Appunti Fisica I (F. Falciglia)

Page 1

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE Cinematica e Dinamica In Cinematica si studia il moto di un corpo dal un punto di vista spazio-temporale adoperando le grandezze fisiche tempo, posizione, velocità ed accelerazione. La Dinamica cerca invece di indagare le cause dei moti ovvero si studia il moto di un corpo tenendo conto della presenza degli altri corpi con cui può interagire, mettendo in correlazione l’accelerazione con grandezze fisiche quali la massa e la forza. La Dinamica è quella parte della Fisica che si occupa di trovare e studiare le relazioni tra le grandezze che descrivono il moto di un corpo (grandezze cinematiche) e le sue interazioni (forze) con tutto il resto dell’Universo. Se consideriamo un corpo le cui parti si muovono allo stesso modo cosicché possa essere schematizzato come una particella puntiforme, ha poca importanza conoscere in quale punto agisce l’ambiente esterno, lo scopo sarà quello di determinare l’effetto complessivo dell’ambiente. Per eseguire questi studi è essenziale dapprima introdurre il concetto di forza F, che sostanzialmente rappresenta il mezzo per collegate il moto dei corpi all’influenza dell’ambiente esterno.

Concetto di Forza e Prima Legge di Newton Supponiamo di sistemare un certo oggetto su un piano orizzontale. Se lo facciamo scivolare con una spinta, osserviamo che esso rallenta e quindi si ferma. Questo comportamento era usato per dimostrare che la mancanza di forza agente costringe il corpo a fermarsi. Galileo contestò questa affermazione ripetendo l’esperimento più volte utilizzando superfici più levigate e/o lubrificate ed osservando che il percorso effettivo aumentava al diminuire dell’attrito fra le superfici a contatto. Poté quindi affermare che, se fosse stato possibile eliminare l’attrito, il corpo avrebbe continuato a muoversi indefinitamente con velocità costante. Una forza esterna è necessaria a mettere in moto un corpo, ma, una volta in moto, non sono necessarie forze per farlo procedere con velocità costante. La forza quindi non è correlata al moto di un corpo ma ad una variazione del moto stesso. Anche se apparentemente sulla terra i corpi sono sempre soggetti a forze (forza di gravità), per sperimentare l’assenza di forze non è necessario portarsi nello spazio vuoto. Infatti per quanto concerne i moti traslatori non c’è differenza fra il moto di un corpo non soggetto a forze e quello di un corpo soggetto a più forze di risultante nulla. Riassumendo quanto detto fin’ora si può enunciare la Prima Legge di Newton: Un corpo in moto rettilineo con velocità costante (o in quiete) persevera nel suo stato di moto (o quiete) finché su di esso non agiscono agenti esterni. La Prima Legge di Newton in realtà non è altro che una proprietà di determinati sistemi di riferimento. L’accelerazione di un corpo dipende infatti dal sistema di riferimento rispetto al quale viene misurata e le leggi della meccanica classica valgono solo in sistemi ben determinati nei quali gli osservatori misurano lo stesso valore dell’accelerazione.

Se la risultante di tutte le forze agenti su un corpo è nulla, allora è possibile trovare un insieme di sistemi di riferimento nei quali anche l’accelerazione del corpo è nulla.

Forze e Massa Il concetto di forza, che nel linguaggio quotidiano indica qualcosa che tira o spinge, può facilmente essere introdotto in modo operativo collegandolo all’accelerazione che una forza produce su un determinato corpo. Consideriamo il kilogrammo campione su un piano orizzontale privo di attrito e agganciato ad una molla. Tiriamo la parte libera della molla fino a misurare un valore del’accelerazione pari a 1 đ?‘š/đ?‘ 2 : diremo allora che, per definizione, la molla applica al kilogrammo campione una forza di 1 đ?‘ . Attribuito alla forza un modulo si osserva anche che essa ha sempre la direzione dell’accelerazione che produce e inoltre, sperimentalmente, si può verificare che le forze obbediscono a tutte le leggi dell’addizione vettoriale. Dunque le forze sono vettori. PoichĂŠ il corpo campione è stato scelto arbitrariamente, possiamo concludere che l’accelerazione prodotta dovrĂ essere proporzionale alla forza applicata. Inoltre la stessa forza applicata a corpi diversi produce accelerazioni diverse. Sperimentalmente si trova quindi che l’accelerazione prodotta da una forza è inversamente proporzionale alla massa accelerata. La massa di un corpo fornisce quindi una misura della resistenza che il corpo oppone alla variazione della sua velocitĂ . Queste considerazioni ci forniscono un metodo per confrontare masse di corpi diversi in base alle accelerazioni prodotte da una stessa forza. Il rapporto fra le masse dei due corpi è uguale all’inverso del rapporto fra le accelerazioni prodotte da una stessa forza.

Seconda Legge di Newton

đ?’Žđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?’Žđ?&#x;Ž đ?’‚đ?&#x;?

Riassumendo i risultati sperimentali e le definizioni precedenti mediante una relazione, si ottiene l’equazione fondamentale della meccanica classica: đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ďż˝đ?‘­ đ?’Š=đ?&#x;?

dove ∑ đ??šâƒ— rappresenta il vettore somma di tutte le forze agenti sul corpo, đ?‘š è la sua massa e đ?‘Žâƒ— l’accelerazione prodotta. Se la scriviamo nella forma đ?‘Žâƒ— = (∑ đ??šâƒ— )/đ?‘š vediamo facilmente che l’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla risultante delle forze su di esso applicate ed inversamente proporzionale alla massa del corpo. Inoltre la Prima Legge è contenuta nella Seconda come caso particolare infatti se ∑ đ??šâƒ— = 0 anche đ?‘Žâƒ— = 0 e quindi il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.

L’equazione vettoriale della Seconda Legge di Newton può inoltre essere scritta in modo equivalente in tre equazioni scalari đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝ đ?‘­đ?’™ = đ?’Žđ?’‚đ?’™ ďż˝ đ?‘­đ?’š = đ?’Žđ?’‚đ?’š ďż˝ đ?‘­đ?’› = đ?’Žđ?’‚đ?’›

che legano le componenti scalari lungo gli assi ��� della forza risultante alle tre componenti dell’accelerazione e alla massa �. N.B.

đ?‘­đ?’™

ďż˝âƒ— nella direzione đ?’™ ďż˝ è la componente scalare di đ?‘­

ďż˝ è il componente vettore di ďż˝đ?‘­âƒ— nella direzione đ?’™ ďż˝ đ?‘­đ?’™ đ?’™

ďż˝âƒ—: (o momento lineare) è la grandezza vettoriale che misura la capacitĂ di un corpo di QuantitĂ di moto đ?’’ modificare il movimento di altri corpi con cui interagisce dinamicamente. Si definisce come il prodotto tra la massa e la velocitĂ di un dato corpo: ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’— ďż˝âƒ— đ?’’

Attraverso questa definizione si può riscrivere la Seconda Legge di Newton in modo piĂš generico đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?‘­ ďż˝âƒ— = ďż˝đ?‘­ đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ— đ?’…đ?’’ đ?’…đ?’•

Formulazione che contiene come caso particolare (quando la massa è costante) quella precedente ďż˝đ?’Ž = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• â&#x;ş

ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— đ?’…đ?’Ž đ?’…đ?’’ đ?’… đ?’…đ?’Ž đ?’…đ?’— (đ?’Žđ?’— ďż˝âƒ—) = ďż˝âƒ— + đ?’Ž ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— = đ?&#x;Žďż˝ = đ?’— = đ?&#x;Ž + đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•

Terza Legge di Newton Le forze agenti su un dato corpo in generale sono applicate da uno dei corpi che costituiscono il suo ambiente. Ogni singola forza rappresenta parte dell’interazione fra 2 corpi. L’esperienza dimostra che, quando un corpo esercita una forza su un altro, questo a sua volta esercita una forza sul primo. Queste forze sono uguali in modulo e direzione ed hanno verso opposto. Una singola forza isolata è quindi impossibile. La piĂš recente formulazione della Terza Legge di Newton afferma che: Ogni qual volta due corpi interagiscono, la forza ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;?đ?&#x;? che il corpo 2 esercita sul corpo 1 è uguale all’opposto della forza ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;?đ?&#x;? che il corpo 1 esercita sul corpo 2. ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?&#x;? = −đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?&#x;? đ?‘­

SISTEMI DI RIFERIMENTO Sistemi di Riferimento Consideriamo un punto materiale đ?‘ƒ che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di coordinate in quiete uno rispetto all’altro. -

L’osservatore posto in đ?‘‚đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ descrive il moto per mezzo di đ?‘&#x;⃗ đ?‘Łâƒ— đ?‘Žâƒ—. L’osservatore posto in đ?‘‚′đ?‘Ľâ€˛đ?‘Śâ€˛đ?‘§â€˛ descrive il moto per mezzo di đ?‘&#x;âƒ—â€˛ đ?‘Łâƒ—′ đ?‘Žâƒ—′. ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž + đ?’“ ďż˝âƒ— = ďż˝đ?‘š ďż˝âƒ—â€˛ đ?’“ ďż˝âƒ—â€˛ ďż˝âƒ— = đ?’— đ?’—

ďż˝âƒ— = đ?’‚ ďż˝âƒ—â€˛ đ?’‚

I due osservatori misurano per il punto materiale đ?‘ƒ posizioni diverse, ma velocitĂ ed accelerazioni di egual valore. Si definisce sistema di riferimento l’insieme di tutti i sistemi di coordinate in quiete rispetto ad un dato sistema di coordinate.

Trasformazioni Galileiane e Invarianza Galileiana Consideriamo un punto materiale đ?‘ƒ che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di ďż˝âƒ—0 (velocitĂ di trascinamento). coordinate in movimento uno rispetto all’altro a velocitĂ costante V Le Leggi di Trasformazione Galileiane sono le seguenti:

��⃗đ?&#x;Ž + đ?‘˝ ��⃗đ?&#x;Ž đ?’• + đ?’“ ďż˝âƒ— = đ?‘š ďż˝âƒ—â€˛ đ?’“ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž ďż˝âƒ— = đ?’— ďż˝âƒ—â€˛+ đ?‘˝ đ?’— ďż˝âƒ— = đ?’‚ ďż˝âƒ—â€˛ đ?’‚

I due osservatori misurano per il punto materiale đ?‘ƒ posizioni e velocitĂ diverse, ma velocitĂ ed accelerazioni di egual valore. Il Principio di Invarianza Galileiana afferma che:

Le leggi fondamentali della fisica sono identiche in tutti i sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Da cui, ricordando le Trasformazioni Galileiane, segue che: Le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in due sistemi di riferimento collegati da una trasformazione galileiana.

