Γεωμετρία Α Λυκείου by κεντρο διδασκαλιας και μελετης

Ασκήσεις Γεωµετρίας Α΄ Λυκείου και όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας θεμάτων

επιµέλεια :

Δημήτρης Βρύσαλης Ελένη Κασουνή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφ 2ο : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ………… 1 ο

Κεφ 3 : Κεφ 4ο : Κεφ 5ο : Κεφ 6ο :

τεστ ……………………………………… Τρίγωνα…………………………………… τεστ ……………………………………… τράπεζα θεμάτων ………………………… Παράλληλες ευθείες……………………… τεστ ……………………………………… τράπεζα θεμάτων ………………………… Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια…………… τεστ ……………………………………… τράπεζα θεμάτων …………………………. Εγγεγραμμένα σχήματα…………………… τεστ ……………………………………… τράπεζα θεμάτων …………………………

5 7 14 16 25 29 30 39 46 48 93 98 99

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρία   

Tα βασικά γεωμετρικά σχήματα

Αρχικές έννοιες , σημείο , γραμμή , επίπεδο , επίπεδα σχήματα . Ευθεία , ημιευθεία , ευθύγραμμο τμήμα , μέσο ευθ. τμήματος , σύγκριση και πράξεις . Μήκος ευθ. τμήματος , απόσταση δύο σημείων , σημεία συμμετρικά ως προς κέντρο .

Ασκήσεις 1. Οι ημιευθείες Ox΄ και Οx του διπλανού σχήματος είναι αντικείμενες; 2.10 – 4Κ (2001) 2. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία διαφορετικά σημεία; 2.10 – 5Κ (2001) 3. Σχεδιάστε τρεις ευθείες, οι οποίες να τέμνονται ανά δύο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο

σημείο και βρείτε: i) πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών, ii) πόσες ημιευθείες και πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται. 2.10 – 2Ε (2001) 4. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε    . Να δικαιολογήσετε ότι    . 2.10 – 3Ε (2001) 5. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι   2 . 2.10 – 4Ε (2001) 6. Σε ευθεία ε θεωρούμε τμήμα ΑΒ, το μέσο του Μ, Γ τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματος ΜΒ και Δ τυχαίο σημείο εξωτερικό του τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:       i)   , ii)   . 2.10 – 2Α (2001) 2 2 7. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα    των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i)   , ii)        . 2 2.10 – 1Α (2001) 8. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τριάδα συνευθειακών σημείων Α, Β, Γ ισχύει      , ii) Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι        . 2.10 – 3Α (2001) 9. Σε μια ευθεία ε δίνονται διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ ώστε να είναι   8cm και   10cm . Αν Δ, Ε, Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ τότε τα ΑΕ, ΔΖ έχουν το ίδιο μέσο και να υπολογιστεί το μήκος του ΜΓ, όταν Μ μέσο του ΔΖ. 5 - ΝΤ 10. Δίνεται ευθεία ε και πάνω της στη σειρά τα σημεία Μ, Α, Β. Αν Γ σημείο μεταξύ των Α, Β ώστε   2 , βρείτε το μήκος του ΜΓ με τη βοήθεια των ΜΑ, ΜΒ. 9 - ΝΤ

Θεωρία     

Ημιεπίπεδο , γωνία , κυρτή , μηδενική ,πλήρης , ευθεία γωνία . Σύγκριση γωνιών , διχοτόμος γωνίας , κάθετες ευθείες , είδη γωνιών . Ευθεία κάθετη από σημείο σε ευθεία , μεσοκάθετος , σημεία συμμετρικά ως προς άξονα . Εφεξής γωνίες , πράξεις με γωνίες . Συμπληρωματικές , παραπληρωματικές (θεωρήματα ) , κατακορυφήν γωνίες (θεωρήματα) . 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

 ,   ,  , 23. Τέσσερις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες   , που έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές.  2.19 – 3Α (2001) 24. Να βρεθεί ποιας γωνίας, το άθροισμα της συμπληρωματικής της και της παραπληρωματικής της ισούται με το τριπλάσιο της. 13 - ΝΤ 2 25. Τρεις διαδοχικές γωνίες έχουν άθροισμα 2 ορθές. Αν η πρώτη είναι τα της δεύτερης και η 3 3 τρίτη τα της πρώτης, να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών σε μέρη ορθής. 12 - ΝΤ 4  και   έχουν διαφορά 90ο. Να βρεθεί η γωνία των διχοτόμων τους. 26. Δύο γωνίες  2.16 – 2Σ (2001)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

