫𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟑‬

‫𝟒𝒙𝟓 ∫‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟓( ∫‬

‫𝒙√𝟕‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙√‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟓( 𝟐‬ ‫] [‬ ‫𝟕‬

‫𝟔 𝟑‬ ‫𝒙𝒅 )‬ ‫𝒙‬

‫𝟓[ 𝒙( ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟓‬

‫𝟗‬

‫𝟑𝒙𝟔‬

‫𝟓( 𝟔𝒙 ∫‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟔𝒙 𝟐𝒙 ∫ 𝟕𝟏‬

‫𝟑 𝟑𝒙 𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝟏‬

‫𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫‬ ‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫)𝟏 𝟒𝒙( 𝟕‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝟐𝒙‬

‫𝟔𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫‬

‫𝟖𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫اللوغارٌتم الطبٌعـــً‬ ‫لييييييييتك ‪ u‬داليييييييية موجبيييييييية لابليييييييية لالشييييييييتماق بالنسييييييييبة الييييييييى ‪ x‬اييييييييأ مشييييييييتمة اللوغييييييييارٌتم الطبٌعييييييييً للداليييييييية ‪ u‬هييييييييً‬ ‫)‬

‫(‬

‫مشتقة الدالة‬

‫| |‬

‫وعلٌه اأ‬

‫الدالة‬

‫𝟏‬

‫موجبية وتسيتلدم هيذه‬

‫∫ شرط أ تكو الدالة‬

‫الدالة اً تواٌر المشتمة احولى اً بعض الدوال التً ٌصعب اشتمالها وهً تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫م ال ( )‪ /‬اذا كا‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪𝟎 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫اأوجد‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫م ال (‪ /)2‬جد‬

‫𝜃𝑑 𝜃‬ ‫𝜃‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏∫‬ ‫𝜃‬

‫𝟏‬

‫𝜃 𝜃‬ ‫|𝜃‬

‫𝟏|‬

‫𝜃‬

‫| |‬

‫∫‬

‫𝜃𝑑 𝜃‬ ‫𝜃‬

‫م ال ‪ : /‬جد مشتمة الدوال التالٌة ‪:‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫(‬ ‫)‬

‫‪348‬‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝜃‬ ‫𝟏‬

‫∫‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬جد التكامل لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬ ‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫∫) (‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫| |‬ ‫|‬

‫|‬

‫∫‬

‫∫‬

‫∫‬

‫|‬

‫∫‬

‫∫‬

‫|‬

‫| 𝟑‬

‫𝟏|‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝟏 𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫دالة اللوغارٌتم الطبٌعً‬ ‫هيييً دالييية عكسيييٌة لدالييية اللوغيييارٌتم الطبٌعيييً بمعنيييى ألييير هنيييان بعيييض اليييدوال عنيييدما نشيييتمها أو‬ ‫الدالييية احسيييٌة‬ ‫نكاملهيييا نيييدلل علٌهيييا الدالييية احسيييٌة يييم عنيييدما ننتهيييً نميييوم بألغييياء الدالييية احسيييٌة عييي طرٌيييك أدليييال دالييية اللوغيييارٌتم‬ ‫الطبٌعً الهدف م هذه العملٌة هً لتغٌ​ٌر شكل الدالة المراد العمل علٌها‬

‫)مشتقة االس()الدالة(‬

‫ليييذا ايييأ مشيييتمة اي دالييية أسيييٌة مراوعييية للميييوة ‪ u‬هيييً‬

‫وعلٌيييه ايييأ‬

‫∫ وهً تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫م ال (‪ /)3‬لتك‬

‫𝟎‬

‫𝟖𝟐𝟖𝟏𝟕 𝟐‬

‫اجد‬ ‫𝟐‬

‫م ال (‪ /)4‬جد‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬

‫‪349‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫الدالة احسٌــــة ( احساس عدد ثابت)‬ ‫نفييييييرض أ‬

‫عييييييدد ابييييييت ٌم ييييييل أسيييييياس الداليييييية احسييييييٌة اييييييأ مشييييييتمة اي داليييييية أسييييييٌة مراوعيييييية للمييييييوة ‪ u‬هييييييً‬ ‫)مشتقة االس() األساس‬

‫𝟏‬

‫وعلٌيييييييييييييييييه ايييييييييييييييييأ‬

‫()الدالة(‬

‫∫‬

‫وتتمٌز ببعض اللصا ص التً ذكرناها اً الدالة احسٌة السابمة وسوف نوضح ذلن اً الم ال التالً ‪.‬‬

‫م ال ( )‪ /‬جد‬

‫لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟓‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟑 𝟑‬ ‫𝟐( 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م ال ‪ /‬جد‬

‫لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒 𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟐𝟑 𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫‪350‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬جد التكامل لكل مما ٌأتً ‪:‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟕‬

‫𝟕‬

‫𝟕‬

‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬

‫√‬ ‫√‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫√ 𝟐‬

‫∫ 𝟐‬

‫√‬

‫∫‬

‫م ال ‪ /‬جد التكامل لكل مما ٌأتً ‪:‬‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑) (‬ ‫𝟕‬

‫𝟕‬ ‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟑𝟐 ) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫( 𝟐𝟐 ) (‬ ‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫)‬ ‫𝟓‬

‫𝟐∫‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑 𝟕 ∫) (‬ ‫𝟕‬

‫𝟕‬

‫𝟐𝟐 ∫‬

‫( 𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟑 ∫‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑𝟐‬ ‫‪∫.‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟐 ∫‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒∫‬

‫𝟑𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑𝟐 𝟑 ∫ ) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟕‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟕‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟐‬

‫∫‬

‫𝟑 𝟐(∫‬

‫𝟐𝟐 𝟐 ∫ ) (‬ ‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫‪351‬‬

‫𝟑∫‬

‫∫‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫تمارين 𝟓‬

‫‪‬‬

‫س ‪ /1‬جد‬

‫𝟒‬

‫لكل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫) ( ) (‬ ‫𝟐‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬ ‫)𝟐(‬ ‫𝒙‬ ‫)𝟐(‬

‫𝒙‬ ‫) ( 𝐧𝐥‬ ‫𝟐‬

‫𝐲‬

‫𝒃‬

‫𝟐‬ ‫𝒙‬

‫𝒙𝟐‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒙 𝒏𝒍‬

‫𝒚‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒍‬

‫𝐲‬

‫𝒅‬

‫𝟑 𝟏‬ ‫) ( 𝒏𝒍‬ ‫𝒙‬

‫𝒚‬

‫𝒆‬

‫𝟐 𝒏𝒍‬

‫𝒚‬

‫𝒇‬

‫(𝒆‬

‫𝐲‬

‫𝒈‬

‫𝒙 √𝟗‬

‫𝒚‬

‫𝒉‬

‫) 𝟒 (𝟕‬

‫𝒚‬

‫𝒊‬

‫𝟐‬ ‫𝐱𝐧𝐥‬ ‫𝒙‬ ‫𝟑‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝟑‬

‫𝟒 𝒙𝟑‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟑 𝒙‬

‫)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓‬

‫(𝒆 𝟑‬

‫𝒙𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒙𝟎𝟏‬

‫𝟗𝒏𝒍‬ ‫)𝒙 ( 𝟕𝒏𝒍‬ ‫𝟒 𝟕‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫) ( 𝒙𝒏𝒍 𝟐‬ ‫𝒙‬

