Trabajo Practico / Movimiento Circular Uniforme

Física I / MCU

1 MOVIMIENTO CIRCULAR 2

Características del Movimiento Circular..................................................................................... 19 2.1

Período (T) y frecuencia (f) ................................................................................................. 19

2.2

Velocidad angular () ......................................................................................................... 19

2.3

Velocidad tangencial (v) ..................................................................................................... 19

2.4

Ejemplo: Hélice de un Avión ............................................................................................... 20

2.5

Fuerza centrípeta ................................................................................................................ 20

2.6

Ejemplo: Rotación en un plano vertical .............................................................................. 21

3

Movimiento Circular Uniforme (MCU): ...................................................................................... 22

4

Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) ............................................................. 22

5

Momento de una Fuerza ............................................................................................................ 23 5.1

Segunda condición de equilibrio ........................................................................................ 24

5.2

Relación entre momento de una fuerza y aceleración angular.......................................... 25

5.3

Ejemplo: Un niño en un subibaja ........................................................................................ 26

6

Problemas ................................................................................................................................... 28

7

Preguntas de Evaluación............................................................................................................. 31

8

Respuestas Numéricas de los Problemas ................................................................................... 32

17

18

FĂ­sica I / MCU

TRABAJO PRà CTICO N° 1

MOVIMIENTO CIRCULAR Si la trayectoria que describe un cuerpo es una circunferencia, se dice que su movimiento es circular (MC). La fuerza resultante sobre el cuerpo es perpendicular a su velocidad.

2 CARACTERĂ?STICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR 2.1 PERĂ?ODO (T) Y FRECUENCIA (F) El periodo T es el tiempo que tarda el cuerpo en completar una vuelta o revoluciĂłn. Se mide en [s].

La frecuencia f es el nĂşmero de vueltas que realiza el cuerpo en la unidad de tiempo. Se mide en [1 / s] o Hz. TambiĂŠn es comĂşn encontrarla expresada en [ciclos/s] y [r.p.m.]

Estas dos magnitudes se relacionan mediante la siguiente ecuaciĂłn:

T=

1 f

2.2 VELOCIDAD ANGULAR (ď ˇ) Se calcula como el cociente entre el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo que tarda en realizarlo. Es una magnitud vectorial ya que el desplazamiento angular (ď „ď Ą) es tambiĂŠn vectorial, su direcciĂłn es perpendicular al plano que contiene a la trayectoria del cuerpo: đ?œ”= Se mide en ď ˇď€ş [rad/s]

∆đ?›ź ∆đ?‘Ą

Se puede expresar la rapidez angular en funciĂłn de la frecuencia f o del periodo T:

2ď ° T

ď ˇď€˝2ď °f  2.3 VELOCIDAD TANGENCIAL (V)

Se define la velocidad tangencial v en funciĂłn de la velocidad angular ω y del radio r de curvatura como: đ?‘Łâƒ— = đ?œ” ⃗⃗ Ă— đ?‘&#x;⃗ v:[m/s]; r: [m];ď€ ď ˇď€ş [rad/s]

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2.4 EJEMPLO: HÉLICE DE UN AVIÓN La hélice de un avión da 1,5 x 103 revoluciones por minuto. Calcular:

a) La frecuencia en Hz y el período en segundos. b) La velocidad angular de la hélice. c) La velocidad tangencial de un punto de la hélice que se encuentra a 60 cm del centro de la misma.

Resolución: a) El dato del enunciado corresponde a la frecuencia de giro de la hélice expresada en r.p.m., en Hz sería:

f =1,5 x 103 T=

1 f

1 1 =1,5 x 103 x min 60 s = 25 Hz;

T=

f = 25Hz

1 =0,040 s 25 Hz

La frecuencia de la hélice es 25 Hz y su período 0,040 s. b) ω=2πf=2π x 25 Hz

ω=1,6 x 10 2

rad s

La velocidad angular de la hélice es de 1,6 x 102 rad/s.

rad

2 c) v =ωR=1,6 x 10 s x 0,60 m

v =96

m s

La velocidad tangencial de la hélice es de 96 m/s.

2.5 FUERZA CENTRÍPETA En el MC la componente de la fuerza resultante sobre el cuerpo en la dirección radial se denomina fuerza centrípeta.







 F dir. radial = m a c = Fc Donde ac se denomina aceleración centrípeta:

v2 aC r r 2

La unidad de esta magnitud es [m/s2] 20

Física I / MCU

 

r ac

ac

v

v

2.6 EJEMPLO: ROTACIÓN EN UN PLANO VERTICAL Una partícula de 50 g sujeta a una cuerda, describe una trayectoria circular de 50 cm de radio en un plano vertical. La tensión de la cuerda en su punto más alto es de 0,40 N y en su punto más bajo es de 2,0 N. Para los puntos mencionados: a) Realizar un diagrama de cuerpo libre. b) Calcular la velocidad de la partícula. c) Calcular la fuerza centrípeta sobre la partícula.

