Navigasjon utg 3 utdrag by Fagbokforlaget

for mar

itime st

udier

asjon

for maritime studier

ve 5. utga Norva

ld Kjer

stad

Del 2 omhandler infrastrukturen for terrestrisk navigasjon. I dette ligger beskrivelse av fyr- og merkesystem i henhold til IALA-standard, og med spesiell fokus på Norskekysten. Del 3 beskriver selve navigasjonsteknikkene som benyttes i den klassiske terrestriske navigasjonen. Herunder beregning av kurs og distanser, bestikkregning, storsirkel- og loksodromberegninger, etc. Videre er det tatt med korrigering av kurser som følge av påvirkning fra strøm og vind. Stedbestemmelse og forskjellige former for stedlinjer og visuell observasjon er også vesentlig i denne delen. Del 4 presenterer grunnlaget for astronomisk navigasjon, samt de mest vanlige metodene for astronomiske observasjoner. Det er lagt vekt på bruk av kalkulator eller spesielle PCprogrammer som kan lette prosessen med stedfesting og kompassundersøkelser.

3. utgave

Norvald Kjerstad begynte som navigatør i 1981. Senere tok han kapteinsutdanning ved Tromsø maritime høgskole (nå Universitetet i Tromsø). Han har flere års erfaring som navigasjonsoffiser og forsker fra forskjellige typer skip, bl.a. havfiskeflåten, kystvakten, gassplattform, forskningsfartøyer og isbrytere. Han er marin kandidat fra Norges Tekniske Høgskole (1989). Etter flere år med undervisning, forskning og videreutdanning ble han i 2004 oppnevnt til dosent ved Høgskolen i Ålesund (nå NTNU) hvor han bl.a. har hatt ansvaret for oppbygging av skipsmanøver- og DP-simulatorer , samtidig som han har undervist kapteinstudenter og seilende navigatører i forskjellige nautiske disipliner. Han har også vært ansatt som Professor II innen arktisk navigasjon ved Universitetet i Tromsø og Nord Universitet i Bodø. I 2014 var han Ice Advisor under den store boreoperasjonen i Karahavet utenfor Sibir.

3. utgave

Navigasjon for maritime studier

Del 1 presenterer grunnlaget for all navigasjon, nemlig koordinatsystemer og beskrivelse av jordens form. Videre er det en grundig beskrivelse av sjøkart, inkludert vurderinger av kvaliteten på de forskjellige karttypene.

Navigasjon

Navig

itim

for mar

Norvald Kjerstad

ut y N

,!7II2E5-acbeig!

ga v

ISBN 978-82-450-2148-6

og e m lø ed sn ø in vin gs fo gso rs p la pg g av

stad STISKE G AKU ISKE O TEMER N O R T SSYS ELEK ASJON NAVIG e studier ld Kjer

Norva

Norvald Kjerstad

Navigasjon for maritime studier gir en grundig gjennomgang og oversikt over grunnleggende navigasjonsteknikker og hjelpemidler for terrestrisk navigasjon. Boken henvender seg til studenter i nautikk ved maritime høgskoler og tekniske fagskoler. Den dekker pensum i disiplinene som er beskrevet i STCW-konvensjonen. For å dekke alle navigasjonsdisipliner er det lagt opp til at boken benyttes sammen med bøkene Elektroniske og akustiske navigasjonssystemer og Fremføring av skip med navigasjonskontroll fra samme forfatter. Boken er inndelt i 4 deler pluss vedlegg med tabeller og løsningsforslag:

Norvald Kjerstad

NAVIGASJON

for maritime studier

Norvald Kjerstad

NAVIGASJON

for maritime studier 3. utgave

Copyright © 2010 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved ISBN: 978-82-450-2148-6 2. utgave 2012 3. utgave 2016 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Sats: Forfatteren Omslagsdesign ved forfatteren og forlaget Omslagsillustrasjon: Hurtigruteskipet Trollfjord stevner mot Torghatten og Brønnøysund en sommernatt. Supplement for faglærere: CD med alle figurer i Power Point-format Kontakt forfatteren for fri tilsendelse: Norvald.Kjerstad@ntnu.no

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Navigasjon for maritime studier

Innhold

Innhold Side: Forord

DEL 1 - KOORDINAT- OG KARTLÆRE

1-1

1 Jordens form 1.1 Koordinater og referansesystem for navigasjon 1.1.1 Storsirkler og småsirkler 1.1.2 Parallellsirkler og meridianer 1.1.3 Vendesirkler og polarsirkler 1.1.4 Geografiske koordinater 1.1.5 Forandret lengde og bredde 1.1.6 Avvikning 1.1.7 Middelbredde 1.1.8 Nautiske lengdemål 1.1.9 Nautiske hastigheter 1.2 Oppgaver fra kapittel 1

1-1 1-1 1-2 1-2 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-10

2 Geodetiske grunnlag og datum 2.1 Jordens eksakte form 2.2 Koordinatsystem og datum 2.3 UTM-systemet 2.4 Lokale metriske koordinater 2.5 Geodetisk datum 2.6 Transformasjon mellom datum 2.7 Høydereferanse 2.8 Oppgaver fra kapittel 2

1-12 1-12 1-14 1-16 1-18 1-19 1-21 1-22 1-23

3 Kartprojeksjoner 3.1 Målestokk 3.2 Klassifisering av projeksjoner 3.3 Noen aktuelle projeksjoner 3.4 Merkatorprojeksjon – voksende kart 3.5 Oppgaver fra kapittel 3

1-24 1-24 1-24 1-26 1-28 1-31

4 Sjøkartet 4.1 Historikk 4.2 Kvalitet og pålitelighet 4.3 Projeksjoner, målestokk og gradnett 4.4 Symboler og terminologi 4.5 Hydrografiske originaler 4.6 Tidevann og høydereferanser 4.7 Ajourhold og kartretting 4.8 Andre kartrelaterte publikasjoner 4.9 Sjøkartverkets historie og organisering 4.10 British Admiralty 4.11 International Hydrographic Organization – IHO

1-33 1-33 1-36 1-38 1-39 1-42 1-44 1-45 1-46 1-47 1-48 1-49

Navigasjon for maritime studier

Innhold

4.12 Oppgaver fra kapittel 4

1-49

5 Hjelpemidler og symbolbruk i kartarbeid 5.1 Symbolbruk ved føring av bestikk 5.2 Bruken av kartet 5.3 Navigasjonskikkerten 5.4 Oppgaver fra kapittel 5

1-51 1-52 1-52 1-55 1-56

DEL 2 - MERKESYSTEM OG INFRASTRUKTUR

2-1

1 Internasjonale merkesystem (IALA) 1.1 Ansvar og organisering 1.2 IALA Maritime Buoyage System 1.3 Lateralmerker 1.4 Kardinalmerker 1.5 Spesialmerker 1.6 Farledsnormalen 1.7 Oppgaver fra kapittel 1

2-1 2-1 2-4 2-5 2-7 2-9 2-10 2-11

2 Fyr- og merketeknologi 2.1 Historikk 2.2 Fyrsystemets struktur 2.3 Lyskildene, karakterer og skjerming 2.3.1 Lysvidde av fyrbelysningen 2.4 Fyrenes skjerming / sektorer 2.5 Virtuelle merker 2.6 Landtoning – innseiling i dagslys og skumring 2.7 Utstyrsprodusenter og ny teknologi 2.8 Oppgaver fra kapittel 2

2-12 2-12 2-15 2-23 2-24 2-27 2-28 2-29 2-30 2-31

DEL 3 – TERRESTRISK NAVIGASJON

3-1

1 Kurser og kursrettelse 1.1 Bestikkregning og kurs 1.1.1 Retting av kurser 1.1.2 Middelbreddeseilas 1.1.3 Kurskobling og bestikkoppgjør 1.1.4 Benyttede symboler i kartarbeidet 1.1.5 Utseilt distanse – 6 minuttersregel 1.2 Avdrift og strømkobling 1.3 Voksende seilas (mercatorseilas – loksodrom) 1.4 Storsirkelseilas og bruk av storsirkelkart 1.4.1 Sfærisk grunnlag 1.4.2 Vertexberegning 1.4.3 Storsirkelens skjæring med ekvator 1.4.4 Kursforandring ved storsirkelseilas 1.4.5 Storsirkel via mellompunkt 1.4.6 Sammensatt seilas 1.4.7 Bruk av gnomoniske kart

3-1 3-1 3-2 3-5 3-8 3-9 3-10 3-11 3-16 3-19 3-20 3-22 3-24 3-24 3-25 3-26 3-27

Navigasjon for maritime studier

Innhold

1.5 Kurser og distanser på ellipsoiden 1.6 Grid-navigasjon 1.7 Elektroniske hjelpemidler for beregninger 1.8 Tidsregning og datolinje 1.9 Oppgaver fra kapittel 1

3-29 3-29 3-30 3-31 3-33

2 Stedlinjer og stedbestemmelse 2.1 Peiling 2.2 Krysspeiling (samtidig) 2.3 Avbrutt krysspeiling 2.4 Firestrekspeiling 2.5 Mèd, overetter og fyrsektorer 2.6 Passeringsavstand 2.7 Vinkelperiferilinje 2.8 Dybdekoter som stedlinjer 2.9 Avstandsmåling 2.9.1 Fyr over horisonten 2.9.2 Avstand ved hjelp av vinkelmåling 2.9.3 Optiske avstandsmålere og radar 2.10 Treveisfix 2.11 Usikkerhet ved optiske stedlinjer 2.12 Trange farvann 2.13 Oppgaver fra kapittel 2

3-36 3-36 3-38 3-38 3-39 3-40 3-44 3-47 3-47 3-48 3-48 3-48 3-49 3-49 3-50 3-50 3-52

3 Feilteori på stedlinjer 3.1 Definisjoner 3.1.1 Forskjellige typer feil 3.1.2 Praktisk anvendelse av feilteori 3.2 Oppgaver fra kapittel 3

3-54 3-55 3-56 3-61 3-64

DEL 4 – ASTRONOMISK NAVIGASJON

4-1

1 Universet og astronomiske grunnbegrep 1.1 Himmellegemer for astronomisk navigasjon 1.2 Koordinatsystemet 1.3 Himmellegemets tilsynelatende bevegelse