‫‪.‬‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒂‬

‫𝒙 √𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝒚‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓‬

‫(𝒆‬

‫𝟏‬ ‫𝒙 √𝟐‬

‫𝒙 √𝟗‬

‫( 𝟗𝒏𝒍‬ ‫𝒙‬

‫( 𝟕𝒏𝒍 ) 𝟒 (𝟕‬ ‫𝟐‬

‫‪352‬‬

‫𝒙 𝒏𝒍‬

‫𝟐‬

‫)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓‬

‫𝒙 √𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /2‬جد التكامالت احتٌة ‪:‬‬ ‫𝟐𝒏𝒍𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟐𝒏𝒍‬

‫𝟎‬

‫𝟒𝒏𝒍‬

‫𝟏𝒏𝒍‬

‫𝟒𝒏𝒍‬

‫|𝟏‬

‫𝟒𝒏𝒍‬

‫|𝟏‬

‫𝟎|𝒏𝒍‬

‫|𝟏‬

‫𝟑|𝒏𝒍‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙|𝒏𝒍‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑𝒏𝒍‬

‫𝟒‬ ‫𝟓𝒏𝒍‬

‫𝟓𝟐𝒏𝒍‬

‫𝟗𝒏𝒍‬

‫𝟎|𝒏𝒍‬

‫|𝟗‬

‫𝟔𝟏|𝒏𝒍‬

‫|𝟗‬

‫𝟐‬

‫|𝟗‬

‫𝒙𝒅‬

‫|𝒏𝒍‬

‫𝟎‬ ‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫𝟑𝒏𝒍𝟐‬

‫𝒏𝒍𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐 𝟑‬

‫𝟐*‬

‫𝟏‬ ‫*‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 𝟓‬

‫𝟏 𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫*‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫ 𝒄‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫) 𝟏𝒆‬

‫𝟏‬

‫([‬

‫‪1‬‬

‫𝟎‬ ‫𝟑‬

‫𝒆‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝒆‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝒙𝒅‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝒆‬

‫𝟎‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝒅‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫] ) 𝟎𝒆‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫∫‬

‫𝒃‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪1‬‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝒏𝒍𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝑎‬

‫𝟑‬

‫𝒆‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫لو كا الس ال ‪:‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒆‬ ‫𝟐‬

‫𝟏𝒆‬

‫𝟎𝒆‬ ‫‪1‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟑𝒏𝒍‬

‫𝟏𝒏𝒍‬

‫𝟐𝒆‬ ‫𝟎𝒆‪1 0‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏𝒆‪0‬‬

‫𝟎‬

‫𝟔𝒏𝒍‬

‫𝒙𝟐𝒆‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝟐 0‬‬

‫𝒙𝒆‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅 ) 𝟐‬

‫𝟏‬

‫( ∫‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟔𝒏𝒍‬

‫𝟏𝒏𝒍‬

‫𝟔𝒏𝒍‬

‫𝟒‬

‫)𝟏‬

‫𝟑‬

‫(𝒏𝒍‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟏‬

‫𝟐𝒆‬

‫‪𝒆√𝟏 +‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝒇‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟏𝒆‬

‫∫‬

‫𝟒√𝒆*‬

‫𝟒‬

‫√‬ ‫√‬

‫𝒙𝒅‬

‫√𝟐‬

‫𝟎‬

‫∫‬

‫𝒈‬

‫𝟏‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑𝒏𝒍‬

‫𝟑𝒏𝒍‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟐| 𝒏𝒍‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐| 𝒏𝒍‬ ‫𝟒‬

‫‪353‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐|𝒏𝒍‬

‫𝒙𝒅 ‪/‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪𝒉 ∫ .‬‬ ‫𝟒‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟏‬ ‫𝟐 ) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫]‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔√𝟐‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫𝒆‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫)𝟐(‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫∫‬ ‫𝒄‬

‫𝟓‬

‫𝐱𝐝‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫‬

‫√‬

‫𝟔‬

‫𝟏√ 𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝒙𝒅 𝟓‬

‫[‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒏𝒊𝒔 𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫|𝒙𝟓 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫∫‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬

‫*‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝒏𝒊𝒔 𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫∫‬

‫𝒊‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫(‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫)‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫ 𝒌‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫∫ 𝑳‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫س ‪ /3‬أ بت أ ‪:‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟖 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟏]‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑 ( 𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬ ‫) ( ∫𝟑‬ ‫𝟑 𝟏‬

‫∫‬

‫[‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫] )𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑𝟏(‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑𝟖([ 𝟐‬

‫] )𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫([ 𝟐‬

‫𝟏‬

‫األٌمن‬

‫𝟐‬

‫𝟏 𝟐‬

‫]𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪354‬‬

‫𝟏 [𝟐‬

‫𝟑‬

‫]𝟐 𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬

‫√‬

‫𝟖‬ ‫𝟏‬

‫𝟖 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫√‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑 ( 𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐 [𝟐‬

‫األٌسر‬

‫∫‬ ‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫𝟒‬

‫𝟎𝟑‬

‫𝟑| ∫‬

‫𝒙𝒅 |𝟔‬

‫𝟐‬

‫مالحظة‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪<2‬‬

‫𝟒‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6 1‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫الطرف األٌمن‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟎𝟑‬

‫‪6‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪6‬‬

‫|‬

‫|‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪06‬‬

‫∫‬

‫𝑥𝑑 ‪6‬‬

‫‪∫ 6‬‬

‫𝑥𝑑‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫𝟔‬

‫)‪2‬‬

‫| ∫‬

‫𝑥𝑑 |‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪( 24‬‬

‫الطرف األٌسر‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟔‬

‫وزاري ‪ / 2016‬د‪1‬‬ ‫دالة مستمرة على الفترة 𝟔 ‪𝟐,‬‬

‫س ‪/4‬‬

‫اأذا كا‬

‫𝟔‬

‫𝟏∫ وكا‬

‫𝟔‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫∫ اجـــــد‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟔‬

‫𝟐𝟑‬

‫∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟔‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟐𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟐 𝟔| 𝟑|‬

‫𝟔‬

‫𝟖𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟐𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟐𝟑‬

‫∫‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫∫‬

‫𝟖‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟔‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟔‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪355‬‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫∫‬

‫𝟖‬ ‫𝟐‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /5‬جد لٌمة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟐‬

‫أذا علمت أ‬

‫𝟒𝟎∫ 𝟐‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫( 𝟏∫‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫‪1‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟏𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫]𝟎‬

‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫[𝟐‬

‫𝟒‬ ‫⇒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ /6‬لتك‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫حٌث‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐×‬

‫𝟐‬

‫∫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫( ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫دالة نهاٌتها الصغرى تساوي 𝟓‬

