Ecuatii exponentiale

ECUAŢII EXPONENŢIALE Prof. Iuliana Traşcă

Prin ecuaţie exponenţială se înţelege o ecuaţie în care necunoscuta x figurează la exponenţi. Se numeşte soluţie a unei ecuaţii exponenţiale de necunoscută x, un număr real x0 cu proprietatea că punând x=x0 în ecuaţie, aceasta se verifică. A rezolva o ecuaţie exponenţială înseamnă a-i determina toate soluţiile. Două ecuaţii exponenţiale se numesc echivalente dacă mulţimile de soluţii coincid. În acest articol am să prezint următoarele tipuri de ecuații

Exemple: Să se rezolve ecuaţiile:

1) 56 x9  5x ; 2

2) 72 x  25x  1225 ;

3) 3

x2

1

4)

3 12



 3 27  81 1 1 ... 23 x x 1

5) 45 x1  7 x2

x2

 27 ;

;

Soluţii:

1)Ecuaţia este echivalentă cu

x2  6 x  9 care are soluţia dublă x=3

2) Ecuaţia este echivalentă cu

352 x  352  2 x  2  x  1 3) Se impune condiţia:

x  2  0  x  [2, ) .

Ecuaţia se transcrie astfel:

x2

3

4)

 3  32

x2

 x  2  1  2 x  2  x  1 [2, )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 x   ...       ...    12 23 x x 1 1 2 2 3 x x 1 x 1

Ecuaţia dată devine:

3

x 2 x 1

 33 

x 6 3 x 2  x  1 5

5) 45 x1  7 x2  45 x 1  4log4 7

 x2

 5 x  1  x log 4 7  log 4 49  x 

log 4 49  1 5  log 4 7

Exemple: Să se rezolve ecuaţiile: 1) 73 x  7 ; 3

2) 3

x1

 15 ;







3) 5 x  25 5 x  625  0 ; 4) 7 x 16

x 1 x

 19208

Soluţii: 1)Cum -7<0 ecuaţia nu are soluţii; 2)Ecuaţia este echivalentă cu x  1  log 3 15  x  log 3

15  x  log 3 5 3

3)Ecuaţia este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiilor: 5x  25  0  x  2 şi 5x  625 care nu are soluţie 4) 7 16 x

x 1 x

 19208 , ecuaţia are soluţii dacă x  0

Se logaritmează, de exemplu, în baza 7 şi se obţine:

x

4  x  1 x





log 7 2  log 7 7 4  23  x 

4  x  1 x

log 7 2  4  3log 7 2

2 de unde se obţine ecuaţia: x  x  log 7 2  4   4 log 7 2  0 , cu soluţiile

x1  4, x 2   log7 2

Exemple: Să se rezolve ecuaţiile: 1) 4x2  72 x3 ; 2) 4x1  5x2  7 ; 3) 23 x  32 x  45 x  54 x Soluţii: 1) Logaritmând în baza 10 avem ecuaţiile echivalente:

lg 4 x  2  lg 7 2 x 3   x  2  lg 4   2 x  3 lg 7  x  lg 4  2 lg 7   2 lg 4  3 lg 7 

1 lg 4 4 4 1 x lg   lg 42  73  x lg  lg1  lg 42  73  x lg  lg  x  5488 4 49 49 49 5488 lg 49 x 1 x2 2) Logaritmând în baza 10 avem ecuaţiile echivalente: lg  4  5   lg 7 









  x  1 lg 4   x  2  lg 5  lg 7  x  lg 4  lg 5   lg 7  lg 4  lg 25 

175 175 4 .  x  lg 20  lg x 4 lg 20 lg

3) Logaritmând în baza 10 avem ecuaţiile echivalente:

3 x lg 2  2 x lg 3  5 x lg 4  4 x lg 5  x  3lg 2  2 lg 3  5lg 4  4 lg 5   0  x  0