Revista Teoria de control II

m a

g

a

z

i

n

e

Z

FUNDAMENTO

Edición Agosto - 2017

Teoría de Control II.

Ejercicios Francis Pérez C.I V-26.668.068

Edición Agosto - 2017

1. ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?

2. ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto?

3. ¿Qué es Tiempo de levantamiento?

4. ¿Qué es Sobrepaso máximo?

5. Que diferencia (s) existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto.

Parte. Práctico

1

Edición Agosto - 2017

Un sistema discreto es estable si, sometido a una señal de entrada de amplitud limitada, responde con una señal de salida también limitada. Un sistema de tiempo discreto que es excitado por una secuencia acotada |u(k)| < c posee estabilidad de entrada/salida si su respuesta impulsiva converge hacia cero para k → ∝. Es importante observar que la estabilidad no tiene nada que ver con la habilidad de un Sistema para seguir una entrada especifica.

Una señal de error en un Sistema de control puede aumentar sin límite, aun si el Sistema es estable. Entonces sabemos que un sistema de tiempo discreto es estable, cuando todos los polos de la función de transferencia de pulsos se encuentran en el interior del círculo unitario en el plano z. es decir si su magnitud es estrictamente inferior a 1.

2

EdiciĂłn Agosto - 2017

TambiĂŠn

podemos decir que la estabilidad en un sistema de tiempo discreto puede determinarse con base a las posiciones de los polos de las funciĂłn de transferencia en el pulso.

Por lo tanto un sistema es estable si finalmente la salida retorna a su estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a perturbaciones.

3

Edición Agosto - 2017

SISTEMAS DE CONTROL Perturbaciones.

1.

Un sistema es estable si todas la raíces de la ecuación característica son negativas o con parte real

2. Un sistema es inestable, si tiene en su característica

alguna

raíz

o excitación Y está asociado con la transitoria

de

un

Sistema.

Cualquier Sistema puede sufrir de este error en estado permanente en

positiva o con parte real positiva.

3. Un sistema tiene estabilidad limitada si alguna de sus raíces son pares de imaginarios puros. Una raíz cero no influye sobre la estabilidad porque la

respuesta a ciertos tipos de entrada,

esto quiere decir que tal vez no pudiera presentar este error con una entrada tipo Escalón pero tal vez si puede presentar este error en

respuesta no es oscilatoria.

4. Si el polinomio de la ecuación característica tiene algún coeficiente

ausente o negativo entonces el sistema

respuesta a una Estrada tipo rampa.

1. Se busca el termino s^n donde el denominador representa el polo de multiplicidad y n representa el

es inestable.

Pasos para analizar el error en estado permanente

a los polos de la función de entrada

respuesta

negativa.

ecuación

aquella parte de la respuesta debida

para

los

sistemas

de

origen. 2. Clasificar el sistema de acuerdo al número de integradores en la función de transferencia. 3. Se

Control en Tiempo Discreto Primero

busca

debemos saber que una respuesta en

dependiendo de que número es

estado permanente corresponde a

igual n, ósea, será tipo=0 si n=0,

4

el

tipo

del

tipo=1 si n=0 y tipo=s si n=2.

sistema

Edición Agosto - 2017

SOBREPASO MÁXIMO

TIEMPO DE LEVANTAMIENTO

Es el valor pico máximo de la curva

Es el tiempo requerido para

de respuesta, medido a partir de la

que la respuesta pase del 10 al

unidad. Si el valor final en estado

90%, del 5 al 95% o del 0 al

estable de la respuesta es diferente

100% de su valor final. Para

de la unidad, es común usar el

sistemas sub amortiguados de

porcentaje de sobrepaso máximo.

segundo orden, por lo común

Se define mediante: La cantidad de

se

sobre paso máximo indica indica de

usa

el

tiempo

de

levantamiento de 0 a 100%.

manera

Para

sobre-

relativa del sistema. Los sobrepasos

amortiguados, suele usarse el

se presentan en números impares

tiempo de levantamiento de 10

de n (n=1,3,5…) y los sobrepasos

a 90%. Para el tratamiento

negativos

matemático y con el objeto de

positivos de n (n=2,4,6,…). Debe

simplificar la expresión, se

hacerse notar que si bien una

considerará también podemos

respuesta para una entrada escalón

decir que es el tiempo en el

con ξ≠0 no es periódica, los

cual la variable controlada va

sobrepasos

del 0 al 100% de su valor final

negativos se presentan a intervalos

de una sola vez .

periódicos.

sistemas

directa

la

ocurren

y

los

estabilidad

en

valores

sobrepasos

5

Edición Agosto - 2017

DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO Y DIBUJO DE LAS TRAZAS DEL DIAGRAMA DE BODE EN TIEMPO CONTINUO Y EN TIEMPO DISCRETO Un

diagrama de Bode es una representación gráfica que

sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta dedos gráficas separadas,

una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

El diagrama de Bode consiste en 2 trazas por separado, la magnitud logarítmica /G(jv)/ en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G(jv) en función del logaritmo de v. La traza de la magnitud logarítmica se basa en la factorización de G(jv), de tal forma que funciona en el principio de sumar 6

los términos individuales factorizados, en vez demultiplicar los términos individuales.