‫𝟑‬

‫اجد‬

‫𝟏∫‬

‫للدالة نهاٌة صغرى‬ ‫∴ 𝟎‬

‫̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∴ النمطة 𝟓 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫نمطة نهاٌة صغرى محلٌة وهً تحمك معادلة الدالة‬ ‫𝟐 𝟏 𝟓‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬ ‫)𝟑‬

‫𝟔𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫)𝟒‬

‫𝟖 𝟖𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟖‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫‪356‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫)‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬ ‫𝟔‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /7‬أذا كيييا للمنحنيييً 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎∫‬

‫𝟎∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫نمطيييية انمـــــيييـالب‬

‫𝟑‬

‫جيييد المٌميييية العددٌييية للممييييدار‬

‫‪,‬‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪3‬‬

‫للدالة نمطة أنمالب‬ ‫̅‬

‫∴ 𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫⇒‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫∴ نمطة احنمالب‬

‫هً 𝟏 ‪ 𝟑,‬أي أ‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏 𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪𝟔0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫̅‬

‫𝟏‬

‫𝟔 ∫‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫̅‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪𝟔0‬‬

‫‪1‬‬ ‫]‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫‪𝟑0‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟎[ 𝟔‬

‫]‬

‫]‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬

‫[𝟔‬ ‫𝟔𝟒‬

‫‪357‬‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫]‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟗𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪𝟑0‬‬ ‫[𝟑‬ ‫[𝟑‬

‫𝟗𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م ال ‪ /‬جد التكامالت التالٌة ‪:‬‬ ‫𝒄‬

‫|𝒙𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒄‬

‫|𝒙𝒕𝒐𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔‬ ‫∫‬ ‫𝐱𝐝‬ ‫𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔‬

‫𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝐥‬

‫𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒄𝒆𝒔‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝒙𝟓‬

‫𝒄‬

‫𝟑𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝟓‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒆𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒍‬

‫𝟏√𝟐‬

‫𝟐𝒆‬

‫𝟐𝒆‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝟏‬ ‫)𝟐(‬

‫|𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄‬ ‫|𝒙√𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝒙‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫‬

‫𝟓‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 ∫‬

‫𝟔‬

‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄‬ ‫∫‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫‬

‫𝒙√𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙√ 𝟐‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒆 𝒆‬

‫𝟏‬

‫𝒄‬

‫‪358‬‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝒆‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝟒‬

‫𝒆 𝒆∫‬

‫𝟏√𝒙‬

‫𝒙√𝒄𝒆𝒔‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙√‬

‫∫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 ∫‬ ‫𝒙‬

‫∫‬

‫𝒙‬

‫𝒙𝒏𝒍‬

‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬

‫|𝒙𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝒙𝒏𝒊𝒔‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒄‬ ‫𝒙𝒆‬ ‫𝟏‬

‫𝒙𝒅‬

‫∫‬

‫𝟒‬

‫𝒆‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝒙√𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍𝟐‬

‫𝒙𝒏𝒍‬

‫𝒙𝒅 |𝒙|𝒆 ∫‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫|𝒙𝒔𝒐𝒄|𝒏𝒍‬ ‫𝒄‬

‫𝒙𝒄𝒔𝒄|𝒏𝒍‬

‫𝟏‬

‫𝒆∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒆 ∫‬

‫𝟎‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅 𝟐‬

‫)𝟓 𝟐𝒙(𝒏𝒍‬

‫𝟎‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝒆 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅 𝐱𝐜𝐞𝐬 ∫‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫𝒙𝒅 )‬ ‫𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫∫ 𝟖‬

‫𝟏‬ ‫(∫ 𝟗‬ ‫𝒙‬

‫𝒙𝒏𝒍‬ ‫∫ 𝟎𝟏‬ ‫𝒙‬

‫𝒙𝒆‬ ‫∫ 𝟒𝟏‬ ‫𝒙𝒆 𝒆‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫للدوال‬

‫م ال ‪ /‬جد‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫التالٌة ‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟒‬

‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝒙‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝒙‬

‫𝟑𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫م ال ‪ /‬جد معادلة المماس للمنحنً للدوال التالٌة ‪:‬‬ ‫‪⒜‬‬

‫عندما 𝟎‬ ‫نقطة التماس 𝟏 ‪𝟎,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫)معادلة المماس(‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪359‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬

‫مٌل المماس‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫)‪(b‬‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫عندما 𝟏‬ ‫نقطة التماس 𝟐 ‪𝟏,‬‬ ‫𝟐𝟐‬

‫𝟒‬ ‫)معادلة المماس(‬

‫)‪(c‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟏𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫مٌل المماس‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫عندما‬ ‫نقطة التماس‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫)معادلة المماس(‬

‫𝟏‬ ‫) (‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫مٌل المماس‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫م ال ‪ /‬أ بت أ الدالة‬ ‫جد لٌمة‬

‫‪,‬‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟒‬

‫دالة ممابلة للدالة‬

‫م‬

‫𝟒𝟎∫‬

‫الحل ‪/‬‬

‫هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا‬

‫هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟐√‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫هً دالة مقابلة للدالة‬

‫𝟏‬

‫𝟐√‬

‫(‬ ‫𝟒‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫‪360‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫مالحظة‪:‬‬ ‫نستلدم ) ( للمٌل م نضع كل متغٌر على جهة م نكامل الطراٌ‬

‫أذا كا مٌل المنحنً ٌحتوي على المتغٌر‬

‫******************************************************************‬

‫س ‪ : 1‬جد منحنً الدالة الذي ٌمس المستمٌم 𝟕‬ ‫س ‪ : 2‬أذا كانت المشتمة ال انٌية 𝟔‬ ‫بأستلدام التفاضل أرسم منحنً الدالة‬

‫𝟑 ومٌله عند كل نمطة م نماطه ٌساوي 𝟔‬

‫وكيا للدالية النمطية 𝟒 ‪𝟏,‬‬

‫نمطية نهاٌية عظميى محلٌية جيد منحنيً الدالية يم‬

‫س ‪ : 3‬جد معادلة منحنً الدالة الذي مٌله عند كل نمطة م نمطه ٌساوي‬ ‫ومحدب لكل 𝟏 <‬ ‫𝟑 وكا المنحنً ممعر 𝟏‬ ‫س ‪ : 4‬جد معادلة المنحنً المار بالنمطة 𝟐 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫ومٌله عند كل نمطة م نمطه ٌساوي‬

‫س ‪ : 5‬جد معادلة المنحنٌات أذا علمت أ مٌلها عند كل نمطة م نمطها‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫هو‬

‫وله نهاٌية صيغرى محلٌية لٌمتهيا‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟐 𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐 𝟐 𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫******************************************************************‬

‫اٌجاد مساحة المنطمة المستوٌة‬ ‫مساحة المنطمة المستوٌة المحددة بمنحنً ومحور الســـٌنات‬ ‫لتك‬ ‫السٌنات والمستمٌمٌ‬