4-1 4-1 4-3 4-7

2 Høydemåling med sekstant 2.1 Sekstanten 2.1.1 Justeringer og feil 2.2 Korreksjon av målt høyde

4-10 4-10 4-10 4-11

3 Astronomiske observasjoner 3.1 Høydeformelen 3.2 Observasjonstidspunkt 3.3 Observasjon av solen 3.3.1 Solen i meridianen 3.3.2 Solen utenfor meridianen 3.4 Observasjon av stjerner

4-14 4-16 4-17 4-18 4-18 4-20 4-22 iii

Navigasjon for maritime studier

Innhold

3.4.1 En komplett observasjon med to stjerner 3.4.2 Eksempel på bruk av navigasjonskalkulator 3.4.3 Observasjon av ukjent stjerne 3.5 Observasjon av planeter 3.6 Observasjon av månen 3.7 Observasjon av Polstjerna – Polaris 3.8 Opp- / nedgang og kontroll av kompass 3.9 PC-program for astronomiske observasjoner - NavPac 3.9.1 Observasjonstidspunkt (opp- og nedgang) og kompasskontroll 3.9.2 Elektronisk stjernekart 3.9.3 Beregning av observasjoner 3.9.4 Almanakkfunksjoner 3.9.5 Forskjellige innstillinger 3.9.6 Kursberegning og ruteplanlegging med NavPac 3.10 Epilog – astronomiske navigasjonsmetoder før sekstanten og almanakken 3.10 Oppgaver fra del 4

4-22 4-24 4-24 4-25 4-26 4-28 4-29 4-32 4-32 4-33 4-33 4-35 4-35 4-35 4-36 4-39

Litteratur og Referanseliste

4-43

Stikkordsregister

4-44

VEDLEGG

a-1

1 Trigonometrisk grunnlag

a-1

2 Feilteori – statistisk grunnlag

a-5

3 Kjeglesnitt

a-15

4 Tabeller Tab. 4.1 Utvidet forandret bredde Tab. 4.2 Geografisk lysvidde for fyr Tab. 4.3 Faktor for å finne avstand til peilet objekt Tab. 4.4 Utdrag fra daglige sider i Nautisk almanakk (NA) Tab. 4.5 Utdrag fra interpolasjonstabeller for tid og korreksjoner fra NA Tab. 4.6 Korreksjonstabell for Polaris fra NA Tab. 4.7 Høydekorreksjoner for sol, stjerner og planeter fra NA Tab. 4.8 Høydekorreksjon for månen fra NA Tab. 4.9 Høydekorreksjon for atmosfæriske forhold fra NA Fig. 4.1 Stjernekart for nordlige halvkule fra NA Fig. 4.2 Stjernekart for sydlige halvkule fra NA

a-19 a-19 a-21 a-22 a-23 a-33 a-37 a-38 a-40 a-41 a-42 a-42

5 Andre vedlegg Fig. 5.1 Skjermingsspesifikasjon for Hilleren lykt Tab. 5.1 Kompasskurser i grader og streker (norsk) Tab. 5.2 Kompasskurser i grader og streker (engelsk) Tab. 5.3 Morsealfabetet

a-44 a-44 a-48 a-48 a-50

6 Løsningsforslag til øvingsoppgaver

a-51

Navigasjon for maritime studier

Forord

Forord Oppdatert og moderne litteratur som dekker alle navigasjonsmodulene i Maritim Høgskoleutdanning har lenge vært savnet i Norge. På feltet elektronisk navigasjon, som var det mest presserende, ble det derfor midt på 1990-tallet startet en prosess med en oppdatering. Boken Elektroniske og Akustiske navigasjonssystemer for maritime studier ble utarbeidet. Den 5.utgaven (2015) av denne er nå tilgjengelig (engelsk versjon kan også skaffes via NTNU). Videre ble boken Fremføring av skip med navigasjonskontroll (2008) utgitt for å dekke de mer operasjonelle sidene ved navigasjon. Den 3. utgaven (2013) er nå tilgjengelig. Det som da sto igjen for å dekke hele fagspekteret i navigasjon var en oppdatert bok i den mer klassiske og grunnleggende navigasjonen, noe denne boken er tenkt å bidra til. Den første utgaven kom ut i 2010. Ved NTNU i Ålesund vil de tre bøkene i store trekk dekke de teoretiske delene av fagene Navigasjon 1, -2, -3 og 4. I tillegg kommer egne opplegg knyttet til simulatorøvinger. Det er lagt vekt på å gi en bred innføring og dekke kravene som er beskrevet i STCWkonvensjonen (inkl. 2012 revisjon) slik at boken også vil kunne passe Teknisk Fagskole. Stoffet er forsøkt tilrettelagt for de mest relevante fartøygruppene som opererer fra Norge, og har spesielt fokus på krevende kystnavigasjon. Sammen med de to tidligere bøkene vil også tema knyttet til kurs for Kadettfarledsbevis være dekket. I de fleste norske navigasjonsmiljø har det vært en rådende oppfatning at astronomisk navigasjon ikke lenger er relevant. Dette er også underbygget ved at det ikke lenger er påbudt å ha sekstant om bord i skipene. Sammen med Sjøfartsdirektoratet har vi derfor jobbet mot IMO for å redusere dette i den obligatoriske delen av STCW-konvensjonen. Selv om revisjoner av konvensjonen har gjort pensum i astronomisk navigasjon vesentlig mindre omfattende har det i skrivende stund ikke vært mulig å få fjernet temaet helt. Del-4 i boken er derfor tilegnet astronomisk navigasjon med et omfang som burde godt være dekkende for et minimumskrav, inkludert bruk av astronomiske metoder som redundans under oversjøiske seilaser. I en del eldre litteratur har tidevannsberegning blitt sett i sammenheng med den terrestriske delen av navigasjon. Jeg har imidlertid funnet det mest naturlig å knytte tidevannet til en mer komplett beskrivelse av havmiljøet som er å finne i del-III i Fremføring av skip med navigasjonskontroll (2013). I likhet med de to foregående bøkene er det lagt opp til jevnlige oppdateringer for å åpne for faglig utvikling og modernisering. For å lette dette arbeidet er derfor innholdet ordnet i fem separate deler: x x

Del 1 beskriver i hovedsak koordinat og kartlære, og teori i forbindelse med dette. Herunder kommer en grundig gjennomgang av jordens form og metoder for å avbilde denne. Del 2 beskriver fyr- og merkesystemet langs kysten. Selv om dette er en del av et internasjonalt IALA-regime er det først og fremst lagt vekt på norske forhold. Da det er v

Navigasjon for maritime studier

x x

Forord

stadig mer utvikling innen elektronisk navigasjon er det derfor viktig å relatere emner med beskrivelser i Elektroniske og Akustiske navigasjonssystemer. Del 3 omhandler i sin helhet terrestriske navigasjonsmetoder som stedbestemmelse og forskjellige former for kursberegninger. Del 4 er viet den astronomiske navigasjonen. Siden man her også har hatt mulighet for bruk av mer moderne metoder, samtidig som den sikkerhetsmessige betydningen er redusert, er det lagt vekt på bruk av elektroniske beregningsformer. Selv om det forventes en fremtidig reduksjon av betydningen i STCW er omfang forsøkt tilpasset dagens krav. Del 5 er å betrakte som et vedlegg hvor relevante eksempel på tabeller og almanakker er tatt med. Her finnes også en del formler og matematisk grunnlagsmateriale. Dette for å lette arbeidet med oppgaver.

I denne 3. utgaven av boken er det blitt luket ut noen beklagelige småfeil som hadde kommet med i de første utgavene. Det er dessuten lagt inn noen oppdateringer både i tekst, figurer og vedlegg. For lærere eller andre som ønsker å benytte boken i undervisning kan CD med alle de oppdaterte figurene leveres fra forfatteren i Powerpoint format og i farger. Det er av denne grunn lagt vekt på å ha med forholdsvis mange figurer og bilder. Oppgavene som er laget etter hvert kapittel er ment som kontroll ved selvstudie eller som utkast til lærere som vil benytte boken. Jeg tar også imot innspill og eventuelle korreksjoner som kan taes med i neste utgave med takk. Utarbeidelsen av mye av stoffet er basert på egne erfaringer og samtaler med seilende på en rekke forskjellige skip. Dette har bl.a. vært mulig ved at en del rederier har latt meg mønstre på i kortere perioder. Her vil jeg spesielt takke rederiene Murmansk Shipping Company, Fednav, Ugland Shipping, Farstad Shipping, Kystvaktskvadron Nord, Høegh LNG, Wilhelmsen Walenius, Siem Offshore og Viking Supplyships. Nær kontakt med Kystverket, Sjøkartverket, den svenske Sjøfartsstyrelsen, Statoil, Rolls-Royce og Ulstein Verft har også vært meget nyttig. En stor takk også til kollegaer ved Høgskolen i Ålesund (nå NTNU), samt Sjøkrigsskolen og andre maritime skoler som har kommet med nyttige innspill. Takk også til Anne som har bidratt til korrektur og kritiske spørsmål.

Lykke til med studiene ! NTNU i Ålesund, september 2016. Norvald Kjerstad, Dosent / Professor, Nautical Science NTNU Ålesund, 6025 Ålesund (tlf. +47 7016 1200, E-mail: Norvald.kjerstad@ntnu.no)

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

1 Jordens form Menneskene som levde før de store oppdagelsenes tid betraktet jorden som flat. Dette til tross for at jordkrumningen relativt lett kunne observeres ved at skip og øyer forsvant under horisonten på lang avstand. Grekerne antok tidlig at jorden hadde kuleform (se tekstboks) men dette ble ikke bevist før på 1500-tallet. Det er også godt dokumentert at også vikingene antok at jorden hadde en kuleform. I 1670 lyktes man i Frankrike ved hjelp av målinger å beregne jordradien relativt nøyaktig. Dette var samtidig som den engelske matematikeren Isaac Newton (1642–1726) arbeidet med gravitasjonsteoriene. Newton mente også at jorden måtte ha en viss flattrykning ved polene som følge av rotasjonen. Noe tidligere hadde man også observert at en pendel svingte noe saktere i Cayenne (5°nord) enn i Paris (49°nord), hvilket også var en indikasjon på en viss flattrykning ved polene. I første halvdelen av det 18. århundre ble det sendt ut to måleekspedisjoner fra Frankrike for å finne ut mer om jordens form. Den ene reiste til Peru og den andre til Lappland. En fant da ut at en breddegrad er lengre i Lappland enn i Peru, noe som støttet hypotesen til Newton og var et nytt bevis for at jorden dreiet om sin egen akse.

