ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد

Page 1

‫للعام الدراسي‬

‫طبعة جديدة‬ ‫ومنقحة‬

‫‪2017‬‬

‫أعداد األسـتاذ‬

‫‪ ‬شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل األول ‪.‬‬ ‫‪ ‬حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل األول ‪.‬‬ ‫‪ ‬أسئلة أضافية محلولة ‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل األول ‪ /‬األعداد المركبة‬ ‫تعرٌف ‪:‬‬

‫مالحظة‬ ‫ٌمكننا كتابة الجذر ألي عدد حمٌمً سالب بداللة 𝒊 فمثالا ‪:‬‬

‫مثال ‪ /)1‬أكتب ما ٌلً فً أبسط صورة ‪:‬‬

‫𝟑𝟏‪𝒅 𝒊−‬‬

‫‪1‬‬

‫𝟑𝟗‪𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+‬‬

‫𝟖𝟓𝒊 𝒃‬

‫𝟔𝟏𝒊 𝒂‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪3 − 5i‬‬

‫مالحظة‬

‫مثال ‪ / 2‬أكتب األعداد التالٌة على الصورة 𝒊𝒃 ‪𝒂 +‬‬ ‫𝟓𝟐‪𝟏 + −‬‬ ‫𝟒‬

‫𝒅‬

‫𝟎𝟎𝟏‪−‬‬

‫𝟑‪𝒄 − 𝟏 − −‬‬

‫مثال ‪ /‬أكتب األعداد التالٌة بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب ‪:‬‬

‫𝟓‪𝒂 −‬‬

‫𝒃‬

‫𝟏 𝟓𝟐‪𝟏 + −‬‬ ‫𝒊𝟓𝟐‬ ‫𝟓 𝟏‬ ‫‪= +‬‬ ‫=‬ ‫𝒊 ‪+‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒 𝟒‬

‫𝒅‬

‫𝒊𝟎 ‪𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 +‬‬ ‫𝐢 ‪𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 −‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒𝟐𝒊‬ ‫𝒊 ‪= 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 = 𝒊 = 𝟎 +‬‬ ‫𝒊‬ ‫𝒊‬

‫𝟑𝟐‪−‬‬

‫𝟖𝒊 𝟏‬ ‫𝐢𝟎 ‪= 𝟔 = 𝟔 = 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 +‬‬ ‫𝒊‬ ‫𝒊‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒𝟒𝒊‬ ‫𝐢𝟎 ‪= 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 = 𝟏 = 𝟏 +‬‬ ‫𝒊‬ ‫𝒊‬ ‫𝒊 ‪𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 −‬‬

‫𝒓𝒐‬

‫‪2‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟔𝟏𝒊‬ ‫=‬ ‫𝒊 ‪= 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 −‬‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝒊‬ ‫𝒊‬

‫𝒊 𝒄‬

‫𝟔‪−‬‬

‫𝒊 𝒅‬

‫𝟒𝟒‪−‬‬

‫𝒊 𝒆‬

‫= 𝟑𝟏‪𝒇 𝒊 −‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬أكتب كال مما ٌأتً بالصٌغة ‪: bi‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫مثال ‪ /‬عٌن الجزء الحمٌمً والجزء التخٌلً لؤلعداد المركبة التالٌة ثم ضعها بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب ‪.‬‬

‫ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة للعدد المركب‬

‫خاصٌة التساوي‬

‫مثال (‪ /)3‬جد لٌمة كل من ‪ x ,y‬الحمٌمٌتٌن التً تحممان المعادلة فً كل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝒊 𝟏 ‪𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 +‬‬

‫‪3‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝒊𝒚𝟖 ‪𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 +‬‬

‫𝒊𝟑 ‪(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 +‬‬

‫عملٌة الجمع على األعداد المركبة‬ ‫عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحمٌمٌة مع بعضها واألجززاء التخٌلٌزة مزع بعضزها والنزاته زو أٌضزا عزدد‬ ‫مركب وكما ٌلً ‪:‬‬ ‫نفرض 𝒊 𝟏𝒃 ‪𝑪𝟏 = 𝒂𝟏 +‬‬

‫و‬

‫𝒊 𝟐𝒃 ‪𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 +‬‬

‫عددان مركبان فأن ‪:‬‬

‫𝒊 𝟐𝒃 ‪𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 +‬‬

‫خواص الجمع على األعداد المركبة ‪:‬‬ ‫مغلمة‬ ‫أبدالٌة‬ ‫تجمٌعٌة‬ ‫النظٌر الجمعً‬ ‫العنصر المحاٌد‬ ‫زمرة أبدالٌة‬ ‫مثال (‪ /)4‬جد مجموع العددٌن فً كل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝒊𝟐 𝟐‪𝒂 𝟑+𝟒 𝟐𝒊 , 𝟓−‬‬ ‫𝟐 𝟐‪=𝟖+‬‬

‫𝟐 𝟐‪= 𝟑+𝟓 + 𝟒 𝟐 −‬‬

‫𝟐 𝟐‪𝟓−‬‬

‫𝟐 𝟒‪𝟑+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟓 ‪𝟑 ,𝟐 −‬‬ ‫𝟓‪=𝟓−‬‬

‫𝟓‪= 𝟑+𝟐 + 𝟎−‬‬

‫𝟓‪+ 𝟐−‬‬

‫𝟎‪𝟑+‬‬

‫𝟑 ‪,‬‬ ‫𝟐‪=𝟏+‬‬

‫‪4‬‬

‫𝟑 ‪= 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 +‬‬

‫𝟑‪+ 𝟎+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالٌة ‪:‬‬ ‫‪= −𝟏 −‬‬ ‫‪= 3 +‬‬

‫‪+ 5+7−‬‬

‫=‬

‫‪+3−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟕‪=𝟑+‬‬

‫𝟓‪= 𝟏+‬‬

‫‪,‬‬

‫= ‪+‬‬

‫‪+5 + 3+7 + − −‬‬

‫𝟐 ‪, −𝟓+‬‬ ‫𝟐 𝟐 ‪= −𝟑 +‬‬

‫‪= 𝟐−𝟓 +‬‬

‫𝟐 ‪𝟐+‬‬

‫𝟐 ‪+ −𝟓 +‬‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪𝟐 + −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪𝟐+‬‬

‫طرح األعداد المركبة‬ ‫أذا كان‬

‫‪+‬‬

‫و‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫فأن‬

‫=‬

‫‪+ −‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫مثال (‪ /)5‬جد ناته ‪:‬‬ ‫𝟑𝟏 ‪𝟕 −‬‬

‫𝟒‪− 𝟗+‬‬ ‫𝟒 ‪+ −𝟗 −‬‬ ‫𝟕𝟏 ‪= −𝟐 −‬‬

‫مثال (‪ /)6‬حل المعادلة‬

‫‪= −𝟓 +‬‬

‫𝟓 ‪= −𝟕 +‬‬

‫مثال ‪ /‬أذا كان‬ ‫فأوجد ما ٌلً‬

‫‪,‬‬

‫𝟒 ‪+ −𝟐 +‬‬

‫𝟕 ‪= −𝟏 −‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟗 ‪= −𝟏 −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪− 𝟐−‬‬

‫𝟐‪= 𝟏+‬‬

‫𝟕 ‪− 𝟒 −𝟏 −‬‬

‫𝟑𝟑 ‪+ −𝟑 −‬‬

‫أذا كان‬

‫‪= −𝟓 +‬‬

‫‪= −𝟓 +‬‬

‫𝟒 ‪−𝟐 −‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪+ 𝟑 −𝟏 −‬‬

‫𝟏𝟏 ‪= −𝟏 −‬‬

‫𝟒 ‪𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 −‬‬

‫𝟒 ‪ 𝟐 −‬حٌث ‪ℂ‬‬

‫𝟒 ‪= −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 +‬‬

‫𝟏𝟏 ‪= −𝟏 −‬‬ ‫𝟑‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟑𝟏 ‪𝟕 −‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪+ +‬‬

‫𝟖𝟐 ‪+ 𝟒 +‬‬

‫𝟒 ‪= −𝟐 −‬‬

‫𝟑𝟑 ‪= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 −‬‬

‫𝟕 ‪= −𝟏 −‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟐 ‪+ 𝟑 = −𝟐 𝟏 +‬‬

‫𝟒 ‪−𝟐 −‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‪= 𝟏+‬‬

‫𝟐‪−𝟑 +𝟐 −𝟒 +‬‬

‫‪5‬‬

‫فأوجد ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟑‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫عملٌة الضرب على األعداد المركبة‬ ‫أذا كان‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪،‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬ ‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪k‬‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫فأن‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫= ‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫= ‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫خواص عملٌة الضرب على األعداد المركبة‬ ‫(‪ )1‬عملٌة الضرب مغلمة أي أن الناته دائما عدد مركب‬ ‫= 𝟐 ‪𝟏.‬‬ ‫(‪ )2‬عملٌة الضرب أبدالٌة أي أن 𝟏 ‪𝟐 .‬‬ ‫(‪ )3‬عملٌة الضرب تجمٌعٌة أي أن 𝟑 ‪= 𝟏 . 𝟐 .‬‬ ‫(‪ )4‬المحاٌد الضربً و (‪ )1‬وٌكتب 𝟎 ‪𝟏 = 𝟏 +‬‬ ‫(‪ )5‬النظٌر الضربً للعدد ( ‪ ) c‬و‬

‫𝟏‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟑‬

‫‪.‬‬

‫𝟐‬

‫وٌمكن أن ٌكتب بالصٌغة‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫مثال (‪ / )7‬جد ناته كال مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟓‪𝟑−‬‬ ‫𝟗 ‪= 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 −‬‬

‫𝟗𝟏 ‪= −𝟗 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏 ‪= 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 +‬‬

‫𝟒𝟐 ‪= 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟐−‬‬

‫𝟓‪𝟑−‬‬

‫𝟑‪𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏 ‪= 𝟗 + 𝟐𝟒 +‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪= − 𝟏 = −𝟏 +‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪= +‬‬

‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟑‪𝟒+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟏‬

‫‪i‬‬

‫𝟐‬

‫‪= −𝟏𝟎 −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟒 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟐‪=𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫‪+ 𝟏−𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪= 𝟏+𝟐 +‬‬

‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‪𝟒+‬‬

‫‪+ 𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫جد ناته كل مما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟏 + 𝟐 −‬‬

‫𝟑‪𝟐 + −‬‬

‫𝟏‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‪𝟐 + −‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‪𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −‬‬

‫𝟑‬

‫‪6‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مرافك العدد المركب‬ ‫أذا كان ‪ C‬عدد مركب فأن مرافمه ٌرمز له ̅ أي أذا كان‬ ‫فمثالا ‪:‬‬

‫و مرافك العدد‬

‫‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫‪ 𝟑 −‬وبالعكس ‪ ,‬وكذلن مرافك العدد‬

‫و مرافك العدد 𝟐 ‪𝟑 −‬‬

‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫‪+‬‬

‫فأن‬

‫‪−‬‬ ‫و‬

‫=̅‪.‬‬

‫‪ −‬وبالعكس ‪.‬‬

‫وبالعكس ‪ ,‬وكذلن مرافك العدد 𝟑 و 𝟑 ‪.‬‬

‫مالحظة‬ ‫أذا كان‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫عدد مركب مرافقه هو‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫و‬

‫𝟐‬

‫فأن‬ ‫𝟐=𝟐 ‪+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐= 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟏‬

‫الجدول أدناه ٌوضح المرافك للعدد المركب والنظٌر الجمعً والضربً ‪:‬‬ ‫النظٌر الضربً‬ ‫النظٌر الجمعً‬ ‫العدد المركب‬ ‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟔‪−‬‬

‫‪− −‬‬

‫𝟐‪𝟑−‬‬

‫𝟐 ‪−𝟑 +‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟒‬

‫𝟔‪−‬‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟒‪𝟏 , −‬‬ ‫مثال (‪ / )8‬أذا كان‬

‫‪= 𝟏+‬‬

‫𝟏‬

‫المرافك‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‪𝟏 , −‬‬

‫𝟒 ‪−𝟏 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪=𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟏 ,‬‬

‫فتحمك من ‪:‬‬ ‫̅​̅​̅ ̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ 𝟏‬ ‫𝟐 ‪𝟏+ 𝟐 = 𝟏+‬‬

‫‪.‬‬

‫= ‪.‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫‪𝟏+ 𝟐 = 𝟏+ +𝟑−𝟐 = 𝟒− =𝟒+‬‬

‫‪.‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟐̅​̅​̅ ‪̅​̅​̅𝟏 +‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ ‪𝟏 + +‬‬ ‫‪𝟑−𝟐 =𝟏− +𝟑+𝟐 = 𝟒+‬‬

‫‪.‬‬

‫̅​̅​̅ ̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ 𝟐‬ ‫𝟐 ‪𝟏− 𝟐 = 𝟏−‬‬

‫‪.‬‬

‫= ‪.‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟑 ‪𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 −‬‬

‫‪.‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟐̅​̅​̅ ‪̅​̅​̅𝟏 −‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ ‪𝟏 + −‬‬ ‫𝟐‪𝟑−𝟐 =𝟏− − 𝟑+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟑 ‪= −𝟐 −‬‬

‫‪7‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫̅​̅​̅ ̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ 𝟑‬ ‫𝟐 ‪𝟏. 𝟐 = 𝟏 .‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟐 ‪𝟏 + . 𝟑 −‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟐 𝟐 ‪𝟑 − 𝟐 + 𝟑 −‬‬ ‫‪𝟓+ =𝟓−‬‬ ‫‪=𝟓−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟑+𝟐 −𝟑 −‬‬

‫𝟐‪. 𝟑+‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫= 𝟐 ‪𝟏.‬‬

‫‪.‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟐̅​̅​̅ ‪̅​̅​̅𝟏 .‬‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ ‪𝟏 + .‬‬ ‫‪𝟑−𝟐 = 𝟏−‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫= 𝟏̿​̿​̿‬

‫𝟒‬

‫̿​̿​̿​̿​̿​̿​̿ = 𝟏̿​̿​̿‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅ = ‪𝟏 +‬‬ ‫= ‪𝟏− =𝟏+‬‬ ‫𝟎‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟏̅​̅​̅‬ ‫𝟏‬ ‫=) (‬ ‫𝟐̅​̅​̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐 𝟐‪𝟑+𝟐 +𝟑 +‬‬ ‫𝟓‪𝟏+‬‬ ‫𝟓‪𝟏−‬‬ ‫𝟏‬ ‫( =) (‬ ‫(=)‬ ‫‪)=.‬‬ ‫(=‪/‬‬ ‫=)‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟗+‬‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓‪𝟏−‬‬ ‫𝟑𝟏‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫𝟏̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬

‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‪𝟑−𝟐 −𝟑 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟗+‬‬

‫‪.‬‬

‫مالحظة‬ ‫(‪ )1‬عند ظهور‬

‫فً الممام نضرب ممام البسط وكسره بمرافك الممام لتبسٌط الحل ‪.‬‬

‫(‪ٌ )2‬مكن أستخدام التعبٌر (مملوب العدد المركب) بدل (النظٌر الضربً) وٌرمز له بالرمز‬ ‫مثال (‪ / )9‬جد النظٌر الضربً للعدد المركب‬

‫مثال (‪ / )10‬أذا كان‬

‫𝟐‪𝟑−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟓‪𝟏+‬‬

‫𝟐‪= 𝟐−‬‬

‫مترافمان فجد لٌمة كل من‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟐−‬‬ ‫𝟐‪𝟐−‬‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝟓‪𝟏+‬‬

‫𝟓‪𝟏+‬‬ ‫𝟕𝟏 ‪= −𝟕 +‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫𝟓‪𝟏+‬‬

‫‪−‬‬

‫و و ٌساوي‬

‫وضعه بالصٌغة العادٌة للعدد المركب‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟐 =‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= +‬‬ ‫‪= +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‪𝟐 +‬‬ ‫𝟒‪𝟒+‬‬ ‫𝟖‬ ‫𝟖 𝟖‬ ‫𝟒 𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‪= 𝟑+‬‬

‫𝟎𝟏 ‪= 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 +‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫من تساوي األعداد المركبة نجد أن‬ ‫الحقيقي‬ ‫التخيلي‬

‫‪8‬‬

‫𝟕=‬

‫𝟕‪− = −‬‬

‫𝟕𝟏‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟕𝟏 =‬

‫𝟏‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال (‪ / )11‬أذا كان‬

‫𝟐‪=𝟑−‬‬

‫𝟏‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫‪=𝟏+‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫= )𝟏 (‬

‫̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟏‬

‫فتحمك من‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐 𝟐‪𝟑−𝟑 −𝟐 +‬‬ ‫𝟓‪𝟏−‬‬ ‫𝟓‪𝟏+‬‬ ‫𝟓 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫( =) (‬ ‫(=)‬ ‫‪)=.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟏̅​̅​̅‬ ‫=‬ ‫̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟓‪𝟏+‬‬ ‫𝟓 𝟏‬ ‫‪= +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+𝟑 +𝟐 +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫لسمة األعداد المركبة‬ ‫عند لسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافك الممام وكما ٌلً‬ ‫مثال (‪ / )12‬ضع كال مما ٌأتً بالصورة‬

‫̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫‪= =𝟎+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐 −‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟗 +‬‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓‪𝟎−‬‬ ‫𝟓‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪=− =𝟎−‬‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫̅​̅​̅​̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟔−𝟖 −𝟑 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟐𝟒 ‪𝟑𝟐 +‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫‪−𝟐 −‬‬ ‫𝟐 ‪−𝟐 − − 𝟒 −‬‬ ‫=‬ ‫‪−𝟐 −‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪−𝟐 𝟐 +‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫=‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+ + +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫=‬

‫مالحظة‬ ‫ٌمكن تحلٌل‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫الى حاصل ضرب عددٌن مركبٌن كل منهما من الصورة‬ ‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫مثال (‪ / )13‬حلل كالا مما ٌأتً الى حاصل ضرب عاملٌن من الصورة‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫حٌث‬

‫‪+‬‬

‫𝟗𝟑‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟕+‬‬ ‫𝟑 ‪𝟔+‬‬

‫‪9‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫أعداد نسبٌة ‪.‬‬

‫𝟑𝟓‬ ‫‪= 𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 −‬‬

‫𝟐‪= 𝟕−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 −‬‬

‫𝟑 ‪= 𝟔−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 −‬‬

‫𝟎𝟏‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫تمارين‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪−‬‬

‫س‪ / 1‬ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب ‪:‬‬ ‫‪, 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,‬‬ ‫𝟑‪𝟑+ 𝟑 𝟐+‬‬ ‫𝟒‪𝟏+‬‬ ‫(‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟒+‬‬

‫𝟐 ‪+ 𝟏𝟐 +‬‬ ‫‪,‬‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪𝟒 +‬‬

‫𝟑‪, 𝟐+‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬

‫‪,‬‬

‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟗𝟗𝟗‬

‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫𝟒𝟐𝟏‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫‪− 𝟏−‬‬

‫𝟔‬

‫‪,‬‬

‫𝟓‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟑 ‪𝟏+ 𝟑+ 𝟏−‬‬ ‫𝟓‬ ‫‪= 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 +‬‬ ‫𝟎 ‪= 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 +‬‬ ‫𝟎‪=𝟏=𝟏+‬‬ ‫‪. 𝟐 . = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −‬‬ ‫‪= =𝟎+‬‬ ‫𝟒𝟏 ‪+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 +‬‬ ‫𝟎𝟔 ‪= −𝟏𝟖 +‬‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟏−𝟐 +‬‬ ‫𝟎‪−𝟒 𝟐 =𝟎=𝟎+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐 ‪−𝟕 +‬‬ ‫𝟒𝟐 𝟕‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟗 +‬‬ ‫𝟓𝟐 𝟓𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟏 = ‪.‬‬

‫𝟗 ‪= 𝟒 + 𝟏𝟐 +‬‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫= ‪.‬‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬ ‫‪−𝟏𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟐𝟒 ‪𝟑𝟐 +‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬ ‫𝟐 ‪𝟑−𝟑 + −‬‬ ‫𝟑 𝟐‪𝟒−‬‬ ‫‪) =.‬‬ ‫(= ‪/‬‬ ‫𝟑 ‪) = 𝟐−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪𝟐− = 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟐− = 𝟑−𝟒 𝟐− =𝟔−𝟑 −𝟖 +‬‬

‫=‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫‪10‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫=‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟑 ‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫(‬ ‫(= )‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪= 𝟐−‬‬

‫𝟒‪𝟏+‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐 −𝟏𝟎 +‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪−𝟏𝟎 +‬‬ ‫𝟑‪𝟓+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟒+‬‬ ‫𝟐 ‪𝟒+ −𝟒 −‬‬ ‫𝟑‪𝟓−‬‬ ‫𝟑‪𝟓−‬‬ ‫𝟑‪𝟓+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑𝟑 ‪−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 +‬‬ ‫𝟓𝟐 ‪−𝟖𝟑 +‬‬ ‫𝟓𝟐 ‪−𝟖𝟑 +‬‬ ‫𝟓𝟐 𝟑𝟖‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‪𝟓 +‬‬ ‫𝟗 ‪𝟐𝟓 +‬‬ ‫𝟒𝟑‬ ‫𝟒𝟑‬ ‫𝟒𝟑‬ ‫‪= 𝟏+ 𝟐 𝟏+ + 𝟏− 𝟐 𝟏−‬‬ ‫‪= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ + 𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏−‬‬ ‫𝟎 ‪= 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 +‬‬

‫𝟏‪𝟒 +‬‬

‫𝟑 ‪𝟏𝟎 +‬‬

‫‪− 𝟏−‬‬ ‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏𝟏 ‪= 𝟐 −‬‬

‫𝟑‬

‫‪.‬‬

‫𝟔‪𝟎+‬‬

‫𝟑‪𝟐−‬‬ ‫𝟐‪𝟐 −𝟑 𝟐 𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 =‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‪𝟐−‬‬ ‫𝟑‪𝟐 +‬‬ ‫𝟗‪𝟒+‬‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫𝟑𝟏 𝟑𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟒𝟐 𝟒‬

