ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Γ΄

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Γ΄

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Περιέχει:  Αναλυτική θεωρία  Τρόπους αντιμετώπισης προβλημάτων  320 παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις  540 ασκήσεις με απαντήσεις ή υποδείξεις  Στο τέλος επανάληψη της θεωρίας με ερωτήσεις & 150 γενικά θέματα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 Ολοκληρώματα

Σελ.

5.1 Αρχική συνάρτηση

1

5.2 Ορισμένο ολοκλήρωμα

25

5.3 Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

45

5.4 Τεχνικές ολοκλήρωσης

81

5.5 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου

131

5.6 Επανάληψη

155

Απαντήσεις – Υποδείξεις

185

κεφάλαιο

5

Ολοκληρώματα

5.1

Αρχική συνάρτηση

Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, κάθε συνάρτηση F η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F(x)  f (x) , για κάθε x   .

Παρ. 1) Η συνάρτηση F(x)  x 2 είναι μια αρχική συνάρτηση της συνάρτησης f(x)  2x στο  , γιατί (x 2 )  2x για κάθε x   .  Η συνάρτηση F(x)  ημx είναι μια αρχική της συνάρτησης f(x)  συνx στο  , γιατί (ημx)  συνx για κάθε x   .

1  Η συνάρτηση F(x)  x F(x) = x είναι μια αρχική της συνάρτησης f(x) = στο (0,  ) , γιατί 2 x 1 ( x )  για κάθε x  (0,  ) .

2 x

Σχόλια α) Κάθε συνάρτηση f δεν έχει απαραίτητα αρχική συνάρτηση. 0, x  0 π. χ Η συνάρτηση f (x)   η οποία ορίζεται στο  δεν έχει αρχική. Δηλαδή δεν υπάρχει 1, x  0 συνάρτηση που αν τη παραγωγίσουμε να μας δίνει την f.

β) Αποδεικνύεται ότι:

─∙─

Κάθε συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ έχει αρχική συνάρτηση στο διάστημα αυτό. (Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που έχουν αρχική, χωρίς να είναι συνεχείς)

─∙─ γ) Μια συνάρτηση μπορεί να έχει αρχική. Αυτό δεν σημαίνει όμως, ότι μπορούμε να τη βρούμε.

Δηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις των οποίων δεν είμαστε σε θέση να βρούμε μια αρχική τους, παρόλο που ξέρουμε ότι υπάρχει.

2 ex x x 1 π. χ οι συναρτήσεις: e  x , , , , , x 2 , x 2 . x x x ln x

─∙─

δ) Άμεση συνέπεια των κανόνων παραγώγισης είναι το εξής: Αν η συνάρτηση F είναι μια αρχική της f και η G είναι μια αρχική της g στο διάστημα Δ και α, β πραγματικοί αριθμοί, με α, β  0 , τότε η αF είναι μια αρχική της αf , η F + G είναι μια αρχική της f + g και η αF  βG μια αρχική της αf  βg στο Δ. π. χ Η συνάρτηση F(x) = 2συνx είναι μια αρχική της f(x) = –2ημx στο  , γιατί (2συνx)  2ημx για κάθε x   .  Η ημx  x 2 είναι μια αρχική της συνx + 2x στο  , γιατί (ημx  x 2 )  συνx  2x για κάθε x   .  Η x 3  x 2 είναι μια αρχική της 3x 2  2x στο  , γιατί (x 3  x 2 )  3x 2  2x για κάθε x   .  Η συνάρτηση 4ημx  3x 2 είναι μια αρχική της 4συνx  6x στο  .

─∙─ ε) Αν η συνάρτηση F είναι μια αρχική της f σ’ ένα διάστημα Δ και α  0 , τότε η

1 F(x  ) είναι 

4

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

μια αρχική της f (x  ) στο Δ.

1 1 Πράγματι, [ F(x  )]   F(x  )  (x  )  f (x  ) για κάθε x   .   1 π. χ Η συνάρτηση  (2x  1) είναι μια αρχική της ημ(2x + 1) στο  .

2 1  Η συνάρτηση (5x  2)3 είναι μια αρχική της (5x  2) 2 στο  .

15

στ) Ο ορισμός της παράγουσας μιας συνάρτησης αναφέρεται σε διάστημα Δ. Το διάστημα αυτό μπορεί να είναι ανοικτό ή κλειστό, αλλά δεν μπορεί να είναι κάποιου άλλου είδους υποσύνολο του  , ή ένωση διαστημάτων, όπως είναι π. χ το * ή η ένωση (α, β)  (γ, δ) .

π. χ Δεν μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση F(x)  ln x είναι μια αρχική συνάρτηση της 1 στο   ( , 0)  (0,  ) . Μπορούμε όμως να πούμε, ότι η συνάρτηση F(x)  ln x είναι x 1 μια αρχική της f (x)  στο (0,  ) ή σε ένα υποσύνολό του, που είναι όμως διάστημα ή ότι η F είναι x μια αρχική της f στο (, 0) ή σε ένα υποσύνολό του, που είναι διάστημα. f (x) 

─∙─

 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2x, η οποία είναι συνεχής στο  . Παρατηρούμε ότι: (x 2 )  2x , (x 2  4)  2x , (x 2  4)  2x . Αυτό προφανώς σημαίνει, ότι οι συναρτήσεις x 2 , x 2  4, x 2  4 είναι αρχικές της ίδιας συνάρτησης f(x) = 2x στο  . Δηλαδή, αν μια συνάρτηση έχει μία αρχική, έχει και άλλες. Γενικά ισχύει το παρακάτω.

Θεώρημα Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε: – Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x)  F(x)  c , c   , είναι παράγουσες της f στο Δ και – κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x)  F(x)  c , c   .

Απόδειξη  Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x)  F(x)  c , όπου c   , είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G (x)  [F(x)  c]  F(x)  0  f (x) , για κάθε x   .  Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x   ισχύουν G (x)  f (x) και F(x)  f (x) , οπότε G (x)  F(x) για κάθε x   . Άρα, με τη βοήθεια των συνεπειών του θεωρήματος μέσης τιμής, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε να ισχύει: G(x) = F(x) + c για κάθε x   . Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

3 2

2) Αν f(x) = 3x + 2, τότε μια παράγουσα της f είναι η F(x)  x 2  2x , ενώ όλες οι παράγουσες της f είναι της μορφής

3 2 x  2x  c , με c   .

2



3) Να βρεθούν όλες οι παράγουσες της συνάρτησης f (x)  x ν , ν   και x   .

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

5

Λύση  x ν 1  1 x ν 1 (x ν 1 ) ή x ν    για κάθε x   . Δηλαδή η F(x)  ν 1 ν 1  ν 1 είναι μια παράγουσα της f, γιατί F(x)  f (x) για κάθε x   .

Ισχύει (x ν 1 )  (ν  1)x ν ή x ν 

Επομένως κάθε παράγουσα της f είναι της μορφής G(x)  

x ν 1  c , c . ν 1

4) Από τις αρχικές συναρτήσεις της f(x) = 2x + 3 να βρεθεί εκείνη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση Όλες οι αρχικές συναρτήσεις της f είναι της μορφής G(x)  x 2  3x  c , c   , γιατί G (x)  (x 2  3x  c)  2x  3  f (x) για κάθε x   . Αν F είναι η αρχική που μας ζητούν, τότε θα ισχύει F(1) = 2 ή 1 + 3 + c = 2, οπότε c = –2. Άρα F(x)  x 2  3x  2 . 

5) Να βρεθούν όλες οι αρχικές συναρτήσεις της συνάρτησης f (x)  xe x , x   . Λύση Παρατηρούμε ότι ισχύει: f (x)  xe x  e x  e x  (xe x )  ( e x )  (xe x  e x ) για κάθε x   . Επομένως F(x)  xe x  e x  c για κάθε x   , με c   .

─∙─

 Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε τον παρακάτω πίνακα των αρχικών συναρτήσεων 0 1 1 x xα

ex αx

ημx συνx 1 x

ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c xc f (x) ln f (x)  c ln x  c f (x) x 1  c,   1  1 ex  c

x c, α> 0 ln  – συνx + c

ημx + c 2 x c

f (x)[f (x)]α f (x)ef (x ) f (x)α f (x ) f (x)f (x) f (x)f (x)

f (x) f (x)

[f (x)]1  c ,   1  1

ef (x )  c  f (x) c, α > 0 ln  συνf (x)  c

ημf (x)  c 2 f (x)  c

1 συν 2 x

x  c

f (x)  2 f (x)

f (x)  c

1 ημ 2 x

x  c

f (x)  2 f (x)

f (x)  c

Δίνουμε μερικά παραδείγματα χωρίς να ενδιαφερόμαστε για τα διαστήματα στα οποία ορίζονται οι συναρτήσεις και οι αρχικές τους, μιας και εδώ μας ενδιαφέρει να μάθουμε το μηχανισμό υπολογισμού των τύπων των αρχικών συναρτήσεων.

6

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

6) Όλες οι παράγουσες της f (x)  4 είναι της μορφής F(x)  4x  c , c   , x111 x12 c c, 11  1 12 x 31 x 2 1 είναι της μορφής F(x)  c c 2 c, 3  1 2 2x

 της f (x)  x11 είναι της μορφής F(x)   της f (x) 

1  x 3 x3 3

2

 της f (x)  x 

 της f (x) 



1 3

x

2 x3

x

της f (x)  x x 



2

1

5

x3 5 5 5  c  x 3  c  3 x5  c  x 3 x 2  c , , x > 0 είναι της μορφής F(x)  2 3 3 3 1 3

1 3

3 x2

1  1 x 3

2

3 3  c  x3  c  3 x  c , , x > 0 είναι της μορφής F(x)  1 2 2  1 3 3

1

5

x2 2 2 5 2  c  x2  c  x  c  x2 x  c , c   . , x > 0 είναι F(x)  3 5 5 5 1 2 

7) Η συνάρτηση f (x)  2e 2x 3 γράφεται f (x)  (2x  3)e 2x 3 , οπότε όλες οι αρχικές συναρτήσεις της f είναι της μορφής F(x)  e 2x 3  c , c   .

1  Η f (x)  e 2x 3 γράφεται f (x)  (2x  3)e 2x 3 , οπότε όλες οι αρχικές συναρτήσεις της f είναι της 2 1 2x 3 μορφής F(x)  e  c , c .

2 π π π π  Η f (x)  ημ(x  ) γράφεται f (x)  (x  )ημ(x  ) , οπότε F(x)  συν(x  )  c , c   .

3 3 3 3 1 1  Η f (x)  συν3x γράφεται f(x)   (3x)συν3x , οπότε F(x)  ημ3x  c , c   .

3 3 1 (x  3)  Η f (x)  γράφεται f (x)  , οπότε F(x)  2 x  3  c , c   . x3 x3  Η f (x)  (x 2  x  2)3 (2x  1) γράφεται f (x)  (x 2  x  2)3 (x 2  x  2) , οπότε όλες οι αρχικές 1 συναρτήσεις της f είναι της μορφής F(x)  (x 2  x  2) 4  c , c   .

4 2

2

τη συνάρτηση f (x)  (2x  3)  5x 3x  7 έχουμε f (x)  (x 2  3x  7)  5x 3x  7 , οπότε 2 1 F(x)   5x 3x  7  c , c   . ln 5  Για την f (x)  3x 2 ημ(x 3  6) έχουμε f (x)  (x 3  6)ημ(x 3  6) και F(x)  συν(x 3  6)  c , c   .  Για

2x (x 2  1) γράφεται , οπότε F(x)  ln(x 2  1)  c , c   . f (x)  x2  1 x2  1 π (2x  ) 2 π 4 Η f (x)  γράφεται f (x)  , οπότε F(x)  εφ(2x  )  c , c   . π π 4 συν 2 (2x  ) συν 2 (2x  ) 4 4

 Η συνάρτηση f (x) 



3 x

8) Η συνάρτηση f (x)  e x   συν2x , x  0 γράφεται f (x)  (e x  3ln x 

ημ2x ) οπότε όλες οι 2

ημ2x (Σχολ.)  c, c .

2  Η f (x)  4x 3  3x 2  2x  3 γράφεται f (x)  (x 4  x 3  x 2  3x) οπότε F(x)  x 4  x 3  x 2  3x  c .

αρχικές συναρτήσεις της f είναι της μορφής F(x)  e x  3ln x 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

7

1 x2  x  1 x2 γράφεται f (x)  x  1  , οπότε F(x)   x  ln x  c , c   . (Σχολ.) x x 2 x3  8 (x  2)(x 2  2x  4) x3  Η f (x)  γράφεται f (x)   x 2  2x  4 , οπότε F(x)   x 2  4x  c . x2 x2 3 (Σχολ.) x3 x2 1 1  Η f (x)  γράφεται f (x)  , οπότε F(x)  x  ln x  2  c . (Σχολ.)  1 x2 x2 x2 x2

 Η f (x) 

1

1

 3x 1 1 3x  1  3 x   3x 2  x 2 , οπότε , x  0 γράφεται f (x)   Η συνάρτηση f (x)  x x x x 3

1

3

1

x2 x2 F(x)  3   c  2x 2  2x 2  c  2 x 3  2 x  c , c   . (Σχολ.)

3 1 2 2 ημ 2 x  συν 2 x 1 1 1  Η f (x)  2 γράφεται f (x)    2 , οπότε όλες οι αρχικές 2 2 2 2 ημ xσυν x συν x ημ x ημ xσυν x συναρτήσεις της f έχουν τύπο της μορφής F(x)  εφx  σφx  c , c   . 

9)

2

3

Η συνάρτηση f (x)  3x ημx  x συνx γράφεται f (x)  (x 3 ημx) , οπότε όλες οι αρχικές

συναρτήσεις της f έχουν τύπο της μορφής F(x)  x 3 ημx  c , c   .  Η συνάρτηση f (x)  x 3e x (4  x) γράφεται f (x)  4x 3e x  x 4 e x  (x 4 )e x  x 4 (e x )  (x 4 e x ) , οπότε F(x)  x 4 e x  c , c   . (ημx)  x  (x)  ημx  ημx  xσυνx  ημx f (x)   γράφεται  , οπότε όλες οι x2 x2  x  ημx αρχικές συναρτήσεις της f έχουν τύπο της μορφής F(x)   c , c . x (ln x)  x  (x)  ln x  ln x  1  ln x ln x   Η f (x)  γράφεται f (x)   c , c .  , οπότε F(x)  2 2 x x x  x  (ημx)  e x  (e x )  ημx  ημx  συνx  ημx e x  συνx  e x  ημx f (x)   x  ,  Η f (x)  γράφεται f (x)   ex e 2x e 2x  e  ημx οπότε F(x)  x  c , c   . e

 Η συνάρτηση f (x) 



10) Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Α(2, 3) και να ισχύει f (x)  2x  1 , για κάθε x   .

(Σχολ.)

Λύση Για κάθε x   ισχύει διαδοχικά f (x)  2x  1 f (x)  (x 2  x)  f (x)  x 2  x  c , c   . Για x  2 έχουμε 3  22  2  c  c  1 . Άρα f (x)  x 2  x  1 , x   . 

11) Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f (x)  12x 2  2 και η γραφική της παράσταση στο σημείο A(1,1) έχει κλίση 3.

(Σχολ.)

Λύση Για κάθε x   έχουμε f (x)  12x 2  2   f (x)   (4x 3  2x)  f (x)  4x 3  2x  c1 , c1   . Ισχύει f (1)  3 , οπότε 3  6  c1  c1  3 και f (x)  4x 3  2x  3 .

8

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Ακόμη f (x)  4x 3  2x  3  f (x)  (x 4  x 2  3x)  f (x)  x 4  x 2  3x  c 2 , c 2   . Επειδή f(1)  1 είναι 1  1  c 2  c 2  2 . Άρα f (x)  x 4  x 2  3x  2 , x   . 

12) Μια νέα γεώτρηση εξόρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο

3 R (t)  20  10t  t 2 , όπου R(t) είναι ο αριθμός, σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους t 4 πρώτους μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 πρώτους μήνες λειτουργίας της. (Σχολ.)

Λύση 3 1 Έχουμε: R (t)  20  10t  t 2  R (t)  (20t  5t 2  t 3 )  4 4 1 R(t)  20t  5t 2  t 3  c , c   .

4

1 Προφανώς είναι R(0)  0 , οπότε c  0 και R(t)  20t  5t 2  t 3 .

4 Άρα στους 8 πρώτους μήνες λειτουργίας της θα έχουν αντληθεί 1 R(8)  20  8  5  82   83  352 χιλιάδες βαρέλια.

4 

13) Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για μια εβδομαδιαία παραγωγή x εξαρτημάτων έχει οριακό

κόστος x 2  5x (ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι 100 ευρώ. (Σχολ.)

Λύση Έχουμε:  (x)  x 2  5x  K (x)  (

x 3 5x 2  )  3 2

x 3 5x 2   c , c .

3 2 Από τα δεδομένα συμπεραίνουμε ότι Κ(0)  100 , οπότε η τελευταία ισότητα για x  0 δίνει c  100 , K(x) 

οπότε η συνάρτησης κόστους είναι K(x) 

x 3 5x 2   100 , x  0 .

3 2 

14) Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει x χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου

του, αναμένει να έχει κέρδος P(x) χιλιάδες ευρώ από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραγωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους P(x), που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο P(x)  5,8e  x /2000 . Να βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 ευρώ σε 6.000.000 ευρώ. (Σχολ.)

Λύση Έχουμε: P(x)

x  5,8e 2000

x

x

x    5,8e 2000 2000  P(x)   11600e  P(x)     1   2000

P(x)  11600e 2000  c , c   . Το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 ευρώ σε 6.000.000 ευρώ 6000

4000

είναι: P(6000)  P(4000)  11600e 2000  c  11600e 2000  c  11600(e 2  e 3 )  

11600(e  1) ευρώ. e3

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

9

Σχόλιο Δεν πρέπει να μας διαφεύγει, ότι η αρχική συνάρτηση αναφέρεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Έτσι: Αν έχουμε μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής Δ1  Δ 2 και έχει ίδιο τύπο και στα δύο διαστήματα και μια συνάρτηση F είναι μια συγκεκριμένη αρχική της συνάρτησης f  F(x)  c1 , x  Δ1 σε ένα από τα διαστήματα, τότε κάθε αρχική της f έχει τη μορφή G(x)   . F(x)  c 2 , x  Δ 2 1 , η οποία είναι ορισμένη στο σύνολο (,0)  (0,  ) που είναι x2 1 ένωση διαστημάτων. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση G(x)   είναι μια αρχική της f στο διάστημα x 1 (,0) , γιατί για κάθε x  (,0) ισχύει G (x)  f (x) . Τότε κάθε αρχική της συνάρτησης f (x)  2 x  1    c1 , x  0 είναι της μορφής F(x)   x .  1  c , x  0 2  x

π. χ

Έστω η συνάρτηση f (x) 

 Ομοίως κάθε αρχική της συνάρτησης f (x)  ln( x)  c1 , x  0 της μορφής F(x)   .  ln x  c 2 , x  0

1 , η οποία είναι ορισμένη στο ( , 0)  (0,  ) είναι x

 Στην πράξη, για συντομία συνήθως, λέμε ότι οι αρχικές της συνάρτησης f (x) 

1 , x   είναι της 2 x

1 1  c , c   , ενώ οι αρχικές της συνάρτησης f (x)  , x   x x F(x)  ln x  c , c   , εννοώντας όμως, ότι ισχύουν τα παραπάνω.

μορφής F(x)  

είναι της μορφής

Πως βρίσκουμε τις αρχικές συναρτήσεις μιας συνάρτησης f που δίνεται ή γράφεται με μορφή δύο ή περισσότερων κλάδων Θα δώσουμε παρακάτω μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα.  2x, x  0 .

2 3x , x  0

15) Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, οι παράγουσες της f (x)   Λύση

Για x < 0 και για x > 0 η f είναι συνεχής, ως πολυωνυμική και ισχύει lim f (x)  lim f (x)  0 , οπότε x 0

x 0

η f είναι συνεχής στο  και επομένως έχει αρχική συνάρτηση στο  . Μια αρχική της 2x στο διάστημα (, 0) είναι η x 2 , οπότε όλες οι αρχικές της 2x στο διάστημα (, 0) είναι της μορφής x 2  c1 , c1   . Μια αρχική της 3x 2 στο διάστημα [0,  ) είναι η x 3 , οπότε όλες οι αρχικές της 3x 2 στο διάστημα [0,  ) είναι της μορφής x 3  c 2 , c 2   . x2  c , x  0 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι κάθε αρχική της f θα είναι της μορφής F(x)   3 1 , x  c2 , x  0 εφόσον παραγωγίζεται και η παράγωγός της είναι ίση με την f.

10

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

 Αν η F είναι αρχική της f, ως παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε πότε η F είναι συνεχής. Για x < 0 και για x > 0 η F είναι συνεχής, ως πολυωνυμική. Έχουμε lim F(x)  lim (x 2  c1 )  c1 και lim F(x)  lim (x 3  c 2 )  c 2 . x 0

x 0

x 0

x 0

 x 2  c, x  0 Επομένως η F είναι συνεχής, όταν c1  c 2 , οπότε έχουμε F(x)   3 , όπου c1  c 2  c .  x  c, x  0

 Για να είναι η F αρχική της f πρέπει να αποδείξουμε ότι η F έχει παράγωγο ίση με την f. Πράγματι, για x < 0 είναι F(x)  2x και για x > 0 είναι F(x)  3x 2 .

F(x)  F(0) x2  c  c F(x)  F(0) x3  c  c  lim  0 και lim  lim  0 , οπότε F(0)  0 . x 0 x 0 x 0 x 0 x0 x x0 x  2x, x  0 Άρα η F παραγωγίζεται στο  , με F(x)   2  f (x) . 3x , x  0

Ακόμη lim

 x 2  c, x  0 Επομένως κάθε αρχική της f στο  είναι της μορφής F(x)   3 , c .  x  c, x  0

2ος τρόπος Για x < 0 και για x > 0 η f είναι συνεχής, ως πολυωνυμική και ισχύει lim f (x)  lim f (x)  0 , οπότε η f είναι συνεχής στο  και επομένως έχει παράγουσα στο  . Μια παράγουσα της 2x στο διάστημα (, 0) είναι η x 2 .

x 0

x 0

Μια παράγουσα της 3x 2 στο διάστημα [0,  ) είναι η x 3 . x 2 , x  0 Η συνάρτηση F(x)   3 θα είναι μια παράγουσα της f στο  , εφόσον θα παραγωγίζεται x , x  0 στο  και θα ισχύει F(x)  f (x) για κάθε x   .

Παρατηρούμε ότι: Για x < 0 είναι F(x)  2x και για x > 0 είναι F(x)  3x 2 .

F(x)  F(0) x2 F(x)  F(0) x3  lim  0 και lim  lim  0 , οπότε F(0)  0 . x 0 x x 0 x x 0 x 0 x0 x0  2x, x  0 Άρα η F παραγωγίζεται στο  , με F(x)   2  f (x) . 3x , x  0 Επομένως η F είναι μια παράγουσα της f στο  .  x 2  c, x  0 Όλες οι παράγουσες της f είναι της μορφής G(x)  F(x)  c   3 , c .  x  c, x  0

Είναι lim



16) Να βρεθούν στο  , εφόσον υπάρχουν, οι αρχικές συναρτήσεις της συνάρτησης f (x)  2 x  2  3 . Λύση 2x  7, x  2 Η f είναι συνεχής στο  και επομένως έχει αρχική. Η συνάρτηση γράφεται: f (x)   .  2x  1, x  2

 x 2  7x  c1 , x  2 Όλες οι συναρτήσεις της μορφής F(x)   2 θα είναι αρχικές της f , με την  x  x  c2 , x  2 προϋπόθεση όμως, να είναι παραγωγίσιμες στο  και η παράγωγος καθεμιάς να είναι ίση με την f.

Η F είναι συνεχής για x < 2 και για x > 2. Πρέπει lim F(x)  lim F(x)  F(2) , οπότε 10  c1  2  c 2 ή c 2  8  c1 . x 2

x 2

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

11

  x 2  7x  c, x  2 Έτσι, αν θέσουμε c  c1 έχουμε F(x)   2 .  x  x  8  c, x  2 F(x)  F(2) x 2  x  8  c  10  c (x  1)(x  2) x2  x  2  lim  lim Είναι lim  3 και  lim x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 x2 F(x)  F(2)  x 2  7x  c  10  c (x  2)(x  5) (x 2  7x  10)  lim  lim  3 , οπότε  lim x  2 x  2 x  2 x 2 x2 x2 x2 x2 2x  7, x  2 F(2)  3 . Επομένως F(x)    f (x) .  2x  1, x  2 lim

  x 2  7x  c, x  2 Άρα, όλες οι αρχικές της f είναι της μορφής F(x)   2 , c .  x  x  8  c, x  2 

x 1 2 , έχει αρχική συνάρτηση στο διάστημα [0, 2].  3 , x  [0,1)  (1, 2]

17) Να εξετάσετε αν η f (x)   Λύση

Είναι lim f (x)  3  2  f (1) . Επομένως η f δεν είναι συνεχής. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχει αρχική. x 1

Για x  [0,1) μια αρχική της f είναι η 3x και όλες οι αρχικές της f στο [0, 1) είναι της μορφής 3x  c1 . Για x  (1, 2] μια αρχική της f είναι η 3x και όλες οι αρχικές της f στο (1, 2] είναι της μορφής 3x  c 2 . Έστω ότι η f έχει αρχική συνάρτηση. Τότε θα είναι της μορφής 3x  c1 , x  [0,1)  , c1 , c 2 , c   .

F(x)   c, x 1 3x  c , x  (1, 2] 2   Εξετάζουμε πότε η F είναι συνεχής στο  . Για x  1 και x  1 η F είναι συνεχής. Ακόμη ισχύουν lim F(x)  lim(3x  c1 )  3  c1 και lim F(x)  lim(3x  c 2 )  3  c 2 . x 1

x 1

x 1

x 1

3x  c  3, x  [0,1)  Πρέπει c  3  c1  3  c 2 ή c1  c 2  c  3 , οπότε F γράφεται F(x)   , c . c, x 1 3x  c  3, x  (1, 2] 

 Εξετάζουμε αν ισχύει F(x)  f (x) για κάθε x   . Για x < 1 και για x > 1 ισχύει F(x)  3  f (x) .

F(x)  F(1) 3x  c  3  c F(x)  F(1)  lim  3 και lim  3 , οπότε F(1)  3 . Έχουμε ότι lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Παρατηρούμε ότι F(1)  f (1) . Άρα F(x)  f (x) και επομένως η f δεν έχει αρχική συνάρτηση στο [0, 2].

5.1.1

Λυμένες ασκήσεις

1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α, β]. Αν η συνάρτηση

F είναι μια

παράγουσα της f στο [α, β) και η F είναι συνεχής στο β, να αποδείξετε ότι η F είναι μια παράγουσα της f στο [α, β].

Λύση Είναι F(x)  f (x) για κάθε x  [α, β) . Επειδή η F είναι συνεχής στο β έχουμε: lim F(x)  F(β) ή lim [F(x)  F(β)]  0 . x β

x β

22

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

 από το σημείο ( ,  2) .

2 β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των f και F στα σημεία τους με  τετμημένη είναι κάθετες.

2 γ) Να αποδείξετε ότι η F αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. δ) Να βρείτε την τιμή της F1 στο σημείο της με τετμημένη ( e  1) . ε) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y  3 τέμνει σε ένα μόνο σημείο τη γραφική παράσταση της F.  x ln( x)  x, x  0 είναι μια αρχική της h(x)  ln x .

H(x)   x0  x ln x  x, Β. α) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το * , f (1)  f (1)  2 και f (x)  0 για κάθε x  * . Αν η f είναι παραγωγίσιμη, με παράγωγο συνάρτηση ‘1 – 1’ και ισχύει f (x)  f (f (x))  1 για κάθε

33. Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

x  * , να βρείτε την f. β) Αν F μια αρχική της f, που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1, 1) και Β(–1, –1), να αποδείξετε ότι η F είναι περιττή. γ) Να λύσετε στο (0,  ) την εξίσωση e 2 F(x)  1  0 .

34. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο

─∙─

 , με f(x) > 0 για κάθε x   και F μια αρχική της f. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  (e , 2e ) τέτοιο, ώστε να ισχύει F(2e x )  F(e x )  e f () . x

x

35. Έστω ότι για τη συνεχή στο [0,  )

συνάρτηση f ισχύει: f (x)  F(x)  0 , για κάθε x  [0,  ) . (1) όπου F είναι μια αρχική συνάρτηση της f , με F(0)  0 . Να αποδείξετε ότι, f (x)  0 για κάθε x  [0,  ) .

36. Έστω F μια αρχική της συνάρτησης

2

f (x)  3e x 1 . α) Να μελετήσετε τις f και F ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. β) Να αποδείξετε ότι ισχύει F(x  1)  F(x  1)  2F(x) , για κάθε x > 1. γ) Να αποδείξετε ότι lim F(x)   . x 

xF(x) . x  f (x)  3x

δ) Να βρείτε το lim

37.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  και F μια παράγουσά της, με F(0) 

(2x  3)F(x)  (x 2  3x  4)[F(x)  f (x)] , για κάθε x   . (1) α) Να βρείτε την f . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες του διαγράμματος της F. γ) Να αποδείξετε ότι f (x)  0 για κάθε x   .

3e 4

και

38. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f :    , με f (0)  2 και F η παράγουσα της f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0, 3). Αν ισχύει [e x F(x)  2][e x f (x)  2]  0 , για κάθε x   , (1) τότε: α) Να βρείτε τον τύπο της F. β) Να εξετάσετε την F ως προς τα κοίλα. γ) Με τη βοήθεια της κυρτότητας να δείξετε ότι F(x)  3  2x για κάθε x   .

Αρχική συνάρτηση και συναρτησιακές σχέσεις 39. Να εξετάσετε, αν υπάρχει συνάρτηση

(17, 18)

f :   * που να έχει παράγουσα F, η οποία ικανοποιεί την

x2 ) , για κάθε x   .

2 40. Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει: f(x + y) = f(x) + f(y) για κάθε x, y   . (1) α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή, β) Αν η f είναι συνεχής στο 0 να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο  ,

ισότητα: f (x  1)F(1  x)  F(x  3)f (

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

23

γ) Έστω ότι ισχύει F(x + y) = F(x) + F(y) + 4xy για κάθε x, y   (2), όπου F είναι μια αρχική

συνάρτηση της f . Να βρείτε την f.

41. Για τη συνεχή συνάρτηση f :   (0,  ) και την αρχική της F ισχύουν: f (x  y)  f (x)f (y) (1) F(x  y)  1  (F(x)  1)(F(y)  1) (2) για κάθε x, y   και F(0)  1 . Να βρείτε την f.

42. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη στο

(0,  ) συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν f(1) = e, και για κάθε x, y  0 , f(x) > 0 και xy[F(y)  F(x)]  xy[f (y)  f (x)]  yf (x)  xf (y) , όπου F αρχική της f.

43. Έστω μια συνάρτηση f, συνεχής στο

(0,  ) , η οποία για κάθε x, y > 0 ικανοποιεί την ισότητα

f (xy)  xy  f (x)  f (y)  (x  y)  1 (1) Α. Να αποδείξετε ότι: α) f (1)  2 . β) Αν είναι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με παράγωγο    , τότε είναι παραγωγίσιμη στο (0,  ) . γ) Αν κ > 1, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(1, f(1)) και να αποδείξετε ότι f (x)  2  (x  1) , για κάθε x > 0. Β. Αν η συνάρτηση F είναι μια αρχική της f , F(1) = 1 και g συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0, ) για

την οποία ισχύει 2xF(x)  x 2  2F(x)  g(x)  2(   1)x  1 (2) για κάθε x > 0 : α) Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της με τη βοήθεια του κ. β) Αν f (1)  2 , να βρείτε τις συναρτήσεις g και F. F(x), x  0 να είναι συνεχής. x0  λ,

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει    , ώστε η συνάρτηση G(x)  

44. Έστω F αρχική μιας συνάρτησης f, που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

(1,  ) , με f(2) = 1 και xf (xy  1)  1  F(x  1)  x[f (y  1)  1] για κάθε x, y  (0,  ) . Να βρείτε την f.

45.

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :   (0, ) , με f(0) = 2, για την οποία ισχύει

f (x)F( x)  2(e 2x  1) για κάθε x   , (1) όπου F είναι μια αρχική της f στο  . (e 2x  1) 2 για κάθε x   . β) Να βρείτε την f. e 2x 46. Έστω F :    μια παράγουσα της συνάρτησης f , όπου f συνεχής στο  με f (1)  3 . Αν ισχύει 1 3 f (x)F( )  , για κάθε x  0 (1) , τότε να αποδείξετε ότι: x x 1 α) F(x)F( )  1 , για κάθε x < 0. β) F(x)  x 3 για κάθε x < 0. x F2 (x)  1 γ) Να βρείτε τις αρχικές της συνάρτησης , για x < 0. x2  1

α) Να αποδείξετε ότι F(x)F( x) 

Αρχική συνάρτηση και προβλήματα

(19, 20, 21)

47. Μια μονάδα εξόρυξης πετρελαίου ξεκινά τη λειτουργία της με την προϋπόθεση ότι, ο ρυθμός

άντλησης πετρελαίου θα δίνεται για τα 3 πρώτα χρόνια από τον τύπο R (t)  t(3t  4) , όπου R(t) είναι ο αριθμός σε χιλιάδες βαρέλια που αντλούνται στους t πρώτους μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 10 πρώτους μήνες λειτουργίας της.

48. Ο πληθυσμός N(t) , σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυξάνεται με ρυθμό t

1 20 e ανά λεπτό. Να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά. (Σχολ.)

20 49. Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό e t , όπου α, κ είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία T(0) του σώματος είναι T0   , όπου 0 η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημα διατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t. (Σχολ.)