Sistemi di Riferimento Inerziali La tendenza di un corpo a rimanere o a proseguire di moto rettilineo uniforme è chiamata inerzia per cui la Prima Legge di Newton è anche detta legge d’inerzia e i sistemi di riferimento in cui è valida sono detti inerziali. Cercando di porre un corpo fermo (o in moto rettilineo uniforme) in un sistema di riferimento, è possibile verificare se esso è inerziale o meno. Se il non corpo rimane fermo (o varia la sua velocitĂ in modulo o direzione) allora esso non è inerziale. Una volta determinato un sistema di riferimento inerziale, qualsiasi sistema in moto rettilineo uniforme rispetto al primo è anch’esso inerziale. Notiamo che, secondo la Prima Legge di Newton, non esiste differenza fra un corpo fermo ed uno moto rettilineo uniforme. Infatti se si osserva un corpo fermo in un sistema inerziale da un altro sistema inerziale che si muove con velocitĂ costante rispetto al primo, un l’osservatore solidale col primo sistema vede il corpo fermo mentre un osservatore solidale col secondo lo vede muoversi con velocitĂ costante. Entrambi gli osservatori sono però d’accordo sul fatto che l’accelerazione subita dal corpo è nulla e che quindi la risultante delle forze applicate ad esso è uguale a zero. Entrambi i casi sono considerati “naturaliâ€?. Dall’Invarianza Galileiana e dalle Trasformazioni Galileiane segue che: Tutti i sistemi di riferimento che si muovono a velocitĂ costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale sono anch’essi sistemi di riferimento inerziali. Esiste quindi una classe di sistemi di riferimento inerziali: Tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocitĂ costante rispetto al sistema di riferimento delle stelle fisse sono inerziali.

Sistemi di Riferimento non Inerziali La scelta del sistema di riferimento è sempre compito dell’osservatore. Possiamo decidere di applicare la meccanica classica dal punto di vista di un osservatore posto in un sistema di riferimento non inerziale, ovvero solidale con un corpo accelerato rispetto a quello inerziale. Per applicare le leggi della dinamica classica in un sistema non inerziale è necessario però introdurre le forze fittizie. Queste forze non possono essere causate dall’ambiente infatti esse spariscono se esaminiamo il problema in un sistema inerziale. Le forze fittizie non sono altro che un meccanismo per analizzare eventi quando insistiamo nel volerli interpretare in un sistema non inerziale. Consideriamo un punto materiale đ?‘ƒ che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di coordinate in movimento uno rispetto all’altro a accelerazione costante aďż˝âƒ—0 (accelerazione di trascinamento). Supponiamo il sistema di riferimento đ?‘‚đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ inerziale e il sistema đ?‘‚′đ?‘Ľâ€˛đ?‘Śâ€˛đ?‘§â€˛ accelerato e ovviamente non inerziale. Le leggi di trasformazione sono: đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž + ďż˝đ?‘˝âƒ—đ?&#x;Ž đ?’• + ďż˝đ?’‚⃗đ?’•đ?&#x;? + đ?’“ ďż˝âƒ— = ďż˝đ?‘š ďż˝âƒ—â€˛ đ?’“ đ?&#x;? ��⃗đ?&#x;Ž ďż˝âƒ— = đ?’— ďż˝âƒ—â€˛+đ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž đ?’•+ đ?‘˝ đ?’— ďż˝âƒ— = đ?’‚ ďż˝âƒ—â€˛ + đ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž đ?’‚

I due osservatori misurano per il punto materiale đ?‘ƒ posizioni, velocitĂ e accelerazioni diverse. Sostituendo l’espressione dell’accelerazione nella Legge di Newton: đ?’?

đ?‘š

đ?’?

đ?‘š

ďż˝âƒ— = đ?’Ž(đ?’‚ ďż˝âƒ— + đ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž ) = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— + đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž ⇒ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’Š − đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ—â€˛ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’Š = đ?’Žđ?’‚ đ?’Š=đ?&#x;?

′

′

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘­ = −đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž

đ?’Š=đ?&#x;?

Si ottiene la Seconda Legge di Newton nei sistemi non inerziali: đ?’?

đ?‘š

ďż˝âƒ—đ?’Š + đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘­ = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ′ ďż˝đ?‘­ đ?’Š=đ?&#x;?

Sistema solidale con la terra: Peso e Massa Il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitata dalla terra sul corpo stesso. La direzione di questo vettore è la stessa della forza gravitazionale e quindi verso il centro della terra. Immaginiamo di prendere un corpo di massa đ?‘š e di lasciarlo libero di muoversi sotto l’azione della forza di gravitĂ . Ignorando gli attriti dell’aria, sul corpo agisce una sola forza: il suo peso đ?‘ƒďż˝âƒ— per cui subisce l’accelerazione di gravitĂ đ?‘”⃗.

��⃗ = đ?’Žđ?’ˆ ��⃗ đ?‘ˇ

A causa della rotazione terrestre attorno al proprio asse, la Terra non può essere considerata un sistema di riferimento inerziale. L’accelerazione in caduta libera misurati in questo sistema di riferimento non inerziale ha almeno due componenti: una dovuta all’attrazione gravitazionale e l’altra alla rotazione. Essendo che l’accelerazione calcolata all’equatore si differenzia dall’accelerazione calcolata al polo (dove non esiste la componente centripeta) di uno 0,3%, per piccoli tratti tale contributo sarĂ trascurato.

LAVORO ED ENERGIA Lavoro Consideriamo una forza costante đ??šâƒ— agente su una particella e supponiamo che il moto avvenga nella direzione della forza. Si definisce lavoro đ?‘ł fatto dalla forza sulla particella il prodotto scalare del modulo đ?‘­ della forza per il modulo đ?’” dello spostamento prodotto. ďż˝âƒ— đ?’…đ?‘ł = ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’”

Consideriamo una massa đ?‘š che si sposta dal punto A al punto B lungo un percorso đ?›ž sotto l’azione di una forza đ??šâƒ— = đ??šâƒ— (đ?‘&#x;⃗). Il lavoro đ??żđ??´đ??ľ compiuto dalla forza agente đ??šâƒ— lungo il percorso đ?›ž si calcola integrando il lavoro infinitesimo đ?‘‘đ??ż da A a B lungo đ?›ž. đ?‘Š

đ?‘Š

ďż˝âƒ— đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š = ďż˝ đ?’…đ?‘ł = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

In generale, la forza può non agire nella direzione del moto della particella. Considereremo allora la componente della forza lungo la direzione dello spostamento per il suo modulo đ?‘‘đ?‘ . đ?’…đ?‘ł = đ?‘­(đ??œđ??¨đ??Ź đ?œ˝)đ?’…đ?’”

Inoltre possono agire anche altre forze sulla particella: in questo caso il lavoro fatto dalle altre forze dovrĂ essere calcolato separatamente oppure si dovrĂ calcolare il lavoro della risultante di tutte le forze agenti sul corpo. Il lavoro dL è nullo se uno dei tre fattori è zero. Ne deriva che il lavoro è nullo se non vi è spostamento, se la risultante delle forze agenti è nulla oppure se l’angolo fra i due vettori vale đ?œ‹ďż˝2. Per quanto il modulo e la direzione della forza agente non dipendano dalla scelta del sistema di riferimento, la stessa cosa non vale per lo spostamento. Due osservatori, mentre sono d’accordo sul modulo e sulla direzione della forza agente, in generale non ottengono lo stesso lavoro compiuto dalla forza stessa.

Potenza Per un sistema meccanico è spesso necessario conoscere, oltre alla capacitĂ di compiere lavoro, anche la rapiditĂ con cui tale lavoro deve essere compiuto. Si definisce Potenza la rapiditĂ con la quale viene eseguito un certo lavoro. đ?‘ž=

đ?’…đ?‘ł đ?’…đ?’•

Dove dL rappresenta la piccola quantitĂ di lavoro compiuto nell’intervallo infinitesimo dt. Ricordando la definizione di lavoro, la potenza può anche essere espressa come prodotto scalare tra la forza đ??šâƒ— che la produce e la velocitĂ đ?‘Łâƒ— del corpo. đ?‘ž=

ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— đ?’…đ?‘ł ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ∙ ďż˝âƒ— ∙ đ?’— ďż˝âƒ— = =đ?‘­ =đ?‘­ đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•

Energia Cinetica e Teorema Lavoro-Energia Consideriamo l’effetto del lavoro sul moto di una particella. Una forza non bilanciata da altre altera sicuramente lo stato di moto della particella sulla quale agisce. Tale variazione può essere analizzata attraverso la seconda legge di newton. Sia đ??šâƒ— la risultante di tutte le forze applicate al corpo di massa la risultante di tutte le forze applicate al corpo di massa đ?‘š. Calcoliamo il lavoro đ??żđ??´đ??ľ compiuto dalla forza agente đ??šâƒ— lungo il percorso đ?›ž si calcola integrando il lavoro infinitesimo

đ?‘‘đ??ż da A a B lungo đ?›ž. đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š

đ?‘Š

đ?‘Š

đ?‘Š

đ?‘Š

đ?‘Š

ďż˝âƒ— đ?’…đ?’— ďż˝âƒ— = ďż˝ đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = ďż˝ đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ∙ (đ?’— ďż˝âƒ— đ?’…đ?’•) = ďż˝ đ?’Ž ďż˝âƒ— đ?’…đ?’•) = đ?’Ž ďż˝ đ?’…đ?’— ďż˝âƒ— ∙ đ?’— ďż˝âƒ— = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ∙ (đ?’— đ?’…đ?’• đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

Trasformiamo l’integrale di linea vettoriale in un integrale definito:

ďż˝âƒ— ∙ đ?’— ďż˝âƒ—) = (đ?’…đ?’— ďż˝âƒ—) ∙ đ?’— ďż˝âƒ— + đ?’— ďż˝âƒ— ∙ (đ?’…đ?’— ďż˝âƒ—) = đ?&#x;?(đ?’…đ?’— ďż˝âƒ—) ∙ đ?’— ďż˝âƒ— ⇒ đ?’…(đ?’—đ?&#x;? ) = đ?’…(đ?’—

Quindi l’integrale diventa: ���

ďż˝âƒ— ∙ đ?’— ďż˝âƒ— = đ?’…đ?’—

đ?&#x;? đ?’…(đ?’—đ?&#x;? ) đ?&#x;?

đ?‘Š

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? = đ?’Ž ďż˝ đ?’…(đ?’—đ?&#x;? ) = đ?’Ž[đ?’…đ?’—đ?&#x;? + đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•]đ?‘Š đ?‘¨ = đ?’Ž(đ?’—đ?‘Š − đ?’—đ?‘¨ ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘¨

Definendo l’energia cinetica � come �=

Il Teorema dell’Energia Cinetica afferma che:

đ?&#x;? đ?’Žđ?’—đ?&#x;? đ?&#x;?

