Método de integración numérica
INTRODUCCION
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia
operan
con
números
binarios
y
operaciones
matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante
a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).
Contenido
• Regla del trapecio Simple • Método de Simpson
Extrapolación al límite
El método de extrapolación al límite, también conocido como extrapolación de Richardson, es un método general, que permite reducir el error en reglas cuyo término de error se puede expresar como una serie de potencias de un parámetro pequeño, en general el espaciado de una serie de puntos. Se aplica ampliamente en derivación e integración numéricas y en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Sea un algoritmo que aplicado a una función produce una regla numérica que depende del espaciado de una serie de puntos y un término de error que podemos expresar en serie de potencias, con coeficientes que no dependen del espaciado de una serie de puntos.
Lewis Fry Richardson (1881-1953)
En otras palabras, la extrapolación al límite permite, construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Robert. Denotamos aquí por In cualquier fórmula numérica para aproximar I(f), e.g., la fórmula del Trapezoide ó la regla de Simpson. La correspondiente fórmula asintótica del método nos garantiza que para alguna constante C Donde p es el orden de convergencia del método, e.g., p=2 para el método del Trapezoide y p=4 para el de Simpson. Podemos escribir ahora que :
Despejando para I(f) obtenemos : Lo cual se conoce como la fórmula de extrapolación de Richardson y se puede demostrar : Por ultimo es importante mencionar que las aplicaciones más inmediatas de la Extrapolación de Richardson en los métodos numéricos son dos: derivación numérica mediante diferencias centradas y las fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica. Autor(a): Francis Perez
Regla del trapecio Simple Como bien es sabido, el objetivo principal del análisis numérico es llegar a respuestas aproximadas de problemas matemáticos mediante la realización de una serie de pasos. En esta oportunidad, estudiaremos la regla del trapecio simple, la cual nos permite hallar un valor aproximado de una integral definida. Para esto consideramos a una función f(x) en un intervalo [a,b]. Comprendiendo el método… En la gráfica se observa que el área sombreada entre los puntos f(a) y f(b) de la función dada f(x) al evaluar la misma proporciona el valor exacto del área, mientras que el trapecio formado por el intervalo a y b con longitud igual, el valor de la misma, es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio.
A continuación, veamos el polinomio a utilizar:
Como sabemos, al tratarse de una aproximación, existe un error cometido. Para conocer el error cometido durante la aplicación de la regla del trapecio simple utilizaremos la siguiente fórmula:
Donde es un número existente en [a,b].ξ {\displaystyle \xi }
Método de Simpson En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral: Derivación de la regla Simpson Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es: Así, la integral buscada se puede aproximar como: El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es: Regla de Simpson compuesta En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta del trapecio. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b −a) / n para i = 0,1,...,n. Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos:
Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que: El máximo error viene dado por la expresión: