للعام الدراسي
طبعة جديدة ومنقحة
2017
أعداد األسـتاذ
شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل الثاني . حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل الثاني . أسئلة أضافية محلولة .
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الثانً/المطوع المخروطٌة مستمٌم ثابت فً المطع المخروطً :لٌكن ) 𝟏 𝟏 ( نمطة ثابتة فً المستوي ولٌكن 𝟎 المستوي نفسه لذا فان مجموعة كل النماط التً نسبة بعد كل منها عن النمطة ) 𝟏 𝟏 ( الى بعدها عن المستمٌم تساوي عدد ثابت ) ( تكون شكل هندسً ٌسمى بالمطع المخروطً أو هو مجموعة النمط 𝟎 التً بعدها عن نمطة معلومة ٌساوي بعدها عن مستمٌم معلوم حٌث ان لكل شكل مخروطً عدة مفاهٌم أساسٌة ٌتعٌن بها وهً : ① النمطة الثابتة
)𝟏
𝟏
( تسمى بإرة المطع المخروطً )
② المستمٌم الثابت 𝟎
ٌسمى دلٌل المطع المخروطً )
③ النسبة ) ( تسمى باالختالف المركزي ) نوع القطع زائد
)𝟏
(
( حٌث أذا كان
نوع القطع ناقص
(
(
نوع القطع مكافئ
(
)𝟏
(
)𝟏
④ المسافة بٌن البإرة والدلٌل =| 𝟐| المطع المكافئ :هو مجموعة النمط ) ( فً المستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة ثابتة )𝟎 ( تسمى مساوٌآ دائمآ لبعدها عن مستمٌم معلوم ) ( والذي ٌسمى الدلٌل وهو ال ٌحتوي البإرة البإرة حٌث 𝟎 أو بمعنى أخر هو مجموعة من النمط داخل مستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة معلومة مساوٌا لبعدها عن مستمٌم معلوم . معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور السٌنات ) (x-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
𝟎
(√ 𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐
𝟐)𝟎 𝟐
𝟎
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
وهذذذذ هذذذً المعادلذذذة المٌاسذذذٌة للمطذذذع المكذذذافئ الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذً لمحذذذور السذذذٌنات ( (x-axisوالذذذرأس فذذذً نمطذذذذة األصذذذذل حٌذذذذث تسذذذذمى النمطذذذذة " "Oبذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حٌذذذذث بإرتذذذذه )𝟎 ( 𝟎
حٌث
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
81
𝟒
𝟐
ومعادلذذذذة دلٌلذذذذه
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور الصادات ) (y-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐)
𝟐)𝟎
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
(√
𝟒
وهذ هً المعادلة المٌاسٌة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذً لمحذور الصذادات األصل حٌث تسمى النمطة " "Oبرأس المطع المكافئ حٌث بإرته ) 𝟎( ومعادلة دلٌله 𝟎
𝟐 𝟐
( (والذرأس فذً نمطذة
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
𝟒
حٌذث
𝟐
نالحظ مما سبك انه ٌوجد معادلتٌن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل )𝟎 𝟎( أحداهما عندما ٌكون على المحور السٌنً واألخرى عندما ٌكون على المحور الصادي والجدول أدنا ٌوضح ذلن . ( عىذما ٔكُن عهّ محُر انصاداخ ) ( عىذما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاخ ) ( ①البإرة تنتمً لمحور الصادات ) ( ①انثؤرج تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ ) ②البإرة ) 𝟎( ومعادلة الدلٌل ②انثؤرج )𝟎 ( َمعادنح انذنٕم ③معادلة محور المطع هً 𝟎 ③معادنح محُر انمطع ٌٓ 𝟎 ④الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً ④انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ ⑤التناظر حول محور الصادات ⑤انتىاظز حُل محُر انسٕىاخ ⑥المحور الصادي ٌنصف الدلٌل ⑥المحور السٌنً ٌنصف الدلٌل ⑦ المانون
𝟒
𝟐
⑦ المانون
𝟒
𝟐
مالحظات عامة : ❶ أشار البإرة عكس أشار الدلٌل والعكس صحٌح ❷ المسافة بٌن البإرة والدلٌل = 2p ❸ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ فهً تحمك معادلته (أي أن المطع المكافئ ٌمر بها ) ❹ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ بعدها عن البإرة ٌساوي بعدها عن الدلٌل 𝟒 ❺ رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممٌز الخاصة به هً )𝟎 ❻ الجدول أدنا ٌوضح تفاصٌل أكثر عن معادالت المطع المكافئ البإرة الدلٌل المحور أتجا المطع التناظر )𝟎 ( الٌمٌن x-axis x-axis ( الٌسار )𝟎 x-axis x-axis ) 𝟎( األعلى y-axis y-axis 𝟎( ) األسفل y-axis y-axis
82
𝟐
( المعادلة 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)1جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟖
الحل /
𝟐
𝟖 𝟒
) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت( 𝟖 𝟐 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟐 ( معادنت اندنٍم 𝟐
𝟐
𝟒
𝟖
(
)𝟎
مثال ) /)2جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته ) (3,0والرأس فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟎 الحل /
𝟔
𝟐 ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟎 𝟑( )𝟎 ( 𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟏 ___________________________ ب)
معادنت انقطع انمكافئ
مثال ) /)3جد بإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟒
الحل /
𝟐
𝟐𝟏
)𝟑(𝟒
معادلة الدلٌل 𝟎 𝟔 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 )𝟑(𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
ثم أرسمه ) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
𝟏 معادنت اندنٍم √𝟐
𝟐 √𝟐
83
𝟐
𝟏 2
𝟎 𝟎
𝟒 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟏( 𝟏 )𝟏(𝟒 𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟒
)𝟎 ( 4
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ) /)4بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ أذا علم أن بإرته )𝟎 𝟑√( والرأس فً نمطة األصل . الحذذل /البذذإرة )𝟎 𝟑√( ولذذتكن النمطذذة ) ( نمطذذة تنتمذذً الذذى منحنذذً المطذذع المكذذافئ ولذذتكن النمطذذة ) 𝟑√ ( هً نمطة تماطع العمود المرسوم من ) ( على الدلٌل ⃡ فمن تعرٌف المطع المكافئ ) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐
(√
)𝟑√
𝟐)𝟎
𝟐
) 𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟑
مثال ) /)5جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ الحل /
𝟒𝟐
𝟎
) وقسم طرفً انمعادنت عهى 𝟑(
) 𝟑√ 𝟑√𝟐
معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
(√ ( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟒
𝟑 𝟒𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟒𝟐 𝟖 𝟒
𝟑 𝟐 𝟐
) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ( 𝟖 𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 ) 𝟎( انبؤرة )𝟐 𝟎( معادنت اندنٍم 𝟐
مثال ) /)6جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته )𝟓 𝟎( ورأسه فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟕 الحل /
ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟓 𝟎( ) 𝟎( 𝟐 𝟓
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟎𝟐 ___________________________ ب) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ( معادنت انقطع انمكافئ
84
)𝟓(𝟒
) بانمقاروت مع معادنت اندنٍم( 𝟐 𝟒 𝟖𝟐
𝟐
)𝟕(𝟒
𝟐
𝟕 𝟕 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)7جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمطتٌن ) 𝟒 𝟐( )𝟒 الحل /
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐( ورأسه نمطة األصل
ثابتة لم تتغٌر )
النمطتان متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة 𝟐 𝟒 انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ ٌٓ وعُض أحذِ انىمطتٕه انهتٕه تحممان معادنح انمطع انمكافئ ألوً ٔمز تٍا َنتكه انىمطح )𝟒 𝟐( 𝟔𝟏 𝟖
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟖 𝟖
𝟐
)𝟐( 𝟒
𝟔𝟏 )𝟐(𝟒
𝟐)𝟒(
𝟐
مثال ) /)8جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر دلٌل المطع المكافئ بالنمطة )𝟓
𝟐
𝟒
𝟑(
الحلٌ /وجد أحتمالٌن للمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ لعدم تحذٔذ انثؤرج َ ,االحتمانٕه ٌما : ثانٌا :البإرة تنتمً لمحور السٌنات أوال :البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟓(𝟒 𝟐 𝟎𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟑 (𝟒 𝟐 𝟐𝟏 معادنت انقطع انمكافئ
انسحاب المحاور للمطع المكافئ: Ⓘالمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ الذي رأسه النمطة )
تعذ االوسحاب (̅ )
لثم االوسحاب انعىصز )𝟎 (
انثؤرج انذنٕم
𝟎 )
( 𝟒
𝟐)
(
𝟒
انمحُر 𝟐
انماوُن
85
( َمحُري ُٔاسْ محُر انسٕىاخ )
(
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
َٔمكه أن تكُن فتحح انمطع انمكافئ تاالتجاي انسانة نمحُر انسٕىاخ الحع انزسم أدواي َانمُاوٕه انخاصح : تعذ االوسحاب )
لثم االوسحاب
انعىصز
(
انثؤرج
(̅
)𝟎
(
𝟒
انذنٕم 𝟎 ( 𝟒
)
②المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافً الذي رأسه النمطة )
تعذ االوسحاب (̅ )
)
( 𝟒
𝟐)
(
𝟐)
انمحُر 𝟐
انماوُن
( َمحُري ُٔاسْ محُر انصاداخ )
(
لثم االوسحاب انعىصز انثؤرج ) 𝟎( انذنٕم انمحُر 𝟎 𝟐 انماوُن 𝟒
َٔمكه أن تكُن فتحح انمطع انمكافئ تاالتجاي األسفم نمحُر انصاداخ الحع انزسم أدواي َانمُاوٕه انخاصح : تعذ االوسحاب )
(̅
𝟐)
(
انعىصز انثؤرج انذنٕم انمحُر انماوُن
لثم االوسحاب 𝟎( ) 𝟎
( 𝟒
)
𝟒
𝟐
والجدول أدنا ٌوضح الفروق بٌن المعادالت بٌن كال المحورٌن عىذما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاخ ) ①انثؤرج ) ( َمعادنح انذنٕم ②انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ ③الرأس والبإرة ٌمعان على األحداثً السٌنً ( ④انرأس ) ⑤المانون ) ⑥معادلة المحور
( 𝟒
𝟐)
(
(
عىذما ٔكُن عهّ محُر انصاداخ ) ①البإرة ) ( ومعادلة الدلٌل ②الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً ③الرأس والبإرة ٌمعان على األحداثً الصادي ( ④الرأس ) ⑤المانون ) ⑥معادلة المحور
86
( 𝟒
𝟐)
(
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظح : انزأص ٌُ مىتصف انثعذ تٕه انثؤرج َانذنٕم أْ أن
)دنٍهه(
)انبؤرة(
مثال ) /)9مه معادنح انمطع انمكافئ )𝟐 انذنٕم الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
انبؤرة )𝟏
)انرأس(
𝟐
(𝟒
𝟑(𝑭
َكذنك
𝟐)𝟏
)𝟏
مثال ) /)10نالش المطع المكافئ
𝟐
( 𝟒 انرأس )𝟏
𝟐(
𝟏(𝑭
)𝒌 𝒉
( وحصم عهّ (
)
𝟏
𝟏
𝒑(𝑭
معادنت انمحىر معادنت اندنٍم
)انبؤرة(
( عٕه انزأص ,انثؤرج ,معادنح انمحُر ,معادنح 𝟐)
𝟐
)دنٍهه(
)انرأس(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟏 𝒙
𝟐
𝟒
الحل /نضٌف )𝟒( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل 𝟐)𝟐
) بانمقاروت مع المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ ( انرأس )𝟒 3 انبؤرة 4
3
2
𝟐 (
)
𝐹
15 4
(
2
𝟒
𝐹
(
𝟒
𝟒 )
𝟐
4
𝟏 𝟒
2
)𝑘
𝐹
𝑝 F(ℎ
معادنت انمحىر معادنت اندنٍم
𝟏 𝟒
𝟒
𝟕𝟏 𝟒
𝟏
𝟔𝟏 𝟒
87
𝟏 𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 𝟒
𝐲
𝟒
𝟐
𝟒 𝟐)
( 𝟒 𝟏
( 𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1جد المعادلة للمطع المكافئ فً كل مما ٌؤتً ثم أرسم المنحنً البٌانً لها : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟓( والرأس فً نمطة األصل الحل/ المعادلة القٌاسٌة
𝟎𝟐
𝟐
𝟏
2√1
( ب ) البإرة )𝟒
معادنت اندنٍم )𝟓(𝟒 𝟐𝒚
𝟓
)𝟎 𝟓( 𝟓 𝟐 𝒚 𝟒
𝒙 𝟐
𝒚
𝟎 𝟎
2√5
𝟎( والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝟎(
)𝟒 المعادلة القٌاسٌة
𝑥2
𝟔𝟏
4√2
4
2
1
معادنت اندنٍم )𝟒(𝟒
4 2
y 𝑥
𝟒 𝟒
2
𝑥
𝟎 𝟎
( ج ) البإرة ) 𝟐√ 𝟎( والرأس فً نمطة األصل الحل/ معادنت اندنٍم 𝟐√ المعادلة القٌاسٌة )𝟐√(𝟒 2√2
𝟐√√2 1
𝟐√
88
𝟎 𝟎
y 𝑥2
) 𝟐√ 𝟎( 𝟐√ 2 𝑥 𝟒
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( د ) معادلة دلٌل المطع المكافئ 𝟎
𝟑
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒 والرأس فً نمطة األصل
الحل/
3 4
معادنت اندنٍم
y 3 4
البؤرة المعادلة القٌاسٌة
𝟒 3 4
F 3 4
𝑥2
𝟑
√6 𝟐
𝟑
𝟎
𝟒
𝟒
𝟑
p 𝑥2
𝑥2
𝟒
𝟎 𝟎
𝟑√ 1
س / 2فً كل مما ٌؤتً جد البإرة والرأس ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ : 𝟐
𝟒 الحل/
البؤرة)𝟏 𝟎(
1
𝟏
) معادلة المحور(
𝟎
𝟐
𝟔𝟏
) معادلة الدلٌل(
الرأس)𝟎 𝟎(
𝑝
𝟎 الحل/
𝟏
البؤرة )𝟎 𝟐𝟑 ( الرأس)𝟎 𝟎(
𝟏
𝟏
p
𝟐𝟑
𝟒
𝟖
) معادلة الدلٌل(
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟏 𝟐𝟑
) معادلة المحور(
)𝟐
الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟎 𝟐( ̅
انبؤرة )𝟎 𝟏 ( ̅ 𝑭
)𝟎 𝟐
𝟏 (̅ 𝑭
)𝒌 𝒉
معادنت اندنٍم
89
𝟒
𝟐 ) ( 𝟐
𝟔𝟏
𝟎
(𝟒
𝟐
( وحصم عهّ )
(̅
𝒑 (𝐅
2
𝟎 𝟏
معادنت انمحىر 3
) (
𝟎 𝟏
𝒙
𝟐 𝟒
𝟒
) (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)𝟏
الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟏 𝟏( ̅
انبؤرة )𝟑 𝟏( ̅ 𝑭
)𝟏
𝟐 𝟏( ̅ 𝑭
(̅
معادنت اندنٍم
𝟏
𝟐
معادنت انمحىر 1
(𝟖
𝟏
𝒑 𝒉(𝐅
𝟏
𝟐)𝟏
( ) (
( وحصم عهّ )
)𝒌
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒
𝟖
𝟏 y
𝟐
َسارْ / 2012د1 𝟔
𝟐
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
)𝟔
𝟒 𝟐
𝟐
) ( 𝟐
𝟒
(
نضٌف )𝟒( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل 𝟐
𝟐)𝟐
𝟐
𝒚(
𝟒
𝟔
معادلة القطع المكافئ
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
( 𝟒 انرأس)𝟐
انبؤرة 𝟐
𝟑 𝟐
̅ 𝑭
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
̅ 𝑭
𝟐) 𝟏 (̅ )𝒌 𝒉
معادنت اندنٍم
90
)𝟏
𝟒
𝟐)𝟐
(𝟐
( وحصم عهّ (̅
) 𝒑 (𝐅
1
𝟐 𝟏 𝟐
معادنت انمحىر 1 2
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏 𝟐
𝒙
𝟏 𝟐
𝟒
𝟐
𝒚(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
𝟐
𝟔
)
𝟐
𝟔
) (
(
نضٌف )𝟗( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل معادلة القطع المكافئ
𝟓𝟑 انبؤرة 𝟒
3
𝟐)
( 𝟒
𝟑 (̅
انرأس)𝟗 𝐹
(
)𝟗
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
9
𝟏 𝟒
𝟐)𝟑
𝐹
3
𝒙(
)
(̅
𝟗
𝑝 F(ℎ
𝟏 𝟒
معادنت انمحىر 𝟕𝟑 𝟒
معادنت اندنٍم
1
9
4
س / 3جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتٌن )𝟓 𝟐( )𝟓 الحل ∵ /النمطتان متناظرتان حول المحور السٌنً
𝟗
𝟔
( وحصم عهّ
)𝑘
36
𝟗
𝟐
𝟑 𝟒
𝟏
𝟑
𝟏 𝟒
y
𝟐( والرأس فً نمطة األصل
البإرة تنتمً لمحور السٌنات والمانون )
𝟐
𝟒
(
النمطتان تحممان المعادلة الن المطع المكافئ ٌمر بهما لذا نؤخذ النمطة )𝟓 𝟐( ونعوضها فً المعادلة المٌاسٌة 𝟓𝟐 𝟖
𝟓𝟐 𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒑𝟖
𝒑
)𝟐( 𝟒
𝟓𝟐
25 8
𝟐
𝟐)𝟓(
𝟒
𝟒
𝟐
س / 4أذا كان دلٌل المطذع المكذافئ ٌمذر بالنمطذة )𝟒 𝟑 ( والذرأس فذً نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه تنتمً ألحد المحورٌن الحل ∵ /الدلٌل ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟑 (
( والثانً )𝟒
هنان دلٌالن هما األول )𝟑
(
هنان لطعان مكافئان المطع المكافئ األول ( البإرة تنتمً لمحور السٌنات) 𝟑
المانون 𝟐𝟏
𝟐
المطع المكافئ الثانً ( البإرة تنتمً لمحور الصادات)
𝟑
𝟒 )𝟑(𝟒
𝟒 𝟐 𝟐
𝟔𝟏
91
𝟒 المانون 𝟐 )𝟒(𝟒
𝟒 𝟐 𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 5لطع مكافئ معادلته 𝟎
𝟖
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏( جد لٌمة Aثم جد بإرته ودلٌله ثم أرسم المطع
الحل ∵ /المطع المكافئ ٌمر بالنمطة ) 𝟐 𝟏(
وزاري / 2011د1
النمطة ) 𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ )𝟎 )𝟔𝟏
(
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
16
)بالمقارنة مع المعادلة القٌاسٌة
( 16
𝟒
𝟐
A
𝟎
𝟏 𝟐
(
𝟏 معادلة الدلٌل 𝟖
)𝟐(𝟖
𝟐
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
𝒑
𝟏 البؤرة 𝟖 y 0
𝟐)𝟏(
F
𝟐
𝒑𝟒
)𝑝 (F
x 0 𝟏
𝟏
𝟐√ 𝟐
1
س / 6باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟕( والرأس فً نمطة األصل الحل/
معادلة الدلٌل
𝟕
𝟕
𝒙
) تعرٌف القطع المكافئ( )بتربٌع الطرفٌن( 𝟐)
(
𝟐)𝟕
(√ 𝟐)𝟕
𝟗𝟒 ) معادلة القطع المكافئ(
92
𝟐)𝟎 (
𝟐
𝟒𝟏 𝟖𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟎 𝟐
𝟐)𝟕 𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
𝟒𝟏
(√
𝟒𝟏 𝟐
( 𝟐
𝟒𝟏
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( ب ) معادلة الدلٌل 𝟑√
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝑝
𝟑√
𝟑√
البؤرة )𝟑√
)
𝟎(
𝟎(
) تعرٌف القطع المكافئ( 𝟐
)بتربٌع الطرفٌن(
)𝟑√
(√ )𝟑√
(
)𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
𝟐)
(
𝟐
)𝟑√
𝟐
𝟑√𝟐
𝟑 ) معادلة القطع المكافئ(
𝟐
𝟐
𝟑√𝟒
(√
𝟐)𝟎
( 𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمط )𝟎𝟏
𝟑𝟏 ( )𝟎𝟏
𝟏𝟏( والذي رأسه )𝟐 𝟏 (
الحل /لٌمة المحور الصادي للنمطتٌن ثابتة وهذا ٌدل على أن محور التماثل هو ) ( 1
𝟏
𝒙
𝟐 𝟐
نالحظ أن محور التماثل ٌوازي المحور الصادي وهذا ٌعنً أن المانون هو
𝟏𝟏 𝟑𝟏 𝟐
)
صٌغة معادلة القطع المكافئ النمطة )𝟎𝟏
𝟏𝟏(
( 𝟒 )𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐) ( 𝟒
( 𝟐)𝟏
(
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) الفتحة الى األسفل( 3 معادلة القطع المكافئ
)𝟐
(𝟐𝟏
p 𝟐)𝟏
93
𝟒 (
𝟐𝟏 )𝟐
)𝟐𝟏 ( 𝟒 ()𝟑 (𝟒
𝟐)𝟏
𝟐)𝟐𝟏( (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟐
مثذذال /الذذنمط )𝟎 𝟎( )𝟔 𝟒( )𝟔 𝟐𝟏 ( تنتمذذذً للمطذذع المكذذذافئ ) البإرة ومعادلة الدلٌل والرأس والبعد البإري الحل /
النمطة )𝟎 𝟎(
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
( جذذد أحذذذداثً
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته 𝟎
النمطة )𝟔
𝟒(
النمطة )𝟔
𝟐𝟏 (
𝟎
𝟎
𝟎
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) معادلة
(
𝟐
𝟑
)𝟐 ( ]
𝟖
𝟒
𝟔
𝟔𝟏
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) معادلة
(
𝟐
𝟏
)𝟔 ( ]
𝟒𝟐
𝟐𝟏
𝟔
𝟒𝟒𝟏
نحل المعادلتٌن حال أنٌا فنحصل على : 1
b
2
2b
2b
3
معادلة القطع المكافئ
1
𝟖
𝟑
𝟖
𝟏 𝟖
𝟐
𝟐
𝟏 𝟖
8 𝟐
𝟖
𝟒 𝟏 𝟖
𝟐
𝟖
𝟐𝟑
بإضافة )𝟔𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل )𝟐
(𝟖
𝟐)𝟒
𝒙(
𝟔𝟏
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟖
𝟐)𝟒
( 𝟒
𝟐)
انرأس)𝟐 𝟒 ( ̅ انبؤرة) 𝐹( 4
)𝟐
𝟐
)𝑘
𝐹( 4
𝒙(
𝟔𝟏
(̅
𝟐
معادنت اندنٍم
F(ℎ
𝟐
𝟖
𝟒
𝟒 𝟐
y 𝟖
94
𝟒
𝟐
معادنت انمحىر 4
𝟔𝟏
( وحصم عهّ )
𝑝
𝟖
𝟖
𝟐
𝟒
انبعد انبؤري
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة : ) (1بإرته )𝟎 𝟓( انحم /البإرة تنتمً لمحور السٌنات 𝟎
معادلة المطع المكافئ هً 𝟐
𝟎𝟐
)𝟓(𝟒
) (2بإرته )𝟑 𝟎( انحم /البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟎
) (3معادلة دلٌله 𝟎
𝟔
𝟐
𝟒 )𝟎 𝟓(
𝟓
معادلة المطع المكافئ هً 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
)𝟑(𝟒
𝟐
)𝟎 (
𝟐
𝟒 )𝟑 𝟎(
𝟑
) 𝟎(
𝟐
انحم / البؤرة )𝟑
𝟎(
𝟑
𝟔
𝟑
𝟎
𝟐
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒 معادلة القطع المكافئ
) (4بإرته تنتمً لمحور الصادات وٌمر بالنمطة )
𝟏
𝟐
𝟐𝟏
)𝟑 (𝟒
𝟐√(
𝟐
معادلة المطع المكافئ هً البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟏 النمطة ) 𝟐√( تنتمً للمطع فهً تحمك معادلته
انحم /
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏 معادلة القطع المكافئ
)ٌ (5مر بالنمطتٌن )𝟓√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟏(𝟒
𝟐
𝟒
)𝟐√( 𝟐
𝟒
𝟏( )𝟓√𝟐 𝟏( جد معادلته ومعادلة دلٌله
انحم /النمطتٌن متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة xثابتة لم تتغٌر )
معادنتً ٌٓ
𝟐
𝟒
∴ وعُض أحذِ انىمطتٕه ألوً ٔمز تٍا معادنت اندنٍم
𝟓
𝟓
معادلة القطع المكافئ
𝟒 𝟎𝟐
) (6تؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ َدنٕهً ٔمز تانىمطح )𝟒 𝟐( معادنح انمطع انمكافئ ٌٓ تؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ انحم / دنٕهً ٔمز تانىمطح )𝟒
𝟐( نذا فأن
معادلة القطع المكافئ
𝟐
انحم / 𝟐
مزكش انذائزج= )
)معامم 𝟐
)معامم 𝟐
(
( =)
)𝟒 ( 𝟐
َ انثؤرج تىتمٓ نمحُر انصاداخ َمعادنح انمطع انمكافئ ٌٓ معادلة القطع المكافئ
95
𝟐
𝟒
𝟒
𝟏
𝟐
)𝟓√𝟐( 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐 (𝟒
) (7رأسً ومطح األصم َتؤرتً مزكش انذائزج انتٓ معادنتٍا 𝟎 (
)𝟓(𝟒
ٌٓ معادنح انذنٕم ألن انذنٕم ٔمطع األحذاثٓ انسٕىٓ
𝟐
𝟖
)𝟏( 𝟒
𝟎𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎
𝟐 ( = )𝟐 𝟎( = انثؤرج 𝟐
𝟒 𝟖
𝟐
)𝟐(𝟒
𝟒
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
َٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( ) (8دنٕهً ُٔاسْ انمحُر انصادْ َمعادنح محُري 𝟎 انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ َٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( انحم / انذنٕم ٔمطع األحذاثٓ انسٕىٓ انسانة َانثؤرج تمع عهّ األحذاثٓ انسٕىٓ انمُجة 𝟐 𝟒 معادنح انمطع انمكافئ ٌٓ انمطع ٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( نذا فٍٓ تحممً 𝟏 𝟖
𝟖
)𝟐 ( 𝟒
𝟏
𝟏 𝟐
معادلة القطع المكافئ
)ٔ (9مطع مه انمستمٕم 𝟒
𝟐)𝟏( 𝟏 𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
لطعح طُنٍا )𝟎𝟏( وحداث
انحم / رأسً انقطع انمكافئ )𝟓
انتىاظز حُل محُر انسٕىاخ
𝟒()𝟓 𝟒(
معادنح انمطع انمكافئ
𝟓 𝟐
𝟒
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟎𝟏
َانىمطح )𝟓 𝟒( تحممً 𝟐)𝟓(
)𝟒( 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة 𝐢𝟐 𝟒 𝐳 ) (1بإرته الصٌغة الدٌكارتٌة للعدد 𝐢 𝟐
انحم /
الصٌغة الدٌكارتٌة )𝟎 𝟐 (
𝟎𝟏 𝟓
𝟐
𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒊𝟒 𝒊𝟒 𝟓
𝟐
𝐩
𝒙𝟖
𝟐𝒚
𝒊 𝟐 𝐢𝟐 𝟒 𝟖 𝐳 × 𝐢 𝟐 𝒊 𝟐 البؤرة )𝟎 𝒑( )𝟎 𝟐 (
𝒙)𝟐 (𝟒
𝒙𝒑𝟒
) (2بإرته تنتمً ألحد المحورٌن ودلٌله ٌمر بالنمطة )(3,4 انحم / ٌوجد دلٌالن 𝟒 𝒑 ∵ الدلٌل ٌمر بالنمطة ) (3,4ولم ٌحدد الي المحورٌن ٌوازي ٌوجد بإرتان االولى )𝟒 𝟎( والثانٌة )𝟎 𝟑 ( مما ٌعنً وجدود لطعان مكافئان معادلة القطع المكافئ األول
𝟐𝒚
𝒙𝟐𝟏
معادلة القطع المكافئ انثاوً
𝟐𝒙
𝒚𝟔𝟏
𝟐𝒚
𝟑
𝒑
𝒙)𝟑(𝟒
𝒙𝒑𝟒
𝟐𝒚
𝒚)𝟒(𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟐𝒙
)ٌ (3مر برإوس المثلث ABCحٌث )𝒎 𝟐(𝑪 )𝟒 𝟐 (𝑩 )𝟎 𝟎(𝑨 ثم أوجد لٌمة m ∵ النمطة ) (2,mتمع أما فً الربع األول أو الرابع انحم / النمطة ) (2,mللربع األول لكً ٌتحمك المطع البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝒚𝒑𝟒 ∵ المطع ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟐 ( فهً تحممه معادنت انقطع 𝒚
𝟐𝒙
𝟏 𝒚 𝟒
𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟏 𝟒
𝟐𝒙
𝐩
𝟐𝒙 𝟒 𝟔𝟏
)𝟒(𝒑𝟒
𝒑
𝟐)𝟐 (
∵ النمطة ) (2,mتمع على المطع لذا فهً تحمك معادلة المطع 𝟒
96
𝐦
𝐦
𝟐)𝟐(
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
) (4رأسه نمطة األصل ومعادلة دلٌله 𝟎
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟑√
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒚𝟐
انحم / 𝟑√ 𝟐
𝟑√ 𝟐
𝐩
معادلة القطع المكافئ
𝐲
𝐲𝟐
𝟑√
𝟑√ 𝒚 𝟐
𝟐𝒙
𝒚𝟑√𝟐
𝟎 𝟒
𝟑√
𝒚𝒑𝟒
𝒚𝟐 𝟐𝒙
******************************************************************
س : 1فً كل مما ٌؤتً جد البإرة ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ : )𝟐
𝟐
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟖𝟐
𝟐
) (
(𝟖
𝟎 𝟎
س : 2أذا كان دلٌل المطع المكافئ ٌمر بالنمطة )𝟓 𝟐 ( والرأس فً نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه تنتمً ألحد المحورٌن س :3فً كل مما ٌؤتً جد معادلة المطع المكافئ الذي : (أ) بإرته )𝟎 𝟕 ( والرأس فً نمطة األصل . (ب) معادلة الدلٌل له 𝟎
𝟑
𝟐 والرأس فً نمطة األصل .
(ج) بإرته تنتمً لمحور السٌنات وٌمر بالنمطة )𝟔 𝟑( والرأس فً نمطة األصل . (د) بإرته تنتمً لمحور السٌنات و دلٌله ٌمر بالنمطة )𝟓 𝟒 ( والرأس فً نمطة األصل . (ب) معادلة الدلٌل له 𝟎
𝟑√
𝟐 والرأس فً نمطة األصل .
س :4أذا كانت النمطة )𝟒 𝟐( تنتمً للمطع المكافئ ومعادلة الدلٌل
)𝟒
(
س : 5بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي : ( أ ) بإرته )𝟎 𝟒( والرأس فً نمطة األصل والرأس فً نمطة األصل ( ب ) معادلة الدلٌل 𝟎 𝟓
97
𝟐
فجد لٌمة ) ( ثم جد أحداثً البإرة
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع النالص( الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعة نماط المستوي) تساوي عددا ثابتا لٌمته تساوي ) 𝟐( (
التً ٌكون مجموع بعدي أي نمطة منهذا عذن نمطتذٌن ثذابتتٌن تسذمٌان البإرتذان
معادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) تعرٌف القطع الناقص( ( 𝟐) (√ 𝟐)𝟎 𝟐)𝟎 (√ ( 𝟐) 𝟐 𝟐)𝟎
𝟐
𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐)𝟎 𝟐 𝟐 𝟐) ( 𝟐) 𝟐 )𝟒 ( )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث 𝟎
𝟐
𝟐)
( (
𝟐)
𝟐 𝟐 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟐) (√ 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 (𝟐 𝟐 )𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
[
)𝟐 )𝟐 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 (𝟐
𝟐 𝟐
)𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
حٌث أن )
( )
(√ (√ 𝟐
𝟐 𝟐
]نفرض
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
وبإرتا هً )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 رأسا المطع النالص هما )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 (𝟐 بذذذنفس األسذذذلوب ٌمكننذذذا أٌجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمٌذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذً (𝟐
𝟏 )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟏
)
حٌذذذذث أن رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا ) 𝟎( 𝟐
98
𝟎( 𝟏
)
𝟎( 𝟐
وبإرتذذذذذا هذذذذذً
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحظ الشكل التالً :
مالحظات : ① دائما )
( حٌث أن )𝟎
( )
② طول المحور الكبٌر
𝟐
③ طول المحور الصغٌر ④ البعد بٌن البإرتٌن ⑤ دائما ٌكون
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 √
⑥االختالف المركزي
( ولٌمة )
حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
√
⑦ مساحة المطع النالص 𝟐
⑧ محٌط المطع النالص
𝟐
𝟐
√ 𝟐
𝟐𝟐
حٌث أن ) 𝟕
(
𝟐
⑨ النسبة بٌن طول محورٌه ⑩ أذا مر المطع بنمطة أحد إحداثٌاتها صفر فاإلحداثً الثانً هو أما ) ( أو ) ( واألكبر هو) ( واألصغر هو ) ( ⑪ الحظ الجدول أدنا : لطع نالص بإرتا على محور السٌنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات 𝟐
المعادلة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
البإرتان ) الرأسان ) 𝟎( 𝟏
𝟎( 𝟏
المعادلة ) )
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟐
البإرتان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
𝟎( 𝟐
الرأسان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
99
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)11فً كل مما ٌؤتً جد طول كل من المحورٌن وأحداثً كل من البإرتٌن والرأسٌن واالختالف المركزي 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟒 ②
𝟐
𝟔𝟏
①
𝟓𝟐
الحل )(1
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟑
𝟗
c
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏 𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟑
(𝟐
𝟓𝟐
𝑎2
طول المحور الكبٌر
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟖
)𝟒(𝟐
𝟐
البعد البؤري
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟔𝟏
b
)𝟎 𝟑(
𝟐
𝟓
𝑎
الرأسان )𝟎 𝟓
𝟏
االختالف المركزي
(𝟐
)𝟎
𝟓( 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
الحل )(2 𝟑 𝟒 𝟐
𝟏
𝟏 𝟑
c
𝟏 𝟗
𝟏 𝟑
𝟒 𝟗
𝟐
𝟏 البؤرتان 𝟑
𝟒 )𝟗( 𝑎2
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟑( 𝟏
𝟐
𝟑√
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
b
𝟏 𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟐 الرأسان 𝟑
𝟏
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 ) 𝟑(
𝟏
𝟏 )𝟑(
طول المحور الكبٌر
االختالف المركزي
100
×
وحدة
𝟎
𝟒 𝟑
𝟐
𝑎 𝟒 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟑√
𝟑√
𝟎
𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
)𝟑 (
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟑 (
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒 𝟒 )𝟑(
𝟒 𝟗
𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)12جد معادلــــــة المطع النالـــص الذي بإرتــــــا )𝟎 )𝟎 𝟓( 𝟏 )𝟎 𝟓 ( 𝟐 ومركز نمطة االصل .
𝟑( 𝟏
ورأســـــا النمطـــــتـــان
(𝟐
)𝟎 𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحل/
∵ البإرتان والرأسان ٌمعان على محور السٌنات والمركز فً نمطة األصل ⇐
𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝑪
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐𝑪
𝟑
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟓
𝟐𝒃
𝟐𝒃
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐𝑪
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
مثال ( /)13جد معادلـــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وٌنطبك محورا على المحورٌــــن اإلحداثٌٌن وٌمطع من محور السـٌنات جزءا ً طوله )𝟖( وحدات ومن محور الصادات جزءا ً طوله )𝟐𝟏(وحدة,ثم جد المسافة بٌن البإرتٌن ومساحة منطمته ومحٌطه . الحل/ )البؤرة تقع على الصادات( 𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝟔
𝒂
𝟐𝟏
16
𝑏2
4
b
𝟖
𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟐
المحور الصغٌر
𝟐
) معادلة القطع الناقص( 𝟔𝟑
المحور الكبٌر
𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟓√𝟐 ) انمسافت بٍه انبؤرتٍه( )وحدة مربعة ( 𝟐𝟓 √ 2 2
24 𝟔𝟏 2
101
𝟎𝟐√
𝐜
𝟓√𝟒
𝟓√𝟐 𝟔
𝐜𝟐 انمساحت
2
2
2
√ 2
)وحدة ( 𝟓√ 𝟑
𝟐𝒃
𝟐𝒂
)(6)(4
𝟔𝟑 √ 2
𝑥2 𝟔𝟏
𝟔𝟐√2
انمحٍط 𝐩
االختالف المركزي
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة 𝟐
مثال ( /)14لتكن 𝟔𝟑 )𝟎 𝟑√( جد لٌمة
𝟒
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلـــة لطع نالـــــــص مــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتٌــــــــه وزاري / 2015د1
الحل/ )𝟔𝟑 ( 𝟏
∵ البإرة )𝟎 𝟑√( تنتمً لمحور السٌنات
⇐ المانون
𝟔𝟑
𝟑
𝑎2
𝟔𝟑 𝟐𝟏
𝐤
𝟏
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)
𝟐
𝟗
𝟏 (
𝟐
𝟑
𝟔𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟒 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟑√
𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
مثال ( /)15جد معادلـــة المطع النالــص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور الســــــٌنات والمسافة بٌن البإرتٌن )𝟔( والفرق بٌن طولً المحورٌن )𝟐( وحدة . الحل/ 3 𝟏 𝟓
𝒂
𝟒
𝐛
𝟐
𝟖
𝟐𝒃
𝟗
𝟐𝒃
𝟐
𝟏 𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐)
𝟏(
) معادلة القطع الناقص(
c
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
مثال ( /)16جد معادلـــة المطع النالـــص الذي مركز نمطــــــة األصــــل وأحدى بإرتٌه بإرة المطـــع المكافــــئ 𝟐𝟏 𝟐 وطول محور الصغٌر ٌساوي )𝟎𝟏( وحدات . 𝟎 الحل /من المطع المكافئ المعطى : البورة) (3
3
p
المطع النالص :البإرتان )𝟎 𝟑 𝟒𝟑
𝑎2
12 (𝟐
𝟗
)𝟎 𝟓𝟐
4p
𝟐
𝟒
𝟑( 𝟏
⇐
𝑎2
) بانمقاروت مع(
𝟑 𝟐
𝟐
𝑎2
𝟓
) معادلة القطع الناقص(
102
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏 𝟏
𝑦2 𝟓𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟑
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)17بؤستخدام التعرٌف ,جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : )𝟎 𝟐 ( 𝟐 والعدد الثابت 𝟔 . )𝟎 𝟐( 𝟏
الحل/
) تعرٌف القطع الناقص( (√ ( 𝟐)𝟐 (√ 𝟐)𝟎 ( 𝟐)𝟐 )𝟑(𝟐 𝟐)𝟎 𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 (√ 𝟐)𝟐 (√ 𝟔 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ( 𝟐)𝟐 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 )𝟒 ( (√𝟐𝟏 𝟐)𝟐 𝟖 𝟔𝟑 𝟐 𝟐 (√𝟑 )𝟐 𝟐 𝟗 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 )𝟐 (𝟗 𝟒 𝟒 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟒 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟐 )𝟓𝟒 ( 𝟓 𝟗 𝟓𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
مالحظة لرسم لطع نالص ولٌكن المطع 𝟏 ① نعٌن النمطتٌن )𝟎 ② نعٌن النمطتٌن )
(𝟐 𝟎( 𝟐
③ نصل بٌن النماط األربعة ④ نعٌن البإرتٌن )𝟎
𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟎
(𝟏
)
𝟎( 𝟏
𝟐
)𝟎
𝟏
نتبع الخطوات التالٌة :
𝟏
بالترتٌب حتى ٌتكون منحنً متصل
(𝟏
103
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع النالص (:أنسحاب محاور ) : ①المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز النمطة )
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
( )
𝟏
𝟐)
(
)𝟎 )𝟎 (
𝟐)
𝟐
(
( 𝟐
( )𝟎 𝟎(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
انزأسان انثؤرتان انمزكش
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
𝟎(
انزأسان
)
(
)
𝟎(
انثؤرتان
)𝟎 𝟎(
انمزكش
) 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐)
( 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
لثم األوسحاب
المحذذور الكبٌذذر ٌذذوازي محذذور السذذٌنات ومعادلتذذه )𝒌 𝒚( والمحذذور الصذذغٌر ٌذذذذذوازي محذذذذذور الصذذذذذادات ومعادلتذذذذذه )𝒉 𝒙(
انماوُن
②المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز النمطة )
(
( ومحور الكبٌر ٌوازي المحور السٌنً:
انماوُن
104
( َمحُري انكثٕز ُٔاسْ محُر انصاداخ
لثم األوسحاب المحذذور الكبٌذذر ٌذذوازي محذذور الصذذادات ومعادلتذذه )𝒉 𝒙( والمحذذور الصذذغٌر ٌذذذذذذوازي محذذذذذذور السذذذذذذٌنات ومعادلتذذذذذذه )𝒌 𝒚(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ①معادلة المحور الكبٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور السٌنات ورأسه )
( هً )
(
②معادلة المحور الكبٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور الصادات ورأسه )
( هً )
(
③ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
④ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
⑤ ستمتصرررز دراسرررتىا فرررٓ مُارررُى االوسرررحاب عهرررّ أٔجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال َتؤرتررراي َانزاسررران َطرررُل محُرٔررررً انكثٕررررز َانصرررركٕز َمعادنررررح كررررم مرررره انمحررررُرٔه َحسرررراب مسرررراحح َمحررررٕ انمطررررع انىررررال َأجرررراد االختالف انمزكشْ .
مثال (/)18
جــــــــــد البإرتٌن والرأســـــــــــــــــٌن والمطبٌن و طـــــــــــــول ومعادلة كل من المحورٌن للمطع
النالص 𝟏 الحل/
𝟐)𝟏
(
𝟐)𝟐
𝟓𝟐
(
ثم جد لٌمة e؟
𝟗
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
( 𝟐
مركز القطع الناقص )(2 1
4
C
)معادنت انمحىرانصغٍر(
1
)𝑘 (ℎ
𝟏
)طول المحور الكبٌر( وحدة 𝟎𝟏
2
)طول المحور الصغٌر( وحدة 𝟔
2
16 𝑦
9
𝑘
25
انبؤرتان )3 انرأسان )4
2 (2
انقطبان )1 1
(2
𝟐
𝑎 3
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
b 𝟐
𝟐
𝟐
2
𝑥
)(2 5
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(2 6
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)
)(5 1 𝟏
105
𝟓
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑦 2 (2
𝟐
𝟐
𝟒 𝟓
2 (ℎ
𝑥
ℎ
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عذٌن كذل مذن البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن والمركذز ثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركزي نهمطُى انىالصح انمثٕىح معادالتٍا فٓ كم مما ٔأتٓ : 𝟐
𝟏
ⓐ
𝟐
𝟐
الحل/ 𝟏 𝟐√
b
𝟏 𝟐
𝟐
𝑏2
1
𝟏
𝑎
𝑎2
𝟏
وحدة 𝟐
)طىل انمحىرانكبٍر (
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒄
القطبٌن)طرفا المحور الصغٌر(
𝟏
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
106
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐√ 𝟏
( والمركز )𝟎 𝟎(
𝟏
𝟏 𝟐√
𝟎
𝟐𝒃
𝟐
(𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐√
الرأسان )𝟎 𝟏 البؤرتان 𝟎
𝟐
𝟐
𝟏
وحدة 𝟐√
𝟐√
)𝟏(𝟐
𝒂𝟐
𝟐√
𝟐𝒄
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
𝟏 )𝟐(
𝟏
𝟏
وحدة 𝟐√
)طىل انمحىرانصغٍر (
𝟐
)𝟎 𝟎
𝟏( 𝟏
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟎
𝟏
𝟏
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟕𝟏𝟏
𝟗 ⓑ
𝟐
𝟑𝟏
الحل /بالمسمة على )𝟕𝟏𝟏( 𝟐
𝟑
𝟗
b
𝑏2
𝑎
𝟑𝟏√
𝑎2
𝟑𝟏
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟑𝟏√𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر ( 𝟐
𝟗
𝟒
𝟐𝒃
𝟑𝟏
𝟏
𝟐𝒂
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
𝟐)
2√14
(
انبؤرتان )1
انرأسان )1
5
انقطبٍه )6
(
ⓒ
𝟓𝟐 )𝑘 (ℎ
𝟐
𝟗 1
𝑎 𝑘
𝟏𝟖
𝟐
4
ℎ
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟖𝟏
)𝟗 (𝟐
𝒂𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر (
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐𝒃
𝟏𝟖
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒄
وحدة 4√14 1 4
𝟐𝒃
𝟐𝒂 𝟐
)𝟐(2√14 𝑦
𝑘
𝑦
𝑥
ℎ
𝑥
2√14
(4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)1
(13
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(4 4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
2√14 𝟗
(2 2 (4
107
𝟎( 𝟐
)𝟑 𝟎(
𝟏
(
)معادنت انمحىرانصغٍر(
2√14
(𝟐
)𝟎 𝟐(
𝟐)𝟒 𝟏𝟖
(
)معادنت انمحىرانكبٍر( 2 (4
𝟑𝟏√( 𝟏
𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
)1
)𝟐(𝟐
االختالف المركزي
𝟐)𝟏 𝟓𝟐
𝟐)
b 5 انمركز )(4 1
𝑐
𝟐
𝟏
𝟑𝟏√
𝟐
𝟔𝟓
𝟐𝒂
( والمركز )𝟎 𝟎(
وزاري / 2013د2
الحل/
𝟐𝒃
)𝟎
𝟐
𝟏
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
)𝟑(𝟐
𝟐
(𝟐
القطبٌن )𝟑
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
)𝟑𝟏√(𝟐
وحدة 𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟐
𝟑𝟏 𝒂𝟐
𝟐𝒄
الرأسان )𝟎 𝟑𝟏√
𝟏
𝟗
وحدة 𝟔 𝟐𝒄
𝟐
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟐)𝟐
وزاري / 2013د1 الحل/
𝟐)
𝟐)
(
(
𝟐
انمركز )2
b
( 3
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟐
3
ℎ
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓 (𝟐
𝒂𝟐
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟓
)𝑘 (ℎ
𝟗
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝑘
𝟐𝒄
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
انبؤرتان )6 انرأسان )7 انقطبٍه )2
3 3
6
(2 (2
(2
𝟐𝒄
𝟐𝒃
وحدة 8
𝟐𝒂
)𝟐(4
𝟐
)معادنت انمحىرانكبٍر(
3
𝑥
ℎ
𝑥
)معادنت انمحىرانصغٍر(
2
𝑦
𝑘
𝑦
)( 3 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)( 3 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)2
)
(
𝟒𝟒𝟏
2 (ℎ
4 𝟓
𝟏
𝟎
𝑎
2
)طىل انمحىرانصغٍر ( 𝑐
𝟗
(
)طىل انمحىرانكبٍر (
𝟔𝟏
(
𝟐
3
الحل/
𝟐)𝟑
𝟓𝟐
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
4
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔𝟗
االختالف المركزي
𝟐𝟕
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗 ⓔ
نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟒𝟏
) 𝟔
𝟐
بإضافة )𝟖𝟖𝟐( الى طرفً معادلة المطع انىال
(𝟔𝟏
) 𝟖
𝟐
𝟒𝟒𝟏
(𝟗
𝟐𝟕
𝟔𝟗
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل 𝟖𝟖𝟐
𝟒𝟒𝟏
)𝟗
𝟐
𝟔
)𝟒𝟒𝟏 ( 𝟒𝟒𝟏 معادلة القطع الناقص
108
𝟏
)𝟔𝟏
(𝟔𝟏 𝟐)𝟑 𝟐)𝟑 𝟗
𝟖
(𝟔𝟏
𝟐)𝟒
(
𝟐)𝟒 𝟔𝟏
𝟐
(𝟗 (𝟗 (
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد 𝟐)
𝟏
𝟐)
( 𝟐
(
3
√7
𝑐
)معادنت انمحىرانصغٍر(
4
وحصم عهّ
𝟐
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟒(
𝟕
)
b
(
𝟑
𝟐
𝟗
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟖
)𝟒 (𝟐
𝒂𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر (
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟒
𝟐𝒂
انبؤرتان )√7 3
انقطبٍه )
وحدة 2√7
(2
𝟎
)𝟐(√7 𝑦
3
𝟐 𝑦
𝑘
(4
)
2 (ℎ
)(8 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)(4 6
2 (4
𝟐𝒃
)
)
2 (ℎ
√7 𝟒
𝟏
الحل/
𝟐𝒄
𝟐𝒂
(ℎ
)√7 3
انرأسان )3
𝟐𝒄
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥
2 (4
𝟐
𝑎
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( 𝑥
𝟒 𝟔𝟏
𝟗
ℎ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒𝟎𝟐
االختالف المركزي
𝟎𝟓𝟏
𝟐
𝟒
ⓕ
𝟐
𝟓𝟐
نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟎𝟐
𝟐
) 𝟔
بإضافة )𝟗𝟐𝟐( الى طرفً معادلة المطع انىال )𝟓𝟐 ( 𝟓𝟐
𝟐)𝟑
(𝟓𝟐
𝟐)𝟐
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟐
) 𝟒
(𝟓𝟐
(
𝟎𝟓𝟏
𝟒𝟎𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓𝟐
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل (
𝟏
𝟗𝟐𝟐
𝟐)
)𝟗
𝟔
𝟒𝟎𝟐
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐)
( 𝟐
( 𝟐
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟐 ( 1
109
b
𝟐
(𝟓𝟐
𝟐)𝟑
)𝟒 (
𝟏
𝟒 𝟐)𝟐 𝟓𝟐
𝟐
(
وحصم عهّ : (
) 𝟏
𝟑 𝟐
𝟓
𝟐 𝑎
𝟓𝟐
𝟐
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓 (𝟐
𝒂𝟐
وحدة 𝟐
)𝟏(𝟐
𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر ( 2√6
𝑐
√24
𝟒𝟐
𝑐
𝟏
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟐𝒂
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( )معادنت انمحىرانصغٍر(
2
انبؤرتان )2√6 3
𝑥
ℎ
2
(2
𝟐𝒄
𝟐𝒄
وحدة 4√6
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥
𝟐𝒂
𝟐𝒃
) 𝟐(2√6 𝑦
3
𝟐 𝑦
𝑘
)2√6 3
( 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
(2
)(3 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
انرأسان )7 3 انقطبٍه )2 2
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
)( 2 4
(2
2 (ℎ
) √24 𝟓
𝟏
االختالف المركزي
س / 2جد المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز فً نمطة األصل فً كل مما ٌؤتً : (أ) البإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓( و )𝟎 𝟓 ( وطول محور الكبٌر ٌساوي )𝟐𝟏(وحدة الحل/ 𝟓𝟐
𝟐
𝟓
𝟏𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟑
𝟓𝟐
𝟐𝒄
)𝟎 𝟓 𝟐𝒂
𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝒂
𝟔 𝟐𝒃
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒄
) معادلة القطع الناقص(
(ب) البإرتان هما )𝟐
(𝟐
)𝟎
y2 𝟏𝟏
𝟏
𝟓( 𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
𝟎( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
الحل/ ) البؤرتان تنتمٌان الى محور الصادات(
نمط التماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟐
تمثل المطبٌن وهً )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( 𝟎𝟐
𝟐𝒂
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
110
𝟎( 𝟐
⇐
)𝟐
𝟔𝟏
𝟏
𝟐
𝟔𝟏 𝟐𝒄
𝟎( 𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 y2
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(ج) أحدى بإرتٌه تبعد عن نهاٌتً محور الكبٌر بالعددٌن 𝟏 𝟓 وحدة على الترتٌب الحل/ 𝑎2
𝟗 𝟒 𝟐
𝟓
3 𝑐2
𝟒
𝑎 2
𝟗
6 𝑐
𝟐𝒄
𝑎2 4
𝟐𝒂
2c 𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟓
𝟏
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟓 𝟗
عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟗 𝟓 𝟐
(د) االختالف المركزي
𝟏 𝟐
𝟐
وطول محور الصغٌر )𝟐𝟏( وحدة طولٌة
الحل/ 𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
c 𝟐
𝟖𝟒
𝟐
144
𝟐𝒂3
𝟐𝒂
𝟐𝒂4
144
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات 𝟐 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟔𝟑 𝟖𝟒
𝟔𝟑 𝟐𝒂 𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒂 𝟒
𝒃
𝟏 𝟐 𝟐𝟏
𝑐 𝑎 𝟔
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒂
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟖𝟒 𝟔𝟑 𝟐
(هـ) المسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟖( وحدات ونصف محور الصغٌر ٌساوي ) (3وحدة الحل/ 9
b2 16
𝟓𝟐
3 c2
𝟐
𝒂
𝑏 𝟒
𝟔𝟏
𝟗
𝟏 𝟑 ) 𝟐( 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 𝒂 𝟐𝒄 𝟐𝒃
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات ) معادلة القطع الناقص(
𝟏
y2 𝟗
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 2
𝟐
𝒙 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
111
𝟏
y 𝟓𝟐
𝟐
𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع النالص أذا علم : ⓐبإرتا النمطتان )𝟐
𝟎( ومركز فً نمطة االصل .
𝟎( ورأسا النمطتان )𝟑
الحل/ 𝟐
𝟑 ) حسب التعرٌف( 𝟐)𝟐
)𝟑(𝟐
𝟐)𝟎
( 𝟔
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐)𝟐
𝟐)𝟐
(
𝟔𝟑
𝟖
𝟐)𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟐
𝟒
)𝟒
𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟐
𝟐
) 45
112
𝟔
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
√𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟔𝟑
√
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
𝟗
𝟐)𝟎
(√ √
𝟔𝟑
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟏𝟖
𝟐
𝟐
(
𝟒
)𝟒 (
𝟏𝟖
𝟐
(
( 𝟐
𝟐)𝟐
(√
𝟐)𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟒
𝟐
√𝟐𝟏 √𝟑
𝟐
(𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
𝟏𝟖
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
(
𝟓𝟒
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
1
𝑦2 9
𝑥2 5
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑالمسافة بذٌن البذإرتٌن )𝟔( وحذدة والعذدد الثابذت )𝟎𝟏( والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذٌنات ومركذز فذً نمطة االصل . الحل/ البؤرتان )𝟎 𝟑 ( الراسان)𝟎 𝟓 (
𝟑
𝟔 𝟎𝟏
𝟓
𝟐 𝟐
وباالعتماد على تعرٌف المطع النالص 𝟐 )𝟓(𝟐
𝟐)𝟎
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟐
𝟗
𝟔
𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐)𝟎
(√ 𝟐)𝟑
𝟐)𝟑
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟎𝟏
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟐)𝟑
(√𝟎𝟐
𝟎𝟎𝟏
)𝟒 (
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟗 𝟐)𝟑
𝟐 𝟐)𝟑 𝟑 𝟓𝟐 ) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( )𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟐 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐𝟔 )𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
113
𝟏
1
𝑦2 16
𝟔
𝟐
(√𝟎𝟐 (√𝟓 𝟐 (𝟓𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟐 𝟔𝟏
𝑥2 25
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 س / 4جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل واحذذدى بإرتٌذذه هذذً بذذإرة المطذذع المكذذافئ الذي معادلته )𝟎 𝟖 𝟐 ( علما ان المطع النالص ٌمر بالنمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( الحل /فً المطع المكافئ : البورة)𝟎 𝟐 (
𝒑
𝟐
𝟒
𝟖
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
فً المطع النالص : البإرتان )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
⇐
والمانون هو
𝟐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
النمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟑
𝟐
𝟏
𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒂
) وعىض فً①( 𝟎
𝟐𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐𝒃𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
)𝟑√(
𝟏 𝟐𝒃
𝟒 𝟐
𝟐𝟏
)𝟒
𝟎
𝟐𝒂
𝟐𝒄 𝟐
)𝟒
𝒃(
)𝟑√𝟐(
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 𝟐
𝒃(𝟑
𝟐
()𝟐𝟏
𝟐 𝟐𝟏 𝟔𝟏 𝟐 𝒚 ) معادلة القطع الناقص( 𝟏 𝟐𝟏 ٌهمل 𝟏
𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐𝒙 𝟔𝟏 𝟐
س / 5جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذٌنات وٌمذذذر بالنمطتٌن )𝟐 𝟔( )𝟒 𝟑( ∵ البإرتان على محور السٌنات ⇐ المانون هو
الحل/
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟐 𝟔( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟒
𝟏
𝟔𝟑
𝟒
𝟔𝟑
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟒 𝟑( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ②( 𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟔𝟏 𝟐 𝟗 وبحل المعادلتٌن انٌا بالطرح نحصل على المعادلة التالٌة 𝟐 𝟗 𝟒 𝟒 𝟗 𝟒
) وعىض فً①( 𝟒
𝟗 𝟓𝟒
𝟐
𝟎𝟖𝟏 𝟐
𝟎𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟓𝟒 𝟎
𝟐
)𝟎𝟐
𝟏
𝟐𝒂𝟒
𝟗
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟕𝟐 𝟐
𝟎
𝟗
𝟐
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟐
𝟎𝟐
𝟐)𝟑(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
𝟒
𝟐𝒂
𝟐)𝟒(
𝟎
) معادلة القطع الناقص(
114
𝟐
𝟏
𝟐𝒂
𝟐
𝟐)𝟐(
𝟏
𝟐)𝟔(
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎𝟖𝟏
𝟐𝒚 𝟎𝟐
𝟕𝟐 𝟐
𝟒
𝟐𝒙 𝟓𝟒
𝟔𝟑 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6جـــــذذذـد معادلــــــذذذـة المطذذذع النالـــــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصــذذذـل وبإرتذذذا نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذً 𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟐𝟏 𝟑 𝟔𝟏 الحل ∵ /المنحنً )𝟔𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
( ٌمطع المحور الصادي ⇐
𝟎 𝟒
البإرتان )𝟒
𝟎( )𝟒 𝟎(
⇐
𝟐
𝟔𝟏
والمانون هو
𝟔𝟏
𝐲
𝟏
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
من المطع المكافئ المعطى 𝟑
𝟐𝟏
𝒑
𝟒
𝟐
𝟒
وقطت انتماس )𝟎 𝟑 (
𝟐𝟏
𝟐
𝐩
𝐱
) بانمقاروت مع(
دنٍم انقطع انمكافئ 𝟑
𝒙
∵ النمطة )𝟎 𝟑 ( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها 𝟐
𝟗
𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟐)𝟎(
𝟏 16
𝟐𝒂
𝟐
𝑐2
9
) معادلة القطع الناقص(
𝟐)𝟑 (
𝟏
𝑏2 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝑎2 𝟐𝒙 𝟗
س / 7جـــــــــد معادلة المطع النذالص الذذي بإرتذا تنتمذً الذى محذور الســــــــذـٌنات ومركذز فذً نمطذة األصــذـل 𝟖 𝟐 عنذذد النمطذذة التذذً وطذذول محذذور الكبٌذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغٌر وٌمطذذع المطذذع المكذذافئ 𝟎 احداثٌها السٌنً )𝟐 ( الحل ∵ /البإرتان تنتمً لمحور السٌنات
المانون هو
⇐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ طول المحور الكبٌر ضعف طول المحور الصغٌر 𝟐
من المطع المكافئ المعطى نعوض لٌمة )𝟐 𝟎
𝟒
النقطتان )𝟒
𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
) 𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐 (𝟖
𝟎
𝟐
𝟖
𝟐 ( )𝟒 𝟐 ( تنتمً للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فهً تحمك معادلة المطع النالص 𝟏
𝟔𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 𝟐
𝟒 𝟐 𝟒
𝟏
𝟒 𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐
𝟕𝟏 𝟖𝟔
𝟐
) معادلة القطع الناقص(
115
𝟏
𝟐)𝟒( 𝟐
𝟐
𝟏 )𝟕𝟏(𝟒 𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟕𝟏
𝟒
𝟐)𝟐 ( 𝟐𝒂 𝟕𝟏 𝟐 𝟐
𝟐𝒙 𝟖𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐 و مركز نمطة االصل ومجموع مربعً طولً محورٌه س / 8لطع نالص معادلته 𝟔𝟑 𝟑√𝟒 𝟐 ما لٌمة كل من ٌساوي )𝟎𝟔( واحد بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي معادلته
من المطع المكافئ المعطى
الحل/
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟑√𝟒
𝒑
𝟑√𝟒
البؤرة )𝟎 𝟑√( 𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟑√ ( )𝟎 𝟑√( ⇐ 𝟑
𝟑√
⇐ المانون
𝟏
)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝒉
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐𝒚
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
𝟔𝟑
)𝒉(
) (
∵ مجموع مربعً طول محورٌه = 𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟗
𝟓𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
3
𝟒
𝟐) 𝟐(
𝟎𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟔𝟑 𝟗 𝟔𝟑 𝟔
𝟒 𝟔
𝟐) 𝟐( 𝟐
𝟔𝟑 𝒉 𝟔𝟑 𝒌
𝟐𝒂 𝟐𝒃
س / 9جـــذـد معادلــذـة المطذع النالــذـص الذذي مركذز نمطـــــــذـة االصـــــــذـل واحـــذـدى بإرتٌذه هذً بذإرة المطذع المكافئ 𝟒𝟐 𝟐 ومجموع طولً محورٌه )𝟔𝟑( وحدة . وزاري / 2012د3 الحل /من المطع المكافئ المعطى 𝟒
𝟐
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟔 𝟎(
بإرتا المطع النالص )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟎( ⇐ 𝟔𝟑 𝒃
36
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝒂
𝟒𝟐𝟑
𝟖
⇐ المانون 𝟖𝟏
36
𝐛
𝟐
288 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝒃
)𝒃
𝒂
𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
𝟖
𝒃 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
36
) معادلة القطع الناقص(
116
𝟒𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏(
𝟔𝟑
𝟒𝟐
𝐩
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟐𝟑 𝟖𝟏
𝒂
𝟐𝒚 𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تنتمً للمطع النالص س / 10جد معادلة المطع النالص الذي بإرتٌه )𝟎 𝟒( 𝟐 )𝟎 𝟒 ( 𝟏 والنمطة وزاري / 2014د1 ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة . بحٌث أن محٌــــــط المثلث 𝟐 𝟏 الحل/ )𝟎 𝟒( 𝟐