‫=‬

‫𝟗𝟗𝟗‬

‫𝟐 ‪+ 𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟖𝟏 ‪= 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏𝟑 𝟒‬

‫=‬

‫𝟒𝟐𝟏‬

‫𝟏 =‬

‫𝟏 =‬

‫‪= 𝟏+ 𝟐 𝟐− 𝟏−‬‬ ‫𝟒 = 𝟐 𝟐‪= 𝟐 𝟐 − −‬‬

‫𝟐𝟏 ‪𝟏 −‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪= 𝟏 −‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟒𝟐‬

‫𝟏𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟔‬

‫‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏+‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 2‬جد لٌمة كل من ‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الحمٌمٌتٌن اللتٌن تحممان المعادالت األتٌة ‪:‬‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫‪−𝟐 + 𝟒 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 = 𝟓‪+‬‬

‫معادلة①‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+𝟓 = 𝟐 +‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐=‬

‫𝟒‪+‬‬

‫𝟓‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐= 𝟓‪+‬‬ ‫𝟐 = 𝟓‪+‬‬

‫نعوض في معادلة① 𝟏 =‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎=𝟐‪−𝟐=𝟐−‬‬ ‫𝟎=‬

‫𝟏‪+‬‬ ‫𝟑‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫= 𝟖‬ ‫𝟑‬

‫معادلة①‬

‫𝟏‪+‬‬

‫=‬

‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟎= 𝟏‪−‬‬

‫‪=𝟒−‬‬ ‫②‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎= 𝟑‪−𝟒 +‬‬

‫𝟏=‬

‫نعوض في معادلة‬

‫𝟒=‬ ‫𝟑=‬

‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏− − +‬‬ ‫‪) = −𝟑 + 𝟒 − .‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬ ‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟓=‬

‫𝟓 ‪= −𝟑 +‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫(‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪𝟔−𝟑 −𝟐 +‬‬ ‫‪1 +0‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟐 𝟐 +‬‬

‫𝟐‪= 𝟏+‬‬

‫=‬

‫𝟑‪𝟓 𝟏−‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫]‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫[‪] +‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫[‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫=‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟏 (‬ ‫𝟑‪𝟏−‬‬ ‫𝟓‪𝟓−‬‬ ‫[‪] +‬‬ ‫‪] =−‬‬ ‫⇒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓‬ ‫𝟎𝟏 ‪𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −‬‬

‫[‬

‫تحل أنيآ بالجمع‬

‫معادلة‬

‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟓‪𝟏𝟎 = −‬‬ ‫=‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫𝟏=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪= 𝟏+‬‬

‫(‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫معادلة①‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫) نضرب بالعدد‬

‫𝟎𝟏‪= −‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫(‪−‬‬ ‫𝟒‪) = 𝟏+𝟒 +‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪−‬‬ ‫( ‪= −𝟑 + 𝟒 −‬‬ ‫‪) = −𝟑 + 𝟒 +‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟐−𝟐 − +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟓‪+𝟐 𝟓−‬‬

‫⇒‬

‫𝟎=𝟏‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖= 𝟐‪𝟐 +‬‬ ‫𝟑 = ‪𝟒−‬‬

‫𝟎=𝟑‪−‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟒‬

‫= 𝟖‬ ‫= 𝟖‬

‫𝟎=𝟑‪−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟒 −‬‬

‫𝟐‬

‫= 𝟖‬

‫𝟒‪+𝟐 +𝟐 +‬‬ ‫𝟐‪−𝟑 + 𝟐 +‬‬

‫𝟑=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟑=‬

‫نعوض في معادلة‬

‫𝟑=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟓=𝟓‬ ‫𝟏 𝟐=‬

‫‪11‬‬

‫𝟎 = 𝟎𝟏 ‪𝟓 +‬‬ ‫𝟎𝟏‪−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −‬‬ ‫𝟎𝟏‪−𝟏𝟎 = −‬‬ ‫𝟎 = 𝟎𝟏 ‪𝟓 𝟏 +‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 3‬أثبت أن ‪:‬‬ ‫𝟖‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟐 𝟏‬ ‫(=‬ ‫(‪) −‬‬ ‫)‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟐 (‬ ‫𝟐 (‪) −‬‬ ‫)‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟐 +‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟐 +‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫(‪)−‬‬ ‫)‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪𝟐−‬‬ ‫)‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪𝟒−𝟒 +‬‬ ‫‪/−.‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫(=‪/‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐 ‪𝟐+‬‬ ‫𝟏‬ ‫(‪) −‬‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫الطريقة األولى‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐 ‪𝟐+‬‬ ‫𝟐 ‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟒+𝟒 +‬‬ ‫(‬ ‫(‪) −‬‬ ‫‪) =.‬‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑+𝟒 −𝟑+‬‬ ‫𝟖‬ ‫=‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟐 ‪𝟒+𝟒 + 𝟐 − 𝟒−𝟒 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐 ‪𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟒+𝟒 +‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪− 𝟐−‬‬ ‫‪𝟐 𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟒‪𝟑+𝟒 −𝟑+‬‬ ‫𝟖‬ ‫𝟖‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪𝟑 +‬‬ ‫𝟓𝟐 𝟔𝟏 ‪𝟗 +‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟒+𝟒 +‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟐 (=)‬ ‫𝟐 (‪)−‬‬ ‫)‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑 +‬‬ ‫𝟐𝟒 ‪𝟑 +‬‬

‫𝟏‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫الطريقة الثانية‬

‫𝟒‪𝟑+𝟒 − 𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑−𝟒 𝟑+‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟒−𝟒 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟏‬ ‫(‪)−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫الطريقة الثالثة‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬ ‫𝟒‪𝟑−‬‬ ‫𝟒‪𝟑+𝟒 −𝟑+‬‬ ‫𝟖‬ ‫(‬ ‫(‪)−‬‬ ‫(=)‬ ‫(‪)−‬‬ ‫=)‬ ‫=‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟗 +‬‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟗 +‬‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪= −‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫‪𝟏− + 𝟏+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬ ‫=‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟒‪−𝟐 − 𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‪= −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫‪+ 𝟏+𝟐 +‬‬ ‫𝟏‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪12‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏− 𝟑+ 𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+ 𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪+𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 ‪−𝟐 +‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫الطريقة األولى‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫‪𝟏+ 𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪) 𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬ ‫‪+( ) 𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪) 𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫‪) 𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏− 𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫(=‬

‫𝟐‪= −𝟏 − 𝟏 = −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪+ +‬‬

‫‪𝟏+𝟐 +‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫=‬

‫(=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪) 𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏+ + +‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪/ 𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫(‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏−𝟐 +‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏− − +‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪/ 𝟏−‬‬

‫‪=− +‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫الطريقة الثانية‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫(‬ ‫‪) 𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫الطريقة الثالثة‬

‫الحظ عزٌزي الطالب نا تستطٌع أن تضرب كل جزء بالمرافك أو توجد المضاعف (توحٌد الممامات)‬ ‫𝟒‪−𝟐 − 𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‪= −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟏‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪1+0‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟏‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪1+0‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐 ‪−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪1+0‬‬

‫‪1=0‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪+𝟐 𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪−𝟐 𝟏 −‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫الطريقة الرابعة‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏− 𝟐 𝟏−‬‬ ‫𝟐 ‪=0‬‬ ‫𝟐 ‪1+0‬‬ ‫‪1=0‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏 +‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏 +‬‬ ‫𝟏‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪1+0‬‬

‫‪𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪=0‬‬

‫𝟐 𝟐 ‪−𝟐 +‬‬ ‫𝟐 𝟐‪𝟐 +‬‬ ‫𝟐 ‪−𝟐 −‬‬ ‫𝟐 ‪−𝟐 +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪1+0‬‬ ‫[=‪1‬‬ ‫[‪]+‬‬ ‫𝟐‪] = −𝟏 − − 𝟏 + = −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫] ‪𝟏 + 𝟏 [𝟏 − −‬‬ ‫𝟒=𝟐‪=𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟐+𝟐 −𝟐 −‬‬

‫س‪ / 4‬حلززل ك زالا مززن األعززداد 𝟓𝟖 ‪𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 ,‬‬ ‫الصورة ‪ +‬حٌث ‪ ,‬عددان نسبٌان ‪:‬‬

‫𝟒=‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪= 𝟏−‬‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 −‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬

‫الززى حاصززل ضززرب عززاملٌن مززن‬

‫𝟐 ‪𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 +‬‬ ‫𝟐 ‪𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 +‬‬ ‫𝟒 ‪𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 +‬‬ ‫𝟐 ‪𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 +‬‬

‫‪13‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪/ 5‬جد لٌمة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫𝟔‬

‫أذا علمت أن‬

‫‪,‬‬

‫نغٌر إشارة البسط والممام للعدد التخٌلً‬ ‫‪𝟔 𝟐+‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟎𝟑 ‪𝟑𝟎 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫=‬

‫‪,‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟑+‬‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫مترافمان ‪.‬‬

‫لكً ٌصبح العددان متساوٌان ونحل المعالة ‪.‬‬

‫‪𝟐−‬‬

‫‪𝟑−‬‬

‫‪+‬‬ ‫𝟓‪𝟔 𝟓+‬‬ ‫𝟏‪𝟗+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪𝟔 𝟐+‬‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟔 𝟔+𝟐 +𝟑 +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟑𝟐 +‬‬ ‫‪=𝟑 ,‬‬ ‫𝟑=‬

‫=‬

‫𝟔‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟔 𝟐+‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟑‪=𝟑+‬‬

‫‪+‬‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافية محلولة‬ ‫مثال ‪ /‬أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة كل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪=𝟓+‬‬

‫𝟖‪= 𝟐+‬‬

‫𝟒‪+ 𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+ 𝟐−‬‬

‫‪+ 𝟒−𝟒 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟏‬

‫𝟑‪𝟓+‬‬

‫𝟑‪𝟓+𝟓 +𝟑 +‬‬ ‫𝟗‬

‫‪𝟑 −‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏+‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟗‬

‫𝟗 𝟒‪−‬‬ ‫( = )‬ ‫‪) = −‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟑 −𝟑 − +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫( = ‪/‬‬

‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫‪𝟑 −‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫‪=− =𝟎−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟑 𝟒‪+ 𝟒−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟑 𝟐‪= 𝟏−‬‬

‫𝟑 𝟔 ‪= −𝟏 −‬‬

‫𝟗‬

‫𝟖‬

‫‪/ =.‬‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫‪.‬‬

‫‪= −‬‬

‫𝟑‪+ 𝟐 − −‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟑 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪+ 𝟐−‬‬

‫𝟑 𝟒‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟏 − −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 𝟐 ‪−𝟐 −‬‬

‫مثال ‪ /‬جد عددٌن مركبٌن مترافمٌن مجموعهما = 𝟔 وحاصل ضربهما = 𝟎𝟏‬ ‫نفرض أن العدد هو‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫عدد مركب مرافقه هو‬ ‫𝟑=‬

‫𝟏=‬ ‫∴ العددان هما‬

‫‪𝟑−‬‬

‫و‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫𝟐=𝟔‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟑+‬‬

‫‪14‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 +‬‬

‫𝟐=‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟏.‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬أكتب العدد‬

‫‪−𝟐 +‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫𝟐 ‪ 𝟑 +‬بالصٌغة العادٌة ثم جد النظٌر الضربً له بالصٌغة الدٌكارتٌة ‪.‬‬ ‫الصيغة االجبرية‬

‫𝟖‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫(=‬ ‫الصيغة الديكارتية ) ‪,‬‬ ‫𝟓𝟔 𝟓𝟔‬

‫مثال ‪ /‬أذا كان 𝟐 ‪= −𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪= −𝟖 −‬‬

‫‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐 ‪= −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 +‬‬

‫‪−𝟖 +‬‬ ‫‪−𝟖 +‬‬ ‫𝟏 𝟖‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪−𝟖 +‬‬ ‫𝟏 ‪−𝟖 +‬‬ ‫𝟓𝟔 𝟓𝟔‬

‫فأوجد لٌمة المعادلة 𝟓 ‪+ 𝟐 +‬‬ ‫𝟓‪+‬‬

‫𝟎 ‪+ 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 +‬‬

‫مثال ‪ /‬أذا كان ‪ℂ‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫=‬ ‫‪−𝟖 −‬‬ ‫‪−𝟖 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪+ 𝟐 −𝟏 +‬‬ ‫𝟒 ‪+ −𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪+ 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪= 𝟏−𝟒 +‬‬

‫و ̅ مرافك له جد العدد المركب الذي ٌحمك 𝟑 ‪𝟑 + ̅ =𝟐 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟑‪=𝟐 +‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟑‪𝟑 +‬‬

‫‪+‬‬

‫=̅‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‪=𝟐 +‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟏𝟑−‬‬ ‫‪𝟒+‬‬

‫=‬

‫‪,‬‬

‫‪𝟕−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫=‬

‫أثبت أن‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟑= 𝟒‬

‫𝟑=‬

‫‪𝟑 +‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟐= 𝟐‬

‫𝟐=‬

‫‪𝟑 −‬‬

‫مترافمان ثم أحسب الممدا ر‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟒‬

‫مثال ‪ /‬أذا كان‬

‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية‬ ‫𝟕𝟏 ‪𝟓𝟏 −‬‬ ‫𝟕𝟏 𝟏𝟓‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=𝟑−‬‬ ‫𝟕𝟏‬ ‫𝟕𝟏 𝟕𝟏‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟓 ‪𝟏𝟓 +‬‬ ‫‪=𝟑+‬‬ ‫𝟓‬

‫‪𝟒−‬‬ ‫‪𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟒−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟒𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟏𝟑 −‬‬ ‫‪𝟏𝟑 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟒+‬‬ ‫‪𝟒+‬‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟐𝟐 +‬‬

‫‪𝟕−‬‬ ‫‪𝟕−‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟔=‬

‫‪+ 𝟑−‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫‪𝟑−‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫𝟎𝟏 = 𝟏 ‪= 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 +‬‬

‫مترافقان‬ ‫𝟎𝟔 = 𝟔 𝟎𝟏 =‬

‫‪15‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافك)‬ ‫𝟐‪=𝟏+‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟐 𝟒‪𝟏+𝟒 𝟏−‬‬ ‫𝟐‪𝟏−𝟐 𝟏+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‪𝟏−‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‪𝟏−‬‬

‫𝟓‬ ‫‪𝟒+𝟏 𝟒−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟓‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪𝟐− 𝟐+‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪=𝟐+‬‬

‫𝟐‪= 𝟐 𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‪=𝟐−‬‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐 𝟗‪𝟒+𝟗 𝟒−‬‬ ‫𝟑‪𝟐−𝟑 𝟐+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟑‪𝟐+‬‬ ‫𝟑‪𝟐+‬‬ ‫𝟑‪𝟐+‬‬ ‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟐‪=𝟑−‬‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐 𝟒‪𝟗+𝟒 𝟗−‬‬ ‫𝟐‪𝟑−𝟐 𝟑+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟓 𝟐‬ ‫𝟒‪𝟐 𝟏+‬‬ ‫𝟒‪𝟐 𝟏−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬

‫𝟐‪𝟐 𝟏−𝟐 𝟏+‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟒‪=𝟐−‬‬ ‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‪=𝟒−‬‬

‫‪𝟐 𝟐− 𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪= 𝟐 𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟓 𝟐‬ ‫𝟏‪𝟐 𝟒+‬‬ ‫‪𝟐 𝟒−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫مثال ‪ /‬حلل الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن كل مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟓‪−‬‬

‫𝟓‪+‬‬ ‫𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟗‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫()‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‪+‬‬

‫=‬

‫‪=( −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‪−𝟐 −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏 ‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫=‬

‫𝟓𝟐 ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪16‬‬

‫= 𝟒𝟔 ‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒𝟔 ‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟕𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟕𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫‪=( −‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟕𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫= 𝟐𝟏 ‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟕‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏 ‪−‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫=𝟒‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒𝟔 ‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫()‬ ‫𝟑‬ ‫‪−‬‬

‫𝟓𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫) ‪−‬‬ ‫𝟗‬ ‫=‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟏 ‪+‬‬ ‫= 𝟒‪+‬‬

‫𝟓𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟕‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟕‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬أوجد لٌمة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟗‪−‬‬

‫𝟔‪+‬‬

‫𝟐‬

‫= 𝟒‪−‬‬ ‫𝟗‪−‬‬ ‫𝟓‬

‫معادلة‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏 ‪𝟗 +‬‬

‫𝟗‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟔‪+‬‬

‫𝟎=𝟗‪−𝟓 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒= 𝟓‬

‫𝟐‪= −‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟐= 𝟓‪+‬‬

‫= 𝟓‬

‫‪+‬‬

‫𝟗‬ ‫𝟒‬

‫𝟗‪𝟒 −‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐= 𝟓‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+𝟓 = 𝟐 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+𝟓 = 𝟐 +‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟐=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐=‬

‫𝟑= 𝟓‬

‫‪𝟐−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪=𝟑+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟖+‬‬ ‫‪𝟖+‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟏=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪17‬‬

‫𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫‪=𝟖+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟓‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟎𝟓‬ ‫𝟗 ‪𝟓𝟎 −‬‬ ‫= 𝟏‪= 𝟐( ) −𝟏 = 𝟐( )−‬‬ ‫=𝟏‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟗‬ ‫𝟗‬ ‫𝟗‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎=𝟗‪𝟒 −‬‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫نعوض في معادلة①‬

‫𝟎𝟏 ‪𝟏𝟓 +‬‬ ‫𝟐‪=𝟑+‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟔 = 𝟐𝟏‬

‫𝟎= 𝟗‪−𝟓 −‬‬

‫𝟗= 𝟒‬

‫𝟏‪= 𝟐 = 𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫= 𝟒‪𝟗 −‬‬

‫= 𝟐‬

‫معادلة‬

‫𝟏𝟒‬ ‫𝟗‬

‫𝟒 ‪𝟗 + 𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟗‪−‬‬ ‫𝟗‪𝟐 𝟐−‬‬ ‫𝟗‪𝟒 𝟐−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫𝟗‬ ‫) (𝟐 = 𝟐 =‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟏‪+‬‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟗‪−‬‬

‫نعوض في معادلة①‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫𝟏‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫‪= 𝟏𝟑 −‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪= 𝟏𝟑 −‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 𝟏𝟑 −‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬

‫معادلة‬ ‫معادلة‬

‫نعوض معادلة②في ①‬

‫𝟏‪+‬‬

‫𝟑𝟏 = 𝟏 ‪+ 𝟐 +‬‬ ‫𝟎= 𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‪= −‬‬

‫𝟑‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=𝟔‪−‬‬

‫𝟑=‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫نعوض في معادلة①‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟎 = 𝟐𝟏 ‪+ 𝟐 −‬‬

‫𝟐=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟒 ‪−‬‬ ‫𝟕‪𝟑 +‬‬

‫𝟗‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟗=‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫= ‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟐‪−‬‬

‫𝟕‪𝟑 −𝟕 𝟑 +‬‬ ‫𝟕‪𝟑 +‬‬

‫‪−𝟑 + 𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟑‪+‬‬

‫معادلة‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏 =‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟏‪+𝟏=𝟐+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟕‪= 𝟑 −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟑𝟏 =‬

‫𝟗𝟒 ‪𝟗 𝟐 +‬‬ ‫𝟕‪𝟑 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫) نقسم المعادلة على 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟏 ‪+ 𝟏 = −𝟑 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫= 𝟕‪𝟐+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪− +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐+‬‬

‫‪−𝟐 + 𝟐 −‬‬

‫‪−𝟑 + 𝟐 −‬‬ ‫𝟑 = 𝟑‪−‬‬

‫𝟕‪= −‬‬

‫‪=−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫‪=−‬‬

‫س‪ / 1‬حلل كل مما ٌأتً الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟓𝟐𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝟏 ‪−‬‬

‫𝟕‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝟔‪+‬‬

‫𝟗‪+‬‬

‫‪18‬‬

‫𝟗‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟏 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟕‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 2‬أوجد لٌمة‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‪= 𝟐+‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‪= 𝟓+‬‬

‫س‪ / 3‬ضع كال مما ٌلً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟐‪𝟓+‬‬

‫******************************************************************‬

‫الجذور التربٌعٌة للعدد المركب‬ ‫𝟐‬

‫أما أذا كانت 𝟒 =‬ ‫= و ً الجذور التربٌعٌة للعد د‬ ‫أذا كان = 𝟐 فأن‬ ‫احد جذري المعادلة وألٌجاد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب توجد طرٌمتان الحظ األمثلة التالٌة ‪.‬‬ ‫مثال (‪ / )14‬جد الجذور التربٌعٌة للعدد‬

‫𝟔‪=𝟖+‬‬

‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫و‬

‫‪+‬‬

‫𝟔‪=𝟖+‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‪=𝟖+‬‬ ‫معادلة①‬

‫نعوض معادلة②في ①‬ ‫𝟎= 𝟏‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫فأن 𝟐 =‬

‫𝟔‪=𝟖+‬‬

‫الطرٌمة ① ‪ /‬نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد )‪(c‬‬ ‫‪−‬‬

‫زو‬

‫𝟑‬

‫معادلة②‬

‫𝟎 = 𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫=‬ ‫𝟖=𝟗‪−‬‬

‫نعوض في معادلة②‬ ‫𝟏‬ ‫يهمل‬ ‫الجذران هما‬

‫𝟑‬ ‫=‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫‪, −𝟑−‬‬

‫𝟖=‬

‫𝟑=‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟔=‬

‫)نضرب 𝟐 (‬

‫⇒‬

‫𝟖=‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗=‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫= =‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫الطرٌمة ② ‪ /‬نجزئ الجزء الحمٌمً الى عددٌن‬ ‫‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫بالجذر‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫‪𝟑+‬‬

‫الجذران هما‬

‫‪19‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪𝟗+𝟔 +‬‬

‫‪, −𝟑−‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫𝟐‬

‫= 𝟏‪= 𝟗+𝟔 −‬‬

‫𝟔‪𝟖+‬‬

‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مالحظة‬ ‫نفرض الجزذر زو‬ ‫عند أٌجاد الجذور التربٌعٌة لعدد مركب ٌحتوي على‬ ‫فً المثال التالً ‪.‬‬ ‫مثال (‪ / )15‬جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد ‪𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓 :‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا‬

‫‪+‬‬

‫𝟖‬

‫الطرٌمة ① ‪ /‬نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد‬ ‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫و‬