27.Αν Α, Β, Γ είναι τρία συνευθειακά σημεία και Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, τότε

 . 2.10 – 1Σ (2001) 2 28. Από μια περιοχή διέρχονται τέσσερις ευθείες οδοί έτσι ώστε ανά δύο να διασταυρώνονται και ανά τρεις να μην διέρχονται από το ίδιο σημείο. Η τροχαία για να διευκολύνει την κίνηση θέλει να τοποθετήσει έναν τροχονόμο σε κάθε διασταύρωση. Πόσοι τροχονόμοι χρειάζονται; Το ίδιο πρόβλημα για ν δρόμους (   2 ). 2.10 – 2Σ (2001)    29. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες  ,  ,  με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές. Αν  

 ,   αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Οx, Oy είναι οι διχοτόμοι των γωνιών         . 2.16 – 1Σ (2001) xOy 2 (  1) 30. Δείξτε ότι ν σημεία που δεν ανήκουν ανά τρία στην ίδια ευθεία, ορίζουν ευθ. 2 τμήματα.. Π 5 - ΝΤ   31. Αν έχουμε δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες xOy , yOz και ΟΑ η διχοτόμος της μιας

 ) τότε η κάθετος επί την ΟΑ στο Ο είναι διχοτόμος της άλλης. (έστω της xOy Π 12 -ΝΤ A  32. Σε ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ ώστε AB  , B  και 2 2 A   ονομάζουμε Ε, Ζ τα μέσα των ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι   . 2 2.20 – 1Γ(2001) 33. Σε ευθεία ε παίρνουμε δύο διαδοχικά τμήματα ΑΒ, ΒΓ. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΔΕ, ΒΖ έχουν κοινό μέσο. 2.20 – 2Γ(2001)   150 ,    45 34. Θεωρούμε κύκλο (, R) και τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε   είναι αντικείμενη ημιευθεία της   105 . Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας  και  ΟΑ. 2.20 – 4Γ(2001)  και Κ τυχαίο σημείο του τόξου 35. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ, Μ το μέσο του τόξου 

 . Αν Γ και Δ είναι τα μέσα των τόξων   και   αντίστοιχα, να υπολογίσετε το μέτρο του  . τόξου  2.20 – 5Γ(2001) 3

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

       . Να δειχθεί ότι 36. Δίνεται σημείο Ο και τρεις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ ώστε  κάθε μια από τις ημιευθείες, αν προεκταθεί, είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι δύο άλλες. 19 - ΝΤ    37. Δίνονται δύο εφεξής γωνίες xOy και yOz . Αν ΟΜ διχοτόμος της xOy και ΟΝ διχοτόμος

 με    3yOz  , να βρεθούν τα μέτρα των xOy   60 και ακόμη xOy  και yOz . της yOz 22 - ΝΤ  . Φέρουμε A O  AO προς το μέρος της ΟΒ και OB  OB προς το 38. Δίνεται μια γωνία   και    είναι παραπληρωματικές και έχουν την ίδια μέρος της ΟΑ. Τότε οι γωνίες  διχοτόμο. 25 - ΝΤ 39. Δίνεται ευθεία xy, σημείο της Ο και οι ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ προς το ίδιο μέρος της xy. Αν y .  και    120o , να βρεθεί το μέτρο της γωνίας που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των x  23 - ΝΤ 40. Έχουμε μια οξεία γωνία ˆ , την παραπληρωματική της ˆ και τη συμπληρωματική της ˆ . Να δειχθεί ότι ˆ  ˆ  2ˆ . 24 - ΝΤ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρία

Tρίγωνα

 Κύρια στοιχεία τριγώνου , είδη τριγώνων , δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου .  Κριτήρια ισότητας τριγώνων .  Ιδιότητες ισοσκελούς και ισοπλεύρου τριγώνου , ιδιότητα της μεσοκαθέτου , ίσα τόξα , ίσες

