GLI INSIEMI NUMERICI
ELISA D. 1°A
Per parlare di insieme in matematica occorre capire se l’oggetto appartiene o no all’insieme Perciò si considerano insiemi solo quei gruppi che con un criterio oggettivo possono essere stabiliti se appartengono o no a quell’insieme.
Esempio: L’insieme delle città delle Marche è un insieme matematico (tutti riconoscono le differenti città) L’insieme delle ragazze simpatiche non è un insieme matematico ( perché è soggettiva)
Conosciamo già alcuni insieme di uguali caratteristiche ovvero: N l’insieme dei numeri naturali
Z
l’insieme dei numeri interi
Q l’insieme dei numeri razionali R l’insieme dei numeri reali
Se un insieme è privo di elementi si chiama INSIEME VUOTO e si indica con ø
I SIMBOLI ∈ ∉ ∪ ∩ Ø / ˄ ˅
SIMBOLO DI APPARTENENZA SIMBOLO DI NON APPARTENENZA SIMBOLO DI UNIONE TRA INSIEMI SIMBOLO DI INTERSEZIONE SIMBOLO DI DIFFERENZA INSIEME VUOTO TALE CHE SIMBOLO DI CONGIUNZIONE TRA PROPORZIONI SIMBOLO DI DISGIUNZIONE TRA PROPORZIONI
ATTENZIONE! I simboli indicano sempre un legame tra l’elemento e l’insieme mai tra più insiemi o elementi. Il nome dell’insieme è scritto a destra, quello dell’elemento a sinistra
COME RAPPRESENTARE UN INSIEME
Possiamo utilizzare tre diversi metodi
ATTRAVERSO LA RAPPRESENTAZIONE TABULARE (ESTENSIVA)
USANDO LA PROPRIETA’ CARATTERISTICA
CON I DIAGRAMMI DI EULERO VENN
RAPPRESENTAZIONE TABULARE A= {LUIGI; MARTA; CARMELA;MATTEO; FEDERICA; ANNA; LUCA}
RAPPRESENTAZIONE PER CARATTERISTICA A={ X | X È AMICO DI DAMIANO}
RAPPRESENTAZIONE CON DIAGRAMMI DI EULERO VENN
UN INSIEME PUÒ ESSERE CONTENUTO IN UN ALTRO
SI DICE ALLORA CHE B È UN SOTTOINSIEME DI A
ESEMPI B= {2; 5} A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
1 ∈ À, 1 ∉ B 2 ∈ B, 2 ∈ À 4 ∉ B, 6 ∉ B
INTERSEZIONE, UNIONE, DIFFERENZA COMPLEMENTARE E PRODOTTO CARTESIANO !
SI DEFINISCE COSI L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO ALMENO AD UNO DEI DUE INSIEMI (giallo)
SI DEFINISCE COSI L’INSIEME FORMATO DAGLI ELEMENTI COMUNI (parte verde
SI DEFINISCE COSI FRA DUE INSIEMI B e A L’INSIEME DEGLI ELEMENTI B CHE NON APPARTENGONO AD A
PRODOTTO CARTESIANO
TRA DUE INSIEMI A e B NON VUOTI È L’INSIEME FORMATO DA TUTTE LE COPPIE ORDINATE TALI CHE IL PRIMO ELEMENTO ∈ AD A E IL SECONDO ∈ a B
DATI GLI ESEMPI : A={ 3,6} B={ c, f} AXB={( 3, c);( 3, f);( 6, c);( 6, f)}
ATTENZIONE
PER L’OPERAZIONE DEL PRODOTTO CARTESIANO NON VALE LA PRPRIETÀ COMMUTATIVA AXB ≠ BXA A={2, 5} B={a, g} A X B={( 2,a);(2, g);(5,a);(5,g)} B X A={(a,2);(a,5);(g,2);(g,5)}
LE PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI: LE OPERAZIONI DI INTERSEZIONE, UNIONE E COMPLEMENTAZIONE GODONO DELLE SEGUENTI PROPRIETÀ
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA: A Ú A= A A æ A= A PROPRIETÀ COMMUTATIVA: A Ú B= B Ú A A æ B= B æ A
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: A Ú (B Ú C) =( A Ú B) Ú C A æ (B æ C)= (A æ B) æ C LEGGE DI ASSORBIMENTO: A Ú (A æ B)= A A æ (A Ú B)= A PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: A Ú (B æ C)= (A Ú B) æ (A Ú C) A æ (B Ú C )= (A æ B) Ú (A æ C) COMPLEMENTARIETÀ: A Ú Ā = Ø AæĀ=U LEGGI DI DE MORGAN: A Ú B= Ā æ B A æ B= Ā Ú B
RIASSUNTO