La variazione di energia cinetica ∆đ?‘˛ di un corpo di massa đ?’Ž, conseguente allo spostamento dal punto A al punto B, è uguale al lavoro đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š compiuto dalla forza ďż˝âƒ— agente sul corpo, lungo un qualsiasi percorso đ?œ¸ congiungente A con B. risultante đ?‘­ đ?‘Š

ďż˝âƒ— = đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” đ?œ¸đ?‘¨

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Žđ?’—đ?&#x;?đ?‘Š − đ?’Žđ?’—đ?&#x;?đ?‘¨ = đ?‘˛đ?‘Š − đ?‘˛đ?‘¨ = ∆đ?‘˛ đ?&#x;? đ?&#x;?

Il teorema lavoro energia è stato ottenuto dalla Seconda Legge di Newton, nella forma applicabile solo a particelle puntiformi. Quindi anche il Teorema Lavoro-Energia è valido solo per le particelle. Nell’usarlo ad oggetti estesi considerati come particelle dobbiamo essere sicuri che l’unica forma di energia presente sia quella cinetica. Nel caso degli urti esso infatti non applicabile poichĂŠ esiste infatti anche un’energia interna associata alla deformazione degli oggetti. Per quanto questa eserciti una grande forza, essa non compie lavoro poichĂŠ il suo punto di applicazione non si sposta. Quindi ∆đ??ž ≠0 e đ??ż = 0 per cui il teorema precedente non è valido.

Forze Conservative Il lavoro fatto su un sistema da una certa classe di forze dipende solo dallo stato iniziale e finale e non dipende dal particolare percorso seguito dal sistema per passare da uno stato all’altro. Tali forze sono chiamate conservative e sono anche distinguibili per la loro capacitĂ di immagazzinare energia solamente tramite la configurazione del sistema. L’energia accumulata è detta Energia Potenziale. Inoltre immagazzinando, convertendo o trasferendo energia tra sistemi meccanici, l’energia totale rimane sempre costante. ďż˝âƒ— si dice conservativa se esiste ed è possibile definire una funzione scalare đ?‘ź, Una forza đ?‘­ ďż˝âƒ— per cui: ad un sol valore, della posizione đ?’“ đ?‘Š

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = đ?‘ź(đ?‘¨) − đ?‘ź(đ?‘Š) = −∆đ?‘ź đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š = ďż˝ đ?‘­ đ?œ¸đ?‘¨

ďż˝âƒ— si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto per spostare un corpo da Una forza đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘¨ ad un’altra posizione qualsiasi đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘Š è indipendente dalla una posizione qualsiasi đ?’“ traiettoria đ?œ¸ effettivamente seguita: đ?‘Š

đ?‘Š

đ?œ¸đ?&#x;? đ?‘¨

đ?œ¸đ?&#x;? đ?‘¨

ďż˝âƒ— = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’”

ďż˝âƒ— si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto per spostare un corpo Una forza đ?‘­ lungo una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo: ďż˝âƒ—đ?‘Š đ?’“

ďż˝âƒ—đ?‘Š đ?’“

ďż˝âƒ— = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ⇒ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’”

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

�

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

�

ďż˝âƒ—đ?‘Š đ?’“

ďż˝âƒ—đ?‘¨ đ?’“

ďż˝âƒ— = − ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ⇒ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’”

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

�

đ?‘Š

ďż˝

đ?œ¸đ?&#x;? đ?œ¸đ?&#x;?

ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = đ?&#x;Ž

ďż˝âƒ—đ?‘Š đ?’“

ďż˝âƒ—đ?‘¨ đ?’“

ďż˝âƒ— + ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = đ?&#x;Ž ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ— ∙ đ?’…đ?’”

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

�

đ?œ¸đ?&#x;? đ?’“ďż˝âƒ—

đ?‘Š

Una forza ďż˝đ?‘­âƒ— si dice conservativa se il suo rotore vale zero (campo di forze conservative si dice irrotazione): ďż˝âƒ— = ďż˝đ?› ⃗ Ă— đ??…⃗ = đ?&#x;Ž ďż˝âƒ—đ?’•đ?‘­ đ?’“đ?’?

Energia Potenziale Sostanzialmente l’energia potenziale rappresenta l’energia di configurazione di un sistema. PiĂš precisamente essa è l’energia immagazzinata da un sistema per il fatto di avere le sue varie componenti disposte in un determinato modo. Consideriamo un sistema sul quale agisce una sola forza conservativa. Quando viene cambiata la configurazione di un sistema facendo muovere una delle sue parti, il lavoro đ??ż è fatto dalla forza conservativa. đ?‘Š

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ∆đ?‘ź = đ?‘ź(đ?‘Š) − đ?‘ź(đ?‘¨) = − ďż˝ đ?‘­ đ?œ¸đ?‘¨

ďż˝âƒ— đ?’“

ďż˝âƒ— đ?’“

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ—đ?&#x;Ž ) = − ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ— ⇒ đ?‘ź(đ?’“ ďż˝âƒ—) − đ?‘źđ?&#x;Ž = − ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ— ďż˝âƒ—) − đ?‘ź(đ?’“ ∆đ?‘ź = đ?‘ź(đ?’“ đ?œ¸đ?’“ďż˝âƒ—

đ?&#x;Ž

đ?œ¸đ?’“ďż˝âƒ—

đ?&#x;Ž

ďż˝âƒ— đ?’“

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ—) = đ?‘źđ?&#x;Ž − ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ— đ?‘ź(đ?’“ đ?œ¸đ?’“ďż˝âƒ—

đ?&#x;Ž

La funzione đ?‘ˆ è una funziona scalare ad un sol valore definita a meno di una costante. La costante đ?‘ˆ0 potrĂ essere scelta arbitrariamente in maniera opportuna. Solo la variazione ∆đ?‘ˆ ha significato fisico.

Forze Centrali Si definisce forza centrale una forza che in ogni punto đ?‘ˇ dello spazio ha direzione della retta passante per đ?‘ˇ e per un punto đ?‘ś (origine del polo) e modulo dipendente solo dalla distanza đ?’“ tra il punto đ?‘ˇ ed il polo đ?‘ś ďż˝âƒ— = đ?’‡(đ?’“)đ?’“ďż˝ đ?‘­

Calcoliamo il lavoro đ??żđ??´đ??ľ compiuto da una forza centrale đ??šâƒ— per spostare una massa đ?‘š da una posizione A ad una posizione B đ?‘Š

đ?‘Š

đ?’“đ?‘Š

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = ďż˝ đ?’‡(đ?’“)đ?’“ďż˝ ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = ďż˝ đ?’‡(đ?’“)đ?’…đ?’“ đ?‘łđ?‘¨đ?‘Š = ďż˝ đ?‘­ đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

(đ?’…đ?’“ = đ?’…đ?’” đ??œđ??¨đ??Ź đ?œ˝)

��

Quindi possiamo concludere che nel caso di forze centrali, il lavoro si calcola computando non piĂš un integrale di linea (lungo il percorso đ?›ž effettivamente compiuto), ma semplicemente un integrale di una funzione della sola variabile đ?‘&#x; (distanza radiale).

PoichĂŠ per tutte le forze centrali il lavoro non dipende dal percorso, tutte le forze centrali sono conservative (forza gravitazionale, elastica, elettrostatica e di Coulomb sono conservative).

Energia Meccanica Si definisce Energia Meccanica E la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U �=�+�

Ăˆ importante osservare che l’energia cinetica đ??ž è sempre definita per qualsiasi corpo di massa đ?‘š che si muove con velocitĂ đ?‘Ł mentre l’energia potenziale đ?‘ˆ è definita solo in presenza di forze conservative. Si dovranno quindi analizzare due casi separati prendendo in considerazione sia sistemi di đ?‘› forze conservative che sistemi di đ?‘› forze conservative e đ?‘? forze non conservative.

Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica (PCEM)

Consideriamo una massa đ?‘š su cui agiscano solo đ?‘› forze conservative. La forza totale đ??šâƒ— đ??ś è la risultante delle forze đ??šâƒ—1 , đ??šâƒ—2 , đ??šâƒ—3 ... đ??šâƒ—đ?‘› per ognuna delle quali è possibile definire una funzione energia potenziale U.

đ?‘Š

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;? ⇒ đ?‘źđ?&#x;? ⇒ ∆đ?‘źđ?&#x;? = − ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;? ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— đ?‘¨

đ?‘Š

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;? ⇒ đ?‘źđ?&#x;? ⇒ ∆đ?‘źđ?&#x;? = − ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;? ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— đ?‘¨

đ?‘Š

ďż˝âƒ—đ?’? ⇒ đ?‘źđ?’? ⇒ ∆đ?‘źđ?’? = − ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’? ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— đ?‘­ đ?‘¨

_________________________________________ ďż˝âƒ—đ?‘Ş

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?’Š ⇒ đ?‘ź = ďż˝ đ?‘źđ?’Š đ?‘­ = ďż˝đ?‘­

Quindi ricordando il Teorema dell’Energia Cinetica:

đ?‘Š

ďż˝âƒ—đ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ⇒ ∆đ?‘ź = − ďż˝ đ?‘­ đ?‘¨

đ?‘Š

ďż˝âƒ—đ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ∆đ?‘ź = − ďż˝ đ?‘­ đ?‘¨

đ?‘Š

ďż˝âƒ—đ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— ∆đ?‘˛ = + ďż˝ đ?‘­ đ?‘¨

________________________ ∆đ?‘ź + ∆đ?‘˛ = đ?&#x;Ž ⇒ ∆(đ?‘ź + đ?‘˛) = đ?&#x;Ž ⇒ đ?‘ź + đ?‘˛ = đ?‘Ź = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•

Cui segue l’enunciato del PCEM:

Se su una massa agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica (E=U+K) della stessa si conserva.

Teorema dell’Energia Cinetica Modificato Consideriamo una massa đ?‘š su cui agiscono đ?‘› forze conservative e đ?‘? forze non conservative e sia đ??šâƒ— la risultante di tutte le forze. đ?’?

đ?’‘

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’‹=đ?&#x;?

