ΑΝΑΛΥΣΗ Β ΤΟΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Β΄ y

Μ

Μ

Μ Μ

y ε

Α

ε f (x 0 )

x0

O

Μ

f(x)

x

x

O

Α

x0

x

x

y y lim f (x) 

x 

3

Ο

-3 -1

Ο

2

x

Διαφορικός Λογισμός

x

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Β΄ Διαφορικός Λογισμός

Περιέχει:  Αναλυτική θεωρία  Τρόπους αντιμετώπισης προβλημάτων  450 παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις  1250 ασκήσεις με απαντήσεις ή υποδείξεις  Στο τέλος επανάληψη της θεωρίας με ερωτήσεις & 107 γενικά θέματα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ.

4 Παράγωγοι 4.1 Η έννοια της παραγώγου

1

4.2 Παράγωγος συνάρτηση

21

4.3 Θεωρήματα Rolle & μέσης τιμής

85

4.4 Μονοτονία – Ακρότατα

131

4.5 Κυρτότητα – Σημεία καμπής

197

4.6 Κανόνες De L’ Hospital

231

4.7 Ασύμπτωτες

247

4.8 Μελέτη και χάραξη γραφικής παράστασης

267

4.9 Επανάληψη

279

Απαντήσεις – Υποδείξεις

297

4.1 4.1.1

Η έννοια της παραγώγου

Παράγωγος σε σημείο

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι, η f είναι παραγωγίσιμη f (x)  f (x 0 ) ή διαφορίσιμη στο x 0 , όταν υπάρχει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. x x0 x  x0 Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f (x 0 ) . Είναι δηλαδή:

f (x)  f (x0 ) . x  x0 x  x0

f (x0 )  lim

Παρ. 1) Να εξετάσετε, αν η συνάρτηση f (x)  2  3 x , με A  [0,  ) παραγωγίζεται στα σημεία x 0  2 και x1  0 .

Λύση  Για x 0  2   έχουμε: f (2)  2  3 2 και

3 f (x)  f (2) 2  3 x  2  3 2 3( x  2) 3( x  2)( x  2) .     x2 x2 x2 x 2 (x  2)( x  2) 3 3 f (x)  f (2)  Επειδή lim( x  2)  2 2  0 είναι lim .  lim x 2 x 2 x 2 x2 x 2 2 2 3 Άρα η f παραγωγίζεται στο 2 και είναι f (2)  .

2 2  Για x1  0  A έχουμε: f (0)  2 και

3 f (x)  f (0) 2  3 x  2 3 x   .  x x x 0 x

3 f (x)  f (0)   . Άρα η f δεν παραγωγίζεται στο 0.  lim x 0 x 0 x 0 x

Είναι lim

Σχόλια f (x)  f (x 0 ) ονομάζεται λόγος μεταβολής ή πηλίκο διαφορών της f στο x 0 και x  x0 είναι μια συνάρτηση λ ορισμένη στο A  {x 0 } , όπου Α το πεδίο ορισμού της f.

α) Ο λόγος λ(x) 

π. χ για τη συνάρτηση f (x)  x 2  1 ο λόγος μεταβολής στο 1 είναι: λ(x) 

f (x)  f (1) x 2  1  2 x 2  1    x  1. x 1 x 1 x 1

─∙─ β) H διαφορά x  x  x 0 δηλώνει τη μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής από x 0 σε x, ενώ η διαφορά y  f (x 0 )  f (x)  f (x 0 ) δηλώνει την αντίστοιχη μεταβολή της τιμής της συνάρτησης. Επειδή στην ανάλυση μιλάμε για πολύ μικρές μεταβολές, το x αναφέρεται σε πολύ μικρή μεταβολή του y x (x  0) , οπότε f (x0 )  lim . x0 x  Αντί του x χρησιμοποιούμε το h. Δηλαδή για πολύ μικρή μεταβολή του x 0 κατά h, η τιμή της συνάρτησης f μεταβάλλεται κατά f (x 0  h)  f (x 0 ) , οπότε f (x0 )  lim h0

f (x0  h)  f (x0 ) . h

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

y

7

y

Μ

➁ Μ

Μ Μ

ε

➂

f(x)