Resolución:

a)

T P T

P

b) Según los diagramas de cuerpo libre se puede plantear que la suma de fuerzas es igual a la fuerza centrípeta.

Para el punto superior es:

ΣF = m  ac T +P= m v=

v2 R

T + mg  R = m

0,40 N + 0,05 0 kg  9,8 m / s  0,50 m 2

0,050 kg

v = 2,9 m/s 21

Para el punto inferior es:

ΣF = m  ac T P= m v=

v2 R

T  mg  R =

2,0 N  0,050 kg  9,8 m / s  0,50 m 2

m

0,050 kg

v = 3,9 m/s

c) como ∑F =m ac= m V2 / R La fuerza centrípeta en el punto superior;

Fc = mac = m

v2 R 2

m  0,050 kg   2,9  s  Fc = = 0,84 N 0,50 m La fuerza centrípeta en el punto inferior;

Fc = mac = m

v2 R 2

m  0,050 kg   3,9  s  Fc = = 1,5 N 0,50 m

3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): Si durante el movimiento circular el cuerpo mantiene constante su rapidez (y con ello su velocidad angular) se dice que el movimiento circular es uniforme (MCU).

En el MCU la rapidez del cuerpo se mantiene constante, no así su velocidad. La fuerza centrípeta sólo cambia la dirección de la velocidad, no su módulo.

ω=

Δα Δt

Δα = ω Δt

 = cte

4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Si, en cambio, su rapidez no se mantiene constante (y su velocidad angular ω tampoco), se dice que el movimiento es circular variado. La fuerza resultante cambia tanto el módulo como 22

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la dirección de la velocidad (y el módulo de la velocidad angular ω), por lo que aparece una aceleración angular:



 t

Siendo sus unidades [rad/s2] Si η es constante el movimiento se denomina movimiento circular uniformemente variado (MCUV), en analogía con el MRUV. En el MRUV se describió el movimiento con tres ecuaciones: x, v y a en función de t. Con una interpretación adecuada, dichas ecuaciones se pueden plantear para el movimiento circular reemplazando v por ω, Δx por Δα y a por η:

MRUV

MCUV

v = v0 + a t

ω = ω0 + η t

x = x0 + v 0 t + ½ a t2

α = α0 + ω0 t + ½ η t2

v2 = v02 + 2 a x

ω2 = ω02 + 2 η α

5 MOMENTO DE UNA FUERZA El efecto de una fuerza de hacer girar un cuerpo alrededor de un eje determinado se mide por medio de una magnitud vectorial denominada momento de una  fuerza  τ 

   τ=r x F  Cuyo módulo es:

τ = r F sen α y la dirección y sentido se obtiene aplicando las propiedades del producto vectorial.

En el caso de la figura:

23

 F

r

d

Como:

d = r sen α

Entonces:

τ= d F

Donde r es el brazo de palanca de la fuerza F y d es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la dirección de la fuerza.

109º

r O

71º

19º

F

109º

d

5.1 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Para que un cuerpo rígido se encuentre en reposo no basta que se cumpla solo el primer principio de equilibrio (puede rotar), sino que se cumpla también:

 τ  =0 La suma total de los momentos provocados por las fuerzas externas es cero, con lo que se asegura que no haya movimientos de rotación.

Para realizar la suma se debe tener en cuenta la convención utilizada para el signo del momento según en el sentido de la rotación:

+

24

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5.2 RELACIÓN ENTRE MOMENTO DE UNA FUERZA Y ACELERACIÓN ANGULAR En forma análoga a la segunda ley de Newton para el movimiento rectilíneo (o traslación):

Fneta = ma Se puede plantear la segunda ley de Newton para la rotación:

  τneta = I η Donde I es la inercia rotacional o momento de inercia del cuerpo (concepto análogo al de la inercia m en el movimiento traslacional) que depende de la distribución de las partículas que componen el cuerpo respecto del eje de rotación:

I =  mi ri 2 donde ri es la distancia al eje de la partícula de masa mi.

Para cuerpos sólidos:

Μ =  mi donde M es la masa del cuerpo.

