Física 1A: mecânica do ponto material by Filipe Motta

FÍSICA 1A MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

José Alexandre Nogueira

Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do Espírito Santo

Física Licenciatura

objetivo principal desta disciplina é aplicar os conceitos de Mecânica discutidos nas disciplinas de Introdução às Ciências Físicas I e II. Tendo em vista esse objetivo, breve exposição sobre os assuntos seguida de exemplos com soluções detalhadas são apresentados. Ainda, faz parte do objetivo desta disciplina a apresentação e discussão dos principais conceitos envolvidos no estudo da rotação de uma partícula simples em torno de um eixo fixo.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Núcleo de Educação Aberta e a Distância

FÍSICA 1A MECÂNICA DO PONTO MATERIAL José Alexandre Nogueira

Vitória 2012

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Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil) Nogueira, José Alexandre. N778f Física 1A : mecânica do ponto material / José Alexandre Nogueira. - Vitória : UFES, Núcleo de Educação Aberta e a Distância, 2012. 108 p. : il. ; 28 cm Inclui bibliografia. ISBN: 978-85-8087-100-5 1. Física. 2. Mecânica. I. Título. CDU: 53:531

Copyright © 2012. Todos os direitos desta edição estão reservados ao ne@ad. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Física, na modalidade a distância. A reprodução de imagens de obras em (nesta) obra tem o caráter pedagógico e cientifico, amparado pelos limites do direito de autor no art. 46 da Lei no. 9610/1998, entre elas as previstas no inciso III (a citação em livros, jornais, revistas ou qualquer outro meio de comunicação, de passagens de qualquer obra, para fins de estudo, crítica ou polêmica, na medida justificada para o fim a atingir, indicando-se o nome do autor e a origem da obra), sendo toda reprodução realizada com amparo legal do regime geral de direito de autor no Brasil.

Nota do autor Em muitos exemplos procuramos ser extremamente detalhistas e rigorosos, diríamos, de forma coloquial, “usamos um canhão para matar uma formiga”. É claro que na resolução dos exercícios todo este detalhamento não é necessário. Optamos por assim fazê-lo a fim de que fiquem claros alguns resultados que são muito pouco descritos na literatura.

SUMÁRIO

Capítulo 1 - Cinemática 1. Cinemática escalar

1.1. Movimento uniforme

1.2. Movimento uniformemente variado

1.3. Movimento vertical no vácuo

2. Cinemática vetorial

2.1. Movimento relativo

2.2. Movimento de projétil

3. Cinemática angular

Capítulo 2 - Força 1. 2. 3. 4.

Leis de Newton Forças de atrito Força elástica Movimento circular

41 64 73 74

Capítulo 3 – Trabalho e Energia 1. Trabalho

2. Energia

Capítulo 4 – Rotação de uma partícula simples 1. Movimento de rotação em torno de um eixo fixo 2. Momento angular 3. Torque

91 91 93

Capítulo 5 – Gravitação 1. Leis de Kepler 2. Lei da gravitação universal 3. Campo e energia gravitacional

95 97 100

MECÂNICA A Mecânica é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos, suas causas e seus efeitos. Podemos dizer que a Mecânica é dividida em três partes: a Cinemática que estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas ou seus efeitos, a Dinâmica que estuda as causas que produzem e modificam os movimentos dos corpos e seus efeitos, e a Estática que estuda o equilíbrio dos corpos.

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA

1. Cinemática Escalar Na cinemática escalar o caminho que pode ser percorrido pelo corpo é previamente conhecido. É como o movimento de um trem que somente pode ocorrer naqueles trilhos, ou de um automóvel que somente pode trafegar em uma determinada estrada. Para localizarmos a partícula na trajetória previamente conhecida precisamos inicialmente escolher um ponto de referência na trajetória, e então fornecer a distância da partícula ao ponto. Entretanto, isso não localizaria unicamente a partícula, pois ela poderia estar àquela distância do ponto de referência em um sentido ou outro do ponto de referência na trajetória. Podemos contornar esse problema escolhendo um sentido positivo para trajetória e outro negativo. Assim, podemos diferenciar os dois pontos anteriores por um valor positivo e outro negativo. A essa grandeza escalar que localiza a partícula na cinemática escalar chamamos de espaço, e representamos por s. O ponto de referência é chamado origem dos espaços. Como exemplo, o marco zero de uma estrada pode ser considerado como a origem dos espaços, e da mesma forma como falamos em quilômetro 10 sul ou 10 norte, falamos em espaço 10 km e -10 km (considerando o sentido norte-sul positivo), respectivamente. Definimos a variação de espaço ∆s como

∆s := s final − sinicial .

