Duala unei teoreme relativă la ortocentrul unui triunghi profesor Ion Pătraşcu, Colegiul Naţional „Fraţii Buzeşti” Craiova – România profesor Florentin Smarandache, University of New Mexico, Gallup, U.S.A.
În [1] am introdus noţiunea de transversală Bobillier relativă la un punct oarecare
din planul unui triunghi
; vom folosi această noţiune în cele ce
urmează. Vom transforma prin dualitate în raport cu un cerc
următoarea
teoremă relativă la ortocentrul unui triunghi. Teorema 1. Dacă
este un triunghi neisoscel,
ortocentrul său şi
sunt ceviene ale triunghiului concurente în punctul , iar
sunt intersecţiile perpendiculalelor duse din
cevienele date, cu
, respectiv
, atunci punctele
diferit de
respectiv pe sunt coliniare.
Demonstraţie. Notăm cu
,
vezi Figura 1. Conform teoremei lui Ceva, forma trigonometrică, avem relaţia:
Observăm că:
Deoarece:
ca unghiuri cu laturile perpendiculare, rezultă că
1
Totodată
Obţinem astfel că:
Analog găsim:
Figura 1.
P
Aplicând reciproca teoremei lui Menelaus, găsim, ţinând seama de (1), că:
ceea ce arată că punctele
sunt coliniare.
Observaţie. Teorema 1 este adevărată şi dacă triunghiul
este
obtuzunghic, neisoscel. Demonstraţia se adaptează analog. Teorema 2 (Duala Teoremei 1). Dacă oarecare în planul său şi triunghiului perpendicularele
un punct
transversale Bobillier în raport cu
, iar în
este un triunghi,
o transversală oarecare în ,
respectiv
transversalele Bobillier în punctele
pe
, , atunci cevienele
sunt concurente.
2
a şi
intersectează
Demonstraţie. Transformăm prin dualitate în raport cu un cerc
figura
indicată de enunţul acestei teoreme, adică Figura 2. Fie punctelor
în raport cu cercul
polarele
Dreptelor
le vor
corespunde polii lor Punctelor
le corespund respectiv polarele lor
concurente în
polul transversalei Deoarece
, înseamnă că
polarele
şi
sunt
perpendiculare, deci însă
trece prin
înseamnă că din
, ceea ce
conţine înălţimea
a triunghiului
analog şi
,
şi
conţine înălţimea din
conţine înălţimea din
triunghiului
Figura 2.
a
. În consecinţă,
polul transversalei este ortocentrul
al triunghiului
În mod analog, punctelor le corespund polarele la care trec respectiv prin polul dreptei înseamnă că polarele iar cuvinte deci
şi sunt concurente într-un punct
în raport cu cercul şi
Având
sunt perpendiculare,
trece prin polul transversalei este perpendiculara dusă din
este perpendiculara dusă din
pe 3
corespunde cevienei , deci prin
pe
,
; analog, Cevienei
, cu alte ,
îi corespunde
prin dualitatea considerată polul ei, care este intersecţia polarelor lui adică intersecţia dreptelor perpendiculara dusă din punctele
şi
şi pe
, mai precis intersecţia dintre ; notăm acest punct cu
şi
, cu
. Analog, obţinem
Am obţinut astfel configuraţia din Teorema 1 şi Figura 1,
scrisă pentru triunghiul avem că
de ortocentru
Deoarece din Teorema 1
sunt coliniare, obţinem că cevianele
concurente în polul transversalei
în raport cu cercul
sunt şi
Teorema 2 este demonstrată.
Bibliografie [1] Ion Pătraşcu, Florentin Smarandache: „Duala teoremei relativă la dreapta lui Aubert”. [2] Florentin Smarandache, Ion Pătraşcu: „The Geometry of Homological Triangles”. The Education Publisher Inc., Columbus, Ohio, USA – 2012.
4