ďż˝âƒ— = ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?’Š + ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş ďż˝âƒ—đ?‘Ş ďż˝âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş đ?‘­ đ?’‹ =đ?‘­ +đ?‘­

Dal Teorema dell’Energia Cinetica si ha: �

đ?‘Š

đ?‘Š

đ?‘Š

ďż˝âƒ— ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ—đ?‘Ş + đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş ) ∙ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = ďż˝ (đ?‘­ ďż˝âƒ— = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— + ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— = ∆đ?‘˛ ďż˝ đ?‘­ đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

Ricordando la definizione dell’ Energia Potenziale si ha: �

đ?œ¸đ?‘¨

đ?‘Š

ďż˝âƒ— = ∆đ?‘ź ⇒ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” ďż˝âƒ— − ∆đ?‘ź = ∆đ?‘˛ − ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” đ?œ¸đ?‘¨

đ?œ¸đ?‘¨

Cui segue il seguente enunciato:

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze non conservative ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş per spostare una massa đ?’Ž da una posizione A ad una posizione B è uguale alla variazione dell’energia meccanica (∆đ?‘Ź = ∆đ?‘ź + ∆đ?‘˛). đ?‘Š

ďż˝âƒ— = ∆đ?‘ź + ∆đ?‘˛ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘ľđ?‘Ş âˆ™ đ?’…đ?’” đ?œ¸đ?‘¨

Dove per đ??šâƒ— đ?‘ đ??ś = 0 (ovvero in assenza di forze conservative) si ottiene nuovamente il PCEM.

Principio di Conservazione dell’Energia (PCE)

Quando su un sistema compiono lavoro solo forze conservative l’energia meccanica resta costante mentre quando agiscono anche forze non conservative l’energia meccanica varia. In realtĂ però la scomparsa macroscopica di energia meccanica è sempre accompagnata dalla comparsa di energia interna (riconducibile ai moti molecolari). Da queste considerazioni si arriva ad affermare che: L’energia totale di un corpo e del suo ambiente circostante non varia neppure in presenza di forze non conservative.

DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI Definizioni preliminari: Momento Meccanico Si definisce momento meccanico đ??‰ ďż˝âƒ— rispetto al polo O, il prodotto vettoriale tra il vettore ďż˝âƒ— del punto di applicazione P della forza ďż˝đ?‘­âƒ— e la forza stessa. posizione đ?’“ ďż˝âƒ— Ă— ďż˝đ?‘­âƒ— ďż˝âƒ— = đ?’“ đ??‰

Il momento meccanico dipende sempre dal polo O mentre il momento di una coppia non dipende dal polo e dal sistema di riferimento per cui la coppia è definita come una grandezza vettoriale libera.

Definizioni preliminari: Momento Angolare Ăˆ stato visto come la quantitĂ di moto (detta anche momento lineare) è utile nella trattazione del moto traslatorio di particelle singole o di un sistema di particelle, compresi i corpi rigidi. L’analogo della quantitĂ di moto per le rotazioni è il momento della quantitĂ di moto (o momento angolare): Si definisce momento angolare đ?‘ąâƒ— rispetto al polo O, il prodotto vettoriale tra il vettore ďż˝âƒ— della massa đ?’Ž e la quantitĂ di moto della massa stessa. posizione đ?’“ ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— Ă— đ?’’ đ?‘ąâƒ— = đ?’“

Definizioni preliminari: Teorema del Momento Angolare Consideriamo una massa đ?‘š sulla quale agiscono đ?‘› forze đ??šâƒ—đ?‘– e quindi đ?‘› momenti đ?œ?⃗đ?‘– . đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’“ ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’“ ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— Ă— đ?‘­ ďż˝âƒ— Ă— ďż˝ đ?‘­ ďż˝âƒ— Ă— đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?’Š = ďż˝ đ?’“ ďż˝đ??‰âƒ— = ďż˝ đ??‰

Essendo đ??šâƒ— la risultante delle forze agenti su đ?‘š, per la Seconda Legge di Newton (in un sistema inerziale) si ha: ďż˝âƒ— Ă— ďż˝đ?‘­âƒ— = đ?’“ ďż˝âƒ— Ă— ďż˝âƒ— = đ?’“ đ??‰

ďż˝âƒ— đ?’…đ?’’ đ?’…đ?’•

Esaminiamo ora come varia il Momento Angolare nel tempo: đ?’?

ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— đ?’…đ?‘ąâƒ— đ?’… đ?’…đ?’“ đ?’…đ?’’ đ?’…đ?’’ đ?’…đ?‘ąâƒ— (đ?’“ ďż˝âƒ— Ă— đ?’’ ďż˝âƒ—) = ďż˝âƒ— + đ?’“ ďż˝âƒ— Ă— ďż˝âƒ— Ă— đ?’Žđ?’— ďż˝âƒ— + đ?’“ ďż˝âƒ— Ă— = Ă—đ?’’ =đ?’— =đ?&#x;Ž+đ??‰ ďż˝âƒ— = đ??‰ ďż˝âƒ— ⇒ ďż˝ đ??‰ ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’Š=đ?&#x;?

Da questo risultato si ricava che:

Il momento risultante delle forze agenti su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del suo momento angolare. Notare la somiglianza con la Seconda Legge di Newton: ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’Š =

ďż˝âƒ— đ?’…đ?’’ đ?’…đ?’•

Sistemi Discreto di Punti Materiali Consideriamo un sistema composto da un numero finito đ?‘› di punti materiali. Distinguendo fra forze esterne e forze interne, per ognuno dei punti materiali possiamo scrivere la Seconda Legge di Newton e il Teorema del Momento Angolare. ⎧�đ?‘­âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť + ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’Š đ?’Š

ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’…đ?’’ đ?’…đ?’• đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?’Š

⎨ đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť ďż˝âƒ—đ?’Š + đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’Š ⎊đ??‰ đ?’…đ?’•

Sommiamo tutte le equazioni del sistema rispetto all’indice đ?‘–, cioè per tutte le particelle e otteniamo quindi delle equazioni che descrivono globalmente il moto del sistema di đ?‘› punti materiali: đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š ) ⎧� ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť + ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’…(∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’’ đ?’Š đ?’Š ⎪ đ?’…đ?’• ⎨ đ?’…(∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?‘ąâƒ—đ?’Š ) đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť ďż˝âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť + ďż˝ ďż˝ đ??‰ ⃗ = ⎪ ďż˝đ??‰ đ?’Š đ?’Š đ?’…đ?’• ⎊ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

⇒

��⃗đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť âŽ§ďż˝âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’…đ?‘¸ +đ?‘­ = ⎪đ?‘­ đ?’…đ?’• ⎨ đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť ⎪đ??‰ ďż˝âƒ— +đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’…đ?’• ⎊

Ricordando la Terza Legge di Newton si può dimostrare che la risultante delle forze interne agenti su tutto il sistema è sempre nulla: đ?’?

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť =đ?&#x;Ž đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

Dalla medesima legge si può anche dimostrare che la risultante dei momenti delle forze interne agenti su tutto il sistema risulta sempre nulla: đ?’?

ďż˝đ??‰âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť = ďż˝ đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘°đ?‘ľđ?‘ť =đ?&#x;Ž đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?‘şđ?‘ť ďż˝ = đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘şđ?‘ť ďż˝ = ďż˝âƒ—đ?‘ş Ă— ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘şđ?‘ť + đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘ť Ă— ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘ťđ?‘ş = đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘ş Ă— ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘şđ?‘ť + đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘ť Ă— ďż˝âˆ’đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘ş Ă— ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘şđ?‘ť − đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘ť Ă— ďż˝đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘şđ?‘ť + đ??‰ đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘ťđ?‘ş = đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘şđ?‘ť ďż˝ = đ?&#x;Ž ďż˝âƒ—đ?‘ť ) Ă— ďż˝đ?‘­ ďż˝âƒ—đ?‘ş − đ?’“ = (đ?’“

Prodotto vettoriale fra il vettore distanza đ?‘&#x;⃗đ?‘† − đ?‘&#x;⃗đ?‘‡ e la forza đ??šâƒ—đ?‘†đ?‘‡ , vettori paralleli che danno prodotto 0. Tenendo conto di questi risultati il sistema di equazioni precedenti si può scrivere nella forma finale: ��⃗đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť âŽ§ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’…đ?‘¸ = ⎪đ?‘­ đ?’…đ?’• ⎨ đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť ⎪đ??‰ ďż˝âƒ— = đ?’…đ?’• ⎊

Centro di Massa di un Sistema di Particelle Consideriamo un sistema composto da un numero finito đ?‘› di punti materiali particelle di massa đ?‘šđ?‘– e posizione đ?‘&#x;⃗đ?‘– . Si definisce centro di massa del sistema di đ?’? particelle il punto C il cui vettore posizione è ďż˝đ?‘š ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ =

đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Žđ?’Š đ?’“ ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Žđ?’Š

=

đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Žđ?’Š đ?’“ đ?‘´

đ?’?

đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?’Š = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’“ đ?‘´ đ?’Š=đ?&#x;?

Se ognuna delle particelle si muove con velocitĂ đ?‘Łâƒ—đ?‘– , derivando rispetto al tempo il vettore đ?‘…ďż˝âƒ—đ??śđ?‘€ , si calcola la velocitĂ đ?‘Łâƒ—đ??śđ?‘€ del centro di massa. ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’—

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

��⃗đ?‘Şđ?‘´ đ?&#x;? đ?’… ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’…đ?‘š đ?&#x;? đ?’… đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’…đ?’“ ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ = ďż˝ ďż˝ (đ?’Žđ?’Š đ?’“ ďż˝âƒ—đ?’Š )ďż˝ = ďż˝ ďż˝đ?’Žđ?’Š ďż˝âƒ—đ?’Š = = �� đ?’Žđ?’Š đ?’“ ďż˝ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’—

đ?’?

đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?’Š = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?‘´ đ?’Š=đ?&#x;?

La quantitĂ di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocitĂ del suo centro di massa, ovvero alla quantitĂ di moto ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ . di un ipotetico punto materiale di massa M che si muova con velocitĂ đ?’— đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?‘´đ?’— đ?’Š=đ?&#x;?

Derivando rispetto al tempo la velocitĂ đ?‘Łâƒ—đ??śđ?‘€ del centro di massa, si calcola l’accelerazione đ?‘Žâƒ—đ??śđ?‘€ del centro di massa. ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’‚

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?&#x;? đ?’… ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’…đ?’— đ?&#x;? đ?’… đ?&#x;? đ?’…đ?’— đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ = ďż˝ ďż˝ (đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š )ďż˝ = ďż˝ ďż˝đ?’Žđ?’Š ďż˝âƒ—đ?’Š = = �� đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’‚ đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ đ?’…đ?’• đ?‘´ ďż˝đ?’‚⃗đ?‘Şđ?‘´

đ?’?

đ?&#x;? = ďż˝ đ?’Žđ?’Š ďż˝đ?’‚⃗đ?’Š đ?‘´ đ?’Š=đ?&#x;?