(1.1)

A velocidade escalar média, no intervalo de tempo ∆t = t f − ti , é definida como

vm :=

∆s s f − si , = ∆t t f − ti

(1.2)

ttii −−os ttff espaços ocupados pela partícula nos instantes ssi i−−ssf f −−titi−e−t tf f , respectionde ssii −e−ssff −−são vamente.

Exemplo 1.1 Um automóvel parte de Vitória às 8 h e chega no Rio de Janeiro às 14 h. Sabendo que a distância percorrida pelo automóvel foi de 480 km, determine sua velocidade escalar média. Solução:

vm =

480 480 = = 80, 14 − 8 6



FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

vm = 80km / h

A velocidade escalar instantânea, ou somente velocidade escalar, mede como varia o espaço com o tempo e é definida como

v := lim ∆t →0

∆s ds = . ∆t dt

(1.3)

Os velocímetros dos carros medem o valor absoluto da velocidade escalar instantânea. Quando um corpo se desloca no sentido positivo da trajetória sua velocidade escalar é positiva e seu movimento é denominado progressivo. Se o corpo se desloca no sentido negativo da trajetória sua velocidade escalar é negativa e seu movimento é denominado retrógado. v > 0  Progressivo. v < 0  Retrógrado. A aceleração escalar média é definida como

am :=

∆v v f − vi = , ∆t t f − ti

(1.4)

tii −ast ffvelocidades escalares (instantâneas) da partícula nos instantes onde vii − e v ff − são vi − v f − ti −e t f vi − v f − ti − t f , respectivamente. A aceleração escalar instantânea, ou somente aceleração escalar, mede como varia a velocidade escalar com o tempo e é definida como a := lim ∆t →0

∆v dv = . ∆t dt

(1.5)

Quando o valor absoluto da velocidade escalar aumenta denominamos o movimento de acelerado e quando diminui de retardado. No movimento retardado o corpo está sendo freado. Assim, se o movimento é progressivo e a aceleração escalar (instantânea) é positiva o movimento também será acelerado e se a aceleração escalar for negativa será retardado. Agora, se o movimento é retrógado e a aceleração escalar é positiva o movimento também será retardado e se a aceleração escalar for negativa será acelerado. Portanto, quando a velocidade e a aceleração têm sinais iguais o movimento é acelerado e quando têm sinais opostos é retardado. v > 0 e a > 0  Progressivo e acelerado. v > 0 e a < 0  Progressivo e retardado. v < 0 e a > 0  Retrógrado e retardado. v < 0 e a < 0  Retrógrado e acelerado.

CAPÍTULO 1 | CINEMÁTICA ESCALAR

d) A distância é o espaço percorrido e, portanto o espaço (a origem está no semáforo) da motocicleta ou do carro no instante do encontro.

d = sM (t = 15) = 15 × 15, 

d = 225m.

vc = 2 ×15 

vc = 30m/s ou vc = 30 × 3, 6 = 108km/h

Muitas vezes é interessante eliminarmos o parâmetro tempo e encontrarmos uma equação independente do tempo. Esta equação independente do tempo é chamada de Equação de Torricelli. Para determinarmos a equação de Torricelli devemos substituir a equação (1.7) na equação (1.8), 2

 v − v0  1  v − v0  s = s0 + v0   + a  ,  a  2  a  v 2 − v02 ∆s = , 2a v 2 = v02 + 2a∆s.

(1.9)

Equação de Torricelli

v 2 = v02 + 2a∆s.

Exemplo 1.8 Um carro passou pelo marco 103 m de uma estrada com velocidade escalar de 20 m/s e dirigiu-se para ao marco 28 m da estrada freando a 2 m/s2. Calcule a velocidade escalar com que o carro passa pelo marco 28 m. Solução: Como o carro se move no sentido negativo da trajetória (velocidade negativa) e está freando, sua aceleração deve ser positiva. Assim,

FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

v 2 = 202 + 2 × 2 × ( 28 − 103) , v 2 = 400 − 300 = 100, v = 100 = ±100. 

v = −100 m/s.

Da função horária do M.U.V., equação (1.8), temos que seu gráfico é o de uma parábola com concavidade para cima quando a aceleração escalar é positiva (a > 0) e com concavidade para baixo quando a aceleração escalar é negativa (a < 0).

s s0

s s′

t′

s′

a>0

t′

a<0 Figura 1.4

a>0

a<0

Os pontos nos quais a parábola cruza a abscissa representam os instantes t(1t1 e t2t)2 nos quais o móvel passa pela origem dos espaços. No instante t’ e espaço s’ (vértice da parábola) o móvel inverte o sentido de seu movimento e sua velocidade é nula. Da função horária da velocidade do M.U.V., equação (1.7), temos que seu gráfico é o de uma função linear.

