Coefficients K-Nomiaux

FLORENTIN SMARANDACHE

Coefficients K-Nomiaux

In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.

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K-NŒU AUX'

COEFFICIENTS

nts biDans cet artic le on élnrg it les notio ns de "coef ficie de"co n notio la à iaux" trinom nomia ux" et de "coef ficie nts généiétés propr ues .quelq effic ients k-nomiaux~ et on obtie nt "trile ra ralise géné on rales de ceux- ci. Comme appli catio n, 2..ngle de Pasca l".

2 = 1 + x + x +•.• +xk-l On consi dère un nombr e natur el k)/2 , soit p(x) ellera "k-nô me". le polyn ôme formé de k monômes de ce type ~ on li2,pp ts des puiss ances On appel le coeff icien ts k-nom iaux les coeff icien k-1 n . 2 ) ~ pour n entie r posit if. On les noter a de x de .~ +. •• +x h ave c .h f (;:1,~2 ,'; ..... , 2-;'ln} .

Ck n nombr es Par la sui te on va const ruire pàr récur rence un tri::m gle de kil. re qui va ~tre appel é iltri.m gle des nombr es d'ord Cf.J) 1 : k = 2p + 1. elle "liSur la premi ère ligne du trie..n g1e on Gcri t 1 et on l'app gne 0". "l, gauch e et à (1) On - convi ent que toute s les cases qui se trouv ent de chaqu e ligne droit e du prem ier (resp ective ment du derni er) nombr e ntes sont apseron t consi d3rée s comme conten~nt O. Les ligne s suiva ndrél 2P nompelée s "lign e 1", "lign e 2" 1 etc ••• Chaqu e ligne contie prem ier nomdu e gauch à es nombr p g bres de plus que la précé dente dente . préc3 ligne la de e nombr er bre, p nomb res 2-., droit e du derni l~ ligne de ceux de r parti à nt Les nombr es de la ligne i+l s'obt ienne i de la façon suiva nte ~ sur la Ck~1.+1 est égal à l'add ition des p nombr es situé s à sa gauch e i, au nomligne ~ et des p nomb res situé s à Sél droit e sur la ligne e de la cbmj)t tenir bre si tué au-de ssus de lui (voir fig.l ). On V2. p nomb res -p nombr es conve ntion 1.

Fig.l

~o·~

ligne i ligne i+l

~

f)Ck~

1.+1

ExemE le pour k=5 1

1

1 1

1

1

2 3 4 543 2 1 1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1 10 20 35 52 68 80 85 80 68 52 35 20 10 4 1 1

1

!~

•••••••••••

Le nombr e

C5~

=

og,oooe

C5~ =

•••

o.oOOOOOOGoIO.OOO

0+0+0+0+1

0+1+1+1+1 = 4

C5~

=1 =

J

C5~

oçooooeoeooooo

= 0+1+0 +0+0 = 1 ,

4+5+4-+3+2 = 18 , etc •••

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1) La ligne i 2)

Ck~

,

?:o

a

2pi+l '§167lents.

Ck~=~

où par convention

Ck~

, 0 pour

{!><~p;t

Ceci est évident d'après la construction du tri~ngle.

3) Chaque ligne est sym0trique par rapport ~ l'j13ment centr~l.

4) Les premiers éléments de la ligne i sont 1 et i.

5) La ligne i du triangle de nombres d'ordre k repr6sente les coef2 k-l i ficients k-nomiaux de (1 + x + x + ••• + x ).

L~ d.§monstration se fait par récurrence sur i de r~ 2.) Pour i=l 0' est 5vident ~ (en fr\Ï t la propriét8 serOli t encore vraie pour i=O). b) Supposons l~ propriét.§ vraie pour n. Alors 2 k-l n+l 2 k-l 2 k-l n (l+x+x + ••• +x ) = (l+x+x + ••• +x )(l+x+x + ••• +x ) 2pn 2p(n+l)~_ _ j j = Cki .xi .xj ( l+x+x 2 + ••• +x 21)) - .• ~ ~ Ck.x ~ .J= 0 n t=O·1+J= . t n

> ""

o ~j

~2p

O,(i ,(2pn

>

~

t=O

j=O

2p(n+l) ( 2P

t-j

L - Ck

n

2p(n+l)