‫دالة مستمرة على الفترة‬ ‫‪,‬‬

‫اأ‬

‫‪,‬‬

‫ولتك ‪ A‬مسياحة المنطمية المحيددة بيالمنحنً‬

‫|‬

‫ومحيور‬

‫∫|‬

‫لطوات الحل ‪:‬‬ ‫الٌجاد المساحة بٌ منحنً ومحور السٌنات نتبع ما ٌلً ‪:‬‬ ‫الٌجيييياد نميييياط التميييياطع مييييع محييييور السييييٌنات اييييأذا كييييا النييييات ٌنتمييييً للفتييييرة‬ ‫‪ Ⓘ‬نجعييييل 𝟎‬ ‫الفترة كما تعلمنا سابما واذا كا النات الٌنتمً للفترة اٌهمل وت لذ الفترة المعطاة امط ‪.‬‬ ‫② اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة ٌتم تحدٌدها م لالل نماط تماطع الدالة مع محور السٌنات‬ ‫③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجز ة‬

‫‪361‬‬

‫‪,‬‬

‫انجييييزي‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ييييال (‪ /)1‬جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية‬ ‫الفترة 𝟐 ‪𝟐,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫ومحييييور السييييٌنات وعلييييى‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل 𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫∴ اترات التكامل هً 𝟐 ‪𝟐, 𝟎 , 𝟎,‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫‪1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫) وحدة مربعة( 𝟖‬

‫|‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫|𝟒 |‬

‫| 𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒 |‬

‫𝟖‬

‫| 𝟖‬

‫𝟎 |‬

‫𝟒‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬

‫م يييييييال (‪ /)2‬جيييييييد مســـيييييييـاحة المنطمييييييية المحـــيييييييـددة بمنحنيييييييً الدالــيييييييـة‬ ‫‪𝟏,‬‬ ‫والمستمٌمٌ 𝟑‬

‫ومحيييييييور السيييييييٌنات‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل 𝟎‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟔𝟐‬ ‫) وحدة مساحة(‬ ‫𝟑‬

‫𝟕𝟐‬ ‫]‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫|] [‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫[|‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫‪0‬‬

‫∫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬

‫م ال ( )‪ /‬جد مساحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫ومحور السٌنات‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل 𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟎‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬ ‫) وحدة مساحة(‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫|)𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪362‬‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟖‬

‫∫|‬ ‫𝟎‬

‫𝟒 |‬

‫| 𝟎‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م يييال (‪/)4‬‬ ‫الفترة 𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟐‬

‫جييييد مسيييياحة المنطمييية المحييييددة بمنحنييييً الدالييية 𝟏‬

‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫ومحييييور السييييٌنات وعلييييى‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫|])𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) وحدة مساحة(‬ ‫𝟑‬

‫م ييييال (‪/)5‬‬ ‫الفترة ‪, +‬‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫])𝟏‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟖𝟐‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬ ‫([‬ ‫𝟑‬

‫])𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫𝟕|‬

‫|𝟐‬

‫جييييد مســـييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟗 [‬

‫𝟏‬

‫∫|‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫([|‬

‫𝟕‬ ‫𝟑‬

‫|𝟏‬

‫‪0‬‬

‫|‬

‫ومحييييور السييييٌنات وعلييييى‬

‫*‬

‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫] ‪,‬‬

‫[‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬ ‫|‬

‫|‬

‫|‬

‫𝟎‬ ‫) وحدة مساحة( 𝟑‬

‫𝟐‬

‫|𝟏 |‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫‪363‬‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫| 𝟎‬

‫∫|‬

‫|‬

‫|)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ييييال (‪ /)6‬جييييد مســييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الدالـــييييـة‬ ‫الفترة ‪,‬‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫ومحييييور السييييٌنات وعلييييى‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫‪,‬‬

‫|‬

‫|‬ ‫𝟐‬

‫|‬ ‫|‬

‫𝟐‬

‫| 𝟐‬

‫|‬ ‫|‬

‫|‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫|) (‬ ‫𝟐‬

‫|)‬

‫|‬

‫) وحدة مساحة( 𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫|𝟏 |‬

‫𝟏‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫|𝟏 |‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫|‬ ‫𝟎|‬

‫|𝟏‬

‫|𝟏‬

‫𝟏|‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫|𝟎‬

‫|‬ ‫𝟏 |‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫𝟐‬

‫م يييييال ‪ /‬جيييييد مســـيييييـاحة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنيييييً الدالييييية 𝟒‬ ‫الفترة 𝟑 ‪𝟏,‬‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫ومحيييييور السيييييٌنات وعليييييى‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫) ٌهمل السالب(‬

‫𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫| ‪𝟒 1‬‬ ‫𝟐‬

‫|𝟖‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑 |‬

‫𝟒𝟑‬ ‫) وحدة مساحة(‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫|𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟕 𝟕𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪364‬‬

‫‪|0‬‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫(‬ ‫𝟑‬

‫|)𝟖‬

‫𝟕‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪𝟒 1‬‬

‫𝟖‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟖 𝟓𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫𝟗 |‬ ‫|‬

‫𝟒‬ ‫∫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫|)𝟒‬

‫|𝟗 |‬

‫𝟖‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫)𝟖‬

‫𝟖‬ ‫(|‬ ‫𝟑‬

‫𝟓|‬

‫|𝟐𝟏‬

‫𝟑|‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬جد مســـــاحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالــــة‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫ومحور الســــٌنات وعلى الفترة 𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫) الٌمكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر (‬

‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫) وحدة مربعة(‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫م ييييال ‪ /‬جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية‬

‫𝟐‬

‫ومحييييور السييييٌنات‬

‫وعلى الفترة ‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫] ‪[𝟎,‬‬

‫𝟐‬

‫] 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫] 𝟎‬

‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫| ] 𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫| ] 𝟐‬

‫[|‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[|‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫) وحدة مربعة( 𝟏‬

‫∫|‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫******************************************************************‬

‫مساحة المنطمة المحددة بمنحنٌ​ٌ‬ ‫لتك‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫دالتٌ مستمرتا‬ ‫هً‬

‫|‬

‫على الفترة‬

‫‪,‬‬

‫اأ المساحة المحيددة بيالمنحنٌ​ٌ ‪ f,g‬والمسيتمٌمٌ‬

‫∫|‬

‫لطوات الحل ‪:‬‬ ‫الٌجاد المساحة بٌ منحنً دالتٌ نتبع ماٌلً ‪:‬‬

‫الٌجييياد نميييياط التمييياطع ايييأذا كييييا النيييات ٌنتمييييً للفتيييرة‬ ‫‪ Ⓘ‬نجعيييل‬ ‫سابما واذا كا النات الٌنتمً للفترة اٌهمل وت لذ الفترة المعطاة امط ‪.‬‬ ‫②اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة ٌتم تحدٌدها م لالل نماط تماطع الدالتٌ ‪.‬‬

‫③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجز ة ( للدالة احكبر – الدالة احصغر )‬

‫‪365‬‬

‫‪,‬‬

‫انجيييزي الفتييييرة كميييا تعلمنييييا‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬

‫م ال (‪ /)1‬جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنً‬

‫والمستمٌم‬

‫√‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫نجد نمط التماطع وذلن بجعل‬ ‫𝟏‬