Comparación de los movimientos lineal y de rotación Movimiento lineal

Movimiento de rotación

Desplazamiento

x

Velocidad

v=

Aceleración

Masa

Fuerza

dx dt

a=

m

F

θ

Desplazamiento angular

dv dt

Velocidad angular

Aceleración angular

Momento de inercia

ω=

dθ dt

=

dω dt

I= m r2

Momento de una fuerza

τ

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5.3 EJEMPLO: UN NIÑO EN UN SUBIBAJA Un niño de 30 kg de masa quiere jugar con su perro (de 10 kg de masa) en un subibaja cuyo punto de apoyo se encuentra en el centro. a) Cuando el animal se sienta a 3,0 m del apoyo, ¿Dónde se debe sentar el niño, si la tabla del subibaja, de 6,5 m de longitud, debe estar equilibrada horizontalmente? b) Suponga que el animal se acerca 1 m hacia el niño. ¿El subibaja estará equilibrado?

Calcule la aceleración angular.

Resolución: a)

Dado que se conocen las masas del niño y del perro situadas a una distancia determinada del centro de apoyo se puede utilizar la segunda condición de equilibrio:

τ niño = τ perro ( m g ) d  ( m g ) d n i ñ o n i ñ o p e r r o p e r r o En donde dperro es la distancia del perro al punto de apoyo, la cual es conocida y dniño es la distancia del niño al punto de apoyo, la cual hay que averiguar.

10kg3,0m dniño  30kg dniño 1,0m b) Para saber si el sistema está en equilibrio hay que calcular el momento originado por el perro y el niño:

τ niño = mniño g d niño = 30 kg 9,8

m 1m s2

τ niño = 294 Nm τ perro = m perro g d perro = 10 kg 9,8

m 2m s2

τ niño = 196 Nm Si se calcula el momento total:

τ neto = τ niño  τ perro = 294 Nm  196 Nm τ neto = 98 Nm Como es distinto de cero el sistema no se encuentra en equilibrio. Para calcular la aceleración angular del sistema se utiliza:

  τ neto = I. η Para calcular el momento de inercia: 26

Física I / MCU

2 2 I =  mi ri 2 = m perro d perro + mniño d niño

I = 10 kg ( 2 m)2 + 30 kg ( 1 m)2 I = 70 kg m 2 De la segunda ley de Newton para la rotación:

τ neto 98 N m = I 70 kg m 2 rad η = 1,4 2 s

η=

¿En cuál sentido giraría el subibaja?





 perro

 niño 

 neto

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6 PROBLEMAS 1) Sobre un cuerpo de 3,0 kg que se mueve con rapidez constante, actúa una fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad describiendo una circunferencia de 5,0 m de radio de manera tal que realiza una revolución completa cada 3,0 s. Determine: a) La aceleración que adquiere el cuerpo (módulo, dirección y sentido) b) El valor de la fuerza aplicada.

2) Una centrífuga de ingenio de 2,0 m de diámetro gira a 5,4 x 103 rpm. a) Determinar la fuerza resultante que actúa sobre una partícula de 50 g situada en el extremo de un brazo de la centrífuga. b) Calcular la rapidez con que se mueve esta partícula. c) En un esquema dibujar los vectores velocidad tangencial de la partícula y la fuerza neta que actúa sobre ella en distintos puntos de la trayectoria circular. d) Si la partícula estuviera situada a una distancia igual a la mitad del radio respecto al centro de giro ¿cambiarían su rapidez y su velocidad angular? Justificar la respuesta.

3) Una centrífuga de 0,30 m de diâmetro gira a 3,0 x 103 rpm durante 10 s. a) Calcular el período y la frecuencia. b) Determinar la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta al cabo de 0 , 5 s y 10 s respectivamente. c) Calcular el número de giros realizados en los 10 s. d) Con los mismos datos del problema anterior responder los tres incisos (a,b,c) para un punto situado a una distancia igual a la tercera parte del radio desde el centro de giro.

4) Un sistema, constituido por una masa de 0,01 kg unida al extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable y de 0,2 m de longitud, gira en sentido horario sobre un plano horizontal liso alrededor de un punto fijo O. El sistema gira a razón de 30 rad/s. a) Realizar un diagrama de cuerpo libre de la masa. b) Determinar la fuerza resultante sobre la masa (módulo, dirección y sentido). c) Calcular el ángulo que gira el sistema al cabo de 0,5 seg. (0=0 rad). d) Dibujar los vectores velocidad y aceleración en las dos posiciones del esquema dado.

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Física I / MCU

5) Dados los siguientes ejemplos: I) Una piedra cae libremente cerca de la superficie terrestre.

II) La Luna orbita alrededor de la Tierra con movimiento circular uniforme Indique para cada uno cuáles de las magnitudes enunciadas permanecen constantes.

Justifique sus respuestas. a) Fuerza neta. b) Velocidad. c) Aceleración. d) Ninguna de las anteriores.