Μ

Α

ε f (x 0 )

O

x0

x

x

O

Α x0

x

x

Όταν το Μ τείνει να πάρει τη θέση του Α, τότε ο φορέας της ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε, την οποία θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α. f (x)  f (x 0 ) Από το σχήμα (3) έχουμε ότι ο συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της ΑΜ είναι . x  x0 Είναι ακόμη φανερό ότι, όταν το Μ τείνει να πάρει τη θέση του Α, τότε το x τείνει στο x 0 , οπότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α θα έχει συντελεστή διεύθυνσης το f (x)  f (x 0 ) lim  λ . Μπορούμε έτσι να δώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης. x x0 x  x0 Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο (x 0 , f (x 0 )) της γραφικής παράστασης της f. Αν υπάρχει f (x)  f (x 0 ) και είναι πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής x x0 x  x0

το lim

παράστασης της f στο σημείο της Α, την ευθεία ε η οποία διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση λ. f (x)  f (x 0 )  λ , οπότε η εφαπτομένη της x  x0 γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (x0 , f (x0 )) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ίσο με τη

 Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε f (x 0 )  lim

x x0

παράγωγο της f στο x 0 . π. χ Η συνάρτηση f (x)  x 3 έχει στο x 0  1 παράγωγο f (x)  f (1) x3  1 (x  1)(x 2  x  1)  lim  lim  lim(x 2  x  1)  3 . x 1 x 1 x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 Επομένως η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x)  x 3 στο σημείο της Α(1,1) έχει συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση λ = 3. f (1)  lim

Η εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από γνωστό σημείο (x 0 , y0 ) γνωρίζουμε ότι είναι y  y0  λ(x  x 0 ) , οπότε: Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της (x 0 , f (x 0 )) είναι:

y  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 ) Δίνουμε τρία παραδείγματα. 2x 2  1, x  0 7) Δίνεται η συνάρτηση f (x)   2 . Να βρεθεί, αν ορίζεται, η εξίσωση της εφαπτομένης της  x  1, x  0 γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(0, f(0)).

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

11

(2t  1)(t  1) S(t)  S(1) 2t 2  t  1  2 2t 2  t  1  lim(2t  1)  3m / sec  lim  lim  lim t 1 t  1 t 1 t  1 t  1 t 1 t 1 t 1 t 1 υ(t)  x(t)  4t  1 και η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή 1 είναι υ(1) = 4 – 1 = 3 m/sec.

υ(1)  lim

Σχόλια α) Σύμφωνα με τα προηγούμενα, αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα είναι S(t) τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t είναι S(t  h)  S(t) υ( t ) = S(t)  lim . h0 h Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η παράγωγος της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t είναι ίση με την επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t. Είναι δηλαδή: υ(t  h)  υ(t) α(t)  υ(t)  lim h0 h

─∙─ β) Έστω S(t) η τετμημένη τη χρονική στιγμή t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και υ(t) η ταχύτητά του την ίδια χρονική στιγμή t. Τότε ισχύουν:  υ(t)  0 αν και μόνο αν το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση, υ(t)  0 αν και μόνο αν το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση, υ(t)  0 αν και μόνο αν το κινητό είναι ακίνητο.  Το διάστημα S1 που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή t1 έως τη χρονική στιγμή t2 κρατώντας ίδια κατεύθυνση είναι S1  S(t 2 )  S(t1 ) .  Το ολικό διάστημα (ολική απόσταση) που έχει διανύσει ένα κινητό σε χρόνο t, είναι ίσο με το άθροισμα των διαστημάτων S1 ,S2 ,...,Sκ σε καθένα από τα οποία το κινητό δεν αλλάζει κατεύθυνση.

4.1.5

Λυμένες ασκήσεις

1. Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, την παράγωγο της

f (x)  x x στο x 0  0 .

(Σχολ.)

Λύση Για x  0 έχουμε

x x 0 f (x)  f (0) f (x)  f (0) x x  lim   x , οπότε lim  lim x  0 . x  0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0

Άρα f (0)  0 , .

2. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης



f (x)  x 2  2 στο x 0  3 .

Λύση f (3  h)  f (3) (3  h)2  2  9  2 h 2  6h h(h  6)   h  6 , οπότε:   h h h h f (3  h)  f (3) lim  lim(h  6)  0  6  6 . Άρα f (3)  6 . h 0 h 0 h

Για h  0 έχουμε:

.

συν(x  2)  1, x  2 , με x 0  2 , x 0 οι: α) f (x)   2  3(x  2)  1, x  2 ημ2x  x, x  0 x 2  3x  2, x  1  f (x)  , με , γ) , με x 0  0 . x  1  2 1 1 0  x ημ , x  0  x  1 e , x 1 x 

3. Να εξετάσετε αν παραγωγίζονται στο  

β) f (x)    



ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

12

Λύση α) Παρατηρούμε ότι lim[συν(x  2)  1]  1  1  2 και f(2) = 1, οπότε η f δεν είναι συνεχής στο 2 και x 2

επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό.

β) (Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στο 1, γιατί lim f (x)  lim f (x)  f (1)  0 , και χωρίς να το x 1

x 1

αναφέρουμε, συνεχίζουμε) Για x  1 έχουμε: x 2  3x  2 (x  1)(x  2) x2 x 2  3x  2  0  , οπότε   x 1 (x  1) x 2  3x  2 (x  1) x 2  3x  2 x 2  3x  2 x2 f (x)  f (1) lim  lim   . Άρα η f δεν παραγωγίζεται στο 1.

2 x 1 x 1 x 1 x  3x  2

f (x)  f (1)  x 1

γ) (Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στο 0, γιατί lim f (x)  lim f (x)  f (0)  0 ) x 0

x 0

f (x)  f (0) ημ2x  x ημ2x Για x  0 έχουμε:    1 , οπότε x x x 0 f (x)  f (0) ημ2x lim  lim (  1)  2  1  3 x 0 x 0 x 0 x 1 x 2 ημ f (x)  f (0) x  xημ 1 οπότε lim f (x)  f (0)  lim (xημ 1 )  0 , γιατί Για x  0 έχουμε:  x 0 x 0  x 0 x x 0 x x 1 1 ισχύει xημ  x   x  xημ  x και lim( x )  lim x  0 . x 0 x 0 x x f (x)  f (0) f (x)  f (0) Παρατηρούμε ότι lim . Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.  lim x 0 x 0 x 0 x 0 .

4. Να βρεθούν οι

, 



 x 3  1, x  1 ώστε η συνάρτηση f (x)   να είναι παραγωγίσιμη στο x o 1 . x  , x  1

Λύση H f είναι συνεχής στο 1, οπότε πρέπει να ισχύει: lim f (x)  lim f (x)  f (1)  2  β  2  α . (1) x 1

x 1

f (x)  f (1) x 1  2  lim  lim (x 2  x  1)  3 και  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x)  f (1) x  2    2 lim  lim   , λόγω της (1). x 1 x 1 x 1 x 1 f (x)  f (1) f (x)  f (1)  lim Πρέπει να ισχύει lim , δηλαδή α = 3, οπότε από την (1) έχουμε β = –1 .   x 1 x 1 x 1 x 1  x 3  1, x  1 Για τις τιμές των α, β έχουμε f (x)   , που είναι πράγματι παραγωγίσιμη στο 1. 3x  1, x  1 3

Είναι lim



.



x  ισχύει: 2x3  x 2  3x  3  f (x)  x 4  2x 3  3x 2  3x  3 (1) να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0.

5. Αν για κάθε Λύση

Παρατηρούμε ότι η (1) για x = 0 δίνει f(0) = 3. Ακόμη η (1) γράφεται 2x3  x 2  3x  f (x)  f (0)  x 4  2x 3  3x 2  3x . f (x)  f (0)  x 3  2x 2  3x  3 , οπότε με τη βοήθεια του κριτήριου Για x < 0 έχουμε: 2x 2  x  3  x

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

15

f (  h)  f () f (  u)  f ()  lim  f () , οπότε u  0 h u f (  h)  f (  h) 1 1 lim   f ()  f ()  f () . h 0 2h 2 2

Είναι, όμως, lim h 0



.