‫√‬ ‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫] ‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫√ 𝟐‬ ‫‪[0‬‬ ‫𝟑‬

‫| ]‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫[|‬

‫)‬

‫|‬

‫م ال (‪/)2‬‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫|‬

‫( ∫|‬

‫√( ∫|‬

‫)‬

‫𝟎‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫جد مساحة المنطمة المحصورة بٌ المنحنً‬

‫)بالتربٌع(‬

‫√‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫] 𝟎‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬ ‫([‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫والمستمٌم‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬

‫نجد نمط التماطع وذلن بجعل‬ ‫𝟏‬

‫𝟎‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝟎 𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪|0‬‬

‫)وحدة مساحة(‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟒‬

‫‪366‬‬

‫|‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫∫|‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫| 𝟎‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟒‬

‫∫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫|)‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟒‬

‫𝟎 |‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ييييييييال (‪/)3‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫جييييييييد مســـييييييييـاحة المنطميييييييية المحييييييييددة بييييييييالمنحنٌ​ٌ‬

‫وعلى الفترة ‪, +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫*‬

‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫)األتجاه الموجب( ] ‪,‬‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫|‬ ‫|‬

‫و‬

‫𝟐‬

‫|‬ ‫|‬

‫|‬ ‫|‬

‫𝟒‬

‫|‬ ‫|‬

‫[‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫∫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫|‪( )/‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( )/‬‬ ‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐√𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪|.‬‬

‫(‬

‫|‪)/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫(‬ ‫|)‬ ‫𝟐√ 𝟐√‬

‫𝟏‬

‫𝟐√‬

‫𝟐√‬

‫)‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫𝟏 |‬ ‫|𝟏‬

‫𝟏|‬

‫|𝟐√‬

‫‪( )/‬‬ ‫𝟒‬

‫‪.‬‬

‫| 𝟎‬ ‫𝟐√|‬

‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪|.‬‬

‫)‬ ‫(|‬ ‫𝟐√ 𝟐√‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏| |𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫|‬ ‫𝟐√‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫م يييييييال ‪ /‬جيييييييد مسييييييياحة المنطمييييييية المحيييييييددة بيييييييالمنحنٌ​ٌ‬ ‫وعلى الفترة 𝟑 ‪𝟐,‬‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫| ‪𝟒 1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫| ‪𝟒 1‬‬ ‫𝟐‬

‫|)𝟒‬ ‫𝟐𝟏𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟔‬

‫|‬

‫𝟕𝟏‬ ‫𝟔‬

‫|‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟗‬

‫(‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫𝟒‬

‫‪|0‬‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫)𝟐𝟏‬ ‫𝟐 𝟐𝟕‬ ‫𝟔‬

‫𝟕𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟗(|‬

‫𝟏𝟖‬

‫𝟒𝟓‬ ‫|‬

‫|)𝟖‬ ‫|‬

‫𝟖𝟒‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫‪367‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 ‪𝟐,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫و 𝟓‬

‫∫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬ ‫𝟔𝟑‬

‫)𝟒‬

‫(‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟗‬

‫𝟔‬ ‫𝟑𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟗𝟐𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟐𝟏𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫(|‬ ‫|‬

‫𝟕𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬جد المساحة المحددة بالمنحنٌ​ٌ‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫و‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل‬ ‫ٌهمل 𝟑 √‪∓‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫‪𝟐𝟒1‬‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬ ‫𝟖‬ ‫𝟓𝟏‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫‪0‬‬

‫𝟎𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪𝟐𝟒1‬‬

‫𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟖𝟎𝟔‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒𝟎𝟑‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬

‫| ‪𝟏𝟐 1‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟎𝟑‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫|‬

‫م ييييييال ‪ /‬جييييييد مسيييييياحة المنطميييييية المحييييييددة بييييييالمنحنٌ​ٌ‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟎𝟔𝟑‬

‫𝟎𝟒‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)𝟐𝟏‬

‫|‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫( ∫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟗‬

‫|‬

‫𝟎𝟔𝟑 𝟎𝟒‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫و‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟗‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫وعلى الفترة ‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫∫‬

‫) 𝟐‬

‫|‪𝟎+‬‬

‫*‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏 𝟐‬ ‫( ∫|‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫]𝟎‬

‫𝟐‬

‫] ‪[𝟎,‬‬

‫) ٌهمل( 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫)𝟎‬

‫𝟏‬ ‫× ([|‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫|𝟎‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫] 𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫‪368‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫[|‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ‪ /‬جد مساحة المنطمة المحصورة بٌ المنحنٌ​ٌ‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏<‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫نجعل‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫𝟏<‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫𝟏‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟏<‬ ‫𝟓‬

‫| ‪𝟔 1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟒𝟓‬ ‫|‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐 𝟔‬ ‫‪|0‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟓𝟏|‬

‫|‬

‫|𝟎𝟏‬

‫‪𝟒 1‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟒𝟒‬ ‫𝟎𝟏‬

‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫𝟔‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟒‬ ‫‪|0‬‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟔‬ ‫𝟎𝟏‬

‫)𝟔‬

‫|‬

‫‪.‬‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟎𝟒𝟐‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟕‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟒𝟓‬

‫𝟒‬ ‫( ∫|‬ ‫𝟓 𝟓‬

‫)𝟒‬

‫| 𝟎𝟐‬

‫|‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬ ‫( ∫|‬ ‫𝟓‬ ‫𝟏‬

‫𝟎𝟑‬

‫|‬

‫𝟔‬ ‫𝟓‬

‫𝟕‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟓𝟏‬

‫|‪𝟔/‬‬

‫م ال ‪ /‬جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنٌ​ٌ‬

‫𝟑𝟑√‬ ‫𝟒‬

‫و‪𝟕,‬‬

‫|‬

‫|𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟎𝟏‬

‫‪𝟒/‬‬

‫𝟎𝟓𝟏 𝟎𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪|.‬‬

‫𝟒𝟒‬

‫|‬

‫وعلى الفترة 𝟏 ‪𝟎,‬‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟏‬

‫𝟑𝟑√‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫)بالدستور(‬

‫⇒‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫نلتبر الدالة ‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫< ‪0‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪0‬‬ ‫𝟑‬

‫| 𝟎‬

‫لذا اأ الدالة‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟑𝟑√‬

‫𝟏 ‪𝟎,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫هً الدالة احكبر‬ ‫𝟏 𝟑‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫‪|0‬‬

‫|‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫( ∫|‬ ‫𝟐 𝟎‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫‪369‬‬

‫𝟑𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ

โ ซุงู ู ุตู ุงู ุฑุงุจุนโ ช /โ ฌุงู ุชู ุงู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู โ ฌ

โ ซุงู ู ุณู ู ู ู ู ู ุงุงุฉโ ฌ โ ซู ู ู ู ุชู โ ฌ โ ซุงู ุฒู ู ู ุฉโ ฌ

โ ซุณู ู ู ุฑุนุฉ ุฌุณู ู ู ู ู ุชุญู ู ู ุฑู ุนู ู ู ู ู ู ู ู ู ุท ู ุณู ู ู ุชู ู ู ู ุงู ู ู ู ู ุณู ู ู ุชู ู ู ู ู ู ุง ุงู ู ู ุฃ ุงู ู ุณู ู ู ุงุงุฉ ุงู ู ู ุทู ุนู ู ู ุฉ ุงู ู ู ู ุงู ู ุชู ู ู ุฑุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ

โ ซโ ช,โ ฌโ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซุญู ุซ ุชู ู โ ฌ

โ ซู ู โ ช:โ ฌโ ฌ

โ ซู ุณุฑุนุฉ ุงู ุฌุณู โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซู ู ุฏุงุฑ ุงู ู ุณุงุงุฉ ู ู ู ู ู ู ุฉ ุบู ุฑ ู ุชุฌู ุฉโ ฌ

โ ซุฃู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุง ุงุญุฒุงุญู ู ู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงู ุฌุณู ู ู โ ฌ

โ ซ|โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ โ ซ| โ ซโ ฌ

โ ซู ุงู ุณู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฑุนุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ

โ ซู ุงู ุชุนุฌู ู ู ู ู ู ู ู โ ฌ

โ ซุงู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุงุช ู ุชุฌู ู ู ู ู ู ู ุฉ ู ุฃ ุฃุฒุงุญู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฉโ ฌ

โ ซโ ซโ ฌ โ ซโ ซโ ฌ

โ ซู ุงู ุญุธุงุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช โ พโ ฌุงุญุฒุงุญุฉ ุชู ุงู ู ู ุญุฏุฏ ู ู ุณุฑุนุฉ ู ู ู ู ุจุฏู ู ุทู ู ุญ ุงู ู ุงุช ุงู ู ู ู ุฃุฐุง ู ุง ู ู ุฌุจ ุฃู ุณุงู ุจ ุฃู ุตู ุฑโ ฌ โ ซโ ก ู ุฌู ุฏ ุงู ู ุทู ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ุณุงุงุฉ ู ู ู ู ู ุงู ู ู ู ุงู ู ุงุช ุณุงู ุจโ ฌ โ ซโ ข ุฃุฐุง ุทู ุจ ุงู ุงู ุณ ุงู ู ุงู ุฌุฏ ุงุญุฒุงุญุฉ ู ุงู ู ุงู ุงู ู ุฉ ุงู ุงู ู ุฉ ุงู ุฐุง ู ุนู ู ุญุณุงุจ ุงู ุฏุงู ุฉ โ ซโ ฌ โ ซโ ฃุฃุฐุง ุทู ุจ ุงู ุงู ุณ ุงู ู ุงู ุฌุฏ ุงุญุฒุงุญุฉ ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ู ุณ ุงุญู ู ู ุงู ุฐุง ู ุนู ู ุญุณุงุจ ุงู ุฏุงู ุฉ โ ซโ ฌ โ ซโ ค ุฃุฐุง ุฃุนุทู ุงู ุงู ุณ ุงู ุชุนุฌู ู ุงู ุฌุณู ุงุฃโ ฌ

โ ซุงู ุชุนุฌู ู โ ซโ ฌ

โ ซุงู ุณุฑุนุฉ ู ู ู ุชู ุงู ู ุบู ุฑ ู ุญุฏุฏโ ฌ

โ ซโ ฅ ุงู ู ู ู ุญุงู ู ู ู ุฉ ุฃู ุฌู ู ู ุงุฏ ุงู ู ุณู ู ู ุงุงุฉ ู ุชุบู ู ู ู ุฑ ุฃุชุฌู ู ู ุงู ุงู ุฌุณู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฐุง ู ุนู ู ู ู ู ุญู ู ู ุฏู ุซ ุชุฌุฒ ู ู ู ุฉ ุงู ู ู ู ุงู ุชู ุงู ู ู ู ู ุฃ ู ุฌู ู ู ุฏ ู ุงู ู ู ู ุญุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงุญุฒุงุญุฉ ู ู ู ุฃุชุฌุงู ุงู ุฌุณู ุงุจุช ู ุฐุง ุชู ู ู ุงู ุชุฌุฒ ุฉ ุงู ุงู ุชู ุงู ู ุฃ ู ุฌุฏุช โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช370โ ฌโ ฌ

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫م ال ( )‪ /‬جسم ٌتحرن على لط مستمٌم بسرعة ‪⁄‬‬

‫𝟒‬

‫اجــــــــــــــد ‪:‬‬

‫𝟐‬

‫‪ ⓐ‬المسااة الممطوعة اً الفترة 𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫‪ⓑ‬احزاحة الممطوعة اً الفترة 𝟑 ‪𝟏,‬‬

‫‪ⓒ‬المسااة الممطوعة اً ال انٌة اللامسة‬

‫‪ⓓ‬بعده بعد مضً )‪ (4‬وانً م بدء الحركة‬

‫الحل ‪/‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟑 |‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ∫|‬

‫|‬

‫𝟐 ∫|‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒 |‬

‫|𝟑‬

‫‪2‬‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|𝟒‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫| 𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟗 |‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬

‫| 𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟒 |‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫| 𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟓𝟐 |‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐 ∫‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟓‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫|‬

‫𝟐 ∫|‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟐 ∫‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫م ييييال (‪ /)2‬جسييييم ٌتحييييرن عليييييى لييييط مسييييتمٌم بتعجٌييييل‬ ‫𝟐𝟖 بعد مرور )‪ (4‬وانً م بدء الحركة اجد ‪:‬‬ ‫‪ ⓐ‬المسااة لالل ال انٌة ال ال ة‬

‫𝟐‬

‫‪4‬‬

‫𝟖𝟏 ايييييأذا كانييييت سييييرعته لييييد أصيييييبحت‬

‫‪⁄‬‬

‫‪ⓑ‬بعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور )‪ (3‬وانً‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟕‬

‫∫‬

‫𝟖𝟏 ∫‬

‫𝟒 𝟖𝟏‬

‫𝟐𝟖‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟓𝟓‬

‫𝟔𝟓‬

‫𝟏𝟏𝟏‬

‫| 𝟎𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟏𝟖 |‬

‫𝟎𝟑‬

‫|‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗|‬

‫|‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟏𝟏𝟏‬

‫𝟖𝟏 ∫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟑‬

‫𝟏𝟖‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟖𝟏 ∫‬ ‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫‪ ⓒ‬اً الم ال أعاله جد السرعة بعد مرور )‪ (10‬وانً‬ ‫𝟎𝟗𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟖𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟏 𝟖𝟏‬

‫‪371‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐𝟖‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫تمارين 𝟔‬ ‫𝟒‬

‫س ‪ /1‬جد المسـاحة المحددة بالمنحنً‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫𝟒‬

‫ومحور السٌنات والمستمٌمٌ‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟏 ‪𝟏,‬‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟕‬ ‫𝟎𝟏‬

‫‪|0‬‬

‫𝟎‬

‫| ‪1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫‪|0‬‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫∫|‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟎‬

‫( |‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫| 𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟓 𝟐‬ ‫|)‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟓 𝟐‬ ‫|)‬ ‫(|‬ ‫𝟎𝟏‬