50. Αν P(t) είναι ο πληθυσμός μιας χώρας, όπου t ο χρόνος σε έτη, ένας "νόμος της αύξησης" εκφράζεται από τη σχέση P(t)  P(t) (1), όπου   0 σταθερά που εξαρτάται από πολλούς παράγοντες. Αν N(t) 

5.2 5.2.1

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Εμβαδόν επιπέδου χωρίου

 Μέχρι τώρα έχουμε μάθει να υπολογίζουμε το εμβαδόν γνωστών επιπέδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο, το τρίγωνο, το κανονικό πολύγωνο, ο κύκλος, αλλά και το εμβαδόν κάθε επίπεδου σχήματος που μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα, χωρίς όμως, αν το καλοσκεφθούμε, να κατορθώσουμε να δώσουμε ένα γενικά αποδεκτό ορισμό του εμβαδού. Στα παρακάτω θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε το εμβαδόν των επιφανειών εκείνων, όπως η σκιασμένη επιφάνεια του διπλανού σχήματος, οι οποίες ορίζονται από τον άξονα των x, τις ευθείες x  α και x  β και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με f (x)  0 . Σε αυτού του είδους τις επιφάνειες μπορούμε να συμπεριλάβουμε πολλά από τα μέχρι τώρα γνωστά μας επίπεδα σχήματα , όπως το τρίγωνο, το ορθογώνιο ….

Εμβαδόν παραβολικού χωρίου  Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν (Ε) του επιπέδου χωρίου Ω (διπλανό σχήμα) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 και x  1 (παραβολικό χωρίο). Ένας τρόπος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι μια γενική μέθοδος, η οποία στηρίζεται στη λεγόμενη μέθοδο της εξάντλησης που αποδίδεται στον Εύδοξο (408 – 355 π. Χ) και χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη (287 – 212 π. Χ) για τον υπολογισμό του εμβαδού του κυκλικού δίσκου και του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου.

ν(ν  1)(2ν  1) 6 που μας χρειάζεται παρακάτω. Καλό είναι, σ’ αυτό το σημείο, να αποστηθίσουμε και τους τύπους: ν(ν  1) ν 2 (ν  1)2 και S 3  13  23  ...  ν 3  S12  .

S1  1  2  ...  ν  2 4

─ Πριν ξεκινήσουμε θα πρέπει να αποστηθίσουμε τον τύπο S 2  12  22  ...  ν 2 

─ Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους x  x 0  0 , x1 

1 2 ν 1 ν , x 2  , ……., x ν 1  , xν  1. ν ν ν ν

1 , με άκρα τα σημεία: ν

26

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

─ Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε

καθένα από αυτά (σκιασμένα ορθογώνια του σχήματος), καθώς και τα ορθογώνια με βάσεις τα ίδια υποδιαστήματα και ύψη τη μέγιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά (σκιασμένα και λευκά μαζί ορθογώνια του σχήματος). ─ Βρίσκουμε τα εμβαδά όλων των ορθογωνίων που είναι αντίστοιχα: Για τα σκιασμένα που έχουν ύψος την ελάχιστη τιμή της f στο κάθε διάστημα: 1 1 1 2 1 ν 1 1 (I) f (0)  , f ( )  , f ( )  ,...,f ( ) ν ν ν ν ν ν ν Για αυτά που έχουν ύψος τη μέγιστη τιμή της f στο κάθε διάστημα: 1 1 2 1 ν 1 1 ν 1 (II) f ( )  , f ( )  ,...,f ( ) , f( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ─ Παρατηρούμε ότι, αν προσθέσουμε τα εμβαδά που έχουμε στην (I), παίρνουμε μια προσέγγιση (εν) του εμβαδού που ζητάμε. Όπως, όμως φαίνεται και στο σχήμα (σκιασμένα ορθογώνια), το εμβαδόν που θα βρούμε παραμένει πάντοτε μικρότερο από το ζητούμενο.

1 1 1 2 1 ν 1 1 Έχουμε: ε ν  f (0)   f ( )   f ( )    f ( )  ν ν ν ν ν ν ν 2 2 2  1 2 1 2 1 2  ν 1 2 2 0        ...      3 [1  2  ...  (ν  1) ] . ν  ν ν  ν   ν ν(ν  1)(2ν  1) , οπότε 6 1 (ν  1)ν(2ν  1) 2ν 2  3ν  1 εν  3  6 ν 6ν 2 ─ Αντίστοιχα, αν προσθέσουμε τα εμβαδά που έχουμε στην (II), παίρνουμε μια προσέγγιση (  ν ) του εμβαδού. Όμως, το εμβαδόν που θα βρούμε παραμένει πάντοτε μεγαλύτερο από το ζητούμενο.

2 2 2 1 1 2 1 ν 1 1  1   2  ν  Έχουμε:  ν  f ( )  f ( )  ...  f ( )        ...      ν ν ν ν ν ν ν  ν   ν   ν  

Από τον τύπο του S2 παίρνουμε 12  22  ...  (ν  1) 2 

1 2 1 ν(ν  1)(2ν  1) 2ν 2  3ν  1 2 2 (1  2  ...  ν )   .

6 ν3 ν3 6ν 2 ─ Με βάση τα παραπάνω έχουμε: ε ν     ν και lim ε ν    lim  ν . ν 

2

ν  2

1 2ν  3ν  1 1 2ν  3ν  1 1 και lim  ν  lim   , οπότε   .

2 2 ν  ν  3 3 3 6ν 6ν  Γενικά, αν σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα [x κ 1 , x κ ] , κ  1, 2,..., ν και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο ξ κ , κ  1, 2,3,..., ν , καθενός διαστήματος,

Είναι όμως lim ε ν  lim ν 

ν 

1 1 1 τότε το άθροισμα Sν  f (ξ1 )  f (ξ 2 )  ...  f (ξ ν ) των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ν ν ν ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού Ε.

1 1 1 ─ Επειδή f (x κ 1 )  f (ξ κ )  f (x κ ) για κ  1, 2,..., ν , θα είναι f (x κ 1 )  f (ξ κ )  f (x κ ) , οπότε θα ν ν ν ισχύει ε ν  Sν   ν . Είναι όμως lim ε ν  lim  ν   . Άρα θα ισχύει lim Sν   . ν 

ν 

ν 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

27

Ορισμός εμβαδού επίπεδου χωρίου Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] , με f (x)  0 , για κάθε x  [α,β] και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x  α , x  β . Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή: ─ Χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους βα , με τα σημεία α  x 0  x1  x 2  ...  x ν  β . x  ν ─ Σε κάθε υποδιάστημα [x κ 1 , x κ ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο ξ κ και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση x και ύψη τα f (ξ κ ) . Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι: Sν  f (ξ1 )x  f (ξ 2 )x  ...  f (ξ ν ) x 

─ Υπολογίζουμε το lim Sν .

ν

 f (ξ κ )x . κ 1

ν 

Αποδεικνύεται ότι το lim Sν , υπάρχει στο  και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ν 

ξ κ . Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επίπεδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με () .

Σχόλια α) Είναι προφανές ότι ( )  0 . ─∙─

β) Αποδεικνύεται ότι το lim Sν , υπάρχει στο  και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ν 

ξ κ και όταν χωρίζουμε το [α, β] σε όχι ισομήκη υποδιαστήματα [x κ 1 , x κ ] , αρκεί το μεγαλύτερο από αυτά να έχει μήκος με όριο το μηδέν, όταν το ν τείνει στο   .

─∙─

γ) Το πεπερασμένο σύνολο σημείων {x 0 , x1 , x 2 , ..., x ν } του [α, β], για το οποίο ισχύει α  x 0  x1  x 2  ...  x ν  β και με το οποίο χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε ν υποδιαστήματα δ κ  [x κ 1 , x κ ] με μήκος x κ  x κ  x κ 1 , κ  1, 2,..., ν , ονομάζεται διαμέριση του διαστήματος [α, β].

5.2.2

Το ορισμένο ολοκλήρωμα

 Στην προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε το εμβαδόν ενός επίπεδου χωρίου Ω μιας συνεχούς συνάρτησης f, σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], με f (x)  0 για κάθε x  [α,β] . Ο αριθμός που μας δίνει το εμβαδόν του χωρίου, ονομάζεται ολοκλήρωμα της f στο [α, β].  Το ολοκλήρωμα όμως, δεν ορίζεται μόνο όταν f (x)  0 . π. χ στο διπλανό σχήμα έχουμε μια συνεχή συνάρτηση στο [α, β], για την οποία δεν ισχύει ότι f (x)  0 για κάθε x  [α,β] . Στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωμα θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα του εμβαδού του μέρους του χωρίου που βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x και αυτού που βρίσκεται κάτω από τον άξονα των x. Αποδεικνύεται δηλαδή, χωρίς τον περιορισμό f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , ότι το lim Sν , υπάρχει στο ν 

 και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ξ κ . Το όριο αυτό ονομάζεται ολοκλήρωμα της f στο [α, β]. Γενικά:

28

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα [α, β]. Με τα σημεία α  x 0  x1  x 2  ...  x ν  β χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαβα . ν Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα ξ κ  [x κ 1 , x κ ] , για κάθε κ {1, 2,..., ν} .

στήματα μήκους x 

Ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β, συμβολίζουμε με

β

α f (x)dx

και

ν

διαβάζουμε “ολοκλήρωμα της f από το α στο β”, το όριο του αθροίσματος Sν   f (ξ κ )x . κ 1



β

ν



  f (ξ κ )x  α f (x)dx  νlim    κ 1 

Είναι δηλαδή

ν

(Το άθροισμα Sν   f (ξ κ )x ονομάζεται ένα άθροισμα Riemann) κ 1

 Οι αριθμοί α και β λέγονται όρια ή άκρα της ολοκλήρωσης. Συγκεκριμένα: Το α ονομάζεται κάτω όριο, ενώ το β άνω όριο της ολοκλήρωσης.

─ Η έννοια «όρια» εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου που συναντήσαμε στα προηγούμενα.  Το x, δηλαδή το γράμμα που είναι δίπλα στο d, ονομάζεται μεταβλητή ολοκλήρωσης. β

α f (x)dx , όπως ορίστηκε, προϋποθέτει ότι α < β.

 Το ολοκλήρωμα

Επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσεις που είναι α  β ή α  β ως εξής: α

─ Αν α = β, τότε

α f (x)dx  0

─ Αν α > β, τότε

α f (x)dx   β f (x)dx .

β

α

 Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Αν f (x)  0 , για κάθε x  [α,β] , τότε το ολοκλήρωμα

β

α f (x)dx

δίνει

το εμβαδόν () του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  α και x  β . Δηλαδή,

β

α f (x)dx  () .

Επομένως,:

Αν f (x)  0 και α < β, τότε ισχύει

β

α f (x)dx  0

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

1) Ισχύει π

3

1 (x  1)dx  0 ,

0 ημθdθ  0 , γιατί

γιατί x  1  0 για κάθε x  [1,3] και

ημθ  0 για κάθε θ  [0, π] . .

2) Να αποδείξετε ότι Λύση

1

4 (4  x

2

 3x)dx  0 .



Ω

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

29

Η συνάρτηση f (x)   x 2  3x  4 έχει ρίζες 1 και 4 . Στο διάστημα [4,1] έχουμε f (x)  0 , οπότε 1

1

4 f (x)dx  0  4 (4  x

2

 3x)dx  0 .

Σχόλια α) Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι στην ύλη αυτού του βιβλίου αναφερόμαστε πάντοτε σε ορισμένα ολοκλη-

ρώματα συνεχών συναρτήσεων. Συνεπώς πρέπει να ελέγχουμε πάντοτε τη συνέχεια της συνάρτησης.  x  1, x  1 π. χ Δεν μπορούμε να μιλάμε για ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f (x)   2 στο  x , x  1 διάστημα [0, 2], γιατί στο διάστημα αυτό η f δεν είναι συνεχής, αφού δεν είναι συνεχής στο x = 1.

─∙─

β) Στην έκφραση

β

α f (x)dx , το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιο-

δήποτε άλλο γράμμα. Έτσι για παράδειγμα, οι εκφράσεις το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα

γ) Το ολοκλήρωμα δεν περιέχει το x. π. χ Το

3

0 (5x

2

β

β

β

α f (x)dx , α f (t)dt , α f (θ)dθ

συμβολίζουν

─∙─

β

α f (x)dx

είναι πραγματικός αριθμός ή καλύτερα το αποτέλεσμα που θα βρούμε

 3x)dx είναι πραγματικός αριθμός, ενώ το

αριθμός ως προς x, αλλά συνάρτηση ως προς t.

3

0 (t

2

 2t  3)dx είναι πραγματικός

─∙─

 Θα αποδείξουμε τέλος την πρόταση: Ισχύει

β

α cdx  c(β  α) , για οποιοδήποτε c  

Απόδειξη ─ Αν α = β, τότε

α

α f (x)dx  0  c(α  α)  c(β  α) .

─ Αν α < β, τότε, μια και η f (x) = c είναι συνεχής στο [α, β], χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους x  ένα σημείο ξ κ και έχουμε: Sν  f (ξ1 )x  f (ξ 2 )x  ...  f (ξ ν ) x 

βα , σε κάθε υποδιάστημα [x κ 1 , x κ ] επιλέγουμε αυθαίρετα ν βα [f (ξ1 )  f (ξ 2 )  ...  f (ξ ν )]  ν

βα βα (c  c  ...  c)   νc  c(β  α) , οπότε ν ν

─ Αν α > β, τότε

β

β

Sν  lim c(β  α)  c(β  α) . α cdx  νlim  ν 

α

α cdx  β cdx  c(α  β)  c(β  α) .

Σχόλιο Είναι προφανές, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, ότι: Αν c > 0, τότε το

β

α cdx

βάση (β – α) και ύψος c.

εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογώνιου με

30

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

5.2.3

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα.

1. Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και λ,μ   , β

β

α λf (x)dx  λ α f (x)dx

τότε ισχύουν: α) β

β

β

β)

α [f (x)  g(x)]dx  α f (x)dx  α g(x)dx

γ)

α [λf (x)  μg(x)]dx  λ α f (x)dx  μ α g(x)dx .

β

β

και γενικά

β

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

3) Αν 0 < α < β, τότε

1

β

β

β

2 3 3 2x  7 7 3 3 dx  dx  [  2 ]dx    2 2 2 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2

3 2x

β

α ln x dx  α (ln1  ln x)dx  α (1)  ln xdx  α ln xdx .

2

3 2(x

2

1

 2) dx  2 x 2

2

2

3

1 2dx  2(3  1)  4 .

4)

1

5)

α (3x

6)

2 (2y  3x)dx  2 2ydx  2 3xdx  2y[2  (2)]  32 xdx  8y  32 xdx .

β

2

2

7) Αν

β

β

β

α

α

α

 5x  7)dx  3 x 2 dx  5 xdx   7dx .

2

2

3

3

1 f (x)dx  5 και 1 g(x)dx  2 , τότε:

3

3

1

3

3

3

3

1 (2f (x)  6g(x))dx  1 2f (x)dx  1 6g(x)dx  21 f (x)dx  61 g(x)dx  2  5  6(2)  22 3

3

3

και

3

3 (2f (x)  g(x))dx   1 (2f (x)  g(x))dx   1 2f (x)dx  1 g(x)dx  21 f (x)dx  1 g(x)dx 

(Σχολ.)

2  5  (2)  12 .

Προσοχή !

f (x)  f (x)g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx και  g(x) dx  









 f (x)dx   g(x)dx

─∙─ 2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β, γ   , όχι κατ’ ανάγκη β

γ

β

α f (x)dx  α f (x)dx  γ f (x)dx .

κατά σειρά μεγέθους, τότε ισχύει: Δίνουμε δύο παραδείγματα.

7) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  , 7

1

4 f (x)dx  4

1

7

f (x)dx   4 και

7

4

1

1

1

7

4

1 f (x)dx  5 , τότε

f (x)dx   f (x)dx    f (x)dx   f (x)dx  5  4  1 .

 2x, x  0 είναι συνεχής στο διάστημα [- 1, 3], οπότε είναι 2 3x , x  0

8) Η συνάρτηση f (x)   3

0

3

0

3

1 f (x)dx  1 f (x)dx  0 f (x)dx  1 2xdx  0 3x

2

0

3

1

0

dx  2  xdx  3 x 2 dx .

─∙─

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

31

Ορισμένο ολοκλήρωμα και ανισότητες Είδαμε παραπάνω ότι:

i) Αν f (x)  0 και α < β, τότε ισχύει

Προσοχή !

β

α f (x)dx  0

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή: β

α f (x)dx  0 , τότε

ii) Αν α < β και

δεν είναι κατ’ ανάγκη f (x)  0 για όλα τα x του

[α,β] , αλλά υπάρχει οπωσδήποτε ένα τουλάχιστον x0  [α,β] τέτοιο, ώστε f (x0 )  0 ,

Επειδή

το

ορισμένο

ολοκλήρωμα

είναι

αθροίσματος, υπάρχει περίπτωση να είναι

β

όριο

αλγεβρικού

α f (x)dx  0

και για

f (x 0 )

κάποια x του [α, β] να ισχύει f(x) < 0, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

x0

─∙─

Από τήν (i) και τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος θα αποδείξουμε ότι:

iii)

Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα [α, β] και f (x)  g(x) για κάθε

x  [α,β] , τότε

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx .

Απόδειξη Ισχύει f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α, β] , οπότε τέλος

β

β

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx .

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

9) Να αποδείξετε ότι

3

2 (x

2

3

 3x  4)dx   (2x 2  2x  10)dx .

2

Λύση Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f (x)  x 2  3x  4 και g(x)  2x 2  2x  10 . Είναι f (x)  g(x)  x 2  3x  4 (2x 2  2x  10)   x 2  5x  6 , με ρίζες 2, 3. Παρατηρούμε ότι για κάθε x  [2,3] είναι f (x)  g(x)  0 , οπότε 3

3

3

3

3

2 [f (x)  g(x)]dx  0  2 f (x)dx  2 g(x)dx  0  2 f (x)dx  2 g(x)dx . Άρα

3

2 (x

2

3

 3x  4)dx   (2x 2  2x  10)dx .

2



.

10) Να αποδείξετε ότι

 4 xdx 0



 4 xdx 0



β

α [f (x)  g(x)]dx  0  α f (x)dx  α g(x)dx  0

.

Λύση π Η εφαπτομένη είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [0, ] , οπότε έχουμε: 4

και

32

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

0x

π 4 συνxdx 0

π π ημx  εφ0  εφx  εφ  0   1 συνx  ημx  4 4 συνx



π

  4 ημxdx 0

─∙─

iv) Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α, β]. Αν f (x)  0 για κάθε x  [α,β] και η f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ισχύει:

β

α f (x)dx  0 .

Δίνουμε δύο παραδείγματα π π 2 2

11) Για τη συνεχή συνάρτηση f(x) = συνx έχουμε f (x)  0 , για κάθε x  [ , ] και δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, π.χ f(0) = 1, οπότε

π 2 συνxdx π  2



0.



.

12) Να αποδείξετε ότι , αν    , τότε

 2 0





 1xdx   2   xdx .

0

Λύση  Για κάθε x  [0, ] ισχύει x  0 , οπότε  x  0 .

2  Ακόμη, για κάθε x  [0, ] ισχύει x  1 ή 1  x  0 και  x(1  x)  0 .

2 Παρατηρούμε ότι η παράσταση  x(1  x)  0 δεν είναι παντού μηδέν. 

π. χ για x   2   xdx 0



  1 1  έχουμε  (1   )      0 . Επομένως 6 6 2 2 6  2  1xdx 0



 0 . Άρα

 2   xdx 0



 2  1xdx 0



 2   x(1  x)dx 0



0 ή

.

Σχόλια α) Αν α < β και f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , τότε Πράγματι, από f(x) < 0 έχουμε – f(x) > 0, οπότε β

  f (x)dx  0 ή τέλος α

β

α [f (x)]dx  0

β

α f (x)dx  0 ή

β

α f (x)dx  0 . ─∙─

β) Προσοχή ! Το αντίστροφο της ιδιότητας δεν ισχύει. Δηλαδή, Αν α < β και

β

α f (x)dx  0 , τότε

δεν είναι κατ’ ανάγκη f (x)  0 για κάθε x  [α,β] .

Σίγουρα όμως, αποκλείεται να είναι f (x)  0 για όλα τα x του [α,β] .

─∙─

γ) Απόρροια των προηγούμενων είναι και το εξής:

Αν α < β και για μια συνεχή συνάρτηση ισχύει τουλάχιστον x0  [α,β] τέτοιο, ώστε f (x0 )  0 .

β

α f (x)dx  0 , τότε

υπάρχει ένα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

33

5.2.4

Πως δουλεύουμε συνήθως για να αποδείξουμε μια ανισότητα με ολοκληρώματα Α. Κατασκευαστικά  Έστω ότι μας ζητούν να αποδείξουμε ανισοϊσότητα της μορφής

β

α f (x)dx  0 , όπου

α  β και f

συνεχής στο διάστημα [α, β]. Τότε ξεκινούμε από μια γνωστή σχέση ανισοϊσότητας και προσπαθούμε β

α f (x)dx  0 .

να φθάσουμε στην f (x)  0 για κάθε x  [α, β] , οπότε θα έχουμε

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx , όπου

 Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ανισοϊσότητα της μορφής

αβ

και f, g συνεχείς στο διάστημα [α, β], αποδεικνύουμε ότι f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α, β] , οπότε β

β

β

β

β

α [f (x)  g(x)]dx  0  α f (x)dx  α g(x)dx  0 και τέλος α f (x)dx  α g(x)dx . Δίνουμε δυο παραδείγματα.

13) Να αποδείξετε ότι , αν 0  α  β , τότε

β

α (συνx  ln x  x)dx  0 .

Λύση Ισχύει ln x  x  1 για κάθε x  0 και συνx  1 για κάθε x   , οπότε συνx  ln x  1  x  1 για κάθε x  0 ή συνx  ln x  x  0 για κάθε x  0 . Επειδή η συνάρτηση f (x)  συνx  ln x  x είναι συνεχής στο (0,  ) , άρα και στο [α, β], θα έχουμε: β

α (συνx  ln x  x)dx  0 . 

.



 1  2 .  3 dx  9 0 8   2 2x 12

14) Να αποδείξετε ότι : Λύση

1

Η συνάρτηση f (x) 

είναι προφανώς συνεχής στο  . Για κάθε x  

8  ημ 2 2x

Ισχύει: 0  ημ 2 2x  1  8  8  ημ 2 2x  9  2 2  8  ημ 2 2x  3   Από  3 0

1 8  ημ 2 2x

1



2

8   2x

 3 0

1



8   2 2x

 3 0

dx   dx 

 Ομοίως από π 3 0





1 8  ημ 2 2x

1 έπεται 3

 3( 0

1

1 dx  0  3

1   0 8  ημ 2 2x 3



 3 0

 3 0



1 2

8   2x

dx  

1 1 1   2 3 8  ημ 2x 2 2

1

1  )dx  0  8   2 2x 3

1 dx  3

 3 0



1

1  dx  (  0)  3 3 8   2x 2

 .

9

1 2

8  ημ 2x dx 

π 6 2





1 2 2

π 3 0

1

έπεται 

2

8  ημ 2x 

π 3 0

dx  

1 2 2

π 2  1  2 . Άρα   3 . dx  12 9 0 8   2 2x 12

dx 

34

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Σχόλιο  Ειδικότερα, όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ανισότητες της μορφής β

α f (x)dx  0

ή

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx ,

όπου α  β και f, g συνεχείς στο διάστημα [α, β],

αποδεικνύουμε πρώτα ότι f (x)  0 ή f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α, β] και συνεχίζουμε όπως στις παραπάνω περιπτώσεις.  Αντί να αποδείξουμε ότι f (x)  0 ή f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α, β] , μπορούμε να αποδείξουμε πρώτα ότι f (x)  0 ή f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α, β] , και κατόπιν να αποδείξουμε ότι οι f(x) ή f (x)  g(x) δεν είναι παντού μηδέν. Δηλαδή να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0  [α, β] τέτοιος, ώστε f (x 0 )  0 ή f (x 0 )  g(x 0 )  0 . Δίνουμε δυο παραδείγματα.

15) Να αποδείξετε ότι , αν α  β , τότε

β x

β

α e dx  α xdx .

Λύση Για κάθε x  [α, β] ισχύει e x  x  1  x , οπότε e x  x  0  β x

β

β x

β

α (e

x

 x)dx  0 

β

α e dx  α xdx  0  α e dx  α xdx . 

.

16) Να αποδείξετε ότι

 4 11xdx 0



 4 10 xdx 0



.

Λύση  Για κάθε x  [0, ] ισχύει 0  x  1 . Προφανώς είναι και 10 x  0 .

4 Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανισότητας με 10 x , οπότε έχουμε  11x  10 x ή 11x  10 x  0 για κάθε x  [0, ] .

4      3 Παρατηρούμε, όμως, ότι    1 , οπότε 11  10 , δηλαδή 11  10  0 .

6 6 6 6 6 3

Άρα

 4 (11x 0



 10 x)dx  0 

 4 11xdx 0





  4 10 xdx .

0

Β. Με τη βοήθεια της μονοτονίας και των ακροτάτων Με τη βοήθεια της μονοτονίας μιας συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], αποδεικνύουμε ότι για α  x  x1  β ισχύει f (x)  f (x1 ) ή f (x)  f (x1 ) , οπότε β

β

β

β

α f (x)dx  α f (x1 )dx ή α f (x)dx  α f (x 2 )dx , όπως αποδείξαμε στα προηγούμενα. Δίνουμε δυο παραδείγματα.

4

17) Να αποδείξετε ότι 0   (x 2  3x  2)dx  12 .

2

Λύση Η συνάρτηση f (x)  x 2  3x  2 είναι συνεχής στο  με f (x)  2x  3 , για κάθε x   .

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

35

3 3 και γνησίως αύξουσα για x  .

2 2 Συνεπώς στο διάστημα [2, 4] είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για 2  x  4 έχουμε f (2)  f (x)  f (4) 

Επομένως είναι γνησίως φθίνουσα για x 

0  f (x)  6 

4

4

4

4

2 0dx  2 f (x)dx  2 6dx  0  2 (x

2

 3x  2)dx  6(4  2)  12 .



.

18) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β], m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο 

[α, β]. Να αποδείξετε ότι ισχύει ότι m(  )   f (x)dx   (   ) . 

Λύση Για κάθε x  [α, β] ισχύει m  f (x)  M , οπότε m  f (x)  0 και f (x)  M  0  β

α (m  f (x))dx  0 β

β

β

β

β

α (f (x)  M)dx  0  α mdx  α f (x)dx

και β

και

β

β

α f (x)dx  α Mdx 

β

α mdx  α f (x)dx  α Mdx  m(β  α)  α f (x)dx  (β  α)M . Γ. Με τη βοήθεια της ιδιότητας:  f (x)  f (x)  f (x) Δίνουμε δυο παραδείγματα.

19) Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε ισχύει:





 f (x)dx   f (x) dx .

Λύση Για κάθε x  [α, β] ισχύει  f (x)  f (x)  f (x) . (Γνωστή ιδιότητα της απόλυτης τιμής) οπότε, με τον β

β

β

α

α

α

τρόπο που ξέρουμε από τα παραπάνω, έχουμε:   f (x) dx   f (x)dx   f (x) dx . (1) Είναι όμως f (x)  0 για κάθε x  [α, β] , οπότε και

β

α f (x) dx  0 .

Συνεπώς η (1), σύμφωνα την ιδιότητα της απόλυτης τιμής (          ,   0 ), γράφεται β

β

α f (x)dx  α f (x) dx . 

.

20) Να αποδείξετε ότι



0 x

2



xdx   x 2 dx 0

Λύση Για τη συνεχή συνάρτηση f (x)  x 2 x έχουμε: x 2 x  x 2 x  x 2 , για κάθε x  [0, π] , οπότε  x 2  x 2 x  x 2 . 





0

0

0

Από την τελευταία έπεται   x 2 dx   x 2 xdx   x 2 dx και επειδή 

0 x

2



0 x dx  0 2

έχουμε τελικά



xdx   x 2 dx .

0

.



Προσοχή ! Όλες οι προτάσεις που αναφέρονται σε ανισότητες ισχύουν μόνο όταν το κάτω όριο του ολοκληρ ώματος είνα ι μικρότερο από το άνω όριο. ─∙─

36

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

5.2.5

Λυμένες ασκήσεις

1. Αν α < β, να αποδείξετε ότι:

α)





xdx 

2   2 2

και

β)





x 2 dx 

3   3 .

3

Λύση α) Η συνάρτηση f(x) = x είναι συνεχής στο  και επομένως ολοκληρώσιμη.

βα , τα [x 0 , x1 ] , [x1 , x 2 ] , ν βα βα βα … , [x κ 1 , x κ ] , … , [x ν 1 , x ν ] , με x 0  α , x1  α  , x2  α  2 , … , xκ  α  κ ,…, ν ν ν βα xν  α  ν  β και επιλέγουμε ως σημείο ξ κ το δεξιό άκρο του κάθε υποδιαστήματος, δηλαδή ν βα . ξ κ = x κ , οπότε f (x κ )  x κ  α  κ ν

Χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους x 

Έτσι έχουμε Sν 

ν

 f (ξ κ )x  f (ξ1 )x  f (ξ 2 )x  ...  f (ξ ν )x  κ 1

βα βα βα [α  ]x + [α  2 ]x + … + [α  ν ]x  ν ν ν βα β  α ν(ν  1) β  α ν(ν  1) , γιατί ισχύει 1  2  ...  ν  , [να  (1  2  ...  ν)]x  [να   ] ν ν 2 ν 2 ν 1 οπότε Sν  α(β  α)  (β  α) 2 .

2ν ν 1 (β  α) 2 Έχουμε lim Sν  lim [α(β  α)  (β  α) 2 . ]  α(β  α)  ν  ν  2ν 2  (β  α) 2 2αβ  2α 2  β 2  2αβ  α 2 β 2  α 2 Άρα  xdx  α(β  α)  .    2 2 2

─∙─

β) Η συνάρτηση f(x) = x είναι συνεχής στο  και επομένως ολοκληρώσιμη. Ακολουθούμε την ίδια 2

ακριβώς διαδικασία με το (α). Δηλαδή, χωρίζουμε το [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα …. δηλαδή ξ κ = x κ , οπότε f (x κ )  x κ

Έτσι έχουμε : Sν 

2

2

βα 2 βα βα  [α  κ ]  α 2  2ακ  κ2   . ν ν  ν 

ν

 f (ξ κ )x  f (ξ1 )x  f (ξ 2 )x  ...  f (ξ ν )x  κ 1

βα 2 βα 2 βα 2 [α  ] x + [α  2 ] x + … + [α  ν ] x  ν ν ν να 2

2

3

βα βα βα 2 2 2  2α   (1  2  ...  ν)    (1  2  ...  ν )  ν ν ν    

(β  α) 2 ν(ν  1) (β  α)3 ν(ν  1)(2ν  1)     2 6 ν2 ν3 ν  1 (β  α)3 2ν 2  3ν  1 . α 2β  α3  α(β  α) 2   ν 6 ν2 ν 1 2ν 2  3ν  1 Επειδή lim  1 και lim  2 έπεται ότι ν  ν  ν ν2  (β  α)3 β3  α 3 β3  α3 . Άρα  x 2 dx  . lim Sν  α 2β  α3  α(β  α) 2    ν  3 3 3 α 2β  α3  2α



38

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

τονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

2

β) Να αποδείξετε ότι 2  e 2  2 1 xe x dx  e . 

Λύση α) Έχουμε: f (x)  e  ν x (1  νx) και f (x)  νe  ν x (νx  2) για κάθε x   .

1 1 ] , γνησίως φθίνουσα στο [ ,  ) και ν ν 1 1 1 2 παρουσιάζει μέγιστο για x  , το f ( )  . Ακόμη η f είναι κοίλη στο διάστημα ( , ] , κυρτή ν ν νe ν 2 2 2 2 στο [ ,  ) και παρουσιάζει σημείο καμπής για x  , με f ( )  2 . ν ν ν νe

Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( ,

1 2 1 2 1 2 ] , οπότε από  x  έπεται f ( )  f (x)  f ( ) ν ν ν ν ν ν 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ή  f (x)  2 , οπότε 1ν dx  1ν f (x)dx  1ν 2 dx  (  )  1ν f (x)dx  2 (  )  νe νe νe ν ν νe ν ν ν νe ν ν νe ν

β) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ ,

2 2 1 2 2 2  x ν ή τέλος  f (x)dx  2  e  1 1 xe dx  e . ν 2 e ν ν 2e2



 Με τη βοήθεια της ανισότητας  x  x , για κάθε x  (0, ) , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 x  , x  (0, ) είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: f (x)  x 2    3 3 x 3 3 x 1 α) β) (Σχολ.)   για κάθε x  [ , ] ,  3 dx  .

6 3 2 x  4 x 2 6

6.

Λύση xσυνx  ημx συνx π  2 (x  εφx)  0 , για κάθε x  (0, ) . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

2 2 x x π π π π π α) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) έχουμε:  x   f ( )  f (x)  f ( )  2 6 3 6 3 π π ημ ημ 6  ημx  3  3  ημx  3 3 ή 3 3  f (x)  3 . (1) π π x π x 2π 2π π 6 3 π π π 3 3 3 3 3 β) Από την (1) έχουμε π dx  π f (x)dx  π3 dx ή 6 2π 6 6 π

Είναι f (x) 

π π π 3 3 ημx π π 3 (  )  π3 dx  (  ) 3 6 2π x 3 6 π 6

ή

π 3 ημx 1   π3 dx  .

4 x 2 6



7. Να δειχθεί ότι

2 x  ln x  2 για κάθε x

 1 και ότι για κάθε x > 1 ισχύει



x

1

x 2 ln t dt   dt .

1 t t

Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)  2 x  ln x, x  0 . x 1 , οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1] και γνησίως αύξουσα x στο [1,  ) . Συνεπώς παρουσιάζει ελάχιστο για x = 1, το f(1) = 2.