12.

xf (x 0 )  x 0 f (x)  f (x 0 )  x 0f (x 0 ) . x x0 x  x0

Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x 0 , να δειχθεί ότι: lim

Λύση xf (x 0 )  x 0f (x) xf (x 0 )  x 0f (x 0 )  x 0f (x 0 )  x 0f (x)   x  x0 x  x0 f (x 0 )(x  x 0 ) x 0 [f (x)  f (x 0 )] f (x)  f (x 0 ) .   f (x 0 )  x 0 x  x0 x  x0 x  x0

Έχουμε:

 f (x)  f (x 0 )  Επειδή lim f (x 0 )  f (x 0 ) και lim  x 0   x 0 f (x 0 ) , έχουμε τελικά: x x0 x x0 x  x0   xf (x 0 )  x 0f (x) lim  f (x 0 )  x 0f (x 0 ) x x0 x  x0 

.

f (x)  2(x  1)  3 , να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται x 1 στο 1 και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A(1, f(1)).

13.

Αν η f είναι συνεχής στο 1 και ισχύει lim x 1

Λύση f (x)  2(x  1) . Τότε f (x)  (x  1)g(x)  2(x  1) . x 1 Είναι limf (x)  lim[(x  1)g(x)  2(x  1)]  0 και επειδή η f είναι συνεχής στο 1, θα είναι f(1) = 0,

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)  x 1

x 1

f (x)  f (1) (x  1)g(x)  2(x  1)  (x  1)g(x) 2(x  1)    οπότε: lim  lim  lim  x 1 x 1 x 1 x  1  x 1 x 1  x 1  2(x  1)  lim g(x)  2  3  2  5 . Άρα f (1)  5 . x 1 2(x  1)   Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y  f (1)  f (1)(x  1) ή y = 5(x – 1). 

.

6f (x)  3xf (x)  4x 2f (x)  20x 5  0 , για κάθε x  . (1) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0  0 , τότε: α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(0,0) .

3f (x)  4xx 4 3f (x) β) Να αποδείξετε ότι lim .  . γ) Να βρείτε την g(0) , όταν g(x)  3 x 0 2x  7x 7 2e x

14. Έστω συνάρτηση f , με

3

2

Λύση α) Η (1) για x = 0 δίνει f(0) = 0. f (x)  f (0) f (x)  lim . x 0 x 0 x x 0

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, θα είναι f (0)  lim

f 3 (x) f 2 (x) f (x)  3 4  20x 2  0 , οπότε 3 2 x x x 2  f 3 (x)  f (x) f (x) lim 6 3  3 2  4  20x 2   0  6[f (0)]3  3[f (0)]2  4f (0)  20  0  0  x 0 x x  x 

Για x  0 η (1) γράφεται: 6

 6[f (0)]

2

 3f (0)  4  f (0)  0 . Είναι όμως 6[f (0)]2  3f (0)  4  0 , γιατί Δ < 0 και α = 6 > 0, οπότε

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

17

, τότε η ευθεία με εξίσωση y  f (2)  x  5 είναι παράλληλη της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(2, f(2)). ιδ) Αν f (2)  1 , τότε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(2, –1) είναι παράλληλη στην y  x .

ιγ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

2. Να κυκλώσετε το σωστό στα παρακάτω:

α) Αν f (x 0 )  g(x 0 ) , τότε οι γραφικές παραστάσεις των f, g : Α. Τέμνονται στο σημείο με τετμημένη x 0 . με τετμημένη το x 0 .

Β. Εφάπτονται στο σημείο

Γ. Έχουν στο σημείο με τετμημένη x 0

κοινή

εφαπτομένη. Δ. Έχουν στα σημεία με τετμημένη x 0 εφαπτόμενες παράλληλες. Ε. Κανένα από τα παραπάνω.