Dalla II Legge di Newton applicata alla particella i-esima si ha: ďż˝âƒ—đ?‘šđ?‘°đ?‘ş ďż˝âƒ—đ?’Š đ?‘­ = đ?’Žđ?’Š đ?’‚ đ?’Š

Sommando tutte le particelle si ottiene la forza risultante đ??šâƒ— đ?‘…đ??źđ?‘† e tenendo conto che per la III Legge di Newton la sommatoria delle forze interne è uguale a 0 si ha: đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’‚ đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’?

ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť

=đ?‘­

đ?’?

ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť ⇒ đ?‘´đ?’‚ đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come un punto materiale di massa M a cui è stata applicata la risultante di tutte le forze esterne.

Centro di Massa di un Sistema di Particelle Un sistema continuo si può considerare come un particolare sistema di particelle in cui è molto elevato il numero di particelle e la distanza fra loro e piccolissima. Il corpo può essere trattato come una distribuzione continua di massa. Per calcolare il centro di massa suddividiamo il sistema di đ?‘› masse elementari ∆đ?‘šđ?‘– , localizzate approssimativamente dai vettori posizione đ?‘&#x;⃗đ?‘– . PiĂš piccole sono le masse elementari, minore è l’errore di localizzazione. Questo errore tenderĂ a zero quando il volume delle masse elementari tenderĂ a diventare infinitesimo e quindi il loro numero tenderĂ a diventare infinito: ��⃗đ?‘Şđ?‘´ = đ??Ľđ??˘đ??Ś ∆đ?’Žđ?’Š = đ?’…đ?’Ž ⇒ đ?‘š

đ?’?→∞

đ?&#x;? đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?’…đ?’Ž = ďż˝ đ?’“ ďż˝âƒ—đ?’…đ?’Ž ďż˝đ?’“ đ?‘´ đ?‘´ đ?‘´

đ?‘´

Conservazione della QuantitĂ di Moto di un Sistema di Particelle

Consideriamo un sistema di đ?‘› particelle di massa đ?‘šđ?‘– e massa totale đ?‘€. Ogni particella ha una certa ďż˝âƒ— che è definita come somma delle velocitĂ e quantitĂ di moto. Il sistema ha una quantitĂ di moto đ?‘„ quantitĂ di moto delle singole particelle.

đ?’?

��⃗ ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?‘´đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?‘¸ đ?‘ť = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?’Š=đ?&#x;?

La quantitĂ di moto di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ . del sistema M per la velocitĂ del centro di massa đ?’—

Derivando questa equazione otteniamo:

đ?’?

��⃗ ��⃗ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’…đ?‘¸ đ?’…đ?’— đ?’…đ?‘¸ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ⇒ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť =đ?‘´ = đ?‘´đ?’‚ = đ?’Š đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’Š=đ?&#x;?

Se nel sistema risulta ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ??šâƒ—đ?‘–đ??¸đ?‘†đ?‘‡ = 0 il sistema si dirĂ isolato. Ma se un sistema è isolato su di esso non agisce alcuna forza esterna o la risultante delle forze esterne è nulla e quindi il centro di massa si muove con velocitĂ costante. đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?‘ť = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = đ?&#x;Ž ⇒ đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇒ đ?‘´đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇒ ďż˝đ?‘¸ ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť =0 ⇒ đ?’‚ đ?’Š

La quantità di moto delle singole particelle può cambiare ma la loro somma vettoriale rimane costante.

Sistema di Riferimento del Centro di Massa Consideriamo un sistema di đ?‘› particelle di massa đ?‘šđ?‘– e posizione đ?‘&#x;⃗đ?‘– e consideriamo un sistema di riferimento đ?‘† inerziale e un sistema đ?‘† | solidale con il centro di massa. |

ďż˝âƒ—đ?’„đ?’Ž đ?’—

|

đ?‘ś

ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’“

ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’“

đ?‘Şđ?‘´

|

ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’“ ďż˝âƒ—đ?’Š + đ?’“ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ⇒ đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š + đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?’“ | ďż˝âƒ—đ?‘‡ del sistema di Calcoliamo la quantitĂ di moto totale đ?‘„ particelle calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa:

ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’— |

ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’“

ďż˝âƒ—đ?’„đ?’Ž đ?’—

��⃗|đ?‘ť đ?‘¸ ďż˝âƒ—đ?’Š đ?’—

=

đ?’?

| ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š − đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ) = = ďż˝ đ?’Žđ?’Š (đ?’— đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

ďż˝âƒ—đ?’Š − ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š − đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ đ?’Žđ?’Š = = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

ďż˝âƒ—đ?’Š − đ?‘´đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?’Š=đ?&#x;?

Ricordando la definizione di velocitĂ del centro di massa: đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

��⃗|đ?‘ť = đ?&#x;Ž ďż˝âƒ—đ?’Š ⇒ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š − ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š = đ?&#x;Ž ⇒ đ?‘¸ đ?‘´đ?’— |

��⃗đ?‘ť di un qualsiasi sistema di particelle nel sistema di La quantitĂ di moto totale đ?‘¸ riferimento del suo centro di massa è sempre nulla.

Energia Cinetica di un Sistema di Particelle (Teorema di Koenig) Consideriamo un sistema di đ?‘› particelle di massa đ?‘šđ?‘– . đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? | ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?’Š ďż˝ = ďż˝ ďż˝đ?’Žđ?’Š ďż˝đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š + đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ ďż˝ = đ?‘˛ = ďż˝ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’—đ?&#x;?đ?’Š ďż˝ = ��đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?&#x;? đ?&#x;? |đ?&#x;? | ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ + ��đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ + ��đ?’Žđ?’Š ďż˝đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š ∙ đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ �� = = ďż˝ ďż˝đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? |đ?&#x;? | |đ?&#x;? ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ + đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ďż˝[đ?’Žđ?’Š ] + đ?’— ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ ∙ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š = ďż˝ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— ďż˝âƒ—đ?’Š ďż˝ + đ?‘´đ?’— ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ = đ?‘˛| + đ?‘´đ?’— ďż˝âƒ—đ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’— đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

L’energia cinetica totale đ?‘˛ di un sistema di particelle è uguale alla somma dell’energia cinetica totale đ?‘˛| (nel sistema del centro di massa) e dell’energia ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ cinetica di una ipotetica particella di massa đ?‘´, che si muove con velocitĂ đ?’— (energia cinetica del “centro di massaâ€?).

MECCANICA DEI CORPI RIGIDI Cinematica del Corpo Rigido Un corpo si dice rigido se la distanza fra due suoi punti qualsiasi resta costante nel tempo qualsiasi sia la sollecitazione a cui sia sottoposto. Un corpo si dice omogeneo se la sua massa è distribuita uniformemente nello spazio ovvero se la sua massa volumica đ?‘šđ?‘Ł = đ?‘‘đ?‘šâ „đ?‘‘đ?‘‰ è costante nello spazio e nel tempo. Consideriamo un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse đ?‘›ďż˝. La posizione del corpo è determinata dalla definizione dell’asse di rotazione e dalla misura di un angolo. Essendo rigido, qualunque punto del corpo, durante un intervallo di tempo ∆đ?‘Ą ruoterĂ dello stesso angolo ∆đ?œƒ e per tutti i punti il rapporto ∆đ?œƒâ „∆đ?‘Ą avrĂ lo stesso valore quindi ogni punto avrĂ la stessa đ?œ”. Possiamo quindi definire la velocitĂ angolare di tutti punti del corpo ovvero la velocitĂ angolare del corpo rigido: ���⃗ = đ??Ž

đ?’…đ?œ˝ ďż˝ = đ??Žđ?’? ďż˝ đ?’? đ?’…đ?’•

Derivando la quale possiamo ottenere l’espressione dell’accelerazione angolare del corpo rigido: ��⃗ = đ?œś

���⃗ đ?’…(đ??Žđ?’? đ?’…đ??Ž ďż˝ ) đ?’…đ??Ž đ?’…đ?’? ďż˝ ďż˝+đ??Ž = = đ?’? đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•

Analizzando la quale possiamo distinguere fra 3 casi di moti rotatori accelerati: -

Nel caso in cui varia il modulo della velocità angolare e non varia la direzione dell’asse si ha una rotazione intorno ad un asse fisso. Nel caso in cui non varia il moto delle velocità angolare e varia la direzione dell’asse si ha un moto giroscopico. Nel caso in cui varia il modulo della velocità angolare e varia la direzione dell’asse si ha un moto vario.

Le equazioni dei moti rotatori attorno ad un asse fisso possono essere ottenute sostituendo alla grandezze cinematiche lineari le analoghe grandezze rotazionali: � = �0 ⇒ � = �0

đ?‘Ł = đ?‘Ł0 + đ?‘Žđ?‘Ą ⇒ đ?œ” = đ?œ”0 + đ?›źđ?‘Ą

1 1 đ?‘ = đ?‘ 0 + đ?‘Ł0 đ?‘Ą + đ?‘Žđ?‘Ą 2 ⇒ đ?œƒ = đ?œƒ0 + đ?œ”0 đ?‘Ą + đ?›źđ?‘Ą 2 2 2

đ?‘Ł 2 = đ?‘Ł02 + 2đ?‘Ž(đ?‘ − đ?‘ 0 ) ⇒ đ?œ”2 = đ?œ”02 + 2đ?›ź(đ?œƒ − đ?œƒ0 )

GeneralitĂ sulla Dinamica Rotazionale Quando una forza viene applicata ad un corpo libero di ruotare attorno ad un asse fisso, il punto di applicazione della forza è importante. La grandezza che tiene conto del punto di applicazione è chiamata momento della forza. Infatti anche se la risultante delle forze applicate è uguale a zero (la velocitĂ del centro di massa è costante), se applichiamo due forze di uguale modulo e direzione ma di verso opposto e applicate in punti differenti del corpo può sempre ruotare attorno al suo asse passante per il centro di massa. Inoltre sappiamo che lo sforzo richiesto per porre in rotazione un corpo dipende da come è distribuita la sua massa. La grandezza che tiene conto della distribuzione della massa è chiamata momento d’inerzia (o inerzia rotazionale) e non rappresenta una proprietĂ intrinseca del corpo ma dipende dalla scelta dell’asse attorno al quale ruota il corpo.

Energia Cinetica di Rotazionale Consideriamo un sistema composto da un numero finito đ?‘› di punti materiali o particelle di massa đ?‘šđ?‘– . L’energia cinetica totale đ??ž è la somma delle energie cinetiche dei singoli punti. đ?’?