1.1 Koordinater og referansesystem for navigasjon I dette kapittelet vil vi først gå gjennom de viktigste begreper i forhold til konvensjonell navigasjon, nemlig å betrakte jorden som en kule. Lengre ut vil vi komme inn på mer komplekse sammenhenger som er viktig i ekstremt nøyaktig navigasjon og posisjonering av skip. Man vil da betrakte jorden som en noe flattrykt kule (ellipsoide). Legg allerede nå merke til at begrepene navigasjon og posisjonering benyttes forskjellig. Navigasjon benyttes i forhold til stedfesting under konvensjonell seilas med skip. Nøyaktigheten man da arbeider innenfor er gjerne i størrelsesorden 50 - 100 meter eller noe mer på åpent hav. Begrepet posisjonering benyttes gjerne når nøyaktigheten og marginene er fra noen cm til noen få meter. Som nevnt betrakter vi jorden som en kule (sfæroide) som i løpet av et døgn roterer 360° om en akse som går gjennom geografisk nordpol og geografisk sydpol. Det er vanlig å betrakte størrelsen til å være: - Diameter ved ekvator: ca. 12,756 km - Polardiameter: ca. 12,714 km - Omkrets ved ekvator: ca. 40,075 km I tidligere tider var faktisk definisjonen på en meter lik 1/10,000,000 del av avstanden fra ekvator til Nordpolen langs en meridian. Følgelig skulle denne avstanden være nøyaktig 10,000,000m, noe som vi i dag vet ikke blir helt korrekt. Ekvator (eng.: equator) er definert som skjæringslinjen til jordoverflaten til et plan som står perpendikulært på jordaksen midt mellom de to polene (fig. 1.1).

1-1

Den greske matematikeren og astronomen Eratosthenes (ca. 276 f.Kr. - ca. 194 f.Kr.) er kjent for sine beregninger av jordas omkrets. Han hadde opplysninger om at i Syene (ca. 23°N), syd i Egypt, sto sola slik på himmelen ved sommersolverv at en stolpe ikke kastet skygge, og sollyset ble reflektert av vannet i dype brønner. I Alexandria (ca. 31°N), hvor Eratosthenes da jobbet som bibliotekar, var det skygge midtsommers. Han konkluderte da med at jorda måtte være rund – noe Pythagoras hadde antatt 300 år tidligere. Gjennom nøyere studier av skyggens lengde og avstanden mellom byene (han leide en mann å skritte opp), kom han frem til at jordas omkrets var 252 000 stadier. Lengden av en stadie er ikke sikkert kjent, men en antar at den tilsvarer 600 greske fot, som tilsvarer 157 meter. Er dette riktig, er Eratosthenes' verdi for jordens omkrets 39 250 km. Dagens verdi er 40 008 kilometer (over polene), og dette viser at Eratosthenes’ verdi lå mindre enn 2% fra dagens verdi.

Krepsens vendekrets

Ekvator

Husk! Avstanden mellom ekvator og polene er tilnærmet 10,000,000m. Lenge var definisjonen på en meter derfor 1 / 10,000,000 av polavstanden. Omkretsen blir dermed tilnærmet 40,000,000m. Altså enkle tall å huske for å kjenne til jordas dimensjon.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

Avstanden til de to polene vil følgelig være lik langs hele ekvator. Ekvator deler jorden i den nordlige- og sydlige halvkule. Ekvator danner også en såkalt storsirkel.

1.1.1 Storsirkler og småsirkler En storsirkel formes av skjæringslinjen på jordoverflaten av et plan som går gjennom jorden sentrum. I likhet med ekvator vil alle slike storsirkler dele jorden i to like store deler. Som vi senere vil beskrive er beregning av storsirkler av stor betydning innen navigasjon. Skjæringslinjer av plan som ikke går gjennom jordens sentrum kalles småsirkler. En småsirkel vil alltid være mindre enn en storsirkel og kan i enkelte tilfelle være av betydning for praktisk navigasjon (ref. fig. 1.1).

1.1.2 Parallellsirkler og meridianer Visse storsirkler og småsirkler er av spesiell interesse for navigasjon. En parallellsirkel (eng.: parallel) er definert av et plan som er parallelt med ekvator. En gitt parallellsirkel vil derfor kunne definere hvor langt vi befinner oss nord eller syd for ekvator – altså hvilken breddegrad (eng.: latitude) vi befinner oss på. Meridianer eller lengdegrader (eng.: meridian, longitude) er skjæringslinjene av et plan som både går gjennom jordens sentrum og begge polene (fig. 1.1). Meridianene vil følgelig alle være storsirkler. Legg da merke til at alle parallellsirkler og meridianer vil være perpendikulære og følgelig skjære hverandre med en vinkel på 90°. Legg også merke til at parallellsirklene i motsetning til meridianene vil ha innbyrdes lik avstand. Forståelsen av dette er bl.a. av stor betydning for måling av distanser i nautiske kart.

1.1.3 Vendesirkler og polarsirkler Innen nautikken og spesielt knyttet til astronomisk navigasjon har det betydning å kjenne solens bevegelse. Jordaksens helningsvinkel i forhold til banen rundt solen er ca. 23.5° (nærmere bestemt 23°26’21.4” i år 2000) (ref. fig. 1.3, del-4). Dette vil innebære at solens høyde (og deklinasjon) vil variere med årstidene. Områder hvor man kan ha midnattssol begrenses av polarsirklene. Disse vil ligge på ca. 66.5° (90° – 23.5°) nord eller syd. På den nordlige halvkule vil vi om sommeren kunne se solen over horisonten hele døgnet – den er cirkum polar. Dette medfører f.eks. at vi på Nordpolen har et spesialtilfelle med midnattssol fra vårjevndøgn til høstjevndøgn. Resten av året er solen under horisonten. Vendesirklene / vendekretsene finner vi på 23.5° nord eller syd for ekvator. De betegnes ofte som grensene for tropene og avgrenser områdene hvor solen kan ha en høyde på 90° (i senit). Ved middagstid midtsommers vil altså solen stå i senit på N23°30’ (23.5°). Betegnelsene Krepsens (nord) og Steinbukkens (syd) vendekrets benyttes for tilsvarende breddeparalleller på himmelkula hvor solens bane snur (fig. 1.2).

1-2

Figur 1.1 Illustrasjon av storsirkler, meridianer og parallellsirkler.

Polarsirkelen Når du passerer polarsirkelen i skipsleden like nord om Nesna vil du kunne se monumentet tydelig på den lille holmen Vikingen. Bredden er N66°32’.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

1.1.4 Geografiske koordinater For å kunne definere en posisjon på jordoverflaten (terrestriske koordinater) er det innen nautikken mest vanlig å benytte et rutenett eller koordinatsystem bestående av parallellsirkler og meridianer. Posisjonen vil dermed bli gitt som et vinkelmål i forhold til jordens sentrum og som vanligvis beskrives som breddegrader (eng.: latitude) og lengdegrader (eng.: longitude). Breddegradene defineres som en vinkel mellom 0° og 90° nord eller syd for ekvator (fig. 1.3). Syd for ekvator kalles det sydlig bredde (S) og nord for ekvator kalles det nordlig bredde (N). Bredden oppgis vanligvis som grader, minutter og desimalminutter (eks. N 62°35.500’) alternativt kan også sekunder og desimalsekunder bli oppgitt (eks. N 62°35’30.0”). Vanlige forkortelser for breddegrad er: b, br., lat. eller M. Foruten elektronisk bestemmelse kan breddegraden relativt enkelt bestemmes ved hjelp av observasjon av solens høyde over horisonten, på sitt høyeste. Lengdegradene er definert av meridianene, og da referert i forhold til en referansemeridian (0-meridianen) (fig. 1.3). Når man skal beskrive lengdegraden til et sted kalles denne ofte stedets meridian. Opp gjennom tidene har flere land benyttet lokale referansemeridianer og kartene kunne dermed ha flere lengdegradskalaer. I dag er det vanlig i alle land å benytte meridianen som går gjennom Greenwich-observatoriet i London som referanse. Denne meridianen kalles gjerne Greenwichmeridianen eller 0-meridianen. Lengdegradene blir dermed oppgitt som en vinkel øst eller vest for Greenwich. Østlig lengde går fra 0-meridianen og 180° østover, mens vestlig lengde går 180° vestover. Legg merke til at distansen mellom meridianene som representerer et vinkelmål vil avta fra å være lik en breddegrad ved ekvator til 0 ved polene. Lengden oppgis vanligvis som grader, minutter og desimalminutter (eks. E 006°35.500’) alternativt kan også sekunder og desimalsekunder bli oppgitt (eks. E 006°35’30.0”). Vanlige forkortelser for lengdegrad er: l, lgd., long. eller O. Vi benytter vanligvis engelske prefikser E og W for definering av øst eller vest. I dag kan lengdegraden relativt enkelt observeres ved hjelp av satellittnavigasjon, men i tidligere tider var det relativt komplisert å beregne lengdegraden ved hjelp av astronomiske observasjoner. Utsetting av posisjon i kartet er vist på figur 1.4. Eksempel på en posisjonsangivelse med geografiske koordinater kan være: N 62°38.123’ / E 006°18.789’ Med grader, minutter, sekunder og desimalsekunder blir samme posisjonen: N 62°38’07.38” / E 006°18’47.34”

1-3

Figur 1.2 Vendesirkler og polarsirkler gitt av jordaksens helning og solens bevegelse på himmelkula. Satellittnavigasjon (GNSS / GPS) Bredde- og lengdegrader kan leses direkte ut fra en GNSS-mottager. Mest kjent er det amerikanske GPSsystemet, men russiske GLONASS, europeiske Galileo og kinesiske BeiDou virker på samme måte og er kompatible. Etter IMO-terminologi benyttes WWRNS (World WideRadionavigation System). Alle systemene beregner sin posisjon ut fra signaler fra minst fire satellitter. Satellitten sender informasjon om sin egen posisjon, samt informasjon om svært nøyaktig tid. Mottageren på skipet måler tiden signalet bruker fra satellitten til mottageren. Når man så vet nøyaktig hastighet på signalet (ca. 300,000km/s) kan man beregne avstanden til satellitten. Følgelig har man da minst fire kjente avstander til kjente punkt i rommet (satellittene), og man kan beregne vår posisjon på jorden. Selv med relativt rimelige mottagere kan vi dermed kjenne vår posisjon med noen få meters nøyaktighet. Posisjon kan settes ut i kartet eller overføres direkte til et elektronisk kart (ECDIS). For detaljer se Elektroniske og akustiske navigasjonssystemer (Kjerstad, 2015).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

Overgangen fra desimalminutter til sekund og desimalsekund kan beregnes ved å sette opp forholdet: 123/100 = X/60 ): X = (123*60)/100=7.38” Selv om formatet blir lite benyttet i nautiske sammenhenger kunne også samme posisjon skrives som desimalgrader: N 62.6353° / E 006.3132° Forholdene er da: 1° = 60’ = 3600” 1’ (breddeminutt) = 1nm = 1852m (tilnærmet ett lengdeminutt på ekvator) 0.1’ = 185.2m 0.01’ = 18.52m 0.001’ = 1.852m 0.0001’ = 18.52cm 1’ = 1/60 grad ): 0.1° = 0°06’ Legg merke til at vi må benytte N, S, E eller W for å gjøre koordinatangivelsen entydig. I stedet for bokstaver vil kalkulatorer og dataprogram normalt bruke minus (-) for S og W.

1.1.5 Forandret lengde og bredde Når vi skal beregne avstand og retning mellom to steder på jorden må vi kjenne forandret lengde og bredde. Forandret lengde (lf, eng.: difference of longitude) betraktes som lengdeforskjellen mellom de to stedene, eller stykket av ekvator mellom de to steders meridianer. Begrepet måles i grader og minutter og regnes alltid korteste vei. Er det ene stedet på øst og det andre stedet på vest lengde får vi forandret lengde ved å legge lengdene sammen. Blir summen da over 180° må vi trekke denne fra 360°, Er begge stedene på øst eller vest lengde får vi forandret lengde ved å trekke dem fra hverandre. Vi sier gjerne at den forandrede lengde er østlig når vi seiler østover og vestlig når vi seiler vestover. Stedet vi seiler fra kalles avfarende lengde (la) og stedet vi seiler til kalles påkommende lengde (lp). Eksempel: Seiler vi for eksempel fra Færøyene (N61°21.0’ / W 006°40.0’) til Lofoten (N67°38.0’ / E 012°35.0’) får vi følgende (fig. 1.5): la +lp =lf

= W006°40.0’ = E 012°35.0’ = E 019°15.0’

Legg her merke til at når vi summerer bueminuttene til mer en 60’ så trekker vi fra 60 og legger til en hel grad. Hadde vi i eksemplet heller seilt vestover til Island (W 020°19.0’) hadde regnestykket blitt:

1-4

Figur 1.3 Lengdegrader og breddegrader. A’s bredde er gitt ved vinkel langs meridianen fra ekvator til stedets parallellsirkel. Lengden er gitt av vinkel mellom 0-meridianen og stedets meridian. Posisjon kan eksempelvis være gitt på en GPS som vist i figuren, eller bli tatt ut fra et sjøkart. Formatet på posisjonen kan oftest velges i egne menyer i mottageren.

Format på posisjon kan på mange systemer velges av operatøren: - Desimalgrader - Desimalminutter (vanligst) - Desimalsekunder Det kan også være valg for hvor mange desimaler som skal vises. Vær bevist på at antall desimaler bør stå i forhold til systemets ytelse.

Del 1 – Koordinat- og kartlære la - lp =lf

Jordens form

= W006°40.0’ = W020°20.0’ = W013°40.0’ (-)

Tips: For å lette beregningen av minutter og grader kunne man her i stedet for W 020°20’ forhøyet til W 019°80’ som er akkurat samme vinkel (lengde). Forandret bredde (bf, eng.: difference of latitude) blir i prinsippet det samme, og er definert som breddeforskjellen mellom to steder målt langs en meridian mellom de to steders parallellsirkler. Her skiftes imidlertid fortegn ved ekvator, og ikke ved Greenwich-meridianen. Begrepet måles i grader og minutter og regnes alltid korteste vei. Er det ene stedet på nordlig og det andre stedet på sydlig bredde får vi forandret bredde ved å legge breddene sammen. Er begge stedene på nordlig eller sydlig bredde får vi forandret bredde ved å trekke dem fra hverandre. Vi sier gjerne at den forandrede bredden er nordlig når vi seiler nordover og sydlig når vi seiler sydover. Stedet vi seiler fra kalles avfarende bredde (ba) og stedet vi seiler til kalles påkommende bredde (bp). Eksempel: Bruker vi igjen eksemplet med seilas fra Færøyene til Lofoten får vi: ba - bp = bf

= N61°21.0’ = N67°28.0’ = N 6°07.0’

Figur 1.4 Fremgangsmåte for utsetting av posisjon i et vanlig papirkart (eksempel N 63°13.5’ – E 006°49.0’).

Hadde vi her heller valgt å seile til den Antarktiske Halvøy på S63°00’ ville regnestykket blitt følgende: ba +bp = bf

= N61°21.0’ = S63°00.0’ = S124°21.0’

1.1.6 Avvikning Avstanden i nautiske mil mellom to meridianer langs en parallellsirkel kalles avvikning (a, avv). Det som vi tidligere beskrev som forandret lengde (fig. 1.5) vil være konstant fra ekvator til polen, mens tilhørende avvikning gradvis vil avta. På ekvator vil avvikningen lik forandret lengde i bueminutter. Beveger vi oss bort fra ekvator vil avvikningen reduseres etter en trigonometrisk funksjon som fremkommer fra følgende (fig. 1.6):

1-5

Figur 1.5 Illustrasjon av forandret lengde og bredde på seilas fra Færøyene (A) til Lofoten (P).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

Anta at vi kaller jordens omkrets ved ekvator for E og dens radius for R. Videre anta at parallellsirkelens omkrets er P med tilhørende radius, r. Vi kan da sette opp følgende proporsjon: E / P = 2SR / 2Sr Forkortet blir dette: E/P=R/r Løser vi dette med hensyn på E og P får vi:

R r

r R

1 Pr R

Fra figur 1.5 ser vi at r/R = cosinus til bredden. Settes dette inn i ligningene over får vi følgende:

P cos b

E cos b

Figur 1.6 Sammenheng mellom avvikning og forandret lengde, samt utledningen av denne.

Vi ser at parallellsirkelens omkrets forholder seg til omkrets ved ekvator dividert på cosinus til parallellsirkelens bredde. Samme forholdet får vi om vi tar kun deler av omkretsen med en gitt forandret lengde. Vi får da:

a cos (parallellsirkelens bredde)

a l f cos (parallellsirkelens bredde) Eksempel: Anta en forandret lengde på 20° (1200’=1200nm ved ekvator). Avvikningen på N50°30’ blir da: a = 1200 cos 50°30’ = 763.3nm

Trigonometriske funksjoner er nyttig å kunne på fingrene når man gjør nautiske beregninger. For mer detaljer om dette, se vedlegg 1.

Av dette ser vi at lengdeminuttet ved forskjellige bredder blir: SinA = a/b CosA = c/b TanA = a/c CotA = c/a

Ekvator = 1852 cos0° = 1852m 30° = 1852 cos30° = 1604m 60° = 1852 cos60° = 926m 75° = 1852 cos75° = 479m 90° = 1852 cos90° = 0m

1-6

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

1.1.7 Middelbredde Parallellsirkelen som ligger midt mellom avfarende og påkommende bredde kalles middelparallellen eller middelbredden (bm). Denne størrelsen har betydning for beregninger i det som vi senere skal komme inn på som middelbreddeseilas. Middelbredden kan enten finnes ved å legge sammen breddene og dele på to når begge steder er på samme halvkule. Er stedene på forskjellig halvkuler, kan bredden trekkes fra hverandre og forskjellen divideres med to. Alternativt kunne vi gå veien om halvparten av forandret lengde og legge til / trekke fra avfarende bredde. Eksempel: Bredder som fra seilasen fra Færøyene til Lofoten over: ba = N61°21.0’ = N67°28.0’ + bp = Sum = 128°49.0’ bm = N 64°24.5’ (Sum / 2)

Figur 1.7 Metode for å måle nautiske mil i et sjøkart ved å måle antall bueminutter på breddeskala. Her måles avstand fra Kvitsøy til Karmøy til 6nm.

For eksempelet fra Færøyene til Antarktis får vi: ba - bp = Diff. bm

= N61°21.0’ = S63°00.0’ = 1°39.0’ = S 0°49.5’ (Diff./ 2)

Elektronisk kart (ECDIS)

1.1.8 Nautiske lengdemål For å gjøre navigasjonen enklest mulig har man valgt å holde på distansemål som har direkte sammenheng med de geografiske koordinatenes vinkelmål. I tidligere tider benyttet man den gamle sjømilen som var definert som 1/15 av en ekvatorgrad (storsirkelgrad). Begrepet kvartmil var da en ¼ av en sjømil og dermed 1/60 av en ekvatorgrad. Dette representerer samme lengden som den nautiske milen som er den internasjonale enheten for lengdemål på sjøen i dag. Denne er definert som eksakt 1852m. En 1/10 av en nautisk mil kalles en kabellengde og er altså 185.2m. Lengden på den nautiske milen fremkommer ved å dividere avstanden mellom ekvator og polen med det antallet bueminutter denne distansen representerer. Avstanden mellom ekvator og polen var i utgangspunktet selve definisjonsgrunnlaget for en meter. Polavstanden var da satt til 10,000,000m. Avstanden representerer 90° og vil følgelig være 5400’ (90 * 60’). Regnestykket for et storsirkel-/meridianminutt (fig. 1.7 og 1.8) og den nautiske milen blir da:

10,000,000m 5400 '

1851.85 | 1852m

1-7

I ECDIS settes posisjon ut i kartet automatisk og koordinatene for posisjonen vises i eget vindu. Den store fordelen med dette er at man alltid har oppdatert posisjon i kartet, og ikke litt på etterskudd, slik man alltid vil være hvis posisjonen settes ut manuelt. Fokus kan dermed flyttes mer til overvåkning av instrumentenes ytelse, samt til styrket utkikk. For detaljer se Elektroniske og akustiske navigasjonssystemer (Kjerstad, 2015).