χορδές

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα    και    , ώστε

    .Να απoδείξετε ότι    . 3.2 – 1Ε (2001)  2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσεις θεωρούμε τμήματα      . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. 3.2 – 2Ε (2001) 3. Να δείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. 3.2 – 3Ε (2001)  4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της A στην οποία θεωρούμε τμήματα    και     . 3.2 – 4Ε (2001)    . Να αποδείξετε ότι  5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. 3.2 – 2Α (2001) 6. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο της     . 3.2 – 3Α (2001) άκρα κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι O  ΄. Αν Ι είναι το σημείο τομής των 7. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και A 'B' ΄ έχουν    ',   ΄   διχοτόμων ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ και Ι΄ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων A '  ' και i)    '  '     '  ' ,  '  ' του τριγώνου A 'B' ΄ να αποδείξετε ότι: ii) AI  A ' I '     '  ' 3.4 – 1Ε (2001)  ˆ       8. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και A 'B' ΄ έχουν    ',    Να αποδείξετε ότι:

  ', i) 

ii)    '     '

3.4 – 2Ε (2001)

9. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τρίγωνο είναι ίσες.

3.4 – 1Α (2001)    . Να αποδείξετε ότι    . 10. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και B 3.4 – 3Α (2001)  . Πάνω στην Οx παίρνουμε σημεία Α και Β και πάνω στην Oy σημεία Γ 11. Δίνεται γωνία xOy και Δ, έτσι ώστε    και    . Δείξτε ότι: α)    , β) Αν Ε είναι το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΓ, τότε τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΕΓΔ είναι ίσα, γ) η ΕΟ είναι διχοτόμος της . γωνίας xOy 79 - ΝΤ 7

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

67. Να αποδείξετε ότι κάθε πλευρά τριγώνου είναι μεγαλύτερη από το ευθύγραμμο τμήμα που

ενώνει τα ίχνη των καθέτων που φέρνουμε από τυχαίο σημείο της στις δύο άλλες πλευρές. 150 - ΝΤ 68. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΠΣΤ με δύο κορυφές του σημεία ενός κύκλου και τη τρίτη κορυφή του κέντρο του κύκλου. Αν   3cm και   9cm , να βρείτε ποια κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου. 345 - ΝΤ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε • σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα, ως προς τις πλευρές τους. • οξυγώνια, ορθογώνια, αμβλυγώνια, ως προς τις γωνίες τους. Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: • Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ). • Μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ). • Και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία (ΠΠΠ). Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: • Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. • Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία. Στο ισοσκελές τρίγωνο: • Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. • Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. • Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος. • Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι διχοτόμος και διάμεσος. Στον κύκλο: • Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα. • Δύο χορδές είναι ίσες, αν και μόνον αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. • Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής: – διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, – είναι μεσοκάθετος της χορδής, – διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι: ο κύκλος, η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και η διχοτόμος γωνίας. • Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα του. • Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίας, που ισαπέχουν από τις πλευρές της. Δύο σχήματα Σ, Σ΄ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθε σημείο του Σ΄ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο ή την ε και αντίστροφα. Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο: • Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. • Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες. • Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. 13

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Βασική συνέπεια: ^ ^ • Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β =Γ , τότε θα είναι και β = γ. • Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος ή διχοτόμος και ύψος ή διάμεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΤΕΣΤ 3ου κεφαλαίου

( ΘΕΩΡΙΑ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ) 1. Τι είναι η Διάμεσος ενός τριγώνου; 2. Να διατυπώσετε τα Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων. 3. Πόσα, το πολύ, κοινά σημεία έχουν μια ευθεία και ένας κύκλος ; Να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα. 4. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων; (Σχήμα και σχέση) 5. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: (α). Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. (β). Το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και διχοτόμος. (γ). Η εξωτερική γωνία εξ, τριγώνου είναι μεγαλύτερη από την . (δ). Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες. 6. Συμπληρώστε τα κενά: (α). Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα,όταν……………………………………………………… (β). Ένα σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όταν………………………………………………………………………………………… ………………. (γ). Κάθε εσωτερικό σημείο μίας γωνίας, είναι σημείο της διχοτόμου της, αν………………………………………………………………………………………………………

2. (ΕΝΟΤΗΤΕΣ 3.6 - 3.7) 1. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα, κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας. 2. Τι είναι γεωμετρικός τόπος; Να δώσετε ορισμό για δύο βασικούς γεωμετρικούς τόπους. 3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: (α). Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες. (β). Το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και διχοτόμος. (γ). Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα ίση, τότε είναι ίσα. (δ). Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες.