đ?&#x;? đ?‘˛ = ďż˝ ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’—đ?&#x;?đ?’Š ďż˝ đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

Se analizziamo il moto rotatorio di ogni singola particella, ognuna descrive un cerchio di raggio đ?‘&#x; con velocitĂ angolare đ?œ” e velocitĂ tangenziale đ?‘Ł = đ?œ”đ?‘&#x;. Se il moto è di pura rotazione ogni particella ha quindi una velocitĂ đ?‘Łâƒ—đ?‘– differente. đ?‘˛đ?‘šđ?‘śđ?‘ť

đ?’?

đ?’—đ?’Š = đ??Žđ?’Š đ?’“đ?’Š = đ??Žđ?’“đ?’Š

đ?’?

đ?&#x;? đ?&#x;? = ďż˝ đ?’Žđ?’Š (đ??Žđ?’“đ?’Š )đ?&#x;? = �� đ?’Žđ?’Š đ?’“đ?&#x;?đ?’Š ďż˝ đ??Žđ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

La sommatoria fra parentesi quadre è definita Momento d’Inerzia del sistema di punti rispetto all’asse z: đ?’?

đ?‘°đ?’› = ďż˝ đ?’Žđ?’Š đ?’“đ?&#x;?đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

đ?‘°đ?’› = ďż˝ đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž đ?‘´

Il momento d’inerzia (o inerzia rotazionale) è l’analogo rotazionale della massa (o inerzia traslazionale). Per far ruotare una sbarretta attorno ad un asse passante per il suo centro e parallelo ad essa è richiesto uno sforzo relativamente piccolo rispetto ad una rotazione rispetto ad un asse passante per il suo centro e perpendicolare ad essa. La massa non è cambiata ma è distribuita piĂš lontano rispetto all’asse di rotazione e questa massa contribuisce a đ??ź in modo maggiore della massa concentrata vicino all’asse dunque lo sforzo richiesto è maggiore. đ?‘˛đ?‘šđ?‘śđ?‘ť =

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘°đ??Ž đ?&#x;?

Teorema di Huygens-Steiner Il momento di inerzia đ?‘°đ?’› di un corpo rigido rispetto ad un qualsiasi asse z è uguale al momento d’inerzia đ?‘°đ?’›| rispetto ad un asse đ?’›| parallelo al primo e passante per il C.M. piĂš il prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza (R) fra i due assi. đ?‘Ś

đ?‘Ś

đ?‘Ś|

đ?‘&#x;

đ?‘Śđ??śđ?‘€

đ?‘…

đ?‘‚

đ?‘Ś|

đ??śđ?‘€

đ?‘‘đ?‘š

đ?‘&#x;|

đ?‘Ľ

đ?‘Ľđ??śđ?‘€

đ?‘Ľ|

|

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?‘°đ?’› = ďż˝ đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž = ďż˝[đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? ]đ?’…đ?’Ž = ďż˝ ��đ?’™đ?‘Şđ?‘´ + đ?’™| ďż˝ + ďż˝đ?’šđ?‘Şđ?‘´ + đ?’š| ďż˝ ďż˝ đ?’…đ?’Ž = đ?‘´

đ?‘´

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?‘´

= ���đ?’™đ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ + đ?’šđ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ + ďż˝đ?’™| + đ?’š| ďż˝ + đ?&#x;?đ?’™đ?‘Şđ?‘´ đ?’™| + đ?&#x;?đ?’šđ?‘Şđ?‘´ đ?’š| ďż˝đ?’…đ?’Ž = đ?‘´

đ?&#x;?

= ��(đ?‘šđ?&#x;? ) + ďż˝đ?’“| ďż˝ + đ?&#x;?đ?’™đ?‘Şđ?‘´ đ?’™| + đ?&#x;?đ?’šđ?‘Şđ?‘´ đ?’š| ďż˝đ?’…đ?’Ž = đ?‘´

đ?&#x;?

= ďż˝ đ?‘šđ?&#x;? đ?’…đ?’Ž + ďż˝ đ?’“| đ?’…đ?’Ž + đ?&#x;?đ?’™đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ đ?’™| đ?’…đ?’Ž + đ?&#x;?đ?’šđ?‘Şđ?‘´ ďż˝ đ?’š| đ?’…đ?’Ž = đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

Ricordando la definizione di centro di massa:

đ?&#x;? đ?&#x;? | | ⎧đ?’™đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’™đ?’…đ?’Ž ⇒ đ?’™đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’™| đ?’…đ?’Ž ⇒ đ?‘´đ?’™đ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’™| đ?’…đ?’Ž đ?‘´ đ?‘´ ⎪ ⎨đ?’š ⎪ đ?‘Şđ?‘´ ⎊

đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

đ?&#x;? đ?&#x;? | | = ďż˝ đ?’šđ?’…đ?’Ž ⇒ đ?’šđ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’š| đ?’…đ?’Ž ⇒ đ?‘´đ?’šđ?‘Şđ?‘´ = ďż˝ đ?’š| đ?’…đ?’Ž đ?‘´ đ?‘´

Sostituendo si ha:

|

|

= đ?‘šđ?&#x;? ďż˝ đ?’…đ?’Ž + đ?‘°đ?’›| + đ?&#x;?đ?’™đ?‘Şđ?‘´ ďż˝đ?‘´đ?’™đ?‘Şđ?‘´ ďż˝ + đ?&#x;?đ?’šđ?‘Şđ?‘´ ďż˝đ?‘´đ?’šđ?‘Şđ?‘´ ďż˝ = đ?‘´

= đ?‘šđ?&#x;? đ?‘´ + đ?‘°đ?’›| + đ?&#x;?đ?’™đ?‘Şđ?‘´ [đ?‘´đ?&#x;Ž] + đ?&#x;?đ?’šđ?‘Şđ?‘´ [đ?‘´đ?&#x;Ž] =

đ?‘°đ?’› = đ?‘°đ?’›| + đ?‘´đ?‘šđ?&#x;?

Conservazione del Momento Angolare Se il momento totale đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť delle forze esterne agenti sul sistema è nullo, allora il momento angolare totale đ?‘ąâƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?‘Şđ?‘´ del sistema è costante rispetto al tempo (si conserva).

đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť

ďż˝âƒ— đ??‰

ďż˝đ??‰âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?‘Şđ?‘´ =

đ?’?

= ďż˝đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť =đ?&#x;Ž ⇒ đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť đ?’…đ?’•

đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť = đ?&#x;Ž ⇒ đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• đ?’…đ?’•

Momento Angolare di un Corpo Rigido Qualsiasi Attorno ad un Asse Fisso Consideriamo un disco (cilindro omogeneo di raggio R e altezza trascurabile) che si muove attorno ad un asse coincidente con l’asse di simmetria e passante per il C.M. del disco stesso. Sia đ?‘‘đ?‘š una sua generica particella infinitesima: il momento angolare infinitesimo đ?‘‘đ??˝âƒ— della particella infinitesima đ?‘‘đ?‘š che si trova in un punto individuato dal vettore posizione đ?‘&#x;⃗ è: ďż˝âƒ— ďż˝âƒ— Ă— (đ?’…đ?’Ž)đ?’— đ?’…đ?‘ąâƒ— = đ?’“

ďż˝ = (đ?’“)(đ?’…đ?’Žđ??Žđ?’“)đ??Ž ďż˝ = (đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž)(đ??Žđ??Ž ďż˝ ) = (đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž)đ??Ž ���⃗ đ?’…đ?‘ąâƒ— = (đ?’“)(đ?’…đ?’Žđ?’—)đ??Ž

Il momento totale del disco si ottiene “sommandoâ€? i momenti angolari di tutte le particelle ovvero integrando su tutta la massa M del disco: ���⃗ = đ??Ž ���⃗ ďż˝(đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž) = đ?‘°đ??Ž ���⃗ đ?‘ąâƒ— = ďż˝ đ?’…đ?‘ąâƒ— = ďż˝(đ?’“đ?&#x;? đ?’…đ?’Ž)đ??Ž đ?‘´

đ?‘´

đ?‘´

Discorso che si può generalizzare per un corpo rigido qualsiasi ruotante attorno ad un asse fisso ottenendo lo stesso risultato.

Notare l’analogia con đ?‘žâƒ— = đ?‘šđ?‘Łâƒ—.

���⃗ đ?‘ąâƒ— = đ?‘°đ??Ž

Quindi l’equazione cardinale del moto assume una forma particolare per moti attorno ad un asse fisso: đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť =

Notare l’analogia con đ??šâƒ— = đ?‘šđ?‘Žâƒ—.

���⃗ đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť đ?’… đ?’…đ??Ž (đ?‘°đ??Ž ���⃗) = đ?‘° ��⃗ ⇒ ďż˝đ??‰âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = = đ?‘°đ?œś đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•

Equazioni Cardinali di un Corpo in Rotazione Attorno ad un Asse Fisso Le equazioni cardinali della dinamica dei sistemi sono: ��⃗đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť âŽ§ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’…đ?‘¸ = ⎪đ?‘­ đ?’…đ?’• ⎨ đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’…đ?‘ąâƒ—đ?‘ťđ?‘śđ?‘ť ⎪đ??‰ ďż˝âƒ— = đ?’…đ?’• ⎊

Per un sistema a massa costante, rigido e rotante attorno ad un asse fisso assumono la forma: ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ đ?‘­ ďż˝ đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť ��⃗đ?‘ś ďż˝âƒ—đ?‘ś = đ?‘°đ?‘ś đ?œś đ??‰

Che valgono solo se come polo O si sceglie un punto fisso in un sistema inerziale o il centro di massa del sistema (qualunque sia il suo moto).

Equilibrio Meccanico di un Corpo Rigido L’energia cinetica di un sistema di particelle si può scrivere come la somma dell’energia cinetica di tutte le particelle rispetto al centro di massa piĂš l’energia cinetica del centro di massa. Per un corpo rigido l’energia cinetica relativa al C.M. si può esplicitare come energia cinetica di rotazione del corpo rigido attorno all’asse istantaneo di rotazione passante per il C.M.: đ?‘˛=

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘°đ?‘Şđ?‘´ đ??Žđ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ + đ?‘´đ?’—đ?&#x;?đ?‘Şđ?‘´ đ?&#x;? đ?&#x;?

Un corpo rigido si dice in equilibrio meccanico quando la sua energia cinetica totale rimane costante nel tempo (equilibrio statico se l’energia cinetica è nulla e rimane costante nel tempo). đ?‘˛ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇒ ďż˝

���⃗đ?‘Şđ?‘´ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ��⃗ = đ?&#x;Ž đ??Ž đ?œś ⇒ ďż˝ đ?‘Şđ?‘´ ďż˝âƒ—đ?‘Şđ?‘´ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ďż˝đ?’‚⃗đ?‘Şđ?‘´ = đ?&#x;Ž đ?’—

La condizione đ??ž = 0 si traduce quindi nella seguente condizione di equilibrio: đ?’?