Για κάθε x > 0 είναι f (x) =

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

39

Επειδή f(t)  2 > 0 για κάθε t  1, έχουμε 2 t - lnt > 0 ή

2 t ln t > 0, οπότε …  t t

x

1

x 2 ln t dt   dt 1 t t



8. Μια συνάρτηση

f : (1,  )   είναι “1 – 1”, δυο φορές παραγωγίσιμη, με f (0)  0 και (f  f )(x)  (x  1)f (x) , για κάθε x στο (1,  ) . (1) α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(0, f(0)). β) Αν επιπλέον ισχύει f ΄΄(x)  0 για κάθε x στο x  1 , τότε να αποδείξετε , ότι : i) Η συνάρτηση g με g(x) = f(x) – x , x  (1,  ) παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0.

5

ii) 9f (2)   (fof )(x)dx  18f (5) .

2

Λύση α) H (1) για x = 0 δίνει f(f(0)) = f(0) και επειδή είναι “1 – 1”, έχουμε f(0) = 0.

Παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε: f (f (x))f (x)  f (x)  (x  1)f (x) , για κάθε x  1 . Η τελευταία για x = 0 δίνει f (f (0))f (0)  f (0)  f (0) ή f (0)[f (0)  1]  0 , οπότε f (0)  1 , γιατί f (0)  0 . Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y = x.

β) i) Είναι g(x)  f (x)  1 , g(0)  f (0)  1  0 και g(x)  f (x)  0 , για κάθε x  1 . Συνεπώς η g΄ είναι γνησίως αύξουσα. Για 1  x  0 είναι g(x)  g(0)  0 , ενώ για x > 0 είναι g(x)  g(0)  0 . Δηλαδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0,  ) Άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0, το g(0) = 0.

ii) Επειδή f ΄΄(x)  0 για κάθε x  1 , η f  είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για x > 0 έχουμε f (x)  f (0)  1  0 . Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,  ) οπότε, αν 2  x  5 , τότε 0  f (2)  f (x)  f (5) και επειδή 3  x  1  6 , πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες έχουμε

3f (2)  (x  1)f (x)  6f (5)  3f (2)  (fof )(x)  6f (5)  5

5

5

5

2 3f (2)dx  2 (fof )(x)dx  2 6f (5)dx 

5

3f (2)(5  2)   (fof )(x)dx  6f (5)(5  2)  9f (2)   (fof )(x)dx  18f (5) .

2

2



9. Έστω μια συνάρτηση f

συνεχής στο διάστημα [α , α +2], α > 0 , με

1



f (x)dx  

Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α , α + 2) .

 2

1

f (x)dx  0 . (1)

Λύση Από την (1) συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί Υποθέτουμε ότι Από

α 1

α

α 1

α

f (x)dx  0 και

α 1

α

f (x)dx και

α2

α1 f (x)dx είναι ετερόσημοι.

α2

α1 f (x)dx  0 .

f (x)dx  0 συμπεραίνουμε ότι υπάρχει κ  [α, α 1] ώστε f (κ)  0 , ειδάλλως, αν για κάθε

x  [α, α 1] είναι f (x)  0 , τότε

α 1

α

f (x)dx  0 άτοπο.

Ομοίως υπάρχει λ  [α  1, α  2] , ώστε f (λ)  0 . Συνεπώς στο [κ, λ]  [α, α  2] ισχύει για την f το θεώρημα του Bolzano. Άρα η f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, α  2) . 

10.

Για τη συνεχή συνάρτηση f :[, ]   ισχύει f ()  32 . Αν







f (x)dx  3   3 , να αποδείξετε

ότι η εξίσωση f (x)  3x 2  0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (α, β).

Λύση

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

x 2  7x  7 28 . dx  2 1 x  3x  3 3 Για μια παραγωγίσιμη στο  συνάρτηση f δεχόμαστε ότι για κάθε x ισχύει f (2  x)  f (x) .

19. Nα αποδείξετε ότι 20.

43

12  

3

Αν η f είναι κοίλη, να αποδείξετε ότι

2

0 f (x)dx  2f (1) .

21. Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κυρτή στο [0, 3],

f (1)  1 και f (1)  2 , να αποδείξετε ότι

3

0 f (x)dx  6 .

22. α) Δίνεται η συνάρτηση

f (x)  x x , x  0 . Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την

t x e ln(1  e t ) dt  1 t 1 1  et dt . Έστω f μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο (0,  ) . Αν f (x)  xf (x)  0 (1) για κάθε

κυρτότητα. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 1 ισχύει:

23.

x

1    f (x)  f ( )  dx  12 . x   24. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2], με f(2) = 3, για την οποία ισχύει f 3 (x)  x 3  35  e3  ef (x) για κάθε x  [0, 2] . Να αποδείξετε ότι:

x > 0 και f(1) = 3, τότε να αποδείξετε ότι

α) Η f είναι γνησίως μονότονη. β) i)



3

1

2

0 f (x)dx  6 ,

ii)

25. α) Αν λ > 0, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β) Αν 0    1 , τότε 

2 f (x)

2

0 e

dx  8 . γ)

f (x) 

e x  (1   )e  x είναι γνησίως αύξουσα.

1  ex

ln 2 ln 2 ln 2 .   f (x)dx  0 2 3

0 f (x)dx  12 .

Ανισότητες και γνωστά θεωρήματα

(9, 10, 11)

26. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 6] και

f (x)  0 για κάθε x  [0, 6] . Να αποδείξετε ότι υπάρχει





2

4

  (0, 6) τέτοιο, ώστε 3 f (t)dt  4  f (t)dt  0 . β

27. Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], 0 < α < β, με β  α  α xf (x)dx . Να αποδείξετε ότι ξ

υπάρχει ξ  (α,β) το οποίο ικανοποιεί την ισότητα β  ξ   xf (x)dx . α

28. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη και κυρτή στο ότι: α) f (x)  ln x  1  0 για κάθε x  1 .

β) Η εξίσωση

29.

 , με f(1) = 3 και f (1)  1 . Να αποδείξετε

x

1 f (t)dt  8ln x  3x  1 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (1, e).

Για τη συνάρτηση f, που είναι συνεχής στο [0, 2], ισχύει

1

ότι: α) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0, 2).

β) Υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ στο (0, 2) ώστε να ισχύει

2

0 f (x)dx  1 f (x)dx  0 . Να αποδείξετε 1



0 f (x)dx  0

f (x)dx .

2   2 , είναι συνεχής, και f ()   . Να  2 αποδείξετε ότι υπάρχει x 0  (, ) τέτοιο, ώστε να ισχύει f (x 0 )  x 0 .

30. Για την 31.



f :[, ]   γνωρίζουμε ότι:  f (x)dx 

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f

γνωρίζουμε ότι

1

0 [f (x)  x

2

]dx  1 για κάθε x  (0, 1] ,

f (0)  0 και f (x)  2(x  1) για κάθε x  (0, 1) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  x 2  2x έχει μοναδική λύση στο διάστημα (0, 1).

32. Δίνονται οι συνεχείς στο διάστημα [0, 1] συναρτήσεις f, g, με f (x)  0 για κάθε x  [0,1] και g

γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0  [0,1] τέτοιο, ώστε

1

1

0 (f  g)(x)dx  g(x 0 )0 f (x)dx .

44

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

33. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο διάστημα [2, 5] και

xf (x)  f (x) για κάθε x  [2,5] . Να

αποδείξετε ότι: α) 5f (2)  x  10f (x)  2f (5)  x για κάθε x  [2,5] .

2 5 f (x)dx .

21 2 Αν η f είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (0,  ) , να αποδείξετε ότι: Για κάθε t  1

β) Υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός   (2,5) που ικανοποιεί την ισότητα f (  ) 

34.

ισχύει

t

t

1 2f (x)dx  1 [f (x  1)  f (x  1)]dx .

Ανισότητες και όρια

(12, 13)

35. Nα αποδείξετε ότι, η συνάρτηση

2

f (x)  e  x είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,  ) και στη

συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας e x  1  x , για κάθε x   , ότι ισχύουν:

2

x 1 2 1 te 2 α) 1  x  e  1 , για κάθε x  [0,1] , β)   e  x dx  1 και γ) lim  2 dx  0 (Σχολ.) t  0 t  1 3 0 1 x 1 36. Να βρείτε τα: α) lim x 2x2  1 dt . β) lim 0x 2 1 dt . x  x  ln(t  e) t 4

2

 x2

1 2ln(x  1) ) 2  8 , x > 1. x  2x  2 x  2x  2 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. x 1 3,5 e16 β) Να αποδείξετε ότι  f (x)dx  ln . γ) Να βρείτε το lim  f (t)dt .

1,5 x  x 4

37. Δίνεται η συνάρτηση

f (x)  ln(1 

2

β

β

38. α) Για τη συνάρτηση f συνεχή στο [α, β] να αποδείξετε ότι ισχύει α f (x)dx  α

f (x) dx .

2 0 t  x (x  2t) 2t(2xt) dt , ii) lim dt x  1 x  x ex  2 x 4  3x 2  2 39. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0, ] , με   1 , να βρείτε το όριο στο  της  2x  ln(2x  1) συνάρτησης g(x)    (2x  1)t 2x 1f (t)dt .

0 2x  1

β) Να βρείτε τα i) lim

x

5.3

Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

5.3.1

x

Η συνάρτηση F(x)   f (t)dt α

 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε η f έχει οπωσδήποτε παράγουσα και x

μάλιστα μια παράγουσά της είναι η συνάρτηση F(x)   f (t)dt . α

Το παρακάτω θεώρημα, που αναφέρουμε χωρίς απόδειξη, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας παράγουσας της f σε ένα διάστημα Δ.

Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε x

η συνάρτηση F(x)   f (t)dt , x   είναι μια παράγουσα της f στο Δ. α

 x f (t)dt   f (x) , για κάθε x    α   

Δηλαδή ισχύει: Δίνουμε μερικά παραδείγματα. x

1) Η συνάρτηση F(x)   t 3συν 2 tdt είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f (x)  x 3συν 2 x στο  .

0

Δηλαδή ισχύει:

  t συν tdt   x συν x για κάθε x   . x 3

2

3

2

0

2) Η συνάρτηση G(x)  

x

1

ln t ln x στο (0,  ) . dt είναι μια παράγουσα της συνάρτησης g(x)  t x

 x ln t  ln x dt   Δηλαδή ισχύει:   για κάθε x  (0,  ) . x  1 t  x

3) Η συνάρτηση H(x)   ημ 2 tdt είναι μια παράγουσα της συνάρτησης h(x)  ημ 2 x στο  . Δηλαδή 1

ισχύει:

  ημ tdt   ημ x για κάθε x   . x

2

2

0

(Σχολ.)

x

4) Η συνάρτηση K(x)   ln tdt είναι μια παράγουσα της συνάρτησης κ(x)  ln x στο (0,  ) .

1

Δηλαδή ισχύει:

5.3.2

  ln tdt   ln x για κάθε x  (0,  ) . x

0

(Σχολ.)

Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

Στηριζόμενοι στο προηγούμενο θεώρημα, θα αποδείξουμε το γνωστό ως θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Το θεώρημα αυτό είναι χρησιμότατο για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος

β

α f (x)dx ,

μιας και ο υπολογισμός του με τη βοήθεια του ορισμού είναι συνήθως, μια δύσκολη και πολύ κοπιαστική διαδικασία.

46

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Θεώρημα Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο β

α f (t)dt  G(β)  G(α)

[α, β], τότε ισχύει:

Απόδειξη x

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση F(x)   f (t)dt είναι μια παράγουσα της f στο α

[α,β] . Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [α,β] , θα υπάρχει c   τέτοιο, ώστε για κάθε x στο [α,β] να ισχύει G(x)  F(x)  c . (1) α

Από την (1), για x  α έχουμε: G(α)  F(α)  c   f (t)dt  c  c , οπότε c  G(α) . α

β

Επομένως, G(x)  F(x)  G(α) , οπότε, για x  β , έχουμε: G(β)  F(β)  G(α)   f (t)dt  G(α) και άρα α

β

α f (t)dt  G(β)  G(α) . Σχόλια α) Για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά G(β)  G(α) συνήθως με

G(x) βα , οπότε η παραπάνω ισότητα γράφεται: β

α f (t)dt   G(x) α  G(β)  G(α) β

─∙─ β) Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β], βρίσκουμε μια οποιαδήποτε παράγουσα της f και έπειτα εφαρμόζουμε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Δίνουμε μερικά παραδείγματα. π

π 0

5)  συνxdx   ημx   ημπ  ημ0  0 .

0

3 2 x dx 1

6) 

3

 x3  33 13 1 26      9  .

3 3  3 1 3 3

2

2

7)  (3x 2  2x  2)dx   x 3  x 2  2x   (8  4  4)  (1  1  2)  6 .

1

8) 

1

e2

1 e2 dx   ln x  e  ln e 2  ln e  2  1  1 . x

e

π 1  συν2x

10) π

2

2

11) 12)



2



4

1

1

2

dx 

β

β

9) 2α f (x)f (x)dx  f 2 (x)  α  (f (β)) 2  (f (α)) 2 . π

1 π 1 ημ2x  1 ημ2π 1 π ημπ π π π  (π  ) (  )   . π (1  συν2x)dx   x  2 2 2 2  π 2 2 2 2 2 2 4 4 2

2

3x  2x  1 1 3  13 dx   (3x  2  )dx   x 2  2x  ln x    ln 2 .

1 x x 2 1 2 2

1 4 x 4 1 4 4 x 1 1 dx   dx   dx   x 2 dx   2 dx  1 1 1 1 x x x 2 x 4

4  2 32  2 32 2 2 2 20 3 .  x    2 x 1  (  4  )  (2 4  2)  (  4  )  2  3 3 3 3 3  3 1

(Σχολ.)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

47 5

13) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Ι   x  2 dx πρέπει πρώτα να διώξουμε το απόλυτο, 1

δηλαδή να εξετάσουμε το πρόσημο της παράστασης x  2 στο διάστημα [1,5] .

5 2 5  x  2, 1  x  2 Έχουμε x  2   , οπότε Ι   x  2 dx   ( x  2)dx   (x  2)dx  1 1 2  x  2, 2  x  5

2

5

 x2   x2  1 25 5 5  2x     2x   (2  4)  (  2)  (  10)  (2  4)  2    2  9 . (Σχολ.)  2 2 2 2  2  1  2 2

14) 

π 2 π 6

15) 

ημx  xσυνx ημ 2 x

x

6

4

x2  4

dx  

π  2 π  6 

x   dx  ημx 

6

2x

4

2 x2  4

dx  

π π π  x 2 2  6 πππ.  ημx  π  π π 2 3 6   ημ ημ 6 2 6

6

(x 2  4)

4

2 x2  4

dx  

6

dx   x 2  4   32  12  4 2  2 3 . (Σχολ.)   4

─∙─

γ) Αν η παράγωγος f  μιας συνάρτησης f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε θα ισχύει: β

α f (x)dx   f (x)α  f (β)  f (α) β

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

16) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Ο(0,0) , Α(1,1) και η συνάρτηση f  είναι συνεχής στο [0,1] , να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος

1

0 f (x)dx .

(Σχολ.)

Λύση 1

0 f (x)dx  f (x)0  f (1)  f (0)  1  0  1 .

Είναι

1



.

17) Αν η συνάρτηση f  είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] , να αποδείξετε ότι: β

2  f (x)f (x)dx  (f (β)) 2  (f (α)) 2 .

(Σχολ.)

α

Λύση β

β

α

α

β

β

Είναι 2  f (x)f (x)dx   2f (x)f (x)dx   [(f (x)) 2 ]dx  (f (x)) 2   (f (β)) 2  (f (α)) 2 . α

α



.

e

e

e

1

1

1

e

18)  (1  ln x)dx   [x (lnx)  (x)  ln x]dx   (x lnx)dx   x ln x 1  e  0  e . ─∙─ δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ, α είναι ένα σημείο του Δ και F είναι μια παράγουσα της f , τότε προφανώς ισχύει: x

α f (t)dt   F(t)α  F(x)  F(α) , για κάθε x   x

Δίνουμε μερικά παραδείγματα. x

19) Η συνάρτηση f (x)   (4t 3  4t  5)dt , x   είναι η 1

x

f (x)   t  2t  5t   (x 4  2x 2  5x)  (1  2  5)  f (x)  x 4  2x 2  5x  4 , x   .

4

2

1

x

20) Η συνάρτηση f (x)   (συνt  2ημt)dt , x   είναι η 0

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

49

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

23) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)  

x

4

t 2  4dt .

Λύση Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f (x)  x 2  4 . Πρέπει x 2  4  0  x  2 ή x  2 , δηλαδή A f  (,  2]  [2,   ) στο οποίο προφανώς η f είναι συνεχής. Παρατηρούμε ότι το –4 ανήκει στο διάστημα (,  2] που είναι υποσύνολο του υποσύνολο του A f και στο οποίο η f είναι συνεχής. Επομένως το πεδίο ορισμού της g είναι το διάστημα A g  (,  2] . .



24) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)  

x

1

1 dt . t2

Λύση Το πεδίο ορισμού της f (x) 

1

είναι το σύνολο Α  (,0)  (0,  ) στο οποίο η f είναι συνεχής. x2 Παρατηρούμε ότι το 1 ανήκει στο διάστημα (0,  ) που είναι υποσύνολο του υποσύνολο του A f και στο οποίο η f είναι συνεχής. Επομένως το πεδίο ορισμού της g είναι το διάστημα A g  (0,  ) .

─∙─ β) Αν έχουμε συνάρτηση της μορφής (x)  

h(x)

α

f (t)dt , βρίσκουμε τα διαστήματα του πεδίου

ορισμού της f στα οποία η f είναι συνεχής, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της h, και τέλος βρίσκουμε για ποιες τιμές του x οι αριθμοί α και h(x) βρίσκονται στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Το διάστημα στο οποίο ικανοποιούνται όλα τα παραπάνω είναι το πεδίο ορισμού της Φ.

Παρ. 25) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης  (x)  

x 5

12

t2 1 dt . t2

Λύση x2 1 έχει πεδίο ορισμού A f  (, 2)  (2,  ) και είναι συνεχής. x2 Η h(x)  x  5 έχει πεδίο ορισμού το [5, ) .

Η f (x) 

Επειδή το 12 ανήκει στο (2,  ) πρέπει και το x  5 να ανήκει στο (2,  ) , δηλαδή πρέπει να ισχύει x 5  2  x 5 4  x 9 . Το κοινό διάστημα των (2,  ) , [5, ) και (9,  ) είναι το (9,  ) . Άρα A   (9,  ) .

─∙─ γ) Αν έχουμε συνάρτηση της μορφής (x)  

h(x) g(x)

f (t)dt , βρίσκουμε τα διαστήματα του πεδίου

ορισμού της f στα οποία η f είναι συνεχής, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού των g και h, και τέλος βρίσκουμε για ποιες τιμές του x οι αριθμοί g(x) και h(x) βρίσκονται στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Το διάστημα στο οποίο ικανοποιούνται όλα τα παραπάνω είναι το πεδίο ορισμού της Φ.

Παρ. 26) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης  (x)  

x 2 3

x 4

ln(t 2  1)dt .

50

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Λύση Η f (x)  ln(x 2  1) ορίζεται όταν x 2  1  0  x  1 ή x  1 , δηλαδή είναι A f  (,  1)  (1,   ) και είναι προφανώς συνεχής στο σύνολο αυτό. Οι g(x)  x  4 και h(x)  x 2  3 έχουν πεδίο ορισμού το  . Επειδή τα x – 4 και x 2 + 3 πρέπει να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f, πρέπει x  4  1 και x 2  3  1 , που είναι αδύνατο, ή x  4  1 και x 2  3  1 , που αληθεύει για x  (5, ) . Άρα το πεδίο ορισμού της Φ είναι το διάστημα (5, ) .

Πως βρίσκουμε την παράγωγο των συναρτήσεων: x

F(x)   f (t)dt , α

H(x)  

g(x)

K(x)  

f (t)dt και

α

h(x)

g(x)

f (t)dt

α) Είδαμε στο θεώρημα της § 5.3.1 ότι, αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και α  Δ , τότε x

η συνάρτηση F(x)   f (t)dt είναι πάντοτε παραγωγίσιμη στο Δ με F(x)  f (x) , δηλαδή: α

 x f (t)dt   f (x) , για κάθε x    α   

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

27) Δίνεται η συνάρτηση F(x)  

x

t 2  1dt . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F.

1

ii) Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(Σχολ.)

Λύση i) Η συνάρτηση f (x)  1  x 2 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α  (,  1]  [1,  ) . Επειδή 1 [1,  ) , πρέπει x  [1,  ) . Άρα A F  [1,  ) .

ii) Για x  [1,  ) έχουμε F(x) 



x

1



 t 2  1dt  x 2  1 .

Επειδή η f είναι συνεχής και F(x)  0 για κάθε x  (1,  ) , η F είναι γνησίως αύξουσα στο A F  [1,  ) , οπότε παρουσιάζει ελάχιστο για x  1 , το F(1)  

1

1

t 2  1dt  0 .



.

28) Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο  και

x

0 tg(t)dt  x

4

 x 6 για κάθε x   , να βρείτε το g(1) .

(Σχολ.)

Λύση Για κάθε x   έχουμε:

  tg(t)dt    x  x   xg(x)  4x  6x x

4

6

3

0

5

που για x  1 δίνει g(1)  10 .

─∙─ β) Από το θεώρημα και τη σύνθεση δύο συναρτήσεων προκύπτει ότι: Με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα ισχύει η ισότητα:  g(x) f (t)dt   f (g(x))  g(x)  α    Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

29) Η συνάρτηση f(x) = συνx είναι συνεχής στο  , ενώ η g(x)  x 2  1 είναι παραγωγίσιμη στο 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

51

 x 2 1  και g(x)   . Συνεπώς:   συνtdt   συν(x 2  1)  (x 2  1)  2xσυν(x 2  1) , για κάθε x   .

1  

30)



ln x 2x 1



x3

2

e



 2 1 1 dt  e 2ln x 1  (ln x)  e  e ln x   e  x 2   ex , για κάθε x  (0,  ) . x x



31)   ln tdt   (ln x 3 )  (x 3 )  3ln x  3x 2  9x 2 ln x , για κάθε x  (0,  ) .

1 

(Σχολ.)



32) Αν f (x)  

x 2

0

t dt , να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. et (Σχολ.)

Λύση Η συνάρτηση g(x)  της f είναι το  .

x είναι συνεχής στο  και τα 0, x  2 ανήκουν στο  , οπότε το πεδίο ορισμού ex

2 x x2 x2 ½ Για κάθε x   είναι f (x)  x  2  (x  2)  x  2 . f   + e e + f x2 Έχουμε: f (x)  0  x  2  0  x  2 και το διπλανό πίνακα του e προσήμου της f  . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 2] , γνησίως αύξουσα στο [2,  ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο x  2 , το f (2)  0 . 

.

33) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x)  

x

1

βρείτε τον τύπο της.

1

1 1 dt   x dt είναι σταθερή στο (0,  ) και να 2 1 1  t2 1 t (Σχολ.)

Λύση Για κάθε x  (0,  ) έχουμε: 1 1  1  1 1 1 x2 1     0.   ( 2 )    2 2 2 2 1 x 1 1  x  1 x 1 x 1  x 1  x2 x x2 Επομένως η F είναι σταθερή στο (0,  ) , οπότε F(x)  c για κάθε x  (0,  ) . Για x  1 έχουμε F(1)  0 , οπότε c  0 και τελικά F(x)  0 για κάθε x  (0,  ) .

F(x) 



.

1 2 h 5  t 2 dt . h 0 h 2

34) Να βρείτε το lim

(Σχολ.)

Λύση Οι συναρτήσεις h και οπότε 1 2 h lim  h 0 h 2

2 h

5  t 2 dt είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες, με lim 

2

h 0 2

 5  t dt = lim

2 h

2

2

h 0

2 h

5  t 2 dt (h)

  lim

h 0

5  t 2 dt  lim h  0 , h 0

5  (2  h) 2  (2  h) 5  (2  h) 2  lim  5  4  3. h 0 1 1

─∙─

γ) Όμοια, εφόσον ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις και τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα, μπορούμε να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης K(x)  

h(x)

g(x)

f (t)dt ως εξής:

Έστω α τυχαίο στοιχείο του διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, στο οποίο ανήκουν τα g(x) και

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ x

53

x

Έχουμε: g(x)   xf (t)dt  x  f (t)dt , οπότε για κάθε x   ισχύει: 0



0





x

x

g(x)  x  f (t)dt  (x) f (t)dt  x 0

0

  f (t)dt    f (t)dt  xf (x) . x

x

0

0

 x 2 x t e 0

39) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων φ(x)  

x2 xt e 0

 t 2 dt και σ(x)  

 x 2 dt .

Λύση x 2 x

x 2 t

0

0

Η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t, οπότε έχουμε: φ(x)   σ(x)  e x  x 2  

e dt . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι αυτές παραγωγίζονται στο  .

Για κάθε x   έχουμε: x2 t e 0

 φ(x)  (e x )   x2 t e 0

 t 2 dt  e x 





  t 2dt 

x2 t e 0

x 2 t e 0

 t 2 dt  e x  e x  2 (x  2) 2 (x  2)  φ(x)  e x  x2 t

x2 t

0

0

 σ(x)  (x 2 )e x 

e dt  x 2 (e x )

e dt  x 2e x



 t 2 dt  e 2x  2 (x  2) 2 .



 e dt 

x2 t

0

x2 t

x2 t

x2 t

0

0

0

2xe x 

e  t 2dt και

x 2 t

0

ex  

e  e t  t 2 dt  e x 

e dt  x 2 e x 

e dt  x 2e x  e x  2  σ(x)  (x  2)xe x 

e dt  x 2e 2x  2 .



40) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α στοιχείο του Δ, τότε η συνάρτηση x

x

α

α

F(x)   f (t)dt είναι μια παράγουσα της f στο Δ, και η συνάρτηση  (x)   (x  t)f (t)dt είναι μια

παράγουσα της F στο Δ.

Λύση x

x

x

x

x

x

α

α

α

α

α

α

Ισχύει:  (x)   (x  t)f (t)dt   (xf (t)  tf (t))dt   xf (t)dt   tf (t)dt  x  f (t)dt   tf (t)dt και



   tf (t)dt   (x)   f (t)dt  xf (x)  xf (x)  F(x) .

 x (x)  x  f (t)dt  α

x

x

α

α

Άρα η συνάρτηση Φ είναι μια παράγουσα της F.

5.3.4

Λυμένες ασκήσεις

Θεμελιώδες θεώρημα 2

2

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) 0 (3x 2  2x  1)dx , (Σχολ.)

2

1





2

γ)   x   dx , (Σχολ.)

1 x

δ) 

e

x 1

dx , (Σχολ.)

ε) 

2

2 x

β)  (3x 2  )dx , 1

x

dx , 0 x3 x2  5  x 1 1 e στ) 0 (x 2  x  5)3 (2x  1)dx , ζ)  x dx , η)  2 (x  2x)dx , (Σχολ.)

0 e 1 0 π  π 1   2 x 1 π 4 θ)  2 ημ(2x  )dx , ι)  4 ( 2x  , ια) )dx dx .  2 0 0 0 3 1  ημx  x 

1

ιβ)  2 [(x  x) x  (x  x)]dx . (Σχολ.)

0

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 6

4

α)  x 2  4x  3 dx ,

β)  (x 2  x  3 )dx ,

0

1

55

  x  0  x, . (Σχολ.) x, 0  x  



γ)  f (x)dx , αν f (x)   

Λύση α) Η συνάρτηση f (x)  x 2  4x  3 είναι συνεχής στο διάστημα [0, 6]. Παρατηρούμε ότι, για x  [0,1]  [3,6] είναι f (x)  0 , ενώ για x  [1,3] είναι f (x)  0 . Συνεπώς: 6

0

x 2  4x  3 dx 

1

0 (x

2

1

2

0 x

 4x  3 dx 

3

3

1

x 2  4x  3 dx 

6

3

x 2  4x  3 dx 

6

 4x  3)dx   (x 2  4x  3)dx   (x 2  4x  3)dx  1

3

1

3

3

3

6

x  x   x3  62 2 2 2  2x  3x   2x  3x  .       2x  3x   3 3 3 3  0  1  3

─∙─ 2

β) Η συνάρτηση f (x)  x  x  3 είναι συνεχής στο διάστημα [- 1, 4]. Παρατηρούμε ότι, για x  [1,3] είναι x  3  0 , ενώ για x  [3, 4] είναι x  3  0 . Συνεπώς: 4

1 (x

2

3

4

1

3

 x  3 )dx   (x 2  x  3 )dx   (x 2  x  3 )dx  3

3

1 (x

2

4

 x  3)dx   (x 2  x  3)dx  3

4

 x3 x 2   x3 x 2  9 1 1 64 16 9 95  3x      3x   (9   9)  (   3)  (   12)  (9   9)  .   2 2 2 3 2 3 2 2 6 3  1  3 3

─∙─ γ) Είναι lim f (x)  lim f (x)  f (0)  0 , οπότε η f είναι συνεχής στο 0 και επειδή είναι συνεχής στα x 0

x 0

διαστήματα [- π, 0) και (0, π], είναι συνεχής και στο [- π, π]. Έχουμε:

π

0

π

 π f (x)dx   π xdx  0

0

 x2  π2 π . ημxdx      συνx 0  2  2  2 π  2

x (2ln x  1)  2x(ln x  1) , x  0 .

4 α) Να βρεθεί η f (x) , x  0 . β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. t E(t) Β. α) Να υπολογίσετε το E(t)   (x  2) ln xdx , t  1 . β) Να βρεθεί το lim .

1 t  t ln t

3. Α. Δίνεται η συνάρτηση

f (x) 

Λύση Α. α) f (x)  ...  (x  2) ln x , x  0 . β) Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (0, 1] και [2, +  ), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [1, 2]. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x = 1 το f(1) = 7 / 4 και τοπικό ελάχιστο για x = 2 το f(2) = 3 – 2ln2. t

t

1

1

7 4

t

Β. α) E(t)   (x  2) ln xdx   f (x)dx   f (x)1  f (t)  f (1) ή E(t)  f (t)  .

E(t) (t  2) ln t t2  lim  lim 1. t  t ln t t  t  t t ln t

β) lim

4. Έστω η συνάρτηση



f (x)  x  x 2  4, x   . α) Να αποδείξετε ότι f (x) 

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I  

1

0

Λύση

f (x) x2  4 dx . x2  4

.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

67

Λύση x

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)   f (t)dt   1

2 x

1

g(t)dt  x 2  3x  2 .

Παρατηρούμε ότι h(x)  h(1) , οπότε το h(1) είναι τοπικό μέγιστο. Ομοίως h(x)  h(2) , οπότε το h(2) είναι τοπικό μέγιστο. Άρα h (1)  h (2)  0 . Έχουμε h (x)  f (x)  g(2  x)  2x  3 , f(1) – g(1) + 1 = 0 και f(2) – g(0) – 1 = 0. Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες παίρνουμε g(1) – f(1) = f(2) – g(0). x

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)   f (t)dt   1

2 x

1

g(t)dt , η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

[1, 2] με φ(x)  f (x)  g(2  x) και φ(1) = φ(2) = 0, οπότε ισχύει το Θ.Rolle για τη φ στο [1, 2]. Επομένως υπάρχει x 0  (1,2) τέτοιο, ώστε φ(x 0 )  f (x 0 )  g(2  x 0 )  0 ή f (x 0 )  g(2  x 0 ) .

5.3.5

Ασκήσεις

Σωστό ή λάθος – Θεωρητικές ασκήσεις 1. Να βρείτε το σωστό ή λάθος στα παρακάτω, αν είναι γνωστό ότι όλα τα σύμβολα έχουν νόημα.

α) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει x

(  f (t)dt)  f (x)  f (α) , για κάθε x   . α

β) Αν f συνεχής στο διάστημα [α, β], και για κάθε x στο [α, β] ισχύει f (x)  0 , τότε γ) Αν για τη συνάρτηση f που είναι συνεχής ισχύει f(x) = 0 για κάθε x  [, ] . t

t

2

δ) Αν f (t)   x x  2xdx , τότε xf (t)   x 



2

β

α f (x)dx  0 και f (x)  0

2

x  2xdx .



στ) Ισχύει (  f (t)dt)  f (x) . η) Αν    , τότε

β

α (e

x

x2  4 ε) Ισχύει  2 dx   x 1 4

 1)dx  0 .

ι) Αν f (x)  g(x) , για κάθε x  [, ] , τότε

β

2

8

β

ια) Αν    , τότε ισχύει



 (x  4)dx .  2  (x  1)dx

2 cdx  6 cdx , c σταθερά.

α f (x)dx  0 , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f (x)  0 , για κάθε x [, ] .

θ) Αν

ιγ) Η

για κάθε x  [, ] , τότε



ζ) Ισχύει

x



 f (x)dx  0 .

β

α

γ

β

(Σχολ.)

β

α f (x)dx  α g(x)dx .

β

f (x)dx   f (x) dx . α

ιβ) Ισχύει

x2 1

1

t

dt  2ln x , x  0 .

β

α f (x)dx  α f (x)dx  γ f (x)dx ισχύει μόνο εφόσον      .

ιδ) Αν

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx , τότε f (x)  g(x) , για κάθε x [, ] .

ιε) Ισχύει

β

ιστ) Ισχύει ιη) Αν

β

β

α (f (x)  g(x))dx  α f (x)dx  α g(x)dx . β

β

β

α f (x)  g(x)dx  α f (x)dx  α g(x)dx .

β

ιζ) Αν α  β , τότε

α f (x)dx  0 , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f (x)  0 για κάθε x [α,β] .

ιθ) Αν f (x)  0 , για κάθε x  [, ] , τότε κ) Ισχύει

α

α (x

4

α

β

α f (x)dx  0 .

 1)dx   (x 4  x 2  1)dx , για κάθε α > 0. α

β

α f (x)dx  0 .

68

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

κα) Ισχύει

π 4 ln(1  ημ 2 x)dx 0



π

 2  4 ln συνxdx .