Movimento progressivo

Movimento retrógrado Figura 1.5 dv

Como a aceleração escalar é a derivada dt , a aceleração escalar é numericamente igual ao coeficiente angular (tangente) da curva do gráfico de v × t. CAPÍTULO 1 | CINEMÁTICA ESCALAR

r T

r T′

r Pm

r PT

Agora o macaco apenas segura a corda, e como sua massa é menor que a do tronco, o macaco sobe com a mesma aceleração com que o tronco desce. As equações de movimento, então, ficam

ma′ = t − mg ,

(5)

Ma′ = Mg − T ,

(6)



a′ =

( M − m) g , ( M + m)

(7)



2nm g. ( M + m)

(8)

2. Forças de atrito Quando existe a tendência ou o movimento relativo (deslizamento) entre as superfícies de dois corpos, cada um dos corpos exerce sobre o outro uma força tangente à superfície de contato, que se opõe à tendência ou ao deslizamento. Essas forças são denominadas forças de atrito. Força de atrito estático ocorre quando não há movimento relativo entre as superfícies, isto é, a força exercida para o deslizamento não é suficiente para vencer o atrito. O módulo da força de atrito estático vai desde zero até um valor máximo, denominado força de atrito estático máxima. Quando a força exercida para o deslizamento atinge o valor da força de atrito estático máxima, as superfícies estão na eminência

FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

do movimento relativo. Após iniciar o movimento relativo entre as superfícies age a denominada força de atrito cinético ou dinâmico.

f estático máxima = µe N .

(2.3)

f dinâmico = µd N .

(2.4)

Exemplo 2.14 Considere um automóvel com tração dianteira (nas rodas da frente). Supondo que não haja derrapagem (as rodas giram sem deslizar), represente as forças de atrito que agem nas rodas traseiras e dianteiras. Solução: Uma vez que as rodas giram sem deslizar, não há movimento relativo entre o ponto da superfície das rodas que toca o solo e o solo naquele instante, portanto o atrito é estático. A tração nas rodas dianteiras as obriga girar e tende a fazer com que o ponto da superfície das rodas em contato com o solo empurre o solo para trás. O solo reage empurrando as rodas dianteiras para frente. Portanto, a força de atrito estático nas rodas com tração é no sentido de movimento do carro. É essa força que impulsiona o carro para frente. Já nas rodas traseiras sem tração, o ponto da superfície dessas rodas em contato com o solo tende empurrar o solo para frente, pois elas são puxadas para frente. O solo reage empurrando o ponto da superfície para trás. Assim, nas rodas sem tração, a força de atrito estático é no sentido oposto ao movimento do carro. É essa força que faz as rodas sem tração girarem. Sentido de movimento do carro

Roda sem tração

Roda com tração

Exemplo 2.15 Um bloco de massa m = 5,0 kg é abandonado, em repouso, sobre um plano inclinado. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o bloco e a superfície do plano inclinado são µe =

3 ≈ 0,57 e µd = 0,50 , respectivamente. 3 CAPÍTULO 2 | FORÇA

seu eixo quando atinge uma velocidade mínima o assoalho é retirado, mas as pessoas não caem, pois ficam como “grudadas” à parede. Considerando o raio do cilindro R e f atrito ≤ mínimo f máxima = µe Nentre . a parede e as pessoas, calcule a veloo coeficiente de atrito estático cidade angular mínima de rotação do cilindro para que as pessoas não escorreguem. Solução:

f atrito estático

ω N P

Aplicando a Segunda Lei de Newton na pessoa na direção radial

mRω 2 = N ,

(1)

f atrito = mg .

(2)

e na direção vertical

A condição para que a pessoa não escorregue é

f atrito ≤ f máxima = µe N .

(3)

Usando as equações (1) e (2) na equação (3) temos

mg ≤ µe mRω 2 ,

ω≥



FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

ωmín =

g , µe R g . µe R

(4)

CAPÍTULO 3

TRABALHO E ENERGIA

CAPÍTULO 1 | CINEMÁTICA ESCALAR

kx 2 − 2mg sin θ x − 2mgd = 0 . x=

1  2mg sin θ ± 2 2k 

( mg sin θ )

+ 2mgkd sin θ  . 