) x

t

=>t=o

t t Ckn+ l.x

n

6) La somme des éléments situés sur la ligne n est égale ~ k • La première méthode de d.§monstration utilise le raisonnement par r50urrenoe. Pour n=l l'assertion est 0vidente. On sup)ose la propri~t8 vraie pour n, c'est-à-dire que la somme des sléments situn és sur la ligne n est '3géüe à k • L~ ligne n+l se calcule 2. partir des Gl~ments de la ligne n. Chaque é10ment de la ligne n fai t pl"..rtie de la sOinme 'lui calcule chacun des p 0L3:'1ents si tuas à sn. gauche sur l~ ligne 11+1, chacun des p 61Gments situés à S<J. droite sur l~ ligne n+l et celui qui est situ~ en dessous g donc il Gst utilisé pour calculer k nombres do l<J. ligne n+l.

Donc la somIne des éléments de 12. ligne n+l ost k fois plus grande que IG somme de ceux de l? ligne n, donc elle vaut kn+l.

7) La différence entre l<J. sornr"e des coefficients k-nOi7}~Ü',UX cle r:-'~'1.g p~ir et la somme dos coefficients k-no;;1Îaux de r,,--1'lg im~é1ir situés 2 1 sur la même ligne (CkO-Ck +Ck -Ck3 + ••• ) est égale 3 1. n n n n.

2 On l'obtient si d3ns (l+x+x +••• + xk-l)n on prend x = -1. o h l h-1 h 0 h 8) Ckn .Ckm+Ckn .Ckm + ••• +Ckn .Ckm = Ckn+m Ceoi résulte de ce 'lue,d?l1s l'idcr..tité 2 k-l n 2 k-l m 2 k-l n+m (l+x+x +••• +x ) .(l+x+x + ••• +X ) = (l+x+x + ••• +X )

26 le coeff icien t de x

h

h' . h k -~ dans le membre de gauch e est ~ Ck~.C m n ~=

h

et celui de xh à droit e est Ckn+m • s sur lé'. li9) La somme des carré s des coeff icien ts k-nom iaux situé u de la limilie ê~ gne n est égale au ceffi cient k-nom ial situé gne 2n.

Pour la preuv e on prend n=m=h dans la prop riété 8. de ces coefOn peut trouv er be~ucoup de propr iétés et appli catio ns ts binoicien coeff les t ficie nts k-nom iaux parce qu'il s élarg issen miaux dont les applic Cl,t:'o ns sont connu es.

CAS 2 : k

=

2p.

analo gue : La const ructio n du t~_8..flgle de nombr es d'ord re k est O. Sur la prem ière ligne on écrit l ; on l'app elle ligne etc ••• Chaqu e Les ligne s suivn ntes sont ~ppe15es ligne 1, ligne 2, comme 2p-l est ligne aura 2p-l élémen~s de plus que lQ pr0c6 dente ; t placé s entre un nombr e impa ir, les Gléme nts de chaqu e ligne seron du cas l où ils les éléme nts de la ligne pr6c5 dente (à la diffci rence se plaça ient en-de ssous ). utilis~t ceux Les éléme nts situ8 ssur la ligne i+l s'obtienn~nt en nte de la ligne i de la f~çon suiva sur la Ck~ l est égal à l' Nidi tion des p cllé:ne nts si tués à sa gauch e ~+ (Fig. 2) . ligne i aux p ,n.3m ents situ.3 s à Sr\. droit e sur la ligne i. p nbres p,nbr es ligne i Fig. 2 ~r. j ligne i+l 1} Cki +l l Exem ple pour k=4 l l l 1 l 2 3 2 4 3 l 1 6 10 3 12 12 10 6 l 3 l 10 20 4 31 40 '!-,'} 40 31 20 10 l 4

..

•. -: ..•"'

.ooo.oo.oc-C'o.o.o • • • • • • • • • • O ••• OOO.IJ

0 0 • • • 000 • • • •• o . o . o • • ooo • • o ç . o . 0 0

h- i . h ~-l Ck =~ Ckn-l i=O n h En réuni ssant les propr iétés l et l' : Ckn D'où la propr iété l'

g

h

Ck - i • n-l

cas 2, avec des Les autre s propr iétés du Cas l se conse rvent dans le que la voit on preuv es ~alogues. Cepend~~ d~s l~ propr iété 7, pair rang de diffé rence entre la somme des coeff icien ts k-nom iêAX la mêsur s et celle des coeff icien ts k-nom i?ux do rRng impa ir situé me ligne est égP.le 2. O.