PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
CENTRO: IES MONTERROSO (ESTEPONA) Actividad dirigida a estudiantes de 2ยบ ESO - Realizada por: FIDEL CLAVIJO RUIZ
PROPORCIONALIDAD ¿Qué recuerdas sobre proporcionalidad? Aunque la respuesta sea nada, no te preocupes, porque, por una parte, vamos a comenzar casi desde el principio y, por otra parte, aunque tú no lo sepas, seguro que conoces más de lo que crees. De todas maneras, te recordamos que en el curso anterior nos limitamos a reconocer situaciones de proporcionalidad, pero directa. Dos magnitudes se dice que son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas, aumenta también la otra o cuando disminuye una de ellas, también lo hace la otra, pero de la misma manera. Es decir, cuando podemos usar este tipo de expresiones: a a a a
doble……… doble, triple……… triple, la mitad……… la mitad, un tercio…… un tercio.
decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales Dos magnitudes se dice que son inversamente proporcionales si cuando aumenta una de ellas, la otra disminuye o si cuando disminuye una de ellas, la otra aumenta, pero también de la misma manera. Es decir, cuando podemos usar este tipo de expresiones: a a a a
doble……… la mitad, triple……… la tercera parte, la mitad…….. el doble, un tercio…… el triple.
decimos que las dos magnitudes son inversamente proporcionales Se podría resumir en: Proporcionalidad directa: A más, más o a menos, menos. Proporcionalidad inversa: A menos, más o a más, menos. Se define la razón entre dos números como el cociente de dichos números y nos suele indicar el número de veces que es mayor una cantidad que la otra; pero, ¡cuidado!, se escribe siempre en forma de fracción: 12 1
,
2 3 , 1 2
Has de tener en cuenta que cuando se habla de razón entre dos números es para comparar cantidades; es decir, si decimos que en nuestra clase la proporción de chicoschicas es de 3 a 2, significa que puede haber:
Chicas: Chicos:
3 2
6 4
9 6
12 8
18 12
24 16
30 20
Y si comparamos dos razones cualesquiera de esta tabla, siempre son iguales: 3 6 9 30 = = = = ... 2 4 6 20
Al comparar dos razones iguales, estaremos hablando de una proporción. Una proporción es la igualdad entre dos razones. 3 6 = 2 4
3 9 = 2 6
3 30 = 2 20
6 30 = 4 20
Con letras que indican números, una proporción se escribe: a c = b d
En ella, a y d son los extremos y b y c los medios
En las proporciones siempre se cumple una propiedad muy importante; para ello, observa:
3⋅ 4 = 2⋅6
3⋅6 = 2⋅9
3 ⋅ 20 = 2 ⋅ 30
6 ⋅ 20 = 4 ⋅ 30
Este hecho siempre se produce; por eso: En cualquier tipo de proporcionalidad, recuerda que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c = ⇔ a ⋅d = b⋅c b d
A esta igualdad entre fracciones se le llama proporción.
Proporcionalidad directa y Tablas. Regla de tres simple directa Veamos el siguiente ejemplo: Vamos a estudiar la relación existente entre el dinero que gasto en € y la cantidad de entradas de cine que compro. Observa la siguiente tabla: Nº entradas Gasto en €
1 7
2 14
3 21
4 28
5 35
6 42
En este ejemplo las dos magnitudes que se están estudiando son directamente proporcionales. En las magnitudes directamente proporcionales la división entre las dos magnitudes es constante, es decir, siempre la misma. Al resultado de esa división se le llama Razón de proporcionalidad (y nos da el precio de una entrada) 7 14 21 28 35 42 = = = = = = ... = 7 = Razón de proporcionalidad 1 2 3 4 5 6
Los problemas de proporcionalidad directa los podemos resolver por reducción a la unidad o aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: Veamos en qué consiste cada uno de ellos: Si 14 entradas cuestan 98 €, ¿cuánto costarán 10 entradas?
o 98 0
14 7€ / entrada
10 x 7€ = 70€ en total cuestan las 10 entradas
A este procedimiento se le llama reducción a la unidad Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones Nº entradas Gasto en €
14 98
10 x
Como el problema es de proporcionalidad directa, se cumple que:
98 x 98 ⋅ 10 = ⇒ 14 ⋅ x = 98 ⋅ 10 ⇒ x = = 70€ 14 10 14 Las situaciones de proporcionalidad han dado lugar al aprendizaje de recetas conocidas con el nombre de reglas de tres. Se llama problema de regla de tres simple y directa a aquel en el que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales de las que conocemos tres cantidades y queremos hallar el valor de una cuarta. En el ejemplo anterior, el esquema de la regla de tres simple y directa sería el siguiente: N º Entradas 14 10
Gasto €
⎯⎯ → ⎯⎯ →
x 98 98 ⋅ 10 = ⇒ 14 ⋅ x = 98 ⋅ 10 ⇒ x = = 70€ 10 14 14
98 ⎫ ⎬ x⎭
En general:
Magnitud
Magnitud 1 a
⎯⎯ →
: c
.