0

β

α f (x)dx  0 και η f δεν είναι παντού μηδέν στο [α,β] , τότε η f παίρνει δύο, τουλάχιστον,

κβ) Αν

ετερόσημες τιμές. (Από (ιε) έως (κγ) Σχολ.) κγ) Έστω f συνεχής και g παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, με g(x)   και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ( 

g(x)



f (t)dt)  f (g(x))  g(x) .

κδ) Ισχύει ( 

h(x)

g(x)

f (t)dt)  f (h(x))h (x)  f (g(x))g(x) .

2. Να κυκλώσετε το σωστό γράμμα στα παρακάτω.

α) Αν f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και    , τότε μία παράγουσα της f στο Δ είναι η Α. F(x)  

α

f (x)

β

f (x)

α

α

f (t)dt , Β. F(x)   f (x)dx , Γ. F(x)  

x

f (t)dt , Δ. F(x)   f (t)dt , Ε. F(x)   f (u)du . α

β

β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] , τότε η παράσταση (  f (x)dx) είναι ίση με: α

Α. f (x) , Β. f ()  f () , Γ. (  )f (x) , Δ. 0 Ε. F()  F() , όπου F(x) παράγουσα της f. γ) Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα (t)  2t m / sec . Κατά τη χρονική διάρκεια του νιοστού δευτερολέπτου το σώμα διάνυσε 9 μέτρα. Ισχύει: Α.   1 , Β.   3 , Γ.   4 , Δ.   5 , Ε.   10 . 

δ) Το ολοκλήρωμα    f (g(x))g(x)dx είναι ίσο με: Α. f (g())  f (g()) , 

Γ. f (g())  f (g()) ,

ε) Το

β x e dx α



Δ. g()  g() ,

είναι πάντα: Α. θετικό,

Β. f (g())  f (g()) ,

Ε. f ()  f () .

Β. αρνητικό,

Γ. ίσο με το 0,

Δ. θετικό, αν    ,

Ε. θετικό, αν    . στ) Οι f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο  και f (x)  g(x) , για κάθε x   . Από τις παρακάτω προτάσεις: Ι. f (x)  g(x) , για κάθε x   , ΙΙ. f (x)  g(x) , για κάθε x   , 2

2

0 f (x)dx  0 g(x)dx αληθεύουν: Α. όλες, Β. καμία,

ΙΙΙ.

Γ. μόνο η Ι, Δ. μόνο η ΙΙΙ , Ε. μόνο οι Ι και ΙΙ.

1 

ζ) Αν f (x)  ημπx και f (0)  0 , τότε το f (1) ισούται με: Α.  , 1

η) Το ολοκλήρωμα    x 2  1 dx είναι ίσο με: Α. 1

x

4 , 3

Β. 0,

1 ,  4 Γ.  , 3

Β.

Γ.  Δ.

θ) Έστω η συνάρτηση F(x)   f (t)dt όπου f η συνάρτηση του διπλανού

2 , 3

2 (Σχολ.)  5 Ε. . (Σχολ.)

3

Δ.

y

1

σχήματος. Τότε η F(1) είναι ίση με: Α. 0, Β. 1, Γ. 2,

2 , 

2

Δ. 1 / 2 . (Σχολ.)

Cf

x

ι) Έστω η συνάρτηση F(x)   f (t)dt όπου f η συνάρτηση του 1

2x, 0  x  1 Ο 1 διπλανού σχήματος. Τότε Α. F(x)  x 2 , Β. F(x)   , 1 x  2, x2 , 0  x  1  x2 , 0  x 1 y Γ. F(x)   , Δ. F(x)   , (Σχολ.)

2 2x, 1  x 2x  1, 1  x   ια) Αν f (x)  g(x) για κάθε x  [1,1] και f (0)  g(0)  2 , τότε για κάθε

x  [1,1] ισχύει: Α. f (x)  g(x)  2 , f (x)  g(x) , x  [1,1]

Β.



1

1

(f (x)  g(x)) dx  4 ,





0

x dx , Δ.

1

 lnxdx , 0

Ο

1

Δ. Οι Cf ,Cg έχουν κοινό σημείο στο [1,1] .

3. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα; Γ.

Γ.

Ε.



2

0

1  x 2 dx ,

ΣΤ.



1

0

1 dx . x 1

Α.



1

0

1 dx , x 1

3

(Σχολ.) Β.

 2 0



x dx ,

(Σχολ.)

x

x

70

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ x x2 x3 x 4 x    f (t)dt .

0 2 3 4 2 3 4 4 1 x x x x Έστω η συνάρτηση f (x)  e x  1  x  . Να υπολογίσετε το I     dx .

0 f (x) 2 6 24

κάθε x  [0,1) ισχύει: ln(1  x)  

13.

─∙─

14. Δίνεται η συνάρτηση

(t)  2t   , t   και    . Μια επιχείρηση έχει έσοδα E(t) σε χιλιάδες ευρώ που δίνονται από τον τύπο E(t)  (t  1)(t) , t  0 (t ο χρόνος σε έτη). Το κόστος λειτουργίας K(t) της επιχείρησης δίνεται από τον τύπο K(t)  (t  4) , t  0 . α) Να βρείτε τη συνάρτηση του κέρδους P(t) , για t  0 , όταν γνωρίζουμε ότι, κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίαζε ζημία 12 χιλιάδες ευρώ. β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη; γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του 2ου έτους; 111 6 δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος I  P(t)dt .

2 0 15. Έστω οι συναρτήσεις f :    , συνεχής στο  και I :    ώστε για κάθε x   να ισχύει 1

1

I(x)   [f 2 (t)  2xt 2 f (t)  x 2 t 4 ]dt , Να δειχθεί ότι η Ι παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0  5 t 2 f (t)dt .

16.

0

0

3

Να βρεθούν τα , ,    ώστε η f (x)  x  x   να είναι περιττή, να παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο στο x 0  1 και να ισχύει

2

0 f (x)dx  2 .

 x 2 1 2 17. Έστω η συνάρτηση f (x)  e x , x  0 . α) Να εξετάσετε αν είναι συνεχής.  0, x0  2 2 β) να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. γ) Να υπολογίσετε το I   3 f (x)dx .

1 x 12 4x x 18. Δίνεται η συνάρτηση h(x)  2 (e  e ) , x  0 με   4 . α) Να δείξετε ότι lim h(x)  h(0)  0 . x 

β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση h(x) . γ) Αν x1 είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και x 2 της δεύτερης παραγώγου της h(x) , να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x1 , x 2 .

334 ln 2 δ) Να υπολογίσετε το M  h(x)dx , όταν   8 .

75 0

Υπολογισμός ολοκληρώματος άγνωστης συνάρτησης 19. Αν η

(5, 6, 7, 8. 9, 10)

f  είναι συνεχής στο [0, 2] και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0, 3)

και Β(1, 5), να βρείτε την τιμή του

1

0 f (x)dx .

20. Αν η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] με παράγωγο συνεχή, f(α) = 1, f(β) = e και f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , να υπολογίσετε το

β

α

f (x)ef (x) [f (x)  ln f (x)  1]dx . f (x)

21. Αν η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 1] με

3f (1)  e , 2f (0)  1 , f (x)  0 για

κάθε x  [0,1] και ισχύει f (x)  e  x f 3 (x)  f (x) για κάθε x  [0,1] , να υπολογίσετε το

22. Αν η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 1] με

f (1)  ef (0) , f (x)  0 για κάθε

x  [0,1] και ισχύει 3f (x)  f 3 (x)  2f (x) για κάθε x  [0,1] , να υπολογίσετε το

23. Αν η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] με

1

0 f (x)dx .

1 2

0 f

(x)dx .

f (x)  0 για κάθε x  [α,β] και

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

71

4  3f 3 (x)  f (x) για κάθε x  [α,β] , να υπολογίσετε το

1

β

α f (x) dx , αν είναι γνωστό ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(α, 2) και Β(β, 4).

24. Αν η f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2] με x  [0, 2] και f(2) = f(0), να υπολογίσετε το

25.

2 3

0 f

f (x)  2 f 4 (x)  4 για κάθε

(x)dx .

Έστω ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση f και πραγματικός αριθμός α, έτσι ώστε να ισχύει

f (x)  α  

x

0



3

1



f (x)dx f (t)dt , για κάθε x   . (1) Να αποδείξετε ότι:

Εύρεση συνάρτησης



3

1

f (x)dx

  f (3)  f (1) .

2

(11)

26. Να βρεθεί η συνάρτηση για την οποία ισχύει

x

f (x)   (e tx  2xt)dt για κάθε x   και έπειτα: 0

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β) Να βρείτε την παράγωγο της f όπου ορίζεται.

1 1 t 2 )e dt , x > 0. t2 2 3 28. Να βρεθεί η άρτια και συνεχής συνάρτηση, με f (x)  1 x 2 f (x)dx  2x 2 1 για κάθε x  0 . x 3 2 29. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x  (2  1)x  (  1)x  3  2 . α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε    υπάρχουν δύο σημεία A(x1 ,f (x1 )) και (x 2 ,f (x 2 )) , με x1  x 2 , στα οποία η εφαπτόμενη της Cf είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

27. Να βρεθεί η συνάρτηση f

β) Αν



2

2

x

για την οποία ισχύει f (x)   (2  1

x2

f (x)dx  3(  5) , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   f (x)dx .

30. Να βρεθεί η συνεχής 1

x1

συνάρτηση f :    , για την οποία ισχύει :

f (x)   [xf (x)  1]dx  4x 2  3x  1 , για κάθε x   . (1) 0

31. Να βρεθεί η συνεχής 

συνάρτηση f :    , για την οποία ισχύει :

0 f (x)xdx  f (x)  1  2x ,

32. Να βρεθεί η συνεχής 1

για κάθε x   . (1)

συνάρτηση f :    , με f(0) = 3e + 2, για την οποία ισχύει :

f (x)  f (x)   f (x)dx  2(1  e) , για κάθε x   . (1) 0

Γνωστά θεωρήματα 33.

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0,3] . Να αποδείξετε ότι υπάρχει   [0,3] τέτοιος,

ώστε να ισχύει

34.



β

α

(12)

1

2

3

 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  0 . (1)

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β] με f (x)  0 , για κάθε x  [α,β] και

f (x)dx  0 . Να αποδείξετε ότι α  β .

35. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο διάστημα

[0,3] , με

3

0 f (t)dt  3f (3) . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον οριζόντιο άξονα.

36. Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο [α, β]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν 1 , 2  (, ) έτσι ώστε να 2  f (x)dx  f (1 )  f ( 2 ) . ισχύει    

37. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g , συνεχείς στο

 , με





 [f (x)  2x]dx   g(x)dx

για κάθε x  [α,β] ,

όπου α < β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει g()  f ()  2

72

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Εξισώσεις – Ανισότητες

1 4x

3

0

4

x dx  ln 5 . x 5 Έστω μια συνάρτηση f :   (0, ) , δυο φορές παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα. Να επιλύ-

38. Να αποδείξετε ότι 39.

(13)

σετε την εξίσωση:

x

ln 6  

0 [f

2

x

u

0

0

()  f 2 (0)]d  2  [  (f (u)  f (t))  f (t)dt]du  0 .

40. Για τη συνάρτηση f (x)  1 2 2 dt , x > 0, να αποδείξετε ότι 8  f (4)  f (2)  8 .

65 17 1 t 41. Έστω η παραγωγίσιμη στο  συνάρτηση f και F μια αρχική της, με f (x)  F(x) για κάθε x   2x

και F(0)  0 . α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις g(x)  [f (x)  f (x)]e  x και h(x)  [f (x)  f (x)]e x , x   , είναι σταθερές. β) Αν f(0) = 1, τότε: i) Να αποδείξετε ότι (f (x)) 2  (f (x)) 2  1 . ii) Να βρείτε 1 β την f. iii) Αν α < β, να αποδείξετε ότι f (x)dx  1 . β  α α

42. Έστω μια συνάρτηση f

δυο φορές παραγωγίσιμη στο [0, ) . Αν ισχύει f (x)  3f (x)  3 για κάθε

x  (0, ) , να αποδείξετε ότι: f (x)  e3x f (0)  1  e3x

για κάθε x > 0.

1 3 f (x)dx .

2 1 44. Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα [α, β], με α < β. Να αποδείξετε ότι: α) f (x)  f ()  (x   )f () για κάθε x  [α,β] .  1 β)  f (x)dx  (  )[2f ()  (   )f ()] .  2 45. Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη, με f (x)  0 για κάθε x  [α,β] ,    και συνάρτηση g για την οποία ισχύει g(x)  (  )f (x)  (f ()  f ())x  f ()   f () για κάθε x  [α,β] . α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει   (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της (ξ, g(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, ενώ η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)). β) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. και τα κοίλα στο [α, β].

43. Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο

 και κοίλη. Να αποδείξετε ότι f (3)  f (1) 



γ) Να αποδείξετε ότι



 g(x)dx  0 .

δ) Να αποδείξετε ότι

 f (x)dx  f ()  f () .

2



 .  2 

ε) Αν α + 2 < β, να αποδείξετε ότι f (  1)  f (  1)  2f 

Όρια

(14, 15)

46. Να υπολογίσετε τα όρια: α) 47. Δίνεται η συνάρτηση

lim 

t 1 0 3

48.

(1  x) 2

,

β) lim



x

x  e

dt , t(ln t) 2

γ) lim

x 





0 e

dt

f :    , με 2f (x  1)  f (1  x)  3x για κάθε x   και  < 2 .

Να βρείτε: α) Την τιμή της f στο x , β) (ρ) 

dx

t

2 x 2t 1 e dt 0 x t 1

3 3 ρ2  ρ, 2(2  λ) 2λ

β) το Ι(ρ) =



0 f (x)dx , ρ > 0 ,

γ) το lim I() . 

γ) lim (ρ)   . ρ 

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο  , με f(0) = 3. Να αποδείξετε ότι ex f (t) lim  dt  3 . x x 0 t

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

49. Έστω συνάρτηση f 50. Έστω

f (t) 

73

συνεχής και γνησίως αύξουσα στο  , με f(0) = 2. Να βρείτε το lim 

2x

x 0 x

4 2t  3 , t  [1, 4] . α) Να υπολογίσετε το I   f (t)dt .

1 t2

β) Έστω η συνάρτηση g(x)  

4

1

κάθε t  [1, 4] και x  0 . (1)

t

1

f (t) dt . t

t

4

x  2 x2 2 2 2 f (t) e dt , x  0 . i) Να αποδείξετε ότι, e x  e x  e x , για x 1 ii) Να υπολογίσετε το lim g(x) . x 

51. α) Αφού διαπιστώσετε ότι για

x  1 ισχύει 1  x  x 2  x 3  ...  (1)1 x 1 

1 ( x) ,  x 1 1 x

(1)

1 1 ( 1)1   ...  ] . (2) 0 1  x 2 3  ( x) β) Να αποδείξετε ότι για x  [0,1] και   * ισχύει  x    x  κι έπειτα 1 x  1 1 1 (1)1 1 ( x) 1 ότι  . (3) γ) Να βρείτε το lim [1    ...  ].  dx    2 3   1 0 1 x  1  52. α) Αν 0     , τότε να αποδείξετε τη σχέση:      dt     . (1)  t  1 1 β) Να αποδείξετε ότι: (2)  ln(  1)  ln   , για κάθε   * .  1  1 1 1 γ) Με τη βοήθεια του (β) να αποδείξετε ότι: ln(  1)  1    ...  .

(3) 2 3  1 1 1 1 1 1 δ) Για ποια τιμή του ν είναι 1    ...   10 ; ε) Nα υπολογίσετε το lim (1    ...  ) .   2 3  2 3 

να αποδείξετε ότι

1 (  x)



dx  ln 2  [1 

x

Συνάρτηση F(x)   f (t)dt α

Πεδίο ορισμού – παράγωγος – τιμές

(16, 17, 18, 19, 20 ) x

52. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) F(x)  2

x 2 1 2 t t 2  1dt , στ) G(x)   ln(2x  ln t)dt . dt , ε) G(x)   x 3 x 1 1 1 t Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο σύνολο A  (,  2)  (2,  ) . Να βρείτε το πεδίο ορισμού

γ) g(x)  

53.

2x 1 1 ln y 2 dy , dt , β) G(x)   1 t 1

2x  3

t  3dt , δ) F(x)  

της συνάρτησης g(x)  

x 2 11

1

54. Αν

 x 2  3x

f (t)dt  

 x 2

1

f (t)dt .

x

f (x)   (3t 2  5t  3)dt , να υπολογίσετε τα: f (1), f (1), f (2), f (0) .

1

55. Να βρείτε τις παραγώγους των:

2 1 3 x2 x t 1 2 dt , β) , γ) H(x)  G(x)  d  1 t  tdt , δ) F(x)  1 1  t dt , x e 0 t2 1 2 x 1   x2 x t 2 t2 ε) G(x)   , στ) H(x)  d  2x 1 t  e dt , ζ) F(x)  x  0 2xe dt . x 2

α) F(x)  

x

56. Αν f συνεχής στο

 και F(x)  

57. Αν η συνάρτηση

f (x)  

x 2 1

0

x

1

(x 2  1)f (t)dt , να βρείτε την F(x) .

  f (t)dt  dy είναι συνεχής στο  , να βρείτε την παράγωγο της συνάρy

1

τησης g(x)  f 2 (x)  (f (x)) 2 .

58. Να αποδείξετε ότι

f 2 (x)  g 2 (x)  2 , για κάθε x   , αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο 

5.4

Τεχνικές ολοκλήρωσης

Ο πίνακας των αρχικών συναρτήσεων που δώσαμε στα προηγούμενα, δεν είναι αρκετός για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μιας οποιασδήποτε συνάρτησης. Έτσι, επινοήσαμε και χρησιμοποιούμε διάφορες τεχνικές ολοκλήρωσης που κάνουν τον υπολογισμό απλούστερο. Μερικές απ’ αυτές θα μελετήσουμε στα παρακάτω.

5.4.1

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην παράγωγο γινομένου δύο συναρτήσεων και ονομάζεται ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή παραγοντική ολοκλήρωση ή ολοκλήρωση κατά μέρη . Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, με παραγώγους συνεχείς σ’ ένα διάστημα [α, β], τότε β

β

β

α f (x)g(x)dx  [f (x)g(x)]α  α f (x)g(x)dx .

ισχύει ο τύπος:

Απόδειξη Για κάθε x  [α, β] ισχύει [f (x)g(x)]  f (x)g(x)  f (x)g (x) οπότε







 f (x)g(x)dx   [f (x)g(x)]dx   f (x)g(x)dx



ή

f (x)g(x)  [f (x)g(x)]  f (x)g(x) ,

ή



 f (x)g(x)dx  [f (x)g(x)]   f (x)g(x)dx . 

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

1

1) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   xe x dx .

0

Λύση Παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις f(x) = x και g(x)  e x είναι παραγωγίσιμες στο  και (e x )  e x για κάθε x   , οπότε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο έχουμε: 1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

I   xe x dx   x(e x )dx   xe x    (x)e x dx ή   1  e1  0  e0   e x dx  e  e x   e  e  1  1 .

0



.

1

1) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   xe x dx .

0

Λύση Παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις f(x) = x και g(x)  e x είναι παραγωγίσιμες στο  και (e x )  e x για κάθε x   , οπότε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο έχουμε: 1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

I   xe x dx   x(e x )dx   xe x    (x)e x dx ή   1  e1  0  e0   e x dx  e  e x   e  e  1  1 . 

.



2) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   2 xxdx .

(Σχολ.)

0

Λύση 









Έχουμε: I   2 x(x)dx   xx 02   2 (x)xdx   xx 02   x 02  0

0

     0  (0  1)   1 .

2 2 .



82

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

3) Έστω μια συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο και

π

0 (f (x)  f (x))ημxdx  2 . Αν

f (π)  1 ,

(Σχολ.)

να υπολογίσετε το f(0).

Λύση Έχουμε:

π

π

π

0 (f (x)  f (x))ημxdx  2  0 f (x)ημxdx  0 f (x)ημxdx  2 

π

π

0 f (x)(συνx)dx  0  f (x)  ημxdx  2  π

π

 f (x)συνx 0π  0 f (x)(συνx)dx  f (x)ημx 0π  0 f (x)συνxdx  2  π

π

0

0

f (π)  f (0)   f (x)συνxdx  0  0   f (x)συνxdx  2  1  f (0)  2  f (0)  1 . 

.

4) Έστω οι συναρτήσεις f, g, με f , g συνεχείς στο [α,β] . Αν f (α)  g(α)  0 και f (β)  g(β) , να β

αποδείξετε ότι Ι   (f (x) g(x)  f (x) g(x))dx  g (β)(f(β)  g(β)) .

(Σχολ.)

α

Λύση β

β

Έχουμε: Ι   f (x) g(x)dx   f (x) g(x)dx  α

α

β

β

β

α f (x)  g(x)  dx  α  f (x)  g(x)dx  β

f (x)g(x)α  α f (x) g(x)dx  f (x)g(x)βα  α f (x) g(x)dx  β

f (β)g(β)  f (α)g (α)  f (β)g(β)  f (α)g(α)  f (β) g(β)  0  g(β)g(β)  0  g(β)(f(β)  g(β)) .

Σχόλια α) Ο παραπάνω τύπος είναι φανερό ότι χρησιμοποιείται, μόνο στην περίπτωση κατά την οποία η

συνάρτηση που θέλουμε να ολοκληρώσουμε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο μιας συνάρτησης f, της οποίας η παράγωγος είναι συνήθως απλούστερη από την f, και μιας άλλης συνάρτησης που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή g΄. β

 Αν έχουμε λοιπόν, να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής I   φ(x)σ(x)dx , συμφέρει να α

χρησιμοποιήσουμε την παραγοντική ολοκλήρωση, όταν μπορούμε να βρούμε μια παράγουσα της φ ή της β

σ, όποια μας διευκολύνει, π. χ της φ, και να γράψουμε το ολοκλήρωμα στη μορφή I   (x)σ(x)dx , α

β

οπότε από τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης θα έχουμε: I    (x)σ(x) α    (x)σ(x)dx , όπου β

α

το ολοκλήρωμα

β

α (x)σ(x)dx

εννοείται ότι θα πρέπει να υπολογίζεται ευκολότερα από το αρχικό.

Συνεπώς, για να γίνει ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος, βασικό ρόλο θα παίξει ποιας από τις δύο συναρτήσεις θα πάρουμε την παράγουσα. Για να γίνει το παραπάνω περισσότερο κατανοητό δίνουμε ένα παράδειγμα. β

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I   xσυνxdx , όπου φ(x) = x και σ(x) = συνx. α

 Βρίσκουμε μια παράγουσα της φ π. χ τη Φ(x) =

2

x . Από τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης 2

β

2 βx  x2  x2 x2 1 β (συνx)dx  έχουμε: I   xσυνxdx   ( )συνxdx   συνx    συνx   x 2 ημxdx . α α 2 α 2 2 2 α 2 α β

β

Προφανώς δεν ευτυχήσαμε στην επιλογή μας, γιατί το

β

α x

2

ημxdx είναι δυσκολότερο από το αρχικό.

 Βρίσκουμε τώρα μια παράγουσα της σ, π. χ τη (x)  ημx . β

β

α

α

Από τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης έχουμε: I   xσυνxdx   x(ημx)dx 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ β

83 β

β

 xημx βα  α (x)ημxdx   xημx βα  α ημxdx , όπου το ολοκλήρωμα α ημxdx

υπολογίζεται εύκολα.

─∙─ 

β) Υπολογισμός του ολοκληρώματος I   ln xdx 

β β β β 1 β β Έχουμε: I   ln xdx   (x) ln xdx   x ln x α   x  dx   x ln x α   dx  β ln β  α ln α  β  α α α α α x Καλό είναι να θυμόμαστε ότι:

Μια παράγουσα της lnx είναι η xlnx – x, x > 0

Μορφές ολοκληρωμάτων που αντιμετωπίζονται με ολοκλήρωση κατά παράγοντες 

 P(x)  e

Τα ολοκληρώματα της μορφής:  x

 e

(x)dx ,

 x

 e

x

dx ,





 P(x)  ln( x)dx ,

(x)dx ,



 P(x)  ( x)dx ,  P(x)  ( x)dx , με P(x) πολυώνυμο ν βαθμού υπολο-

γίζονται συνήθως με ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Συγκεκριμένα:  Στις μορφές που εμφανίζεται e κx βρίσκουμε μια παράγουσα του e κx .  Στη 2η και 3η μορφή βρίσκουμε μια παράγουσα του συν(κx) και του ημ(κx) αντίστοιχα.  Στη τελευταία βρίσκουμε μια παράγουσα του P(x). Δίνουμε μερικά παραδείγματα. π π π π 2 2 2  5) I  xημxdx  x(συνx) dx   xσυνx 0  2 (x)(συνx)dx 0 0 0 π π π π  xσυνx 02  2 συνxdx   xσυνx 02  ημx 02  1 .

0



























 1

2 x 1

1

1

1

1

6)    x 2 e x dx   x 2 (e x )dx   x e   2  xe x dx  e  2  xe x   2  e x dx  e – 2e + 2e – 2 = e – 2 .

0 0 0 0 0 0  π

7) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   x 2 συν3xdx .

0

Λύση Έχουμε: I  

π

0

ημ3x  x   dx   3  2

π

π

π ημ3x 2 π  2 ημ3x  1 2  2  x  3   0 (x )  3 dx   3 x ημ3x   3 0 xημ3xdx . (1)  0  0

π

Το ολοκλήρωμα I1   xημ3xdx είναι απλούστερο από το I, όμως πρέπει και αυτό να υπολογιστεί με 0

ολοκλήρωση κατά παράγοντες, και συγκεκριμένα. π π π  συν3x  π συν3x  1  I1   xημ3xdx   x  dx   xσυν3x   (x) dx     0 0  0 3  3  3 0 π

1 π  1  I1    xσυν3x    συν3xdx   3 0 3 0 π

π

π

 1   ημ3x    3 xσυν3x    9  , οπότε από την (1)  0  0 π

2 2 1  1  έχουμε: I   x 2 ημ3x   I1   x 2 ημ3x   3 0 3 3 0 3

π

ημ3x  2π  1   3 xσυν3x  9    9 .  0



84

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ π

8) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   e x ημxdx .

0

Λύση π

π

π

0

0

π

π

I   e x ημxdx   (e x )ημxdx  e x ημx    e x συνxdx  I  e x ημx   1 .

0

0

π x e συνxdx 0

Είναι I1  

0

π

π

0

0

π x e ημxdx 0

  (e x )συνxdx  e x συνx   

π

π



π

I1  e x συνx    , οπότε I  e x ημx    e x συνx     0 0 0 π π 1 2I  e x ημx    e x συνx   e π  1  I  (e π  1) .

0 0 2 

e

9) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   (2x  1) ln xdx .

1

Λύση Μια παράγουσα της 2x + 1 είναι η x 2  x , οπότε το I γράφεται:

e e e e e 1 I   (x 2  x) ln xdx  (x 2  x) ln x    (x 2  x)(ln x)dx  (x 2  x) ln x    (x 2  x) dx  1 1 1 1 1 x e

e  x2  e e e2  3 (x 2  x) ln x    (x  1)dx  (x 2  x) ln x     x   .  1 1  1 2 2  1



1

10) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   x  3 x dx .

0

Λύση 1 1 1 x 1 1 1 x 1  1  x  1 x(3 )dx   [x  3 x ]10  3 dx   x  3 x   3     0 0 0 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 (ln 3) 2   0 1 1 1 1 1 2    2  (  1)    . ln 3 3 ln 3 3 3ln 3 3ln 2 3

1

I   x  3 x dx   0



11) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα   

2

1

1

x 1 x  e dx . x

Λύση 

2

1

1

1

1

1

1

1

 2 2  21  2 21  x 1 x 1   e dx   (1  )  e x dx   e x dx   e x dx ή I   (x)e x dx   e x dx  1 1 1 x 1 1 x x x 2

1 1 1 1 1  1    21  21  2 21  2 e 1 .  xe x    x(e x )dx   e x dx  2e 2  e 1   e x dx   e x dx  1 x 1 x 1 1 x e   1

.

Ολοκλήρωμα αρχικής συνάρτησης x

Έστω f συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και F(x)   f (t)dt μια αρχική συνάρτηση f. Για γ

την εύρεση του ολοκληρώματος παράγοντες. Συγκεκριμένα:

β

β

β

α F(x)dx

χρησιμοποιούμε πολλές φορές, την ολοκλήρωση κατά

β

β

α F(x)dx  α (x)F(x)dx   xF(x)α  α xF(x)  βF(β)  αF(α)  α xf (x)dx β

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

85

Δίνουμε δυο παραδείγματα.

2

12) Δίνεται η συνάρτηση f (x)  e x , x   και έστω F μια αρχική της f, της οποίας η γραφική 1

παράσταση διέρχεται από το σημείο (1, e) . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   F(x)dx .

0

Λύση 1

1

0

0

1

1

0

0

Έχουμε    F(x)dx   (x)F(x)dx   xF(x) 0   xF(x)  1  F(1)  0  F(0)   xf (x)dx  1

1 1 1 2 1 e 1 e 1  2 .

I  e   xe x dx  e   x 2 e x dx  e  e x   e    0 2 0 2  0 2 2 2 1

 

2



1

13) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   (  0

x

1

4t 2 dt)dx . t4 1

Λύση Έχουμε f (x) 

2 x 4t 4x 2 , που είναι συνεχής στο , F(x)   1 t 4  1 dt που είναι μια αρχική της f και x4  1

1

I   F(x)dx , οπότε 0

1

1

0

0

1

1

0

0

   F(x)dx   (x)F(x)dx   xF(x) 0   xF(x)  1  F(1)  0  F(0)   x  1

3

4x 2 dx  x4  1

4

1 1 (x  1) 4x dx   dx  ln(x 4  1)   ln 2 .

4 4 0 x 1 0 x 1 0

I00

1

5.4.2

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Η τεχνική της ολοκλήρωσης με αντικατάσταση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή εύκολος με όσα έχουμε μάθει μέχρι τώρα.



 f (g(x))g(x)dx , και των οποίων ο υπολογισμός δεν είναι

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο στο διάστημα [α, β], και η f είναι συνεχής στο g([α, β]), τότε ισχύει ο τύπος: β

g(β)

α f (g(x))g(x)dx  g(α) f (u)du , όπου u = g(x), du  g(x)dx και τα νέα όρια της συνάρτησης είναι τα g(α) και g(β).

Απόδειξη Αν F είναι μια παράγουσα της f, τότε F(u)  f (u) , οπότε F(g(x))  f (g(x)) και άρα 





 f (g(x))g(x)dx   F(g(x))g(x)dx   [F(g(x))]dx   F(g(x))  F(g())  F(g()) 

g( )



g( )

g() [F(u)]dx  g() f (u)du .

 Είναι φανερό, ότι ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται, όταν το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

1

14) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   (2x  1)e x 0

2  x 1

dx .

86

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Λύση 1

Παρατηρούμε ότι: I   e x

2  x 1

1

 (x 2  x  1)dx . Είναι δηλαδή της μορφής I   f (g(x))g(x)dx , όπου 0

0

f (x)  e x και g(x)  x 2  x  1 . Ακόμη, η g(x)  2x  1 είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] και η f συνεχής στο διάστημα g([0,1])  [1,3] .

Θέτουμε u  x 2  x  1 , οπότε du  (x 2  x  1)dx  (2x  1)dx , g(0) = 1 και g(1) = 3.

1

Έχουμε I   (2x  1)e x

3

3

2  x 1

dx   e u du  e u   e3  e .

0

1

1

Σχόλιο Στην πράξη δεν ακολουθούμε όλη αυτή τη διαδικασία, μια και κυρίως μας ενδιαφέρει ο γρήγορος υπολογισμός του ολοκληρώματος. Συνήθως δουλεύουμε ως εξής. Παρατηρούμε πρώτα ότι η f (x)  (2x  1)e x 2

2  x 1

είναι συνεχής στο [0, 1].

2

Θέτουμε u  x  x  1 , οπότε du  (x  x  1)dx  (2x  1)dx . Βρίσκουμε τα νέα όρια του ολοκληρώματος. Για x = 0 έχουμε u = 1, ενώ για x = 1 έχουμε u = 3.

1

Άρα I   (2x  1)e x 0

2  x 1

3

3

dx   e u du  e u   e3  e .

1

1



15) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

e ln x

x

1

(Σχολ.)

dx .

Λύση Θέτουμε u  ln x , οπότε du  (ln x)dx 

1 dx . x

1

 u2  1 Για x = 1 είναι u = 0, ενώ για x = e είναι u = 1. Συνεπώς I   udu     .

0  2 0 2 1

 1

16) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I   x 3 (2x 4  3)17 dx .

0

Λύση 1 Θέτουμε u  2x 4  3 , οπότε du  (2x 4  3)dx  8x 3dx και x 3dx  du .

8 5 1 17 u du 3 8

Για x = 0 είναι u = 3, ενώ για x = 1 είναι u = 5. Συνεπώς I  

5

 1 u18  1 18 18   (5  3 ) .    8 18  3 144

 π

17) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

0

π xσυν(x 2  )dx .

3

Λύση Θέτουμε u  x 2 

π π 1 , οπότε du  (x 2  )dx  2xdx και xdx  du .

3 3 2 π

π

  1 π 1  Για x  0 είναι u  , ενώ για x   , u    . Έχουμε:    π 3 συνudu   ημu  3 3 2 2 π 3

 1

ex

0

(e x  2)3

18) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

dx .

3

π 3



3 .

2

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

87

Λύση Θέτουμε u  e x  2 , οπότε u  e  2 . Επομένως: I  

e 2

3

du  (e x  2)dx  e x dx . Για x  0 είναι u  3 , ενώ για x  1 είναι

1 u

3

e  2 3 u du 3

du  

e 2

 u 2     2  3



1 1 .  18 2(e  2) 2



19) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. I  

x5 dx . x4

5

0

Λύση Θέτουμε u  x  4 , οπότε x  u 2  4 και dx  2udu . Για x = 0 έχουμε u = 2, ενώ για x = 5 έχουμε u = 3. Το ολοκλήρωμα γράφεται: I

5

0

3

2  2u 3  3u 45 3 x5 16 44 dx    2udu   (2u 2  2)du    2u   18  6   4  .