𝟔𝟏
∵ محٌــــــط المثلث
𝟐 𝟏
)𝟎 𝟒 ( 𝟏
𝟐𝐂
𝟒
ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة وحسب تعرٌف المطع النالص : )معادلة ① ( 𝟒𝟐 وحدة 𝟖
) المسافة بٌن البؤرتٌن(
) حسب تعرٌف القطع الناقص(
𝟐 𝟏
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝐂𝟐
𝒂𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
وبالتعوٌض فً )معادلة ① ( نحصل على ما ٌلً : 𝟒𝟔 𝟖𝟒
𝟐
𝟐
𝟖 𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( ⇐ المانون
16
𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص(
117
𝟒𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝟐
𝟖 𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /لكل مما ٌؤتً جد معادلة المطع النالص الذي : ⓐبإرتا )𝟎 𝟑( )𝟎 𝟑 ( وطول المحور الكبٌر ) 𝟎𝟏 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟔𝟏
𝟒
𝟗
𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓
𝟑
𝟎𝟏
) معادلة القطع الناقص(
ⓑرأسا )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐
𝟐𝒙 𝟓𝟐
𝟎( وطول المحور الصغٌر ) 𝟖 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟒
𝟔
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐 𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟑
ⓒأحدى بإرتٌه )𝟒 𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محور الصغٌر والمسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟒( 𝟓
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟑
𝟑 𝟒
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟗
𝟐 𝟐 𝟐𝒚 𝟓𝟐
ⓓمركز نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟎 𝟒 ( )𝟑 𝟎( ثم جد مساحته ومحٌطه ) معادلة القطع الناقص( )وحدة مربعة (
)وحدة (
𝟐√5
𝑦2 𝟗
𝟏
12 𝟓𝟐 √ 2 2
118
𝟐𝒙 𝟔𝟏
𝟑
)(4)(3 𝟗 2
𝟔𝟏 √ 2
𝟒 انمساحت
2
2
2
√ 2
انمحٍط
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
ⓔمركز نمطة األصل وأحد لطبٌه ٌمر بؤحدى نمطتً تماطع المستمٌم الحل /ألٌجاد نمط التماطع نجعل )𝟎 )𝟎 𝟒(
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟖
𝟐
( ثم نجد لٌم ) ( ثم نجعل )𝟎 𝟎
𝒙𝟐 𝑦2 𝟒𝟔
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟏
( ألٌجاد لٌم ) ( )𝟖 𝟎(
𝒚 𝒇𝒊 ) القانون ( 𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟖
𝑦2
𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝟎
𝒚
𝟖
𝟒
ⓕمركز نمطة األصل ومحور الكبٌر ٌنطبك على محذور السذٌنات والبعذد الثابذت لذه )𝟎𝟏 وحدات( وطذول محذور الصغٌر )𝟔 وحدات( ) معادلة القطع الناقص(
ⓖأحدى بإرتٌه )𝟑
𝑦2 𝟗
𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
3
𝟔
b
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟏
𝟒
𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محورٌه تساوي )𝟓( 𝟒 𝟓
𝟐𝒂𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟐𝒂𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒂
𝟗
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟐 16 𝒂 25 𝟐𝒄
𝟐𝒄 𝟐𝒂
𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
𝟑 𝟐𝒃
𝟓𝟐𝟐 𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝟏
ⓗأحدى بإرتٌه )𝟎 𝟒( ومركز نمطة األصل واختالفه المركزي )𝟐( 𝟖𝟒
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟖
4 𝑎
𝟏 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
119
𝟒
𝟏
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝑥2 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟑
ⓘمركز نمطة األصل وبإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ومساحته ) 𝟒𝟐( والنسبة بٌن طول محورٌه )𝟖( ) معادلة 𝟖
𝟗
𝟑
𝑏2
𝟐𝟕
(
𝑏8 𝟑
8𝑏 2
24 𝑏
𝑎
24 𝑏
𝟒𝟐
𝑏8 𝟑
𝑏8
𝟑 𝟖
𝑎3
) معادلة القطع الناقص(
𝟐 𝟐
𝟐𝒚 𝟗
𝟏
𝑥2 𝟒𝟔
ⓙمركز نمطة األصل ومحورا ٌنطبمان على المحورٌن اإلحداثٌٌن وأحدى بإرتٌه هً بإرة المطذع المكذافئ الذذي 𝟐𝟏 𝟐 ( وطول محور الكبٌر ضعف طول محور الصغٌر معادلته )𝟎 الحل /من المطع المكافئ : البورة)( 3
3
12
p
4p
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟐𝟏
من المطع النالص : البإرتان )𝟑 𝟑
𝟐
𝟗
𝟎( )𝟑 𝟎( 𝟐
𝟑
𝟗
𝟐
⇐ 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
⇐المانون هو
𝟑 𝟗
𝟒 𝟏
𝑦2 𝟐𝟏
𝟐
𝟏
(𝟐 )2
𝟐𝒙 𝟑
𝟐
2
𝟐𝟏
𝑦2
𝟐𝒙
𝑎2
𝟐
𝟐
𝑎
𝑎2
𝟐 𝟐
)𝟑(𝟒
𝟒
2
𝑎
ٌ ⓚمر بالنمطة )𝟑 𝟎( والمسافة بٌن بإرتٌه )𝟔 وحدات(
) ألنه يمر بالنقطة( )توجد معادلتٌن للقطع الناقص( ) معادلة القطع الناقص الثانٌة (
𝟏
𝑦2 𝟗
𝟐𝒙 𝟖𝟏
120
𝟖𝟏
𝟐𝒂
𝟗
𝟗
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص األولى (
3
c
3
b 𝟐𝒄 𝟏
𝟔
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝑦2 𝟖𝟏
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جذد طذول كذل مذن المحذورٌن والبعذد البذإري وإحذداثٌات البذإرتٌن والرأسذٌن واالخذتالف المركذزي والمحذٌط والمساحة لمعادلة المطع التالٌة 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟏 𝟑
c
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
𝟓𝟐
)المحور الصغٌر ( وحدة
𝟐 𝟓𝟐 𝟎𝟎𝟒
𝟏
𝟐
𝑎2
𝟖
𝟐
)𝟒(𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟎𝟎𝟒
𝟒
𝟐
)𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒
b
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟓
𝟓𝟐
𝑎
)المحور الكبٌر ( وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
البؤرتان )𝟎 𝟑 ( )𝟎 𝟑(
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓( 𝟑 𝟓
2
االختالف المركزي
)(5)(4
𝟏𝟒 √ 2 )وحدة ( 2
𝟔𝟏
𝑎2
𝟓𝟐
)البعد البؤري( وحدة
)وحدة مربعة (
𝟐
𝟔𝟏 2
انمساحت
2
𝟓𝟐 √ 2
2
√ 2
2
انمحٍط
مثال /عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول ومعادلة كل من المحورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذع النذالص 𝟎𝟎𝟏 𝟐 𝟗 𝟐 𝟓𝟐 𝟒𝟓 الذي معادلته هً 𝟎 𝟒𝟒 انحم /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟒
𝟐
) 𝟔
(𝟗
𝟐)𝟐
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟏
)𝟓𝟐𝟐 ( 𝟓𝟐𝟐
𝟐)𝟑
) 𝟒
(𝟗
بإضافة )𝟏𝟖𝟏( الى طرفً معادلة المطع انىال
𝟐
(𝟓𝟐
𝟒𝟒
𝟏𝟖𝟏
)𝟗
𝟒𝟒
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
(
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟔𝟏
𝟏
(𝟗
𝟐)𝟑 𝟓𝟐
𝟒
(
𝟐)𝟐
( 𝟗
𝟐( 3
b
(
) 𝟗
𝟑 𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
121
)𝟒
𝟐
(𝟓𝟐
وحصم عهّ
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
معادلة القطع الناقص
4
𝟎𝟎𝟏
𝟗
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل (𝟓𝟐
𝑐
𝟒𝟓
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟓
𝟐 𝑎
𝟓𝟐
وحدة 8
)𝟐(4
𝟐
𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة )معادنت انمحىرانصغٍر(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
3
𝑘
𝑦
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑦
انبؤرتان )7 انرأسان )8
2 (2 2 (2
𝟐
مثذذذذال /لذذذذتكن 𝟎𝟎𝟒
𝟒
محور الكبٌر ومحور الصغٌر
𝟓
𝑥
2
𝑥
ℎ
)(2 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(2 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
4 𝟓
𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
االختالف المركزي
معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتٌذذذذه )𝟎 𝟑( والنسذذذذبة بذذذذٌن طذذذذول
فجد لٌم كل من
انحم / 𝟐
𝟏 )
𝟎𝟎𝟒
𝟐
(
)
𝟐
𝟏
𝟎𝟎𝟒
(
𝟐
𝟎𝟎𝟒
)𝟎𝟎𝟒 (
𝟎𝟎𝟒
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟐
∵ البإرة تنتمً لمحور السٌنات المانون
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟒
⇐
𝑎2
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟑
2
𝟗 𝟔𝟏
𝑏2
𝟓𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟐
𝟒 𝟓
𝑏
𝟐
𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟗
𝟐
𝟓𝟐𝟐 𝟔𝟏
𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص (
122
𝟐𝒄 𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟎𝟒 𝟓𝟐 𝟎𝟎𝟒 𝟔𝟏 𝟏
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐
𝟓𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثذذذال /جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته ) 𝟒𝟐 𝟐 ( ودلٌله بٌن بإرة المطع المكافئ )𝟎
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎𝟖( والذذذذي ٌكذذذون البعذذذد بذذذٌن بإرتٌذذذه مسذذذاوٌا للبعذذذد
انحم /من المطع المكافئ 𝟐
𝟒 12
) بانمقاروت مع( 6
|2|p
36
𝟒𝟐
p
𝑐2
𝟐
24
6
4p
c
2
12
من المطع النالص : 𝟎𝟎𝟒𝟔 ( 𝑎2
)معادلة
𝟐
𝟎
𝟎𝟖
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟑𝟔𝑎2
𝟎𝟖 𝟒
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝑎2
𝟔𝟑
𝑎2
𝑎2
ٌهمم 64 ) معادلة القطع الناقص الثانٌة ( 𝟐
مثال /أذا كانت 𝟎 أحد بإرتٌه )
𝟏
𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟔
𝑦2 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
)(𝑎2
)64
𝟎 𝑟𝑜
𝟐
) معادلة القطع الناقص األولى (
𝟏
(𝑎2
1
𝑎2
1
𝑎2
𝑦2 𝟒𝟔
either 𝟐𝒙 𝟎𝟎𝟏
معادلة لطع مكافئ دلٌله ٌمذر بالنفطذة )𝟐 𝟏 ( جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي
𝟑
𝟎( ومربع طول النسبة بٌن محورٌه
𝟑 𝟒
الحل /من المطع المكافئ نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السٌنً لذا فؤن معادلة الدلٌل له ( ألنه ٌمع على المحور السٌنً
]𝟏 [
) 𝟏 2
4
M
𝟑
𝟐
من المطع النالص :بإرتا
𝟒
)𝟐 𝟎( )𝟐
𝟑(
)𝟐
𝟒 𝟐𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟎( والمانون هو 𝟏
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑 𝟒
𝟑(
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص (
123
)𝟐
𝟐𝒄 𝟏
𝟐
𝟐𝒃 𝑦2 𝟔𝟏
𝟐
𝟒 𝟒
𝟐
𝟐𝒂 𝟐𝒙 𝟐𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال /جد معادلة المطع النذالص الذذي مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا )𝟎 بإرة المطع المكافئ 𝟎
𝟏𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
)𝟎 𝟔√
𝟔√( 𝟐
وٌمذر خذالل
(𝟏
𝟐
𝟐𝟏
الحل /من المطع المكافئ نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
𝟐𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝟐
نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل )𝟏
(𝟐𝟏
𝟐)𝟏
𝒚(
𝟐𝟏
𝟐𝟏
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)𝟏
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟏
)تحقق معادنت انقطع انىاقص( )1
𝟐( 𝐹
)1
𝟑( 𝐹
𝟏
𝒚(
𝟏𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
( وحصم عهّ (
𝟏 (
)
)𝑘 ℎ
𝑝(F
𝟏
𝟏 𝟑
𝟒
𝟐𝟏
من المطع النالص : ∵ بإرتً المطع النالص )𝟎 𝟔√( )𝟎 𝟔√ ( ⇐ المانون هو 𝟏 انىمطح )1
𝟐( تحمك معادنح انمطع انىال
𝟐 𝟐
) نعوض فً معادلة ① ( 𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
ألوً ٔمز تٍا ( تؤرج انمطع انمكافئ )
) معادلة ① (
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
𝟒
𝟐
𝟐
𝟔 𝟔
𝟐
𝟐
) 𝟐 𝟐 ×(
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
)𝟔 𝟎
ٌهمم 3
𝑏2
𝑟𝑜
𝟖
𝟐
) معادلة القطع الناقص (
124
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟔
)𝟐
𝟐
𝟐𝒃()𝟑
𝟒
𝟐𝒃(
2
𝑏2
𝑟𝑒𝑒𝑖𝑡ℎ
𝟏
𝑦2 𝟐
𝟐𝒙 𝟖
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثذذذذذذال /جذذذذذذد أحذذذذذذداثً البذذذذذذإرتٌن والرأسـذذذذذذـٌن والمطبذذذذذذٌن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن المحذذذذذذورٌن للمطذذذذذذع 𝟖 𝟐 𝟒( ثم جد لٌمة e؟ 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 النالص )𝟎 𝟒 انحم /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟐
) 𝟒
𝟒
𝟐)𝟏
(𝟒
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟏
)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟐)𝟐
(𝟗
) 𝟐
(𝟗
بإضافة )𝟎𝟒( الى طرفً معادلة المطع انىال
𝟐
(𝟒
𝟔𝟑
𝟎𝟒
𝟐)
)𝟒
𝟒
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟒
𝟐)
( 𝟐
(
𝑐
𝟐
𝟏( 2
)معادنت انمحىرانصغٍر( انبؤرتان )2
𝑥
) b
√5
2 (1
انرأسان )2
2
(2
𝟐)𝟐
𝟐)𝟏
( 𝟒
( 𝟗
( 𝟐
𝟒
𝟏 𝟑
𝑎
وحدة 2√5
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥 )2
(𝟗
𝟐
𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( ℎ
𝟐
)𝟏
𝟐
(𝟒
وحصم عهّ
𝟐
5
1
𝟖
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل
مركز القطع الناقص )𝟐 √5
𝟒
𝟐
𝟗
𝟐
𝟒
𝟐
𝟗
)𝟐(√5 𝑦
2
𝟐 𝑦
𝑘
√5
(1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)2
(4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
√5
𝟏
االختالف المركزي
3
مثال /جذد أحذداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن وممذدار االخذتالف المركذزي ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز )𝟒 𝟏( ومحذور الكبٌذر ٌذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتٌذه تبعذد عذن الرأسٌن بالبعدٌن 2, 10وحدة طول انحم ∵ /مجمُى انثعذٔه 𝟒
𝐜
𝟐 𝟖
َانفزق تٕه انثعذٔه 𝐜𝟐
𝟐
𝟎𝟏
∵ محُري انكثٕز ُٔاسْ محُر انصاداخ ⇐ 𝟒
𝟏
𝟎𝟐
𝟐
𝟐 𝟔
𝐜𝟐
𝒂
𝟐𝟏
انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال 𝟔𝟏
𝟔𝟑
𝟐𝒃
𝟐𝒄
معادلة القطع الناقص
125
𝟐
𝟏
𝟐𝒂 𝟏
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
(
𝟐)
(
𝟐) 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐)𝟒 𝟔𝟑
(
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐)𝟏 𝟎𝟐
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( )معادنت انمحىرانصغٍر(
4
𝑦
𝑘
انبؤرتان )8 انرأسان ) 1
𝑦 2 (1
2 (1
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وحدة 8
)معادنت انمحىرانكبٍر(
)𝟐(4 𝑥
1
𝟐
ℎ
) (1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(1 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
2 𝟑
4 𝟔
𝑥
االختالف المركزي
******************************************************************
س : 1جد أحداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذوع النالصة التالٌة : 𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟎𝟑
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟓𝟐 ) ( 𝟐
𝟐
𝟒 ) ( 𝟐𝟏 ) (
س : 2بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي : ( أ ) بإرتا النمطتان )𝟎 𝟑 ( ورأسا النمطتان )𝟎 𝟔 ( ومركز نمطة االصل . ( ب ) بإرتا تمعان على محور السٌنات ومركز نمطة االصل َأحذِ تؤرتًٕ تثعذ عه انزأســـــــــــــــــٕه تانثعذٔه َ 2, 8حذج طُل .