0 1 2 4 β) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η εξίσωση f (x)  0 έχει λύση την : Α. x  0 Β. x  1 Γ. x  2 Δ. x  4 Ε. καμία από τις παραπάνω. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο A(x 0 ,f (x 0 )) , όταν: Α. η f είναι συνεχής στο x 0 Β. το x 0 είναι άκρο του πεδίου ορισμού της f f (x)  f (x 0 ) f (x)  f (x 0 ) Γ. είναι f (x 0 )  0 Δ. lim Ε. lim 0   ή  . x x0 x x0 x  x0 x  x0

─∙─ f :  δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 αλλά υπάρχουν στο από δεξιά και από αριστερά τα όρια του λόγου μεταβολής, τότε η f είναι συνεχής στο x 0 .

3. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση 4.

Αν η συνάρτηση f :



είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , με f (x 0 )  0 , να αποδείξετε ότι και η

συνάρτηση g(x)  f (x) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 .

5.

Αν η συνάρτηση f :



είναι συνεχής στο x 0 , να αποδείξετε ότι η g(x)  x  x 0 f (x) είναι

παραγωγίσιμη στο x 0 , αν και μόνο αν f (x 0 )  0 .

6.

Για τη συνάρτηση f :



ισχύουν: lim

   και είναι συνεχής στο x 0  και μόνο αν f (x 0 )  0 .

x  x 0

f (x)  f (x 0 )   x  x0

, lim

x  x 0

f (x)  f (x 0 )   x  x0

, με

. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g  f 2 παραγωγίζεται στο x 0 αν

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο , η f παραγωγίσιμη στο x 0  και ισχύουν: g(x)  g(x 0 ) g(x)  g(x 0 ) και lim lim      , με    , τότε η συνάρτηση h  f  g x  x0 x  x0 x  x 0 x  x 0 παραγωγίζεται στο x 0 αν και μόνο αν f (x 0 )  0 .

7.

  . Αν η f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα εσωτερικό σημείο x 0  και η f είναι αύξουσα στο Δ, να αποδείξετε ότι f (x 0 )  0 .

8. Θεωρούμε μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα

Παράγωγος γνωστής συνάρτησης σε γνωστό σημείο

(Λυμένες ασκ. 1, 2, 3, 4)

9. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: α) f (x)  x 2  3x  4 στο x 0  2 ,

β) f (x)  x 2  x στο x 0  2 ,

γ) f (x)  x  2 στο x 0  2 ,

1 στο x 0  1 . (Σχολ.) x2 10. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x 0 όταν:

δ) f (x)  2 x στο x 0  0 , (Σχολ.) α) f (x)  3 x  2 και x 0  2 . γ) f (x)  x  2  2x  1 και x 0  1 .

ε) f (x) 

β) f (x)  x x  2  3 και x 0  0 . δ) f (x)  x x  2  x και x 0  0 . (Σχολ.)

11. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο α) f (x)  2x  x και x 0  0 .

x 0 όταν:

β) f (x)  1   x και x 0  0 .

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

18

12. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο

x 0 όταν:

2x 2  3, x  1 και x 0  1 .  4x  5, x  1

β) f (x)  



 x 2  1, x  0 και x 0  0 . (Σχολ.)

3 x0  x ,

δ) f (x)  

2x 2  1, x 1 και x 0  1 .

2 2(x  1)  x , x  1

α) f (x)  

 x 2  x  1, x  0 και x 0  0 . (Σχολ.) x0  x  1,

γ) f (x)  

13. Να εξετάσετε, αν παραγωγίζεται στο

(x 3  1)3 x  x 2 .  x 2  (x 2  1)3 x

x 0  0 η f (x)  lim

14. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων ώστε οι συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες στο

 x 2  x, x 1  β) f (x)   x 2  4x  1 και x 0  1 . , x 1  x 1 

 x 2  x  , x  0 α) f (x)   και x 0  0 .  2x  1, x  0

Παράγωγος συνάρτησης με άγνωστο τύπο σε γνωστό σημείο 15. Αν για μια συνάρτηση f

ισχύει f (1  h)  2  3h  3h 2  h 3 , για κάθε h 

f (1)  2  f ΄(1)  3 .