τράπεζα θεμάτων ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 2ο ΘΕΜΑ 2824. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. Αν EH  B και Z  B , να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. μ 13 β) EH  Z μ 12 2846. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. μ 15 β) A  AE μ 10 2847. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι: α) MK  M μ 13 β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. μ 12 2848. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB  A .Από το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ φέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) M  ME μ 12 β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. μ 13 2854. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB  A .Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ,Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με MB  M . μ 12 β) MK  M μ 13 3417. Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ  AB  A  και Α΄Β΄Γ΄  AB  A  .

 A  , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. α) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει AB  AB και A  B  , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει A  A και B

μ 13 μ 12

3420. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές του ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με AB  A , τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. μ 12 β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB  A . μ 13 3421. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ.Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. μ 12 β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. μ 13 1 16

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Παράλληλες Ευθείες Θεωρία  Ορισμός . Ονομασία των : εντός , εκτός , επί τα αυτά , εναλλάξ και ισότητες .  Καθετότητα και παραλληλία , Ευκλείδειο αίτημα .  Ιδιότητες των παραλλήλων .  Κατασκευή παραλλήλων , γωνίες με πλευρές παράλληλες .  Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου , περίκεντρο και ιδιότητά του .  Εγγεγραμμένος και παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου , έγκεντρο,παράκεντρα και ιδιότητές

τους , αποστάσεις των σημείων επαφής από τις κορυφές του τριγώνου .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ  και σημείο Α της διχοτόμου της. Αν η παράλληλη από το Α προς την Ox 1. Δίνεται γωνία xOy

τέμνει την Oy στο Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. 4.5 – 2Ε (2001) 2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( AB  A ) και σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος 4.5 – 4Ε (2001) (  ,  ) τέμνει τη ΒΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι  //  . 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ( AB  A ) με διάμεσο ΑΜ , φέρνουμε x   προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το Α και παίρνουμε σε αυτή τμήμα   AB . Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της . γωνίας  4.5 – 1Α (2001) 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε  //  που τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο Ε. Να αποδείξετε ότι      . 4.5 – 2Α (2001) 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB  A και η εξωτερική διχοτόμος του Αx. Από την κορυφή Β φέρουμε  // x που τέμνει την ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι      . 4.5 – 3Α (2001) 6. Από το έγκεντρο Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι      . 4.5 – 4Α (2001) 7. Από το έγκεντρο Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε  / /  και  / /  . Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΔΙΕ ισούται με τη ΒΓ (τα Δ, Ε στη ΒΓ). 4.5 – 5Α (2001) 8. Δύο παράλληλες ευθείες 1 , 2 τέμνονται από τρίτη ευθεία ε. Αν μία από τις σχηματιζόμενες γωνίες είναι μεγαλύτερη του τριπλάσιου της άλλης, κατά 20ο, να βρεθούν τα μέτρα όλων των γωνιών που σχηματίζονται. 40 - ΝΤ   που 9. Δίνεται γωνία xOy και σημείο Α της Οx. Φέρουμε   Oy και τη διχοτόμο της O τέμνει την Οx στο Γ . Από το Γ φέρνουμε κάθετη στην Oy που τέμνει την Οx στο Δ. Δείξτε ότι 93 - ΝΤ    . Θεωρία  Άθροισμα γωνιών τριγώνου , εξωτερική γωνία τριγώνου , ορθογώνιο τρίγωνο και γωνίες

του .  Γωνίες με πλευρές κάθετες .  Άθροισμα γωνιών κυρτού πολύγωνου , άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού πολύγωνου . 25

τράπεζα θεμάτων ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. μ 10 β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. μ 15 5061. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  και η διάμεσός του ΑΜ. Φέρουμε ημιευθεία x  B προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το Α και παίρνουμε σε αυτήν τμήμα   AB . Να αποδείξετε ότι:     A α)  A μ 12 β) Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. μ 13

5066. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς το Α) τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A  AB και AE  A . Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. μ 12 β) E  B μ 13 5134. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα M  MA και την ΟΜ κατά τμήμα M  OM . α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα ίσα στοιχεία τους. β) Να αιτιολογήσετε γιατί OA   .