Skipets posisjon plottes automatisk i kartet

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

I mange praktiske sammenhenger har man også sagt at begrepet favner (som fortsatt blir benyttet som dybdeenhet i enkelte amerikanske sjøkart) er ca. 1/1000 av en nautisk mil. Den presise angivelsen av favner er imidlertid 6 engelske fot. En engelsk fot regnes normalt som 0.3048m og følgelig blir en favn 1.8288m.

1.1.9 Nautiske hastigheter Siden distansene som benyttes er nautiske mil (nm) er det praktisk å benytte tilhørende hastighetsbegrep. Hastighetsbegrepet knop (kn, eng.: knot) er altså basert på nautiske mil pr. time. Både distanse (d) og hastighet (v) måles med en godkjent logg.

Hastighet >kn@

Tid i timer

Figur 1.8 På kart i liten målestokk må man være klar over at breddeminuttene, og dermed målestokken, vil variere noe med bredden. Her fra skala på sjøkart nr. 307 i målestokk 1:350,000 (NSKV, 2009).

distansen i nm tiden i timer

distansen i nm hastigheten i knop

Seiler vi ut en distanse på 200nm mil i løpet av en vakt på 8 timer har vi altså holdt en gjennomsnittlig hastighet på 25knop. Eksempel: Vi har den 5.mai kl. 12.00 190nm igjen til havn. Vi går med 15 knop og skal beregne ankomsttidspunkt (ETA = Estimated Time of Arrival).

Logger De første loggene bestod av en dedikert line med knuter og med et lite drivanker («log») i enden. Ved å telle knutene og ta tiden med et timeglass kunne man beregne hastigheten.

Tid å seile = 190nm / 15kn = 12.66t = 12t 40m. Beregning foretatt + Tid å seile = ETA

kl. 12-00 5/5 12-40 kl. 00-40 6/5

Eksempel: Hva er utseilt distanse mellom kl. 12.00 og 16.15 når vi går med 15knop?

Senere fikk man mekaniske telleverk som var montert på en roterende loggline med en liten propell som ble slept etter båten.

Tidsintervallet blir 4t15m = 4.25t Distansen = 15 * 4.25 = 63.75nm Tips: For mange kan det skape litt forvirring når man skal regne med minutter og sekunder. Husk derfor at 0.1t = 6minutter. Det kan i slike beregninger være svært praktisk med en kalkulator hvor timer, minutter og sekunder kan tastes inn direkte, og hvor desimaltimer enkelt kan konverteres til minutter og sekunder (fig. 1.9). Metoden kan følgelig benyttes både i tidsberegninger og vinkelberegninger.

1-8

Moderne elektroniske logger er basert på måling av dopplereffekt eller elektromagnetiske prinsipper.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

Sammenhengen mellom knop og andre hastighetsbegrep er følgende: 1knop = 0.514m/s 1knop = 1.852km/t Som vi vil komme innpå senere er det vanlig å skille mellom fart over grunn (SOG = Speed Over Ground) og fart gjennom vannet (STW). Differansen mellom disse begrepene er representert ved strømvektoren (hastighet og retning). Alternativ til SOG kan også begrepet Speed Made Good (SMG) være benyttet. Litt historie: Begrepet knop (knuter) kom opprinnelig fra den tiden hastighet ble målt med en loggline som var merket med knuter med jevn avstand. Omgjort til meter pr. minutt blir en knop:

Figur 1.9 Eksempel på kalkulator med enkel inntasting av minutter og sekunder.

1852 / 60 = 30.87m/min Hadde man et tau med 30.87m mellom knutene ville man kunne ta tiden i et minutt og telle antall knuter som gikk ut etter man hadde kastet enden av logglinen på sjøen. Det var imidlertid vanlig å ha knutene tettere og måle tiden i noe kortere intervall, eksempelvis 15sek. Tidsmålingen ble i tidlige tider målt med timeglass. I avstanden mellom knutene kunne det være beregnet en viss korreksjon for forsinkelse ved utsetting av linen slik at knutene ble litt tettere enn ¼ av 30.87m. I Europa var det derfor vanlig å benytte 6.84m mellom knutene. Fartsmil Når man skal sjekke en logg, eller når man skal teste et skips eksakte hastighet er det vanlig å gå en «fartsmil». Dette er en nøyaktig oppmålt distanse på 1 nautisk mil (1852 meter) som er merket langs en strandlinje (fig. 1.10). Skipet seiles vinkelrett på overettmerkene som indikerer start og slutt på fartsmilen. Ved å ta tiden når distansen seiles begge veier kan hastigheten beregnes. Eksempel: Vestgående måler vi 160 sekund, og østgående måler vi 180 sekunder. Gjennomsnittstiden blir da 170 sekunder. Skipets fart gjennom vannet (v) blir da: v = 3600 / 170 = 21.2 knop

1-9

Figur 1.10 Ferdig oppmålt fartsmil kan benyttes for å finne skipets hastighet gjennom vannet. Eksempel fra sjøkart 456 ved Ålesund.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

Instrumenter I dag måles skipets hastighet nøyaktig med mange forskjellige metoder. Dette kan være satellittbaserte systemer eller spesielle sonarsystemer (ref. Elekroniske og Akustiske navigasjonssystemer (Kjerstad, 2015) for detaljert informasjon). På større skip er det strenge krav til fartsmåling, og bl.a. er det krav til at fartsinformasjon som overføres til radar og plottesystem (ARPA) skal være målt gjennom vannet (Speed Through the Water = STW) (fig. 1.11). Satellittbaserte systemer vil normalt kun vise fart over grunn (SOG) (fig. 1.3).

1.2 Oppgaver fra kapittel 1 1) Hvilke forskjell er det mellom de to begrepene navigasjon og posisjonering? 2) Hva menes med en sfæroide? 3) Hva er sentrum for plan som danner storsirkler? 4) Er ekvator og meridianene storsirkler eller småsirkler? 5) Nevn eksempel på en småsirkel. 6) Hvorfor ligger polarsirklene på bredde som er ca. 66.5°? 7) Hvilke solfenomen kan oppleves på bredder mellom de to vendesirklene? 8) Gjør om vinkelen 68.5555° til grader, minutter og desimalminutter. 9) Gjør om 15.2694° til grader, minutter og desimalsekunder. 10) Gjør om 20°30.6000’ til desimalgrader samt til grader minutter og desimalsekunder. 11) Hva menes med begrepet avvikning? 12) Hva er avvikningen mellom 0-meridianen og 12°W på S58°00’? 13) Beregn lengdeforandring, breddeforandring og middelbredde mellom følgende posisjoner: ba: S 5°10.00’ l a: W018°11.50’ bp: N17°25.25’ lp.: W021°01.00’ 14) Beregn forandret bredde, samt distansen langs meridianen mellom N 81°12’ og N 00°59’.

1 - 10

Figur 1.11 Eksempel på presentasjon av fart- og distanseinformasjon på forskjellige logger. Instrumentene kan være både digitale og analoge (Sperry og Ben).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Jordens form

15) Beregn forandret lengde, samt avvikning / distanse langs 60° parallellen mellom W 175°00’ og E 169°10’. 16) Hvor mange meter er en nautisk mil, og hvordan er man kommet frem til dette? 17) Hvordan kan du enkelt måle hvor langt det er mellom to punkt i et sjøkart? 18) Hva må vi spesielt passe på når vi måler distanser på breddeskalaen i sjøkart med liten målestokk? 19) Hvor mange knop er 9.5m/sek? 20) Hvor langt seiler et skip som går med 16.5 knop på 4 timer og 20 minutter? 21) Hva menes med en kabellengde? 22) Du ønsker å teste skipets hastighet i det du passerer et sted hvor en «fartsmil» er oppmålt. Den oppmålte distansen unnagjøres på 3 minutter og 18 sekund. Hva er skipets hastighet?

1 - 11

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

2 Geodetisk grunnlag og datum Før man starter diskusjon om de mange begrepene innenfor posisjonering og elektronisk navigasjon er det viktig å gi en grundig beskrivelse av de geodetiske forhold som er av betydning for nøyaktigheten. Med begrepet geodesi menes læren om jordens geometriske og fysiske egenskaper, hvilket er av stor betydning når gradnett skal konstrueres og posisjon defineres. I mer språkvitenskapelig forstand er ordet sammensatt av de greske ordene for «jord» + «deling». Ordet ble i oldtidens Hellas benyttet for jordeling og eiendomshandel. I dag er geodesi en gren av anvendt matematikk som beskriver størrelse og form på jorden, koordinater for punkter, lengder og retning på linjer, samt jordens tyngdefelt (gravitasjon). Vi kan dermed si at geodesien bl.a. kan omfatte følgende fagområder: x x x x x x

1. ordens triangulering Geodetisk astronomi Satellittgeodesi Presisjonsnivellement Gravimetri (tyngdemåling) Vannstandsmåling

I de fleste land vil det være triangulerte nett, gjerne ordnet som 1. orden, 2. orden, samt kommunal nett med referansepunkter som kalles trigonometriske punkt (trig. punkt). Eksempel på et slikt punkt er vist på figur 2.1. Avstanden mellom punktene i 1. ordens nett vil typisk være 30–60km, mens avstanden mellom punktene i 2. ordens trekantnett typisk er 10–20km.