2 2 u 3 3 x4  3 2



20) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. I  

2

1

2x ln(x 2  1) dx . x2  1

Λύση 2x ln(x 2  1) είναι συνεχής στο [1, 2], γιατί … x2  1 1 2x Θέτουμε u  ln(x 2  1) , οπότε du  [ln(x 2  1)]dx  2 (x 2  1)dx  2 dx . x 1 x 1 Για x = 1 έχουμε u = ln2, ενώ για x = 2 έχουμε u = ln5.

2 2 2x ln(x  1) ln 5 1 Το ολοκλήρωμα γράφεται: I   dx   udu  (ln 2 5  ln 2 2) .

2 1 ln 2 2 x 1

Η συνάρτηση f (x) 

Τεχνικές που χρησιμοποιούμε στη μέθοδο της αντικατάστασης α) Ο τύπος της αντικατάστασης, όπως είδαμε στα παραδείγματα, χρησιμοποιείται, όταν έχουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής



 f (g(x))g(x)dx .

Στα περισσότερα ολοκληρώματα όμως, δεν εμφανίζεται ο παράγοντας g(x) , οπότε προβληματιζόμαστε για τον ποιο μετασχηματισμό θα πάρουμε. Εδώ θα θέλαμε να τονίσουμε ότι, δεν χρειάζεται ιδιαίτερη ευφυΐα για να κάνουμε κάποια αντικατάσταση. Συνήθως αντικαθιστούμε μια παράσταση που εμφανίζεται συχνά ή που για μας είναι προβληματική. Αν δεν πετύχει δοκιμάζουμε κάτι άλλο. Έτσι εξ’ άλλου θα αποκτήσουμε εμπειρία. Δίνουμε δυο παραδείγματα.

1

21) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   (x  3) x  2dx .

0

Λύση 

Στο ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι εμφανής η μορφή

 f (g(x))g(x)dx .

δυσκολεύει το

1 dx και dx  2udu .

2 x2

x  2 , θέτουμε u  x  2 , οπότε du 

Από u  x  2 έχουμε u 2  x  2 ή x  3  u 2  5 . Για x  0 είναι u  2 , ενώ για x  1 είναι u  3 .

Εδώ σκεπτόμενοι ότι μας

88

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 3

Συνεπώς I  

2

2

(u  5)u  2udu  

 2u 5 10u 3  (2u  10u )du     2 3   5 3

4

3

2

 ….

2

 1

22) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   x ln(9  x 2 )dx .

(Σχολ.)

0

Λύση 1 Θέτουμε u  9  x 2 , οπότε du  2xdx και xdx  du .

2 Για x = 0 έχουμε u = 9, ενώ για x = 1 έχουμε u = 10. Το ολοκλήρωμα γράφεται: 1 10 1 10 1 1 10 1 10 I   ln udu   (u) ln udu   u ln u 9   u  du  2 9 2 9 2 2 9 u 1 1 9 1 (10ln10  9ln 9)  (10  9)  5ln10  ln 9  .

2 2 2 2

β) Πολλά προβλήματα αντικατάστασης λύνονται ευκολότερα, αν εκφράσουμε το x με τη βοήθεια του u και το dx με τη βοήθεια του du, αντί για το αντίστροφο.

Παρ. 23) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

x

1

0

2 4 x

dx .

Λύση Θέτουμε u  2  4 x , οπότε 4 x  u  2 , x  (u  2) 2 , x  (u  2) 4 και dx  4(u  2)3 du . Για x  0 είναι u  2 και για x  1 είναι u  3 .

2 3 (u  2) 3 4 Συνεπώς I  4  (u  2)3 du  4  (u  4  )(u 3  6u 2  12u  8)du  2 2 u u 3 1 4  (u 4  10u 3  40u 2  80u  32  80)du  ….

2 u

γ) Μια συνηθισμένη αλλαγή μεταβλητής για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος β

I   f (x)dx είναι η u  α  β  x . α

Δίνουμε τρία παραδείγματα.

24) Να αποδείξετε ότι

β

β

α f (x)dx  α f (α  β  x)dx

Λύση Από   x   έπεται    x              x       ή       x   . Θέτουμε x  α  β  u , οπότε du = – dx. Για x = α είναι u = β, ενώ για x = β είναι u = α. Έτσι,

β

α

β

α f (x)dx  β f (α  β  u)du  α f (α  β  x)dx . 

25) Αν f συνάρτηση συνεχής στο  , να αποδείξετε ότι







0 xf (x)dx  2 0 f (x)dx .

(Σχολ.)

Λύση Θέτουμε u  0  π  x  π  x , οπότε du = – dx. Για x = 0 είναι u = π, ενώ για x = π είναι u = 0. Έτσι,



0



0 xf (x)dx   (  u)f ((  u))(du)  0 (  u)f (u)du 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 





89 





0 xf (x)dx  0 f (u)du  0 uf (u)du  0 xf (x)dx  0 f (x)dx  0 xf (x)dx  



0

0

2  xf (x)dx    f (x)dx 







0 xf (x)dx  2 0 f (x)dx . 

π 2 0

26) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I  

3  ημ 2 x  ημx dx , 7  ημx  συνx

Λύση π π π είναι u = 0 και  x , οπότε du = – dx . Για x = 0, είναι u  , ενώ για x  2 2 2 π π π π 3  ημ 2 (  u)  ημ(  u) 0 3  συν 2 u  συνu 3  συν 2 x  συνx 2 2 I   π du   2 du   2 dx.

0 7  συνu  ημu 0 7  συνx  ημx π π 2 7  ημ(  u)  συν(  u) 2 2

Θέτουμε u 

π

Έχουμε I   2 0

π 2 0

2I  

π

2I   2 0

π

3  ημ 2 x  ημx 3  συν 2 x  συνx dx και I   2 dx. Προσθέτουμε τις δυο ισότητες, οπότε 0 7  συνx  ημx 7  ημx  συνx

3  ημ 2 x  ημx dx  7  ημx  συνx

π 2 0

3  συν 2 x  συνx dx  7  συνx  ημx



π 2 0



6  συν 2 x  συνx  ημx  ημ 2 x dx  7  συνx  ημx

π 7  συνx  ημx π dx  . Άρα   .

7  συνx  ημx 2 4

δ) Όταν έχουμε συναρτήσεις της μορφής

β x β t F(x)   f ( )dt , F(x)   f ( )dt , θέτουμε το α α t x x t μετασχηματισμό u  x  t , u  xt , u  , u  αντίστοιχα, οπότε το x μεταφέρεται στα όρια του t x ολοκληρώματος.

β

F(x)   f (x  t)dt , α

β

F(x)   f (xt)dt , α

Δίνουμε δυο παραδείγματα.

27) Με την υπόθεση ότι ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις, να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 

g(x)   xf (x)f (tx)dt . 

Λύση 1 du . (Δεν ξεχνάμε ότι μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t, ενώ για το x ολοκλήρωμα το x είναι σταθερά) Για t = α είναι u = αx, ενώ για t = β είναι u = βx.

Θέτουμε u  tx , οπότε dt  β

β

βx

α

αx

Συνεπώς g(x)   xf (x)f (tx)dt  f (x)  xf (tx)dt  f (x)  f (u)du ή α

αx

βx

γ

γ

g(x)  f (x)  f (u)du  f (x)  f (u)du , γ τυχαίος αριθμός του [α, β], οπότε αx

βx

γ

γ

g(x)  f (x)  f (u)du  αf (x)f (αx)  f (x)  f (u)du  βf (x)f (βx) . 

28) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    με f (x)  0 , για κάθε x   . Να αποδείξετε ότι, η 

F(x)   f (x  t)dt , x   με ,   είναι παραγωγίσιμη και ότι, αν υπάρχει x 0   με F(x 0 )  0 , 

τότε F(x)  0 , για κάθε x   .

Λύση

90

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ β

Είναι F(x)   f (x  t)dt , x   . (1) Θέτουμε u  x  t , οπότε du  dt . α

Για t  α είναι u  x  α , ενώ για t  β είναι u = x – β, οπότε F(x)   

x β

x α

f (u)du   

0

x α

f (u)du  

x β

f (u)du  

0

x α

0

f (t)dt  

x β

0

f (t)dt .

Η F είναι προφανώς παραγωγίσιμη, με F(x)  f (x  α)  f (x  β) (2). Έστω F(x 0 )  0 , τότε f (x 0  α)  f (x 0  β) (3). Είναι όμως, f (x)  0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα και άρα «1-1». α

Συνεπώς από την (3) παίρνουμε x 0  α  x 0  β ή α  β και από την (1) F(x)   f (x  t)dt  0 . α

Επομένως F(x)  0 για κάθε x   .

ε) Στα προηγούμενα παραδείγματα θέσαμε το μετασχηματισμό u  g(x) . Μπορούμε όμως, σε κάποιες περιπτώσεις να θέσουμε το μετασχηματισμό x  (u) . Δηλαδή το x ως συνάρτηση του u. Στις περιπτώσεις αυτές πρέπει να προσέχουμε, ώστε η συνάρτηση που εκφράζει το x με τη βοήθεια του u να είναι ‘1 – 1’ για όλα τα u του διαστήματος που θεωρούμε. Δίνουμε δυο παραδείγματα.

1 dx .

0 1  x2

29) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. I  

1

Λύση Θέτουμε x = εφu, οπότε dx  (1  2 u)du . Για x = 0 έχουμε εφu = 0 και u = κπ, με κ ακέραιο. Δηλαδή, έχουμε άπειρες τιμές για το u. Κάτι που δεν πρέπει να συμβαίνει. Έτσι, όταν θέτουμε x = εφu, πρέπει να ορίσουμε και το διάστημα στο οποίο ανήκει το u, και μάλιστα το διάστημα πρέπει να είναι τέτοιο, ώστε η εφu να είναι συνάρτηση ‘1 – 1’ στο διάστημα αυτό.  Θέτουμε λοιπόν, x = εφu, u  [0, ) , οπότε: για x = 0 έχουμε εφu = 0 και u = 0, ενώ για x = 1 έχουμε 2  εφu = 1 και u = . Ακόμη dx  (1  2 u)du .

4 π 1 1 1 π 4 Έτσι , I   dx  (1  εφ 2 u)du  .  2 2 01 x 0 1  εφ u 4 

.

30) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. I  

2

2

4  x 2 dx .

Λύση Είναι 2  x  2   1    x  2 ,  [ , ] .

2 2

x   x  1 , οπότε υπάρχει  [ , ] τέτοιο, ώστε να ισχύει   , θέτουμε 2 2 2 2

  Τότε dx  2d . Επιπλέον, για x  2 έχουμε    , ενώ για x  2 έχουμε   .

2 2 π 2 π  2

Έτσι το ολοκλήρωμα γράφεται: I   π

π





4  4ημ θ  2συνθdθ  4  π

2

(  )  (  ())      2 .

π

1  ημ 2θ  συνθdθ  π

1  συν2θ  /2 dθ  2  2π dθ   2π 2συν2θdθ   2   2 /2     2 2 2 2

4  2π συν 2θ  συνθdθ  4  2π συν 2θdθ 4  2π 2

π 2 π  2

2

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

91

στ) Δίνουμε μερικές ενδεικτικές αντικαταστάσεις, όταν έχουμε ολοκληρώματα που περιέχουν ριζικά, οι οποίες δεν είναι οπωσδήποτε πάντοτε απαραίτητες.  Το συνηθέστερο είναι να αντικαταστήσουμε το ριζικό με u.

α 2  x 2 χρησιμοποιούμε συνήθως το x  α  ημu , α > 0, ενώ σε ριζικά της α χρησιμοποιούμε συνήθως το x  , α > 0. ημu

 Σε ριζικά της μορφής x 2  α2

μορφής

 Σε ριζικά της μορφής

x 2  α 2 χρησιμοποιούμε συνήθως το x  α  εφu , α > 0.

 Σε ριζικά της μορφής

αx 2  βx  γ χρησιμοποιούμε συνήθως τα:

αx 2  βx  γ  x α  u , α > 0 ή

αx 2  βx  γ  γ  xu , γ > 0 ή

αx 2  βx  γ  α(x  ρ)u , όταν Δ > 0 και ρ ρίζα του τριώνυμου.

1

1

Παρ. 31) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I   21 

2

2 2 (1  x ) 1  x

dx .

Λύση π π 1  1 Θέτουμε x = ημu, με u  ( , ) , οπότε dx = συνudu. Για x   , είναι u   , ενώ για x  είναι 2 2 2 6 2 π

u

π

π

 1 1 2 3 . Έχουμε: I   6π . συνudu   6π du   εφu  6 π  2  (1  ημ 2 u) 1  ημ 2 u  συν u  3 6 6 6 6

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση και αντίστροφη συνάρτηση  Όταν έχουμε μια συνάρτηση f που αντιστρέφεται, αλλά δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της β

αντίστροφης, και μας ζητούν το ολοκλήρωμα I   f 1 (x)dx , τότε θέτουμε συνήθως u  f 1 (x) , α

οπότε x = f(u) και dx  f (u)du .  Όταν έχουμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης f, αλλά δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της f , β

και μας ζητούν το ολοκλήρωμα I   f (x)dx , τότε θέτουμε συνήθως u  f (x) , οπότε x  f 1 (u) και α







dx  f 1 (u) du .

Δίνουμε δυο παραδείγματα.

32) Αν η αντίστροφη της συνάρτησης f :    , με f (x)  x 3  x  1 είναι συνεχής, να υπολογίσετε το 3

I   f 1(x)dx .

1

Λύση Είναι f (x)  3x 2  1  0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα και άρα αντιστρέφεται, με αντίστροφο συνεχή. Θέτουμε u  f 1 (x) , οπότε x  f (u)  u 3  u  1 και dx  f (u)du  (3u 2  1)du . Για x = 1 έχουμε f(u) = 1 ή u 3  u  1  1  u  0 , ενώ για x = 3 έχουμε u 3  u  1  3  u 3  u  2  0  u  1 .

3 1 f (x)dx 1

Είναι I  

1

 3u 4 u 2  3 1 5      .   u  (3u  1)du   (3u  u)du   0 0 2 0 4 2 4  4 1

1

2

.

3



92

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

33) Δίνεται η συνάρτηση f που έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το  , είναι παραγωγίσιμη στο  και ικανοποιεί τη συνθήκη f 3 (x)  2f (x)  3x , για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέ1

φεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να υπολογίσετε το I   f (x)dx .

0

Λύση 3  0 , οπότε η f 3f (x)  2 είναι γνησίως αύξουσα, συνεπώς «1 – 1» και άρα αντιστρέφεται, με αντίστροφη την 1 f 1 (x)  (x 3  2x) , x   .

3

α) Παραγωγίζουμε τα δύο μέλη και έχουμε 3f 2 (x) f (x)  2f (x)  3  f (x) 

1 3

2

1 3

β) Θέτουμε u  f (x) , οπότε x  f 1 (u)  (u 3  2u) και dx  (3u 2  2)du .

1 3 (u  2u)  0  u  0 , ενώ 3

Για x = 0 έχουμε f 1 (u)  0  για x = 1 έχουμε f 1 (u)  1

1 3 (u  2u)  1  u 3  2u  3  0  u  1 .

3

1 Είναι I   f (x)dx   u  (3u 2  2)du  0 0 3 1

1

1

 u4 u2  1 1 7 2u (u  )du        . 0 3  0 4 3 12 3 4 1

3

Ολοκλήρωση άρτιας – περιττής – περιοδικής συνάρτησης 34) α) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, ],   0 .  Αν η f είναι άρτια, τότε ισχύει  Αν η f είναι περιττή, τότε ισχύει

α

α

 α f (x)dx  20 f (x)dx α

 α f (x)dx  0

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική στο  με περίοδο Τ, τότε T

2T

0 f (x)dx  T

ισχύει

f (x)dx

Λύση α) Είναι

α

0

α

α f (x)dx  α f (x)dx  0 f (x)dx . (1)

Επειδή η f είναι άρτια ισχύει

0

0

α f (x)dx  α f (x)dx .

Θέτουμε t = – x, οπότε dt = – dx. Για x = – α έχουμε t = α, ενώ για x = 0 έχουμε t = 0, οπότε 0

0

0

α

α

α f (x)dx  α f (x)dx   α f (t)dt  0 f (t)dt  0 f (x)dx . Η (1) λόγω της (2) γράφεται

α

α

0

α

α

α

α f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  20 f (x)dx .

 Με την ίδια ακριβώς διαδικασία έχουμε α

(2)

α

─∙─ α

α f (x)dx  α f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  0 . π. χ

ex  e x ex  e x , γιατί η είναι περιττή. dx  0 f (x)  1 x 4  4 x4  4 1

─∙─ β) Επειδή η f είναι περιοδική θα ισχύει f(x) = f(x + T) για κάθε x   , οπότε έχουμε

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ T

T

0 f (x)dx  0 f (x  T)dx .

93

(1) Θέτουμε u = x + T, οπότε du = dx.

Για x = 0 είναι u = T, ενώ για x = T είναι u = 2T και η (1) γράφεται T

T

2T

0 f (x)dx  0 f (x  T)dx  T π. χ

2

0

5.4.3

f (u)du  

2T

T

f (x)dx .

4

xdx   xdx  0 .

2

Πως δουλεύουμε στην ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Θυμίζουμε ότι: Ρητή συνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση με τύπο της μορφής f (x) 

P(x) , όπου τα P(x) Q(x)

και Q(x) είναι πολυώνυμα του x.

Στην ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

α) Αν ο αριθμητής P(x) είναι ή μπορεί να γίνει παράγωγος του παρονομαστή Q(x), δηλαδή P(x)  κ  Q(x) τότε:

β

P(x)

β κ  Q(x)

α Q(x) dx  α

Q(x)

β

dx  κ  ln Q(x)  α .

Δίνουμε δυο παραδείγματα.

35) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

1

0

2x  3 dx . x  3x  5 2

Λύση 2 1 1 (x  3x  5) 2x  3 ln x 2  3x  5   ln 3  ln 5 . dx  dx    0 0 x 2  3x  5 0 x 2  3x  5

I

1



2x 3  x dx .

0 x4  x2  1

36) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

1

Λύση I

1

1 1 1 4x 3  2x 1 1 (x 4  x 2  1) 1  dx  dx   ln(x 4  x 2  1)   ln 3 .

2 0 x 4  x 2  1 2 0 x 4  x 2  1 2  0 2

Σχόλιο Ο ίδιος τρόπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και γενικά για το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος, αρκεί ο αριθμητής να είναι ή να μπορεί να γίνει παράγωγος του παρονομαστή. Δίνουμε δυο παραδείγματα. π

37) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I   2 0

3συνx  ημx dx .

3ημx  συνx

Λύση π

I 2 0

π

π

3συνx  ημx (3ημx  συνx) dx   2 dx   ln(3ημx  συνx) 02  ln 3  ln1  ln 3 0 3ημx  συνx 3ημx  συνx 

38) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

e2

e

1 dx . x ln x

94

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Λύση I

e2

e

1 e2 e2 (ln x) e2 1 e2 dx   x dx   dx    ln(ln x)  dx   ln(ln x) e  ln(ln e 2 )  ln(ln e)  ln 2 . e ln x e e x ln x ln x

─∙─

β) Αν ο αριθμητής P(x) μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός του παρονομαστή και της παραγώγου του παρονομαστή, δηλαδή ο αριθμητής να πάρει τη μορφή β P(x) β Q(x) β dx  κ  dx  λ  dx .

P(x)  κ  Q(x)  λQ(x) , τότε  α Q(x) α Q(x) α

Παρ. 39) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I  

1 2(x

0

2

 3x  1) dx . x2  1

Λύση Έχουμε 2(x 2  3x  1)  3(2x)  2(x 2  1)   3(x 2  1)  2(x 2  1) , οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται: I

1 2(x

0

2

 3x  1) dx  x2  1

1 3(x

0

2

1

 1)  2(x 2  1) dx  x2  1

2 1 2(x  1)  1) dx  0 x 2  1 dx  x2  1

1 3(x

0

2

3ln(x 2  1)   2(1  0)  3ln 2  2 .  0

Σχόλιο Ο ίδιος τρόπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και γενικά για το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος. π

Παρ. 40) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I   2 0

3ημx  7συνx dx . ημx  συνx

Λύση Αναζητούμε αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει 3ημx + 7συνx = κ(ημx + συνx) + λ(ημx + συνx)΄ ή 3ημx + 7συνx = κ(ημx + συνx) + λ(συνx – ημx). π Για x = 0 και x = βρίσκουμε: 7 = κ + λ και 3 = κ – λ, οπότε κ = 5 και λ = 2.

2 π π π 3ημx  7συνx 5(ημx  συνx) 2(ημx  συνx) Συνεπώς I   2 dx   2 dx   2 dx  0 ημx  συνx 0 0 ημx  συνx ημx  συνx π 5π 5π .  2 ln ημx  συνx  02  2 2

─∙─

γ) Αν ο αριθμητής P(x) είναι μικρότερου βαθμού από τον παρονομαστή Q(x) και ο παρονομαστής Q(x) έχει μόνο πραγματικές ρίζες, χωρίς να είναι καμία διπλή, αναλύουμε τον παρονομαστή σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων και χωρίζουμε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων, όπως περιγράφουμε στα παρακάτω παραδείγματα.

41) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x) 

x3 2

γράφεται στη μορφή f (x) 

x  7x  10 x3 έπειτα να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   2 dx 0 x  7x  10 1

Λύση Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β τέτοιους, ώστε να ισχύει:

A  και  x 5 x 2

98

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

9x 2  x  4  (2A  )x 3  (2  2    4 )x 2  (  2  4  4 ) x  6  3  4 , οπότε 2     0,  2  2  4    9 ,   2  4  4  1 και 6   3  4  4 . Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε Α = 1, Β = 2, Γ = –2 και Δ = –1.

1 1 1 1 2 2x  1 Έχουμε    dx    dx  2 2 0x2 0 (x  2) 0 2x  2x  3 1

2  1 1 (2x 2  2x  3)  ln x  2  0    dx  2     x  2  0 2 0 2x  2x  3 1

1

1 2  1  2   I  1  ln 2  1 ln 7  1 ln 3 . ln x  2  0     ln 2x  2x  3  0 2 2  x  2 0 2  1

5.4.4

Πως δουλεύουμε στην ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι τύποι που χρησιμοποιούμε πιο συχνά στην ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι: ημx , συνx

συνx , ημx

1  εφ 2 x 

ημ 2 x  συν 2 x  1 ,

εφx 

ημ2x  2ημxσυνx ,

συν2x  συν 2 x  ημ 2 x  2συν 2 x  1  1  2ημ 2 x ,

1  συν2x , ημ x  2

1  συν2x , συν x  2

2

σφx 

x 2 , ημx  2 x 1  εφ 2

x 2. συνx  2 x 1  εφ 2 1  εφ 2

2εφ

2

1 , συν 2 x

Οι συνηθέστερες περιπτώσεις είναι: β

β

α

α

α) Υπολογισμός των ολοκληρωμάτων: I   εφx dx και J   σφx dx . β

β

α

α

   εφxdx  

β (συνx) β (ημx) β β ημx dx    dx    ln συνx  α και J   dx  ln ημx  α . Άρα α συνx α ημx συνx β

α εφx dx    ln συνx

β

 α

και

β

β

α σφx dx  ln ημx

 α

─∙─ β) Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής



 

αριθμός, θέτουμε u  x , ενώ σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής



xdx , όπου κ περιττός θετικός 

 



xdx , κ περιττός θετικός,

θέτουμε u  x και χρησιμοποιούμε τους τύπους  2 x  1   2 x και  2 x  1   2 x . Αν έχουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής



 



x  xdx , όπου ένας

τουλάχιστον από τους κ, λ είναι περιττός θετικός αριθμός, δουλεύουμε όπως προηγουμένως με τον εκθέτη που είναι περιττός. Δίνουμε δύο παραδείγματα. π

50) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   2 συν 5 xdx .

0

Λύση

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

99

Θέτουμε u  ημx , οπότε du  συνxdx .  Για x = 0 είναι u = 0 και για x  είναι u = 1, οπότε 2 π

π

I   2 συν 4 x συνxdx   2 (1  ημ 2 x) 2 συνxdx  0

0

1

0 (1  u

1

2 2

) du   (1  2u 2  u 4 )du  0

1

2 1 8 2 3 1 5   u  3 u  5 u   1  3  5  15 .  0  π

51) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   συν 4 xημ 3 xdx .

0

Λύση Θέτουμε u  συνx , οπότε du   ημxdx . Για x = 0 είναι u = 1 και για x   είναι u = –1, οπότε π

I   συν 4 xημ 2 xημxdx  0

π

0 συν

4

1

x  (1  συν 2 x)  ημxdx    u 4 (1  u 2 )du  1

7  1

 u5 u 1 1 1 1 1 1 1 4 .   (u 4  u 6 )du       (  )  (  )  2(  )  1 7 1 5 7 5 7 5 7 35 5

─∙─ γ) Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής 

 



x  xdx , όπου κ, λ άρτιοι θετικοί

ημ 2 x 

αριθμοί,



 



xdx

ή



 



xdx

ή

χρησιμοποιούμε τους τύπους

1  συν2x 1  συν2x και συν 2 x  .

2 2

Δίνουμε δύο παραδείγματα. π

52) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   ημ 4 xdx .

0

Λύση π π 1  συν2x 2 1 π Έχουμε:    (ημ 2 x) 2 dx   ( ) dx   (1  2συν2x  συν 2 2x)dx  0 0 2 4 0 1 π 1 π 1 π 1 π 1 π 1 π 1  συν4x dx   συν2xdx   συν 2 2xdx   dx   συν2xdx   dx   0 0 0 0 0 4 2 4 4 2 4 0 2    1 3  1   2x  1   4x  .    x    0  (  0)     4 2  2 0 8  4 0 4 8 8

 π

53) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   2 συν 4 xημ 2 xdx .

0

Λύση Έχουμε: I  π

π

π

π

1 2 1 1 1  συν4x 1  συν2x (4ημ 2 xσυν 2 x)συν 2 xdx   2 ημ 2 2 x συν 2 xdx   2  dx   0 0 4 4 4 0 2 2 π

π

1  ημ4x ημ2x  2 1 2 1 2 x   συν4xσυν2xdx . (1) (1  συν4x  συν2x  συν4xσυν2x)dx    16  4 2  0 16 0 16 0 Παρατηρούμε ότι (4x  2x)   (4x  2x)  2 4x 2x  6x   2x  2 4x 2x ,

100

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ π

π

1  ημ4x ημ2x  2 1 2 οπότε η (1) γράφεται    x    (συν6x  συν2x)dx  16  4 2  0 32 0 π

π

 1  ημ4x ημ2x  2 1  ημ6x ημ2x  2 . x         16  4 2  0 32  6 2  0 32

─∙─ 

 

δ) Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής ακέραιος, γράφουμε εφ κ x  εφ κ  2 x  εφ 2 x



xdx ή

ή σφ κ x  σφ κ  2 x  σφ 2 x



 



xdx , όπου κ θετκός

και εφ 2 x  (εφx)  1 ή

σφ 2 x  (σφx)  1 , οπότε καταλήγουμε σε γνωστή μορφή. π 4 0

Παρ. 54) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   εφ 4 xdx . Λύση π

π

I   4 εφ 4 xdx   4 εφ 2 xεφ 2 xdx  0

π 4 0



0

π

π 4 0



εφ 2 x[(εφx)  1]dx  π  εφ3 x  4

π 4 0



π

εφ 2 x(εφx)dx   4 εφ 2 xdx  0

π

1   2 εφ 2 x(εφx)dx   4 [(εφx)  1]dx     εφx  x 04   (1  )   .  0 3 4 4 3  3 0

─∙─ ε) Όταν έχουμε μια παράσταση που περιέχει δυνάμεις των ημx και συνx, χρησιμοποιούμε πολλές φορές, τη μέθοδο της αντικατάστασης με τους τύπους: x x 2εφ 1  εφ 2 x 1 x 2 , 2 ημx  συνx  και (εφ )  (1  εφ 2 ) x x 2 2 2 1  εφ 2 1  εφ 2 2 2 π

Παρ. 55) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα    2 0

dx .

3ημx  4συνx

Λύση x 1 x  , οπότε du  (1  εφ 2 )dx . Για x  0 είναι u  0 , ενώ για x  είναι u  1 και 2 2 2 2 x 1  εφ 2 π 1 1 1 1 2 2   dx    du    du  2 0 0 2u  3u  2 0 (2u  1)(u  2) x 2 x 6εφ  4  4εφ 2 2

Θέτουμε u  εφ

1

2 1 1 1 1 du 1 1 ln 6 1 1  . du     (ln 2u  1  ln u  2 )   ln 3  ln 2   0 0 5 2u  1 5 u  2 5 5 5 5 0 5

─∙─ λ

λ

κ

κ

στ) Για τα ολοκληρώματα της μορφής: I   ημ(αx)  συν(βx) dx , J   ημ(αx)  ημ(βx) dx λ



και    συν(αx)  συν(βx)dx, α,β  , χρησιμοποιούμε τους τύπους: κ

2ημασυνβ  ημ(α  β)  ημ(α  β) ή 2ημαημβ  συν(α  β)  συν(α  β) και 2συνασυνβ  συν(α  β)  συν(α  β) .

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

101

Δίνουμε δύο παραδείγματα. λ

56) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   ημ3xημ7xdx . κ

Λύση I

1 λ 1 λ 2ημ3xημ7xdx   [συν(3x  7x)  συν(3x  7x)]dx   κ 2 2 κ λ

1 λ 1 λ 1 λ 1 λ  1 ημ4x 1 ημ10x  συν(4x)dx   συν10xdx   συν4xdx   συν10xdx       ...  κ κ κ κ 2 2 2 2 4 2 10  κ 2  

57) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I  2 e x  2x3xdx .  Λύση Έχουμε 2ημ2xημ3x = συν(2x – 3x) – συν(2x + 3x) = συνx – συν5x, οπότε το Ι γράφεται: 







I   e x xdx   e x 5xdx . λ

λ

λ

λ

λ

Ι1   e x συνxdx  e x συνx    e x ημxdx  e x συνx  e x ημx    e x συνxdx  κ κ κ κ κ λ λ 1 Ι1  e x συνx  e x ημx   Ι1  Ι1  (e x συνx  e x ημx)  . κ κ 2 λ 1 x e συν5x  5e x ημ5x  , οπότε Ομοίως Ι 2  κ 26 λ λ 1 1 x e συν5x  5e x ημ5x   ... Ι = e x συνx  e x ημx   κ κ 2 26

5.4.5

Λυμένες ασκήσεις π

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) 04 xεφ 2 xdx , γ)

2

0

[ x 2  2x  2 

x(x  1) 2

x  2x  2

δ)

]dx ,



1 4 1 2

β)

e

1 (x

1

2x  1  2x e dx , 2x

2

 3) ln xdx , 1

 6x

ε)

0

2

ln( x 2  1  x)dx ,

Λύση α) Από (εφx)  1  εφ 2 x έχουμε εφ 2 x  (εφx)  1 , οπότε π π 4 x[(εφx)  1]dx  4 x(εφx)dx 0 0

I



π 4 0

 xεφx 

π 4 0



π 4 xdx 0



π 4 0

π 4 εφxdx 0

  xεφx   

π

π

1 4   x2    2 0

π

(συνx) 1 4 1 4  dx   x 2    xεφx  ln συνx  x 2   ... . συνx 2 0  2 0 

─∙─ e 3  x3   e x 1 x3 β) I   (x  3) ln xdx     3x  ln xdx  (  3x) ln x    (  3x) dx  1 3 1 1 x  3 1  3  e

2

e

e

2  x3  e x e3 e3 e3 1 2e3  28 e3  3e    3x    3e   3e   3  .  3e   (  3)dx  1 3 9 9 9 3 3 9 1 3

─∙─

102

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

γ) I  

2

2

0

2

2x  2

0

2

x 2  2x  2dx   x 

0

2 x  2x  2

dx 

2

x 2  2x  2dx 

0

2

x 2  2x  2)dx 

0 x(

2

2

2 x 2  2x  2dx   x x 2  2x  2    x 2  2x  2dx   x x 2  2x  2   2 10 .   0 0   0

─∙─ δ) I   I

1 4 1 2

1  1  2x e

2x 2x

1 1  4 e 2x 1 2

dx  

dx  I  

1 1  4 x(e 2x ) dx 1 2

1 1  4 e 2x 1 2

dx  

 I

1 1  4 e 2x 1 2

1 4 1 2

1

1

1

1

1

 1  2x 1  e dx  I  14 e 2x dx  14 x 2 e 2x dx  2x 2x 2

dx 

1   1 4  xe 2x 



 1



2

2

1 1  4 e 2x dx  1 2

1

  1  4 1 2 1 1  xe 2x   e  e .

2   1 4 2

─∙─ 1

1

1 ε) I  20 (x 3 )  ln( x 2  1  x)dx   2x 3 ln( x 2  1  x)   20 x 3 [ln( x 2  1  x)]dx 



0

x

1

2ln( 2  1)  2  x

3

0

1

2ln( 2  1)  2  x 3 0

( x  1  x) 2

1

1 x 2  1 dx  x2  1  x

dx  2ln( 2  1)  2  x 0 x2  1  x 1 1 1 x dx  2ln( 2  1)  2  x 2 dx  2ln( 2  1)  2  x 2 ( x 2  1)dx  0 2 0 2 x 1 x 1 1

3

1

1

1

2ln( 2  1)   2x 2 x 2  1   4  x x 2  1dx  2ln( 2  1)  2 2  2  (x 2  1) 2 (x 2  1)dx  0 0  0 1

3 4  2 2 4 2ln( 2  1)  2 2   (x 2  1) 2   2ln( 2  1)  .