μ 13 μ 12

4ο ΘΕΜΑ 3721. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  AB  A  φέρουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα και τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) BZ  H μ8 β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίσα. μ9 γ) ZK  H . μ8 9 30

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια Θεωρία    

Παραλληλόγραμμο : Ορισμός , ιδιότητες , κέντρο συμμετρίας παραλληλόγραμμου . Κριτήρια για παραλληλόγραμμα . Καθετότητα και παραλληλία , Ευκλείδειο αίτημα . Τρόποι για να αποδείξουμε , ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα, ώστε    να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο.

5.2 – 2Ε (2001) 2. Έστω Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: i) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, ii) οι ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν. 5.2 – 3Ε (2001) 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς την ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να αποδείξετε ότι    . 5.2 – 4Ε (2001) 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (    ) και σημείο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε  //  (Ε σημείο του ΑΓ) και  / /  (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι      . 5.2 – 1Α (2001) 5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με   2 . Αν Ε είναι το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετε   90 . ότι  Π 102 - ΝΤ

6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιος του ΒΔ. Φέρνουμε    και   

. Να απόδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. 186 - ΝΤ 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοι του ΑΔ, ΒΕ τις οποίες προεκτείνουμε κατά ΄   και ΄   . Να αποδείξετε ότι τα Δ΄, Γ, Ε΄, είναι συνευθειακά. 179 - ΝΤ 8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παίρνουμε τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ αντίστοιχα ώστε    και    . Να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. 189 - ΝΤ 9. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα    και τη ΔΑ κατά τμήμα    . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά. 5.2 – 3Α (2001) 10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα τέτοια ώστε    και    . Να αποδείξετε ότι: i) AH  AZ ii) τα σημεία Ζ, Α και Η είναι συνευθειακά. 5.2 – 4Α (2001)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

72. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά τμήμα    και επί της

  90 .5.2 – 2Σ (2001) ημιευθείας ΔΑ θεωρούμε σημείο Ζ, ώστε    . Να αποδείξετε ότι   τέμνει τη ΓΔ στο 73. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε    . Αν η διχοτόμος της γωνίας  Ζ, να αποδείξετε ότι    . 5.5 – 2Σ (2001)  ˆ 74. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (   90 ) φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι αν ˆ  15 , τότε    και αντίστροφα.  5.9 – 2Σ (2001) 4 75. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ  2ˆ  90 και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα    . Να αποδείξετε ότι η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά ΑΓ. 5.9 – 4Σ (2001)

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ Παραλληλόγραμμο

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΣΧΗΜΑ

Το κυρτό τετράπλευρο το οποίο έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Ορθογώνιο

Ρόμβος

Το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Τετράγωνο

Το παραλληλόγραμμο, το οποίο είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (Ομοιότητες – Διαφορές) ΓΩΝΙΕΣ: ΠΛΕΥΡΕΣ: ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ:

♦ Οι απέναντι ίσες ♦ Οι διαδοχικές παραπληρωματικές Οι απέναντι ίσες και παράλληλες Διχοτομούνται

Όλες είναι ορθές Οι απέναντι ίσες και παράλληλες ♦ Διχοτομούνται ♦ Είναι ίσες

♦ Οι απέναντι ίσες. ♦ Οι διαδοχικές παραπληρωματικές. ♦ Όλες ίσες. ♦ Οι απέναντι είναι παράλληλες. ♦ Διχοτομούνται ♦ Τέμνονται κάθετα. ♦ Διχοτομούν τις γωνίες.

Όλες είναι ορθές. ♦ Όλες ίσες. ♦ Οι απέναντι είναι παράλληλες. ♦ Διχοτομούνται ♦ Τέμνονται κάθετα. ♦ Διχοτομούν τις γωνίες. ♦ Είναι ίσες.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ Τρίγωνο

 Αν Κ, Λ μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ,

 . 2  Αν Κ μέσο ΑΒ και  / /  , τότε Λ μέσο AΓ.