126
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع الزائد ( :الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعـــة نماط المســتوي) ( التً تكون المٌمة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتٌن ثذابتتٌن تسذمى ( البإرتٌن ) ٌساوي عددا ثابتا لٌمته ) 𝟐( معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) حسب تعرٌف القطع الزائد(
|𝟐
𝟐 𝟐
|
𝟏 𝟏
𝟐
𝟐)𝒄
𝒙(√ (√ 𝟐)𝟎 𝒚( ( 𝟐) 𝟐 )𝟎 𝟐 (√ 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( (√ 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐𝒚 𝟐 ) (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐)
(√ 𝟒
)𝟒 (
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒
]نفرض
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟐
[ )𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص (
⦁ رأسا المطع الزائـد هما )𝟎
( )𝟎
(
𝟏
)𝟐 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
⦁ بنفس األسلوب ٌمكننا أٌجاد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور الصادات وهً 𝟏 رأسا المطع الزائد هما )
𝟎( )
𝟎(
وبإرتا هً )
127
𝟎( )
𝟎(
)𝟐
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( والمعادلة 𝟏
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
(√
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
وبإرتا هً )𝟎
𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( )𝟎
(√ 𝟒
𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐
𝟐)
𝟐𝒚
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
حٌث 𝟎
𝟒
𝟐𝒚
𝟒
)بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث أن
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ① دائما )
( )
( حٌث أن )𝟎
(
② طول المحور الحمٌمً
𝟐
③ طول المحور المرافك 𝟐 ④ البعد بٌن البإرتٌن
𝟐
⑤ االختالف المركزي )
( حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
(
𝟐
⑥ دائما ٌكون ⑦ النمطة التً تمع على احد المحورٌن وٌمر بها المطع الزائد تمثل رأسً المطع الزائد وتمثل لٌمة ) ( ⑧ تسمى المسافة بٌن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتمً للمطع (منتصف المطر البإري ) مثال (/)19
عٌن البإرتٌن والرأسٌن وطول كل من المحورٌن الحمٌمً والمرافك للمطع الزائد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
الحل/ وحدة
𝟔𝟏
𝒂𝟐
𝟖
𝒂
𝟒𝟔
𝟐
طىل انمحىر انمرافق وحدة
𝟐𝟏
𝒃𝟐
𝟔
𝒃
𝟔𝟑
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
طىل انمحىر انحقٍقً
𝟎𝟏
𝒄
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒄
𝟔𝟑
رأسا انقطع انزائد )𝟎 𝟖 ( 𝟐𝐕 )𝟎 𝟖( 𝟏𝐕
قطبا انقطع انزائد )𝟔
𝟎( 𝟐𝑷 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑷
بؤرتا انقطع انزائد )𝟎 𝟎𝟏 ( 𝟐𝐅 )𝟎 𝟎𝟏( 𝟏𝐅
128
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)20جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمٌمً المركزي ٌساوي )𝟐( والبإرتان على محور السٌنات
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔 وحدات واالخـتالف
الحل/ 𝟐𝒂
𝟗 𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟔
)𝟑()𝟐(
𝐜 𝟕𝟐
𝟐
𝟑
𝒄 𝟔𝟑
𝟗
𝒂
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐𝒄
𝟐 𝟐
𝟐
𝟕𝟐
𝟗
مثال ( /)21جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل وطول محور المرافك )𝟒( وحدات وبإرتا هـــــما النمطتان )𝟖√ )𝟖√ 𝟎( 𝟏 𝟎( 𝟐 ∵ البإرتان تنتمً لمحور الصادات الحل/
المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد هً 𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟒
𝟐𝒃
𝟒
𝟖
𝟐 𝟖
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐𝒄
𝟐
معادلة القطع الزائـد
𝟐
𝟖√ 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
فً المثال ) (21أعال نالحظ أن طول المحور الحمٌمً مسا ٍو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع الزائدة ٌدعى ( بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع ) ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفٌه ٌكون االختالف المركزي ) ( ممدار ثابت لٌمته ) 𝟐√( .
129
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع الزائد ( :أنسحاب محاور ) : Ⓘالمعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد الذي مركز النمطة )
( َمحُري انحمٕمٓ ُٔاسْ محُر انسٕىاخ:
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)𝟎
( انزأسان
)
(
)𝟎
( انثؤرتان
) 𝟏
𝟐)
(
(
𝟐)
𝟐
( 𝟐
)𝟎 𝟎( 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
لثم األوسحاب
انمزكش انماوُن
②المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد الذي مركز النمطة )
( َمحُري انحمٕمٓ ُٔاسْ محُر انصاداخ
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
𝟎(
انزأسان
)
(
)
𝟎(
انثؤرتان
)𝟎 𝟎(
انمزكش
) 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐)
( (
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
انماوُن
130
لثم األوسحاب
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ①معادلة المحور للمطع الزائد الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
②معادلة المحور للمطع الزائد الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
③ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع الزائد الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
④ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع الزائد الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
َتؤرتررراي َانزاسررران َطرررُل
⑤ ستمتصرررز دراسرررتىا فرررٓ مُارررُى االوسرررحاب عهرررّ أٔجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال محُرًٔ انكثٕز َانصكٕز َمعادنح كم مه انمحُرٔه َأجاد االختالف انمزكشْ . مثذذذال (/)22
جذذذد أحذذذداثٌا المركذذذز والبذذذإرتٌن والرأسذذذٌن و االخذذذتالف المركذذذزي و طذذذول المحذذذورٌن للمطذذذع
الزائد الذي معادلته 𝟏
𝟐)𝟏 𝟒
(
𝟐)𝟐
(
𝟗 𝟐)
الحل /بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐
مركز القطع الزائد )( 2 1 طىل انمحىر انحقٍقً
√13
انبؤرتان )√13 1
2
(2
)𝑘 (ℎ
وحدة
طىل انمحىر انمرافق 𝑐
(
13
وحدة 𝟐𝒄
6 4
1 𝑎2 𝑏2 𝟒
𝟑𝟏
ℎ
2 𝟑
𝑎
𝟗
𝟐
𝟐
𝑏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝒄
)√13 1
( 2
)
(ℎ
)
(ℎ
(2
)(1 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
انرأسان )5 1
االختالف المركزي
131
𝟏
√13 𝟑
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول كل من المحورٌن واألختالف المركزي نهمطُى انشائذج االتٕح : 𝟐
𝟖𝟒
𝟐𝟏 ⓐ
𝟐
𝟒
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟖𝟒( 𝟐
𝟏 طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق
وحدة
𝟑√4
𝟔𝟏
𝟒 البؤرتان )𝟎 𝟒
(𝟐
وحدة
𝑎2
𝟑√𝟐
𝑏2
𝟐𝒄
)𝟎 𝟒(
4
2
𝟒
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝑎
𝑎2
𝟒
b
𝟐𝒄
𝟐𝒃
االختالف المركزي 𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟒
𝑏2
𝟐𝟏
الرأسان )𝟎 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒂 (𝟐
𝟐( 𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏 ⓑ
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟒𝟒𝟏( 𝟐
𝟏
طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق
وحدة 6
وحدة 8 𝟓𝟐
𝟓 البؤرتان )𝟎 𝟓
(𝟐
𝑎2
𝑏2 𝟐𝒄
)𝟎 𝟓(
𝟒 𝟔𝟏
𝟏
3
𝟔𝟏 𝟐𝒃
الرأسان )𝟎 𝟑 االختالف المركزي 𝟏
132
9
b 𝟗
𝟔𝟏
𝑎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐𝒂
(𝟐
𝟓 𝟑
)𝟎
𝟗
𝑎2 𝑏2 𝟐𝒄 𝟑( 𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2011د2
𝟐)𝟏
𝟖
𝟐)𝟏
(𝟒
ⓒ
(𝟐
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟖( 𝟏
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
(
) بانمقاروت مع(
𝟏
𝟐
مركز القطع الزائد )(ℎ 𝑘) (1 1 وحدة 2𝑎 4 طىل انمحىر انحقٍقً
طىل انمحىر انمرافق
وحدة
𝟐√2
𝑐
𝟔
√6 انبؤرتان )√6
1
) √6
2 (1
انرأسان )3
1
2 (1
(
𝟒
𝟐
1 2
𝑏2 𝟐
𝟐)𝟏
𝟐)𝟏
b
𝟐𝒄
𝟒
1 𝟒
𝑎
𝟐√
(
ℎ 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
(1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(1 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
√6 𝟐
االختالف المركزي 𝟏
𝟓𝟖𝟏
𝟐
𝟖𝟏
𝟗
𝟐
𝟎𝟔𝟏
𝟔𝟏
الحل /وزتة معادنح انمطع انشائذ تشكم مزتع كامم كما ٔهٓ : 𝟐
) 𝟐
𝟓𝟖𝟏
𝟐
) 𝟎𝟏
(𝟗
(𝟔𝟏
بإضافة )𝟏𝟗𝟑( الى طرفً معادلة المطع انشائذ حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل 𝟓𝟖𝟏
𝟔𝟕𝟓 𝟔𝟕𝟓
𝟐)𝟏 𝟔𝟕𝟓
(𝟗
)𝟏
𝟏𝟗𝟑
(𝟔𝟏 𝟐)𝟓 𝟔𝟕𝟓
𝟐
𝟐
𝟔𝟕𝟓 معادلة القطع الزائد
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انشائذ 𝟏
𝟐
𝟐)
( 𝟐
𝟐) 𝟐
مركز القطع الزائد )( 5 1
وحدة 12 طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق وحدة 16 𝟎𝟎𝟏 𝟐𝒄 𝑐 1
𝑎2 𝑏2 𝟒𝟔
انبؤرتان )15 1 انرأسان )11 1
(2 (2
)𝟏
(𝟗
𝟐
(
)𝟓
(𝟔𝟏
)𝟓 𝟐
(
𝟔𝟑
1
6 𝟖 𝟔𝟑 )
)
5
𝑎 b 2 (ℎ 𝟐 (ℎ
ℎ 𝟐
𝟔𝟑 𝟒𝟔
𝟐
االختالف المركزي 𝟏
133
𝟎𝟏
(𝟔𝟏
وحصم عهّ )𝑘 (ℎ
)(5 1 )(1 1
(𝟗
𝟐)𝟏 𝟒𝟔
𝟏 (
)𝟓𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) )
𝟐𝒄 (ℎ 𝟏 (ℎ
5
𝟑
𝟎𝟏 6
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب معادلة المطع الزائد فً الحاالت التالٌة ثم ارسم المطع : ومركز فً نمطة االصل .
ⓐالبإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓 ( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 الحل/ ∵ بإرتا المطع الزائد )
(5
2
)
( 5
⇐ 𝟓
⇐ المانون
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ المطع الزائد ٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 ∴ الراسان )
) (3 𝟔𝟏
⇐ ( 3 𝟐𝒃
𝟐
𝟗 𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒃
) معادلة القطع الزائد(
134
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟐𝒄
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑطذذذذول محذذذذور الحمٌمذذذذً )𝟐𝟏( وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك )𝟎𝟏( وحذذذذدات وٌنطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى المحورٌن االحداثٌٌن ومركز نمطة االصل . الحل/ 𝟐𝒂
𝟔𝟑 𝟓𝟐 𝟏𝟔
∴ هنــــان حالتٌـــــــن للمطع الزائـــــــد وهما -: عندما ٌوازي محور الصادات الرأسان )𝟏𝟔√
𝟔
𝟐𝒃
𝟐𝑪
𝒂 𝟓
36
𝒃
25
𝟐𝒃
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒄
عندما ٌوازي محور السٌنات
𝟎( 𝟐𝑭 ) 𝟏𝟔√ 𝟎( 𝟏𝑭
الرأسان )𝟎 𝟏𝟔√ ( 𝟐𝑭 )𝟎 𝟏𝟔√( 𝟏𝑭
𝟎( 𝟐𝑽 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟎 𝟔 ( 𝟐𝑽𝑭 )𝟎 𝟔( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟔 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
ⓒمركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك )𝟐√𝟐( وحذدة واختالفذه المركذزي ٌساوي )𝟑( وزاري / 2013 /د2 الحل ∵ /بإرتا المطع الزائد تنتمً لمحور الصادات ⇐ المانون
𝟏 𝟐
𝟐𝒃 𝒂𝟑
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√ 𝒄
𝟐√𝟐
𝒃
𝟐
𝟑 𝟐𝒃
𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟏 𝟗 𝟐 𝟐𝒂𝟖 𝟐𝒂 𝟐𝑪 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎( ) 𝟎 𝟎 البؤرتان 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎( ) 𝟎 𝟎 الراسان 𝟐 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝐲 𝟏 ) معادلة القطع الزائد( 𝟏 𝟐 )𝟒(
135
𝟐𝒂
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3جد باستخدام تعرٌف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتٌذه )𝟎 𝟐√𝟐()𝟎 𝟐√𝟐 ( وٌنطبذك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن والمٌمة المطلمة للفرق بٌن بعدي اٌة نمطة عن بإرتٌه ٌساوي )𝟒( وحدات الحل/ 𝟐
نفرض ان النمطة )
𝒂
𝟐)𝟎
𝟒
(
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟐√𝟐
(√
𝟐)𝟎
(
) 𝟐√𝟐
(√
𝟒
) 𝟐√𝟐
(√ 𝟖
) 𝟐√𝟐
)𝟖 (
(√ 𝟖 𝟐√𝟖
𝟔𝟏
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√𝟒
𝟒
𝟐
معادلة القطع الزائد
1
136
𝑦2 4
𝑥2 4
)𝟒 ( ]
𝟏
)𝟐√𝟐
(√
)𝟐√𝟐
(√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
|𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
للمطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟒
(
)من تعرٌف القطع الزائد(
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟐
𝟐√𝟒
(√
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟒
𝟐
(√𝟖
)𝟐√𝟐
𝟐
(
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4لطع زائد طول محور الحمٌمً )𝟔( وحدات واحدى بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 الزائد الذي مركز نمطة االصل . الحل/
𝟏( .جد معادلتً المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع وزاري / 2014د1 وزاري / 2013د3
من المطع المكافئ : ∵ النمطتان )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 والمانون ) 𝟒 𝟐 (
𝟏( متناظرة مع المحور الســٌنً لذا فالبإرة تنتمً للمحور السٌنً
∴ النمطة )𝟓√𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ ( ألنه ٌمر بها ) البؤرة ) 𝟎 𝟓(
𝟓
𝟒
)𝟏( 𝟒
) معادلة القطع المكافئ (
𝟐
𝟎𝟐
𝐩
𝟎𝟐
𝟎𝟐
فً المطع الزائد: 𝟐𝒂
𝟗
∵ بإرتا المطع الزائد )𝟎 𝟓()𝟎 𝟓 ( ⇐ 𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟗
𝟐
⇐ المانون
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟑
𝟐𝒂
𝟔
𝟐𝒄
) معادلة القطع الزائد( 𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏 𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝒄 𝟐𝒙 𝟗
وطذول محذور الحمٌمذً )𝟐√𝟔( 𝟔𝟏 𝟐 𝟗 جــذـد لٌمـــــذـة كذل
س / 5لطذع زائذد مركذز نمطذة االصـــــــــذـل ومعادلتذه 𝟎𝟗 وحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرتً المطذع النذالص الذذي معادلتذـه 𝟔𝟕𝟓 التً تنتمً الى مجموعة االعداد الحمٌمٌة من وزاري / 2012د2 𝟐
الحل/
من المطع النالص : 𝟏 𝟕√𝟐
𝟐
𝟖𝟐
بإرتا المطع النالص ) من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟔𝟑
𝟒𝟔
)𝟔𝟕𝟓 ( ] 𝟐
𝟐
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 ( ⇐ 𝟕√𝟐
𝟏
𝟔𝟕𝟓
𝟐
𝟔𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟒𝟔
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐
𝟏
𝟎𝟗 ) (
𝟗
137
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√𝟔
𝟖𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟎𝟗 ) (
𝟎𝟗 𝟖𝟏
𝟓
𝟏
𝟐√𝟑
𝟐
𝟎𝟏
⇐ المانون
𝟐
𝟖𝟏 معادلة القطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄 𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟎𝟗 𝟎𝟏
𝟎𝟗
𝟐
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6اكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصـــــذذـل اذا علمذذت ان احـــذذـد راسذذٌه ٌبعذذد عذذن البذذإرتٌن بالعددٌن 𝟗 𝟏 وحدات على الترتٌب وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن .وزاري / 2012د3 الحل/ 𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝒄
𝟓
𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐𝒃
𝟗
𝟔𝟏
𝟎𝟏
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟒 𝟐𝒄
𝟐 𝒂
𝟐𝒃
𝟗
𝟏
𝟏
𝟓
𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒂
∴ هنان أحتمـــــــــــــالٌن لمعادلة المطع الزائد معادلة القطع الزائد صادٌة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
معادلة القطع الزائد سٌنٌة 𝟏 𝟐
س / 7جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته 𝟐𝟏 𝟓 وزاري / 2013د3 ومركز نمطة االصل . بٌن طولً محورٌه
𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
𝟔𝟏
والنسبة
𝟑
من المطع الزائد :
الحل/
𝟏 𝟔𝟏
𝟒
∴ بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
)𝟐𝟏 ( ] 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟐
𝟒
𝟐
𝟑 𝟐
𝟐𝟏
𝟒( ) 𝟒 (
من المطع النالص : بإرتا المطع النالص )
𝟓𝟐
𝟐
𝟗
𝟗
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝟐 𝟗
𝟐𝒄
⇐ المانون
𝟒( ) 𝟒 ( ⇐ 𝟒 𝟐 𝟓𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
)𝟗 (
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
25
2
𝟏
)25 (9 9
2
𝟐
𝟐
25 9
2
2
معادلة القطع الناقص 1
138
9
2
25
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 8النمطة )
𝟐
تنتمً الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته 𝟐𝟏
𝟔(
أ .لٌمة
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟑
جد كال من:
ب .طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم فً الجهة الٌمنى من النمطة
الحل( /أ) ∵ النمطة )
𝟔(
تنتمً الى المطع الزائد
∴ النمطة )
𝟔(
تحمك معادلة المطع الزائد )𝟐𝟏
L
2√2
𝟐
𝟖
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
24
𝟐
𝟑
𝟑
( 𝟔𝟑
𝟐𝟏 )𝟐√𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟔( 𝟐
𝟐)𝟔(
𝟑 𝟔( 𝟏
)𝟐√𝟐
(ب) من المطع الزائد : 𝟐
𝟒 احداثً البؤرة االٌمن )𝟎 𝟒( )وحدة طول( )وحدة طول(
𝟑√𝟐 𝟑√𝟐
وزاري / 2011د1
𝟖
𝟐𝟏√ 𝟐𝟏√
𝟖
𝟐
𝟒√ 𝟐
)𝟎
𝟒√
وزاري / 2014د2
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟔𝟏 )𝟎
𝟐
𝟏
𝟔(√
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝟏 𝟐 )𝟏
𝟔(√
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐 (
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐(
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐 )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝒃 𝟐 )𝟏 𝟐 )𝟏
(
(√ (√
وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟎
الحل/
𝟐𝒄 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
وزاري / 2015د1
س / 9جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع الزائذذذذد الذذذذذي بإرتذذذذا همــــذذذذـا بذذذذإرتً المطذذذذع النذذذذالص الذذذذذي معادلتذذذذـه 𝟏 𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟗
𝟐
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع( 𝟑
𝟐𝟏
𝐩
) معادلة الدلٌل (
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒
𝐲
من المطع النالص : 𝟔𝟏
𝟒
𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
البؤرتان )𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟎()𝟒 𝟎(
من المطع الزائد: ∵ دلٌل المطع المكافئ ٌمطع المحور الصادي عند النمطة )𝟑 𝟎( وهً راس المطع الزائد 𝟐
𝟗 بإرتا المطع الزائد )𝟒 معادلة القطع الزائد
⇐ المانون
𝟎()𝟒 𝟎( ⇐ 𝟒 𝟏
𝟐
𝟐
𝟕
𝟗
𝟕
139
𝟐
𝟗
𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟑 𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثذذال /جذذد أحذذداثٌا المركذذز والبذذإرتٌن والرأســـــذذـٌن و األخذذتالف المركذذزي و طذذول المحذذورٌن للمطذذع الزائذذد الذذذي 𝟔𝟏 𝟐 𝟒 𝟒𝟓 𝟐 𝟗 معادلته 𝟏 1 الحل/ 𝟐
) 𝟔
𝟏𝟎𝟏
𝟐
) 𝟒
(𝟗
𝟏𝟎𝟏
(𝟒
𝟐
𝟒𝟓
𝟗
𝟐
𝟔𝟏
𝟒
بإضافة )𝟓𝟔 ( الى طرفً معادلة المطع انشائذ حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل )𝟔𝟑 (
𝟔𝟑
𝟐)𝟑
𝟐)𝟐
(𝟗
𝟐
𝟓𝟔
(𝟒
)𝟗
𝟏𝟎𝟏
𝟐)
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انشائذ 𝟏
𝟐)
( 𝟐
مركز القطع الزائد )𝟑 √13
𝑐
𝟑𝟏
𝟒
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
√13
2 (2
)3
𝟗
انبؤرتان )3
انرأسان )3
1
𝟐𝒄
2
√13
(2 )3
(2
𝟏
(
𝟒 𝟐)𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟗
وحصم عهّ :
𝟐
𝟐(
𝟐)𝟑
𝟐
𝟔
معادلة القطع الزائد (
𝟐
(𝟗
)𝟒
𝟐
(𝟒
) b
(
𝟑 𝟐
𝟒 )3
(5
𝟐 𝑎
𝟑
𝟐
𝟗
√13
(2
)
(ℎ
3
(2
)
(ℎ
)3 √13 𝟑
االختالف المركزي
مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصــــذذـل والبإرتذذان علذذى محذذور الصـــذذـادات وطذذول المحذذور الحمٌمً له
𝟓
𝟔𝟏 والنسبة بٌن المسافة بٌن بإرتٌه وطول محور الحمٌمً
𝟒
الحل/ 𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟔𝟑
140
𝟐
𝟐𝒄
𝟎𝟏
𝟒𝟔
𝟐𝒂 𝐜
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟖
𝒂
𝟔𝟏
𝟐
𝟓 𝟒
𝒄 𝟖
𝟓 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ
ٌساوي البعد بٌن بإرتً المطع النالص 𝟏 الحل/
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝟐
𝟎𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وطول محور المرافك
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟓 𝟎(
𝟓
𝟐
𝟎𝟐
𝐩
𝟒
𝟎𝟐
من المطع النالص : البعد البؤري 𝟕√𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟕
𝟕√
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
𝟔𝟏
من المطع الزائد : 𝟐
𝟕
بإرتا المطع الزائد )𝟓 𝟎( )𝟓 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟕√
⇐ المانون
𝟎( ⇐ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟕
𝟖𝟏
𝟖𝟏
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي ٌمر بالنمطتٌن )𝟔
طول المحور المرافق 𝟕√𝟐
𝟐
𝟕
𝟏 𝟓𝟐
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟑( )𝟐√𝟑 𝟎(
الحل/ ∵ المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ٌمذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة )𝟐√𝟑 𝟎( لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولٌمذذذذذذذذة )𝟐√𝟑
( والمانون هو
النقطة )𝟔
𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟑( تنتمً للمطع الزائد لذا فهً تحمك معادلته 𝟗
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟔𝟑 𝟖𝟏
) معادلة القطع الزائد(
141
𝟏
𝟏
𝟐)𝟑( 𝟐
𝟐𝒙 𝟗
𝟐)𝟔 ( 𝟐
)𝟐√𝟑(
𝟐𝒚 𝟖𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا رأســـــــــذذـا المطذذع النذذالص 𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وطذذول محــــذذـور
الحمٌمً )𝟐𝟏( وحدة الحل /
من المطع النالص :
راسا القطع الناقص )𝟎 𝟎𝟏( )𝟎 𝟎𝟏 (
𝟎𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
) (1
𝟏𝟎 ⇐ ( 1 𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑
⇐ المانون 𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟏
𝟔 𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝒄
******************************************************************
س : 1جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل و بإرتذذا تنتمذذً لمحذذور الصذذادات وطذذول محذذور المرافك ٌسذاوي البعذد بذٌن بذإرة المطذع المكذافئ ) 𝟐𝟏 𝟐 ( ودلٌلذه وطذول محذور الحمٌمذً ثالثذة امثذال طذول محور المرافك س : 2جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي معادلته )𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒙𝟔𝟏 𝟐𝒚𝟗( ومجموع طولً المطع النالص )𝟔𝟏( وحدة طول س : 3جذذذذذذد معادلذذذذذذة المطذذذذذذع الزائذذذذذذد الذذذذذذذي بإرتذذذذذذا وراســـــذذذذذذـا همذذذذذذا بـــذذذذذذـإرة وراس المطذذذذذذع المكذذذذذذافئ ( (𝟒 𝟐)𝟏 )𝟑 س : 4لطعذذذان مخروطٌذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا ٌمذذذر ببذذذإرة االخذذذر .فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة 𝟐 𝟐 ( فجد معادلة االخر احدهما )𝟑 س : 5جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص الذذذذذذذذذي ٌمذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتٌن )𝟏 𝟑() 𝟏 الكبٌر ٌساوي)𝟓𝟐( وحدة
𝟑( وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور
س :6جد معادلة المطع الزائد الذي مركز فً نمطة االصل و أحدى بإرتا هً بإرة المطع النالص الذي معادلته 𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟑
وأحد رأسٌه هً بإرة المطع المكافئ 𝟎
142
𝟖
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س : 7جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذً بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي 𝟔𝟏 𝟐 ( معادلته )𝟐𝟑 𝟐𝒙 𝟐𝒚𝟖( وٌمس دلٌل المطع المكافئ )𝟎 𝟐𝒚( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص
س : 8لذذذذذذذذتكن)𝟑 𝟐𝒙 الذي ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏 ( والذي احد بإرتٌه )𝟔√ 𝟎( فجد لٌمة 𝟐𝒙𝟒
س : 9لذذذذذتكن) معادلته )𝟎
𝟐
𝟓√
س : 10لذذذذذذذتكن)𝟎𝟗
𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتٌذذذذذه هذذذذذً بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ الذذذذذذي 𝟒( فجد لٌمة
𝟐𝒚𝑵
الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه )𝟔𝟕𝟓
𝟐𝒙 ( معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذه هذذذذذذذً بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟐𝒚𝟔𝟏
𝟐
𝟐√𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لٌمذذذذذذذذذذذة
𝟗( وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحمٌمذذذذذذذذذذذً
س : 12لذذذذذذذذتكن) 𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟒( فجد لٌمة المكافئ الذي معادلته )𝟎 𝟐 𝟓 ******************************************************************
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثانً وزاري / 2014د3 س / 4لطع نالص مركز نمطة األصـــــــ ل ولطع زائد نمطة تماطع محورٌه نمطة األصذل أحذدهما ٌمذر ببذإرة األخذر فؤذا كانت 𝟓𝟐𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟗 معادلة المطع النالص فجد : (ب) محٌط المطع النالص . (أ) مساحة المطع النالص . (د) األختالف المركزي لكل منهما . (ج) معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . الحل ( /أ) 𝟏 𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
)( 225
𝟐
𝟗
وحدة مربعة
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟓 𝟓𝟏
𝟓𝟐
𝟓𝟐 )𝟑()𝟓(
𝟐
𝟗
𝟐
𝝅 𝒃𝒂
(ب) وحدة
𝟕𝟏√ 𝟐
𝟒𝟑 √ 𝝅𝟐 𝟐
𝟗 𝟓𝟐 √ 𝝅𝟐 𝟐
143
𝟐
𝟐
𝟐
√ 𝝅𝟐
𝒑
المحٌط
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(ج) من المطع النالص : 𝟑 𝟒
𝐜
𝟗 𝟔𝟏
𝟐
𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟗
البؤرتان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒃
𝟐
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(
من المطع الزائد : المطع الزائد ٌمر ببإرة المطع النالص البؤرتان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓( 𝟗
الرأسان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒( 𝟐
معادنت انقطع انزائد
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
(د) األختالف المركزي للقطع الناقص
𝟏
𝟒 𝟓
األختالف المركزي للقطع الزائد
𝟏
𝟓 𝟒
144
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
وزاري / 2011د2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2015د3
س / 5جذد معـــــذذـادلة المطذذع النذذالص الذذذي بإرتذذا تنتمٌذان لمحذذور الســـــذذـٌنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـذذـاحة منطمته 𝟕 وحدة مربعة ومحٌطه ٌساوي 𝟎𝟏 وحدة . الحل / 𝟕 𝒂
) معادلة ① ( 𝟐
) معادلة ② (
𝟐
𝟐
√
𝟓
𝒃
𝟕
𝟐
) 𝟐 (
𝟐
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝝅 𝒃𝒂 𝟐
𝟐
𝝅𝟎𝟏
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝒑
بتعوٌض المعادلة ① فً المعادلة ② نحصل على : 𝟗𝟒 𝟐𝒂
) تربيع الطرفين (
𝟗𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟓
) نعوض فً معادلة ① (
𝟐
𝟓
𝟗𝟒 𝟐𝒂
)𝟏
𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟗𝟒 𝟐𝒂
) نعوض فً معادلة ① (
𝟏
𝟏 ٌهمل
𝟕
ألن لٌمة ) ( ٌجب أن تكون أكبر من لٌمة ) ( فً المطع النالص .
