Tema 2 Interés compuesto. El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial o principal a una tasa de interés durante periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan. C= El capital que se invierte. I= El interés compuesto. M= Monto = Capital más interés i= La tasa de interés por periodo. Jm= Tasa nominal e= Tasa efectiva anual n= Número de periodos. Fc= Frecuencia de conversión. online
Interés compuesto. Cuando se dice que el interés se capitaliza se esta hablando de interés compuesto. Ejemplo: Supongamos que se depositan $100,000 pesos en una cuenta de ahorro que paga 10% de interés semestral. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de seis meses?
Isemestral= ? C= 100,000 t= semestre Isemestral= 10%
Formula:
I=Cit (interés simple)
Desarrollo: I=Cit I=100,000(.1)(1)=10,000
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Interés compuesto. Supongamos que se depositan otros $100,000 pesos en una cuenta de valores que paga 20% de interés convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de seis meses?
Isemestral= ? C= 100,000 t= semestre ianual= 20%
i trimestral= 20% anual 4 trimestres Formula:
= 5% trimestral
I=Cit (interés simple)
Desarrollo: 1º Trimestre I=Cit =100,000(.05)(1)=5,000 Desarrollo: 2º Trimestre I= (C+I 1ºTrim)it= (100,000+5,000)(.05)(1)= 5,250 I total/ semestral= I 1º Trim + I 2º Trim= 10,250 online
Interés compuesto. Periodo de capitalización es la conversión de intereses a capital de forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestralmente? i= 5% anual t= trimestre FC= ?
Un año = Un trimestre
12 meses = 4 3 meses
Frecuencia de conversión = 4
Nota: cuando el interés se expresa sin mencionar su capitalización, se entiende que este ocurre anualmente. online
Interés compuesto. Ejemplo de Monto: Se depositan $500.00 pesos en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años? Formula: M=C+I ; M=C+Cit; M=C+Ci; M=C(1+i)n
C= 500 i= 18% anual capitalizable mensualmente
M
2 años=?
t se convierte en 1 n es el número de periodos o 9empo.
Desarrollo: i= tasa de interés anual = 18 = 1.5 % mensual frecuencia de conversión 12 n= lapo de años x frecuencia de conversión n= 2 X12= 24
M= 500(1+.015)24= 714.75 online
Interés compuesto. Ejemplo de Capital / Valor actual o presente: ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50,000 pesos dentro de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente? Formula: M=C(1+i)n; C=
M ; C= M(1+i)-n (1+i)n
Desarrollo: M= 50,000 i= un año = i= 20% anual semestre capitalizable semestralmente n= 3 años C=?
20 anual = 10% semestral 2 semestre
n= 3 años = 6 semestres C= 50,000(1+.01)-6= 28,223.70 online
Interés compuesto. Tasa nominal, efectiva y equivalente:
Tasa nominal = Tasa de interés anual que rige durante el lapso que dures la operación. Tasa efectiva= La capitalización del interés en forma semestral, trimestral o mensual. Tasa equivalente= Dos tasas anuales con diferentes periodos de capitalización que producen el mismo interés compuesto.
online
Interés compuesto. Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1,000 pesos pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente? Formula: C= 1,000 i= 18% anual capitalizable mensualmente
n= 12 meses i efectiva=?
M=C(1+i)n ; I= M-C; i= I x 100 C
Desarrollo: M=C(1+i)n = 1,000(1+(18/12))12=1,195.62 I=M-C = 1,195.62-1,000= 195.62 i= I x 100 = 195.62 = .1956 x 100 = 19.56% C 1,000
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i nominal = 18%
i efectiva= 19.56%
Interés compuesto. Sustituimos: i= tasa efectiva j= tasa de interés anual nominal m= el número de periodos de capitalización Formula: C(1+i) = C(1+j/m)m Dividiendo entre C (1+i)=(1+j/m)m i= (1+j/m)m-1 x 100 Desarrollo: i=(1+j/m)m-1= (1+(.18/12))12-1=.1956(100)= 19.56%
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tasa equivalente
Interés compuesto. Ejemplo de Tiempo: ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1,000 pesos si se considera una tasa de interés a) de 36% anual convertible mensualmente, y b) de 24% anual también convertible mensualmente? Formula:
M=C(1+i)n
Se despeja (1+i)n y se obtiene: M/C= (1+i)n= factor de acumulación del interés compuesto. Se aplican logaritmos: log factor = n log (1+i) n= log factor log (1+i) online
InterĂŠs compuesto. C= 1,000 M= 2,000 j= 36% anual convertible mensualmente i= 3% mensual n= tiempo = ?
C= 1,000 M= 2,000 j= 24% anual convertible mensualmente i= 3% mensual n= tiempo = ?
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Desarrollo a): n= log 2,000 1,000 = 23.45 meses log (1+(.36/12))
Desarrollo b): n= log 2,000 1,000 = 35 meses log (1+(.24/12))
Interés compuesto. Ecuaciones de valor equivalentes Es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal dos flujos distintos de efectivo. Ejemplo: ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para que una deuda de 3 pagos mensuales de $100 pesos, dada una tasa de interés de 2% mensual? Hay dos supuestos: a) La cantidad original constituida por los tres pagos mensuales, y b) El pago trimestral X con el que se desea sustituirla. X=
(100+I1)+(100+I2)+(100+I3)
Flujo 1
Flujo 2
online
Interés compuesto. Desarrollo: X= 100(1.02)2+100(1.02)1+100 = 306.4 X 1 + 100
2
3
+ 100
+ 100 X
0
1 + 100
online
2
3
+ 100
FF
Interés compuesto. Desarrollo: Ahora igualaremos los valores a la fecha cero, calculando para ello su valor actual o presente: X(1+.02)-3= 100(1.02)-1+100(1.02)-2+100(1.02)-3 X= 100(1.02)-1+100(1.02)-2+100(1.02)-3 = 306.04 (1+.02)-3
X 0 FF
1 + 100 online
2 + 100
3