τότε  / / 

Ορθογώνιο Τρίγωνο

ˆ  900  AM   A 2

ˆ  900 , ό : ˆ  300     A 2 Βαρύκεντρο Τριγώνου

 

Ορθόκεντρο Τριγώνου

2 , 3

2 Β  , 3

2 ΓΘ   3

Σημείο Τομής των φορέων των υψών

Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες

5 .

ΑΒ // ΓΔ

ΑΒΓΔ τραπέζιο

ΑΒ , ΓΔ βάσεις τραπεζίου  Μ , Ν μέσα μη παραλλήλων πλευρών ΜΝ διάμεσος τραπεζίου    και ΜΝ // ΑΒ // ΓΔ   2  Ισοσκελές τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες   έ     ισοσκελές τραπέζιο             ισχύει B 



Ορθογώνιο τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει δύο γωνίες ορθές

  έ   ΑΒΓΔ τραπέζιο ορθογώνιο      900    

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΣΤ

(ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.1-5.8)

1. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. 2. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τα ύψη ενός παραλληλογράμμου είναι οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών αυτού. β. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. γ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. δ. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. ε. Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου δεν συντρέχουν. στ. Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το ορθόκεντρο. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ . Αν Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο.

ΤΕΣΤ Β (ΕΝΟΤΗΤΕΣ § 5.1-5.5 ) 1. Να αποδείξετε ότι αν σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες, τότε αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος

(Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Κέντρο συμμετρίας ενός παραλληλογράμμου λέγεται το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του. β. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου διχοτομούν τις γωνίες του. γ. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. δ. Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. ε. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες. στ. Ένας ρόμβος με μια ορθή γωνία είναι τετράγωνο. ζ. Κάθε τετράπλευρο με ίσες πλευρές είναι ρόμβος. 3. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τη γωνία , αν γνωρίζουμε ότι ∥ . ε ˆ ε1 3χ ε2

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°) και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρουμε παράλληλη

από το Δ προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η κάθετη που φέρουμε από το Ε προς τη ΑΒ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α. Το ΒΔΕΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β. ΑΕ = ΒΖ.

ΤΕΣΤ Γ (ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.1-5.11)

1. Να αποδείξετε ότι το αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30ο, τότε η

απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. 2. Ποια ευθεία (ε) λέγεται μεσοπαράλληλος δύο άλλων ευθειών ( ) και ( ) ; 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. β. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες. γ. Η διάμεσος ενός οξυγώνιου τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί. δ. Οι παράλληλες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο. ε. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με την ημιδιαφορά των βάσεών του. στ. Οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι ίσες. 4. Σε σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ και έστω Κ,Λ και Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

ΤΕΣΤ Δ (ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.10-5.11)

1. Τι ονομάζεται τραπέζιο; 2. Τι ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο ; Να αναφέρετε τις ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου. 3. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ, τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 5. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσό του ΕΖ, στο Η. Να αποδείξετε ότι = 90°.

3803. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ (προς το Δ) κατά τμήμα    . Έστω Μ το μέσο της ΑΔ και Ν το σημείο τομής των ευθειών ΑΕ και ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι    μ6 β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΝΜΔ. μ5 γ) Να αποδείξετε ότι: i.    μ7 ii.    μ7 4606. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία του Α και Β. Φέρουμε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β οι οποίες τέμνονται σε σημείο Γ. Φέρουμε επίσης και τα ύψη ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ τα οποία τέμνονται στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές. μ8 β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος. μ 9 γ) Τα σημεία Ο,Η,Γ είναι συνευθειακά. μ 8 4619. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ. Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε EZ  AE και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. μ8 β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. μ8 γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. μ 9   90 και 4646. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A   30 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ 

αντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. μ6 E ii. AE  μ6 2 iii. η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διαμέσου ΑΜ. μ 7 β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. μ6 4731. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB  A και το ύψος του ΑΜ. Φέρουμε τη ΜΔ κάθετη στην ΑΓ και θεωρούμε σημείο Η το μέσο του ΜΔ. Από το Η φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στα σημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: B α) HZ  μ9 4 β) MZ  B μ8 γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. μ8

47 78

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Εγγεγραμμένα Σχήματα Θεωρία   

Εγγεγραμμένη γωνία , αντίστοιχη επίκεντρη γωνία και αντίστοιχο τόξο, σχέσεις μεταξύ τους Γωνία χορδής και εφαπτομένης . Παράλληλες χορδές και αντίστοιχα τόξα , γωνία δύο τεμνουσών .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα Α 2x

6.4 – 1Ε(2001)

x και y .

