Triangularizări ale unui triunghi cu triunghiuri având cercurile înscrise egale prof. Ion Pătraşcu, CN Fraţii Buzeşti – Craiova, România prof. Florentin Smarandache, University of New Mexico – Gallup, USA
În acest articol, rezolvăm următoarea problemă: Orice triunghi poate fi împărţit de o ceviană a sa în două triunghiuri care au cercurile înscrise congruente.
Rezolvare Vom considera punct
pe latura
un triunghi dat şi vom demonstra că există un , astfel încât cercurile înscrise în triunghiurile
sunt congruente. Dacă atunci
este mijlocul bazei
,
este un triunghi isoscel
,
, aşa că presupunem că
este un
triunghi neisoscel. Notăm paralelă cu
centrele cercurilor înscrise congruente; evident, (1).
Observăm că
(2).
Fig. 1 1
este
Dacă
sunt contactele cu cercurile ale cevianei ; cu
am notat intersecţia lui
cu
, avem
, vezi Fig. 1.
Reţinem din această congruentă că Fie
centrul cercului înscris în triunghiul
este simediană în triunghiul
(4).
Într-adevăr, notând
, rezultă că
rezultă că arată că
şi
acest triunghi
, demonstrăm că:
Din
, aşadar
, ceea ce
sunt ceviene izogonale în triunghiul este mediană, rezultă că
. Deoarece în
este bimediană.
Arătăm acum cum construim punctul D, folosind condiţiile (1) – (4), şi apoi demonstrăm că această construcţie satisface condiţiile enunţului.
Construcţia punctului D 10: Construim cercul circumscris triunghiului dat bisectoarea unghiului
şi notăm cu
; construim
intersecţia ei cu cercul
circumscris (vezi Fig. 2). 20: Construim perpendiculara în notăm cu
şi mediatoarea laturii
;
intersecţia acestor drepte.
30: Construim cercul cu bisectoarea
(
şi notăm
intersecţia acestui cerc
este de aceeaşi parte a dreptei
40: Construim prin
paralela la
50: Construim cercul respectiv
pe
ca şi ).
şi notăm cu şi notăm
.
intersecţiile lui cu
.
60: Construim mijlocul intersecţia dreptelor
şi
al segmentului . 2
şi notăm cu
Fig. 2
Demonstraţia problemei Punctul
este mijlocul arcului
Cercul
, deci
conţine arcul din ale cărui puncte segmentul (BC)
„se vede” sub unghiul de măsură Cercul
punctele cercului
; rezultă deci că
prin omotetia
va fi paralela cu
, iar din
situate de aceeaşi parte a lui „se vede” sub un unghi de măsură
tangentele duse în bisectoarea
.
este omoteticul cercului
de centru şi de raport
Segmentul
.
şi
la cercul
ca şi
. Deoarece
se intersectează în
, conform unei proprietăţi a simedianei obţinem că 3
.
, pe este
simediană în triunghiul
Datorită proprietăţilor ometetiei, va rezulta
că şi tangentele în punctele un punct
situat pe
la cercul
, cu alte cuvinte
triunghiului
, am notat
mediană, iar
este simediană, deci
,
a este
pe de altă parte şi, în consecinţă:
este bisectoare în triunghiul
pe bisectoarea unghiului triunghiul
conţine simediana În triunghiul
, rezultă că ceea ce arată că
se intersectează într-
,
, mai mult
fiind şi
acest punct este centrul cercului înscris în
. Considerente analoage conduc la concluzia că
centrul cercului înscris în triunghiul
. Deoarece
este
este paralelă cu
, rezultă că razele cercurilor înscrise în triunghiurile
şi
sunt
egale.
Discuţie Cercurile triunghiul
sunt unice; de asemenea, este unic, prin urmare punctul
determinat ca mai înainte
este unic.
Remarcă La începutul demonstraţiei, am presupus că ABC este un triunghi neisoscel cu proprietatea din enunţ. Astfel de triunghiuri există; putem construi un astfel de triunghi plecând „invers”. Considerăm două cercuri congruente exterioare date şi prin construcţii de tangente la acestea, evidenţiem triunghiul ABC.
Problemă deschisă Fiind dat un triunghi oarecare prin cevienele
,
, cu
,
, se poate triunghiulariza acesta
aparţinând lui (BC), astfel încât cercurile
înscrise în triunghiurile ABD, DAE şi EAC să fie congruente?
4