Figur 2.1 Illustrasjon av viktige størrelser for å beskrive jordens form. Under er vist bilde og symbol av trigonometrisk punkt i Storbritannia.

Benyttes geodesien til sjøs kalles den ofte marin geodesi. Som tidligere nevnt skilles begrepene navigasjon og posisjonering. Navigasjon vil normalt være en grovere bestemmelse av posisjonen, egnet til å bringe et skip sikkert og økonomisk fra havn til havn - nøyaktigheten kan typisk være noen hundre meter. Det er så en flytende overgang til begrepet posisjonering som vanligvis benyttes for stedbestemmelse bedre enn ca. 10 meter.

2.1 Jordens eksakte form Geoiden I oppmåling på jorden spiller tyngdekraftens retning en vesentlig rolle da man ofte benytter loddsnor eller libelle som referanse. Tyngdekraften er resultanten av jordens tiltrekningskraft og sentrifugalkraft. Normalplanet på denne tyngdekraften kalles horisontalplanet, og vil på global basis bli en nivåflate (ekvipotensialflate) som faller sammen med havenes midlere vannstand. Tenker man seg vannmassene upåvirket av astronomiske og miljømessige faktorer kalles flaten for geoiden (figur 2.1 og 2.2).

1 - 12

Figur 2.2 Illustrasjon av forholdet mellom geoide og ellipsoide med tilhørende begreper.

Del 1 â&#x20AC;&#x201C; Koordinat- og kartlĂŚre

Geodetisk grunnlag

Ellipsoiden PĂĽ grunn av usymmetriske masseforhold i jordkloden har tyngdekraften et uregelmessig forlĂ¸p som vil gjĂ¸re geoiden ubrukelig for en presis beregningsflate for bestemmelse av punkter. Geoiden vil avvike med mindre enn ca. +/- 100 meter i hĂ¸yde fra en rotasjonsellipsoide med best mulig tilpassing (figur 2.3-2.5). Avviket mellom geoiden og ellipsoiden kalles geoidehĂ¸yde og avviket mellom normalene til flatene kalles loddavvik. HĂ¸yden i terrenget mĂĽlt loddrett til geoiden kalles ortometrisk hĂ¸yde. Siden geoiden betraktes som en ekvipotensialflate kan geoidehĂ¸yden finnes ved hjelp tyngdemĂĽlinger (gravimetri). Loddavviket kan i massive fjellomrĂĽder bli opptil 1 bueminutt. Beregningsflaten som benyttes ved posisjonering er derfor en matematisk beskrevet ellipsoide (figur 2.5). I navigasjonen har det vĂŚrt vanlig ĂĽ betrakte jorden som en kule (sfĂŚroide) da dette har gitt tilstrekkelig nĂ¸yaktighet for astronomiske observasjoner og beregning av storsirkler ved seilas over havene. Det har lenge vĂŚrt kjent at kuleformen kun har vĂŚrt en tilnĂŚrmelse. I virkeligheten er formen svakt ÂŤpĂŚreformetÂť og noe flattrykket pĂĽ polene, uten eksakt rotasjonssymmetri. Ă&#x2026; avbilde dette matematisk for sĂĽ ĂĽ konstruere et gradnett er ingen enkel prosess. FĂ¸rste kjente forsĂ¸k ble gjort i Alexandria av Erathostenes (275-195 f.Kr.). Viktigste matematiske tilnĂŚrming ble fremsatt av Newton i 1687 i form av to satser:

Figur 2.3 Kartet viser geoidehĂ¸yder (meter) pĂĽ jorden. Legg merke til toppen pĂĽ 68 meter nordvest av Irland.

a) Likevektsformen for en flytende homogen masse som er underkastet loven om tiltrekningskraften og som dreier om en akse er en rotasjonsellipsoide. Omdreiningsaksen er ellipsoidens lille halvakse. b) Tyngdekraften vokser mot polene proporsjonalt med 2. potens av sinus til den geografiske bredde. Disse satsene ble bevist ved mĂĽlinger i Peru og i Lappland (1735-44) foretatt av det franske vitenskapsakademi. PĂĽ 1800 tallet ble flere ellipsoider beregnet ut fra geodetiske og astronomiske mĂĽlinger. Vanligst er Laplace (1802), Bessel (1841), Clarke (1880), Hayford (1909) og Krasovsky (1938). Best kan dette gjĂ¸res ved ĂĽ betrakte jorden som en ellipse som roterer om sin lille akse (rotasjonsellipsoide) som vist pĂĽ figur 2.5, hvor N representerer normalkrumningsradiusen. Ellipsen kan generelt beskrives som en annengradsfunksjon ut fra store- og lille halvakse, hhv. a og b (se ogsĂĽ vedlegg 3 for flere formler):

x2 y2 a 2 b2

Figur 2.4 GeoidehĂ¸ydekartet over Norge viser en detaljert oversikt over geoidehĂ¸yden (meter) i forhold til WGS-84 ellipsoiden.

1 - 13

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Videre kan vi karakterisere ellipsen ved dens flattrykning (f) og eksentrisitet (e) som også er gitt av aksenes dimensjoner:

b2 / a

( a b) / a

1 (1 f ) 2

Tilnærmet kan verdiene settes: a = 6378.3km, f = 1/298, e = 0.0818 Vi kan etter dette slutte at all optisk landmåling og nøyaktige astronomiske observasjoner vil bli referert til geoiden, mens kartets gradnett refereres til den matematiske ellipsoiden. Som det går frem av figur 2.2 vil en astronomisk observasjon bli påført en feil som ikke lettvint lar seg korrigere.

2.2 Koordinatsystemer og datum For beskrivelse av en observasjon, bevegelse av satellitter og for fremstilling av kart må man relatere disse til et veldefinert og reproduserbart referansesystem. I mange tilfeller vil det være uegnet å benytte samme referansesystem til forskjellige typer presentasjon. Dette fører også med seg behovet for å kjenne forholdet mellom de forskjellige koordinatsystemene. For referanse til satellitter vil dessuten tiden spille en viktig rolle i et slikt forhold.

Figur 2.5 Rettvinklet koordinatsystem plassert i forhold til en rotasjonsellipsoide. Den tyske astronomen Friedrich Georg Wilhelm Struve (1793-1864) triangulerte avstanden fra Svartehavet til Hammerfest – Struves meridianbue – for å finne ut hvor flattrykt jorden er ved polene. Det ble målt vinkler i til sammen 265 hovedpunkter og 60 hjelpepunkter (1816-1855) Den viste at en bue tilsvarende en grad langs meridianen er 425 meter kortere ved Svartehavet enn ved Norskehavet.

Det er vanlig å benytte 2 hovedtyper koordinatsystem: 1. Terrestriske koordinater har en fast beliggenhet knyttet til jordskorpen og roterer med denne. Origo ligger i eller nær jordens tyngdepunkt (geosentrisk system), eller det ligger i et punkt på jordoverflaten (toposentrisk system). Systemene benyttes til å beskrive posisjoner på eller nær jordoverflaten. Av terrestriske koordinater kan vi også finne begreper som: Kartesiske koordinater er basert på et treakset (X, Y, og Z) høyrehåndssystem hvor man er ute etter å fastlegge posisjoner på overflaten av en ellipsoide. Det er vanlig å benytte meter som enhet. Geografiske koordinater er basert på vinkelmål fra et kjent referansenett som dekker jorden. Nord-syd retning kalles bredde (latitude) og er definert som vinkel i forhold til ekvator. Ekvator er da 0° og Nord- / Sydpolen følgelig 90°. Øst-vest retning kalles lengde (longitude) og er definert som vinkel i forhold til meridianen som går gjennom Greenwich observatoriet i London (0-meridianen, eng.: prime meridian).

1 - 14

Mount Everest er ikke verdens høyeste fjell hvis vi måler fra jordens sentrum. Da ville Chimborazo i Ecuador som normalt er 6310 moh være 2195 meter høyere enn Everest. Fem andre fjell ville også rage over Everest etter en slik målemetode. Dette på grunn av jordens utbuling ved ekvator.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Lengden blir da 0° ved Greenwich og E / W 180° ved «datolinjen» i Stillehavet. I maritim virksomhet er det vanlig å oppgi vinkelen på et format med grader, minutter og desimalminutter (ref. kap. 1.1.4). Grid-koordinater er rektangulære metriske koordinater som gjerne benyttes i rutenett på forholdsvis små områder hvor beregninger kan gjøres ut fra alminnelig plangeometri (ref. UTM i kap. 2.3). Det finnes programvare som kan konvertere mellom både koordinatsystem, format og datum (fig. 2.21). 2. Himmelkoordinatsystem (celestisk) er knyttet til solsystemet og anvendes primært for å definere koordinater for himmellegemer. I tillegg finnes det et sett banekoordinater som benyttes til å beskrive satellitter i bane rundt jorden. Satellitters bevegelse beskrives av Newtons bevegelsesligninger som gjelder for et system som er i ro eller jevn bevegelse. På grunn av jordaksens periodiske bevegelse om referanseaksen og eklipseplanet (jordplanets skjæringsvinkel med himmelkula, eller solbanen sett fra jorden), vil et referansesystem bevege seg i forhold til en «fiksstjerne». Denne bevegelsen beskrives som presesjon og nutasjon (figur 2.6). Presesjon betraktes som variasjon av jordaksens retning i verdensrommet. Denne bevegelsen er 50.290966”/år (2000) og vil i løpet av ca. 25800 år beskrive en full kjegleflate i rommet. Månen har en tilsvarende presesjon som igjen gir en periodisk påvirkning på jorden. Denne påvirkningen kalles nutasjon og har en periode på 18.6 år, som for øvrig også vil være tidevannets repetisjonsfrekvens. I tillegg til dette har vi polbevegelsen som er definert som jordkroppens dreining i forhold til rotasjonsaksen, hvilket vil føre til periodiske variasjoner i astronomisk lengde og bredde. Aksen vil bevege seg om en midlere pol (ikke i forhold til fiksstjerne) i en tilnærmet sirkulær bevegelse som er sammensatt av to periodiske komponenter. En med periode på ett år og med amplitude (maks. avvik) på 0.06 - 0.10’’ (buesekunder) som trolig skyldes meteorologiske faktorer. Den andre med periode på 14 måneder (Chandelers periode) og amplitude på 0.08 - 0.18’’ og som skyldes vinkelen mellom omdreiningsakse og treghetsakse. Polbevegelsen er vist på figur 2.7. Origo er den midlere pol i perioden 1900 - 1905 og betegnes CIO (Conventional International Origin). CIO vil følgelig være en retning som ligger fast i forhold til jordkroppen. Den gjeldende (momentane) pol fastlegges av bl.a. Bureau International de L’Heure (BIH) og Defence Mapping Agency Hydrographic / Topographic Center (DMAHTC).