35o 50o

x y

2.Αν στο διπλανό σχήμα είναι μέτρο του τόξου ΒΔ .

  40 να βρείτε το A

140o

40o

6.4 –2Ε(2001)

3.Αν στα παρακάτω σχήματα οι ευθείες

   ' είναι εφαπτόμενες να βρεθούν τα x και y.

6.4 – 3Ε(2001)

Β ε

40o

50o

ε'

4.Αν στο διπλανό σχήμα είναι 25o

 και     25 να βρείτε τα μέτρα των τόξων EB A

70o

60o

ε Β

. 6.4 – 4Ε(2001)

93 Δ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ • Εγγεγραμμένη γωνία i) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. ii) Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. • Εγγεγραμμένο τετράπλευρο Ιδιότητες i) Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. ii) Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. iii) Κάθε εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. • Εγγράψιμο τετράπλευρο Κριτήρια Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: i) Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. ii) Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. iii) Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. • Περιγεγραμμένο τετράπλευρο Ιδιότητες i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. • Περιγράψιμο τετράπλευρο Κριτήρια Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. • Γεωμετρικοί τόποι και γεωμετρικές κατασκευές

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΣΤ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο )

1. Να αποδείξετε ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι ίση με την εγγεγραμμένη που 2. 3. 4. 5.

βαίνει στο αντίστοιχο τόξο. Να δώσετε τους ορισμούς της εγγεγραμμένης και της επικέντρης γωνίας. Τι ονομάζουμε εγγράψιμο τετράπλευρο; Να αναφέρετε τα κριτήρια ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου. Τι ονομάζουμε εγγεγραμμένο τετράπλευρο; Να αποδείξετε ότι οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Αν δύο κύκλοι κέντρων Κ και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο Α και ε ευθεία που διέρχεται από το Α τους τέμνει στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι : i) ΚΒ // ΛΓ και ii) οι εφαπτόμενες στα Β και Γ αντίστοιχα είναι παράλληλες .

6587. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ) στο σημείο Γ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες χ,y και ω δικαιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. μ 15 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς τις πλευρές. μ 10

6588. Έστω κύκλος κέντρου Κ, μια διάμετρός του ΒΓ και σημείο Α του κύκλου τέτοιο, ώστε BA  K  . Αν Δ τυχαίο σημείο του κύκλου διαφορετικό των Β και Γ, α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ισόπλευρο. μ 7 β) να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ. μ9 γ) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. μ9

6886. Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε το τόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο x του τόξου ΓΔ, μ8 β) τη γωνία ΒΟΔ, μ9 γ) τη γωνία ΒΑΔ. μ8

4ο ΘΕΜΑ 2806. Δύο κύκλοι (Κ, ρ) , (Λ, R) τέμνονται σε δύο σημεία Α,Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:    90 α) A B μ5 β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. μ 10 γ) το τετράπλευρο ΚΛΓΔ είναι τραπέζιο. μ 10

2810. Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. μ7 β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. μ8 γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με B  BZ και H  2B . μ 10 3714. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τα ίσα τόξα ΑΒ και ΑΓ, το καθένα ίσο με 120 . Έστω Δ και Ε τα μέσα των τόξων ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. μ8 β) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους. μ 10 63 101

Δημήτρης Βρύσαλης Ελένη Κουσουνή περιλαμβάνει την τράπεζα θεμάτων γεωμετρια

Γεωμετρία

περιλαμβάνει την τράπεζα

www.frontistiria-kallithea.gr

Ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 Καλλιθέα τηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108 e-mail: zafirop@acci.gr

α΄ λυκείου Α΄ Λυκειου

Μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 Καλλιθέα τηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: ster14@otenet.gr

θεμάτων

Επιμέλεια: Δημήτρης Βρύσαλης

Ελένη Κουσουνή