đ?‘˛ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇒

⎧� đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’Š đ?‘Şđ?‘´ = đ?&#x;Ž ⎪ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’?

⎨ =đ?&#x;Ž ⎪ ďż˝ ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť đ?’Š ⎊ đ?’Š=đ?&#x;?

con đ?œ?⃗đ?‘–đ??¸đ?‘†đ?‘‡ đ??śđ?‘€ momento totale di tutte le forze esterne agenti sul sistema calcolato rispetto al C.M.

Questo momento si può scrivere anche rispetto ad un punto qualsiasi P: 𝒏

𝒏

𝒏

𝒏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

��⃗ + 𝒓 �⃗ × �𝑭⃗𝑬𝑺𝑻 �⃗𝑪𝒊 × �𝑭⃗𝑬𝑺𝑻 �⃗𝒊 ) × �𝑭⃗𝑬𝑺𝑻 �⃗𝒊 × �𝑭⃗𝑬𝑺𝑻 �𝝉 �⃗𝑬𝑺𝑻 = �(𝑹 = � �𝑹 + �𝒓 = 𝒊𝑪 = �𝒓 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊 𝒏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

�⃗ × �𝑭⃗𝑬𝑺𝑻 = � �𝑹 + �𝝉 �⃗𝑬𝑺𝑻 𝒊 𝒊

P

𝑅�⃗

C.M.

𝑟⃗𝑖𝐶 𝑟⃗𝑖

𝐹⃗𝑖

MOTI OSCILLATORI Moti Periodici e Moti Oscillatori Si definisce periodico un fenomeno che si ripete a intervalli regolari rispetto ad una variabile indipendente (tempo, spazio o combinazione di entrambi). Si definisce oscillatorio un fenomeno periodico rispetto al tempo. Il piĂš semplice moto oscillatorio è il moto armonico semplice. Esiste un importante teorema utile all’analisi di tutti i moti periodici chiamato Teorema di Fourier: Ogni moto periodico finito può essere rappresentato come sovrapposizione di un certo numero di moti armonici semplici opportunamente scelti.

Moti Armonico Semplice Consideriamo una particella di massa đ?‘š la cui posizione dipenda dal tempo con la legge: đ?’™ = đ?’™(đ?’•) = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź(đ??Žđ?’• + đ?œš)

Dove đ??´ rappresenta l’ampiezza (o elongazione massima, ovvero l’â€?altezzaâ€? della curva), đ?œ” la pulsazione (o frequenza angolare, ovvero il “periodoâ€?) e (đ?œ”đ?‘Ą + đ?›ż) la fase del moto (đ?›ż fase inziale). La legge è sempre di tipo sinusoidale ma al variare del valore di đ?›ż cambierĂ la rappresentazione grafica e in particolare la curva traslerĂ verso destra per đ?›ż < 0 o verso sinistra per đ?›ż > 0. −đ??´

đ?‘‚

đ??ľ

đ?‘š

+đ??´ đ??ś

đ?‘Ľ

Il periodo đ?‘‡ del moto è l’intervallo di tempo in cui avviene una oscillazione completa, l’ampiezza đ??´ è la distanza tra il punto O ed uno dei punti di inversione (B o C). La periodicitĂ della funzione đ?‘Ľ(đ?‘Ą)

si esprime come:

đ?’™(đ?’• + đ?‘ť) = đ?’™(đ?’•)

e affinchĂŠ la funzione sia periodico di periodo đ?‘‡ occorre che tra đ?œ” e đ?‘‡ sussista la relazione: Che si dimostra in breve come segue:

đ??Ž=

đ?&#x;?đ??… = đ?&#x;?đ??…đ?’— đ?‘ť

đ?&#x;?đ??… đ?’™(đ?’• + đ?‘ť) = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź[đ??Ž(đ?’• + đ?‘ť) + đ?œš] = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź[đ??Žđ?’• + đ??Žđ?‘ť + đ?œš] = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź ďż˝đ??Žđ?’• + đ??Ž ďż˝ ďż˝ + đ?œšďż˝ = đ??Ž = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź[đ??Žđ?’• + đ?&#x;?đ??… + đ?œš] = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź[(đ??Žđ?’• + đ?œš) + đ?&#x;?đ??…] = đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź[đ??Žđ?’• + đ?œš] = đ?’™(đ?’•)

Inoltre quando la particella si trova in đ?‘Ľ0 all’istante iniziale đ?‘Ą = 0 si verifica facilmente che la fase iniziale è: đ?’™đ?&#x;Ž ďż˝ đ?‘¨

đ?œš = đ??œđ??¨đ??Ź −đ?&#x;? ďż˝

Derivando rispetto al tempo l’equazione della posizione e successivamente quella della velocitĂ si ottiene: đ?’— = đ?’—(đ?’•) = −đ??Žđ?‘¨ đ??Źđ??˘đ??§(đ??Žđ?’• + đ?œš)

đ?’‚ = đ?’‚(đ?’•) = −đ??Žđ?&#x;? đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź(đ??Žđ?’• + đ?œš)

Osservando in particolare l’espressione dell’accelerazione e confrontandola con quella della posizione ci si accorge che essa può essere scritta come: đ?’‚ = −đ??Žđ?&#x;? đ?’™

ďż˝âƒ— = −đ??Žđ?&#x;? đ?’™ ďż˝âƒ— đ?’‚

Questa caratteristica è di fondamentale importanza per l’individuazione di un moto oscillatorio: L’accelerazione è (istante per istante) proporzionale all’opposto della posizione. Indipendentemente dalla direzione dello spostamento, la forza agisce sempre in una direzione tale da riportare il sistema nella sua posizione di equilibrio (forza di richiamo). L’equazione del moto può anche essere espressa in funzione delle condizioni iniziali đ?‘Ľ0 e đ?‘Ł0 e della pulsazione đ?œ” o eventualmente del periodo o della frequenza: đ?’—đ?&#x;Ž ďż˝ đ?’”đ?’Šđ?’? đ??Žđ?’• đ??Ž

đ?’™ = đ?’™(đ?’•) = đ?’™đ?&#x;Ž đ?’„đ?’?đ?’” đ??Žđ?’• + ďż˝

Oscillatore Armonico Semplice

Un oscillatore armonico semplice è un sistema costituito da una massa đ?‘š accoppiata ad una molla ideale di costante elastica đ?‘˜, di massa trascurabile e su cui non agiscono altre forze. Tale sistema è realizzabile tramite una massa appoggiata ad un piano orizzontale senza attrito e vincolata ad una molla di costante elastica đ?‘˜. L’equazione del moto è: ďż˝âƒ— + đ?‘ˇ ��⃗ + đ?‘ľ ��⃗ = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— đ?‘­

ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒ −đ?’Œđ?’™ ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒ đ?’‚ ďż˝âƒ— = − đ?‘­

đ?’Œ đ?’Œ ďż˝âƒ— ⇒ ďż˝ = đ??Žđ?&#x;? ďż˝ đ?’‚ ďż˝âƒ— = −đ??Žđ?&#x;? đ?’™ ďż˝âƒ— đ?’™ đ?’Ž đ?’Ž

Essendo l’accelerazione proporzionale allo spostamento, il moto di una massa accoppiata ad una molla è un moto armonico semplice di pulsazione e periodo rispettivamente: đ?’Œ đ??Ž=ďż˝ đ?’Ž

đ?’Ž đ?’Œ

đ?‘ť = đ?&#x;?đ??…ďż˝

Ricordando la definizione di energia potenziale e l’equazione della posizione si può scrivere l’energia potenziale elastica del sistema massa-molla: đ?‘ź=

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Œđ?’™ = đ?’Œ[đ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź(đ??Žđ?’• + đ?œš)]đ?&#x;? = đ?’Œđ?‘¨đ?&#x;? đ??œđ??¨đ??Źđ?&#x;? (đ??Žđ?’• + đ?œš) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

una funzione non negativa del tempo e di periodo �⠄2.

Ricordando la definizione della velocitĂ e della pulsazione si può scrivere l’energia cinetica del sistema massa-molla: đ?‘˛=

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Žđ?’—đ?&#x;? = đ?’Ž[−đ??Žđ?‘¨ đ??Źđ??˘đ??§(đ??Žđ?’• + đ?œš)]đ?&#x;? = đ?’Žđ??Žđ?&#x;? đ?‘¨đ?&#x;? đ??Źđ??˘đ??§đ?&#x;? (đ??Žđ?’• + đ?œš) = đ?’Œđ?‘¨đ?&#x;? đ??Źđ??˘đ??§đ?&#x;? (đ??Žđ?’• + đ?œš) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

L’energia meccanica đ??¸ vale:

�=�+�=

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Œđ?‘¨ đ??œđ??¨đ??Ź đ?&#x;? (đ??Žđ?’• + đ?œš) + đ?’Œđ?‘¨đ?&#x;? đ??Źđ??˘đ??§đ?&#x;? (đ??Žđ?’• + đ?œš) = đ?’Œđ?‘¨đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

che è ovviamente costante in quanto tutte le forze agenti sono conservative.

Analizzando quest’ultima espressione possiamo ricavare altri risultati quali l’ampiezza e la velocitĂ massima del moto: đ?’™ = đ?‘¨ đ?’„đ?’?đ?’” (đ??Žđ?’• + đ?œš) ⇒ đ?’™ = đ?’™đ?’Žđ?’‚đ?’™ đ?’„đ?’?đ?’” (đ??Žđ?’• + đ?œš) đ?’— = −đ??Žđ?‘¨ đ?’„đ?’?đ?’” (đ??Žđ?’• + đ?œš) ⇒ đ?’— = −đ?’—đ?’Žđ?’‚đ?’™ đ?’„đ?’?đ?’” (đ??Žđ?’• + đ?œš) đ?‘Ź ==

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?‘Ź đ?&#x;?đ?‘Ź đ?&#x;?đ?‘Źđ??Žđ?&#x;? đ?&#x;?đ?‘Ź đ?&#x;?đ?‘Ź đ?’Œđ?‘¨ ⇒ đ?‘¨ = ďż˝ ⇒ đ??Žđ?‘¨ = đ??Žďż˝ =ďż˝ =ďż˝ =ďż˝ đ?’Œ đ?&#x;? đ?’Œ đ?’Œ đ?’Œ đ?’Ž đ??Žđ?&#x;? đ?’—đ?’Žđ?’‚đ?’™ = ďż˝

đ?&#x;?đ?‘Ź đ?’Ž

���� = �

đ?&#x;?đ?‘Ź đ?’Œ

Pendolo Semplice Un pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale vincolato ad un estremo da un filo di massa trascurabile e inestensibile. L’altro estremo del filo è vincolato ad un punto O fisso in un sistema di riferimento inerziale e la massa đ?‘š è soggetta alla forza peso. Supponendo che il moto avvenga nel piano del disegno si può applicare l’equazione del moto per i moti rotatori attorno ad un asse fisso. đ?&#x;?