3 3 0



2. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης

x 2 x t e 0

φ(x)  

x2 xt e 0

 t 2 dt και σ(x)  

 x 2 dt .

Λύση Η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t, οπότε έχουμε:

x 2 x x 2 t 2 x 2 t e  e t  t 2 dt  e x e  t dt και σ(x)  e x  x 2  e dt .

0 0 0 x2 x2 t x 2 t 2  ex e  t dt  e x {e t t 2   2 te dt}  ...  e 2x  2 (2x 2  6x 0 0 0

φ(x)  

 φ(x)









 6)  2e x και

(x)  e 2x  2 (2x 2  6x  6)  2e x x2 t e dt 0

 σ(x)  e x  x 2  

 e x x 2 (e x  2  1) και

σ(x)  e x x 2 (e x  2  1)  2e x x(e x  2  1)  e x x 2 e x  2  e x x(2xe x  2  2e x  2  x  2) . 

3. Δίνεται η συνάρτηση

1  x(ln x  1)  1, x  0 . Να βρεθεί το ολοκλήρωμα I   f (x)dx . f (x)   0 1, x0 

Λύση 1 ln x  lim x  lim(  x)  0 , οπότε Για x > 0 είναι f (x)  x ln x  x  1 και lim(x ln x)  lim x 0 x 0 x 0 1 1 x 0  2 x x lim f (x)  lim(x ln x  x  1)  1  f (0) . Δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0. Επειδή η f είναι συνεχής και για x 0

x 0

κάθε x > 0, είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1], άρα και ολοκληρώσιμη σ’ αυτό.

120

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Για x < 1 είναι f(x) < f(1) = 0, οπότε xf(x)  0 για κάθε x  [0,1] και

1

0 xf (x)dx  0 .

1 1 Είναι όμως, f( ) < 0 ή f( )  0, δηλαδή η συνάρτηση h(x) = xf(x) δεν είναι παντού μηδέν στο 2 2

διάστημα [0, 1].

Άρα

1

0 xf (x)dx  0 .

γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = xf(x), η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0, 1] και h(0) = h(1) = 0. Ισχύει επομένως το θεώρημα Rolle για την h στο [0, 1], οπότε υπάρχει ξ στο (0, 1), για το οποίο f (ξ) ισχύει: h (ξ)  0 ή ξf (ξ)  f (ξ)  0 ή f (ξ)   . ξ

5.4.6

Ασκήσεις

Υπολογισμός ολοκληρώματος γνωστής συνάρτησης Ολοκλήρωση κατά παράγοντες (1, 2, 3, 4)

1. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 1

α) 0 e x (2x  1)dx , ε)

β)

(2x  3)e x dx , (2x  5) 2

β

α

1

0

xe  x dx , (Σχολ.)

στ)

1 x2 e 0



γ)

 2 e x  2xdx , 0





ln x dx , (Σχολ.) x

α)

1

ε)

 x ln(9  x

1

0

2

β

στ)



2

1

 4 0

γ) 

β) α συνx  ln(1  συνx)dx ,

)dx , (Σχολ.)

η)  4

0

2. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: e2



ζ)  2 xe x  2xdx ,

 3x dx ,

ζ)

(x 3  1) ln x 2 dx ,

δ)

(Σχολ.)

0

ln(x) dx ,  2 x



e

1





e 2x e x dx ,

1  2xx 2x e dx .

2 2 x



δ) η) 

ln 3 xdx ,



3

1





x 2 ln 3xdx ,

ln(x  1) dx . (x  1)3

3. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α)

π 5 3xσυν5xdx 0



2x  1   2 x dx , 

, β)

e

1

1

0

4.Να

υπολογίσετε τα: α)

γ)



στ)  ln 2x  ln 2 xdx , ζ)  ln(x  1  x 2 )dx , η) 1

0 F(x)dx ,

β)

 6 x2 xdx 0 1

0  3 

x4  1 

1

0 G(x)dx ,

x3





δ)

,

x2  4

eπ

dx , ε)  συν(ln x)dx , 1

 dx . x4  1  2

γ)

0



H(x)dx , αν είναι γνωστό ότι

1 , H(x)  ημx 2 και F(1)  G(1)  H( π )  0 2 1 x 0 1 ln tdt 2 xdx 5. Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim t xe x dx , β) lim  , γ) lim  . x t t  x 0 t 1 t x 1   ln(x  e), x  [0, 2 ) 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)   .   ex , x  [ , ]  2 2

F(x)  e  x , G (x) 

α) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την f (x) .



β) Να υπολογίσετε το    f (x)xdx .

0

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση (5)

7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 6

α)  x x  3dx , 1

β) 

1

0

xdx , x 2

γ) 

84

3

3x  8dx ,

1

δ) 0

xdx , x4 x

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

xdx , x2

6

ε) 

3

στ) 

4

1

10

0

3

θ)  x 4 x  2dx , ι) 

8.

15 x  1  4 x  1 x2 , ζ) dx 0 4 x  1 dx , (2x  1) 2 2x  1

x2  1 dx , ια) 3 x2

1





x

x

e e γ)  dx , 1 x 4  1



 5 3  x  1  5 x 6 2

ια) 

0

2x

 2   2

η) 

dx ,

20

1

dx , 2 x7 3

2

xx 2 xdx ,  4 0

1 e δ)  dx ,  1  e 2x 

η) 

e 1 2 x3  1 1 dx  4 dx , ιβ)  x ln(x 2  3)dx . , ιγ)  3 0 1 2 x x x x 1

2

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α)  1

ζ)

12

121

 2  4

β)   xdx , ν περιττός.

0

 2 0

στ) 

ε)   xdx    xdx , 5

 6   6

 2x  x dx , e 2x  1

3

x 4 3x dx , 4x  1

θ) 

ι)



x dx , x  x

3 1 x 1 5  1 x

dx,   0 ,



2 2 x  x ln(x  1) 2 , ιβ) dx 0 2  x  x dx . ln(3  2x  x 2 )

π Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού x = ημθ, θ  (0, ) να υπολογίσετε, συναρτήσει του θ, το 2 π 4 ln x ολοκλήρωμα : I   dx , x  (0, 1) . π6 2 x 1  x2

9.

Ρητές συναρτήσεις ή μορφή ρητών (6, 7, 8 , 9, 10) 3

10. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) 2 3

4

dx ,

5x  5 1 14 δ)  2 dx , 0 (x  x  6)(x  4)

2

x  2x  2x  11 dx , x 2  4x  3

5

γ) 

3 2

3x  5 dx , x  4x  3 3 x4 ε)  dx .

2 (x  1)(x  2)

β) 

5

4

2

11. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 2x  5 dx , 0 x 2  5x  8

α)  ε) 

1

2 6x

2

 4x  1 dx , 2 x (2x  1) 2

1

2x  3 dx , 0 x 2  3x  4

γ) 

x 2  2x  5 dx , 0 (x  1) 2 (x  3) 2

ζ) 8

β)  στ) 

x dx , 0 (2x  3) 4

1

1

1

1

0

δ) 

2

1

x2  x  1 dx , x 2 (x  1)

2 1 x 1 dx , η)  dx , 2 2 1 (x  1) (x  3) x(x 4  1)

─∙─

12.

u 1 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   du και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα: 0 (u  1)(u  2) 1

1 (e x  1)e x (x  1)x dx . dx και I 2   x 0 (e  1)(e x  2) 0 (x  1)(x  2)

I1  

1

13. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: e3x dx , ex  2

1 ex  4 dx δ) 1 x . dx , 0 e 2x  4e x  3 α 0 (e  1)(x 2  9) 1    14. α) Να υπολογίσετε τα , ,    , ώστε: .    2 x(x  1) x x  1 x  1  x ln x β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I()   2 dx με   [2,  ) . γ) Βρείτε το lim I() .

2 (x  1) 2 

α) 

π

2ημxσυνx dx , 2  συνx

β) 

β

γ) 

1

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (11, 12, 13) β

15. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) α (3x 2  1)συν(x 3  x  3)dx , 

β) 02 3 xdx ,



γ)  2  2 x3 xdx , 0

δ)



 3 x 2  1  x 3

dx ,

ε)



 x  x 2  1  2xx 4

dx ,

122

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 

2

στ)  x xxdx ,



0 xxxdx ,

ζ)

0

16. Δίνονται τα ολοκληρώματα

η) 

2 3  3

 1   2x 4 0 1   2x

x dx , x

θ) 

x

x

0

0

e 2x dx .

F(x)   e t  2 tdt και G(x)   e t  2 tdt , x   .

i) Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα F(x)  G(x) και F(x)  G(x) και στη συνέχεια, τα F(x) και 2

2

0

0

G(x) . ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I   e t  2 tdt και J   e t  2 tdt .

Αναγωγικοί τύποι 17. α)

(14, 15, 16, 17, 18) 1

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν  2 ισχύει     x  ex dx  0

β) Να υπολογίσετε το Ι 3 , όταν α = 1.

18. α) Αν

(Σχολ.)

1   e   1 ,   0 .  

1 1 I   x  e  x dx ,   * , να υπολογίσετε το 1 . β) Να δειχθεί ότι  1    (  1)  , για 0 e 1

κάθε   * και να βρείτε τα  2 και 3 . γ) Να βρείτε το I   ( x 3  2x 2  x)e  x dx .

0



19. Να

αποδείξετε ότι, για κάθε φυσικό αριθμό ν > 2 ισχύει :     x  xdx     (  1)  2 .

20. Αν

I   4  xdx ,   * , τότε , α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε   2 ισχύει:   

0



0

β) Να υπολογίσετε το  5 .

1    2 .  1

21. Να βρείτε αναγωγικό τύπο για τα: ολοκληρώματα: α)  ν  

22. Αν

π ν 2 π σφ xdx, 4

  

x

1

0

ν   ,

3 x

2

23. Να αποδείξετε ότι 24. Αν 25.

I  

β)  ν  

e ln

1

ν

x

2

x

dx, ν   .

dx , να δειχθεί ότι για κάθε φυσικό ν, με ν > 2 ισχύει I  Ιν  

β

α

β

β ν 1 x  x ν ex  x ν ex  dx      α x e dx, ν    {1} .

2 x  ν (x  ν)  α



 2x    x  x  dx 2  , τότε να αποδείξετε ότι:        1 ,   * .   (2   1)  2   1    x   







Αν I   ( 2  x 2 ) dx , τότε να αποδείξετε ότι:     2 

ότι:     2 1 

2 3(  1)    2 .  

0

2  4  (2  2)  2 .

3  5  (2  1)  (2  1)

2   1 ,   *  {1} και κατόπιν 2  1

Υπολογισμός ολοκληρώματος άγνωστης συνάρτησης 2

(19, 20) 2

26. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f και 0 f (x)dx  1 . Να υπολογιστεί το 0

f (x)dx , αν:

α) η f είναι περιττή, β) η f είναι άρτια.

27. Έστω μια συνάρτηση f και

f (x  y)  f (x)  f (y)  6xy για κάθε x, y   . (1) α) Αν η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο  . β) Να βρείτε την τιμή του 1

ολοκληρώματος I   f (x)dx . γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (0)  12 , να βρεθεί η f. 1

28. Έστω μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο x   . Να αποδείξετε ότι

29. Για τη συνεχή στο

 , με f(2) = 2 και f (4  x)  f (x) για κάθε

4

0 f (x)dx  8 .

 συνάρτηση f ισχύει f (α  x)  f (α  x)  2β , για κάθε x   όπου α,β   .

5.5

Εμβαδόν επίπεδου χωρίου

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x = α και x = β και τον άξονα x΄x είναι:

Ω

β

E( )   f (x)dx  0 . α

Παρ. 1) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f (x)  2x  1 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 , x  1 είναι ίσο με

1

0 (2x  1)dx   x

2

1

 x   2 τετραγωνικές μονάδες.

0

 Το εμβαδόν ενός επιπέδου χωρίου υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πρόσημο των τιμών της συνάρβ

τησης. Αν f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι E()   f (x)dx , ενώ, αν α

β

f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι E()    f (x)dx . α

Γενικά:

Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α, x = β, με α < β δίνεται από τον τύπο β

E( )   f (x) dx α

Παρ. 2) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  3x 2  1  0 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 , x  2 είναι: 2

2

2

2

E()   f (x) dx   f (x)dx   (3x 2  1)dx   x 3  x   10 τετρ. μονάδες, αλλά και το εμβαδόν του 0 0 0 0

χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  3x 2  1  0 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 , x  2 είναι: 2

2

2

2

E()   f (x) dx   (f (x))dx   (3x 2  1)dx   x 3  x   10 τετρ. μονάδες.

0 0 0 0

 Έστω δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α,β] με f (x)  g(x)  0 για κάθε x  [α,β] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x  α και x  β . Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του Ω βρίσκεται, αν από το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x  α , x  β και τον άξονα x΄x, αφαιρέσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τις ευθείες x  α , x  β και τον άξονα x΄x. Είναι δηλαδή: E() 

β

β

y

Cf

Ω Cg

β

α f (x)dx  α g(x)dx  α (f (x)  g(x))dx β

Ο τύπος E()   (f (x)  g(x))dx είδαμε προηγουμένως ότι ισχύει εφόσον f (x)  g(x)  0 , για α

κάθε x  [α,β] . Δηλαδή, όταν η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g και οι συναρτήσεις f, g παίρνουν μη αρνητικές τιμές για κάθε x  [α,β] .  Το εμβαδόν όμως, ενός επιπέδου χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πρόσημο των τιμών των συναρτήσεων, αλλά και ποια είναι πάνω από

132

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

την άλλη. Γενικά: Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων f, g και τις ευθείες x = α, x = β, με α < β δίνεται από τον τύπο β

E( )   f (x)  g(x) dx α

Παρ. 3) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)  3x 2  x  2 , g(x)  x  1 και τις ευθείες x  2 και x  1 είναι: 1

E()   f (x)  g(x) dx  2

1

2 (3x

2

1

 1)dx   x 3  x 

2

1

2 (3x

2

 x  2)  (x  1) dx 

1

2 3x

2

 1 dx 

 (1  1)  (8  2)  12 τετρ. μον.

Σχόλιο Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι το αποτέλεσμα που θα βρίσκουμε για το εμβαδόν πρέπει να είναι οπωσδήποτε θετικός αριθμός. Σε περίπτωση αρνητικού αποτελέσματος σημαίνει ότι έχουμε κάνει λάθος.

5.5.1

Πως βρίσκουμε το εμβαδόν χωρίου στις διάφορες περιπτώσεις

1.

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός χωρίου, θα πρέπει πρώτα να το ορίσουμε προσεκτικά. Χοντρικά ένα χωρίο ορίζεται από 4 γραμμές. Τις πάνω και κάτω, τις αριστερά και δεξιά.  Οι πάνω και κάτω είναι δυο γραμμές y1 , y 2 , από τις οποίες η μία είναι συνήθως η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, ενώ η άλλη μπορεί να είναι η γραφική παράσταση μιας δεύτερης συνάρτησης ή μια ευθεία ή ο άξονας των x.  Οι αριστερά και δεξιά είναι πάντοτε δυο ευθείες κατακόρυφες x  α και x  β . 

 Το εμβαδόν του χωρίου δίνεται τότε από το ολοκλήρωμα E   y 1  y 2 dx . 

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

α) Μας έχουν δώσει τις ευθείες x   & x   Για το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  α και x  β , α < β, έχουμε y1  f (x) και y 2  0 , ενώ για το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x  α και x  β έχουμε y1  f (x) και y 2  g(x) . Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

4) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  2x  3 , τις ευθείες x  0 , x  2 και τον άξονα x΄x.

(Σχολ.)

Λύση 

Εδώ έχουμε y1  f (x) , y 2  0 ,   0 και   2 , οπότε E   y1  y 2 dx  

2

0

x 2  2x  3 dx .

Βρίσκουμε το πρόσημο της παράστασης x 2  2x  3 στο διάστημα [0, 2]. Για το τριώνυμο x 2  2x  3 έχουμε   8  0 , οπότε x 2  2x  3  0 για κάθε x   .

2

2

0

0

Έτσι έχουμε:    x 2  2x  3 dx   (x 2  2x  3)dx 

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

133

2

 x3  8 14 2 τετρ. μον.   x  3x    4  6  3 3 0 3 

5) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  x , τους άξονες x΄x , y΄y και την ευθεία x  2 .

Λύση 

Εδώ έχουμε y1  f (x) , y 2  0 ,   0 και   2 , οπότε E   y1  y 2 dx  

2

0

x 2  x dx .

Βρίσκουμε το πρόσημο της παράστασης x 2  x στο διάστημα [0, 2]. Οι ρίζες της x 2  x  0 είναι 0 και 1. Έχουμε x 2  x  0 για κάθε x  (,0]  [1,  ) και x 2  x  0 για κάθε x  [0,1] . Επομένως x 2  x  0 για x  [0,1] και x 2  x  0 για x  [1, 2] .

2

1

0

0

2

1

2

Έτσι έχουμε: E   x 2  x dx   x 2  x dx   x 2  x dx    (x 2  x)dx   (x 2  x)dx  1

1

0

1

2

 x3 x 2   x3 x 2  1 1 8 4 1 1          (  )  [(  )  (  )]  1 τετρ. μον.

2 0  3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 

6) Να υπολογίσετε το εμβαδόν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  x  2 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  2 , x  3 .

Λύση 3

3

2

2

Είναι E()   f (x) dx   x 2  x  2 dx . Βρίσκουμε το πρόσημο της f(x) = x 2  x  2  (x  2)(x  1) . Παρατηρούμε ότι για x  (, 1]  [2,  ) είναι f (x)  0 , ενώ για x  [1, 2] είναι f (x)  0 . 1

2

3

2

1

2

Επομένως E()   f (x)dx   [ f (x)]dx   f (x)dx ή 1

2

3

E()   (x 2  x  2)dx   (x  2  x 2 )]dx   (x 2  x  2)dx  2

3

1

1

2

2

2

3 2

3

3

2

x   x  x x x x 11 9 11 49  2x    2x       2x   τ. μ.      3 2 2 3 3 2 6   2   1  2 6 2 6 

7) Να υπολογίσετε το εμβαδόν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση  x 2  3, x  1 της συνάρτησης f (x)   , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  1 , x  2 . (Σχολ.) x 1  2 x ,

Λύση Παρατηρούμε ότι για x  1 η συνάρτηση είναι συνεχής. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο x  1 . Έχουμε: lim f (x)  lim(  x 2  3)  2 , lim f (x)  lim 2 x  2  f (1) , οπότε η f είναι συνεχής στο 1. x 1

x 1

x 1

x 1

Επομένως η f είναι συνεχής.

2

Είναι E()   f (x) dx . Επειδή στο 1 αλλάζει ο κλάδος έχουμε: 1

1

2

E()   f (x) dx   f (x) dx  1

1

1

1  x

2

2

 3 dx   2 x dx .

1

2

Βρίσκουμε το πρόσημο της παράστασης  x  3 στο διάστημα [1,1] . Οι ρίζες της  x 2  3  0 είναι  3 και

3.

134

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Έχουμε  x 2  3  0 για κάθε x  (,  3]  [ 3,  ) και  x 2  3  0 για κάθε x  [ 3, 3] . Επειδή [1,1]  [ 3, 3] , για κάθε x  [ 3, 3] είναι  x 2  3  0 . Βρίσκουμε το πρόσημο της παράστασης 2 x στο διάστημα [1, 2] . Είναι γνωστό ότι 2 x  0 .

1

2

1

2

1

Συνεπώς ()   ( x 2  3)dx   2 xdx   ( x 2  3)dx   2x 2 dx  1

1

1

1

2 4 3   x2 

 x3     3x    3  1  3

1

3

8 2 4(3  2 2) 1 1 4 4 τ. μ.   (  3)  (  3)  2 2   4  3 3 3 3 3 3  1 

9) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)  x 2  1 , g(x)  x και τις ευθείες x  0 , x  1 .

Λύση Εδώ έχουμε y1  f (x) , y 2  g(x) ,   0 και   1 , οπότε 

E   y1  y 2 dx  

1

2

0 f (x)  g(x) dx  0

y  x2  1

x 2  1  x dx .

Παρατηρούμε ότι x 2  x  1  0 για κάθε x   .

yx

1

 x3 x2  5 Συνεπώς E()   (x  1  x)dx    x    τ. μ.

0 2 0 6 3 1

2



10) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)  x 3 , g(x)  x και τις ευθείες x  2 , x  1 .

(Σχολ.)

Λύση Έχουμε y1  y 2  f (x)  g(x)  x 3  x  x(x  1)(x  1) ,   2 και   1 .

1

Το εμβαδόν είναι E   x 3  x dx 2

Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της παραπάνω διαφοράς. Οι ρίζες είναι οι 0, –1, 1. Ισχύει: x 3  x  0 για x  [1,0]  [1,  ) και x -2 -1 0 3 – 0 + 0 f (x)  g(x) x  x  0 για x  [2,  1]  [0,1] , όπως φαίνεται στον πίνακα, οπότε E

1

2

1

0

1

2

1

0

–

1 0

x 3  x dx   [(x 3  x)]dx   (x 3  x)dx   [(x 3  x)]dx = 1

0

1

 x2 x4   x4 x2   x2 x4  11     (x  x )dx  (x  x)dx  (x  x )dx          . 2 1 0 4  2  4 2  1  2 4 0 4  2 1

3

0

3

1

3

β) Δεν μας έχουν δώσει μία τουλάχιστον από τις ευθείες x  & x  Από τις ευθείες x  α και x  β μπορεί να έχουν δοθεί και οι δύο ή μία μόνο ή καμία.  Στις περιπτώσεις που κάποια από τις δύο ή και οι δύο δεν έχουν δοθεί, είμαστε υποχρεωμένοι να τις βρούμε, για να μπορέσουμε να ορίσουμε τα όρια του ολοκληρώματος.  Τα α, β είναι τότε η μικρότερη και μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης y1  y 2  0 . Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

138

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

1 1 1 x  [ ,1] , έχουμε ln 2  ln  0 ή ln 2  ln  0 και 2 x x για x  [1, 2] , ln x  0 και 0  ln x  ln 2 ή ln 2  ln x  0 .

1 2 1 2 1 1 Άρα E  1 (ln 2  ln )dx   (ln 2  ln x)dx  ln 2  1 ln xdx  ln 2   ln xdx  1 1 x 2 2 2

 x ln x  x 11   x ln x  x 12  2

3 1 1 3 1 ln 2  ( ln 2  )  (2ln 2  1)  ln 2  τ. μ.

2 2 2 2 2 

18) α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x , τον άξονα x΄x και την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (1, 1). β) Να βρείτε την ευθεία x  α που χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία. (Σχολ.)

Λύση 1 . Η εξίσωση της εφαπτομένης 2 2 x 1 1 1 είναι y  1  (x  1)  y  x  .

2 2 2 Η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα των x στο (1,0) . Το ζητούμενο χωρίο είναι το μεικτόγραμμο ΒΟΑ και βρίσκεται αν από το τρίγωνο ΑΒΓ αφαιρέσουμε το μεικτόγραμμο ΟΑΓ.

α) f (x) 

1

 f (1) 

1

2 3  1 1 2 1 Έχουμε   ()( )   xdx  1   x 2   1   τ. μ.

0 2 3 3  3 

y A

1 –1

Γ

O

B

x

1

0

β) Πρέπει να εξετάσουμε αν υπάρχει ευθεία x  α με α  0 και κατόπιν με α  0 . Έστω ότι α  0 .Τότε

1 1 E 1 1 ( 2 x  2 )dx  2  6  α

α

 x2 x  1 α2 α 1 1 1           4 2 4 2 6  4 2  1 6

3  6 3  6 . Από αυτές δεκτή είναι η α  .

3 3 0 x α 1 1 Για α  0 έχουμε  (  )dx   (y f(x)) dx  . Αυτό όμως δεν γίνεται, γιατί 1 2 0 2 6 3α 2  6α  1  0  α 

0

 x2 x  1 1 1 1 1 1 3  6 ( x  ) dx  .         . Άρα α  1 2 2 4 2 4 6 3  4 2  1 0



19) Δίνεται η συνάρτηση f (x)  ημx . α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία (0,0) και (π,0) . β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική (Σχολ.)

παράσταση της f και τις εφαπτόμενες ατς σημεία Ο και Α.

Λύση α) Είναι f (x)  συνx , f (0)  1, f (π)  1 , οπότε οι εξισώσεις των

y

εφαπτομένων είναι ΟΒ: y  x και ΑΒ: y   x  π .

β) Οι δυο ευθείες τέμνονται όταν x   x  π  x  π 2 (x 0

Επομένως το εμβαδόν είναι    π/2

 ημx)dx  

π .

2

π π ( x 2

π

Α O

 π  ημx)dx 

 x2   x2  π2 π2 π2 π2 π2  8 2  συνx    πx  συνx  τ. μ.  1   π  1        8 2 8 2 4 2 0  2  π/2 

Β

π/2

π

x

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

5.5.2

139

Λυμένες ασκήσεις

 x 2 , x3 1  x  3 1. Έστω η συνάρτηση f (x)  1  e . α) Να δείξετε ότι, αν η f είναι συνεχής, τότε    .

9 , x 3   x 3 β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο A(4,f (4)) . γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον x΄x και τις ευθείες x  1 και x  2 . (Θ)

Λύση α) Για x  3 ή x  3 είναι προφανώς συνεχής.

1 1  e x 3 e x 3  lim  1 , οπότε α   .  x 3  1 9 x 3 x 3

Πρέπει lim f (x)  lim f (x)  f (3) ή 9α  lim x 3

x 3

e x 3 (x  3)  (1  e x 3 )

e  (1  e)  1 .

1 (x  3) Άρα y  f (4)  f (4)(x  4) ή y  1  e  1(x  4) ή y   x  5  e .

β) Για x  3 είναι f (x) 

2

γ) E   f (x) dx   1

2

1

2

και f (4) 

2

1 1  x3  7  x 2 dx     τ.μ.

9 9  3 1 27



ln x , x  0 . Να βρείτε: α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f.

2 x β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τον Οx, και τις ευθείες x  1 και x  4 .

2. Έστω

f (x)  x 

Λύση 2x  2  ln x 1 . Θεωρούμε τη g(x)  2x  2  ln x , x > 0, με g(x)  2   0 για κάθε x 4x x x > 0. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή g(1) = 0 και η g είναι γνησίως αύξουσα, το x = 1 είναι μοναδική ρίζα, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, 1] και γνησίως αύξουσα στο [1,  ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο 1 το f (1)  1 . β) Είναι 1  x  4  1  f (x)  f (4)  f (x)  0 , για κάθε x  [1, 4] , οπότε

α) Έχουμε f (x) 

4

E ( x 1

1

4 4 4 4 4 ln x 20 2 )dx   x 2 dx   ( x ) ln xdx   x 3    x ln x    2 x    4ln 2 τ.μ.   1 1 1 1   3 3 1 2 x



ln(x  α) , α   . α) Να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να μελετήσετε xα την f για α = 1. γ) Να βρείτε την παράγωγο της g με g(x)  ln 2 (x  α) . δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται μεταξύ της γραφικής παράστασης C της f , τον άξονα x΄x και των ευθειών

3. Έστω η συνάρτηση f με

f (x) 

x    1 και x    4 . ε) Να προσδιορίσετε το μ ώστε να είναι

α μ

α1 f (x)dx  2 , μ > 1.

Λύση 1  ln(x  α) . f (x)  0  1  ln(x  α)  0  ln(x  α)  ln e  x  α  e . (x  α) 2 Για x  (α, α  e] είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για x  [ α  e, ) είναι γνησίως φθίνουσα.

1 Συνεπώς, για x = α + e παρουσιάζει μέγιστο, το f (α  e)  . e

α) Είναι f (x) 

140

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

ln(x  1) 1  ln(x  1) 2ln(x  1)  3 , x  1 , f (x)  , f (x)  .

2 x 1 (x  1) (x  1)3 f (x)  0  x  1  e , οπότε για x  (1,1  e] είναι γνησίως 1 e e 1 1+e αύξουσα, ενώ για x  [1  e, ) είναι γνησίως φθίνουσα. + f (x) − − Άρα για x  1  e παρουσιάζει μέγιστο, το f (1  e)  1 / e . + f (x) − − 3  f (x)  0  2ln(x  1)  3  0  ln(x  1)   1 3 2 f (x) e 2e3 3

β) Για α  1 έχουμε: f (x) 

  Τ. Μ

x  1  e 2  x  1  e e , οπότε για x  (1,1  e e] είναι

κοίλη , ενώ για x  [1  e e, ) είναι κυρτή. και για x = 1 3 + e e παρουσιάζει σημείο καμπής, το f (1  e e)  3 .

2e ln(x  1)   , άρα η x  1 είναι  Είναι: lim f (x)  lim x 1 x 1 x  1 κατακόρυφη ασύμπτωτη και ln(x  1) 1 lim f (x)  lim  lim  0 , οπότε η y  0 x  x  x  1 x  x  1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο  .

Σ. Κ

ε

0

y

O

1

2

1 e

1 e e

x

1  2f (x) . xα δ) α  1  x  α  4  1  x  α  4  ln(x  α)  0 και x  α  0 , οπότε f (x)  0 . α4 α4 1 α4 1 1 Άρα E   f (x)dx   g(x)dx  (ln(x  α)) 2   ln 2 4  2ln 2 2 . α 1 α 1 2 α 1 2 2 α  μ α μ 1 1 ε)  f (x)dx  2  ln 2 (x  α)   2  ln 2 μ  2  ln 2 μ  4  ln μ  2  ln μ  2 , α 1 α 1 2 2 2 γιατί μ  1 . Άρα μ  e .

γ) g(x)  2ln(x  α)



4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

λx

f (x)  e , λ  0 . α) Δείξτε ότι, η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Δείξτε ότι, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y  λex .Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ) Δείξτε ότι το εμβαδόν E(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφα-

πτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y΄y, είναι E(λ) 

λ2(λ) e2 . δ) Υπολογίστε το lim . (Θ) λ  2  ημλ 2λ

Λύση α) f (x)  λe λx  0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω y  f (x 0 )  f (x 0 )(x  x 0 ) (1), η εξίσωση της εφαπτομένης που διέρχεται από το (0,0) . Τότε 0  f (x 0 )  f (x 0 )(0  x 0 ) ή e λx 0   λe λx 0 x 0  x 0 

1 , οπότε η (1) γράφεται: λ

1 1 1 1 1 y  f ( )  f ( )(x  ) ή y  e  λe(x  )  y  λex και το σημείο επαφής είναι το A( ,e) . λ λ λ λ λ 2 λx  γ) Είναι f (x)  λ e  0 , άρα η f είναι κυρτή. Συνεπώς η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.

1 λ (e λx 0

Έχουμε E(λ)  

1

λe  λ 1 e 1 2e  e  2 e  2 1  λex)dx   e λx  x 2   e  .    λ 2 2λ λ 2λ 2λ  0 λ

λ2 (λ) λ(e  2) e2  lim  lim . ημλ λ  2  ημλ λ  4  2ημλ λ  4 2 λ λ

δ) lim

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

141

ημλ  4  2ημλ λ2 (λ) 4  0 Είναι: lim (e  2)  e  2  0 , lim   2 και . Άρα  0 lim   .  λ  λ   λ λ  2  ημλ λ  λ 

5.

Οι συναρτήσεις f, g είναι 2 φορές παραγωγίσιμες στο  και ικανοποιούν τις σχέσεις: f (1)  g(1) , f (2)  g(2) και. f (x)  g(x)  4 , για κάθε x   . (1) i) Να βρείτε τη συνάρτηση t(x)  f (x)  g(x) , x   . ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g.

Λύση i) Είναι t (x)  f (x)  g(x)  4 , οπότε t (x)  4x  c1 . Επειδή t (1)  f (1)  g(1)  0 , είναι c1  4 . Συνεπώς, t (x)  4x  4 και t(x)  2x 2  4x  c . Από f (2)  g(2) έχουμε t(2) = 0, οπότε c = 0 και άρα t(x)  2x 2  4x .

ii) Έχουμε f (x)  g(x)  t(x)  2x 2  4x  2x(x  2) .

2

2

0

0

2

2

0

0

Επομένως E   f (x)  g(x) dx   t(x) dx   2x 2  4x dx    (2x 2  4x)dx  

8 τ. μ.

3

 f (x)  x 3  3x  2 2  , όπου   μια σταθερά με     ,    .

2 α) Να αποδειχθεί ότι, η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι, η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. γ) Αν x1 , x 2, x 3 είναι αντίστοιχα οι θέσεις του τοπικού μέγιστου, του τοπικού ελάχιστου και του

6. Δίνεται η συνάρτηση

σημείου καμπής, να αποδειχθεί ότι, τα σημεία A(x1 , f (x1 )) , B(x 2 , f (x 2 )) και (x 3 , f (x 3 )) βρίσκονται στην ευθεία

y  2x  2 2  . δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f και την ευθεία y  2x  2 2  .

(Θ)

Λύση α) Είναι f (x)  3(x 2  1)  3(x  1)(x  1) και f (x)  6x . Στο διάστημα [- 1, 1] η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στα (,  1] και [1, ) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε στο x1  1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, το f (1)  2  2 2  , ενώ στο x 2  1 τοπικό ελάχιστο, το f (1)  2  2 2  . Στο διάστημα (, 0] η f στρέφει τα κοίλα κάτω, ενώ στο [0, ) στρέφει τα κοίλα άνω, οπότε στο x 3  0 παρουσιάζει σημείο καμπής, με f (0)  2 2  .

β) Για x  (,  1] έχουμε: f (x)  ( lim f (x), f ( 1)]  (, 2  2 2] . x 

2

Επειδή 2  2   0 , το 0 περιέχεται στο διάστημα (, 2  2 2 ] , οπότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία ακριβώς λύση στο (,  1] . Για x  [1,1] έχουμε: f (x)  [f (1), f ( 1)]  [2  2 2, 2  2 2] . Το 0 περιέχεται στο διάστημα [2  2 2 , 2  2 2 ] , οπότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία ακριβώς λύση στο [1,1] . Για x  [1, ) : έχουμε f (x)  [f (1), lim f (x))  [  2  2 2 , ) . x 

2

Επειδή 2  2   0 , το 0 περιέχεται στο διάστημα [ 2  2 2 , ) , οπότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία ακριβώς λύση στο [1, ) .Άρα η εξίσωση f(x) = 0 έχει τρεις ακριβώς ρίζες. γ) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων A, Β, Γ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας y  2x  2 2  .