1 - 15

Figur 2.6 Jordaksens bevegelse over en syklus på ca. 25800 år.

Figur 2.7 Polbevegelsen beskrevet i forhold til CIO i perioden 2005 - 2010. Enheten mas er et millibuesekund (ca. 3cm).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Et celestisk system vil ikke være egnet til terrestriske formål. Man er avhengig av at et fast punkt på jorden ikke varierer med tiden. Det konvensjonelle terrestriske systemet (CTS) har den første aksen liggende i skjæringen mellom Greenwich meridianen og ekvatorplanet, den tredje aksen i CIO og den andre aksen vinkelrett på førsteog tredje akse. Vektorer i det terrestriske system kan representeres ved kartesiske (X, Y, Z) eller geografiske koordinater (M, O, h) som vist på figur 2.5, og hvor de kartesiske er ECEF-koordinater (Earth Centered Earth Fixed). Ved hjelp av matriser kan man transformere mellom de to systemene. Avviket mellom den geodetiske og den geosentriske bredden skyldes eksentrisiteten på ellipsoiden og vil maksimalt være ca. 0.2° ved ca. 45° bredde.

2.3 UTM- systemet Ved å snu den vanlige projeksjons-sylinderen som benyttes i Merkator projeksjoner 90° får vi en såkalt transversal Merkator projeksjon (figur 2.8). Sylinderen vil dermed tangere jorden langs en meridian. Forvrengningen blir dermed liten langs denne tangeringsmeridianen og i polare strøk. Denne projeksjonen benyttes mye innen oppmåling og dynamisk posisjonering (DP). Ved å standardisere tangeringsmeridianene har man blitt enig om et verdensomspennende koordinat system som kalles UTM (Universal Transversal Merkator) (figurene 2.8 – 2.12). Tangeringsmeridianene er lagt til hver 6. lengdegrad – 3, 9, 15° øst etc., og projeksjonen langs den respektive meridian kalles en sone. Systemet deler inn jorden i 60 soner a 6 lengdegrader, og 20 «bånd» begrenset av breddegradene mellom 80°S og 84°N. Hvert belte er identifisert med en bokstav fra C til X (ikke O og I), stigende fra syd til nord. Sonene er identifisert med sitt eget nummer og stiger østover fra 180° lengde. Et område vil på denne måten identifiseres ved sone nummer og belte bokstav, f.eks. 32V for sydlige delen av Norge. I virkeligheten er målestokken 0.9996 på tangeringsmeridianen, hvilket betyr at det egentlig er en skjærende projeksjon hvor sylinderen vil skjære jorden i to parallelle linjer - en linje på hver side av den såkalte tangeringsmeridianen.

1 - 16

Figur 2.8 Normal og transversal sylinder projeksjon.

Figur 2.9 Gradnettet på en sylinder projeksjon som berører en meridian.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Ved å transformere et slikt område (f.eks. 32V) til et plan vil vi i det begrensede område kunne benytte et rektangulært koordinatsystem uten særlig store feil. Koordinatene i et UTM system er til sjøs oppgitt som N (eng.: North / northing) og E (eng.: East / easting), og den vanligste enheten er meter. Øst koordinaten refererer seg til tangeringsmeridian som er definert som 500,000m (figur 2.11), og er voksende østover. På denne måten unngår man negative verdier innen en sone på 6°. Nord (og syd) koordinat er gitt som antall meter fra ekvator. For å unngå negative verdier på sydlige halvkule er det her laget et tillegg på 10,000,000m («false northing»). I USA kan man fortsatt finne at koordinatene er basert på fot i stedet for meter. Av praktiske grunner kan man enkelte steder finne at soner er utvidet utover de 6 gradene som er standard, for at spesielle landmasser skal komme inn i en ønsket UTM definisjon. For å gjøre stedfesting mer praktisk i et lite område det delt inn i mindre kvadratiske områder på 100 x 100 km, som identifiseres med to bokstaver (fig. 2.12). Koordinatene innen hver slik smårute er da gitt i meter fra nederste venstre hjørne (X nordover og Y østover).

Figur 2.10 UTM soner i Skandinavia og på Svalbard. Merk at det er utvidede soner nord om 72°N.

UTM koordinater vil på lik linje med geografiske koordinater være relatert til et bestemt datum. Som det går frem av figur 2.11 ser vi at det vil være et avvik mellom rettvisende nord og «rutenett (grid) – nord». Dette avviket kalles meridiankonvergens, og vil øke med avstanden fra sentralmeridianen (tangeringsmeridianen). Dette betyr at man ikke kan sette ut en vanlig rettvisende peiling i et UTM kart uten at man tar hensyn til meridiankonvergensen, som vanligvis er oppgitt i kartet. Forholdet er forsøkt belyst med et eksempel fra en posisjon vest for sentral meridianen hvor konvergensen er negativ (fig. 2.13). Under avanserte maritime operasjoner hvor det benyttes dynamisk posisjonering (DP) kan det også være aktuelt å definere skipets heading (kurs) etter samme prinsipp. Heading kan da enten settes som «grid heading» eller «true heading» (rettvisende).

1 - 17

Figur 2.11 Eksempel på posisjon innenfor en sone. Bildet under viser display på GPS-mottager som viser UTM-koordinater.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

2.4 Lokale metriske koordinatsystem I enkelte tilfeller kan det være praktisk å ha et lokalt metrisk koordinatsystem, hvor origo (0punkt) legges til en bestemt referanseposisjon. I offshore sammenheng gjøres dette ofte når man skal definere f.eks. posisjon på installasjoner i forhold til en bestemt plattform (fig. 2.14). Orienteringen på slike lokale systemer er vanligvis mot geografisk nord (som UTM). På avanserte oppmålingsfartøy vil man også ha lokale koordinatsystem for å sørge for entydig posisjonsreferanse, f.eks. i forhold til skipets tyngdepunkt (G) (fig. 2.15). Det er da vanlig å orientere koordinatene i skipets lengderetning med positive verdier forover og til styrbord. Eksempel på hvordan slik informasjon kan legges inn på et DP system er vist på figur 2.16. Denne type informasjon er også viktig å legge inn i andre elektroniske navigasjonssystemer (AIS, ECDIS, GPS, etc.) for å få korrekt posisjon i forhold til eget skip (ref. Elektroniske og akustiske navigasjonssystemer (Kjerstad 2015)) slik at disse kan formidle riktig informasjon til andre skip som mottar AIS informasjon.

Figur 2.12 Inndeling av 100 km områder i sone 32V og eksempel på posisjon i et område.

1 - 18

Figur 2.13 Ved utsetting av peilinger i et UTM gradnett må man ta hensyn til meridiankonvergens.

Figur 2.14 Lokale metriske koordinater med origo på en plattform (Kilde: Kongsberg Simrad).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Figur 2.16 Eksempel på hvordan posisjon på forskjellige posisjons sensorer defineres i et DP system (Kilde: Kongsberg Simrad). Figur 2.15 Eksempel på lokalt referansesystem på et skip.

2.5 Geodetisk Datum Generelt kan det sies at et datum er en referanse for geografiske målinger eller basis system for målinger og beregninger - en felles referanseramme. Dette er gjerne representert ved et sett referansepunkter (trigonometriske punkt) på jordens overflate. Datumet er ofte forbundet med en modell av jordens form (referanse ellipsoide) for å definere et geografisk koordinatsystem. De forskjellige kartverkene i verden har tradisjonelt hatt som mål å benytte et datum som er best mulig tilpasset landets geoide (lokalt datum) på et gitt tidspunkt. Siden jordens form ikke er symmetrisk betyr det i praksis at de forskjellige datum som er benyttet vil være basert på forskjellige ellipsoider. Tenker vi oss en ellipsoide med sentrum i jordens tyngdepunkt og som tilslutter hele geoiden best mulig har vi det vi kaller et globalt datum. På grunn av definisjon av lengde og bredde vil posisjon være avhengig av ellipsoidens form og plassering og følgelig vil koordinatene på en plass være forskjellig etter hvilke datum som benyttes. Et lokalt datum defineres ved følgende 8 parametre: a = ellipsoidens store halvakse f = ellipsoidens flattrykkning ((a-b)/a) M0 = fundamentalpunktets bredde O0 = fundamentalpunktets lengde [0 = loddavvik i nord-sydretning i fundamentalpunktet K0 = loddavvik i øst-vestretning i fundamentalpunktet D0 = geodetisk asimut i fundamentalpunktet for en side i trekantnettet N0= geoidehøyde i fundanentalpunktet

1 - 19

Datum i praktisk navigasjon Før man begynte å bruke satellittnavigasjon var datum ikke en relevant problemstilling i praktisk navigasjon. Posisjon ble da bestemt ut fra avstand og peilinger til faste punkt på land, altså en form for relativ posisjonering. Skulle man den gang finne sin posisjon på det åpne hav var alle metoder mer unøyaktig en den feilen som en eventuell datumforskjell ville innebære. Når man i dag benytter nøyaktige GNSS-system, avanserte kartsystem, autopiloter og DPsystem, er det ekstremt viktig å ha et bevisst forhold til koordinatsystemet (datumet) som benyttes.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Fundamentalpunktet vil være hvor ellipsoiden er «opplagret» og vil vanligvis være et veldefinert trigonometrisk punkt i nærheten av et observatorium. Eksempel på noen datum er vist i tabell 2.1. I tillegg til datum som er listet i tabell 2.1 finnes det et mylder av systemer som er tilpasset et aktuelt land eller region på jorden. På grunn av utbredelsen av globale satellittnavigasjons-systemer er det globale datumet WGS-84 i ferd med å bli dominerende og i mange tilfeller fortrenge eldre lokale datum. Det nye EUREF-89 som nå benyttes i Europa er svært likt WGS-84. Det samme er det nye nordamerikanske datumet NAD-83. EUREF-89 er for øvrig basert på GPS- målinger (amerikansk satellittnavigasjons-system) foretatt i 1989, men på grunn av begrensningene som da var i GPSsystemet er målingene omregnet og justert i 1994. I Norge er det bygget opp et nytt nett basert på EUREF-89 koordinater (WGS84). For bruk i Nordsjøen finnes det også et datum som kalles WGS-84*SEA som er en WGS transformasjon fra ED-87 (som igjen er transformert fra ED-50). Dette nordsjø-datumet vil maksimalt avvike fra WGS-84 med ca. 1 meter. WGS-84 ble i 1997 justert slik at det faller sammen med ITRF (International Terrestrial Reference Frame). Når det europeiske satellittnavigasjonssystemet Galileo blir operativt vil det mest sannsynlig bli en ny dedikert referanse som vil ligge nærmest mulig ITRF. Det samme gjelder andre sat.nav.- systemer som Glonass og BeiDou. Tabell 2.1 Noen aktuelle parameter for forskjellige lokale og globale datum.