đ?’?

��⃗ ⇒ ďż˝đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?‘°đ?œś đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

⎧ ďż˝âƒ— + đ?’?⃗ Ă— đ?‘ˇ ��⃗ = đ?&#x;Ž + đ?’?đ?‘ˇ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ (−đ?’›ďż˝) = −đ?’?đ?’Žđ?’ˆ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ (−đ?’›ďż˝) ďż˝đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?’?⃗ Ă— đ?‘ť đ?’‹ ⎪ ⎨ ⎪ ⎊

đ?’‹=đ?&#x;?

đ??ˆ = đ??Śđ??Ľđ?&#x;? đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ ��⃗ = đ?œśđ?’›ďż˝ = đ?&#x;? đ?’›ďż˝ đ?œś đ?’…đ?’•

đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?’ˆ đ?’ˆ ⇒ −(đ?’?đ?’Žđ?’ˆ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝)đ?’›ďż˝ = (đ?’Žđ?’?đ?&#x;? ) ďż˝ đ?&#x;? ďż˝ đ?’›ďż˝ ⇒ = − đ?’”đ?’Šđ?’?đ?œ˝ ⇒ = đ??Žđ?&#x;? ⇒ đ?&#x;? đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’? đ?’? đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ = −đ??Žđ?&#x;? đ?’”đ?’Šđ?’?đ?œ˝ ≠−đ??Žđ?&#x;? đ?œ˝ đ?’…đ?’•đ?&#x;?

Approfondendo l’analisi si ricava che il moto del pendolo semplice è un moto armonico semplice per piccole oscillazioni ossia per đ?œƒ ≅ 14° ed avrĂ pulsazione e periodo rispettivamente: đ?’ˆ đ?’?

đ??Ž=ďż˝

Pendolo Fisico

đ?‘ť=

đ?&#x;?đ??… đ?’? = đ?&#x;?đ??…ďż˝ đ??Ž đ?’ˆ

Un pendolo fisico è un sistema costituito da un corpo rigido di forma qualsiasi vincolato ad un asse orizzontale fisso in un sistema di riferimento inerziale e soggetto alla forza peso. Ripercorrendo l’analisi fatta per il pendolo semplice otteniamo i seguenti risultati: đ?’?

��⃗ ⇒ ďż˝đ??‰ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť = đ?‘°đ?œś đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

đ?&#x;?

⎧ ��⃗ + đ?‘š ��⃗ Ă— đ?‘ˇ ��⃗ = đ?&#x;Ž + đ?‘šđ?‘ˇ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ (−đ?’›ďż˝) = −đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ (−đ?’›ďż˝) ďż˝âƒ—đ?‘˝ Ă— đ?‘˝ ďż˝âƒ—đ?‘Źđ?‘şđ?‘ť =đ?’“ đ?’‹ ⎪� đ??‰ ⎨ ⎪ ⎊

đ?’‹=đ?&#x;?

��⃗ = đ?œśđ?’›ďż˝ = đ?œś

đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?’›ďż˝ đ?’…đ?’•đ?&#x;?

đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ −(đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝)đ?’›ďż˝ = đ?‘° ďż˝ đ?&#x;? ďż˝ đ?’›ďż˝ ⇒ đ?‘° đ?&#x;? = −đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ ⇒ = − đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•đ?&#x;? đ?‘°

Che per piccoli angoli si riduce a:

đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ đ?’…đ?&#x;? đ?œ˝ =− đ?œ˝ đ?&#x;? đ?’…đ?’• đ?‘°

đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ đ??Ž=ďż˝ đ?‘°

đ?‘ť=

đ?&#x;?đ??… đ?‘° = đ?&#x;?đ??…ďż˝ đ??Ž đ?‘šđ?’Žđ?’ˆ

Teorema di Fourier Ogni funzione đ?’‡(đ?’•), definita e periodica in intervalli [đ?’•, đ?’• + đ?‘ť] ed avente al piĂš un numero finito di discontinuitĂ in ognuno di questi intervalli, può essere rappresentata per mezzo di una serie infinita di funzioni trigonometriche. ∞

đ?’‡(đ?’•) = đ?’‚đ?&#x;Ž + ďż˝[đ?’‚đ?’? đ??œđ??¨đ??Ź(đ?’?đ??Žđ?’•) + đ?’ƒđ?’? đ??Źđ??˘đ??§(đ?’?đ??Žđ?’•)] đ?’Š=đ?&#x;?

Serie di Fourier:

Combinando (sommando) onde sinusoidali semplici si ottengono forme d’onda periodiche complesse. ∞

Analisi di Fourier:

đ?’‚đ?&#x;Ž + ďż˝[đ?’‚đ?’? đ??œđ??¨đ??Ź(đ?’?đ??Žđ?’•) + đ?’ƒđ?’? đ??Źđ??˘đ??§(đ?’?đ??Žđ?’•)] → đ?’‡(đ?’•) đ?’Š=đ?&#x;?

Si analizza una forma d’onda complessa scomponendola nelle sue componenti di Fourier. ∞

đ?’‡(đ?’•) → đ?’‚đ?&#x;Ž + ďż˝[đ?’‚đ?’? đ??œđ??¨đ??Ź(đ?’?đ??Žđ?’•) + đ?’ƒđ?’? đ??Źđ??˘đ??§(đ?’?đ??Žđ?’•)] đ?’Š=đ?&#x;?

Si nota che l’approssimazione di una funzione periodica ottenuta con la serie di Fourier troncata oscilla attorno alla funzione considerata e che le oscillazioni diventano sempre piÚ piccole all’aumentare dei termini considerati.

Oscillatore Armonico Smorzato Data la forza di smorzamento:

L’equazione del moto diventa:

ďż˝âƒ—đ?’— = −đ?œ¸đ?’— ďż˝âƒ— đ?‘­

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’Œ + ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒ −đ?’Œđ?’™ ďż˝âƒ— + đ?œ¸đ?’— ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒ đ?’‚ ďż˝âƒ— + đ?œ¸ =đ?? đ?’Ž

đ?œ¸ đ?’Œ ďż˝âƒ— + đ?’™ ďż˝âƒ— = đ?&#x;Ž đ?’— đ?’Ž đ?’Ž

đ?’Œ đ?’…đ?&#x;? đ?’™ đ?’…đ?’™ đ?&#x;? = đ??Žđ?‘ľ ⇒ +đ?? + đ??Žđ?&#x;?đ?‘ľ đ?’™ = đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?’…đ?’• đ?’…đ?’•

Equazione differenziale che ha tre tipi di soluzione a seconda che đ?œ”đ?‘ sia maggiore, minore o uguale di 1ďż˝2 đ?œ‡.

-

Oscillazione sottosmorzata: đ??Žđ?‘ľ >

-

đ??

đ?&#x;? đ?? đ?&#x;?

đ?’™ = đ?‘¨đ?’†âˆ’đ?&#x;?đ?’• ∙ đ??Źđ??˘đ??§(đ??Žđ?’” đ?’• + đ??“)

Smorzamento critico:

đ??Žđ?‘ľ =

đ?&#x;? đ?? đ?&#x;?

đ??

-

đ?’™ = đ?’†âˆ’đ?&#x;?đ?’• ∙ (đ?‘Šđ?’• + đ?‘Ş)

Oscillazione sovrasmorzata:

đ??Žđ?‘ľ <

đ?&#x;? đ?? đ?&#x;?

đ??

Oscillatore Armonico Forzato

đ?’™ = đ?’†âˆ’đ?&#x;?đ?’• ∙ (đ?‘Ťđ?’†đ?’Šđ??Žđ?’”đ?’• + đ?‘Źđ?’†âˆ’đ?’Šđ??Žđ?’”đ?’• )

Un oscillatore armonico forzato è un oscillatore cui è stata applicata una forza periodica esterna. Tale sistema è realizzabile tramite una massa appoggiata ad un piano orizzontale senza attrito, vincolata ad una molla da un lato e dall’altro a un smorzatore idraulico a cui è applicata una forza periodica esterna đ??šâƒ—đ??¸ che impedisce il decadimento delle oscillazioni o ne

aumenta l’ampiezza.

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’Œ + ďż˝đ?‘­âƒ—đ?’— + ďż˝đ?‘­âƒ—đ?‘Ź + ďż˝đ?‘ˇ ďż˝âƒ— + ďż˝đ?‘ľ ďż˝âƒ— = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒ −đ?’Œđ?’™ ďż˝âƒ— + đ?œ¸đ?’— ďż˝âƒ— + ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;Ž đ?’”đ?’Šđ?’?(đ??Žđ?‘­ đ?’•) = đ?’Žđ?’‚ ďż˝âƒ— ⇒

-

đ?œ¸ =đ?? đ?’Ž

ďż˝âƒ— + đ?’‚

ďż˝đ?‘­âƒ—đ?&#x;Ž đ?œ¸ đ?’Œ ďż˝âƒ— = ďż˝âƒ— + đ?’™ đ?’— đ?’”đ?’Šđ?’?(đ??Žđ?‘­ đ?’•) đ?’Ž đ?’Ž đ?’Ž

đ?’Œ đ?‘­đ?&#x;Ž = đ??Žđ?&#x;?đ?‘ľ = đ?’‡đ?&#x;Ž đ?’Ž đ?’Ž

Oscillazione sottosmorzata

⇒

đ?’…đ?&#x;? đ?’™ đ?’…đ?’™ + đ?? + đ??Žđ?&#x;?đ?‘ľ đ?’™ = đ?’‡đ?&#x;Ž đ?’”đ?’Šđ?’?(đ??Žđ?‘­ đ?’•) đ?’…đ?’•đ?&#x;? đ?’…đ?’•

Le soluzioni dell’equazione solo del tipo: đ??

đ?’™ = đ?‘¨đ?‘ş đ?’†âˆ’đ?&#x;?đ?’• ∙ đ??Źđ??˘đ??§(đ??Žđ?’” đ?’• + đ??“) + đ?‘¨đ?‘­ ∙ đ??Źđ??˘đ??§(đ??Žđ?‘­ đ?’• + đ??“đ?‘­ )

Dove la prima parte rappresenta l’oscillazione smorzata transitoria mentre la seconda quella forzata stazionaria.

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.