δ) Είναι f (x)  y  x 3  3x  2 2  2x  2 2  x 3  x .

142

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Για x  [1, 0] είναι f (x)  y  x 3  x  0 , ενώ για x  [0,1] είναι f (x)  y  x 3  x  0 .

1

0

1

1

1

Επομένως E   f (x)  y dx   f (x)  y dx   f (x)  y dx  0

0

1 (x

3

1

 x)dx   (x 3  x)dx  0



7. Έστω η συνάρτηση f

1 τ.μ.

2

ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0, ) και F παράγουσα της f, για την οποία

ισχύει F(x)  (x  )f ( x ) , για κάθε x,  (0, ) . (1) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(1, 3) είναι κάθετη στην ευθεία x + 4y = 8, τότε: α) Να βρείτε την f. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον x΄x, τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες x = 1 και x = 2.

Λύση α) Παραγωγίζουμε την (1) ως προς x και έχουμε:

 , για κάθε x,  (0, ) . (2) 2 x 1 1 1 1 x2 1 1 1 x )  (x  )f ( x ) x  f (1)  f (1) Η (2) για   γράφεται f (x)  f ( . x x x x 2x x 1 2 x x x2 1 1 2(x 2  1) 2 f (x)  3  4  3  5  2 , x > 0. (3) 2 x 2x x x f (x)  f ( x )  (x  )f ( x )

2 2  2  5  2  3 , οπότε f(x) > 0 και άρα 2 x x

β) Για x > 1 είναι x 2  1  2

E   (5  1

2  )dx  5x  2 x 

2

2  10  1  5  2  4 τ. μ. x  1 

8. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τους άξονες και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f (x) 

 x2 2 0



x΄x και y΄y την ευθεία x = 1, t

(x  t) 2   2 t

dt , x   .

Λύση 

α) f (x)  x 2  2 0



x2  2 0



t 2

2

(x  t)   t π

t x 2  2xt  1

dt  x  2 0

t

dt  x 2  2 0

2

x  2xt   2 t   2 t π

2xσυνt 2 x 2  2xημt  1

dt  x  2 0

(x 2  2xημt  1) 2 x 2  2xημt  1

dt  dt 

π

x  x 2  2xημt  1  2  x x 2  2x  1  x x 2  1  x x  1  x x 2  1 .   0

Άρα f (x)  x x  1  x x 2  1 , x   . Παρατηρούμε ότι, η f είναι συνεχής στο  . Ακόμη, για κάθε x  0 ισχύει: x 2  2x  1  x 2  1  x  1  x 2  1 , οπότε για κάθε x  0 ισχύει f(x)  0.

1

1

0

0

Έχουμε E   f (x)dx   [x x  1  x x 2  1]dx 

1

0 (x

1

2

 x)dx 

1 3  x3 x 2  1 1 2 2 1 74 2 1 2 2 2  τ. μ.       (x  1)    3 3 6 2  0 2  3  0 3 2 3



1 1 2 (x  1) x 2  1dx  2 0

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

143

9.

Έστω η συνάρτηση f (x)  (x  1)(x  3) . i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της f στα σημεία Α, Β, στα οποία η Cf τέμνει τον άξονα των x. ii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτόμενων, να αποδείξετε ότι, η Cf χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία των οποίων ο λόγος των εμβαδών είναι ίσος με 2. (Σχολ.)

Λύση i) Έχουμε: f (x)  0  x  1 ή x  3 , f (x)  2x  4 , f (1)  2 και f (3)  2 . Συνεπώς οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι ΑΓ : y  0  2(x  1)  y  2x  2 και ΒΓ : y  0  2(x  3)  y  2x  6 . ii) Βρίσκουμε το σημείο τομής των εφαπτομένων.

Είναι 2x  2  2x  6  x  2 , οπότε y = –2 και E (AB )  Για x  [1, 3] είναι f (x)  0 , οπότε 1  

3

1

E 2  E (AB )  E 1  2 

1 22  2.

2

3

 x3  4 f (x)dx    (x  4x  3)dx     2x 2  3x   .

1  3 1 3 3

2

E 4 2 2  . Άρα 1  .

3 3 E2 1 

10. Έστω η συνάρτηση

f (x)  2x 2 , x   . α) Αν ε εφαπτομένη

της Cf στο σημείο M(2,8 2 ) ,   0 , να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την ε και τον y΄y. β) Έστω θ η γωνία που σχηματίζει η ε με την ΜΟ. Να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του α, και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της εφθ, όταν το α μεταβάλλεται (   0 ).

Λύση α) Είναι f (x)  2x 2 , f (2α)  8α 2 , f (x)  4x , f (2α)  8α . Η εξίσωση της (ε) είναι: y  8α 2  8α(x  2α) ή y  8αx  8α 2 . Επειδή f (x)  4  0 , η Cf είναι κυρτή, οπότε η ε βρίσκεται κάτω από την καμπύλη. Συνεπώς f (x)  y  0 .

2α

Έχουμε E   (f (x)  y)dx  0

2α

0

2α

16α3 2  .

(2x  8αx  8α )dx   x 3  4αx 2  8α 2 x   3 3 0 2

2

 x  MOx  . β) Στο τρίγωνο ΜΚΟ η γωνία ΜΚx είναι εξωτερική, οπότε θ   2

 x)  f (2α)  8α και εφ(  x)  8α  4α , οπότε λόγω του τύπου Είναι όμως, εφ( 2α  x)  εφ(  x)    εφ( 8α  4α 4α (  )  έχουμε: εφθ  ή εφθ   .   1   1  8α  4α 1  32α 2 1  εφ(x)εφ(x)

Αν h(α)  εφθ , τότε h(α) 

4α 4  128α 2  , και . α  0 h (α)  1  32α 2 (1  32α 2 ) 2

2 2 και γνησίως φθίνουσα για   .

8 8 2 2 2 Συνεπώς παρουσιάζει μέγιστο για   , το h( )  .

8 8 4

Η h είναι γνησίως αύξουσα για  



144

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

11. Έστω η συνάρτηση

   f (x)  (2x  ) , με x  [ , ] . α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης 2 4 4

 . β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω 8 εφαπτομένη, τη Cf και από τους Οx και Οy.

της Cf στο x 0 

Λύση π 2 π π π π π π 2 . f ( )  2συν(  )  2ημ   2 και f ( )  συν  8 4 2 4 8 4 2 Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 2 π 2 π 2 . y   2(x  ) ή y   2x   2 8 2 8 β) Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες x  0 και 2 π 2 (π  4) 2 . y   2 8 8 π4 Το σημείο Γ έχει συντεταγμένες y  0 και x  .

8 π π 1 (π  4) (π  4) 2 Έχουμε   ( )   4 f (x)dx      4 συν2xdx  0 0 2 8 8

α) Είναι f (x)  2συν(2x  )  2ημ2x ,

π

2 2 1  ημ2x  4 (π  4) 2    [ (π  4) 2  ] τ. μ.  128 128 2  2 0 

12.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  4 , την ευθεία x – y + 2 = 0 και τον άξονα x´x.

Λύση Βρίσκουμε τα σημεία τομής των δύο γραμμών. Έχουμε f (x)  y  x 2  4  x  2  x 2  x  6  (x  2)(x  3) , οπότε για x  [2,3] είναι f (x)  y  0 . Ακόμη f (x)  x 2  4  (x  2)(x  2) , οπότε f (x)  0 για x  [2, 2] . Το ζητούμενο εμβαδόν υπολογίζεται, αν από το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη Cf και την ευθεία αφαιρέσουμε το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη Cf και τον άξονα των x.

3

2

2

2

Δηλαδή E   f (x)  y dx   f (x) dx ή 3

2

 x3 x 2   x3  61  6x     4x   τ.μ.

E   [(x  x  6)]dx   [(x  4)]dx     2 2 2 3  2  3  2 6 3

2

2

2



13. Θεωρούμε τη συνάρτηση

2

f (x)  2  (x  2) με x  2 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι, υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f 1 της f και να βρείτε τον τύπο της. γ) i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f και f 1 με την ευθεία y  x . ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f 1 .

Λύση

(Θ)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

145

α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο [2, ) με f (x)  2(x  2)  0 , για κάθε x > 2. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2, ) , οπότε η f είναι 1 – 1. β) Αφού η f είναι 1 – 1, ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση. Για x  2 έχουμε f (x)  [2, ) . Έστω y  2  (x  2) 2  (x  2) 2  y  2  x  2  y  2 . Άρα f 1 (x)  2  x  2 , x  2 .

γ) i) Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας y = x δίνονται από τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = x ή 2  (x  2) 2  x  (x  2)(x  3)  0  x  2 ή x  3. Άρα τα κοινά σημεία είναι τα Α(2, 2) και Β(3, 3). Προφανώς τα ίδια είναι και για τη γραφική παράσταση της f 1 .

ii) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x, το ζητούμενο εμβαδόν είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις y = f(x) και y = x. Έχουμε f (x)  x  2  (x  2) 2  x  (x  2)(x  3) . Για x  [2,3] είναι f (x)  x  0 , οπότε E  2

3

2

3

 x 3 5x 2  1  6x   τ.μ. f (x)  x dx  2  (f (x)  x)dx  2  (x  5x  6)dx  2   2 2 2 3 2 3 3

3

2



14. Έστω

η συνάρτηση f (x)  x 5  x 3  x . α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι, η f έχει αντίστροφη συνάρτηση . β) Να αποδείξετε ότι f (e x )  f (1  x) για κάθε x   . γ) Να αποδείξετε ότι, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, 0) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των f και f  1 . δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f  1 , τον άξονα των x και την ευθεία με εξίσωση x = 3 . (Θ)

Λύση α) f (x)  5x 4  3x 2  1  0 , για κάθε x   . Άρα η f είναι γν. αύξουσα στο  και συνεπώς «1-1», οπότε αντιστρέφεται. Είναι f (x)  20x 3  6x  2x(10x 2  3) . Για x  0 είναι f (x)  0 , οπότε η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο (,0] , ενώ για x  0 είναι f (x)  0 και η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [ 0,  ) .

β) Ξέρουμε ότι e x  x  1 , για κάθε x   .

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε f (e x )  f (x  1) , για κάθε x   .

γ) Είναι f (0)  0 και f (0)  1 , οπότε y  0  1(x  0) ή y  x είναι η εφαπτομένη της Cf στο (0,0) , η οποία είναι και άξονας συμμετρίας των Cf και C

f 1

.

3

δ) Είναι f (0)  0 και f 1 (0)  0 . Συνεπώς E   f 1 (x) dx .

0

3

Για x > 0 είναι f(x) > 0. Επομένως, για x > 0 είναι f 1 (x)  0 , οπότε E   f 1 (x)dx 0

1

Θέτουμε u  f (x) , τότε f (u)  x και dx  f (u)du . Για x  0 είναι u  f 1 (0)  f (u)  0  u  0 .

1

1

0

0

Για x  3 είναι u  f 1 (3)  f (u)  3  u  1 . Άρα E   uf (u)du   (5u 5  3u 3  u)du  

15. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο

25 τ.μ.

12

 συνάρτηση f , με: f (x)  e  f (x )  x  1 , για κάθε x   (1) x και f (0)  0 . (2) i) Να εκφραστεί η f  ως συνάρτηση της f. ii) Να αποδείξετε ότι:  f (x)  xf (x) , 2 για κάθε x  0 . iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f,

146

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

1 1  E  f (1) .

4 2

τις ευθείες x  0 , x  1 και τον άξονα x΄x, να δείξετε ότι

(Θ)

Λύση i) Από την (1) έχουμε f (x)  f (x)e  f (x)  1 και f (x) 

1 ef (x) > 0, για κάθε x   . (3)  1  e  f (x) 1  ef (x)

ii) H f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο [0, x] . Συνεπώς, υπάρχει x 0  (0, x) ώστε: f (x)  f (0)  f (x 0 )(x  0) ή f (x 0 ) 

f (x) . x

1 f (x)e  f (x) , f (x)  0 και f (x)   0 για κάθε x   .

2 (1  e  f (x) ) 2 Δηλαδή οι f και f  είναι γνησίως αύξουσες στο  . Συνεπώς, από 0  x 0  x έχουμε f (0)  f (x 0 )  f (x) ή 1 f (x) x   f (x) ή  f (x)  xf (x) . (4) 2 x 2 1 1 x iii) Από f (x)  έχουμε f (x)  0 , για κάθε x  0 . Επομένως E   f (x) dx   f (x)dx .

0 0 2

Από τη (3) έπεται ότι f (0) 

1

 x2  1 1 Από την (4) έχουμε:  dx   f (x)dx   xf (x)dx     E   xf (x) 0  E   E  f (1)  E , 02 0 0 4 4  0 1 1 1 1 οπότε:  E και 2E  f (1)  E  f (1) . Άρα  E  f (1) .

4 2 4 2 1x

1

1



16. Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου

x 2  y2  ρ2 .

Λύση Το ημικύκλιο C1 είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  ρ 2  x 2 , x  [ρ,ρ] , αφού για y  0 είναι: x 2  y 2  ρ 2  y  ρ 2  x 2 .

Αν E1 είναι το εμβαδόν του ημικύκλιου C1 , τότε E  2E1 . Επειδή f (x)  0 για κάθε x  [ρ,ρ] , έχουμε E1  

ρ

ρ

Επειδή ρ  x  ρ , έχουμε: 1 

ρ 2  x 2 dx .

π π x x  1 . Επομένως, υπάρχει θ  [ , ] τέτοιο, ώστε  ημθ .

2 2 ρ ρ

π π Θέτουμε x  ρημθ , θ  [ , ] , οπότε dx  ρσυνθdθ .

2 2 π π Για x  ρ είναι θ   και για x  ρ είναι θ  .

2 2 π 2 π  2

Επομένως, E1   π ρ 2π  2 π ρ 2 2π  2 2

ρ 2  ρ 2 ημ 2θ  ρσυνθdθ 

2

2

π 2 π  2

1  ημ θ  συνθdθ  ρ



συν 2θ  συνθdθ  ρ 2  2π συν 2θdθ 

(επειδή συνθ  0 )



συν 2θ  συνθdθ 



π



2 π 1  συν2θ ρ 2 2π dθ  2 2



π

2  θ ημ2θ  2 πρ 2  ρ2      π 2 . Άρα E   .

2 4   2

148

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

f (x)  2  2(2x  3)  4x  8 και f (x)  2x 2  8x  c .

Από την (1) έχουμε f (0)  3 , οπότε c  3 . Άρα f (x)  2x 2  8x  3 .

1 1 23 Για x > 0 είναι f(x) > 0, οπότε E   f (x)dx   (2x 2  8x  3)dx  τ.μ.

0 0 3

5.5.3

Ασκήσεις

Σωστό ή λάθος 1. Να βρείτε το σωστό ή λάθος στα παρακάτω, αν είναι γνωστό ότι όλα τα σύμβολα έχουν νόημα.

1

1 (x

α) Το ολοκλήρωμα

3

y

 x)dx παριστάνει το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 3  x τον άξονα των x. (Σχολ.)

y  x2

1

σχήματος είναι    x dx   2

0

e

1

O

1 dx . x

είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το διάστημα 4

2

3

Β

1

O -1

[1,  ) είναι:     f (x)dx   f (x)dx .

1 2 -2

y

x

Α(e,0)

y 1

γ) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου ΑΒΖΓΔ του διπλανού σχήματος που 3

Γ

1

β) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου ΟΑΒΕ του διπλανού

1 x

y

Α Β

3 Ζ

Δ x 4 Γ

δ) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης f του διπλανού σχήματος και τον άξονα των x είναι β

β

δ

α

γ

γ

   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx .

2. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις:

O

α

1 1 1 1 1 1 1 dx   I . (Θέσαμε x  ) dx    ( 2 )du    2 2 1 1  u 1 1  x 1 1 u u 1 2 u Άρα       0 . Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί   0



1

Γνωστοί οι τύποι των συναρτήσεων και οι δυο κάθετες ευθείες

Ω3

γ

β

Ω Ω Ω2

δ

x

(Σχολ.)

(1, 2, 3, 4 )

3.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξονα των x και τις ευθείες που δίνονται κάθε φορά: α) f (x)  x 2  x  3 , x  0 , x  3 . β) f (x)  3 x , x  0, x  27 . (Σχολ.)

1  γ) f (x)  , x  0, x  . (Σχολ.)

2  x 3

 ex  e , x  1 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x)   ln x . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής . , x  1   x β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον x΄x και τις ευθείες x = 0 , x = e .

5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρ-

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

149

x 2  2x  2 , τον άξονα Οx και τις ευθείες x = 4 και x = 7. x 3 6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της  x 2  2x  2, x  2 f (x)   , τις ευθείες x  0 , x  3 και τον άξονα των x. x2  2 x  1,

τησης f (x) 

7.

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της παραγωγίσιμης 2x  3 συνάρτησης f :(0,  )   , με f (1)  6 , f (x)  2 f (x) και f (x)  0 για κάθε x  (0,  ) , x  3x  2 τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  1 και x  3 . x0  0, 8. Έστω η συνάρτηση f (x)   . α) Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια.  x ln x, x  0 e

β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I   f (x)dx . γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που 0

περικλείεται από την Cf , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 και x  e .

9. α) Να βρεθεί το εμβαδόν

E() του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

1 , τον άξονα των x και τις ευθείες x  1 , x   ,   0 . x2 1 β) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε E()  . γ) Να βρεθούν τα lim E() και lim E() . (Σχολ.)  0  2 2x 10. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  e (x  ) , ,   . α) Να προσδιοριστούν τα α, β αν f (1)  0 και f (1)  1 . β) Να μελετηθεί Η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τους άξονες x΄x και Oy και την ευθεία x  1 .

11. Έστω οι f (x)  xe x 1 και g(x)  xe x 1  e x 1 . α) Να βρεθούν τα ,   ώστε η g να είναι

συνάρτησης f (x) 

2

2

αρχική της f. β) Να δειχθεί ότι η 2(33x 7x  20  3x 9x 12 )  3[(x 2  9x  12)5  (3x 2  7x  20)5 ] έχει μία μόνο ρίζα ρ στο  . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g(x) = f(x + 1), τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 και x = ρ.

12. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f (x)  ln 2x . x β) Να βρείτε το lim E( ) , όπου E( ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 

παράσταση της f, τις ευθείες x  e , x    e και τον άξονα x΄x.

─∙─

13. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραμμές: α) y = (x + 1)2 , y = x , x = – 2 και x = 0.

β) y =

2x 2 , y= , x2  1 x

x = – 2 και x = – 1.

1 . α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf .

2x 2 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , τις ευθείες y  3x , x  1 , x   ,  1. γ) Να υπολογίσετε το lim () .

14. Δίνεται η συνάρτηση

f (x)  3x 



ex . ex  1 α) Να αποδείξετε ότι, η ευθεία ε : y = x – 1 είναι ασύμπτωτη στο   της γραφικής παράστασης της f. β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη C f , την (ε), τον άξονα y΄y και την ευθεία x = λ, με λ < 0. ` γ) Να βρείτε το lim (λ) .

15. Δίνεται η συνάρτηση f , με

f (x)  x  1 

λ  

16. α) Να βρεθεί ο α > 0, ώστε η

f (x) 

2

x  2 , x  0 να παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με το 6 . x

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Άγνωστοι οι τύποι των συναρτήσεων

151

(7, 8)

31. Για τη συνεχή συνάρτηση

f :   (0,  ) ισχύει f (2  x)  f (2  x)  5 για κάθε x   . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x, τον άξονα y΄y και την ευθεία x = 4.

32. Δίνεται η συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο  , με f (0)  0 και f (0)  0 . x  x 2 1 x  Έστω ακόμη η συνάρτηση G, για την οποία ισχύει: G(x)   (2t  1)   xe f (u)du  dt , x   και 0  1  4 G(2)  6e . α) Να αποδειχθεί ότι, f(x) > 0 για κάθε x   . β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  1 και x  5 .

33. Έστω μια συνάρτηση f, συνεχής στο [0, 2], με f(x) > 0 για κάθε x  [0, 2] . Αν η F είναι μια αρχική

της f με F(2) = 2 και

2

0 F(x)dx  1 , να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της g(x)  xf (x) τους άξονες x΄x, y΄y και x = 2.

34. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f, με

3

f (1)  0 και f (x)  xe x , x   . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα και την ευθεία x = 1.

35. Δίνεται η συνάρτηση f : (0,  )  (0,  ) , για την οποία ισχύουν f (1)  2e και. f (x)  x 2f (x)  0 για κάθε x > 0. (1) α) Να βρείτε τον τύπο της f . β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f (x) 1 συνάρτησης g(x)  2 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  και x  1 . x 2

Χρειάζεται αναγκαστικά σχήμα

(9, 10, 11, 12)

36. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της

f (x)  x 2  4x  5 , που διέρχονται από το σημείο Α(3, –2). β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις εφαπτόμενες του προηγούμενου ερωτήματος.

37. Έστω η συνάρτηση f (x)  x 2 . α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A(1,1) . β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , την εφαπτομένη της Cf στο Α και τον άξονα των x.

38. Δίνονται οι f (x)   x 2  8x  12 και g(x)   x 2  4 . α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(–3, 3) εφάπτεται και της γραφικής παράστασης της g. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δυο καμπύλες και την εφαπτομένη.

39. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x . α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής   παράστασης της f στα σημεία ( ,0) και ( ,0) . β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που 2 2 περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β.

40. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f (x)  x  1 , την εφαπτομένη της στο σημείο Α (2,1) και τον άξονα των x. β) Να βρείτε την ευθεία x   , η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία. f 3 (x  4h)  f 3 (x  h) 41. α) Αν η f :   * είναι παραγωγίσιμη στο  και lim  9  f 3 (x) , να βρεθεί h 0 h η f (x) , όταν είναι γνωστό ότι, η εφαπτομένη της Cf στο M(1,f (1)) διέρχεται από το σημείο (2, 4e) . β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτομένη της στο M(1,f (1)) και τον άξονα Οy.

42. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Των συναρτήσεων f (x) 

E() , του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

e και g(x)  ln x , τον άξονα των x και την ευθεία x   ,   e . x

152

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

β) Να βρείτε το lim E() .

(Σχολ.)



43. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Εμβαδόν και αντίστροφη συνάρτηση

y = lnx, x = y = 0, y = α, α > 0.

(13, 14)

44. Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

[1,  ) , με τιμές στο [1,  ) για την οποία ισχύουν: lim f (x)    και f (x)  ln f (x)  x για κάθε x  1 . (1) x  

α) Να βρείτε το f(1). β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να αποδείξετε ότι, η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f 1 και τις ευθείες x = e 2 και y = x – 1.

45. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x)  x  x είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, 2π]. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, όταν x  [0, 2] . γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των f και f 1 .

46. Δίνεται η συνάρτηση

f (x)  ln x , x  [1,e 4 ] . α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη. β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα του εμβαδού Ε1 του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x, και τις ευθείες x = 1 και x  e 4 καθώς και του εμβαδού Ε2 του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f 1 , τον άξονα x΄x, και τις ευθείες x = 0 και x  2 είναι ίσο με 2e 4 τ.μ.

Γνωστά θεωρήματα

(15)

47. Δίνεται συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

(0,  ) , με xf (y)  yf (x)  f (xy)  xy για f (x) κάθε x, y > 0, f(1) = 1 και f (1)  3 . α) Να αποδείξετε ότι f (x)   2 για κάθε x > 0. x β) Να αποδείξετε ότι f (x)  2x ln x  x , x > 0. f (x), x  0 να είναι συνεχής. x0  α,

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει α   τέτοιος, ώστε η συνάρτηση h(x)  

δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h(x)  0 , εκτός από το 0 έχει ακόμη μια μόνο ρίζα ρ, την οποία να βρείτε, και να εξετάσετε αν για την h ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, ρ]. στ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον x΄x και τις ευθείες x = 1 και x = e . ζ) Να βρείτε την τιμή του

48.

1

0 h(x)dx .

2x

1

x

0

Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο  , με f (x)  2   f (t  x)dt   xf (tx)dt για κάθε

x   . α) Να αποδείξετε ότι f (x)  2e .

2x

β

γ

γ

α

β

α

β) Αν α < β < γ, να αποδείξετε ότι γ  f (x)dx  α  f (x)dx  β  f (x)dx . γ) Να βρείτε τον λ ώστε η ευθεία x = λ να χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 σε δύο μέρη με λόγο εμβαδών 3. (Μεγαλύτερο το τμήμα που βρίσκεται προς το μέρος του x = 1) x

Συνάρτηση F(x)   f (t)dt α

49. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

x

3

f (x)   te t dt , x   .

1

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα και την ευθεία x = 1.

5.6 5.6.1

Επανάληψη

Ερωτήσεις θεωρίας

1. α)

Δώστε τους ορισμούς: i) Αρχική συνάρτηση, ii) Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, iii) Ορισμένο ολοκλήρωμα.

1 1 1 1 , β) Γράψτε τους τύπους των αρχικών συναρτήσεων των: x, x, x  , e x ,  x , ,  , , x x x  2 x 1 , (x) .  2 x γ) Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε  Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x) + c, c   , είναι παράγουσες της f στο Δ και  Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c   . δ) Μια συνάρτηση έχει αρχική μόνο αν είναι συνεχής; ε) Δώστε μερικές συναρτήσεις που γνωρίζουμε ότι έχουν παράγουσες αλλά δεν μπορούμε να τις βρούμε. στ) Ο ορισμός της αρχικής μιας συνάρτησης αναφέρεται σε ένωση διαστημάτων;  2x, x  0 ζ) Πως θα βρούμε όλες αρχικές μιας συνάρτησης με δύο κλάδους; Π.χ της f (x)   2 ; 3x , x  0 η) Αν η F είναι μια αρχική της f , τότε η F 2 είναι μια αρχική της f 2 ; β

2. α) Αν α f (x)dx  0 , τότε γ) Αν c > 0, τι εκφράζει το

f (x)  0 ; β) Αν f (x)  0 και α < β, τι μπορείτε να πείτε για το

β

α f (x)dx ;

β

α cdx ;

δ) Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και λ,μ   . Να συμπληρώσετε τις ισότητες: β

β

α λf (x)dx  ,

β

α [λf (x)  μg(x)]dx 

γ

α f (x)dx  α f (x)dx 

ε) Ποια ιδιότητα των ορισμένων ολοκληρωμάτων θα χρησιμοποιήσετε για να αποδείξετε ότι , αν    , τότε

 2 0





 1xdx   2   xdx ;

στ) Αν α < β και

0

β

α f (x)dx  0 , τότε υπάρχει περίπτωση να είναι f (x)  0 για κάθε x [α, β] ;

ζ) Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνεχή συνάρτηση ισχύει

β

α f (x)dx  0 , με α < β, τότε υπάρχει ένα

τουλάχιστον x 0  [α, β] τέτοιο, ώστε f (x 0 )  0 . η) Να αποδείξετε ότι, αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σ’ ένα διάστημα Δ και f (x)  g(x) για κάθε x   , τότε ισχύει

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx , με την προϋπόθεση τα α, β να είναι στοιχεία του Δ και α < β .

θ) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β], m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο β

[α, β]. Να αποδείξετε ότι ισχύει m(β  α)   f (x)dx  (β  α)M . α

ι) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Να αποδείξετε ότι ισχύει ια) Αν α > β και f συνεχής, με f (x)  0 , τότε ισχύει





 f (x)dx   f (x) dx .

β

α f (x)dx  0 ;

ιβ) Αν f συνεχής στο [α, β],   0 και για κάθε x στο [α, β] ισχύει f (x)  0 , τότε



 f (x)dx  0 ;

ιγ) Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, με παραγώγους συνεχείς σ’ ένα διάστημα [α, β], τότε β

β

β

α

α

α

ισχύει:  f (x)g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx ;

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

5.6.2

157

Ασκήσεις

1. Θεωρούμε τη συνάρτηση

f :    με f (x)  2 x  m x  4 x  5x , όπου m > 0. α) Να βρείτε τον m ώστε f (x)  0 για κάθε x   . β) Αν m = 10, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 και x = 1. (Θ)

2. Έστω μια συνάρτηση f , συνεχής στο

2

 , για την οποία ισχύει: f (x)  (10x 3  3x)  f (t)dt  45 .

0

α) Να αποδείξετε ότι, f (x)  20x 3  6x  45 . β) Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g, δυο φορές παραγωg(x)  g(x  h) . h 0 h γ) Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (β) ισχύουν: g(x  h)  2g(x)  g(x  h) lim  f (x)  45 και g(0) = g(0)  1 , τότε να αποδείξετε ότι: h 0 h2 i) g(x)  x 5  x 3  x  1 . ii) Η g είναι συνάρτηση 1 – 1.

γίσιμη στο  . Να αποδείξετε ότι: g(x)  lim

3. Έστω η συνάρτηση

f (x)  x 2  1  x . α) Να αποδείξετε ότι: lim f (x) = 0. x  

β) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της f, όταν το x τείνει στο   . γ) Να αποδείξετε ότι: f (x)  x 2  1  f (x)  0 . δ) Να αποδείξετε ότι:

1

0

1 x2  1

dx  ln( 2  1) . (Θ)

f (x)  x  2005 . α) Να αποδείξετε ότι: x 0 x2 x 2  λ(f (x)) 2 i) f (0)  0 , ii) f (0)  1 . β) Να βρείτε το λ   , ώστε να είναι: lim 2  3. x 0 2x  (f (x)) 2 γ) Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο στο  και f (x)  f (x) , για κάθε x   ,

4. Έστω η συνεχής συνάρτηση

f :    , με lim

να αποδείξετε ότι: i) xf (x)  0 , για κάθε x  0 .

ii)

1

0 f (x)dx  f (1) .

(Θ)

ημ3x  , x0  x 5. Δίνεται η συνάρτηση f (x)   . α) Να αποδείξετε ότι: lim f (x)  3 . x 0  x 2  αx  βσυνx, x  0  π β) Αν f ( )  π και η f είναι συνεχής στο σημείο x 0  0 , να δειχθεί ότι: α  β  3 .

2

γ) Αν α  β  3 , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

6. α) Αν η συνάρτηση f είναι

π

0 f (x)dx .

(Θ)

συνεχής στο  , f(x) > 0 για κάθε x   και α < β, να αποδείξετε ότι f (x  α) βα ισχύει    . β) Έστω μια μη σταθερή συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο dx  α f (x  α)  f (β  x) 2  , με τιμές στο (0,) , f(0) = 1 και f (x)  0 για κάθε x   . Αν υπάρχει συνάρτηση g με x f (t)f (x  t) 1 f (x)  1 . g(x)   dt . i) Να αποδείξετε ότι: g(x)   0 [f (x  t)  f (t)]2 2 f (x)  1 ii) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι και η g είναι γνησίως αύξουσα. β

iii) Να αποδείξετε ότι, η κλίση της f είναι τετραπλάσια της κλίσης της g στο 0. 

7. Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [, ] , με  f (x)dx  0 . α) Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα κ στο (, ) . β) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει f ()  f ()  0 , να αποδείξετε ότι, υπάρχει ένα τουλάχιστον   (, ) τέτοιο, ώστε f ()  0 .

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

167

1 1 1  2  2 . ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής (e  1)f (1 ) e f ( 2 ) 2e παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και κατόπιν να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου 1 που περικλείεται από την εφαπτομένη, την γραφική παράσταση της f , την ευθεία x  2 και τον άξονα e e f (x)  1  x x΄x. iii) Να αποδείξετε ότι  dx  4 .

1 ex 68. Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : (1,  )   με f (x)  ln(x  1) και g(x)  x . α) Να λύσετε την x 1 εξίσωση f (x)  g(x)  0 και να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης  (x)  f (x)  g(x) . β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις Cf ,Cg των συναρτήσεων f και g δέχονται κοινή

ώστε

2

εφαπτομένη στο σημείο Ο(0,0) , η οποία διχοτομεί τη γωνία του πρώτου και τρίτου τεταρτημόριου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f την παραπάνω εφαπτομένη και την ευθεία x  3 . δ) Ένα υλικό σημείο Μ με θετική τετμημένη, κινείται στη Cf και η τετμημένη του x αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/sec. Αν Ν είναι η προβολή του σημείου Μ στον άξονα x′x και Α(0,α) σημείο του άξονα y′y, με α > 0, τότε: i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής E(t) του εμβαδού E του τριγώνου ΑΜΝ κάθε χρονική στιγμή t ισούται με  (x(t)) . ii) Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής του 8 εμβαδού του τριγώνου ΑΜΝ είναι ίσος με (2ln 3  ) cm 2 / sec . (1/Επαν/τικά θέματα Ε.Μ.Ε 2016) 9 69. Έστω f ,g : (0,  )   συνεχείς συναρτήσεις ώστε να ισχύουν: f (x)  f ( 1 )  2 για κάθε x  0 , x 1 lim f (x)   , g(x)  f ( ) για κάθε x  0 και η g είναι γνησίως φθίνουσα. α) Να αποδείξετε ότι η f x  x αντιστρέφεται. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 1 . γ) Να λύσετε την ανίσωση 4 1 f 1 (2  g(x 2  1))  1 . δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x  )f (x)  f (2x) ln έχει ρίζα στο διάστημα x x (1, 2) . ε) Αν ο α είναι ένας σταθερός θετικός αριθμός, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 1 (ΕΜΕ Τ. 100/2016) I   1 f (x  )(f (x)  1)dx . x  x

70. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο

 , με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία f (x)  1 και ef (x)  x  f (f (x))  e x (1) για κάθε ισχύει ότι:  (f (x)  f (x))xdx   , f ()   , lim 0 x 0 x x   . Δ1. Να αποδείξετε ότι f ()   και f (0)  1 . Δ2. α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο  . β) Να αποδείξετε ό τι η f είναι γνησίως αύξουσα στο  . Δ3. Να βρείτε το e f (ln x) x  x . Δ4. Να αποδείξετε ότι  (Θ) dx  2 . lim 1 x  x f (x) 

71.