‫𝟖‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫= 𝟖‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫= 𝟖‬

‫‪+‬‬

‫معادلة①‬ ‫نعوض معادلة②في ①‬

‫𝟒‬

‫معادلة②‬

‫𝟎= 𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫نعوضها في معادلة ②‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟒=‬ ‫𝟐‬

‫تهمل‬ ‫الجذران هما‬

‫𝟒=‬

‫𝟎 = 𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫=‬

‫)نضرب 𝟐 (‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟒‪−‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫= =‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎=𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖=‬ ‫⇒ 𝟎=‬

‫=‬

‫𝟐 ‪−𝟐 −‬‬

‫𝟎=‬

‫= 𝟖‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬

‫الطريقة ② ‪/‬‬ ‫بالجذر‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫الجذران هما‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬ ‫‪,‬‬

‫𝟐 ‪−𝟐 −‬‬

‫𝟒‪𝟒+𝟖 +‬‬

‫= 𝟒‪𝟖 = 𝟒+𝟖 −‬‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫‪−‬‬

‫الطرٌمة ① ‪ /‬نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد‬ ‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫نعوضها في معادلة ②‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫=‬

‫‪−‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫= ‪−‬‬

‫نعوض معادلة②في ①‬ ‫𝟎= 𝟏‪+‬‬

‫و‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫معادلة②‬ ‫𝟐 𝟏‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪+‬‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫‪20‬‬

‫(𝟐 𝟐‬

‫= ‪−‬‬ ‫معادلة①‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎=𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬ ‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)نضرب‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟎=‬

‫= ‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‪= −‬‬ ‫𝟒(‬ ‫𝟏‬ ‫=‬ ‫𝟎‬ ‫⇒‬ ‫𝟐 𝟒‬

‫𝟎 = 𝟏‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫(𝟐‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫تهمل‬ ‫𝟏‬

‫الجذران هما‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫الطريقة ② ‪/‬‬ ‫𝟏‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫الجذران هما‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫= )‬ ‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(√ =‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫‪− =√ − − =√ − +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟕𝟏 ‪−‬‬

‫𝟕𝟏‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟕𝟏‬

‫= 𝟏‪𝟏𝟕 −‬‬

‫= 𝟕𝟏‪−‬‬

‫=‬

‫𝟓𝟐‬

‫= 𝟏‪𝟐𝟓 −‬‬

‫= 𝟓𝟐‪−‬‬

‫=‬

‫𝟕𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐 ‪−‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟓𝟐‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫حل المعادلة التربٌعٌة فً ‪ℂ‬‬ ‫كل معادلة تربٌعٌة ال ٌمكن حلها بطرٌمة التجربة فهً تحل بطرٌمة الدستور مثالا‬ ‫حٌث 𝟎‬

‫و‬

‫𝟒‪𝟐 −‬‬

‫فزأن‬

‫‪, ,‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫ونالحـزـظ أنــــزـه أذا كزان ممــزـدار الممٌـزـز‬

‫=‬

‫𝟒 ‪ 𝟐 −‬سالبا ا فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمزً الزى مجموعزة األعزداد المركبزة وٌوجزد نوعزان‬ ‫من حل المعادالت التربٌعٌة ‪.‬‬ ‫النوع األول ‪ /‬الممٌز ال ٌحتوي على‬ ‫مثال (‪ / )16‬حل المعادلة التربٌعٌة 𝟎 = 𝟓 ‪+ 𝟒 +‬‬ ‫حسب قانون الدستور فأن ‪= 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=4 ,‬‬

‫𝟐‬

‫فً مجموعة األعداد المركبة ‪.‬‬

‫=‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫𝟒‪𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 −‬‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪= −‬‬ ‫مجموعة حل المعادلة هي‬

‫} ‪−𝟐 −‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟓 𝟏 𝟒 ‪𝟏𝟔 −‬‬ ‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪{−𝟐 +‬‬

‫‪21‬‬

‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪𝟒 −‬‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟒‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬ ‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مالحظة‬ ‫من لانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربٌعٌة‬

‫𝟎=‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪− −‬‬

‫=‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪− +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫التً معامالتها الحمٌمٌة ً‬

‫‪− −‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫)مجموع الجذرين(‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫‪− +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬

‫‪− +‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪− +‬‬

‫𝟐‬

‫‪− −‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫=‬

‫‪𝟏.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫) حاصل ضرب الجذرين(‬

‫=‬

‫‪𝟏.‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏.‬‬

‫وٌمكن االستفادة من الخاصٌة أعاله فً أٌجاد الجذور التربٌعٌة وكما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟎=‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫مثال (‪ / )17‬جد المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟎‪=𝟎+‬‬

‫𝟐 ‪= −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 +‬‬

‫𝟖‪= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪+ 𝟐+‬‬

‫𝟐 ‪−𝟐 −‬‬

‫𝟐‪. 𝟐+‬‬

‫𝟐 ‪−𝟐 −‬‬

‫𝟒 ‪= −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 −‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟎= 𝟖‪−‬‬

‫مالحظة‬ ‫المعادلززة التربٌعٌززة التززً معامالتهززا حمٌمٌززة والتززً أحززد جززذرا ا‬ ‫والعكس صحٌح ‪.‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=‬

‫‪+‬‬

‫𝟖‪+ −‬‬

‫حٌززث 𝟎‬

‫فززأن الجززذر األخززر ززو‬

‫مثال (‪ / )18‬كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرٌها 𝟒 ‪𝟑 −‬‬ ‫∵ معامالت المعادلة حقيقية وأحد الجذرين هو 𝟒 ‪𝟑 −‬‬ ‫∴ الجذر األخر هو المرافق ويساوي 𝟒 ‪𝟑 +‬‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟔=‬

‫𝟓𝟐 = 𝟔𝟏 ‪= 𝟗 +‬‬

‫𝟒 ‪= 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟏 ‪= 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 −‬‬

‫𝟒‪+ 𝟑+‬‬

‫𝟒‪𝟑−𝟒 . 𝟑+‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟎 = 𝟓𝟐 ‪− 𝟔 +‬‬

‫‪22‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑−‬‬

‫𝟎 = 𝟓𝟐 ‪+‬‬

‫𝟔 ‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين ‪− 2‬‬ ‫س‪ / 1‬حل المعادالت التربٌعٌة األتٌة وبٌن أي منها ٌكون جذرا ا مترافمان ؟‬ ‫) جذراها مترافقان(‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏 =‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟎= ‪−𝟑 +𝟑+‬‬ ‫تحل بالدستور‬

‫‪=𝟑+‬‬

‫‪𝟗−𝟒 𝟏 𝟑+‬‬ ‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟒 ‪−𝟑 −‬‬ ‫𝟐‬

‫معادلة①‬

‫𝟒 ‪= −𝟑 −‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪− −‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪= −𝟑 −‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫معادلة③‬ ‫)نضرب‬ ‫𝟎= 𝟏‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫تربيع الطرفين‬

‫⇒ 𝟒 ‪−𝟑 −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫نعوض في معادلة③‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫الجذران هما‬

‫∴ مجموعة الحل هي } ‪, 𝟐 −‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟎=𝟒‪−‬‬ ‫)يهمل(‬

‫𝟐 ‪, −𝟏 +‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟒 ‪𝟗 − 𝟏𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬

‫معادلة②‬ ‫نعوض معادلة③ في‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟑‬

‫ثم نعوضه فً المعادلة ①‬

‫األن نحسب ممدار الجذر 𝟒 ‪−𝟑 −‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟑‪= −‬‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟒‪= −‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟏‬

‫=‬

‫𝟑‪− 𝟒 = −‬‬

‫𝟎=𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟏‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪ 𝟏 −‬نعوض في المعادلة ①‬ ‫‪=𝟏+‬‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‪𝟑−𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪=𝟐−‬‬

‫𝟐‪𝟒−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‪𝟑+𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪ {𝟏 +‬والجذران غير مترافقان‬

‫‪23‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐 𝟐‪−‬‬ ‫𝟑‪− ( ) = −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫=‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫=‬ ‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟑𝟏 ‪− 𝟓 +‬‬ ‫تحل بالدستور 𝟑𝟏 =‬ ‫𝟒𝟎𝟏 ‪𝟐𝟓 −‬‬ ‫𝟒‬

‫∴ مجموعة الحل هي ‪-‬‬

‫𝟗𝟕‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‬

‫𝟗𝟕‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫𝟗𝟕‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫𝟒‬

‫𝟑𝟏 𝟐 𝟒 ‪𝟐𝟓 −‬‬ ‫𝟓‬ ‫=‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟗𝟕‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟓‪= −‬‬

‫𝟓‪− −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟗𝟕‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫تحل بالدستور‬

‫𝟐‬ ‫𝟗𝟕‪−‬‬ ‫𝟓‬ ‫=‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫𝟐‪=𝟏+‬‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪=𝟐 −‬‬

‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐‪𝟒−𝟒 𝟏 𝟏+‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟐−‬‬

‫=‬

‫‪+𝟐 +‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫=‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟖‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫األن نحسب مقدار الجذر 𝟖‪ −‬ثم نعوضه في المعادلة ①‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫𝟖‪=𝟎−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫تربيع الطرفين‬

‫⇒ 𝟖‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫معادلة②‬ ‫نعوض معادلة③ في‬

‫نعوض في معادلة③‬

‫الجذران هما‬

‫𝟒‪−‬‬

‫معادلة③‬ ‫)نضرب‬

‫𝟐 ‪, −𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎=‬

‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟒‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪(−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪=−‬‬ ‫‪= −𝟐 +‬‬ ‫‪ {−‬والجذران غير مترافقان‬

‫‪24‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪) −‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫𝟎 = 𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫𝟎=𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪= −‬‬

‫𝟎=‬

‫𝟐‬

‫𝟒=‬

‫𝟎=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐 ‪ 𝟐 −‬نعوض في المعادلة ①‬

‫∴ مجموعة الحل هي } ‪, − 𝟐 +‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐=‬

‫معادلة①‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪ , +‬والجذران مترافقان‬ ‫𝟎=‬

‫𝟖‪𝟒−𝟒−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪−𝟐 + 𝟐 −‬‬ ‫𝟐‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐 ‪−𝟐 − 𝟐 +‬‬ ‫𝟐 ‪−𝟒 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫=‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫ٌمكن حل الفرع )‪ (d‬السابك بطرٌمة أخرى بواسطة لانون التجربة الحظ الحل‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫𝟎=‬ ‫𝟎=‬

‫‪+𝟐−‬‬

‫‪= −𝟐 +‬‬ ‫∴ مجموعة الحل هي } ‪, − 𝟐 +‬‬

‫‪+𝟐 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=−‬‬

‫‪ {−‬والجذران غير مترافقان‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎 = 𝟓𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 𝟓𝟐‬ ‫𝟒‬

‫=‬ ‫𝟓‬

‫∴ مجموعة الحل هي ‪-‬‬

‫𝟓‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟓𝟐‬ ‫𝟒‬

‫√=‬

‫=‬

‫𝟓𝟐‪−‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪=−‬‬

‫𝟑‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟑=‬

‫𝟎= ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‪−‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪ {−‬والجذران غير مترافقان‬

‫𝟐‬

‫∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ‪,‬‬

‫𝟎=𝟑‪+‬‬

‫𝟎= 𝟑‪−‬‬

‫تحل بالدستور 𝟑 =‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟎=‬

‫) حل أخر(‬

‫𝟒‬

‫𝟓𝟐‪= −‬‬

‫‪ ,−‬والجذران مترافقان‬

‫𝟎=‬

‫∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ‪,‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟔𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑 𝟏 𝟒 ‪−𝟒 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫𝟎=𝟑‪+‬‬ ‫𝟐‪= −‬‬

‫𝟐‪− −‬‬

‫=‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪ {−‬والجذران غير مترافقان‬

‫س‪ / 2‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬

‫‪,‬‬

‫حٌث ‪:‬‬ ‫‪=𝟏−‬‬

‫مجموع الجذرين‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪=𝟐+‬‬

‫𝟐‪=𝟏+‬‬

‫𝟏‪= 𝟏+𝟏 + 𝟐−‬‬

‫‪=𝟑+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟏− +𝟐 −‬‬

‫‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+𝟐 . 𝟏−‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪− 𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫‪25‬‬

‫𝟎=‬

‫‪+ 𝟑+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟐−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟏−‬‬

‫𝟐𝟏 ‪= 𝟓 −‬‬

‫𝟐𝟏 ‪= 𝟓 −‬‬ ‫مجموع الجذرين‬

‫𝟒𝟏 ‪= 𝟔 −‬‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐‪= 𝟑−‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟑−𝟑 − +‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟐 ‪= −𝟏𝟗 −‬‬

‫=‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒 ‪= 𝟗 − 𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟐𝟏 ‪= 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‪= 𝟑−‬‬

‫𝟐𝟏 ‪+ 𝟓 −‬‬

‫𝟒𝟐 ‪= 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 +‬‬

‫𝟐‪𝟏−‬‬

‫𝟐𝟏 ‪𝟏 − 𝟐 . 𝟓 −‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟏 ‪− 𝟔 −‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟐𝟐 ‪+ −𝟏𝟗 −‬‬

‫𝟎=‬

‫س‪ / 3‬جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد المركبة األتٌة ‪:‬‬ ‫𝟔‪−‬‬ ‫𝟔‪= −‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫تربيع الطرفين‬

‫⇒‬

‫‪+‬‬

‫𝟔 =‬

‫𝟔‪= −‬‬

‫𝟐 ‪+‬‬

‫معادلة①‬ ‫نعوض معادلة‬

‫في ①‬

‫𝟑‪−‬‬

‫معادلة②‬

‫𝟎=𝟗‪−‬‬

‫𝟒‬

‫)نضرب‬

‫𝟐‬

‫𝟔‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟎=‬

‫𝟎= 𝟑‪+‬‬ ‫نعوض في معادلة‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟑=‬ ‫𝟑‬

‫) تهمل(‬ ‫الجذران هما‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟑−‬‬

‫‪26‬‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑‪−‬‬ ‫𝟎= ) (‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟎=‬

‫𝟎=𝟑‪−‬‬

‫=‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪− 𝟑+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪−‬‬

‫=‬

‫𝟎=𝟑‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟒𝟐 ‪𝟕 +‬‬

‫تربيع الطرفين‬

‫𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟒𝟐 ‪= 𝟕 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟒𝟐 ‪= 𝟕 +‬‬

‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫معادلة②‬

‫𝟕 = 𝟒𝟒𝟏 ‪−‬‬

‫)نضرب‬

‫𝟒‬

‫نعوض في معادلة②‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟎= 𝟗‪+‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟒𝟐 ‪= 𝟕 +‬‬ ‫⇒‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟒𝟐 ‪= 𝟕 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‪= −‬‬

‫𝟒𝟐 =‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪, −𝟒 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟕‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫=‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕=‬

‫𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 ‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐𝟏‬ ‫𝟕= ) (‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) تهمل(‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏 =‬

‫الجذران هما‬

‫𝟒𝟒𝟏‬

‫𝟕=‬ ‫𝟔𝟏 ‪−‬‬

‫=‬

‫معادلة①‬ ‫𝟒𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟎=𝟗‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟒+‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫ٌجب تحوٌلة الى الصٌغة‬ ‫𝟑 ‪=𝟏+‬‬

‫عن طرٌك الضرب بمرافك الممام‬

‫‪+‬‬

‫𝟑 ‪𝟒 𝟏+‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟑 ‪𝟒 𝟏+‬‬ ‫𝟑‪𝟏+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟑 ‪𝟒 𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫=‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫الطرٌمة ① ‪/‬‬ ‫𝟑 ‪=𝟏+‬‬ ‫𝟑 ‪= 𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫تربيع الطرفين‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟑 ‪= √𝟏 +‬‬

‫⇒‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪=𝟏+‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪+‬‬

‫معادلة①‬ ‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟐‬

‫نعوض في معادلة②‬

‫𝟒‬

‫𝟒=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫معادلة②‬

‫𝟐‬

‫)نضرب 𝟐 𝟒 (‬

‫𝟒‪𝟑−‬‬

‫⇒‬ ‫𝟎= 𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏=‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑‪+‬‬ ‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) تهمل(‬ ‫الجذران هما‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪27‬‬

‫𝟑‪= −‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟑‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪/ −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪𝟒 𝟒+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟎=𝟑‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 =‬

‫𝟎=𝟏‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫=‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫(𝟐‬ ‫)‬ ‫(𝟐 𝟐‬ ‫)‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫=‬

‫𝟑‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الطرٌمة ② ‪/‬‬ ‫‪/‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫= ‪/‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪= √.‬‬

‫الجذران هما‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟑 ‪=√ +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟑 ‪=√ +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑 ‪√𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫س‪ / 4‬ما المعادلة التربٌعٌة ذات المعامالت الحمٌمٌة وأحد جذرٌها و ‪:‬‬

‫المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و ‪−‬‬ ‫مجموع الجذرين‬

‫𝟎‪=𝟎+‬‬

‫𝟏‪= 𝟎+𝟎 + 𝟏−‬‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟏 = 𝟏‪= − −‬‬

‫𝟐‬

‫‪+ −‬‬

‫‪=−‬‬

‫‪. −‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟏 ‪+‬‬

‫‪𝟓−‬‬ ‫المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و ‪𝟓 +‬‬ ‫مجموع الجذرين 𝟎𝟏 = 𝟏 ‪+ 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 +‬‬ ‫حاصل ضرب الجذرين 𝟔𝟐 = 𝟏 ‪. 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 +‬‬

‫‪𝟓−‬‬ ‫‪𝟓−‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟔𝟐 ‪− 𝟏𝟎 +‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟑‪𝟐 +‬‬ ‫𝟒‬

‫المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و )‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫(‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑 𝟑‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫‪/+. −‬‬ ‫= ) ‪/=. + /+( −‬‬ ‫=‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒 𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫‪.‬‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟗‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫‪. +‬‬ ‫‪/.. −‬‬ ‫= ) (‪/=. / +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟔𝟏‬ ‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏𝟏‬ ‫𝟎=‬ ‫𝟔𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪28‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟎=) (‪/ +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔𝟏‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 5‬أذا كان ‪ 𝟑 +‬و أحزد جــــزـذري المعادلزة 𝟎 =‬ ‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬ ‫لٌمة الجذر األخر؟‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‪+ 𝟓+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫؟ ومزا‬

‫فمزا لٌمزة‬

‫نفرض الجذر األخر و‬ ‫معادلة①‬

‫)مجموع الجذرين(‬

‫) حاصل ضرب الجذرين(‬ ‫)الجذر األخر(‬

‫𝟎𝟏 ‪𝟐𝟎 +‬‬ ‫‪=𝟐+‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‪=𝟓+‬‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫𝟓‪𝟓+‬‬ ‫𝟓‪𝟓+‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟓 ‪𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟑𝟐 +‬‬ ‫‪=𝟐+‬‬ ‫)نعوض في معادلة① (‬ ‫=‬

‫𝟐‪=𝟓+‬‬

‫‪𝟑+‬‬

‫‪+ 𝟐+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪𝟑+‬‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافية محلولة‬ ‫مثال ‪ /‬أوجد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟖𝟒 ‪ −𝟓𝟓 −‬ثم أســــتخدم الناته فً أٌجاد الحل للمعادلة التربٌعٌة‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪+ 𝟏+‬‬ ‫التالٌة 𝟎 = ‪+ 𝟏𝟑 𝟏 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫و‬ ‫نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟖𝟒 ‪−𝟓𝟓 −‬‬ ‫تربيع الطرفين‬

‫𝟐‬ ‫𝟖𝟒 ‪+ = −𝟓𝟓 −‬‬ ‫⇒‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟖𝟒 ‪= −𝟓𝟓 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟖𝟒 ‪= −𝟓𝟓 −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟖𝟒 ‪= −𝟓𝟓 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟓‪− 𝟐 = −‬‬ ‫معادلة①‬ ‫𝟖𝟒‪−‬‬ ‫𝟒𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟖𝟒‪= −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫معادلة②‬ ‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟐‬ ‫)نضرب 𝟐 (‬ ‫𝟔𝟕𝟓‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟓𝟓‪= −‬‬ ‫⇒‬ ‫𝟐 𝟓𝟓‪𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = −‬‬ ‫𝟎 = 𝟔𝟕𝟓 ‪− 𝟓𝟓 𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟗‪+‬‬ ‫𝟒𝟔 =‬ ‫𝟖 =‬ ‫نعوض في معادلة②‬ ‫𝟒𝟐‪−𝟐𝟒 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟑 =‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎=𝟗‪+‬‬ ‫𝟗‪= −‬‬ ‫يهمل‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔 ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫الجذران هما‬

‫األن نحل المعادلة 𝟎 =‬

‫‪+ 𝟏𝟑 𝟏 +‬‬

‫𝟐‪+ 𝟏+‬‬

‫𝟖‪𝟑−𝟖 , −𝟑+‬‬ ‫𝟐‬

‫بأستخدام لانون الدستور حٌث‬ ‫‪= 𝟏𝟑 𝟏 +‬‬

‫𝟑𝟏 ‪𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 +‬‬ ‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟐𝟓 ‪𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪− 𝟏+‬‬

‫=‬

‫‪29‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‪− 𝟏+‬‬

‫𝟐𝟓 ‪− 𝟓𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪= 𝟏+‬‬ ‫=‬

‫𝟒‪𝟏+𝟒 +‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪=𝟏 ,‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‪− 𝟏+‬‬

‫=‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟖𝟒 ‪−𝟓𝟓 −‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐𝟓 ‪𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 −‬‬ ‫𝟐‪− 𝟏+‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪− 𝟏+‬‬

‫=‬

‫األن نعوض الجذور التً لمنا بحسابها سابما للعدد 𝟖𝟒 ‪−𝟓𝟓 −‬‬ ‫𝟐‪− 𝟏+‬‬

‫𝟖‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑 ‪= −𝟐 +‬‬

‫𝟏‬

‫𝟖 ‪−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 +‬‬ ‫𝟔 ‪−𝟒 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟖 ‪−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 −‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟓‪= 𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖 ‪−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 −‬‬ ‫𝟎𝟏 ‪𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟖 ‪−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 −‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫مجموعة الحل ً } 𝟓 ‪, 𝟏 −‬‬