6) Los astronautas en su entrenamiento soportan aceleraciones de 9 veces g obtenidas en cápsulas que giran alrededor de un eje. Las cápsulas se encuentran a 10 m del eje. a) ¿A qué frecuencia debe girar la cápsula para obtener la aceleración deseada? b) ¿Con qué rapidez, medida en km/h, se mueve la cápsula en estas condiciones?

7) Un disco gira con una velocidad angular de 4 rad/s. Una partícula de 0,02 kg gira con él a una distancia de 0,1 m del eje de giro. a) Identificar las fuerzas que actúan sobre la partícula e indicar cuál de ellas representa la fuerza centrípeta. b) Calcular el módulo de la fuerza de fricción entre la partícula y el disco. c) Calcular la velocidad tangencial de la partícula.

8) El radio de órbita terrestre alrededor del sol (suponiendo que fuera circular) es de 1,50x108 km y la tierra la recorre en 365 días. a) Calcule la magnitud de la velocidad orbital de la tierra en m/s. b) Calcule la aceleración radial hacia el sol en m/s2. c) Repita el apartado a) y b) para un electrón del átomo de hidrógeno del modelo de Bohr, cuya orbita circular alrededor del protón es de 5,29x10-11 m, sabiendo que su período es 1,52x10-16 s.

9) Un satélite geo sincrónico es el que se mantiene sobre un mismo punto de la Tierra, lo cual es posible sólo si está en un punto sobre el ecuador. Tales satélites se usan para las transmisiones de radio y televisión, para el pronóstico del clima y como retransmisores de comunicación. Determine: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que debe orbitar dicho satélite b) la rapidez del mismo. c) Compárela con la rapidez de un satélite que orbita a 200 km sobre la superficie terrestre.

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10)

El momento de una fuerza que se requiere para aflojar una tuerca de una rueda tiene

una magnitud de 40,0 N m con respecto a la posición de la tuerca. Averigüe cual es la fuerza mínima que el mecánico debe ejercer en el extremo de una llave de 30,0 cm de largo para aflojar la tuerca.

11)

Un péndulo simple se compone de una masa puntual de 3 kg que cuelga de un hilo de 2 m de largo. Averigüe la magnitud del momento debido a la fuerza de gravedad en torno al eje de giro cuando el hilo forma un ángulo de 5º con la vertical.

12)

Una persona abre una puerta de 12 kg aplicando una fuerza constante de 40 N a una

distancia perpendicular de 90 cm de las bisagras. Si la puerta tiene 2,0 m de altura y 1,0 m de ancho: a) Calcule la aceleración angular que adquiere la puerta.

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Física I / MCU

7 PREGUNTAS DE EVALUACIÓN

1. Un objeto, sostenido por una cuerda, describe una trayectoria circular. Cuando la cuerda se rompe la trayectoria del objeto será: a) Tangencial a la circunferencia que describía. b) Radial hacia afuera, alejándose del centro de la circunferencia.

2. En un MCU no hay aceleración.

3. Cuál debe ser la mínima velocidad angular con que se debe hacer girar un brazo (considerado de 1m de largo) para que el agua contenida en un balde no se caiga mientras describe la trayectoria circular.

4. Explique por medio de diagramas por qué se dirige hacia el centro, la aceleración de un cuerpo que se mueve en círculos a rapidez constante.

5. Al tomar una curva, un automóvil entra en un tramo de hielo, derrapa y se sale del camino. Según la primera ley de Newton, el vehículo se moverá hacia delante en dirección tangente a la curva, no hacia fuera en ángulo recto respecto a ella. ¿Por qué?

6. Si la fuerza responsable del movimiento circular se dirige hacia el centro de rotación, ¿por qué el agua se separa de la ropa durante el ciclo de centrifugación de un lavarropas?

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8 RESPUESTAS NUMÉRICAS DE LOS PROBLEMAS 1) a) 21,9 m/s2 ; b) 65,8 N 2) a) F = 1,6. 10 2 N; b) v = 282,75 m/s; d) ω se mantiene constante 3) a) f = 50 Hz, T = 0,02 s; b) v = 47,1 m/s, ac = 14804,5 m/s2; c) en 10 s el sistema gira 500 vueltas.

4) b) F = 1,8 N; α = 15 rad 6) a) f = 0,47 Hz; v = 106,9 km/h.

7) b) F = 0,032 N; c) 0,4 m/s 8) a) 2,99x104 m/s; b) 0,60 m/s; c) 2,19 m/s; 9,04x1022 m/s2.

9) a) r = 4,23 . 107 m; b) v = 3070 m/s; c) v = 7780 m/s 10) F = 133,3 N 11)  = 5,1 N m 12) a)  = 9,1 rad/s2; b) t = √ 0,17 s

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