EdiciĂłn Agosto - 2017

COMPARACIĂ&#x201C;N DETIEMPO DISCRETO CON CONTINUO ď&#x192;ź La salida de estos sistemas puede expresarse como la

Parte. PrĂĄctico 1. Considere la siguiente ecuaciĂłn caracterĂ­stica:

convoluciĂłn entre la entrada y la respuesta a impulso de ĂŠste. ď&#x192;ź

El D. de B. de sistemas tiempo discreto es tambiĂŠn el grĂĄfico del mĂłdulo, en dB, y la fase, en grados, de una

P(z) = =

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1

1+đ??ž 0.253 đ?&#x2018;?+1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;0.253

=0

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;0.253 +0.253đ??ž đ?&#x2018;?+1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;0.253

funciĂłn en funciĂłn de la

Polinomio caracterĂ­stico:

frecuencia

Z2- 0.253z + 0.253 + 0.253KZ + 1K = 0

en

base

= Z2 + (0.253z +0.253 +0.253kz +1k) = 0

logarĂ­tmica. ď&#x192;ź Los D. de B. de sistemas discretos graficados

quedan al

mejor

utilizar

una

escala de frecuencia lineal.

Para cumplir la estabilidad por medio de Jury : P (1) > 0 ; (-1)n P(-1) > 0; n=2 P (1) > 0

2 ď&#x192;ź El D. de B. depende de â&#x201E;Ś y de P(1)= 1 + (0.253K -0.253) +z+1k+0.253 > 0

T, que es el perĂ­odo de ď&#x192;° K > 0 muestreo, el cual se considera (-1)n P(-1) > 0 constante durante el anĂĄlisis.

7

EdiciĂłn Agosto - 2017

P(-1)= 1 - 0.253K -0.253 +z+1k+0.253 > 0

Sabiendo que

ď&#x192;°

0.253k +1k + 1.506 > 0

A2=1; Comprobamos que:

ď&#x192;°

K<

ď&#x192;°

K < 1.201

1.506

1k + 0.253 < 1 áľž k E (0; 1.201)

0.253+1

Si K=0 => 0.253 < 1

El rango de valores para K es de

El sistema no es estable.

0 < k < 1.201

MĂŠtodo Jury Grado/F ila 1

Z0

Z1

Z2

0.253+1k

0.253k +0.253

1

A0= 1k + 0.253

2. Dado el siguiente sistema de lazo cerrado.

Determine su estabilidad a travĂŠs del mĂŠtodo de TransformaciĂłn Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh.

I A0I= I 1k + 0.253 I

Como K es positivo se debe comprobar que: I A0 I < A n N=2 I A0 I < A 2

Por transformaciĂłn bilineal y criterio de rought 1+đ?&#x2018;&#x160;

Z=

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;

1+đ?&#x2018;&#x160;

P(

)= 9(

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; 1+đ?&#x2018;&#x160;

9(

8

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;

1+đ?&#x2018;&#x160; 3 ) + 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;

) + 1 =0

9.5(

1+đ?&#x2018;&#x160; 2 ) 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;

+

Edición Agosto - 2017

3

1+𝑊

P(

1−𝑊

1+𝑊

P(

1−𝑊 1+𝑊

P(

1−𝑊

)= )=

9(1+𝑊)3 (1−𝑊)

9 1+𝑊

3

2

+

9.5(1+𝑊) 2 (1−𝑊)

+

9.5 1+𝑊

2

+

9(1+𝑊) (1−𝑊)

+ 1 =0 2

3

1−𝑊 +93 1+𝑊 1−𝑊 +(1−𝑊) (1−𝑊)

=0

)= 9(1 + 3W + 3W2 + W3) + 9.5(1 + 2W + W2)(1 – W) + 9(1 + W)(1 + 2W

+ W2) + (1 – 3W + 3W2 – W3)= 0 1+𝑊

P(

1−𝑊

)= 9 + 27W+ 27W2 + 9W3 + 9.5(1 – W + 2W - 2W2 + W2 + W3) + 9(1 – 2W +

W2 + 2W2 + W3) + 1 – 3W + 3W2 - W3 = 0

1+𝑊

P(

1−𝑊

)= 9 + 27W+ 27W2 + 9W3 + 9.5 – 9.5W + 19W - 19W2 + 9.5W2 + 9.5W3 + 9

– 18W + 9W2 + 18W2 + 9W3 + 1 – 3W + 3W2 - W3 = 0 1+𝑊

P(

1−𝑊

)= 26.5W3 + 47.5W2 + 15.5W + 28.5 = 0

Dividimos entre 26.5 W3 + 1.79W2 + 0.58W + 1.07 = 0

Criterio de Routh W3 W2 W1 W0

9

1 1.79 C0 D0

0.58 1.07 C1 D1

Edición Agosto - 2017

C0= C1= D0 =

1.79∗0.58−1.07∗1 1.79

1.79∗0 −1∗0 1.79

= −0.03

= 0

−0.03∗1.07−0 −0.03

W3 W2 W1 W0

= 1.07 1 1.79 −0.03 1.07

0.58 1.07 0 D1

El sistema es inestable por presentar cambio de signos(-0.03; 1.07) 3. Dado el sistema de control de lazo cerrado, encuentre la expresión del error así como la constante de error de aceleración estática, Ka.

10

Edición Agosto - 2017

Encontrar la expresión del error asi como la constante de error de aceleración estatica, Ka. Q(S) = R(S) – C(S)D(S) + E(S)G(S)

1

Donde : C(S) = Q*(S) H(S)

2

Se sustituye 2 en 1 Q*(S)= R(S) – Q*(S) H(S)D(S) + E(S)G(S)

Q*(S) = R*(S) + E*(S) - Q*(S) H*(S)D*(S) 

Q*(S) = R*(Z)/1+GHD(Z)

Expresion del error

Error en estado estacionario Ees = Liz—1(l – z-1)ELZ 

Liz—1(l – z-1) R*(Z)/1+GHD(Z)

Para el error de aceleración: R(Z) = T2/(1 – z-1)3

Ess = 1/ka

11