‫𝟑 ‪{−𝟐 +‬‬

‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا‬

‫‪=𝟑+‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫‪, 𝟑−‬‬

‫‪𝟑−‬‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫‪𝟏𝟎 𝟑 +‬‬ ‫‪𝟏𝟎 𝟑 +‬‬ ‫𝟐 =‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟑+‬‬ ‫𝟏‪𝟑 +‬‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫مجموع الجذرين‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟔=‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫=‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫=‬

‫مثال ‪ /‬جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب‬ ‫𝟎=‬

‫𝟖‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏 ‪= 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 +‬‬

‫𝟎𝟏 = 𝟏 ‪= 𝟗 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪=𝟑−‬‬

‫‪+ 𝟑+‬‬ ‫‪. 𝟑+‬‬

‫‪𝟑−‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟎𝟏 ‪− 𝟔 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎=‬

‫𝟎= 𝟒‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟎= 𝟖‪+‬‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟐=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟎= 𝟐‪−‬‬

‫) بالدستور(‬

‫𝟒‪= −‬‬

‫𝟏‬

‫‪𝟑−‬‬

‫‪=𝟗+𝟑 −𝟑 −‬‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟐=‬ ‫𝟔𝟏 ‪−𝟒 +‬‬ ‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟏=‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪− 𝟒 𝟏 −‬‬ ‫𝟐‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟏 𝟐‬ ‫𝟑‬

‫∴ مجموعة الحل هي }𝟑 ‪{𝟐 , − + 𝟑 , − −‬‬

‫‪30‬‬

‫‪=−‬‬

‫𝟒‬

‫𝟎=𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟑 𝟐‬

‫=‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟖‪= −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟖‬ ‫𝟎= 𝟒‪+𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫=𝟖‪−‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎=𝟖‪−‬‬ ‫𝟐=‬

‫𝟑‬

‫𝟖=‬

‫𝟎=𝟐‪−‬‬

‫) بالدستور(‬

‫𝟒=‬

‫𝟏=‬

‫𝟐=‬ ‫𝟔𝟏 ‪𝟒 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ‪, −𝟏 −‬‬

‫⇒‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐𝟏‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟑 ‪{𝟐 , −𝟏 +‬‬

‫مثال ‪ /‬أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة‬

‫𝟎= 𝟐‪−𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫) نقسم المعادلة على‬ ‫𝟒‬

‫𝟎=𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟒‪+𝟐 +‬‬

‫𝟒 𝟏 𝟒‪𝟒−‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟐‪−‬‬

‫(‬

‫‪−‬‬

‫𝟎= 𝟐‪−𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟐‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟎=‬

‫‪−‬‬

‫) تحل بالدستور(‬

‫𝟐=‬

‫𝟐‪= −‬‬

‫⇒‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‪𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −‬‬ ‫𝟐‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫𝟖 ‪−𝟒 +‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪=−‬‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫∴ مجموعة الحل هي }𝟏 ‪{− + 𝟏 , − −‬‬

‫مثال ‪ /‬أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة 𝟎 = 𝟒 ‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫) تحل بالدستور(‬

‫𝟒‪= −‬‬

‫𝟒=‬

‫𝟏=‬

‫𝟒 𝟏 𝟒‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫⇒‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟎=𝟒‪+‬‬ ‫𝟒‪− −‬‬

‫𝟒‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬ ‫𝟒‬

‫𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒 ‪−‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪𝟏𝟔 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫∴ مجموعة الحل هي }‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐 ‪,‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪31‬‬

‫𝟐{‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫𝟐=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬أوجد لٌمة كل من ‪ x , y‬من المعادلة التالٌة‬

‫𝟎 = 𝟓𝟏 ‪+‬‬

‫𝟖‪𝟖−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+‬‬

‫𝟖‪𝟖−‬‬ ‫𝟖‪𝟖−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎 = 𝟓𝟏 ‪+‬‬ ‫𝟐‪+‬‬ ‫=𝟐 𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟓𝟏 ‪−‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟖‪𝟖−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪− 𝟐 +‬‬ ‫(=‬ ‫𝟓𝟏 ‪) −‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐 𝟖‪𝟖−𝟖 −𝟖 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪− 𝟐 +‬‬ ‫‪=.‬‬ ‫𝟓𝟏 ‪/ −‬‬ ‫𝟐𝟏 ‪𝟏𝟐 +‬‬ ‫𝟔𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪− 𝟐 +‬‬ ‫(=‬ ‫𝟓𝟏 ‪) −‬‬ ‫𝟐‪− 𝟐 +‬‬ ‫𝟓𝟏 ‪= −𝟖 −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟏‪− 𝟐 = −‬‬ ‫معادلة①‬ ‫𝟖‪−‬‬ ‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟖‪𝟐 = −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫معادلة②‬ ‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟐‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏‪= −‬‬

‫𝟒‬

‫)نضرب‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏𝟔 −‬‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟓𝟏‪= −‬‬

‫𝟎= 𝟏‪+‬‬ ‫نعوضها في معادلة②‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫𝟔𝟏 =‬

‫𝟐‬

‫مثال ‪ /‬أوجد لٌمة كل من ‪ x , y‬من المعادلة التالٌة‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬ ‫)‬ ‫𝟐‪𝟑−‬‬

‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫𝟐 ‪𝟑𝟔 −‬‬ ‫(=‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫𝟖𝟕 ‪𝟏𝟎𝟒 −‬‬ ‫𝟖𝟕 ‪𝟏𝟎𝟒 −‬‬ ‫(=)‬ ‫)‬ ‫𝟒‪𝟗+‬‬ ‫𝟑𝟏‬ ‫معادلة①‬ ‫نعوض في معادلة①‬ ‫𝟐‬

‫𝟖=‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟖=‬

‫‪−‬‬

‫𝟑‪−‬‬

‫)نضرب‬

‫‪𝟗−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟗‪+‬‬ ‫𝟏=‬

‫𝟑‬ ‫تهمل‬

‫‪32‬‬

‫‪=.‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟔‪=𝟖−‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‪= −‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‪= −‬‬

‫𝟖=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟏‪−‬‬ ‫=‬

‫𝟑‪−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎=𝟗‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪) −‬‬

‫𝟎=𝟗‪−‬‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟎= 𝟏‪−‬‬ ‫نعوضها في معادلة②‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪𝟑𝟔 −‬‬ ‫𝟐‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫⇒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫𝟒 ‪𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 +‬‬ ‫𝟐𝟐 ‪𝟑 𝟐 +‬‬

‫(=‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟔𝟏 ‪−‬‬ ‫𝟒‪−𝟒 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏 ‪−‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫معادلة②‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟎 = 𝟔𝟏 ‪−‬‬

‫=‬

‫تهمل‬

‫𝟐 𝟒‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪) −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‪𝟑𝟔−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‪+‬‬

‫𝟒‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرا ا‬ ‫الجذر األول‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐 𝟐‪= 𝟐−𝟐 𝟐 −𝟏 =𝟏−‬‬

‫معامالت المعادلة حمٌمٌة لذا فأن الجذر األخر و المرافك‬ ‫مجموع الجذرين‬

‫𝟐=‬

‫حاصل ضرب الجذرين 𝟗 = 𝟖 ‪= 𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟐 𝟐 +‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐 𝟐‪𝟏+‬‬

‫𝟐 𝟐 ‪= 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐 𝟐‪+ 𝟏+‬‬

‫𝟐 𝟐 ‪=𝟏+𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 −‬‬

‫𝟐 𝟐‪𝟏−‬‬ ‫𝟐 𝟐‪𝟏−‬‬

‫𝟐 𝟐‪. 𝟏+‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟗‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫******************************************************************‬

‫جد الجذور التكعٌبٌة لؤلعداد التالٌة‬

‫𝟕𝟐‪−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −‬‬

‫ثم جد الجذر التربٌعً للعدد‬

‫𝟒𝟔‬

‫الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫)الجذر األول(‬ ‫=‬ ‫𝟏‪−‬‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‪𝟏−‬‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫)بالدستور(‬

‫𝟏 𝟏 𝟒‪𝟏−‬‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)الجذر الثاني(‬ ‫)الجذر الثالث(‬

‫نان ثالثة جذور للواحد الصحٌح و ً‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫‪ 𝟏 ,‬حٌث أن الرمز‬

‫خواص الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح‬ ‫جذران تخٌلٌان مترافمان‬ ‫‪ ‬الجذران 𝟐 ‪,‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎=𝟏‪+‬‬ ‫‪ ‬مجموع الجذور الثالثة ٌساوي صفر أي‬ ‫𝟐‬ ‫‪ ‬حاصل ضرب الجذور الثالثة ٌساوي واحد أي 𝟏 =‬

‫‪33‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫ٌمرأ أومٌكا‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬ ‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫أستنتاجات لخواص الجذور‬ ‫‪ -1‬مجموع أي جذرين = سالب الجذر األخر مثال‬ ‫‪ -2‬أي جذر =سالب مجموع الجذرين األخرين مثال‬ ‫‪-3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪ -4‬كل ‪ w‬هي مرافق‬

‫‪-5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-6‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪=−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=− −‬‬

‫‪=−‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=−‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪=− −‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪=3‬‬ ‫‪=4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3 +5‬‬ ‫‪4 +2‬‬

‫الحظ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪=+ 3‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−2 3‬‬ ‫‪=− 3‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪=− −‬‬

‫وبالعكس أي يمكن أستبدال أحدهما باألخر كما في المثالين التاليين‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪/−.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪3‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪/−.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪.‬‬

‫الحظ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪/..‬‬ ‫= = ‪/=( ) +. / = +‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4 4‬‬

‫‪-7‬‬ ‫‪ -8‬نستخدم‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪..,‬‬

‫‪ ,‬حيث‬

‫‪= , ,2,3,4,5,‬‬

‫عددصحيح‬

‫في عمليات التبسيط‬

‫ومن ذه االستنتاجات نتوصل الى أن ناته ‪ w‬مرفوعة الى لوة معٌنة و أحد جذور الواحد‬ ‫األمثلة التالٌة ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫}𝟐‬

‫=‬ ‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ {𝟏 , ,‬الحظ‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27‬‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪3 2‬‬

‫‪3 27‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪34‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3 7‬‬

‫‪3 2‬‬

‫‪5‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫=‬

‫مثال (‪ / )19‬جد ناته ما ٌلً ‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟖𝟓‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟓𝟐‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫𝟑𝟑‬ ‫𝟏𝟏‬

‫𝟏=‬ ‫‪= 𝟏 𝟖.‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫𝟏 =‬

‫𝟖 𝟑‬

‫𝟖𝟓‪𝟔𝟎−‬‬

‫𝟏𝟏 𝟑‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟎𝟔‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟖𝟓‪−‬‬

‫=‬

‫𝟑𝟑‬

‫=‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟖𝟓‪−‬‬

‫=‬

‫مثال (‪ / )20‬أثبت أن ‪:‬‬ ‫𝟎=𝟏‪+‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟒=‬ ‫‪=4‬‬ ‫] ‪+‬‬

‫‪= 2‬‬

‫‪= 5−3‬‬

‫‪+ ] = −4[2 −‬‬ ‫‪=4‬‬

‫‪+‬‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫‪= 5+3 −‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪= −4[2‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪= −𝟒 𝟐 +‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟑‪𝟓+‬‬

‫‪= 5+3‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟑‪𝟓+‬‬

‫‪= −4 2 + 2‬‬

‫𝟑 𝟐‬

‫‪−𝟒 𝟐 +‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪= −4[− ] = −4 −‬‬

‫‪= −4 −‬‬

‫مثال (‪ / )21‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا ‪:‬‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬

‫‪,𝟏 −‬‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪=𝟐+‬‬ ‫=‬

‫𝟏 =‬

‫𝟏 ‪=𝟐+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫‪+‬‬

‫𝟕‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= −‬‬

‫𝟑‬

‫‪= 𝟏+𝟏 + −‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪=𝟏−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪− 𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫‪35‬‬

‫𝟎= ‪+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‪𝟐+𝟐−‬‬ ‫‪𝟏+𝟏−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟐‪𝟐−𝟐 +𝟐−‬‬ ‫‪𝟏− − 𝟐+‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2− −‬‬

‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪𝟐 −‬‬ ‫‪+𝟐 −‬‬ ‫=)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟏‪𝟒 − 𝟐 −‬‬ ‫𝟔 𝟐‪𝟒+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟐= =‬ ‫𝟏‪𝟐 − −‬‬ ‫𝟑 𝟏‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫‪+ −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‬ ‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬

‫(‪)+‬‬

‫)مجموع الجذرين(‬ ‫=‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫=)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫)حاصل ضرب الجذرين (‬

‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬

‫(‪).‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟐 +‬‬

‫𝟐‬

‫‪4‬‬ ‫𝟎=‬ ‫‪3‬‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫(‬

‫(‬

‫أمثلة أضافية محلولة‬ ‫مثال ‪ /‬أوجد الناته فً أبسط صورة‬ ‫)‬ ‫‪= 8‬‬

‫‪−6‬‬

‫‪= 8‬‬

‫‪−5‬‬

‫‪= −3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪5‬‬

‫‪/= − −2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‬

‫‪) (𝟏 −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪/.‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪(𝟏 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪.‬‬

‫𝟏‬

‫) 𝟐 ‪(𝟏+ − 𝟏+‬‬

‫=‬

‫‪−2+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪/ = − +‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪) =.‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪− 2 = − − 2 = −3‬‬

‫مثال ‪ /‬أذا كان )‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫(=‬

‫فأثبت أن‬

‫𝟎=‬

‫𝟑𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫وكذلن 𝟏 =‬

‫𝟐𝟑‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫‪.‬‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫=‬

‫𝟗‬

‫‪−‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫‪36‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪= . .‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟑𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫𝟐𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫‪.‬‬

‫𝟗‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬بر ن أن‬

‫𝟐 ‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬

‫√‬

‫‪− −‬‬ ‫‪−‬‬

‫√=‬

‫= ‪= −‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫‪−‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪− 2+‬‬ ‫‪−‬‬

‫√=‬

‫‪2+‬‬

‫√=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2+‬‬

‫√ =‬

‫‪+‬‬

‫√‬

‫‪+‬‬

‫∴ الطرف األيمن = الطرف األيسر‬ ‫مثال ‪ /‬بر ن أن 𝟏𝟖 =‬

‫𝟖 𝟐‬

‫‪−‬‬

‫الطرٌمة األولى ‪:‬‬ ‫‪=8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= −9‬‬

‫‪) = 3‬‬

‫=‬

‫(=‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫𝟖 𝟐‬

‫‪−‬‬

‫الطرٌمة الثانٌة ‪:‬‬ ‫‪= − −2‬‬

‫‪= −3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪−2 .‬‬ ‫‪=8‬‬

‫مثال ‪ /‬بر ن أن‬

‫𝟕=‬

‫𝟑 𝟖‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟕‬

‫‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟑 𝟒‬

‫‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪=− +8=7‬‬

‫𝟔 ‪−‬‬

‫مثال ‪ /‬أوجد الناته‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪/‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫)𝟓 ( ) ‪+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫‪/ .2 +‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2+2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫= ‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= −2‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐( )‬

‫‪)=.‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪2 −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪=− + 2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪− −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=−‬‬

‫‪( 𝟒−‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫( ) ‪) (2 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪/=( −‬‬

‫‪2+2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+2‬‬ ‫=‬

‫‪−3‬‬

‫𝟏‬

‫=) (‬

‫=‬

‫=‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟏‬

‫‪−‬‬

‫‪= 9‬‬

‫=‬

‫𝟖 𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪37‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ ).‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪) (2‬‬

‫‪−‬‬

‫(‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬جد ناته ‪ x , y‬والتً تحمك المعادلة التالٌة‬

‫𝟖‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+‬‬

‫يمكن حله بطريقتين الحظ الحل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= −8 .− +‬‬ ‫‪/= 4−4 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= −4 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−2 + 2‬‬ ‫‪4−4 3‬‬ ‫‪4−4 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(4) + (4‬‬ ‫‪−2 + 2‬‬ ‫‪(2) + . 2 /‬‬

‫‪= −8‬‬

‫‪=4 ,‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−2− 2‬‬

‫=‬

‫‪=4−4 3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−2 − 2‬‬

‫‪=4−4 3‬‬ ‫‪= −4 3‬‬

‫‪=4 ,‬‬

‫‪−8‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−8‬‬

‫=‬

‫‪4−4 3‬‬

‫الطريقة األولى‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪=4−4 3‬‬

‫‪+‬‬

‫الطريقة الثانية‬

‫طرق حل المسائل التي تحتوي على 𝓦‬ ‫نان بعض الطرق األساسٌة التً تستخدم فً تبسٌط حل المسائل و ً ‪:‬‬

‫الطرٌمة األولى ‪ /‬أٌجاد عامل مشترن‬ ‫مثال ‪ /‬جد لٌمة ‪:‬‬ ‫𝟐 𝟏𝟏‪𝟐+𝟏𝟏 +‬‬ ‫𝟐 𝟓‪𝟐−𝟓 −‬‬

‫‪2−‬‬ ‫‪−9 3‬‬ ‫√=‬ ‫=‬ ‫‪2+5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫√=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪2+‬‬ ‫‪2−5‬‬

‫√‬

‫‪2+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2−5 −5‬‬

‫√=‬

‫√‬

‫𝟐 𝟎𝟏 ‪𝟏 + 𝟏𝟎 +‬‬ ‫𝟐 𝟑‪𝟏−𝟑 −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−9 3‬‬ ‫= √=‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪38‬‬

‫√=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪−3‬‬

‫√ =‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−3 −3‬‬

‫√‬

‫√‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال ‪ /‬أثبت أن‬

‫𝟏‬ ‫𝟗‬

‫‪=−‬‬

‫]‬

‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫‪[ 2+2‬‬

‫‪+5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‬

‫مثال ‪ /‬جد لٌم‬

‫‪9‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2 −‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟐+𝟐 +‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫=‬

‫‪9‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟐+𝟓 +‬‬

‫] ‪+5‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪9‬‬

‫=‬

‫‪[ 2+2‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫=‬

‫‪2 −‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫‪2+2 +5‬‬

‫]‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪[2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪2+5 +2‬‬

‫] ‪+5‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪3+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+ ) −‬‬ ‫‪4−2‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪4−2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−2 + 5‬‬

‫‪−‬‬

‫] ‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪) −‬‬ ‫[‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫(=‬

‫‪4−2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪3+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪) −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫(=‬

‫‪+‬‬

‫‪=( − + −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=( −‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪3−3 + −‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪=( −‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪3+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪) −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫(=‬

‫‪+‬‬

‫‪) −‬‬

‫‪4−2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪) −‬‬

‫‪4−2‬‬ ‫‪=− − 2−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= −3 +‬‬

‫] ‪[−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪/‬‬

‫)‬

‫‪−‬‬

‫‪= −3 ,‬‬

‫‪ x , y‬التً تحمك المعادلة‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(= ‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ x , y‬التً تحمك المعادلة ‪:‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫مثال ‪ /‬جد لٌم‬

‫‪[2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= .‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= .‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪/ = −‬‬

‫) يمكن حساب الجذر بطريقتين(‬

‫‪39‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪=.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪=.‬‬ ‫‪= −‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫الطرٌمة ① ‪ /‬نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد‬ ‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫= ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎= 𝟏‪+‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟏‪−‬‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫معادلة②‬ ‫𝟐‬

‫نعوضها في معادلة①‬

‫نعوضها في معادلة②‬

‫و‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫(𝟐‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟎=‬ ‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟎=𝟏‪−‬‬

‫𝟐‬

‫= ‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫(𝟐 𝟐‬

‫الجذران هما‬

‫𝟎=‬

‫)نضرب 𝟐 𝟒 (‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫)‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫=‬ ‫تهمل‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫معادلة①‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫= ‪−‬‬

‫𝟎=𝟏‪−‬‬ ‫=‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫𝟐‬

‫الطرٌمة ② ‪/‬‬ ‫)‬

‫𝟏‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫الجذران هما‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫= )‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫(√ =‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫‪=√ − −‬‬ ‫‪=√ − +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪= −‬‬

‫مثال ‪ /‬جد لٌمة ‪:‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪= −𝟒 −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪+ 𝟓 −𝟏 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒=‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪− 𝟓+‬‬

‫𝟐‪− −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‪= −‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟓‪+‬‬

‫𝟑‪− 𝟓+‬‬

‫𝟒‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟓‪+‬‬

‫𝟑‪− 𝟓+‬‬

‫𝟒‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟓‪−𝟓−‬‬ ‫𝟒=‬

‫‪40‬‬

‫𝟑‪− 𝟓+‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪𝟏−𝟐 +‬‬

‫‪= −𝟒 −‬‬

‫𝟐‬

‫‪= −𝟒 𝟏 +‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬ ‫)الجذر األول(‬

‫𝟗=‬

‫)الجذر الثاني(‬

‫𝟔𝟏 =‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒 =‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‪+𝟐+‬‬

‫𝟐‪𝟐−‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫‪+ 𝟐 −𝟏 −‬‬

‫𝟐 =‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪= 𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫‪− 𝟐 −𝟏 −‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 =‬

‫مجموع الجذرين‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‪= 𝟐−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟓𝟐 = ‪6‬‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟐−‬‬

‫‪9 +‬‬ ‫‪9 .‬‬

‫𝟒𝟒𝟏 = ‪6‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫المعادلة التربيعية‬ ‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬

‫‪,‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 ‪− 𝟐𝟓 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪3‬‬

‫الجذر األول‬

‫‪−i‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫الجذر الثاني‬ ‫مجموع الجذرين ‪i = 2 + i‬‬ ‫حاصل ضرب الجذرين ‪= i‬‬

‫‪−‬‬

‫‪i= 2 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+i −‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪+ − −‬‬ ‫‪−i +‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪= 2‬‬

‫‪= 3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−3‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪−4−9−6‬‬

‫‪= −6‬‬

‫حاصل ضرب الجذرين ‪= −7‬‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫‪−i‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−i‬‬ ‫‪−i‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬ ‫‪− 𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟑‬

‫‪3‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪=3‬‬

‫مجموع الجذرين ‪= −5i‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪i = 5i‬‬

‫‪=− 3+6‬‬

‫وزاري ‪/ 1999‬د‪1‬‬

‫𝟐‬

‫‪=2‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= 3‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪= 3‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=5 i+5‬‬

‫‪+9‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=‬

‫𝟑‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪=6‬‬

‫‪= − 3+6 −‬‬

‫‪+2 2‬‬

‫‪+ 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+2 2‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪. 3‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪+3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‪− −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟕‪−‬‬

‫𝟓‪+‬‬

‫‪41‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = 𝟕‪+ −‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الطرٌمة الثانٌة ‪ /‬طرٌمة االستبدال‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫مثال ‪ /‬جد الناته‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟏=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫مثال ‪ /‬بر ن أن‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪= −‬‬

‫=‬

‫‪= 2+3 −3−3‬‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪+ 𝟒 −𝟏 −‬‬

‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‪𝟑+𝟓 +‬‬

‫𝟓‪𝟑+‬‬

‫‪−𝟏 + − −𝟐 −‬‬ ‫‪) =.‬‬ ‫‪−𝟐 −‬‬ ‫‪−𝟏 +‬‬

‫‪/‬‬ ‫𝟏‪𝟏 + 𝟒 −‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟐 −‬‬

‫𝟓‪𝟑+𝟒 +‬‬

‫𝟏‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟏+𝟐 𝟐 𝟏+𝟒 +‬‬ ‫(= )‬ ‫= )‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪𝟐+‬‬ ‫𝟐𝟑‬

‫𝟐‬

‫مثال ‪ /‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬ ‫‪=3−4‬‬

‫الجذر الثاني‬

‫𝟐‬

‫(= )‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‪−‬‬

‫‪+5+5‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬ ‫‪=2−‬‬

‫مجموع الجذرين‬ ‫‪=2 − 6 − 6 − −‬‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫𝟐‬

‫= )‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫‪−6 +2+2‬‬

‫‪=7+4‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‪𝟑+𝟓 +‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫(= )‬ ‫𝟒‪−𝟒−‬‬ ‫‪−𝟐 −‬‬

‫𝟏‪−𝟑 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟗‬ ‫𝟑‬

‫الجذر األول‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟑 + 𝟒 + 𝟓 −𝟏 −‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪= 2+3 +3 − −‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓‪𝟑+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫(= )‬ ‫‪𝟐− −‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‪𝟑+𝟓 +‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‪+‬‬

‫(‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‪−𝟓−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫‪−𝟏 + + 𝟐 +‬‬ ‫(‬ ‫‪𝟐−𝟐 + −‬‬ ‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟓‪𝟑+𝟒 +‬‬

‫𝟔‪𝟏−‬‬

‫‪−6 −2 − −‬‬ ‫‪−5 − −‬‬

‫=‬

‫‪=2−‬‬

‫= ‪=3−4 +7+4‬‬ ‫‪= 2 + 2 − 28 − 6‬‬

‫‪= 37‬‬

‫‪2+3 +3‬‬

‫‪−6 −2‬‬ ‫‪2−‬‬

‫‪−5‬‬

‫‪3−4‬‬

‫‪+ 7+4‬‬

‫‪=2 − 6 + 6+ 6‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟎 = 𝟕𝟑 ‪− 𝟏𝟎 +‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫الطرٌمة الثالثة ‪ /‬معامالت البسط والممام متساوٌة‬ ‫مثال ‪ /‬جد الناته‬

‫𝟑‪𝟏𝟎 +‬‬ ‫𝟎𝟏‪𝟑 𝟐 +‬‬

‫=‬

‫‪42‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪+3‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫مثال ‪ /‬أثبت أن 𝟗 = )‬ ‫𝟒‬

‫‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪−‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗=‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫‪−‬‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬

‫‪/ = .‬‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟑 = )‬

‫‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(=‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪/ = .‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫= )‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫الطريقة الرابعة ‪ /‬أيجاد المضاعف المشترك‬ ‫𝟐‬

‫مثال ‪ /‬أوجد الناته‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟐+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+2 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫*‬

‫‪−‬‬ ‫= ‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−2‬‬ ‫‪9‬‬

‫𝟏‪−𝟑 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟗‬ ‫𝟑‬

‫مثال ‪ /‬أثبت أن‬

‫𝟓𝟕‪−‬‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫= )𝟐‬ ‫𝟐‬

‫= ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−2−‬‬ ‫‪+2 +‬‬

‫‪1 =0‬‬ ‫‪4+2‬‬

‫𝟓‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟗‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟗‬

‫=‬

‫𝟐‪+ 𝟐−‬‬ ‫‪/‬‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬

‫‪=0‬‬ ‫‪5+2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪) = 𝟐𝟓 .‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫𝟏‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫( 𝟓𝟐 = )‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪− 𝟐+‬‬ ‫‪− 𝟐+‬‬ ‫=‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑 ‪𝟏𝟎 − 𝟑 𝟐 −‬‬ ‫‪𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪/ = 𝟐𝟓 .‬‬

‫=‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2+‬‬

‫‪2+‬‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪− 𝟑−‬‬ ‫𝟐 ‪𝟑−‬‬

‫‪− 2+‬‬ ‫‪2+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪1 =0‬‬ ‫‪1 = 0‬‬ ‫‪5+2 −‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟓‬

‫‪2+‬‬ ‫‪1 =0‬‬ ‫‪4+2‬‬

‫‪2+‬‬ ‫‪] =0‬‬ ‫‪2+‬‬

‫‪−‬‬

‫[‬

‫‪−𝟐 𝟑+‬‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪/ = 𝟐𝟓 .‬‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟑+‬‬ ‫‪𝟐−𝟑 +‬‬

‫‪𝟑−‬‬ ‫‪𝟐𝟓 .‬‬ ‫𝟑‪𝟗−‬‬

‫𝟐‬

‫‪− 𝟐+‬‬ ‫‪− 𝟐+‬‬ ‫‪= 𝟐𝟓 .‬‬ ‫‪/ = 𝟐𝟓 .‬‬ ‫𝟏 𝟑 ‪𝟏𝟎 +‬‬ ‫𝟑𝟏‬

‫𝟐‪+ 𝟐 −‬‬ ‫𝟐 ‪−𝟏 −‬‬ ‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟓𝟕‪−‬‬ ‫=)‬ ‫‪/ = 𝟐𝟓 .‬‬ ‫( 𝟓𝟐 = ‪/‬‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬

‫‪43‬‬

‫𝟓‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫𝟓‬ ‫(‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫𝟐‪+ 𝟐 −‬‬ ‫‪/ = 𝟐𝟓 .‬‬ ‫𝟗𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪= 𝟐𝟓 .‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين ‪− 3‬‬ ‫س‪ / 1‬أكتب الممادٌر التالٌة فً أبسط صورة ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫𝟒‪𝟐 −‬‬

‫𝟓‪𝟗 +‬‬

‫𝟏‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝟑‪−‬‬

‫𝟐𝟏 𝟐𝟑‪−‬‬

‫𝟒𝟔‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟒𝟔‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪= 𝟏.‬‬

‫𝟏𝟐 𝟑‬

‫=‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟓𝟐𝟑‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟖𝟎𝟏‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟏 =‬

‫𝟏‬

‫‪.‬‬

‫𝟖𝟎𝟏‪𝟑 −‬‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟒𝟐𝟑‪−‬‬

‫𝟓𝟐𝟑‪−‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏 𝟐𝟑‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏=‬ ‫𝟖 𝟏‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟖 𝟑‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟒𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏 𝟐‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫‪−𝟑𝟐 .‬‬

‫𝟐𝟏 𝟑𝟑‬

‫‪𝟏+‬‬

‫=‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟐𝟏 𝟐𝟑‪−‬‬

‫𝟒‪𝟐 −‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟑.‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟒‪−‬‬

‫‪= −‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟒‪𝟐 −‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟓‪𝟗 +‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪= 𝟏.‬‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟑 𝟑‬

‫=‬

‫𝟓‬

‫‪.‬‬

‫𝟗‬

‫=‬

‫𝟓‪𝟗 +‬‬

‫س‪ / 2‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫‪,𝟏 +‬‬

‫مجموع الجذرين‬

‫𝟏=𝟏‪=𝟐−‬‬

‫‪=𝟐+‬‬

‫‪+‬‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫=‬

‫‪= 𝟏+𝟏 +‬‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪= −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫‪44‬‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪𝟐 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟓−‬‬

‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟐 ‪+ 𝟐 𝟐−‬‬ ‫‪𝟐 − 𝟐+𝟐 𝟐−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝟐− 𝟐 𝟐−‬‬ ‫‪𝟒−𝟐 −𝟐 𝟐+‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫𝟏‪𝟓 − 𝟐 −‬‬ ‫𝟕‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫حاصل ضرب الجذرين‬ ‫𝟐‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫‪𝟐−‬‬ ‫𝟕‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫حاصل ضرب الجذرين‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫س‪ / 3‬اذا كان ‪+ 𝟏 = 𝟎 :‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟕‬

‫𝟕‬

‫𝟎=) (‪) +‬‬

‫𝟏‪−‬‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑=‬ ‫𝟐 𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗=‬

‫‪−‬‬ ‫𝟑=‪/‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−𝟑 𝟐 −‬‬ ‫𝟑=‪. /‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟑‪+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‪−‬‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‪−‬‬

‫𝟑‪− −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏𝟏 𝟑‪𝟏+𝟑 𝟏𝟎 +‬‬

‫فجد قيمة‬ ‫𝟒‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬ ‫𝟎 = 𝟗‪+ −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟖 𝟑‪𝟏−𝟑 𝟕 −‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪3‬‬

‫𝟎=𝟗‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟗‪= −‬‬

‫‪𝟐−‬‬

‫‪𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪3‬‬

‫مجموع الجذرين 𝟑‪= 𝟑 −𝟏 = −‬‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ‪ ) +‬مجموع الجذرين( ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟎= ‪+‬‬ ‫𝟕‬ ‫𝟕‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟏 𝟏 𝟒‪𝟏−‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟏 𝟐‬

‫)بالدستور(‬ ‫𝟏‪−‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬ ‫𝟒‪−‬‬

‫=‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫)الجذر األول(‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫)الجذر الثاني(‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫𝟏‪𝟏 − 𝟑 −𝟐 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟑‪𝟏+‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫=‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫=‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫=‬

‫نعيد الحل مرة أخرى بنفس الطريقة أليجاد قيمة المقدار‬

‫‪45‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬

‫س‪ / 4‬أثبت أن ‪:‬‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪/‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪𝟓+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟐−‬‬ ‫𝟐‪𝟐+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪/ =.‬‬ ‫𝟑‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫𝟐‪𝟒+‬‬

‫𝟏‪−𝟏 − 𝟐 −𝟑 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= . .‬‬ ‫𝟗‬ ‫𝟗‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪/ = .‬‬

‫=‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫= )‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫=‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫‪) =.‬‬ ‫𝟐‬

‫‪− 𝟐+‬‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬ ‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫‪𝟐+‬‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏 ‪− 𝟏 −𝟏 −‬‬ ‫=‬ ‫𝟐 ‪− 𝟐 −𝟏 −‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫𝟐 𝟑‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫‪.‬‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟐 𝟏‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‪𝟓−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫( = ‪. .‬‬

‫𝟐‪𝟓−‬‬

‫𝟕‬

‫(‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟏𝟎 +‬‬

‫𝟒𝟏‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‪+ 𝟕−‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝟎𝟏 = الطرف األيسر‬ ‫=‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐 𝟐‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫الطرف األيمن =‬ ‫𝟑 𝟑‪−‬‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫𝟖𝟏 = )‬ ‫𝟐‬

‫الطرف األيمن = 𝟖𝟏 =‬

‫𝟑‬

‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟖𝟏 =‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪)= 𝟏−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‪= −‬‬

‫𝟓‬

‫𝟓‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪+ −‬‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‬

‫‪) (𝟏 +‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫الطرف األيمن = 𝟐‪= −𝟏 − 𝟏 = −‬‬

‫𝟔‬

‫‪−‬‬

‫𝟑‬

‫‪=−‬‬

‫𝟑 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫الطرف األيسر‬

‫‪= (𝟏 −‬‬

‫‪= 𝟏 − 𝟐 + −𝟏 −‬‬

‫𝟐‪= −‬‬ ‫‪= −‬‬

‫‪) (𝟏 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪(𝟏 −‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪+ 𝟏+‬‬

‫‪+ 𝟏+‬‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫𝟑 𝟐‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪ = 𝟏 +‬الطرف األيسر‬

‫******************************************************************‬

‫التمثٌل الهندسً لؤلعداد المركبة‬ ‫بالمحور‬ ‫‪−‬‬ ‫حٌث ٌسمى المحور‬ ‫‪,‬‬ ‫ٌمكن تمثٌله ندسٌا ا بالنمطة‬ ‫‪+‬‬ ‫العدد المركب‬ ‫فٌسمى المحور التخٌلً و و ٌمثل‬ ‫‪−‬‬ ‫الحمٌمً و و ٌمثل الجزء الحمٌمً للعدد المركب ‪ ,‬أما المحور‬ ‫الجزء التخٌلً للعدد المركب ‪ ,‬وٌمكن تمثٌل بعض العملٌات التً تجري على األعداد المركبة تمثٌالا ندسٌا ا وتسمى‬ ‫األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وٌسمى المستوي الذي ٌحتوٌها بالمستوي المركب ‪.‬‬

‫‪46‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫أذا كان‬ ‫‪𝟐,‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫فأن ‪:‬‬ ‫𝟏‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫عددان مركبان ممثالن بالنمطتٌن‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫وٌمكن تمثٌل 𝟐 ‪+‬‬ ‫وكما موضح بالشكل ‪:‬‬

‫𝟏‬

‫بالنمطة‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫مثال (‪ / )22‬مثل العملٌات األتٌة ندسٌا ا فً شكل أرجاند ‪:‬‬ ‫𝟐‪+ 𝟓+‬‬ ‫𝟒 ‪𝟑,‬‬ ‫𝟐 ‪𝟓,‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪= 𝟑+𝟒 + 𝟓+‬‬ ‫𝟔‪= 𝟑 = 𝟖+‬‬

‫𝟐‪𝟔, −‬‬ ‫𝟓 ‪−𝟐,‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑+‬‬

‫𝟒‪=𝟑+‬‬ ‫𝟐‪=𝟓+‬‬

‫𝟓‪− 𝟐−‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‪𝟔−‬‬

‫𝟐‪=𝟔−‬‬ ‫𝟓‪=𝟐−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟓 ‪+ − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 +‬‬ ‫𝟑‪𝟏+ 𝟐 = 𝟑 = 𝟒+‬‬ ‫𝟑‪𝟑 = 𝟒+‬‬ ‫𝟑 ‪𝟑 𝟒,‬‬ ‫𝟏‬

‫‪47‬‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬

‫وذلن بأستخدام المعلومات المتعلمة بالمتجهات‬

‫أي أن ‪⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑𝟏 + ⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑𝟐 = ⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑​⃑𝟑 :‬‬

‫𝟔 ‪𝟖,‬‬

‫𝟏‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين ‪− 4‬‬ ‫س‪ / 1‬أكتب النظٌر الجمعً لكل من االعداد األتٌة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعٌة على شكل أرجاند ‪.‬‬ ‫=‬

‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫‪=𝟏−‬‬

‫تمثٌله البٌانً‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟑 ‪= −𝟏 +‬‬

‫نظٌره الجمعً‬

‫العدد‬

‫𝟑 ‪𝟏 = −𝟐 −‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏 = −𝟐 , −‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟑‪𝟏 =𝟐+‬‬ ‫𝟑‪𝟏 = 𝟐 ,‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪= −𝟏 +‬‬ ‫𝟑 ‪𝟐 = −𝟏 ,‬‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟑‬

‫‪=𝟏−‬‬ ‫𝟏‪𝟑 = 𝟏 , −‬‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫=‬ ‫𝟏‪𝟒 = 𝟎 ,‬‬

‫𝟑‪=𝟏−‬‬ ‫𝟑 ‪𝟐 = 𝟏 ,−‬‬

‫‪= −𝟏 +‬‬ ‫𝟏 ‪𝟑 = −𝟏 ,‬‬

‫‪=−‬‬ ‫𝟏‪𝟒 = 𝟎 , −‬‬

‫‪48‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‪=𝟐+‬‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 2‬أكتب العدد المرافك لكل من االعداد التالٌة ثم مثل األعداد ومرافماتها على شكل أرجاند‬ ‫𝟐‪= −‬‬

‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫‪=𝟏−‬‬

‫تمثٌله البٌانً‬

‫𝟑‬

‫‪,‬‬

‫𝟐 ‪= −𝟑 +‬‬

‫𝟐‬

‫مرافك العدد‬

‫‪49‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‪=𝟓+‬‬

‫𝟏‬

‫العدد‬

‫𝟑 ‪̅𝟏 = 𝟓 −‬‬ ‫𝟑 ‪̅𝟏 = 𝟓 , −‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‪=𝟓+‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‪𝟏 = 𝟓 ,‬‬

‫𝟐 ‪̅ 𝟐 = −𝟑 −‬‬ ‫𝟐 ‪̅ 𝟐 = −𝟑 , −‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪= −𝟑 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 ‪𝟐 = −𝟑 ,‬‬

‫‪̅𝟑 = 𝟏 +‬‬ ‫𝟏 ‪̅𝟑 = 𝟏 ,‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪=𝟏−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‪𝟑 = 𝟏 , −‬‬

‫𝟐 = 𝟒̅‬ ‫𝟐 ‪̅𝟒 = 𝟎 ,‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‪= −‬‬ ‫𝟐‪𝟒 = 𝟎 , −‬‬

‫𝟒‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 3‬أذا كان‬

‫𝟐‪= 𝟒+‬‬

‫س‪ / 4‬أذا كان‬

‫𝟐‪=𝟒−‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫فوضح على شكل أرجاند كآل من‬

‫‪,−‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪,‬‬

‫‪= 4,2‬‬ ‫‪= 4 , −2‬‬ ‫‪− = −4 , −2‬‬

‫𝟏‬

‫‪=𝟏+𝟐 ,‬‬

‫𝟐‬

‫‪=4+2‬‬ ‫‪=4−2‬‬ ‫‪− = −4 − 2‬‬

‫فوضح على شكل أرجاند كآل من ‪:‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−3‬‬

‫‪= −3 , −6‬‬

‫‪= 8 , −4‬‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬

‫‪= −3 − 6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟏‬

‫‪+2‬‬

‫‪=8−4‬‬

‫𝟐 ‪,‬‬

‫𝟑‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−3‬‬

‫‪= −3‬‬ ‫‪= 2 4−2‬‬

‫‪= 3−4‬‬

‫‪= 4 − + −2 − 2‬‬ ‫‪= 3, −4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪= 4−2 −‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3−4‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪= 5+ i‬‬

‫‪= 4 + + −2 + 2‬‬ ‫‪= 5,‬‬

‫‪= 4−2 + +2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 5+ i‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪50‬‬

‫‪2‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الصورة المطبٌة 𝒎𝒓𝒐𝑭 𝒓𝒂𝒍𝒐𝑷 للعدد المركب‬ ‫ارا كان‬

‫‪,‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫فان‬

‫=‬

‫=‬

‫انجضء انحقٍقً نهعذد انمشكب‬ ‫حقٍقً غٍش سانب وٌسمى‬ ‫=‬ ‫أو ٌكتب‬

‫حٍث‬

‫و‬

‫=‬

‫=‬

‫انجضء انتخٍهً نهعذد انمشكب )‬

‫( مقٍاط انعذد انمشكب وهو عذد‬

‫𝟐‪[ 𝟎 ,‬‬

‫وٌمكه انقول أن‬

‫‖ ‖=‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫𝟐‬

‫مثال (‪ / )23‬اذا كان 𝟑 ‪= 𝟏 +‬‬

‫فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة لسعة‬ ‫𝟐= 𝟑‪= 𝟏+‬‬

‫الربع األول‬

‫=‬

‫وٌشمض نه بانشمض ‖ ‖ و تسمى ( 𝜃 ) سعة انعذد انمشكب وتكتب‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫حٍث أن‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫‖‬

‫‖= =‬

‫‖‬

‫‖= =‬

‫‪.‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‖ ‖=‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫مثال (‪ / )24‬اذا كان‬

‫‪= −𝟏 −‬‬

‫فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للعدد‬ ‫𝟐 = 𝟏‪= 𝟏+‬‬

‫الربع الثالث‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪.‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‖ ‖=‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫‪51‬‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪ / )25‬عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة ‪:‬‬ ‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬

‫𝟐‪−𝟐+‬‬ ‫𝟐 ‪= −𝟐 +‬‬

‫𝟐‪𝟐 𝟑−‬‬ ‫𝟐‪= 𝟐 𝟑−‬‬ ‫𝟒 ‪= 𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‪−‬‬

‫𝟏𝟏‬ ‫𝟔‬

‫𝟒‬ ‫=‬

‫𝟏𝟏‬ ‫)‬ ‫𝟔‬

‫𝟒‪= 𝟒+‬‬

‫=‬ ‫=‖ ‖=‬ ‫𝟒 = 𝟔𝟏 =‬

‫=‬ ‫=‬

‫𝟔‬

‫‖ ‖‬ ‫‖ ‖‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪=𝟐 −‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟔‬

‫( 𝟒=‬

‫𝟐‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫=‬ ‫=‖ ‖=‬ ‫𝟐 𝟐=𝟖 =‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟒‬

‫‖ ‖‬ ‫‖ ‖‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫𝟑‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟒‬

‫=‬ ‫( 𝟐 𝟐=‬

‫مثال (‪ / )26‬عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة ‪:‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟏 ‪−‬‬ ‫‪𝟎 +‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏= 𝟎‪𝟏=𝟏+‬‬

‫‪+‬‬ ‫)‬

‫𝟏 = 𝟎 ‪− 𝟏 = −𝟏 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫( 𝟏= ‪=𝟎+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫( 𝟏 = ‪− = 𝟎−‬‬

‫مالحظة‬ ‫من خالل المثال (‪ )26‬السابك نستنته طرٌمة ٌمكن تطبٌمها على األعداد المركبة وكما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟎‬

‫‪𝟎 +‬‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫‪52‬‬

‫𝟑=‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐=‬

‫𝟐‬

‫𝟎‪𝟑= 𝟑 𝟏 =𝟑 𝟏+‬‬ ‫(𝟓 =‬

‫‪𝟓 = 𝟓 𝟎+‬‬

‫𝟎 ‪−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 +‬‬

‫(𝟕 =‬

‫‪=𝟕 𝟎−‬‬

‫‪−𝟕 = 𝟕 −‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مبر نة دٌموافر 𝒎𝒆𝒓𝒐𝒆𝒉𝑻 𝒔 ‪𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′‬‬ ‫لكل‬ ‫لكل‬

‫‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫فأن‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪,‬‬

‫فأن‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫‪= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫‪,‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫مثال (‪ / )27‬أحسب )‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬ ‫‪)=𝟎−‬‬ ‫𝟐‬ ‫مثال (‪ / )28‬بين لكل‬ ‫]‬

‫‪−‬‬

‫𝟐𝟏‬ ‫(=)‬ ‫𝟖‬

‫(‬

‫‪+‬‬

‫فأن‬

‫‪,‬‬ ‫[=‬

‫‪+‬‬

‫‪)+‬‬

‫(‬

‫(‬

‫𝟖‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫))‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫) (‬

‫=‬

‫‪+ −‬‬

‫وبجعل‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫]‬

‫‪=−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫= الطرف األيسر‬ ‫‪−‬‬

‫[=‬ ‫[=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫مالحظة‬ ‫الموانٌن التالٌة مهمة فً عملٌات التبسٌط ‪:‬‬

‫‪53‬‬

‫(‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫= ]‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟖‬

‫𝟒 𝟑‬ ‫(= )‬ ‫𝟖‬

‫𝟑‬ ‫𝟖‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟏𝟏‬

‫مثال (‪ / )29‬أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر‬ ‫‪= 2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪. 𝟏+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪8 +3‬‬ ‫‪8 +3‬‬ ‫(‬ ‫( ‪)+i i‬‬ ‫))‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫‪2‬‬

‫)) ( ‪( ) + i i‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫(‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= ))‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪( ))+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( )+‬‬

‫‪= −32 + 32‬‬

‫‪2‬‬

‫𝜃 ‪𝜃+i i‬‬ ‫( ‪)+i i‬‬

‫‪4‬‬

‫‪] = 32 − +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪4‬‬

‫‪(2 +‬‬

‫‪( )−‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪)/1 = 32‬‬ ‫‪4‬‬

‫[ ‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)) ‪) + i i (2 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫( ‪( )) +‬‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬ ‫‪+‬‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2 2‬‬

‫=‬

‫(* ‪2‬‬

‫‪= 32‬‬

‫(‪2 0‬‬

‫‪= 32‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪( )) + .‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫(‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫مالحظة‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫مثال (‪ / )30‬حل المعادلة 𝟎 = 𝟏 ‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐 ‪= 𝟎, 𝟏,‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫حٌث ‪ℂ‬‬

‫بالجذر التكعيبي‬ ‫)‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫(‬

‫‪)+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪= +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‪= −‬‬ ‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‪= −𝟏 + 𝟎 = −‬‬

‫=‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪+‬‬

‫𝟓‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪= −‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪, −𝟏 , +‬‬ ‫مجموعة الحل للمعادلة هي ‪3‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪54‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎=𝟏‪+‬‬

‫𝟓‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪2 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟎=‬

‫=‬

‫𝟏=‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫مثال (‪ / )31‬أوجد الصٌغة المطبٌة للممدار ‪:‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐=𝟏‪= 𝟑+‬‬

‫𝟔‬ ‫)‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫(𝟒 =‬

‫‪75‬‬

‫ثم جد الجذور الخمسة له ‪.‬‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‖ ‖=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‪( )+‬‬ ‫𝟑 ‪7+i i 6‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‪( )+‬‬ ‫𝟑 ‪6‬‬ ‫𝟓‬

‫])‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫= )‬

‫‪4‬‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫‪5+‬‬

‫(‬

‫‪+‬‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫‖ ‖‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫( )𝟓(𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫‪4‬‬

‫‪46‬‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫(‬

‫[𝟒‬

‫‪)+‬‬ ‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟕‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟑𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬

‫𝟗𝟏‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟗𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟑=‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟓𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪55‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫(𝟐 =‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫)‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟎=‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫‪44‬‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫‪57‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫( 𝟐𝟐 =‬

‫𝟔‬

‫𝟒 ‪= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫‪= 𝟑+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟒=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟓 𝟐‬

‫=‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين ‪− 5‬‬ ‫س‪ / 1‬أحسب ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( − )+‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟓‬ ‫*=]‬ ‫𝟔‬

‫‪( − )+‬‬ ‫𝟔‬

‫‪( 𝟔 )+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪(𝟔) −‬‬

‫𝟎𝟐‬ ‫[=]‬ ‫𝟒𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟔‬

‫* ‪( 𝟔 )+ +‬‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟒𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟏 𝟑 ‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪=−‬‬

‫𝟔‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟕‬ ‫]‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟕‬ ‫]‬ ‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟕‪−‬‬ ‫[=]‬ ‫𝟒‬

‫𝟕‬ ‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫𝟕‪−‬‬ ‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫‪(𝟐 − )+‬‬ ‫𝟐‬

‫‪( 𝟒 )+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫* ‪( 𝟒 )+ −‬‬

‫𝟏‬

‫‪(𝟐 − ) −‬‬ ‫‪(𝟒) +‬‬

‫𝟐‬

‫*=‬

‫‪( )+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫=) (‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟕‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[‬ ‫*=‬

‫𝟒‬

‫‪(𝟒) −‬‬

‫𝟕‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[‬

‫𝟑‪−‬‬ ‫𝟕‬ ‫[= ]‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟏𝟐‪−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫[‬

‫* =‬

‫𝟔‬

‫𝟏𝟐‪−‬‬ ‫[=]‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟒𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬ ‫[= ]‬ ‫𝟒𝟐‬

‫‪(𝟔) +‬‬

‫=‬

‫𝟓‬ ‫]‬ ‫𝟒𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟒𝟐‬

‫[‬

‫𝟒‬

‫س‪ / 2‬أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر (أو التعمٌم ) ما ٌأتً ‪:‬‬ ‫وزاري ‪ / 2012‬د‪1‬‬ ‫𝟕 ‪𝟏−‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫الربع الرابع‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫‪=2 −‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+i i‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( + 2 ) + i i ( + 2 )+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)+‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(4‬‬ ‫‪i ( )+‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫=‬

‫(‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫=𝜃‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫𝜃 ‪𝜃+i i‬‬

‫) ‪) + ( i (4‬‬ ‫‪)+ = 8‬‬

‫‪2‬‬

‫) ( ‪)+ ( i‬‬

‫‪−‬‬

‫‪4‬‬

‫‪= 8+8‬‬

‫) ‪(4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫‪49‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪+i i‬‬ ‫=)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪56‬‬

‫=‬ ‫‪,‬‬

‫) ‪(4‬‬

‫* ‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫(‬ ‫(*‬

‫) (‬

‫‪]=8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟕‬

‫=‬

‫=‬ ‫=𝜃‬

‫‪= 𝟏−‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2 2‬‬

‫=‬

‫(* ‪2‬‬

‫‪=8‬‬

‫[ ‪2‬‬

‫‪=8‬‬

‫‪2‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬ ‫𝟗‪−‬‬

‫‪=2‬‬ ‫الربع األول‬

‫‪6‬‬

‫‪= 3+‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪𝟑+‬‬ ‫‪= 𝟑+‬‬

‫=‬ ‫𝟑‬ ‫‪2‬‬

‫=𝜃‬

‫𝟗‪−‬‬

‫س‪ / 3‬بسط ما ٌأتً ‪:‬‬

‫‪5 2‬‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟎𝟏‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟗‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫] 𝜃 ‪i‬‬

‫[‬

‫𝜃‬ ‫𝜃‪i 4‬‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫‪4𝜃 +‬‬

‫‪𝜃+‬‬ ‫=‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃−‬‬

‫= ] 𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃−‬‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫= ] 𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃+‬‬

‫س‪ / 4‬باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب‬ ‫=‬

‫‪+3 = 4=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫الربع الثاني‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪=2‬‬ ‫)) ( ‪( ) + i i‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 +6‬‬ ‫‪2 +6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5+i i 4‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬

‫) (‬

‫‪−‬‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫=‬

‫) (‬

‫𝜃 ‪𝜃+i i‬‬ ‫‪57 = 2 6‬‬ ‫])‬

‫𝟏 ‪= 𝟎,‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝜃‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟐 +‬‬ ‫‪𝟑 +‬‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃+‬‬

‫=‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃+‬‬

‫=‬

‫[ 𝜃 ‪i‬‬

‫‪𝜃+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫) (‬

‫‪=− + 3‬‬

‫=‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫=𝜃‬

‫‪= √− + 3 = − + 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪5+i i 4 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= 26‬‬

‫‪2 +6‬‬ ‫( ‪)+i i‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2 +6‬‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬

‫[‪= 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪)+‬‬ ‫( ‪( )] = 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪) = 2. +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫‪( )+‬‬ ‫( ‪( )] = 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫*𝟐 = )‬ ‫‪( + )+‬‬ ‫‪( + )+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫‪( )−‬‬ ‫* ‪( )] +‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪( )−‬‬ ‫‪( )] = 2 .‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫[‬

‫(‬

‫‪57‬‬

‫𝟓‬

‫‪𝜃+‬‬ ‫‪𝜃+‬‬

‫‪5 2‬‬

‫=‬

‫𝟑 ‪−𝟏 +‬‬

‫=‖ ‖=‬ ‫‪3‬‬ ‫= =𝜃‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝜃 ‪i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝟐 +‬‬ ‫‪𝟑 +‬‬

‫[‬ ‫=‬ ‫[‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟑] 𝟑‬

‫(‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=] ‪[ − −‬‬

‫𝟓‬

‫𝟓] 𝟐‬

‫‪𝟑+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‖ ‖‬

‫‪= −‬‬ ‫( ‪𝜃+i i 𝜃 − =2−‬‬ ‫‪+i i‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−9‬‬ ‫‪−9‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫(‬ ‫( ‪)+i i‬‬ ‫= ))‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫( ‪)+i i‬‬ ‫= ))‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−i i‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=𝜃‬

‫[‪= 2‬‬ ‫[‪= 2‬‬ ‫[‪= 2‬‬ ‫‪= 2[−‬‬

‫𝟎=‬ ‫𝟏=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 5‬باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب‬ ‫𝟕𝟐 =‬ ‫الربع االول‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫)‬

‫𝟐‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=𝟐 ‪+‬‬ ‫𝟕𝟐‬ ‫=‬ ‫𝟏=‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟕𝟐‬

‫=‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫( 𝟑‬

‫𝟐 ‪= 𝟎, 𝟏,‬‬

‫=‖ ‖=‬ ‫=‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪55‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑 𝟑 𝟑‬ ‫= ‪( )] = 𝟑 0 + 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪5‬‬ ‫* 𝟑 = ]) (‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟏 𝟑 ‪−‬‬ ‫𝟑 𝟑 𝟑‪−‬‬ ‫‪( )+ = 𝟑 0‬‬ ‫=‪+ 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‪= −‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪( )] = 𝟎 + 𝟑 −‬‬ ‫‪2‬‬

‫س‪ / 6‬جد الجذور األربعة للعدد‬

‫‪3‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫[ 𝟑 = ])‬ ‫‪6‬‬

‫(‬

‫=‬ ‫‪,‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪5+‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‬

‫𝟎‬ ‫𝟎=‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫𝟔𝟏 =‬

‫=‬

‫‪=4‬‬ ‫𝟐 ‪] = 𝟐+‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‬

‫))‬

‫‪+2‬‬

‫𝟏‬ ‫‪( )] = 𝟐 [ +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝟐‬

‫]) (‬ ‫𝟒‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( − )] = 𝟐[−‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( − )+‬‬ ‫𝟒‬

‫]) (‬ ‫𝟒‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( + )] = 𝟐[−‬‬ ‫𝟒‬

‫‪( + )+‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟒‬

‫𝟓‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟒‬

‫[‪= 3‬‬ ‫[‪= 3‬‬

‫𝟏=‬

‫]) ‪(𝟐 −‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟕‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟒‬

‫‪(𝟐 − ) +‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬

‫𝟐 ‪] = 𝟐−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪( )] = 𝟐 [ −‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫‪58‬‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬

‫[‪= 3‬‬

‫𝟔𝟏‪= −‬‬

‫𝟔𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‪= −‬‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫[‪= 2‬‬

‫‪+‬‬

‫[𝟐 =‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬

‫‖ ‖‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟏‪−‬‬

‫(‪6‬‬

‫𝟒‬

‫=‬ ‫=‬

‫𝟎=‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫[𝟐 =‬ ‫[𝟐 =‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟔𝟏‪−𝟏𝟔 = −‬‬

‫𝟑‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏‬

‫=‬

‫‪+2‬‬

‫( ‪)+i i‬‬

‫𝟐 ‪] =− 𝟐−‬‬ ‫(‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪𝟐𝟕 4‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪] =− 𝟐+‬‬ ‫(‬

‫𝟕𝟐 = 𝟕𝟐‬

‫𝟎=‬

‫‪( )+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬

‫=‬

‫‪= 𝟑 *−‬‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫(‬

‫𝟕𝟐 =‬

‫𝟎‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝟎=‬ ‫𝟕𝟐 ‖ ‖‬

‫𝟔𝟏‪ −‬باستخدام مبر نة دٌموافر ‪.‬‬ ‫= 𝟐 ‪𝟐+‬‬ ‫=‖ ‖=‬ ‫𝟔𝟏 = 𝟐 𝟔𝟏‬ ‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟕𝟐 =‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟕‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬

‫[𝟐 =‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟒‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟒‬

‫𝟑=‬

‫𝟒‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫س‪ / 7‬جد الجذور الستة للعدد‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫‪ −64‬بأستخدام مبر نة دٌموافر ‪.‬‬ ‫‪= 64‬‬

‫‪64‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬

‫‪3‬‬ ‫( ‪3‬‬ ‫‪+i i‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 +4‬‬ ‫( ‪)+i i‬‬ ‫‪2‬‬

‫])‬

‫]‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟒𝟔‪−‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪64‬‬

‫=‬

‫(‬

‫) (‬

‫‪= 64‬‬

‫‪3 +4‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬

‫𝟏‬ ‫‪( )+ = 𝟐 [ +‬‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫=‖ ‖=‬

‫) (‬

‫=‬

‫𝟎‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬

‫‪,‬‬

‫) (‬

‫=‬

‫) (‬

‫‪3‬‬ ‫* 𝟐 = ]) (‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‖ ‖‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫‪−64 = −64‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪5+i i 4 2‬‬ ‫‪6‬‬

‫[ ‪57 = 2‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬

‫=‬

‫=𝜃‬

‫𝜃 ‪𝜃+i i‬‬

‫‪= −64‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪64 6‬‬

‫[‪= 2‬‬

‫=‬

‫𝟎=‬

‫𝟐 ‪= 𝟐+‬‬ ‫]) ‪( +‬‬ ‫𝟒 𝟑‬

‫𝟕‬ ‫[𝟐 = ]) (‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪( + )+‬‬ ‫𝟒 𝟑‬

‫𝟕‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟏=‬

‫𝟐‬

‫(* 𝟐 =‬

‫) (‬ ‫‪( )−‬‬ ‫) (‬ ‫( ‪( )) +‬‬ ‫) (‬ ‫‪( )+‬‬ ‫) (‬ ‫‪( ))+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏 𝟑‬ ‫𝟏 𝟑‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫‪= 𝟐 0.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪/+ .‬‬ ‫‪/1 = 𝟐 0.‬‬ ‫‪/+ .‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐 𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐 𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐 𝟐 𝟐‬ ‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫𝟑 ‪𝟏−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪/1‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫𝟐‬ ‫])‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫‪( ))+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪( −‬‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫𝟔 𝟒‬

‫‪( ))+‬‬ ‫𝟔‬

‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟏𝟏‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪( −‬‬

‫( ‪( )) +‬‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫𝟔 𝟒‬

‫𝟏𝟏‬ ‫(‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫(‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫‪( )+ = *−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬

‫(* 𝟐 =‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪= 𝟐 *−‬‬

‫) (‬ ‫‪( )+‬‬ ‫) (‬ ‫( ‪( )) +‬‬ ‫) (‬ ‫‪( )−‬‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‪− 𝟑−‬‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫‪= 𝟐 0− .‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/+ .‬‬ ‫‪/1 = 𝟐 0‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟏‪− 𝟑−‬‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟓‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟒‬

‫(‬

‫‪5‬‬ ‫[ 𝟐 = ])‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫]) ‪( +‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟒‬

‫( ‪( )) +‬‬

‫𝟐 ‪]= − 𝟐−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪59‬‬

‫𝟒‬

‫‪( )−‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏‪−‬‬

‫(‬

‫‪( + )+‬‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟐‬

‫( ‪= 𝟐 *−‬‬

‫𝟓‬ ‫])‬ ‫𝟒‬

‫‪( ))+‬‬

‫‪/+ .‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫‪= 𝟐 0.‬‬

‫𝟒‬

‫[𝟐 =‬ ‫(* 𝟐 =‬

‫𝟒‬

‫[ 𝟐 = ‪( )+‬‬

‫[‪= 2‬‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟒‬

‫‪= 𝟐 *−‬‬

‫𝟑=‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟓‬ ‫])‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟓‬ ‫])) (‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟓‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪(𝟐 −‬‬

‫𝟓‬ ‫‪)−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫(‬

‫‪(𝟐 −‬‬

‫𝟓‬ ‫( ‪( )) +‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬ ‫‪( + )+‬‬ ‫𝟔 𝟒‬

‫‪( ))+‬‬ ‫𝟔‬

‫‪( + )−‬‬ ‫𝟔 𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫([ 𝟐 =‬

‫𝟓‬ ‫‪( )−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[𝟐 =‬

‫) (‬ ‫‪( )−‬‬ ‫) (‬ ‫( ‪( )) −‬‬ ‫) (‬ ‫‪( )+‬‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫‪= 𝟐 0.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/− .‬‬ ‫‪/1 = 𝟐 0‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪(𝟐 −‬‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟐‬ ‫(‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪(𝟐 −‬‬

‫( ‪( )) +‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪( − )+‬‬ ‫𝟔 𝟒‬ ‫‪( ))+‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟓‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟓‬ ‫* = ]) (‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟒=‬

‫(* 𝟐 =‬

‫])‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫‪( ))+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟗𝟏‬ ‫(‬ ‫[𝟐 = ])‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟗𝟏‬ ‫(‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫‪( − )−‬‬ ‫𝟔 𝟒‬

‫𝟑𝟐‬ ‫(‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫* = ‪( )+‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫[𝟐 =‬

‫𝟐‬

‫𝟓=‬

‫𝟔‬

‫(* 𝟐 =‬ ‫*𝟐 =‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫(* 𝟐 =‬

‫) (‬ ‫‪( )+‬‬ ‫) (‬ ‫( ‪( )) −‬‬ ‫) (‬ ‫‪( )−‬‬ ‫) (‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫‪= 𝟐 0.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/− .‬‬ ‫‪/1 = 𝟐 0‬‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟏‪𝟑+‬‬ ‫𝟏‪𝟑−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫******************************************************************‬

‫حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول‬ ‫س‪ / 1‬جد لٌمة‬

‫‪,‬‬

‫والتً تحمك ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫‪−2‬‬

‫𝟒‪𝟐 +‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟒‪−‬‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫=‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐=‬ ‫نعوض في معادلة‬

‫𝟒=‬

‫=‬

‫‪−‬‬ ‫𝟐𝟏‪𝟏𝟐 +‬‬

‫‪=𝟐 −4‬‬ ‫‪−‬‬

‫⇒‬

‫𝟐=‬

‫‪60‬‬

‫=‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= −4‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐=𝟒‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟔‬

‫س‪ / 2‬جد ناته ‪:‬‬ ‫𝟔‬

‫)‬

‫𝟒‬

‫‪+‬‬

‫س‪ / 3‬أذا كان‬

‫)𝟒‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑] 𝟐‬

‫𝟒‬

‫‪𝟓 +‬‬

‫𝟗‬

‫‪+‬‬

‫𝟑(‬

‫𝟔‬

‫𝟓‬ ‫𝟔‬

‫𝟓‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫]‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫‪𝟑.‬‬

‫𝟏 𝟑( = )‬

‫‪+ 𝟒[−𝟏 −‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‬ ‫‪𝟑.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔 𝟐‬

‫𝟓‪= 𝟑+‬‬

‫𝟔‬

‫‪+‬‬

‫𝟑 𝟑‬

‫𝟑( = )‬

‫𝟒‬

‫𝟒‪+‬‬

‫𝟒‬

‫𝟓‪/ = 𝟑+‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬ ‫𝟑‪𝟏+ −‬‬

‫عددا ا مركبا ا ‪ ,‬جد بأستخدام مبر نة دٌموافر‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‪𝟏−𝟐 𝟑 +‬‬ ‫=‬ ‫𝟑‪𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪𝟏𝟐 +‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫تقع في الربع الثالث‬

‫𝟏‬

‫)𝟐( 𝟒‬ ‫)‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫=)‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫) ‪( −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(𝟑) −‬‬ ‫‪( 𝟑 )+‬‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟏 =‬

‫‪(2 − ) +‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪(𝟑) −‬‬

‫‪5‬‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫=‬

‫𝟑 ‪𝟏−‬‬

‫=‬

‫𝟑‪𝟏 + −‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫‪57‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫* ‪( 𝟑 )] +‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪/+‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪61‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪(𝟑) +‬‬

‫[=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟒‬ ‫‪+2‬‬ ‫𝟑‪4‬‬ ‫‪5+‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟎𝟏‬ ‫=‪/‬‬ ‫‪6‬‬

‫* ‪( 𝟑 )] +‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪( )= −‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫‪=.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)𝟐( = ‪/‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝟑 ‪5+i i 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫=)‬ ‫‪6‬‬

