Gli Insiemi - FEDERICA D. 1A -
Il termine INSIEME viene utilizzato per indicare una collezione, una raccolta, una totalità. È un ente primitivo cioè un concetto intuitive del quale non è data definizione, è molto importante perchè su di esso si forma tutta la matematica.
Ogni componente dell’insieme viene detto oggetto o elemento, e quindi in matematica si considerano insiemi solo i raggruppamenti di oggetti per cui si stabilisce in modo oggettivo se appartengono o non al raggruppamento.
I Simboli
La Rappresentazione Per rappresentare un insieme vengono utilizzati tre modi diversi: I DIAGRAMMI DI EULERO VENN, RAPPRESENTAZIONE TABULARE, RAPPRESENTAZIONE PER CARATTERISTICA.
Esempio: l’insieme chiamato C di tutti i multipli di 5 minori di 48.
Rappresentazione con i diagrammi di Eulero Venn C 5.
10.
35.
40.
25.
45. 30. 15.
20.
Rappresentazione tabulare C={ 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
Rappresentazione per caratteristica C={ x|x è un multiplo di 5 minore di 48}
Operazioni tra gli insiemi UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA PRODOTTO CARTESIANO
Unione Dati due insiemi A e B, si dice unione di A e B l'insieme che contiene sia gli elementi di A che di B.
Esempio: A={ 1; 2; 3} B= { 3; 5; 7} A u B= {1; 2; 3; 5; 7}
Intersezione Dati due insiemi A e B, si dice intersezione di A e B l'insieme A B che contiene sia gli elementi comuni a A e a B.
Esempio: A={ 1; 2; 3} B= { 3; 5; 7} A B= {3}
Differenza Dati due insiemi A e B, si dice differenza di A e B l'insieme A\ B che contiene sia gli elementi che stanno in A e non in B.
Esempio: A={ 1; 2; 3} B= { 3; 5; 7} A\B= {1;2;3}
Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A e B l'insieme A x B che contiene le coppie ordinate il cui primo elemento sta in A ed il secondo in B.
Esempio: A={ 1; 2; 3} B= { 3; 5; 7} AxB={(1,3);(2,3);(3,3);(2,3);(2,5);(2,7);(3,3);(3,5);(3; 7)} BxA={(3,1);(3,2);(3,3);(5,1);(5,2);(5,3);(7,3);(7,5);(7, 7)}
Tipi di insiemi • INSIEME VUOTO: è un insieme privo di elementi. Tutti gli insiemi vuoti coincidono. Il simbolo dell'insieme vuoto è ∅ (o anche {}). • INSIEME UNIVERSO: l'ambiente di riferimento (è un insieme) da cui trarre gli elementi di un insieme definite. Graficamente l'INSIEME UNIVERSO viene rappresentato con un RETTANGOLO all'interno del quale si pongono gli insiemi. • INSIEME FINITO: è formato da un NUMERO FINITO DI ELEMENTI. • INSIEME INFINITO: è formato da un NUMERO INFINITO DI ELEMENTI. • SOTTOINSIEME: gli elementi di un insieme possono essere a loro volta degli insiemi. è Sottoinsieme solo se ogni elemento di un insieme è contenuto anche nell’altro. • SOTTOINSIEME PROPRIO: se almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B (B è una parte dell'insieme A). OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A, ma non vale il contrario. • SOTTOINSIEME IMPROPRIO: tutti gli elementi di A appartengono anche a B (B coincide con A). Ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso o insieme vuoto.
Proprietà degli insiemi Idempotenza: ogni insieme intersecato o unito a se stesso è l'insieme stesso. A∩A=A e A∪A=A Commutatività: unione e intersezione godono della proprietà commutativa: A∪B=B∪A e A∩B=B∩A Associatività (intersezione): l'intersezione di un insieme A con l'intersezione di altri due insiemi B e C è uguale all'intersezione di C con l'intersezione di A e B: A∩(B∩C)=(A∩B)∩C Associatività (unione): l'unione di un insieme A con l'unione di altri due insiemi B e C è uguale all'unione di C con l'unione di A e B: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C Assorbimento: l'unione di A con l'intersezione tra A e un altro insieme B è uguale ad A. Scritto in simboli: A∪(A∩B)=A. L'intersezione di A con l'unione di A e B è uguale ad A. Scritto in simboli: A∩(A∪B)=A
Esempio generale Chiamiamo A l’insieme delle note musicali 1. Rappresentazione tabulare A= { do; re; mi; fa; sol; la; si} 2. Rappresentazione per caratteristica A= {x|x è una nota musicale} 3. Rappresentazione con diagramma di Eulero Venn .do .sol
.mi .la
.re
.fa .si