‫س ‪ /2‬جد المسـاحة المحددة بالدالة 𝟒‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟏 ‪𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫| ‪1‬‬

‫𝟏‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫‪𝟏,‬‬

‫∫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫|)‬ ‫𝟐‬

‫وعلى الفترة 𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝟎 |‬

‫(‬

‫ومحور السٌنات‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫ٌهمل 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟐,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫| ‪𝟒 1‬‬

‫|‬

‫‪|0‬‬

‫𝟓‬

‫𝟖‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟓‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫)𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫( ∫|‬

‫𝟐‬

‫)𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)𝟐𝟏‬

‫𝟔𝟗 |𝟔𝟗 |‬ ‫𝟓‬

‫س ‪ /3‬جد المسـاحة المحددة بالدالة‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟗𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫‪𝟒 1‬‬

‫|)𝟖‬ ‫) وحدة مساحة(‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟒𝟐‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟓𝟏𝟏‬ ‫|‬

‫𝟓‬ ‫𝟏𝟏𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫|)𝟖‬

‫(|‬

‫𝟎𝟔𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟓‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟖‬ ‫𝟒𝟔‬

‫( ∫|‬

‫𝟓‬

‫(‬

‫𝟏𝟏𝟐‬ ‫𝟓‬

‫|𝟑𝟐‬

‫|‬

‫)𝟖‬

‫|‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟖‬

‫(|‬

‫𝟓‬

‫𝟒𝟔‬ ‫𝟓‬

‫|𝟐𝟑‬

‫|‬

‫ومحور السٌنات‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 𝟑‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫𝟒‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟎‬ ‫𝟎 𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟓‬ ‫|‬

‫𝟏‬

‫‪|0‬‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟓 𝟑‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫|‬

‫‪372‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟓 𝟑‬ ‫|‬ ‫𝟓𝟏‬

‫|‬

‫| 𝟎‬

‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫∫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫|)‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫(‬

‫𝟎 |‬

‫𝟒‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /4‬جد المسـاحة المحددة بالمنحنً‬

‫ومحور السٌنات وعلى الفترة ‪*𝟎, +‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل 𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫| ‪1‬‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫| ‪1‬‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑‬

‫)𝟑( 𝟑‬

‫|]‬

‫𝟑‬

‫]‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟎𝟑‬

‫|‪1‬‬

‫[|‬

‫𝟑‬

‫|‪1‬‬

‫وحدة مساحة‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫س ‪ /5‬جد المسـاحة المحددة بالمنحنً 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫)𝟐(‬

‫[|‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫|‪1‬‬

‫|‬

‫|‪1‬‬

‫𝟏‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫)𝟑( 𝟑‬

‫]‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫|‪1‬‬ ‫𝟑‬

‫[|‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟎|‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫‪0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫]‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫)𝟐( 𝟑‬

‫[‬

‫𝟑‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ‪𝟎, ,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫‪|0‬‬

‫𝟑‬

‫ومحور السٌنات وعلى الفترة ‪*𝟎, +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫نجعل 𝟎‬ ‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪*𝟎, +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟐‬ ‫| ‪1‬‬ ‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟒 𝟐‬ ‫| ‪1‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫‪|0‬‬

‫𝟒‬

‫) (‬ ‫| 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫|‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫‪|0‬‬

‫|‬

‫)𝟒( 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫وحدة مساحة‬

‫𝟏‬

‫‪373‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫|‬

‫)𝟒( 𝟐‬

‫𝟎𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫| |‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟐‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫)𝟐( 𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟎|‬

‫|𝟎‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /6‬جد المساحة المحددة بالدالتٌ‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫√‬

‫وعلى الفترة ]‪[2,5‬‬

‫𝟐‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫𝟓 ‪𝟐,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟓 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫| ]‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟓 𝟑‬ ‫𝟐‬

‫[|‬

‫| ]‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ×‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)𝟐(‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫|)‬ ‫𝟑‬

‫𝟐) 𝟐𝟐(𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏(‬

‫𝟕‬ ‫𝟐𝟏‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫س ‪ /7‬جد المساحة المحددة بالدالتٌ‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟓𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟒‬ ‫𝟕‬ ‫|‬ ‫𝟐𝟏‬

‫|‬

‫𝟏‬

‫⇒‬ ‫𝟏‬ ‫]𝟐‬

‫|‬

‫[|‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫|‬

‫)) بالتربٌع((‬

‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟒𝟔‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫[ ∫|‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟓𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟒 𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫|‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟓𝟐‬ ‫|‬ ‫𝟒‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫الحل ‪ /‬محلول صفحة 𝟓𝟔‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫س ‪ /8‬جد المســـــاحة المحددة بالدالتٌ‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫حٌث‬

‫‪,‬‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐 ‪𝟎,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫∫|‬

‫|‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫| ‪1‬‬ ‫𝟐‬

‫|‪1‬‬

‫𝟐‬ ‫وحدة مساحة‬

‫𝟒‬

‫‪0‬‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫|𝟐 |‬

‫𝟐‬ ‫|𝟏‬

‫𝟏|‬

‫|𝟏‬

‫|‪𝟎 1‬‬

‫𝟏 |‬

‫‪374‬‬

‫𝟎‬

‫| 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫| ‪1‬‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪|0‬‬

‫𝟐‬

‫‪0‬‬ ‫𝟎 |‬

‫‪1‬‬

‫𝟐‬ ‫| 𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫‪|0‬‬ ‫𝟎 |‬

‫√‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬ ‫س ‪ /9‬جد المساحة المحددة بالدالتٌ‬ ‫الحل ‪ /‬نجعل‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫حٌث ‪+‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪*𝟎,‬‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬ ‫𝟑‬ ‫]‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪[𝟎,‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎‬

‫|‬

‫|𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ /10‬جد المساحة المحددة بالدالة‬

‫𝟑‬

‫وحدة مساحة‬

‫الحل ‪ /‬نجعل 𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫| 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫|‬

‫∫|‬

‫𝟎‬

‫| 𝟎‬

‫𝟎(|‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫(|‬

‫ومحور السٌنات‬

‫الٌجاد نمط التماطع‬

‫𝟎‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫∫|‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫∫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟎‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫| ‪1‬‬ ‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫|)‬ ‫𝟐‬ ‫|‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫(‬

‫𝟑 𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟎 |‬ ‫𝟑‬

‫|‬

‫) وحدة مساحة(‬

‫‪375‬‬

‫|‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟕𝟐‬ ‫|)‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪|0‬‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝟔𝟏‬

‫𝟐𝟑𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟕𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫| ‪1‬‬ ‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟏𝟖‬ ‫𝟒‬

‫(‬

‫𝟑𝟒𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟑 𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟓 𝟐𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪|0‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟒‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫|‬ ‫𝟐𝟏‬

‫|‬

‫|‬

‫𝟐𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /11‬جسم ٌتحرن على لط مستمٌم بسرعة‬ ‫‪ ⓐ‬المسااة الممطوعة اً الفترة ‪2,4‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟑‬

‫أحسب‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫‪ⓑ‬احزاحة اً الفترة ‪0,‬‬