Δίνεται συνάρτηση f (x) 

x , x   . α) Να βρείτε την παράγωγο της f όπου ορίζεται. β) Να

μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. δ) Ένα υλικό σημείο (,  ) ,   0 κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι ώστε η τετμημένη του να έχει ρυθμό μεταβολής (t)  (t) . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΟΑ τη χρονική στιγμή t 0 που είναι OA  2 5 . ε) Να εξετάσετε αν f (x)  L    {,  } . στ) Να υπολογίσετε συναρτήσει του β το ολοκλήρωμα ισχύει ότι lim x 0 x 2

()   2 f (x) xdx ,   0 . ζ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική 

παράσταση της g(x)  f (x) x , x  0 , τους θετικούς ημιάξονες και την ευθεία x  2 .

168

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

72. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,  )   , με f (e x )  e x f (e x )  x  1 (1) για κάθε x   και f (1)  3 . Α. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο A(1,f (1)) . β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη και

e

1 (f (x)  1)dx  8 .

γ) Να λύσετε την εξίσωση

f (e x )  2e x   2 x . x 0 xe x  e x  1 ε) Να αποδείξετε ότι f (e x )  e x  x  2 (2) για κάθε x   . στ) Να βρείτε την f.

f (x 2  2)  f (e 2x  2e x  2)  f (e 2x  2e x  3)  f (x 2  1) , x   . δ) Βρείτε το lim

Β. Αν

f (x)  ln x  x  2 , x  0 , τότε: α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μοναδική ρίζα  1 1 και μάλιστα   1 . β) Να αποδείξετε ότι  f (x)dx  (3   ln ) . γ) Να αποδείξετε ότι η f  2 1 αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι οι Cf και Cf 1 έχουν ένα μόνο

κοινό σημείο το οποίο και να προσδιορίσετε. δ) Να λύσετε την ανίσωση f 1 (x)  x . ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις Cf και Cf 1 και την ευθεία x  3 .

στ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f 1 (x)ef

1

(x)

 f 1 (2x  3)ef

1

(2x 3)

.

x ln x  x  1 , x  0 και μια συνάρτηση f : (0,  )   , παραγωγίx2 σιμη με f (1)  2 . α) Να βρείτε την παράγωγο της g. β) Αν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο (x 0 ,f (x 0 )) της x x ln x 0 γραφικής παράστασης Cf της f διέρχεται από το σημείο ( 0 , 0  1) , να βρείτε την f. γ) Αν 2 2 f (x)  x ln x  x  1 , τότε: i) Nα εξετάσετε, αν η f μπορεί να επεκταθεί στο 0, ώστε να είναι συνεχής στο [0,  ) . ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και e 1 2 να την βρείτε. δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I   ( 2 ln x  3 )dx .

1 x x 74. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    με παράγωγο συνεχή και γνησίως αύξουσα, για την οποία ισχύουν: f (1)  0 και 0  f (x)  16  (x  1)f (x) για κάθε x   . α) Να μελετήσετε την f ως προς

73.

Δίνεται η συνάρτηση g(x) 

τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να λύσετε την εξίσωση f (2e x  x)  f (x 2  x  2) . γ) Να αποδείξετε ότι (1  x)f (x)  f (x 2 ) για κάθε x  (0,1) . δ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f, τον άξονα x′x και τις ευθείες x  1 και x  1 , να αποδείξετε ότι 16  E  32 .

(18/Επαν/τικά θέματα Ε.Μ.Ε 2016) 75. Έστω μια συνάρτηση f : (0,  )   , δυο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, 1 x e

για κάθε x  0 . α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να e 1 1 αποδείξετε ότι f (x)  0 για κάθε x  0 . β) Να αποδείξετε ότι f ( )  f (e) . γ) Να βρείτε το 2 2 3

f (1)  f (1)  0 και x f (x) 

1

e

ολοκλήρωμα I   xf (x)dx και να αποδείξετε ότι e[f (e)  1]  f (e)  e e . δ) Να αποδείξετε ότι για 1

1

1

κάθε x  0 ισχύει xf (x)  f (x)  e  e x . ε) Να αποδείξετε ότι f (x)  xe x  e .

76. Δίνεται η συνάρτηση

f :    με f (x)  x 3 . Γ.1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 και

να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f 1 . Γ.2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x  0 ισχύει 1 f (x)  f (x  x 3 ) . Γ.3. Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y  x 3 , x  0 με x  x(t) 6 και y  y(t) . Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t) , αν υποτεθεί ότι x (t)  0 για κάθε t  0 . Γ.4. Αν g :    είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

1 f (x)g(x)dx (Θ)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

169

 ln x  x  1, 0  x  1  x  1 . Δ.1. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 77. Δίνεται η συνάρτηση f (x)   1,  ln x  , x 1  x 1 (0,  ) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.. Δ.2. Να δείξετε ότι το x 0  1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f. Δ.3. i. Nα δείξετε ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,  ) . ii. Aν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x  1 και x  x 0 , όπου x 0 η μοναδική ρίζα  x 02  2x 0  2 . Δ.4. Aν F είναι μια 2 παράγουσα της f στο [1, ) , να αποδείξετε ότι (x  1)F(x)  xF(1)  F(x 2 ) , για κάθε x  1 . (Θ)

της εξίσωσης f (x)  0 στο (0,  ) , να αποδείξετε ότι  

78.

Δίνεται η συνάρτηση f (x)  xe  x , x   . α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να εξετάσετε που η f είναι κυρτή, που κοίλη και να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. δ) Να αποδείξετε ότι κάθε μια από τις εξισώσεις f (x)  0 και ef (x)  1 έχει μοναδική ρίζα κ, λ αντίστοιχα με    και κατόπιν να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x   και x   . ε) Να βρείτε τις τιμές του x   , ώστε να ισχύει f (4x 2  4x  2)  f (x 2  4x  5) .

79.

Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο  . Έστω ακόμη ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(1,f (1)) έχει εξίσωση 2x  ey  3 και ότι ισχύει: f (x)  2xf (x)  2f (x)  0 για κάθε x   . (1) α) Να αποδείξετε ότι το Α δεν είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)  f (x)  2xf (x) , x   είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. γ) Αν οι εφαπτόμενες της Cf στα A(1,f (1)) και B(1,f (1)) τέμνονται σε σημείο του κατακόρυφου άξονα , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο B(1,f (1)) . δ) Να βρείτε την f. ε) Έστω η συνάρτηση h(x)  e x  x  1 , x   και Ε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη Cf τον x΄x και τις ευθείες x  0 και x  1 . Να αποδείξετε ότι: 2

x 1 te 2 i) h( x )  0 για κάθε x   , ii)  E  1 , iii) lim  2 dx  0 . t  0 t  1 3 80. α) Θεωρούμε συνάρτηση f, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [0, 2] , f (2)  2 και

2

2

0 xf (x)dx  0 . Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση

g(x)  f (x)  2x έχει δυο τουλάχιστον κρίσιμα

σημεία στο [0, 2] . ii) Η εξίσωση f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0, 2) .

β) Δίνεται η συνάρτηση h :    με h (x)  4e x  2(e 2  1) για κάθε x   και h (0)  6 . Να αποδείξετε ότι η h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του (α) ερωτήματος. γ) Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Αν H(x) είναι μια αρχική συνάρτηση της h να αποδείξετε ότι H(0)  h(0)  H(1)  3 . ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h (x)  0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. στ) Αν η εφαπτομένη της C h στο A(0, h(0)) διέρχεται από το σημείο B(1,10) , να βρείτε την h. h(x) h(x)( x  1  1)  4 και ii) lim  1 2 x  e  e x 2 ημ 2 (x  2) 4(x  1) Δίνεται η συνάρτηση f (x)  , x    {0, 2} . α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής x(x  2)

ζ) Να αποδείξετε ότι: i) lim

81.

x

παράστασης Cf της συνάρτησης f. β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Αν f (x) 

8(x  1)(x 2  2x  4) , να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να x 3 (x  2)3

170

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

σχεδιάσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f. δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες με 4(e  1) εξισώσεις x  2e και x  e είναι E  2ln τετραγωνικές μονάδες. ε) Αν ισχύει e2 3 2 κ 2(x  3x  2x) κ 2 2 x 2  2x dx  κ  2 f (x)dx , να βρείτε την τιμή του κ. στ) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ  1 ισχύει f (1  λ)  f (1  λ) . Τι συμπεραίνετε για τη γραφική παράσταση της; ζ) Να αποδείξετε ότι: i) Για κάθε x  0 και x  2 ισχύει f (2  x)  f (x) . και ii) Αν ρ  (0,1) , τότε 1 ρ x ln x 1ρ f (x)συν(x  1)dx  0 . η) Αν g(x)  ex  2 , αφού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης gof , να βρείτε το lim (gof (x)) . x 0

π π f : ( , )   για την οποία ισχύουν f (0)  1 , 2 2 π π f (0)  1 και f (x)  2[f (x)  1]f (x) για κάθε x  ( , ) . Δίνεται ακόμη μια συνάρτηση g, με 2 2 1 για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι f (x)  [f (x)  1]2  1 για κάθε g(0)  0 και g(x)  1  x2 π π x  ( , ) . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h με h(x)  g(f (x)  1)  g(εφx) είναι σταθερή στο 2 2 π π π π διάστημα ( , ) και να βρείτε την τιμή της. γ) Να αποδείξετε ότι f (x)  εφx  1 , x  ( , ) . δ) Να 2 2 2 2 2 g(εφx)  x  x βρείτε το lim . ε) Αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική x 0 x3  x 2 παράσταση Cg της συνάρτησης g , τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις x  0 και x  1 είναι

82. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

π π  ln 2 , να αποδείξετε ότι g(1)  .

4 4 83. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    για την οποία ισχύουν f (0)  e , E

f (0)  2e , f (x)f (x)  0 και f (x)f (x)  f (x)f (x)  (f (x)) 2 για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη και κυρτή. β) Αν f (0)  0 , να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο A(0,f (0)) δημιουργεί με τους άξονες x

τρίγωνο με εμβαδόν e / 2 τετραγωνικές μονάδες. γ) Να αποδείξετε ότι f (x)  ee , x   .δ) Να βρείτε x t

τις ασύμπτωτες και να σχεδιάσετε τη Cf . ε) Να υπολογίσετε το lim

x 

0 e f (t)dt

f (x)  f (x)

. στ) Να αποδείξετε

ee  e .

0 2 84.Α. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    για την οποία ισχύουν f (1)  f (1)  6 , f (0)  3 1

ότι f (x)  xf (x)  e για κάθε x  0 . ζ) Να αποδείξετε ότι e   f (x)dx 

και f (x)  (f (x)  3) 2  36 για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η f  στο  και ισχύει f (x)  f (x)  3 για κάθε x   . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)  (f (x)  f (x)  3)e  x είναι

σταθερή και να βρείτε την τιμή της. γ) Να αποδείξετε ότι

1

1 f (x)dx  6 .

δ) Να βρείτε, εφόσον

υπάρχουν, τα σημεία καμπής της f. ε) Να αποδείξετε ότι f (2x)  3  2f (x) για κάθε x  0 . στ) Για κάθε α  β  γ  0 να αποδείξετε ότι (α  β)f (γ)  (β  γ)f (α)  (γ  α)f (β)  0 . ζ) Να βρείτε την f.

Β. Αν f (x)  3(e x  e  x )  3 , τότε: α) Να βρείτε το σύνολο τιμών και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μία μόνο πραγματική ρίζα και μάλιστα αρνητική. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

171

f (x)  10 και να τους βρείτε. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα x΄x, την ευθεία x  2 και την εφαπτομένη της Cf στο A(0,f (0)) . ε) Αν η αντίστροφη συνάρτηση 11 9 5 της f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι I  15 f 1 (x)dx  8ln 3  ln 2  . στ) Να βρείτε την αντίστροφη 2 2 2 f (x)  f (ημx) της f. ζ) Να βρείτε το όριο lim . x 0 f (x)  6  f (ημx) 85. α) Αν για τη συνάρτηση f :    ισχύει f (x1 )  f (x 2 )  1 x1  x 2 για κάθε x1 , x 2   , να 3 x αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g ( x )  f ( x )  είναι: i) γνησίως φθίνουσα, ii) συνεχής. β) Αν η f 2 5 είναι και παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  (0, 2) , ώστε να ισχύει g(ξ)  . γ) Αν G μια 6 αρχική συνάρτηση της g και G(0)  f (0)  0 , να αποδείξετε ότι G(x)  0 για κάθε x   . δ) Να 1 x 2 ημ G(x) x x2 x αποδείξετε ότι  f (t)dt  για κάθε x  0 . ε) Να βρείτε το lim .

0 x  4 ex 86. Έστω συνεχής συνάρτηση f :    με f (x)  0 για κάθε x   και

f (x)  x 2  ημ2(x  1)  2 . α) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 1 και να βρείτε την εξίσωση x 1 x 1 της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο A(1,f (1)) . β) Αν F αρχική συνάρτηση της f με F(0)  0 και τα εμβαδά των χωρίων 1 και  2 που περικλείονται από τη Cf , τον άξονα x΄x και της ευθείες x  0, x  1 και x  1, x  2 είναι αντίστοιχα (1 )  3 και ( 2 )  9 , να αποδείξετε ότι F(2)  12 . γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ  (1, 2) τέτοιο, ώστε F(γ)  5 . δ) Να 2 7 αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 ,ξ 2  (1, 2) για τους οποίους ισχύει   1 . ε) Να αποδείξετε ότι η f (ξ1 ) f (ξ 2 ) lim

1

συνάρτηση g(x)   f (x  t)dt, x, t   παραγωγίζεται και ότι υπάρχει x 0  (0,1) τέτοιος, ώστε να ισχύει 0

f (x 0  1)  f (x 0 )  6 .

87.

Έστω f :[0,1]   μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν: f (0)  0 και

f (0)  f (1)  0 . Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g(x)  f (x)  x 2  x . α) Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης Cg της συνάρτησης g στα σημεία της με τετμημένες x1  0 και x 2  1 τέμνονται 1 στο σημείο με τετμημένη x  , τότε να αποδείξετε ότι: i) g(1)  0 . ii) Υπάρχει ξ  (0,1) που επαλη2

θεύει την ισότητα g(ξ)  2ξ  1 . β) i) Να αποδείξετε ότι 1

x 0  [0,1] , ώστε f (x 0 )  2  f (x)dx.

0

88.

1

1

0 f (x)dx  0 (1  x)f (x)dx .

ii) Υπάρχει

(Επαν/τικά θέματα Ε.Μ.Ε)

 2ημx  x 2  2x π π , x  ( ,0)  (0, )  Α. Δίνεται η συνάρτηση f (x)   x 2 2 . Να αποδείξετε ότι:  0, x0 

 ημx , x0 

α) Είναι συνεχής. β) Είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο συνεχή. γ) Αν h(x)   x

και Ε το  1, x0 εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, την εφαπτομένη της Cf στο π

π A(0,f (0)) και την ευθεία x  , να αποδείξετε ότι η Η έχει αρχική και να βρείτε το    4 h(x)dx .

0 4 π π Β. Θεωρούμε συνάρτηση g με παράγωγο συνεχή στο διάστημα ( , ) , G(0)  g(0)  0 , όπου G 2 2

172

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

π π e t συνt dt  x 2  2x για κάθε x  ( , ) . Να αποδείξετε ότι: t 0 x 1  e 2 2 π π g(γ) α) Υπάρχει γ  (0,1) τέτοιο, ώστε να ισχύει g(γ)  . β) Ισχύει g(x)  f (x) για κάθε x  ( , ) .

2 2 1 γ x

αρχική της g και G(x)   tg(t)dt  2 

x

89. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f :    , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f ( x)f (x)   x για κάθε x   και f (0)  1 . α) Να αποδείξετε ότι f (0)  0 και f (x)  0 για κάθε x   . β) Θεωρούμε τη f ( x) συνάρτηση g με g(x)  , x   . Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή. γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει f (x)

f (x)  x 2  1 , x   . δ) Αν F αρχική συνάρτηση της f με F(1)  0 , να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C F τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 και x  1 . (Επαν/τικά θέματα Ε.Μ.Ε) 90. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A  [ 1 ,  ) , σύνολο τιμών το f (A)  (0, π] , συνεχής 4 1 2x στο Α και παραγωγίσιμη για κάθε x   . Αν συνf (x)  για κάθε x  A , τότε: 4 2x  1 α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη. π

β) Να υπολογίσετε το I  π2 f 1 (x)dx . γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

4

δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.

91.

ε) Να βρείτε την παράγωγο της f.

Δίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [1,3] με f (3)  5 , f (x)  0 για κάθε [f 2 (x)  9f (x)  20](e x 3  1)  κ  0 . α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. x 3 (x  3) 2

x  [1,3] και lim

β) Αν η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι συνεχής και ισχύει

f (3) 1

f (1) f

3

(x)dx   f (x)dx  12 , να βρείτε 1

το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  (1,3) , ώστε f (ξ)  2ξ . δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 ,ξ 2  (1,3) , ώστε (ξ  1)f (ξ1 )  (3  ξ)f (ξ 2 )  2 . ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0  (1,3) , ώστε f (x 0 )  5  2x 0 .

92. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

 με f (x)f (  x)  3x 2  1 (1) για κάθε x   και f (0)  1 .

Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Η f είναι κυρτή στο [0,  ) και ότι

γ) Αν f (1)  4e 2 , τότε δ) Ισχύει f ( x) 

93.

2

0 f (x)dx  4 .

f ( x) e4  1 2 .

(3x  1)dx  1 f (x) 2 0

1 για κάθε x   . ε) Να βρείτε την f. f (x)

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  με f ()   ,

f (x)

0

(2e t  1)dt  2(x  1) (1) για κάθε

x   . α) Να αποδείξετε ότι 2ef (x)  f (x)  2x (2) για κάθε x   . β) Να αποδείξετε ότι η f

αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f 1 . γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την 2 κοιλότητα και να βρείτε το πρόσημό της. δ) Να αποδείξετε ότι (x  1)  f (x)  (x  1)f (x) για κάθε 3 x  1 . ε) Να υπολογίσετε το I  

e2 1

1

f (x)dx . ε) Να αποδείξετε ότι η Cf έχει ασύμπτωτη στο  .(2017)

94. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x , x  [0, ]

 2

 2

και το σημείο ( ,  ) .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( 1 ), (  2 ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. β) Αν (1 ) : y   x και ( 2 ) : y  x   είναι οι ευθείες του ερωτήματος (α), τότε να σχεδιάσετε τις ( 1 ), (  2 ) και τη γραφική παράσταση της f, και να

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

173

1 2 αποδείξετε ότι   1 , όπου 1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 2 8 παράσταση της f και τις ευθείες ( 1 ), (  2 ) και  2 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x΄x.

e f (x) f (x)  x . δ) Να αποδείξετε ότι  (Θ) dx  e  1   1 x  f (x)  x   x  3 x 4 , x  [1, 0) f (x)  95. Δίνεται η συνάρτηση . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής  x e x, x  [0, ] στο διάστημα [1, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της.. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g, με g(x)  e5x , x   , τον άξονα y΄y και την ευθεία x   .

γ) Nα υπολογίσετε το όριο lim

δ) Nα λύσετε την εξίσωση 16e



3 3  4 f (x)  e 4 (4x  3) 2

8 2.

(Θ)

96.

Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,3] , για την οποία γνωρίζετε τα εξής: Η γραφική παράσταση της f  δίνεται στο διπλανό σχήμα. f (0)  2 , f (1)  0 . Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f  και των y ευθειών x  0 και x  3 ισούται με 8 τ.μ.. Η f δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του 9 θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών στο διάστημα [0,3] . α) Να αποδείξετε ότι f (3)  2 , f (2)  2 και να βρείτε, αν υπάρχουν, τα f (x) x , lim , δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. lim O 1 x 1 ln x x 0 f (x)  2 2 3 x β) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων – 3 καμπής της f. γ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x 0  (2,3) για το οποίο δεν

1 . δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. x  x 0 f (x)

υπάρχει το lim

(Θ)

  x   x  , 2  x  0  2, x  0 . α) Να αποδείξετε ότι η f στο διάστημα 97. Δίνεται η συνάρτηση f (x)    3 2 x0  x  3x  2,  [0, 2] ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: β) Να βρείτε την τιμή του    . γ) Nα μελετήσετε 2 3 τη μονοτονία της συνάρτησης f. δ) Nα αποδείξετε ότι:     f (x)dx   1 . ε) Nα αποδείξετε ότι: η  2 2   εξίσωση f (  x)  f (  e  x ) έχει μοναδική λύση στο (0,1) . (Θ) 2 2 98. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη, με παράγωγο συνεχή στο διάστημα [0,8] , με f (0)  f (0)  0 .

2 α) Αν η γραφική παράσταση της f  φαίνεται στο διπλανό 1 σχήμα, να βρείτε που η συνάρτηση είναι κυρτή και που κοίλη.

8 2 4 β) Να βρείτε τη συνάρτηση f (x) . γ) Να μελετήσετε την f ως -1 προς τη μονοτονία. δ) Αν f (4)  10 να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (4,10) . ε) Αφού δικαιολογήσετε ότι η f έχει παράγουσα F, να αποδείξετε ότι: i) F(8)  F(4)  56 και ii) F(7)  F(5)  2 F(6) .

Απαντήσεις Υποδείξεις

Απαντήσεις – Υποδείξεις Λύσεις 5.1 Αρχική συνάρτηση 5.1.2

2 f (x)  4x  3x  c1 , x  0  ή 2 x 4x  3x  c 2 , x  0 3 2  4x  3x  c1x, x  0 f (x)   . Επειδή η f είναι 3 2 4x  3x  c 2 x, x  0 παραγωγίσιμη στο  , θα είναι c1  c 2  2 . Άρα

f (x)  4x 3  3x 2  2x και F(x)  x 4  x 3  x 2  c , c   .

1. Σ, Λ, Σ, Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ( (Fg)  fg  Fg  ΄ (Fg)  Fg  fg και η Fg έχει αρχική).

17. [(tx)  g(ty)]  t   t 1[(tx)  g(ty)] 

1 5 1  c , x 5 x 2  c , x3 x  c , 7 7 2x 4 x ln x  e  2x  c , 2 x  σφx  x 2  c , xσυνx  c ,

 (tx)  g(ty)      0  (tx)  g(ty)  c  t .  t   18. f (x)  e x  e  x ,

2. 

x 2e x  c ,

3.

ln x 5 ex c , , 2x 2  3x   c , c   . x x ημx

2 1 ημ(2x  1)  c , e x  3x  c , eσυνx  c , 2

(x 2  3x  5)5  c , ln(e x  1)  c ,

x 2  2x  6  c ,

2 1  c , ln συνx  c , e x  ln x  c , x 1 2x 2  2x  c, x  0 4. α) F(x)   2 , c ,  2x  2x  c, x  0  x2    x  c, x  1  2 β) F(x)   2 , c , x   3x  1  c, x  1  2  x5 4    c, x  1  5 5 γ) F(x)   x  c,  1  x  1 .  5  x  4  c, x  1  5 5 5. F(x)  x  2 x  3 . ln x  1  x ln x 6. f (x)   ex (x ln x)  e x  x ln x  e x  x ln x  x ln x   x  και F(x)  x . (e x ) 2 e e  

ln 2x  3  c , 

3 2

7. f (x)  x 2  3x  4 .

2

ex 1 8. f (x)  9. f (x)  x 4  x 3  2x  5 . x 1 10. f (x)  x3. (x  3) 2 11. Πολ/με με συνx και f (x)  x 2  2x  3 .

12. Πολ/με με 2x και f (x)  x ln x  x 2 .

13. ln f (x)  ln(x 2  3x  2)  c .

14. f (x)e  G(x)  f (x)G(x)e  G(x)  0  f (x)e  G(x)  0 15. f (x)  (x 

x2  1)e  x .

2

 f (x)  2 16. Για x  0 έχουμε    (4x  3x) , οπότε  x 

2

19. Έχουμε F(x)e F(x)  (x 2  3x)  e x 3x , F(1) = 4. και f(x) = 2x + 3.

20. Παραγωγίζουμε και βρίσκουμε [f (x)  f (x)]  f (x)  f (x) , οπότε f (x)  (x  3)e x .

21. α) Παραγωγίζουμε και έχουμε g(x)  f (x)g 2 (x) και f (x)  g(x)f 2 (x) . Διαιρούμε κατά μέλη, οπότε

f (x) 2  c 2 , g(x) 

β) g(x)  f (x)g 2 (x)  g(x)  4g 3 (x)  και

4 

g (x) 1  2  8x  c  g 3 (x) g (x)

1  8x  4  … g (x) 2

22. F(x)  f (x)  1   2 F(x)  f 2 (x)  1  (1  x 2 )f 2 (x)  1 0  f (x) 

1

.

1 x2 23. Θέτουμε όπου x το f(x) στην (1), οπότε: 4F(x)  f 2 (x)  3f (x)  6x (2) και παραγωγίζοντας [2f (x)  3][f (x)  2]  0 για κάθε x   . Επειδή f γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών το  , υπάρχει ένα    , για το οποίο 2f(ξ) + 3 = 0, ενώ για κάθε x   θα είναι 2f(ξ) + 3  0, οπότε f (x)  2 για κάθε x   . Άρα f(x) = 2x + c1 , αν x   και f(x) = 2x + c2 , αν x   . Επειδή f συνεχής στο ξ, πρέπει 2ξ + c1 = 2ξ + c2 ή c1 = c2 = c, οπότε f(x) = 2x + c. (3) Από τις (2) και (3) για x = 0 έχουμε f (0)  3 και c = - 3. Άρα f(x) = 2x – 3.

1 24. Θ. Rolle για g(x)  F(x)  x 5 στο [0, 1].

5 25. Υπάρχουν α, β στο  με F(α) = F(β), οπότε ισχύει για την F το Θ. Rolle στο [α, β]. π 26. Θ. Rolle για g(x)  F(x)  eσυνx στο [0, ] .

2 27. Παραγωγίζουμε τη g και παίρνουμε Θ.Μ.Τ. για την F στο [α, x] .

28. α) g (x)  5f (5x  3)  4f (4x  1) . Από x  2 έχουμε 5x  3  4x  1 , οπότε f (5x  3)  f (4x  1)  5f (5x  3)  5f (4x  1)  4f (4x  1)  g (x)  0 . β) Θ.Μ.Τ. για την g στο [3, 4] .

218

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

 f ( )  f (x)  f (0) και ολοκληρώνουμε.

2   ε) 0  x  1    x  0 και 1   x  0  2 2  1   1 x e  e  1  e   e  x    2 2 2   x       e  0 , οπότε οι    x,  e  x  0 , 2 2 2 2 2

γ) Έχουμε f (f (e f ( x ) ))  4 ln(ln x16 ) και λόγω του

όπου η f είναι γν. φθίνουσα και η εξίσωση γράφεται x  e  x . Θεωρούμε τη g(x)  e  x  x,[0,1] . Bolzano και γν. φθίνουσα.

98. α) Κοίλη στο [2, 4] , κυρτή στα [0, 2],[4,8] . β) f (x)  2x / [0, 2) ,  x  6 / [2, 4) και x  2 / [4,8] . γ) Γν. αύξουσα. δ) y  2x  2 , ε) i) ολοκληρώνουμε την (ε). ii) ΘΜΤ για την F στα [5,6],[6,7] . π 99. β) θ  . γ) Κοίλη, μέγιστο 3 3 .

3

δ)  

3π 3  12 π . ε)  . στ) Ισχύει 0  θ   2 3

3 π 0  ημθ   , οπότε φ(ημθ)  φ(θ)  ημθ  θ  2 3 ημθ  θ  θ  0 .

100. α) f (0)  1 και f (0)  0 . β) κ  1 , διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με x, οπότε όριο =

f (0)  0  λ . γ)  x 4  x 2  1  f (x)  x 4  x 2  1 . Ισχύει 1

 x 4  x 2  1  x 2 (1  x 2 )  1  0

για

κάθε

x  [0,1] ,

1

οπότε    f (x)dx . Ολοκληρώνουμε την ανισότητα 0

17 23   2 . δ) i) Κριτήριο 15 15 παρεμβολής ii) Bolzano για τη g στο [0,α] , όπου

τύπου (Τ) f (16 ln x)  4 ln(ln x16 ) ή f (ln x16 )  4 ln(ln x16 )  f (x)  4 ln x , x  0 , δ) Η f είναι κοίλη, οπότε η εφαπτομένη είναι πάνω από την καμπύλη, E  6  8 ln 2 , e

ε) i) Αν    g(x)dx . Τότε g(x)   ln x  2x   , 1

οπότε κ = e + 1. Άρα g(x)  (e  1) ln x  2x  e  1 , ii) Από ln x  x  1 έχουμε (e  1) ln x  (e  1)(x  1) ή g(x)  (e  1)(x  1)  2x  e  1  (e  1)x  4x .

1 f (x) )e  0 (1) ή x2 1 1 2f (x)e  f (x)  (1  2 )  0  2e  f (x)  x   c (2). x x

103. Δ1) Έχουμε 2f (x)  (1 

Από την f (1)  ef (1)  1 έχουμε f (1)  0 , γιατί αν f (1)  0 , θα είναι f (1)  ef (1)  1 , άτοπο. Άρα f (1)  0 , 1 2x οπότε 2e  f (x)  x  και f (x)  ln( 2 ) , x x 1

Δ2)

F(x)  f (x) 

1  x2 , x(x 2  1)

Το

(x)  (x  3)[F()  (1  )f ()]x 5  (x  1)(  1)(x  1)3

στο [1,3] . (3)  2  43 (  1)  0 , (1)  2[F()  (1  )f ()] 

F() ]  1 (1)  2(  1)[F()  F()]  0 ,

(1)  2(  1)[f () 

α  0 με g(α)  0 λόγω του ορίου και g(0)  1  0 .

104. α) Θα αποδείξετε πρώτα ότι

1 2 , f (3) (x)  e x  3  0  2 x x 1 f  γν. αύξουσα, f ( )  0 , f (1)  0  f (x)  0 έχει 2

β) f (x)  e x 

μοναδική ρίζα ρ που είναι και σημείο καμπής. γ) Κατακόρυφη x  0 . δ) Διασπάμε το κλάσμα και το πρώτο ολοκλήρωμα κατά παράγοντες. ε) ΘΜΤ για την f στα [ρ,1], [1,e] και f  γν. αύξουσα για x  ρ .

102. α)  f (ef (x) )   (16 ln x)  f (e f ( x ) )  16 ln x (Τ). Η εφαπτομένη της C f στο A(1, 0) είναι y  f (1)x  f (1) (3). Η (1) για x  1 δίνει

 f (1) 

2

 16 (4). Η εφαπτομένη της C h στο

B(x 0 , h(x 0 )) είναι y  2x 0 x  x 02 . Από (3) και (4) πρέπει x  2x 0 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y  4x  4 , β) Τα σημεία είναι A(1, 0) , B(2, 4) , 2 0

είναι

μοναδικό σημείο καμπής της F. Θ.Μ.Τ για την F στο [1, β] και Rolle και άτοπο για την F . Άλλος τρόπος , η (  1)f (x)  F()  0 έχει μοναδική ρίζα στο [1, β]. Δ3) Θεωρούμε τη

και βρίσκουμε 1 

101. α) f γν. αύξουσα και συνεχής, f (A)   . Άρα η f (x)  κ έχει μία ρίζα. f (x)  e  x  1 .

Σ (1,0)

2

z  z1 z  z1

2

 z  z1   Re   και έπειτα επειδή το  z  z1 

2

ολοκλήρωμα είναι μόνο θετικό ή μόνο αρνητικό θα είναι 1  zz1  z  z1  z  1 , β) i) Άμεση συνέπεια του (α), ii) [g(x)  x]2  1 1  g(x)  x  1 και Bolzano για την h(x)  g(x)  x στο [–1, 1], iii) x  1  g(x)  x  1 . x

F(x)   f (t)dt α

1. α) f (x)  1 

 …= lim

x

0

(1  e x ) , β) Θέτουμε u  x  t 1  ex

συν(x  t)f (x  t)dt

ln 2ημx γ) g(x)  h(x) …

δ) Για την K(x)   1  z1z 2

lim x 0

x 0

f (x) 1, ln 2

x 2009 1  z1  z 2 2009 2009

ισχύει Κ(0) > 0 και Κ(1) < 0. ..

2. α) Θέτουμε u  2xt , f (x) 

x x2   f (u)du (1).

0 2

224

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

iii) e x2 e2



x2 2

 1

 1

x2 x2  (x)  .

2 2

x2 x2 x  2  (x)  2 . x  2 x 2 2

iv) h(x) 

x2

f (x)  2  e (1  x 2 )  0 . x2

42. Α. α) Θ.Μ.Τ για την f στα [0, 1] και [1, 2] και

1 στην (1). β) Θ. Rolle για τη 2 x (x)  (x  1)f (x  1)  2x 2  στο [0, 3] και στην (1) 3 1 x  1 , x  . Β. α) Θέτουμε u  xt , οπότε 2

κατόπιν x  0 και x 

4x

g(x)   f (u)du  8x 2  2x  2  2x

g(x)  F(4x)  F(2x)  8x 2  2x  2  g(x)  0  4 1 g(x)  2 . β) g( )  g(1)   f (x)dx  3  1 2 4 t 1 f (x)dx  7 . γ) Θέτουμε u  x στην

h(x) 

1 4x  t  f   dt  3x  4 , οπότε x x  x  4

h(x)   f (u)du  3x  4  3x  11 και Θ. Bolzano.

1

ανάλυση τόμος Γ΄

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΝΤΊΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΌΠΟΥΛΟΣ

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

Ολοκληρωτικός Λογισμός