Duala unei teoreme relativă la ortocentrul unui triunghi

Duala unei teoreme relativă la ortocentrul unui triunghi profesor Ion Pătraşcu, Colegiul Naţional „Fraţii Buzeşti” Craiova – România profesor Florentin Smarandache, University of New Mexico, Gallup, U.S.A.

În [1] am introdus noţiunea de transversală Bobillier relativă la un punct oarecare

din planul unui triunghi

; vom folosi această noţiune în cele ce

urmează.

Vom transforma prin dualitate în raport cu un cerc

următoarea

teoremă relativă la ortocentrul unui triunghi.

Teorema 1. Dacă

este un triunghi neisoscel,

ortocentrul său şi

sunt ceviene ale triunghiului concurente în punctul , iar

sunt intersecţiile perpendiculalelor duse din

cevienele date, cu

, respectiv

, atunci punctele

diferit de

respectiv pe sunt coliniare.

Demonstraţie. Notăm cu

,

vezi Figura 1. Conform teoremei lui Ceva, forma trigonometrică, avem relaţia:

Observăm că:

Deoarece:

ca unghiuri cu laturile perpendiculare, rezultă că

1

Totodată

Obţinem astfel că:

Analog găsim:

Figura 1.

P

Aplicând reciproca teoremei lui Menelaus, găsim, ţinând seama de (1), că:

ceea ce arată că punctele

sunt coliniare.

Observaţie. Teorema 1 este adevărată şi dacă triunghiul

este

obtuzunghic, neisoscel. Demonstraţia se adaptează analog.

Teorema 2 (Duala Teoremei 1). Dacă oarecare în planul său şi triunghiului perpendicularele

un punct

transversale Bobillier în raport cu

, iar în

este un triunghi,

o transversală oarecare în ,

respectiv

transversalele Bobillier în punctele

pe

, , atunci cevienele

sunt concurente.

2

a şi

intersectează

Demonstraţie. Transformăm prin dualitate în raport cu un cerc

figura

indicată de enunţul acestei teoreme, adică Figura 2. Fie punctelor

în raport cu cercul

polarele

Dreptelor

le vor

corespunde polii lor Punctelor

le corespund respectiv polarele lor

concurente în

polul transversalei Deoarece

, înseamnă că

polarele

şi

sunt

perpendiculare, deci însă

trece prin

înseamnă că din

, ceea ce

conţine înălţimea

a triunghiului

analog şi

,

şi

conţine înălţimea din

conţine înălţimea din

triunghiului

Figura 2.

a

. În consecinţă,

polul transversalei este ortocentrul

al triunghiului

În mod analog, punctelor le corespund polarele la care trec respectiv prin polul dreptei înseamnă că polarele iar cuvinte deci

şi sunt concurente într-un punct

în raport cu cercul şi

Având

sunt perpendiculare,

trece prin polul transversalei este perpendiculara dusă din

este perpendiculara dusă din

pe 3

corespunde cevienei , deci prin

pe

,

; analog, Cevienei

, cu alte ,

îi corespunde

prin dualitatea considerată polul ei, care este intersecţia polarelor lui adică intersecţia dreptelor perpendiculara dusă din punctele

şi

şi pe

, mai precis intersecţia dintre ; notăm acest punct cu

şi

, cu

. Analog, obţinem

Am obţinut astfel configuraţia din Teorema 1 şi Figura 1,

scrisă pentru triunghiul avem că

de ortocentru

Deoarece din Teorema 1

sunt coliniare, obţinem că cevianele

concurente în polul transversalei

în raport cu cercul

sunt şi

Teorema 2 este demonstrată.

Bibliografie [1] Ion Pătraşcu, Florentin Smarandache: „Duala teoremei relativă la dreapta lui Aubert”.

[2] Florentin Smarandache, Ion Pătraşcu: „The Geometry of Homological Triangles”. The Education Publisher Inc., Columbus, Ohio, USA – 2012.

4