‫𝟔‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2,4‬‬

‫𝟔𝟐‬

‫|𝟐‬

‫| 𝟔‬

‫𝟖𝟐|‬

‫𝟎‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟖‬

‫‪0‬‬

‫𝟏‬

‫𝟖𝟒‬

‫𝟒‬ ‫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟔 |‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝟔‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟓𝟕‬

‫𝟓𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫|‬

‫)𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑( ∫|‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫|‬

‫𝟑 ∫‬ ‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ /12‬جســــيييييـ م ٌتحيييييرن عليييييى ليييييط مسيييييتمٌم بتعجٌيييييل ليييييدره‬ ‫𝟎𝟗 أحسب‬ ‫مرور )‪ (4‬وانً تساوي‬

‫𝟐𝟏‬

‫وكانيييييت سيييييرعته بعيييييد‬

‫𝟒‬

‫‪ ⓐ‬السرعة عندما 𝟐‬ ‫‪ ⓑ‬المسااة لالل الفترة ‪,2‬‬ ‫‪ ⓒ‬االزاحة بعد )‪ (10‬وانً م بدء الحركة‬ ‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟒‬

‫|)𝟎𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟎𝟖‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟒𝟐‬

‫(‬

‫)𝟎𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟖𝟒‬ ‫𝟖‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐 𝟐𝟏‬

‫| 𝟎‬

‫)𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟎𝟔‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬ ‫(|‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟒𝟖‬ ‫𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫‪𝟏𝟎 1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟔‬

‫𝟒 𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟔‬ ‫𝟑‬ ‫|𝟖𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪0‬‬

‫𝟎𝟎𝟏𝟒‬ ‫𝟑‬

‫‪376‬‬

‫𝟒 ∫‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟒 𝟐‬

‫‪𝟏𝟎 1‬‬

‫𝟖𝟗‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫(|‬ ‫𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫∫‬ ‫𝟔𝟏 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐( ∫‬ ‫𝟏‬

‫|‬

‫|𝟔𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒𝟒‬

‫|‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟎‬

‫𝟎𝟎𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟖𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟎𝟐‬

‫𝟎𝟗‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫س ‪ /13‬تتحرن نمطة م السكو وبعد‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫‪2‬‬

‫انٌة م بدء الحركية اصيبحت سيرعتها‬

‫الزم الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه م أحسب التعجٌل عندها ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫أوجيد‬

‫‪00‬‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫‪2‬‬

‫نكامل الطرفٌن‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪00‬‬

‫‪6‬‬ ‫)‪6 2‬‬

‫𝟎𝟓‬

‫‪∫( 00‬‬

‫النقطة تتحرك من السكون‬ ‫∴‬

‫𝟎‬

‫‪𝟎 ,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟎 𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫𝟎𝟓‬

‫𝟑‬

‫عند عودة النقطة الى موضعها األول ٌعنً أن األزاحة‬

‫تساوي صفر لذا ٌكون ‪:‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬ ‫ٌهمل‬

‫الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟎𝟓‬

‫‪2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟎𝟓‬

‫𝟐‬

‫‪⁄‬‬

‫‪377‬‬

‫𝟎𝟎𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟎‬

‫التعجٌل‬

‫𝟎𝟎𝟐‬

‫𝟎𝟓‬

‫𝟎‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫̅‬

‫‪2‬‬

‫‪00‬‬

‫𝟓𝟐 𝟐𝟏‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟎𝟓‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫الحجــوم الدورانٌــة‪:‬‬ ‫‪ .1‬لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد مي دورا المنطميية المحييددة بييٌ منحنييً الداليية‬ ‫حول محور السٌنات نطبك العاللة التالٌة‬

‫𝟐‬

‫المسييتمرة مي‬

‫∫‬

‫‪ .2‬لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد مي دورا المنطميية المحييددة بييٌ منحنييً الداليية‬ ‫حول محور الصادات نطبك العاللة التالٌة‬

‫𝟐‬

‫الى‬

‫الى‬

‫المسييتمرة مي‬

‫∫‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫م ييييييال ( )‪ /‬المنطميييييية المحييييييددة بييييييٌ المنحنييييييً ‪4‬‬ ‫حول محور السٌنات ‪ ,‬جد حجمها ‪.‬‬

‫‪, 0‬‬

‫ومحييييييور السييييييٌنات ‪ ,‬دارت‬

‫√‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) وحدة مكعبة(‬

‫] ‪0‬‬

‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫𝟒‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫([‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟒‬

‫) √( ∫‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪3‬‬

‫م ال (‪ /)2‬المنطمة المحددة بٌ‬

‫المنحنً 𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟏‪,‬‬

‫دارت حول محور الصادات ‪ .‬جد حجمها ‪.‬‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟒‬ ‫) وحدة مكعبة(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫) ( ∫‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪∫ .‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫م يييال ( )‪ /‬أوجييييد الحجييييم النيييات ميييي دورا المسيييياحة المحييييددة بيييالمطع المكيييياا الييييذي معادلتييييه‬ ‫حول المحور السٌنً‬ ‫‪2 ,‬‬ ‫والمستمٌمٌ ‪0‬‬ ‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫) وحدة مكعبة(‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫𝟎‬

‫‪378‬‬

‫𝟐‬

‫‪4‬‬

‫∫‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الرابع‪ /‬التكامــــــــــــــــــل‬

‫‪2‬‬

‫م يييال (‪ /)4‬أوجيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحيييددة بيييالمطع المكييياا اليييذي معادلتيييه‬ ‫حول المحور السٌنً‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫والمستمٌمٌ‬

‫‪2‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟓‬

‫) وحدة مكعبة(‬

‫𝟎𝟎𝟓𝟐‬

‫‪𝟎 1‬‬

‫𝟓 𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫‪0‬‬

‫𝟓 𝟒‬ ‫‪1‬‬ ‫𝟎 𝟓‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫‪0‬‬

‫𝟓‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟒 ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐( ∫‬

‫)‬

‫𝟎‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫‪2‬‬

‫م ييييييييال (‪ /)5‬أوجييييييييد الحجييييييييم النييييييييات ميييييييي دورا الم سيييييييياحة المحييييييييددة بييييييييالمطع المكيييييييياا‬ ‫حول المحور الصادي‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫والمستمٌمٌ ‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫) وحدة مكعبة(‬

‫𝟐𝟑‬

‫‪𝟎 1‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟖‬

‫𝟔𝟏 𝟐‬

‫‪1‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟖‬

‫𝟔𝟏‬

‫‪0‬‬

‫) (‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪3‬‬

‫م ييييال (‪/)6‬‬ ‫𝟏‬

‫أوجييييد الحجييييم الناشيييي ميييي دورا المنطميييية المحصييييورة بييييٌ محييييور الصييييادات ومنحنييييً الداليييية‬

‫والمستمٌمٌ‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫دورة كاملة حول المحور الصادي ‪.‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪2‬‬ ‫) وحدة مكعبة(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫]𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫𝟐𝟏‬ ‫]‬

‫[‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫)‬ ‫𝟐‬

‫‪2‬‬