Une application de la generalisation du theoreme du Ceva

FLORENTIN SMARANDACHE

Une application de la generalisation du theoreme du Ceva

In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.

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UNE

APPLICATION DU

~Soit un

Théorème

DE

LA DE

THEO.fu::E

GENErl.\LISATION CE VA

polygone AIA2 ••• An inscrit

d~ns un

cercle. Soient

s et t deux naturels non nuls tels que 2s + t = n. Par ch3que soml' ••• , met A. p:=tsse une droite d. qui COUIJe les droites A.A. ~

~

~+s

~+s+

t lA. t aux points 1'1.. , . . . , respecti vemcnt 1;1 , ~+s+ ~+s+ ~,~+s i+s+t-l et le cercle au point ,-1~ • Alors on 2, g n i+s+t-l ~ n

A.

n nn M . . A. "1. J

i=l

i\1!A. ~ ~ +s

=

A

fol:

j=i+s

J

ij j+l

',l'

•

r-

fin i +s +t

i=l

Preuve Soit i fixé.

1 0 ) Cé"\.S où le point '1. •

se trouve à l'int6rieur du cercleg

On a les triangles A.M. .

A.

~,~+s

~

et fil! iL l SA. ~

~,+

~+s+

~,~+s

~+s

l semblables,

puisque les angles rL . A. A. ~,~+s ~ ~+s et M. .

~,~+s

et A.M. ~

sont

(1)

A.

~+s+

.

~,~+s

.

~ ,.~+s

1. et A.

A.

~+s

8g~UX.

M.

li'iI! d'une D"',rt , ~+s+

lM..

1.,~+s

M!

1.

Il en r2sulte que A.A.

A.

1.

~

~+s

= ~===:­

• M.~,~+s . A.~+s+1 M!A. l ~ ~+s+ De manière anp,logue, on montre que les trio,ngles ;4. .

~ ,~+s

M. .

~,1.+S

;·L

( 2)

1.

A.

~!

zi +s

A.~

~+s

~

sont semblables, d'ca A.A.~+s+ 1 ~

A. ~,i+s ~+s

l'II!A. ~

A.~+s

M!A.

'" .L3'L

1.1.

(3 )

.

1. 21. +s

1>'I.

~

A. A. ct ~ 1.+s+1

• On divise (1) prrr (2) et on obtient

~+s

~

,i+s A.~+s+ l

l'-1!1. A.~+s+1

A.A. ~

1+S

A. A. ~

1.

1

~+s+

est extérieur au cercle est similrtire 2,U pr-nier~ ,1.+s parce que les tric:mgles (not0s comme au l'») sont semblables o:mssi dans ce nouve3.U cas. On Ct les mêmes raisonnements et les mêmes rapports, donc on 'l. ;:>,ussi lrt relation (3).

2°) Le

C'l.S

où

~iL.

~+s

1.

Calculons le produit i+s+t-l fiI..Ji. .

i,

1 ~_~ l 111 J =1 +s 1· i /i. j +1 r

Ti' !'~A.i . A.A:) .. I;-;-~ i+s+t-l

2-.1_ -

J=l+S \

A • 11.. ' 1 1 J+ 1

J+

1

W1\..

l+s+t-l

1

':lITt

...\

!,".1~.

1 l+S+

A i i+s

A

À

Â.

A.

------.-----i

i+s+l

1

t

A..

A. ;1..

Mili. ____~l~+~S~.

l+s+t-l

A.A. 1 l+S+ t

j,l'À

1 l+S

A.A. l l+S+ t

i i+s+t

Donc 1 e :) ra clu~. t ini ti?-l est Sgal à

nf n

n n

i~l'iAi~

. \ loI! A. 1=1 \ 1 l+S+'o ;JUisque n A.A. 1 l+S

n

~I'

A i i+s

V' \

d i hi

•

0

•

A A s+l 2s+1

•

As+l Al

li li

A.A. l l+S+ t

n

S

li.

A -

.l.A s+t. n

--~-

J,.

Ar

~

.,

,

~s + t ·t 11. s+ t + lht +_ l s+ 2 2 (en tenant compte du fait que 2s + t

ConsS9,uence

+s +t

As 1\.2 s

AIAI +s

)

l

g

A s+t+2 At+2

...----

=

1

l.

~ n~~s+t

n).

Si on ~. un Dolygone Al ""2.

< •

''>.2s-1

inscrit drrns

11..l1.

cercle, et que d,=, che.que sommet A. on tr?ce une clroite cl. qui coupe 1

le côté

A.

l+S- lÂ.l+S

n

n

-\l

Si on fc::ti t tique de

r-11.s

on obtient

~

1

1

, et le cercle en M! , alors : l

Il

r;r A ""i i+s-l

L'I. A. 1. 1.+8 i=l En effet IJOu.l'

en M.

WA. l l+S- 1 iVT ' }

~

,

··i ~i+s 1 , on 3, Il imp2.ir et s

l d"èns cette cons .34.uence ~ pages 35-37. si dans le

th~orGme,

n+1 2 on retrouve la note!:1athé!:1:1-

les cirai tes d.

1

sont concour;"'ntes,

20

n n

i=1

M~A.

J. J. +s

M!b..

J. J.+s+t

Dan Barbi1ian, Ion-.13arbu - "?agini inedi te", Edi tura Albatros , Bucarest , 1981 (Edi 1ie ingriji tà de Gerda" Barbi1ian,' V.Protopo;;" pescu, Viorel Gh.Vodà). .

Florentin Smarandache - "Gén;~ralisations du' théorème de Céva".