⎯⎯ →
b⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ x ⎪⎭
2
⇒ x=
b⋅c a
Proporcionalidad inversa y Tablas. Regla de tres simple inversa Veamos el siguiente ejemplo: Vamos a estudiar la relación existente entre el tiempo que tardo en realizar un determinado recorrido y la velocidad a la que circulo. Suponiendo que el recorrido es de 200 Km., observa la siguiente tabla: Velocidad (Km./h) Tiempo (h)
5 40
10 20
20 10
40 5
80 2.5
100 2
En este ejemplo las dos magnitudes que se están estudiando son inversamente proporcionales. En las magnitudes inversamente proporcionales la división entre las dos cantidades (que también se llama razón) no es siempre la misma, pero ocurre algo curioso, su producto si es constante y se denomina constante de proporcionalidad. 40 20 10 5 2.5 2 ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ... sin embargo 5 10 20 40 80 100 40 ⋅ 5 = 20 ⋅ 10 = 10 ⋅ 20 = 5 ⋅ 40 = 2.5 ⋅ 80 = 2 ⋅ 100 = ... = 200
Los problemas de proporcionalidad inversa se pueden resolver también por reducción a la unidad (algo más complicado) o aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. En este caso solamente veremos cómo se resuelve aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: Si circulando a 20 Km/h tardo en hacer el recorrido 10 horas, ¿cuánto tardaré si circulo a 15 Km/h? Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones Velocidad (Km./h) Tiempo (h)
20 10
15 x
Como el problema es de proporcionalidad inversa, se cumple que:
20 ⋅ 10 = 15 ⋅ x ⇒ x =
20 ⋅ 10 33 h = 13.o 15
Se llama problema de regla de tres simple e inversa a aquel en el que intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales de las que conocemos tres cantidades y queremos hallar el valor de una cuarta. En el ejemplo anterior, el esquema de la regla de tres simple e inversa sería el siguiente: Velocidad 20 15
Tiempo ⎯⎯ → ⎯⎯ →
10 ⎫ ⎬ x⎭
⇒ 15 ⋅ x = 20 ⋅ 10 ⇒ x =
20 ⋅ 10 33 h = 13.o 15
En general:
Magnitud 1 a
Magnitud
⎯⎯ →
.
: c
⎯⎯ →
2
b⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ x ⎪⎭
⇒ a⋅b = c⋅ x ⇒ x =
a⋅b c
RECURSOS: • • •
PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD DIRECTA, INVERSA y PORCENTAJES
ACTIVIDADES: (25.1)
En unas latas de refresco hay premio. El fabricante ha introducido 150 premios en 3.000 latas para la promoción. Como ha habido un gran aumento en las ventas, decide prolongar la oferta y saca al mercado 15.000 latas. ¿Cuántos premios deberá comprar para meter en las latas?
(25.2)
En un pueblecito de 250 habitantes el consumo de agua es de 750 m 3 por mes. Si la población en verano aumenta hasta las 3.000 personas, ¿qué cantidad de agua se consumirá aproximadamente entre los meses de julio y agosto?
(25.3)
En una comunidad muy solidaria, se juntan todos los miembros cuando hay que construir un edificio para alguno de ellos. La última vez, para construir un granero se juntaron 50 personas y tardaron 6 días. En esta ocasión han logrado reunirse 100 personas, ¿cuántos días tardarán? Lamentablemente no se pueden quedar más que 75. ¿Cuánto tardarán ahora?
(25.4)
Una máquina embotelladora ha llenado 45 botellas en 5 minutos. ¿Cuántas botellas podrá llenar en una hora? ¿Cuánto tardará en llenar 180 botellas?
(25.5)
Un granjero necesita diariamente 45 litros de agua y 105 Kg. de forraje para alimentar a sus 30 vacas. ¿Qué cantidad de agua y de forraje necesitará la semana que viene si va a vender 10 vacas?
(25.6)
Una empresa debe entregar un pedido dentro de 15 días y para ello, debe fabricar 2.000 pares de zapatos diariamente. Una maquina se avería el primer día y se para la producción durante tres días. ¿Cuántos pares deberán fabricar diariamente para poder entregar el pedido a tiempo?
(25.7)
Busca el término que falta en las siguientes proporciones:
( A)
3 9 = 5 a
(B )
4 b = 7 21
(C )
c 20 = 15 75
(D )
17 68 = x 372
(E )
24 a = a 54
(F )
13 39 = y 57
(G )
15 21 = 20 x
(H )
9 y = y 25