Kontinentaldrift Variasjonen mellom EUREF-89 og WGS-84 skyldes at det ene er låst til fastpunkt på jorden og det andre er låst til jordens sentrum. Forholdet til disse vil forandre seg litt over tid på grunn av små variasjoner i jordsenteret, kontinentaldrift og større jordskjelv. På figur 2.17 ser vi at Norge eksempelvis driver ca. 2cm nordover pr. år og Alaska driver sydvest over med omtrent samme hastighet.

1 - 20

Figur 2.17 Pilene viser kontinentaldrift i forskjellige deler av verden. Kurvene viser nord og øst drift i Tromsø på ca. 1.5 cm pr. år.

Jordas flattrykning Tenker vi oss en globus med radius på 1m og med flattrykning tilsvarende jorden, så vil radius til Nordpolen være ca. 3mm kortere enn radius til ekvator. Hadde topografien med fjell og havdyp vært representert hadde det også medført ujevnhet på ca. 3mm. (fra Mount Everest på 8,848m til det største havdyp, som er Marianegropen, på 11,033m).

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Selv om bevegelsene er forholdsvis små er denne type informasjon viktig når man skal etablere referanser for ekstremt nøyaktige satellittnavigasjonssystemer, hvor det er snakk om nøyaktighet i cm-området.

2.6 Transformasjon mellom datum For å kunne regne om et punkts koordinater gitt i ett datum til koordinater i et annet datum, er det nødvendig å benytte en koordinat-transformasjon. En koordinat-transformasjon er en matematisk eller grafisk overføring av punkter fra ett koordinatsystem til et annet etter entydige matematiske regler (transformasjons-formler). I praksis vil realiseringen av de fleste datum være beheftet med unøyaktigheter. På grunn av dette vil det som regel ikke eksistere noen fast numerisk sammenheng mellom koordinater gitt i to datum. Dette medfører at en transformasjon vanligvis kun gjelder tilnærmet. Transformasjonsformlene bestemmes ut fra en tilpasning mellom koordinater i de to koordinatsystemene. Flere transformasjonsmetoder er i bruk, og nedenfor nevnes to av de mest aktuelle metodene:

Figur 2.18 Eksempel på matematisk 7parameters transformasjon mellom to datum.

1. Ordinær romlig transformasjon (romlig Helmerttransformasjon) I en ordinær romlig transformasjon benyttes maksimalt 7 parametre (fig. 2.18). Disse beskriver forskyvninger (¨x, ¨y, ¨z), rotasjoner (Ȧx, Ȧy, Ȧz) og skalaforskjell (s) mellom to rettvinklede romlige koordinatsystemer. Dette innebærer at geodetiske koordinater må regnes om til rettvinklede (XYZ) koordinater før transformasjon. Denne typen transformasjon resulterer i en konform (likedannet) overføring av koordinater mellom to datum og transformasjonsformlene kan ikke kompensere for deformasjoner i koordinatsystemene. 2. Polynombasert transformasjon Et polynom av en gitt grad er en generell matematisk formel som kan benyttes til å beskrive hvordan koordinatene i to datum forholder seg til hverandre innenfor et avgrenset geografisk område. En polynombasert transformasjon kan til en viss grad kompensere for kjente deformasjoner i koordinatsystemene. Det er viktig at en polynombasert transformasjon ikke benyttes utenfor det området den er beregnet for. I moderne navigasjonsmottagere og DP-system finnes også transformasjons-prosedyrer (figur 2.19). Mange av disse er imidlertid basert på relativt enkle algoritmer og vil kunne være betydelig feil i enkelte områder. Transformasjon mellom datum i et lite geografisk område, f.eks. i et sjøkart i M = 1:50,000, kan være oppgitt som et skift i lengde og bredde. Størrelsen på et slikt skift vil varier ut fra posisjon, men vil kunne bli noen hundrede meter.

1 - 21

Figur 2.19 Innstilling av datum på en GPS-mottager. Øverst: Meny for datum valg og avvik til WGS-84. Under: Meny for rute-planlegging hvor datum på waypoint bestemmes.

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

Det er verd å merke seg at datum-forskyvningen (N / E) også vil avhenge av om koordinatsystemet er geografisk eller basert på UTM. Eksempel på et slikt dataumskift er vist på figur 2.20. Riktig transformasjon kan være svært kritisk når elektroniske kart kobles sammen med presise navigasjonssystemer og benyttes til «elektronisk» seilas. For å kunne beregne datumskift og forskjellige typer koordinater er det på markedet spesielle dataprogrammer som kan kjøres på en vanlig PC. Ofte vil slike programmer også kunne gjøre forskjellige typer distanse og kurs beregninger mellom forskjellige posisjoner. Eksempel på et slikt program er «GeoMath» som er vist i figur 2.21.

2.7 Høydereferanse I tillegg til standarder for lengde- og breddeangivelse vil det også være behov for å definere hva høyden måles i forhold til. I satellittnavigasjon vil man i utgangspunktet benytte ellipsoiden som referanse. Vi vil da måle høyden over ellipsoide. Legger vi til geoidehøyde vil vi få høyde over geoiden (middelvann). Dette gjøres oftest automatisk i mottagere med modell av geoidehøyden. Dybder i sjøkart vil være referert til et nivå som ligger under middelvann. Dette er vanligvis «laveste astronomiske tidevann» (LAT). Høyder på broer og lignende, (friseilingshøyder vil være referert til «høyeste astronomiske tidevann» (HAT). Høyder på fjell, og lignende, kalles ofte «ortometrisk høyde» og vil vanligvis være gitt som høyde over middelvann (geoiden).

Figur 2.20 Illustrasjon av avstanden mellom 3 vanlig datum på et gitt sted i Norge (geografiske koordinater). Datumskiftet vil være forskjellig ved bruk av UTM-koordinater (NSKV 2009, tillatelse A631/09).

Husk! Datum på en GNSS-mottager må alltid samsvare med koordinatsystemet (datumet) i kartet som benyttes.

Figur 2.21 Beregningsprogram for å kalkulere avvik mellom forskjellige datum og koordinat-system, samt beregne kurser og distanser (mats.kagstrom@online.no).

1 - 22

Del 1 – Koordinat- og kartlære

Geodetisk grunnlag

2.8 Oppgaver fra kapittel 2 1) Hvilken horisontal flate vil loddsnoren rette seg inn etter? 2) Hva menes med begrepene ellipsoide og geoide, og hvorfor er disse ulike? 3) Beregn ellipsoidens lille halvakse når eksentrisiteten er 0.081 og den store halvaksen er 6380 km. 4) Hva menes med jordens polbevegelse og hvorfor oppstå dette fenomenet? 5) Hva menes med et geodetisk datum, og hva kjennetegner et globalt datum? 6) På moderne mottagere kan du ofte få presentert posisjonen i valgfritt datum. Mest brukt er ED-50 og WGS84. Hva er den prinsipielle forskjellen mellom de 2 nevnte? 7) Du skal beskrive posisjonen på et punkt på jorden. Hvilke parameter må være med for at dette skal være en eksakt beskrivelse? 8) Hvorfor vil peilinger og kurser på et UTM kart avvike fra rettvisende peilinger, og hvor stort er avviket? 9) Hvorfor er det viktig å definere antenneposisjoner på skipet, og hvilke referanseramme er vanlig å benytte i en slik definisjon? 10) Hva menes med «false northing» i UTM systemet? 11) I beskrivelse av et lokalt datum på figuren t.h. er det oppgitt at det benyttes «false northing». Hvorfor? 12) Din UTM posisjon er: N 6,929,931 – E 357,511 – S32 (WGS 84). Meridian konvergens er -2.5°. Du peiler et trig. punkt med oppgitt koordinat: N 6,929,467 – E 359,607. Beregn grid (UTM) peiling og rettvisende peiling. 13) Beregn omtrentlige UTM koordinater i følgende posisjoner: a) N 62°28.3‘ / E 006°14.2‘ b) S 12°30.0’ / W 003°00.0’

1 - 23

Høyde som presenteres på avanserte GNSSmottagere kan ha forskjellig referanse. Eksempel fra en Trimble BD-982 (Hgt. over ellipsoide og Elevation over geoide / middelvann).

for mar

itime st

udier

asjon

for maritime studier

ve 5. utga Norva

ld Kjer

stad

3. utgave

Navigasjon for maritime studier

Navigasjon

Navig

itim

for mar

Norvald Kjerstad

ut y N

,!7II2E5-acbeig!

ga v

ISBN 978-82-450-2148-6

og e m lø ed sn ø in vin gs fo gso rs p la pg g av

stad STISKE G AKU ISKE O TEMER N O R T SSYS ELEK ASJON NAVIG e studier ld Kjer

Norva

Norvald Kjerstad