‫‪.‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫‪( )= − +‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔‪𝟒 +‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‪4‬‬ ‫= ]‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟔‪𝟒 +‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟓‪= 𝟑+‬‬ ‫‪= [ 𝟏+‬‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟏‪( 𝟐 ) −‬‬ ‫= =‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‖ ‖‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫= ‪= +‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫‪.‬‬

‫‪= ,‬‬ ‫(‬

‫‪= .𝟑 +‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪−‬‬ ‫‪𝟐 /‬‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫( 𝟐‬

‫𝟑(‬

‫𝟑 𝟐 ‪−𝟐 −‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟑 ‪−‬‬ ‫𝟑 𝟏‬ ‫‪𝟐 + 𝟐 = √.‬‬ ‫‪/ +.‬‬ ‫𝟏= 𝟏 = ‪/ =√ +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒 𝟒‬

‫‪(𝟑 )+‬‬

‫𝟓‬

‫‪+‬‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟑‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‬

‫𝟔 𝟑‬

‫𝟓‬

‫𝟔‬ ‫𝟑] 𝟐‬ ‫‪− 𝟒 − 𝟒 𝟔 = −𝟏 +‬‬ ‫‪= [ −𝟏 +‬‬ ‫‪= [𝟏 − 𝟐 +‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟕𝟐‪− 𝟐 ]𝟑 = [− − 𝟐 ]𝟑 = [−𝟑 ]𝟑 = −𝟐𝟕 𝟑 = −‬‬

‫𝟐‬

‫) ‪(2 −‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪.‬‬

‫𝟎𝟏‬ ‫‪/+‬‬ ‫‪6‬‬

‫𝟎=‬

‫[=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫‪(𝟑) +‬‬

‫‪2‬‬

‫[=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪( )−‬‬ ‫𝟑‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول‬ ‫سؤال وزاري ‪ /98‬د ‪ :1‬ضع‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪+ 𝟑−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑 ‪ 𝟏 +‬بالصٌغة العادٌة للعد المركب‪.‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪+6 +9 +9− 2 +4‬‬ ‫‪+ 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6‬‬

‫سؤال وزاري ‪/98‬د ‪ :1‬جد الجذر التربٌعً للعدد‪:‬‬

‫𝟐 ‪+‬‬

‫‪𝟕+‬‬

‫𝟐 ‪−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪− −+‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 3−4‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪... 2‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪= −2‬‬

‫‪−4‬‬

‫‪−‬‬

‫بالتربيع‬

‫= ‪3−4‬‬

‫⇒ ‪= −4‬‬ ‫=‪−4‬‬

‫⇒‬

‫‪2‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪....‬‬

‫‪−4=3‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫= ‪ 3 − 4‬نفرض‬

‫‪+‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫= المقدار‬ ‫=‬

‫‪=3‬‬

‫‪−‬‬

‫⇒ ‪=3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫يهمل‬ ‫‪−‬‬

‫‪=−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪−2‬‬

‫=‪−4‬‬

‫‪=4‬‬

‫‪2−‬‬ ‫‪3−4 = ,‬‬ ‫‪−2 +‬‬ ‫سؤال وزاري ‪/98‬د ‪ :2‬أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪= −4 − 2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= −3 − 2‬‬

‫‪−2‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪=4‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪= −3 + 2‬‬ ‫المعادلة التزبيعية‬

‫‪62‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪.‬‬ ‫‪ = 2‬مجموع الجذرين‬ ‫=‬

‫‪ = 2‬حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪+ −3 + 2‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪−‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟐 𝟑‬

‫سؤال وصاسي ‪/99‬د‪ :1‬كون انمعادنة انتشبٍعٍة انتً جزسها‬ ‫انحم‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= −5‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‪,‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+3‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪3 i−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪2 i−‬‬

‫‪ = 3‬مجموع الجذرين‬

‫‪+2‬‬

‫‪ = 3‬حاصل ضزب الجذرين‬

‫‪+2‬‬

‫‪+4‬‬ ‫‪.‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪+9‬‬

‫‪=6‬‬

‫‪−9−4−6‬‬

‫‪= −6‬‬

‫‪= − 3 + 6 = −7‬‬

‫‪−6‬‬

‫‪= − 3−6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= − 3−6‬‬

‫المعادلة التزبيعية‬ ‫سؤال وصاسي ‪/99‬د‪ :1‬جذ قٍمتً ‪ x‬و‪ y‬انحقٍقٍتٍه إرا عهمت أن‪:‬‬

‫𝟎𝟎𝟐‬ ‫𝟑‪𝟒+‬‬

‫=‬

‫=‪−7‬‬

‫𝟐‬

‫انحم‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪. 2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪− 6 = 32‬‬

‫= ‪−4‬‬

‫‪+4‬‬

‫=‬

‫‪+ 2‬‬

‫‪−4‬‬

‫‪= 32 − 24‬‬

‫‪+ 2‬‬

‫‪−4‬‬

‫‪9‬‬

‫⇒ ‪= −24‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫⇒ ‪= 32‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪..‬‬

‫‪= 32‬‬

‫‪−4‬‬

‫‪−‬‬

‫‪9‬‬

‫‪) = 32‬‬

‫(‪− 4‬‬

‫=‪− 6‬‬

‫‪9‬‬

‫يهمـــل‬ ‫‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪63‬‬

‫‪+ 2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= −2‬‬

‫‪+5‬‬

‫𝟐‪𝟑 +‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪=4‬‬

‫‪− 32‬‬ ‫=‪+4‬‬ ‫=‪−4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 9‬أما‬ ‫أو‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وصاسي ‪/2000‬د‪ :1‬إرا كان‪:‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫‪,‬‬

‫𝟑‪=𝟐+‬‬

‫انحم‪/‬‬

‫‪ ,‬جذ قٍمة‬

‫‪= 𝟑−‬‬ ‫‪= −5 + 2‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2000‬د‪ :1‬جد لٌمة‪:‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪.‬‬

‫‪−2+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫)‬ ‫𝟐 ‪𝟏+‬‬ ‫=‬

‫𝟏‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪.‬‬

‫‪=4+ 2 +9‬‬

‫‪=8−6‬‬ ‫= ‪= −5 + 2 + 6 − 2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪= 2+3‬‬ ‫‪= 3−‬‬

‫‪=9−6 +‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪= −5 + 2 + 2 8 − 6‬‬

‫(‪.‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪− 2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= −3‬‬

‫‪) = − +‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪− 2 = −2 −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪(−‬‬

‫=‬

‫سؤال وصاسي ‪/2000‬د‪ :2‬جذ قٍمة كم مه ‪ x‬و‪ y‬انحقٍقٍتٍه إرا عهمت‪:‬‬ ‫‪+ = 3‬‬ ‫انحم‪/‬‬

‫‪= 3+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪.. 2‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫= ‪−2‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‪+2 + − 3‬‬ ‫=‪−6‬‬

‫‪= −2‬‬

‫سؤال وصاسي ‪/2001‬د‪ :1‬جذ قٍمة انمقذاس‬

‫𝟐 𝟐‬

‫انحم‪/‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪= 8− 2 −8‬‬

‫‪= 8 + 8 = 26‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪64‬‬

‫‪= 3‬‬ ‫⇒‬

‫𝟐‬

‫‪= 3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪+3‬‬

‫‪=2‬‬

‫=‪−2‬‬

‫𝟐‪. 𝟑−‬‬

‫‪+9− 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‪+2 − 2‬‬

‫‪= −3‬‬

‫‪=2+‬‬

‫𝟐‪+ 𝟑−‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= −3 +‬‬ ‫‪=3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+ = 3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪= 8−8‬‬

‫‪ = 9 − 2 + 4‬المقدار‬ ‫‪= 8− 2 −8‬‬ ‫‪= 8−8 −8‬‬


โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ

โ ซุงู ู ุตู ุงุฃู ู ู โ ช /โ ฌุงุฃู ุนู ู ู ู ุฏุงุฏ ุงู ู ุฑู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ

โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคุคู ุงู ู ู ุคุคุคุคุฐุงุณโ ฌ

โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ

โ ซุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุคุฐ ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุงุท ู ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุฉโ ฌ

โ ซ๐ ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ

โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ 3โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซ=๐ โ ชiโ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ โ ซโ ช๐ = ,โ ฌโ ฌ

โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคู โ ฌ โ ซู ุจุงู ุตู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุฉ ุฃู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ ๐ +โ ฌโ ฌ

โ ซุณุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :2โ ฌู ู ู ุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุดุจู ุนู ุฉ ุงู ุชู ุฌุฒุณู ุงโ ฌ โ ซโ ชโ 4 = โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช=9โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ

โ ซ๐ โ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ โ ซ= ุงู ู ู ู ุงุณโ ฌ

โ ซ= โ ช+3โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ 2โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ=โ ฌ

โ ซโ ชโ 2 +โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ

โ ซ๐ โ ชโ ๐ ,โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช3+2โ ฌโ ฌ

โ ซ= ุงู ู ุธู ุฒ ุงู ุถุฒุจู โ ฌ

โ ซ๐ โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช = 3 โ 2 + 3โ ฌู ุฌู ู ุน ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ

โ ซโ ชโ 2 =3โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช = 3 โ 2โ ฌุญุงุตู ุถุฒุจ ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ

โ ซโ ช3โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ 4=5+6โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุฑุจู ุนู ุฉโ ฌ โ ซุณุคุงู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :2โ ฌุงุฐุง ู ุงู ๐ โ ช= โ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ุณุนุชู โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช= โ 6 + 3 โ 4 + 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+4โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซ= โ ช ๐ = 2 โ โ ฌุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ

โ ซโ ช= โ 8 โ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ

โ ซ๐ โ ช ๐ +โ ฌุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุฐ ู ู ุคุคุคุด ุงู ุคุคุคุดุจู โ ฌ

โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ

โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช4=2,โ ฌโ ฌ

โ ซ๐ ุชู ุบ ู ู ุงู ุฒุจุบ ุงู ุฒุงุจุบโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช=9โ 6โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ

โ ซโ ช+ 5+6โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ

โ ซุนุฏุฏุง ุง ู ุฑู ุจุงุงโ ช ,โ ฌุฃู ุชุจ ุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู ู ู ุฐุง ุงู ุนุฏุฏ ุซู ุฌุฏ ู ู ู ุงุณู ู ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ

โ ซุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู โ ฌ

โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซ=๐ โ ช, iโ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช ,โ ฌุงู ู ู ู ุงุณ โ ช= 4 = 2โ ฌโ ฌ

โ ซ=๐ โ ฌ

โ ซ๐ ุชู ุน ู ู ุงู ุฑุจุน ุงู ุซุงู ู โ ฌ

โ ซโ ช65โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช5โ ฌโ ฌ โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ

โ ซ=โ ฌ

โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ

โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ

โ ซโ ช=โ 3+โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 3+โ ฌโ ฌ

โ ซ= ๐ ุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณู ุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ

โ ซโ โ ฌ


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2002‬د‪ :2‬جد لٌمة‬

‫𝟐‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‪𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫‪=4+3‬‬ ‫‪+9‬‬ ‫‪= −5 + 6‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪−6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪=4‬‬

‫‪+ 3 ][2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= 4‬‬ ‫𝟐‬

‫سؤال وزاري ‪/2002‬د‪ :1‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟑 ‪. −𝟏 +‬‬

‫]‬ ‫‪=4‬‬

‫‪=4−3‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪= [−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−2‬‬

‫=‬

‫‪+3‬‬

‫𝟑‪. 𝟐−‬‬

‫𝟑‪, 𝟐−‬‬

‫‪ = 2 − 3‬مجموع الجذرين‬

‫‪+2−3‬‬

‫‪=4−6‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪ = 2 − 3‬حاصل الضرب‬

‫‪2−3‬‬

‫‪= −5 − 6‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬

‫سؤال وزاري ‪/2003‬د‪ :1‬إذا كان 𝟐 ‪= 𝟑 +‬‬

‫=‬

‫‪− 4+3‬‬

‫‪+ −5 + 6‬‬ ‫إثبت أن‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪=4+ =4−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 3+2 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= 3+2 + − =3−2 + + = 4−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪= 𝟏− ,‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪. +‬‬

‫‪+‬‬ ‫سؤال وزاري ‪/2003‬د‪ :1‬جد النظٌر الضربً للعدد المركب 𝟓 ‪ 𝟑 +‬ثم ضعه بالصورة العادٌة‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2003‬د‪ :1‬جد لٌمة الممدار‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟐 𝟒‪𝟑+𝟓 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‪𝟑+𝟒 +‬‬

‫‪+‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫‪− +‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪− −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪− −‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫= النظير الضربي‬

‫‪− −‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪− −‬‬

‫‪− + − −‬‬ ‫‪+ −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪66‬‬

‫‪− −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+ − −‬‬

‫=‬

‫‪=−‬‬

‫‪+ − −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪− +‬‬

‫‪− +‬‬ ‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪− −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سؤال وزاري ‪/2003‬د‪ :2‬إذا كان ‪ Z‬عددا ا مركبا ا ممٌاسه (‪ )2‬وسزعته ) ( جزد كزال مزن الشزكل الزدٌكارتً والجبزري‬ ‫𝟑‬ ‫لهذا العدد‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪= 3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫‪i‬‬

‫الشكل الجبري‬

‫=𝜃 ‪i‬‬ ‫‪+ 3‬‬

‫الشكل الديكارتي‬ ‫𝟓‬

‫سؤال وزاري ‪/2004‬د‪ :1‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا ) ‪) , ( −‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪−5‬‬

‫=‬

‫‪+2 = 5+2‬‬ ‫‪−5‬‬

‫‪+ 25‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+ 25‬‬

‫‪= −‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−5‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫‪.( −‬‬

‫𝟐‬

‫‪−5‬‬

‫‪= −‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪ = − 5 + − 5‬مجموع الجذرين‬

‫‪= −5‬‬ ‫=‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3‬‬

‫=‬

‫‪−5‬‬

‫= حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪−5‬‬

‫‪= − −5‬‬ ‫‪= 24 + 5‬‬

‫المعادلة التربيعية‬

‫=‬

‫‪+ 24 + 5‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2004‬د‪ :1‬جد الصٌغة العادٌة للعد المركب‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪+4−4 𝟑 +3‬‬

‫‪− 5+2‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪−2 𝟑 +3‬‬

‫‪+ 𝟐−‬‬ ‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪. 𝟏−‬‬

‫𝟑‬

‫‪+ 2−‬‬

‫𝟑‬

‫‪−‬‬

‫‪=5−6 𝟑 −3−3‬‬ ‫𝟑 ‪=− −6‬‬ ‫سؤال وزاري ‪/2004‬د‪ :2‬جد لٌمة‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪+ .‬‬

‫‪+ 𝟐+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐 𝟐‬

‫‪. 𝟐+‬‬

‫‪=8+4‬‬ ‫‪= 3‬‬

‫‪67‬‬

‫‪+4+4 +‬‬ ‫‪=4−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪ = 4 + 4‬المقدار‬ ‫‪=8−4+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫‪ 𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 +‬بالصٌغة الدٌكارتٌة‪.‬‬ ‫‪ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3‬المقدار‬ ‫‪= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26‬‬ ‫‪,26‬‬ ‫الصيغة الديكارتية‬

‫سؤال وزاري ‪/2005‬د‪ :1‬جد ناته‬ ‫الحل‪/‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2005‬د‪ :1‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا )‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪−3‬‬

‫=‬

‫‪+2 =3+2‬‬ ‫‪+9‬‬

‫‪= −‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪= −3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫𝟑‬

‫‪.( − ) , ( −‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪−3‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪−3‬‬

‫‪=− −3‬‬

‫المعادلة التربيعية‬ ‫فجد 𝟓 ‪+ 𝟑 +‬‬

‫سؤال ‪/2005‬د‪ :2‬إذا كان 𝟐 ‪= −𝟏 +‬‬

‫=‬

‫‪−3+6 +5=− +2‬‬

‫‪+ 8+3‬‬

‫‪+3 +5= − +2‬‬ ‫‪−4 +4‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪.‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=−‬‬ ‫‪−‬‬

‫=‬ ‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪− ,2‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2005‬د‪ :2‬جد الجذر التربٌعً للممدار‬

‫‪. 2‬‬

‫‪− 3+2‬‬

‫بالصٌغة الدٌكارتٌة‪.‬‬

‫‪+3 − +2 +5‬‬

‫الصيغة الديكارتية‬

‫= حاصل الضرب‬

‫‪−3‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫‪= −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪ = − 3‬مجموع الجذرين‬

‫‪+ −3‬‬

‫‪+9=8+3‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪=−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫⇒‬

‫‪,‬‬ ‫=‬

‫=‬

‫بالتربيع‬

‫= ‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−−+‬‬

‫‪+‬‬

‫= ‪ −‬نفرض‬ ‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪..‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪4‬‬

‫⇒‬

‫=‬

‫يهمل‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫أما‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪=8‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪68‬‬

‫‪− = 8−‬‬

‫أو‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟓‬

‫سؤال وزاري ‪/2006‬د‪ :1‬إذا كان ‪ z‬عددا مركبا ا ممٌاسه (‪ )4‬وسعته االساسٌة ) ( فجد كال من الشكل الدٌكارتً‬ ‫𝟔‬ ‫والشكل الجبري للعدد ‪.z‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪= −2 3‬‬

‫‪2 = −4 3‬‬ ‫‪=2‬‬

‫=‬

‫‪2 =4‬‬

‫‪−‬‬ ‫=‬

‫الشكل الجبري‬

‫=‬

‫سؤال وزاري ‪/2006‬د‪ :1‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪−2‬‬

‫=‬

‫‪+4‬‬ ‫‪−4= 2 −‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪= 25 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+5+2‬‬

‫‪ = 5 + 2‬مجموع الجذرين‬

‫‪5+2‬‬

‫‪ = 5 + 2‬حاصل الضرب‬

‫‪= 25 +‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬

‫‪+ 2 −‬‬

‫=‬

‫سؤال وزاري ‪/2006‬د‪ :1‬جد لٌمتً ‪ x‬و‪ y‬الحمٌمٌتٌن من المعادلة‪= 𝟐 + 𝟗 :‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪=2+9‬‬

‫‪= −2 3, 2‬‬

‫𝟐 ‪.𝟓 +‬‬

‫𝟐‪, 𝟓+‬‬ ‫=‬

‫‪−2 + 4 +‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−2‬‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪=2+9‬‬ ‫‪=2‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪=4‬‬

‫=‪−9 +2‬‬

‫‪+2=9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=8‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫=‬

‫‪69‬‬

‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪=2‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−2=2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=9‬‬ ‫‪.‬‬

‫⇒‬

‫= ‪−2‬‬

‫= ‪4‬‬

‫‪−‬‬

‫‪. 𝟐 +‬‬

‫‪. 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪= −2 3 + 2‬‬

‫الشكل الديكارتي‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫‪4 +‬‬

‫‪4 + =9‬‬ ‫‪4 −‬‬

‫‪4 −‬‬

‫=‪−2‬‬

‫أما‬

‫أو‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‪. 𝟑−‬‬ ‫سؤال وزاري ‪/2006‬د‪ :2‬كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا 𝟐 𝟐 ‪, 𝟑 −‬‬ ‫‪ = 3 − 2 + 3 − 2‬مجموع الجذرين‬ ‫‪=6−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 6+2‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫‪−6‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪ = 3 − 2‬حاصل الضرب‬ ‫‪=9−6‬‬

‫‪3−2‬‬ ‫‪=9−6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−4= 5+6‬‬

‫المعادلة التربيعية‬ ‫سؤال وزاري ‪/2006‬د‪ :2‬جد لٌمتً ‪ x‬و ‪ y‬الحمٌمٌتٌن إذا علمت أن‪:‬‬

‫=‬

‫‪+ 5+6‬‬ ‫‪=7‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪+7‬‬

‫=‬

‫‪+7‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪..‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪− 6+2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2 +‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−2‬‬

‫⇒‬

‫=‪−7 +4‬‬

‫‪.‬‬

‫⇒‬ ‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪−‬‬

‫‪= −2‬‬

‫=‬

‫‪6‬‬

‫‪3 −2 =7‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‪+ 2‬‬

‫‪. 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+ 2 + 3 −2‬‬

‫‪= −2‬‬

‫‪+4=7‬‬

‫‪3 −‬‬

‫‪−‬‬

‫‪3 − 2( ) = 7‬‬ ‫‪3 −4‬‬

‫‪−‬‬

‫=‪3 −4‬‬

‫‪3 =4‬‬ ‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫سؤال وزاري ‪/2007‬د‪ :1‬جد الجذر التربٌعً للعدد 𝟒 ‪.𝟑 +‬‬ ‫بالتربيع‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.. 2‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫‪−4‬‬

‫⇒ ‪=4‬‬

‫‪=2‬‬ ‫=‪−4‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪70‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+2‬‬

‫= ‪3+4‬‬

‫‪2‬‬ ‫{=‬ ‫‪−2‬‬

‫‪3+4 =,‬‬

‫‪−‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪−4=3‬‬

‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪−2 −‬‬

‫‪,‬‬

‫‪+‬‬

‫= ‪ 3 + 4‬نفرض‬

‫⇒‬ ‫‪=4‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪−‬‬

‫=‪−4‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2007‬د‪ :1‬جد لٌمة )‬ ‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪− −‬‬

‫‪−‬‬

‫𝟐‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪) (𝟏 −‬‬ ‫=)‬

‫𝟏‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪− ]= −‬‬

‫‪.(𝟏 −‬‬

‫[]‬

‫‪−‬‬

‫‪=4‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫=𝜃 ‪i‬‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫‪= −2‬‬ ‫(‪.‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= +‬‬ ‫=𝜃‬

‫‪,‬‬

‫‪= −2 + 2 3‬‬ ‫=𝜃 ‪i‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=𝜃‬

‫=‬

‫تقع في الربع الثاني‬ ‫سؤال وزاري ‪/2008‬د‪ :1‬أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪= −3 −‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪.‬‬

‫‪= 8−3‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬

‫‪71‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+ 3‬‬

‫=‬

‫‪=3 +‬‬

‫‪= 3‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫= المقياس‬

‫= ‪−‬‬

‫‪= 3 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫= ‪ = 4 + 2‬المقياس‬

‫‪6=4 ,‬‬

‫𝟐‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟑 ‪. 𝟏+‬‬

‫‪+2 3 +3‬‬

‫𝟑 ‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 2‬‬

‫𝟐‬

‫سؤال وزاري ‪/2008‬د ‪ :1‬جد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للسعة للعدد المركب‬ ‫الحل‪/‬‬

‫[=‬

‫‪+‬‬

‫‪−2‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2007‬د‪ :2‬جد الممٌاس والسعة األساسٌة للعدد المركب )‬ ‫‪+‬‬

‫‪ = ( −‬المقدار‬

‫‪+ )( −‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪= 4‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪3 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ = 3 +‬المجموع‬

‫‪ = 3 +‬حاصل الضرب‬

‫‪+3‬‬

‫‪=9+3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=8+3‬‬

‫‪+ 8−3‬‬

‫‪− −3 −‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سؤال وزاري ‪/2008‬د‪ :2‬جد لٌمتً ‪ x‬و ‪ y‬الحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+5 = 2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫سؤال وزاري ‪/2009‬د‪ :1‬جد لٌمة الممدار‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟓‪+‬‬

‫𝟒‬

‫] ‪+3‬‬ ‫‪−4‬‬

‫‪.‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟐‪𝟏𝟒+‬‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪. 2‬‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−9‬‬

‫‪= −3‬‬ ‫=‪−9‬‬

‫⇒‬ ‫‪−8‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪= 2( ) −‬‬

‫= المقدار‬

‫[‬

‫‪+‬‬

‫‪[ +2 +‬‬

‫=‬

‫‪= −4 − 4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 8−6‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪= −4‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪] − [5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+2‬‬

‫= ] ‪] − [−5 + 3‬‬

‫‪4‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2009‬د‪ :1‬جد الجذر التربٌعً للعدد‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫𝟑‪− 𝟓+‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+5 =2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5=3‬‬ ‫‪=4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+5 = 2 +‬‬

‫= ‪8−6‬‬

‫‪= −6‬‬

‫=‬

‫بالتربيع‬

‫‪, 2‬‬

‫⇒‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+ −‬‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫= ‪ 8 − 6‬نفرض‬

‫‪+‬‬

‫‪..‬‬

‫‪=8‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪−9=8‬‬

‫‪+‬‬

‫⇒‬

‫‪=8‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪−‬‬

‫يهمل‬ ‫‪=−‬‬ ‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪−3‬‬

‫{=‬

‫‪=9‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪−3 +‬‬

‫‪72‬‬

‫=‪−9‬‬ ‫‪8−6 =,‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟐‬

‫سؤال وزاري ‪/2009‬د‪ :2‬حل المعادلة 𝟎 = 𝟔𝟑 ‪+‬‬

‫𝟑𝟏 ‪+‬‬

‫𝟒‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حٌث ‪ z‬عدد مركب‪.‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫= ‪+4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪=9‬‬

‫‪+9‬‬

‫‪= −9‬‬

‫‪=4‬‬

‫=‪+9‬‬ ‫=‪+4‬‬

‫‪= −4‬‬

‫} ‪ = {−2 , 2 , −3 , 3‬مج‬ ‫𝟐‬

‫سؤال وزاري ‪/2009‬د‪ :2‬جد لٌمة الممدار )‬

‫𝟐‬

‫𝟓‪+‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+ 𝟐) (𝟓 +‬‬ ‫)‬

‫‪+5‬‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫‪] [5‬‬

‫‪+‬‬

‫] ‪[−5 + 2‬‬ ‫‪=9‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪ = (2 +‬المقدار‬

‫‪+ 2) (5 +‬‬

‫‪5+2 +5‬‬ ‫] ‪+2‬‬

‫𝟐( ‪.‬‬

‫‪. 9‬‬

‫‪=9‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪= 2 +3‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪= [2‬‬

‫]‬

‫‪+‬‬

‫‪= [−2‬‬

‫‪+3‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪−3‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2010‬د‪ :1‬جد لٌمتً ‪ x‬و ‪ y‬الحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة‪:‬‬ ‫𝟓 ‪= 𝟏𝟐 +‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪+ 6 + −2 + 3‬‬

‫‪= 2+5‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫‪= 2+5‬‬ ‫=‬

‫‪.‬‬

‫𝟑‪+‬‬

‫‪−6‬‬

‫‪=6‬‬

‫‪+6= 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‪+5 − 8‬‬

‫‪+ 8=5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪−2 + 3 = 5‬‬ ‫‪.‬‬

‫⇒‬

‫‪−2 + 3 ( ) = 5‬‬ ‫= ‪−2‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪=3‬‬

‫‪73‬‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫= =‬

‫‪−2‬‬

‫‪2 = −9‬‬ ‫‪=2‬‬

‫‪2 +9‬‬ ‫=‪2 +9‬‬ ‫=‪−2‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2010‬د‪ :1‬جد لٌمة )𝟏 ‪+‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ‪+ 𝟐) ( +‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟐 𝟑‪+‬‬

‫𝟐‬

‫(‪.‬‬

‫) ‪+4 +‬‬

‫( )‪+ 3 2 + 2‬‬

‫‪+4 +‬‬

‫‪+3 2 + 2‬‬

‫] ‪+4‬‬

‫[ ] ‪+3 2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪− +4‬‬ ‫‪= 24‬‬

‫‪= 24‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2010‬د‪ :2‬جد الجذرٌن التربٌعٌ​ٌن للعدد المركب ‪ z‬حٌث‬ ‫الحل‪/‬‬

‫=‪−9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟕 ‪= −𝟏 +‬‬

‫‪+8‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪−‬‬

‫= ‪−8 + 6‬‬

‫=‬

‫‪=3‬‬

‫‪=6‬‬

‫⇒‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫⇒ ‪= −8‬‬

‫‪− 9 = −8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= 2 2‬‬

‫‪=− − +7 +7‬‬ ‫‪+‬‬

‫= ‪ −8 + 6‬نفرض‬

‫‪.‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪= −8‬‬

‫‪− ( ) = −8‬‬

‫يهمل‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪= −3‬‬

‫=‬

‫‪= [ 2‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫{=‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪8‬‬

‫بالتربيع‬

‫(=‬

‫‪= − 2 +3 2‬‬

‫‪= −8 + 6‬‬

‫‪.. 2‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫=‬

‫‪+9‬‬

‫‪−‬‬

‫=‪+9‬‬

‫أما‬

‫‪−‬‬

‫أو‬

‫=‬

‫‪+3‬‬ ‫‪−8 + 6 = ,‬‬ ‫‪− −3‬‬

‫‪74‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2010‬د‪ :2‬أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا‬ ‫‪+‬‬

‫الحل‪/‬‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‪𝟏+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‪𝟏+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪5+2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+4‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+2 +2‬‬

‫= مجموع الجذرين‬

‫‪+‬‬

‫‪+ +‬‬

‫=‬

‫‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+ + +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫= حاصل ضرب الجذرين‬

‫‪+2‬‬

‫المعادلة التربيعية‬ ‫سؤال وزاري ‪/2012‬د‪ :1‬إذا كان‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟓‬

‫‪,‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟑−‬‬

‫‪−‬‬

‫= ‪+‬‬

‫مترافمٌن‪ ,‬جد لٌمتً ‪ x , y‬الحمٌمٌتٌن‪.‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪= 5+5‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪=5‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪2−‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪=5 ,‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2012‬د‪ :2‬ضع بالصٌغة العادٌة للعدد المركب الممدار ‪:‬‬

‫‪+ 𝟏−‬‬

‫𝟓‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪=5+5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‬

‫‪−‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪𝟏+‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2013‬د‪ :1‬جد لٌمة ‪:‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪= [ 𝟏 + 𝟐 ]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐 ]𝟐 𝟏 −‬‬ ‫𝟐 ‪= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏+ − 𝟏−𝟐 +‬‬ ‫‪= 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 −‬‬ ‫‪= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −‬‬ ‫𝟖 ‪= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 −‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫ذا السؤال محلول فً الصفحة )‪ (13‬بصٌغة أثبت 𝟒 =‬ ‫] ‪𝟐 [𝟏 +‬‬ ‫𝟒=𝟐‪=𝟐+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‪=𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 −‬‬

‫‪= 𝟏−‬‬

‫𝟐‪𝟐+‬‬

‫‪= 𝟏−‬‬

‫𝟐‪=𝟐+𝟐 −𝟐 −‬‬

‫‪75‬‬

‫𝟓‬

‫‪− 𝟏−‬‬

‫𝟓‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫𝟑‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏+‬‬


‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2013‬د‪:3‬‬ ‫أذا كان‬ ‫𝟒‪𝟏 =𝟑+‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪,‬‬

‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫𝟐‪=𝟓+‬‬

‫وضح فً شكل أرجاند‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪𝟑 ,‬‬ ‫𝟐‪𝟓 ,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪𝟓 +‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟐=𝟏‪= 𝟑+‬‬

‫𝟔‬ ‫)‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫(𝟒 =‬

‫‪75‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‪( )+‬‬ ‫𝟑 ‪7+i i 6‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‪( )+‬‬ ‫𝟑 ‪6‬‬ ‫𝟓‬

‫])‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫( )𝟓(𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫‪4‬‬

‫‪46‬‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫(‬

‫[𝟒‬

‫‪)+‬‬ ‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟕‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏=‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟑𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟐=‬

‫𝟗𝟏‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟗𝟏‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫𝟑=‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟓𝟐‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪76‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟓‬

‫=‬ ‫(𝟐 =‬

‫𝟏‬

‫𝟕‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫𝟎=‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟓‬

‫‪+‬‬

‫‪5+‬‬

‫=‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫‪= 𝟑+‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟓𝟏‬

‫𝟔 ‪= 𝟖 +‬‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫‪44‬‬

‫‪+‬‬

‫√‬

‫‪𝟑+‬‬

‫= )‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‪+‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫‪57‬‬

‫=‬

‫𝟒 ‪= 𝟑 +‬‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫( 𝟐𝟐 =‬

‫𝟔‬

‫𝟒 ‪= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,‬‬

‫𝟐 ‪= 𝟓 +‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫‪+‬‬

‫𝟒 ‪= 𝟑 +‬‬

‫=‖ ‖=‬

‫=‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫سؤال وزاري ‪/2014‬د‪ :1‬جد الصٌغة المطبٌة للجذور الخمسة للممدار ‪:‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟔‪𝟖 ,‬‬

‫‪+‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟒=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫𝟓 𝟐‬

‫=‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟔‬ ‫𝟏‪𝟓 𝟐 −‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2014‬د‪ :2‬اثبت ان 𝟏‪) = −‬‬

‫‪𝟓+‬‬

‫(‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟔‬

‫‪/‬‬

‫‪𝟓 +‬‬ ‫‪𝟓+‬‬

‫𝟔 𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬ ‫‪𝟓+‬‬

‫‪/ = .‬‬

‫𝟓‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪/ = .‬‬

‫𝟏‪= −‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟏 −‬‬ ‫‪𝟓+‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟏‪𝟓 𝟐 −‬‬ ‫𝟓‬ ‫‪.‬‬ ‫‪/ = .‬‬ ‫‪𝟓+‬‬

‫𝟔‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫سؤال وزاري ‪/2014‬د‪ :3‬جد الصٌغة المطبٌة للعدد المركب 𝟓 ‪= 𝟓 −‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 𝟓 = 𝟎𝟓 = 𝟓𝟐 ‪= 𝟐𝟓 +‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟓‪−‬‬ ‫𝟐 𝟓‬

‫=‬ ‫‖‬

‫‪+‬‬

‫‖=‬

‫𝟐‬

‫= ‖ ‖ =‬

‫=‬ ‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫=‬

‫𝟐 𝟓‬ ‫𝟕‬

‫الربع الرابع‬

‫𝟒‬

‫𝟕‬

‫‪+‬‬

‫𝟒‬

‫=‬ ‫‖‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫‖=‬

‫‪−‬‬

‫𝟕‬

‫𝟐 =‬ ‫𝟐 𝟓 =‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟑‪𝟏−‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2015‬د‪ :2‬عبر عن العدد بالصٌغة المطبٌة‬

‫𝟐 ‪−‬‬

‫‪𝟏−‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟒‪𝟒−‬‬ ‫𝟐 –𝟐 =‬ ‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟒‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫𝟒‬ ‫‪𝟏+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐 = 𝟖 = 𝟒‪𝟒+‬‬ ‫𝟏‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫زاوٌة االسناد ى‬

‫𝟒‬

‫=‬

‫𝟐‪−‬‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫=‬

‫والسعة‬

‫𝟑‪𝟏+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬

‫الصورة القطبية‬

‫𝟕‬ ‫)‬ ‫𝟒‬

‫‪77‬‬

‫𝟐‪+ −‬‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪,‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫=‬

‫تمع بالربع الرابع‬ ‫𝟕‬ ‫𝟒‬

‫𝟕‬ ‫‪+‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫=‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟑‪𝟏−‬‬ ‫‪𝟏−‬‬ ‫‪−‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟒‬

‫( 𝟐 𝟐 =‬

‫‪−‬‬

‫𝟐 =‬ ‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫سؤال وزاري ‪/2015‬د‪ :2‬اذا كان 𝟒 ‪ 𝟐 −‬و أحد جذري المعادلة 𝟎 = 𝟔 – ‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫معامالتها حمٌمٌة ‪ ,‬جد لٌمتً‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫–‬

‫–‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪,‬‬

‫الحل‪ /‬بما ان المعامالت حمٌمٌة فان الجذران مترافمان‬ ‫𝟒 ‪= 𝟐+‬‬ ‫𝟒 =‬

‫‪,‬‬

‫𝟒 ‪= 𝟐−‬‬

‫𝟒 ‪+ 𝟐+‬‬

‫𝟒 ‪= 𝟐−‬‬

‫𝟎𝟐 = 𝟔𝟏 ‪= 𝟒 +‬‬

‫𝟎 = 𝟎𝟒 ‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟎 = 𝟔 ‪−‬‬

‫𝟒 ‪𝟐+‬‬

‫𝟒 ‪= 𝟐−‬‬

‫𝟐‪.‬‬

‫𝟖–‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫⇒ 𝟎 = 𝟎𝟐 ‪+‬‬

‫–‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫بالمقارنة مع‬

‫‪𝟏 +‬‬

‫بالجذر التكعيبي‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐‬ ‫‪57‬‬

‫])‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟔‬

‫(‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‪)+‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪5+‬‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟔‬

‫(‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟔𝟒 =‬

‫𝟎𝟒 = 𝟔 –‬

‫𝟖=‬

‫𝟑‬

‫‪𝟏 +‬‬

‫𝟑‬

‫𝟎= 𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪( )/ = 𝟐 6‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫[ 𝟐 = ‪57‬‬

‫𝟒–‬

‫‪5+‬‬

‫‪4‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‪+‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫‪4‬‬

‫‪= 𝟐.‬‬

‫‪= 𝟐6‬‬

‫𝟐 ‪= 𝟎, 𝟏,‬‬ ‫‪= 𝟑+‬‬

‫‪=− 𝟑+‬‬

‫𝟐‪= −‬‬

‫𝟏 𝟑‬ ‫‪( )+ = 𝟐 0 + 1‬‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪( )+‬‬ ‫𝟔‬

‫*𝟐=‬

‫𝟎=‬

‫𝟓‬ ‫𝟏 𝟑 ‪−‬‬ ‫‪)] = 𝟐 0‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟓‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟔‬

‫[𝟐=‬

‫𝟏=‬

‫𝟗‬ ‫] ‪)] = 𝟐[𝟎 −‬‬ ‫𝟔‬

‫(‬

‫𝟗‬ ‫‪( )+‬‬ ‫𝟔‬

‫[𝟐=‬

‫𝟏=‬

‫مجموعة الحل للمعادلة هي }‬

‫‪, −𝟐 , − 𝟑 +‬‬

‫‪78‬‬

‫𝟐‬

‫𝟕 =‬

‫𝟑‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪.‬‬

‫𝟖 =‬

‫سؤال وزاري ‪/2015‬د‪:3‬‬ ‫جد مجموعة حل المعادلة فً مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دٌموافر ‪− 𝟖 = 𝟎 :‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫*𝟖 =‬

‫‪+‬‬

‫‪{ 𝟑+‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬ ‫𝟔‬

‫سؤال وزاري ‪/2016‬د‪ :1‬أثبت أن‪:‬‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟒𝟔 =‬ ‫)𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪. (𝟓 −‬‬

‫𝟏‪𝟐 +‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟔‬

‫𝟔 𝟑‬

‫‪/‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟔] 𝟑 ‪+‬‬ ‫‪= 64‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏 ‪= 64‬‬

‫‪= 64‬‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫‪) = .𝟓 +‬‬

‫)‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‪𝟐 +‬‬

‫𝟓‬ ‫‪= (𝟓 −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟓‪= 𝟓+‬‬

‫‪+ 𝟑 ]𝟔 = [−𝟐 ]𝟔 = 64‬‬

‫‪= [𝟓 −‬‬

‫‪= [𝟓 𝟏 +‬‬

‫𝟔‬

‫‪+‬‬

‫𝟓‬

‫‪ = (𝟓 −‬الطرف األيمن‬

‫𝟑‪+‬‬

‫سؤال وزاري ‪/2016‬د‪ :1‬بأستخدام مبر نة دٌموافر ‪ ,‬جد الجذور التكعٌبٌة للعدد 𝟖 ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟖=‬ ‫الربع االول‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫=‬

‫𝟖‬ ‫𝟏=‬ ‫𝟖‬

‫=‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫( 𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‪= 𝟎, 𝟏,‬‬

‫𝟐‬

‫‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖 =‬

‫=‖ ‖=‬ ‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪+‬‬

‫‪55‬‬

‫𝟑‬

‫‪( − )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫* 𝟐 = ])‬ ‫‪6‬‬

‫(‬

‫𝟏 𝟑 ‪−‬‬ ‫‪( )+ = 𝟐 0‬‬ ‫‪+ 1 = − 𝟑+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‪= −‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪( )] = 𝟎 + 𝟐 −‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪9‬‬ ‫[ 𝟐 = ])‬ ‫‪6‬‬

‫‪79‬‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪5+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‪+‬‬ ‫𝟑‬

‫‖ ‖‬

‫=‬

‫𝟖 = 𝟖‬

‫𝟐‪4‬‬

‫‪𝟖4‬‬

‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫[‪= 2‬‬

‫𝟎=‬

‫(‬

‫[‪= 2‬‬

‫𝟏=‬

‫‪5‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫(‬

‫𝟎‬ ‫𝟎=‬ ‫𝟖‬

‫‪,‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫‪( )] = 𝟐 0 + 1 = 𝟑 +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪( − )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‬

‫𝟖=‬

‫‪9‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪= 𝟐 *−‬‬ ‫[‪= 2‬‬

‫𝟐=‬

‫=‬ ‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫=‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل األول‪ /‬األعــــداد المركــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫أسئلة حول األعداد المركبة‬ ‫س‪ /1‬إذا كان (‪ )a – i‬أحد الجذرٌن التربٌعٌن للعدد (‪ )3 + bi‬حٌث ‪ b ,a‬أعداد حمٌمٌة‪ ,‬جد السعة للعدد المركب‬ ‫𝟗𝟏 ‪−‬‬

‫𝟐‬

‫‪−𝟑 −‬‬

‫𝟑‬

‫س‪ /2‬أثبت أن‪= 𝟓 :‬‬ ‫س‪/3‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫ل أن العددٌن‬

‫=‬ ‫‪−‬‬

‫𝟒‬

‫‪−‬‬

‫𝟓‪−‬‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪, 𝟐−‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔 ‪ 𝟏 −‬مترافمتان‪.‬‬

‫𝟐‪−‬‬

‫س‪ /4‬جد ناته ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟑 ‪− 𝟏+‬‬

‫𝟑 ‪𝟏+‬‬

‫𝟐‬

‫‪𝟏−‬‬

‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫س‪ /5‬أوجد الجدور التربٌعٌة للعدد‬ ‫س‪ /6‬أذا كان 𝟑 ‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫س‪ /7‬إذا كان‬

‫‪𝟐+‬‬ ‫‪𝟏−‬‬

‫س‪ /8‬أذا كان‬

‫‪𝟏+‬‬

‫س‪ /9‬العدد المركب‬

‫𝟕‬

‫𝟓‬

‫𝟖‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟏 ‪𝟓 +‬‬

‫عدد مركب ممٌاسه 𝟐 ‪ ,‬جد لٌمة‬ ‫فأثبت أن 𝟕 =‬

‫]𝟑‬

‫‪+‬‬

‫𝟑‬

‫‪.‬‬

‫[𝟐‬

‫و أحد الجذور المعادلة التربٌعٌة للعدد‬

‫𝟐‪𝟏−‬‬

‫‪+‬‬

‫√‬

‫𝟏‬

‫و أحذ جذور المعادلة 𝟎 = 𝟕 ‪−‬‬

‫س‪ /10‬بأستخدام مبر نة دٌموافر ‪ ,‬حل المعادلة 𝟎 = 𝟕𝟐 ‪+‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫فجد لٌمتً‬ ‫‪−𝟐 −‬‬

‫𝟐‬

‫‪,‬‬ ‫فجد لٌم‬

‫‪,‬‬

‫حٌث ‪ℂ‬‬

‫س‪ /11‬حل المعادالت التالٌة فً المجموعة ‪ ℂ‬بطرٌمتٌن مختلفتٌن‬ ‫𝟎= 𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎=𝟖‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟎 = 𝟒𝟔 ‪−‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟎 = 𝟒𝟔 ‪+‬‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫س‪ /12‬أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر كالا مما ٌأتً ‪:‬‬ ‫𝟓‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟕‬

‫‪−𝟏 +‬‬

‫‪80‬‬

‫𝟕‬

‫‪𝟑−‬‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.