Descartando a solução negativa, não física (note que o termo da raiz quadrada é sempre maior que o primeiro termo), obtemos



mg sin θ +

( mg sin θ )

+ 2mgkd sin θ

b) Segunda Lei de Newton aplicada ao bloco enquanto comprime a mola,

ma = kx − mg sin θ . A velocidade do bloco para de aumentar quando sua aceleração for nula, assim 

x′ =

mg sin θ . k

Exemplo 3.4 Um garoto está sentado no topo de um hemisfério de gelo de raio R. Ele recebe um pequeno empurrão e começa a escorregar para baixo. Determine a que altura se encontra o ponto no qual o garoto perde contato com o gelo.

 N

 P

Solução: Aplicando a Segunda Lei de Newton no garoto na direção radial,

−m

v2 = N − mg sin θ . R

(1)

1 2 mv + mgh . 2

(2)

Da conservação de energia temos

mgR =

FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

Substituindo a equação (2) na equação (1) obtemos

2mg

h − 2mg = N − mg sin θ , R

mg ( 2h − 2 R + R sin θ ) , R

mg ( 2h − 2 R + h ) , R

mg ( 3h − 2 R ) . R

O garoto perde o contato quando N=0, então 

h′ =

2 R. 3

CAPÍTULO 3 | TRABALHO E ENERGIA

CAPÍTULO 4

ROTAÇÃO DE UMA PARTÍCULA SIMPLES

FÍSICA 1A | MECÂNICA DO PONTO MATERIAL

1. Movimento de rotação em torno de um eixo fixo Como movimento de rotação de uma partícula em torno de um eixo entendemos o movimento da partícula que tende a circular esse eixo. Portanto, no movimento de rotação, a distância da partícula ao eixo tende a permanecer constante. É claro que uma partícula estar ou não realizando um movimento de rotação em torno de um eixo depende do eixo escolhido. A figura 4.1a mostra uma partícula em movimento retilíneo. Para qualquer eixo perpendicular ao plano da figura que passe pela reta sobre a qual se move a partícula, como exemplo o eixo passando por O', o movimento de rotação da partícula em torno desse eixo é nulo, pois a partícula tende apenas a se aproximar ou se afastar do eixo, figura 4.1b. Entretanto, se o eixo escolhido não passar sobre a reta, como por exemplo o eixo passando por O, existe uma componente da quantidade de movimento da partícula que tende a fazer a partícula girar em torno desse eixo, como pode ser visto na figura 4.1c.

 v

O′

 v

 v O

Figura 4.1a

Figura 4.1b

Figura 4.1c

Quando uma partícula realiza rotação em torno de um eixo fixo e seu movimento ocorre em um plano tal que o eixo de rotação é normal a esse plano. Esse plano é chamado plano de rotação.

2. Momento angular De formar similar à quantidade de movimento, vamos definir uma grandeza que diga a quantidade de movimento de rotação que tem uma partícula, que vamos chamar de momento angular. O momento angular deve ser um vetor que indique o plano onde ocorre o movimento de rotação. Assim, definimos o momento angular como um vetor paralelo à normal ao plano de rotação. Convencionamos seu sentido pela “regra da mão direita”: apontando os dedos da mão direita no sentido de rotação da partícula, o sentido do momento angular é dado pelo do polegar (da mão direita). No exemplo CAPÍTULO 4 | ROTAÇÃO DE UMA PARTÍCULA SIMPLES

BIBLIOGRAFIA

D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane; FÍSICA 1, 4a Ed., LTC Editora, Rio de Janeiro (1996). P. A. Tipler; FÍSICA, volume 1, 4a Ed., LTC Editora, Rio de Janeiro (2000). H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, volume 1, 3a Ed., Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo (1981). H. D. Young e R. A. Freedman; FÍSICA I, 10a Ed., Pearson Education do Brasil Ltda, São Paulo (2003). C. S. Calçada e J. L. Sampaio; FÍSICA Clássica, volumes Cinemática e Dinâmica, Atual Editora, São Paulo (1998). F. Ramalho Jr., N. G. Ferraro e P. A. de Toledo Soares; Os Fundamentos da FÍSICA 1, 9a Ed. Moderna, São Paulo (2007). A. Gaspar; FÍSICA 1, Editora Ática, São Paulo (2002). R. Brito Bastos Neto; FUNDAMENTOS DA MECÂNICA, volumes 1 e 2, 2a Ed, Editora Vestseller, Fortaleza (2010).

ISBN 978-85-8087-100-5

9 788580 871005