145
𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟗𝟒
𝟎
𝟗𝟒
𝟐
𝟕 𝟕
𝟕 𝒂
𝒃
معادنت انقطع انىاقص 𝟐
√
𝟐
𝟎𝟓
()𝟗𝟒 𝟗𝟒
𝟏
√
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب 𝟐 (
𝟎
𝟐
𝟕 𝒂
𝟐
𝟏
𝟎𝟓
𝟐
𝟐
𝟏
𝟗𝟒
𝟎
𝟏
𝟐
𝟕 𝟏
𝟕 𝒂
𝒃
𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثانً سإال وزاري /98د1 لطع زائد معادلته 𝟎𝟗
𝟐
النالص الذي معادلته 𝟔𝟕𝟓
𝟐 𝟐
𝟔𝟏
وطول محور الحمٌمً 𝟐√𝟔 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرتً المطذع 𝟐
𝟗 جد لٌمة .h , k
الحل: فً القطع الناقص: 576 2
36
2
2
]576 2
64 36
16 2
1 2
64
2 √7
2
[9 2
2
28
2
2
البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 فً القطع الزائد :البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 3√2 2
1 2
1
6√2 28
2
2 2
18
2√7
c
2
2
2
9
9 ℎ
5
ℎ
9
9
9 9
146
]
9
18ℎ
18
1
1
2
2
ℎ
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /99د2 𝟏
النمطة )𝟐 ( تنتمً إلى المطع المكافئ الذي رأسه فً نمطة األصل وبإرته تنتمً إلى محور السٌنات والتً هذً 𝟑 احدى بإرتً المطع النالص ,النسبة بٌن طولً محورٌه الحل: المكافئ:
البؤرة ) (3
𝟓 𝟒
,جد معادلة كل من المطعٌن المكافئ والنالص. 4
3
(2)2
) ( 4
2
12 الناقص
البؤرتان هما ) ⇐ (3 ) ( 3
4
2
)4(3
2
3
5 4 )( 16
5
9
2
144
2
]
25 2 16 9
5 4
4 2
2
2
144 4
16 16
2
فً المطع الزائد:
2
4
12
4 البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الناقص :البؤرتان ) ( 4 ) (4
144 5
2
16
⇐
9
2
1
12
4
5
25
) (5
2
2
4 )(1 2
2
16 3
5 25 2
2
9
2
معادلة القطع الناقص
147
𝟐
𝟑
)2
(
2
1 𝟐
والنسذبة بذٌن
2
12
2
3 2
5
3
2 2
2
2
144 2
2
25
2
1
25
) (5
معادلة القطع الناقص
2
2 2
5
سإال وزاري /2000د2 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرتً المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟐𝟏 𝟓 طولً محورٌة 𝟑 الحل:
2 2
2 2
16 2
25
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2001د1 جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرتً المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟎𝟐𝟏 والنسبة بٌن طول محور الحمٌمً والبعد بٌن بإرتٌه تساوي
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص:
2
24
4 4
البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الزائد :البؤرتان ) ( 4 ) (4
2
1
12
2
2
16 ⇐
2
) 2
2
(
24
2
4
2
12
2
2
4 2
1 2 4
2 2
16
سإال وزاري /2001د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذٌن المكذافئٌن𝟐𝟎 : طولً محورٌه الحمٌمً والمرافك = 2وحدة. الحل: 2 2 فً المطع المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5
25
2
2
1 2
4 2
⇐
𝟐
𝟐
2
2
1
𝟎𝟐
2 2
2
معادلة القطع الزائد
2
5
4 2
فً المطع الزائد :البؤرتان ()-5,0( , )5,0
2
3
2
2
والفذرق بذٌن
2
2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 2
1 12
1 25
)( 2
1 2 2
)2
2
(1
)( 2
24 )3
ٌهمل 4 3 4
2 2
2 2
2 ()4
2 (
4 3 3
1
148
2
2
1
2
2
9
16
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2002د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذٌنات والمسذافة بذٌن بإرتٌذه تسذاو ()8 وحدات ومجموع طولً محورٌه 16وحدة. 2 8 4 الحل: 2 2 16 8 8 2 2 2 2 2 2 (8 )2 16 64 16 16 16 48 3 8 3 5
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2002د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟔𝟑 إلى البعد بٌن بإرتٌه =
𝟐
𝟗
𝟐
2
1
2
25
والنسذبة بذٌن طذول محذور الحمٌمذً
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص
6
الرأسان ) ( 6 ) (6 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 6 ) (6
6
2
36
2
1
c 3 2
27
6
2 2
36
2 2
2 2
9
معادلة القطع الزائد 1 سإال وزاري /2003د1 لطع نالص معادلته 𝟒 الحل:
𝟐
𝟒
𝟐
2
2
2
2
2
2
جد طول كل من محورٌه وأحداثً كل من بإرتٌه ورأسٌه. 2
طول المحور الكبٌر طول المحور الصغٌر الرأسان ) ( 2 ) (2
4 1 4 2
1 )2(2 )2(1
2
2
1
2
)
149
4
2 2 1
4 √3
) ( √3
(
4
2
2
2
2
البؤرتان ) (√3
2
2
2
3
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2004د1 جد معادلة المطع المخروطً الذي محورا محوري االحداثٌات والذي احد رإوسه ( )3,0واحد بإرتٌه ()-5,0 الحل: 3 5 2 2 2 2 9 25 16 ( القطع الزائد ) ألن
معادلة القطع الزائد
2
1
2
2
سإال وزاري /2004د2 لطع زائد ولطع نالص احدهما ٌمر ببإرتً اآلخر .جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص هً 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
علما أن محورٌهما على محوري االحداثٌات.
الحل: فً المطع النالص:
الرأسان ) ( 5 ) (5
5 2
البؤرتان ) ( 4 ) (4 4 فً القطع الزائد الرأسان ) ⇐ ( 4 ) (4 5 البؤرتان ) ⇐ ( 5 ) (5
4
9
2
2 2
16
2
25
معادلة القطع الزائد
25 9 9
2 2
2
16
2
25
2 2
1
2
2 2
سإال وزاري /2006د1 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )3,6( , )-3,6ثم جد معادلة دلٌله. الحل: القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات 24 معادلة الدلٌل
9
معادلة القطع المكافئ
(3)2
)4 (6 2
4 2
) (4
2
2
سإال وزاري /2006د2 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )1,3( , )1,-3ثم جد معادلة دلٌلة. الحل: القطع من النوع السٌنً وفتحة القطع إلى الٌمٌن. القطع متناظر حول محور السٌنات 4 4 معادلة القطع المكافئ
9
2
معادلة الدلٌل
150
(3)2
)4 (1
9
2
9 4
4
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2007د1 جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذٌن بإرتٌذذه ( )8وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا المطذذع الزائذذد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
.
الحل: فً المطع الزائد
2
9 5
16
2
25
2
2
9
2
1 2
16
2
2
2
البؤرتان ) ( 5 ) (5 4 ⇐ 2 8 فً القطع الناقص الرأسان هما ) 5 ⇐ ( 5 ) (5 9
2
16
2
25
2
16
2
25
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2007د1 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ 𝟖 لتكن 𝟑 الحل: البؤرة ) (2 فً المطع المكافئ: c 2 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 2 ) (2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 ℎ ℎ 4 1 ℎ 3
2 2
1
𝟐
2 2
25
جد لٌمة .h 2
8 2
3 2
3
4 2
ℎ
2
2
سإال وزاري /2007د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟏 الحل: فً المطع النالص:
16
2
41
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟏𝟒
2
2
وطول محور المرافك ( )8وحدات. 2
2
16 5
البؤرتان ) ( 5 ) (5 فً القطع الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5 ⇐ 16 25
41 25
2 2
5 2
2
2
2
4
8 9
معادلة القطع الزائد
151
1
2
2 2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
سإال وزاري /2008د1 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐 المرافك = 8وحدات. 2 2 الحل :المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور 2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 4 9
2
25
سإال وزاري /2008د 1 لطع نالص معادلته الحل:
𝟐
𝟐
8
2
16
2
معادلة القطع الزائد
𝟐
2
2 2
2 2
1
2
𝟒 والبعد بٌن بإرتٌه = 𝟑√𝟐 وحدة .جد لٌمة .L √3 2
1
2
2 √3 2
]
2 2
2
4
2
2
2
2
2 2
3
12 سإال وزاري /2009د1 جد معادلة المطع النالص الذي ٌمر ببإرتً المطع الزائد 𝟒𝟒𝟏 طوله ( )12وحدة. الحل: فً المطع الزائد:
9
2
16 5
البؤرتان )5) ( 5 فً المطع النالص:
2
𝟐
1 25
2
2
3
4
𝟔𝟏
𝟐
2
2
2
4
2
2
2
𝟗 وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً
(
)
9
2
144
16
2
16
2
2
2
( 6
12
معادلة القطع الناقص
152
2
1
5 2
25
9
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2010د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمر ببذإرة المطذع المكذافئ 𝟐
𝟔𝟏
ومساحة منطمة المطع النالص 𝟎𝟐 وحدة مربعة.
الحل: فً المطع المكافئ:
4
4
16
2
16
البؤرة ) (4 فً المطع النالص:
2
)(1
المطع النالص ٌمر بالنمطة ()4,0
2
2
النمطة ( )4,0أما تمثل رأس أو لطب وهذا غٌر ممكن
5 2
5
2
4 2
4
4
b
4
والمطع من النوع الصادي
معادلة القطع الناقص
1
2
2
25
سإال وزاري /2010د2 𝟐
𝟑
𝟐
منطمته تساوي
𝟐 مع محور الصادات علما ً أن مساحة
لطع نالص ٌمر بنمطة تماطع المستمٌم 𝟑√
حٌث بإرتذا تنتمٌذان لمحذور السذٌنات ومركذز نمطذة
𝟑√𝟐 وحدة مساحة .جد لٌمة
االصل. الحل :المستمٌم:
√3
عندما
⇐
2 ) (2
√3
y
⇐ √3
نقطة التقاطع )( √3 فً المطع النالص :بما أن المطع من النوع السٌنً 1
𝟑√
⇐ 2
2
1
2
) ألن القطع من النوع السٌنً( √2
2
2
2
2
√2
4
ℎ
12
3ℎ
153
3 2
2 √3
√ 2
2
3
12
4
ℎ
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2012د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السٌنات ومجموع طولً محورٌه = 16 𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرتً المطع الزائد الذي معادلته 𝟔 𝟐 𝟐 الحل: فً المطع الزائد:
2
1
2
2
3 9
3
2
2
2
6
3
2
6
2
2
6
2 2
2
البؤرتان ) (3 ) ( 3 فً المطع النالص:
البؤرتان
) (3
) ( 3
⇐
c
3 8
9
2
2
16
2
8
64
2
9 55
)2 55 55
معادلة القطع الناقص
1
2
2
2
2 2
16
2
(8
2
2
16
9
64
2
1
2
16
55
8
2
2
2
2
) (
2
2
) (
وزاري /2012د2 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً طوله 8وحدات ومساحة منمطته 𝟒𝟐 وحدة مساحة. الحل:
2
24
24
بما أن المطع النالص ٌمطع من محور السٌنات جزا ً طوله ( )8وحدات فؤن هذا الجزء أما ٌمثل طذول المحذور الكبٌذر أو طول المحور الصغٌر .فؤذا كان هذا الجزء ٌمثل طول المحور الكبٌر فٌكون: 6 وهذا غٌر ممكن ألن
2
4
2
8
دائما ً فً المطع النالص .لذا فؤن الجزء الممطوع ٌمثل طول المحور الصغٌر: 6
4
2
8
والمطع من النوع الصادي:
معادلة القطع الناقص 154
1
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2013د1 لطع مخروطً بإرتا )𝟎 𝟒
(𝟐
)𝟎
𝟒( 𝟏
واختالفه المركزي = ,2جد معادلته.
الحل: 2
⇐
القطع زائد الن 1
4
⇐
2 12
2
4
4
2
16
2 2
16
2 2
4
معادلة القطع الزائد
2
2 2
1
2
2
وزاري /2014د3 جد بإرة ودلٌل المطع المكافئ ,معادلة المحور ورأس المطع المكافئ
𝟐
𝟐
𝟖 مع الرسم
𝟕
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
)𝟕
𝟐
𝟖
𝟐
(
نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل معادلة القطع المكافئ
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ ) الرأس) 𝟏
)𝟏
(𝟖
( 𝟒 𝟏 (
𝟐)𝟏
𝟐) )
𝒙(
𝟖
𝟖
𝟏
( وحصم عهّ (
𝟏
𝟏 𝟐 البؤرة )𝟏 𝟏 (
معادلة الدلٌل
𝟑
معادلة المحور
155
𝟐
𝟐
𝟏
𝟖 )
𝟒 (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2015د2 لتكن جد لٌمة
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓 معادلة لطذع زائذد أحذدى بإرتٌــذـه هذً بذإرة المطذع المكذافئ 𝟎
𝟒
𝟓√
.
الحل: فً المطع المكافئ : 𝟒
𝟐
𝟐
𝟓√
𝟓√
𝟏 𝟓√
البؤرة
فً المطع الزائد :البإرتان )
𝟏 𝟓√
𝟏 𝟓√
𝟎 𝟎(
𝟏
)
𝟓√
𝟏
𝟎( ⇐
𝟓√
𝟗 𝟒
𝟒
𝟓
𝟓
𝟗
𝟒 𝟒
)𝟎𝟐×(
𝟐
𝟒
=c
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟓√
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝟐
𝟓√
𝟒
]
𝟒
)
(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓
𝟓
𝟓
𝟏 [ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
وزاري /2015د2 جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمٌذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات ,مسذذذذذاحته 𝟐𝟑 وحذذذذذدة مسذذذذذاحة والنسبة بٌن طولً محورٌه
𝟏 𝟐
الحل:
𝟐 𝟖
𝟒
𝟔𝟏
𝟐
معادلة المطع النالص
𝟐𝟑
𝟏
156
× 𝟐
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
سإال وزاري /2015د3 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐 المرافك = 8وحدات. 2 2 الحل :المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور 2
2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 4 2
9
25
8
2
16
معادلة القطع الزائد
2
2
2 2
1
2 2
سإال وزاري /2016د1 جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوٌا ً لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن 𝟐 𝟎𝟖 𝟒𝟐 𝟐 ,أذا علمت أن مساحة المطع النالص دلٌله 𝟎 الحل: فً المطع المكافئ : 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟎 𝟒𝟐 𝟒 ) بالمقارنة مع( )البعد بٌن بؤرة القطع المكافئ ودلٌه( فً المطع النالص :
𝟐
𝟐𝟏
)𝟒
𝟔 𝟔𝟑
)𝟏(
(
𝟐
𝟒
𝟔 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟖
)𝟐(
𝟒𝟐
𝟐
𝟎𝟖
نعوض المعادلة )𝟐( فً المعدلة )𝟏( فٌنتج : 𝟎
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟐
𝟒
𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒
𝟎 𝟎𝟎𝟒𝟔
) 𝟐 ×(
)𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
()𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟎𝟎𝟒𝟔
ٌهمل 𝟒𝟔
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أما
𝟐
أو
∴ هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتٌن غٌر محدد وهما : 𝟐
𝟏
𝟎𝟎𝟏
157
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟏
𝟒𝟔
𝟐
𝟎𝟎𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2016د1 جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص أذا كذذذان كذذذل ٌمذذذر ببذذذإرتً األخذذذر وكالهمذذذا ٌمعذذذان علذذذى محذذذور السذذذٌنات وطول المحور الكبٌر ٌساوي 𝟐√𝟔 وحدة طول وطول المحور الحمٌمً ٌساوي 𝟔 وحدة طول . الحل: كل من المطعٌن ٌمر ببإرة األخر ∴ رأسا المطع النالص ٌمثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزائد
𝟖𝟏
𝟐
فً المطع النالص : 𝟐√𝟑
𝟐
𝟐√𝟔 𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
معادلة القطع الناقص
𝟗 𝟏
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟖𝟏
𝟗
𝟐
فً المطع الزائد : 𝟑
𝟔
𝟐
𝟖𝟏
𝟐 𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
158
𝟐
𝟏
𝟗
𝟐
𝟗