16. Αν για κάθε

x

x 0 όταν:

(5, 6, 7, 8, 9)

να αποδείξετε ότι (Σχολ.)

ισχύει f (x)  3x 4 , να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0.

 2  1  1  x  , x0 f (x) f (x) x f 17. Αν lim να αποδείξετε ότι η g παρα lim  0 και g(x)    x  x x  x x  x  0, x0  γωγίζεται στο x 0  0 .

─∙─

18. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 να αποδείξετε ότι, η συνάρτηση g, με g(x) = xf(x), παραγωγίζεται στο 0. (Σχολ.)

19. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 5 να αποδείξετε ότι, η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 5, όταν g(x)  x 3  5x 2  x  5  (x 2  25)f (x) . Έστω η συνάρτηση f, με 3x 2f 3 (x)  2f (x)  x 3  x 2  x  1 για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: Αν η f είναι συνεχής στο x  1 , είναι και παραγωγίσιμη σ’ αυτό.

21. α) Αν για κάθε x  ισχύει: x  1  f (x)  x 2  x  1 , να αποδείξετε ότι i) f (0)  1 . f (x)  f (0) f (x)  f (0)  x  1 , για x  0 και 1   x  1 , για x  0 . iii) f (0)  1 . (Σχολ.) ii) 1  x x β) Αν για κάθε x  ισχύει: 2 x  x 4  xf (x)  2 x  x 4 και η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι f (0)  0 και f (0)  1 . (Σχολ.) γ) Αν για κάθε x  ισχύει: 32 x  2x 4  xf (x)  32 x  2x 6

20.

και η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο x 0  0 .

22.

2f (x)  3x 2  14 , τότε να αποδείξετε x 2 x2

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0  2 και ισχύει lim

ότι, η f παραγωγίζεται στο 2.

23.

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο

x 0  0 , τότε να αποδείξετε ότι f (0)  1 

24.

και ισχύει: lim x 0

1 3

f (x)  2x  3  1 . Αν η f είναι συνεχής στο x

.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

x 2 f (x  2)  3 . Να αποδείξετε ότι η f x 0 3 x

και ισχύει: lim

παραγωγίζεται στο 2 .

25. Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει

2f (h  2)  3(h  2) 2  14 και f (2)  6 . Να απόh 0 h

lim

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

19

δείξετε ότι f (2)  1 .

─∙─ f (x)  7 , να αποδείξετε ότι f (0)  7 . x (Σχολ.)

2 27. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (0)  f (0)  2 και g(x)  2f (x)  3xf (x) για κάθε x  , να αποδείξετε ότι g(0)  10 .

26. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει

lim x 0

x2  f (x  2), , με g(x)   . Αν η f παραγωγίζεται για f (x  4)  2, x  2 x  0 και x  2 , με f (0)  f (2)  2 και f (0)  f (2)  3 , να αποδείξετε ότι η g παραγωγίζεται στο 2.

28. Έστω οι συναρτήσεις



f ,g :

f (x 2  2), x  1 , με g(x)   . Αν η f παραγωγίζεται για x  3  f (x  2), x  1 και η g παραγωγίζεται στο 1, να αποδείξετε ότι f (3)  0 .

29. Έστω οι συναρτήσεις



f ,g :

και παραγωγίσιμη στο 0, με f(0) = f (0)  0 .

3  f (2x) , x  0 Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση g(x)   ισχύει g(0) = 0.

2x  0, x0 

30. Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο

Για την άρτια συνάρτηση f :  ισχύει ότι, η Cf διέρχεται από το σημείο Α(3, 9) και f (3)  6 . Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο – 3 και έπειτα ότι παραγωγίζεται στο – 3.

31.

32.

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και f ()  0 , να αποδείξετε ότι, η συνάρτηση

h(x)  f (x)  f (x) είναι παραγωγίσιμη στο α .

Αποδείξεις σχέσεων

(10)

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες για x = 0 και ισχύουν: f (x)g(x)  2 x , για κάθε x  και f (0)  g(0)  0 , να αποδείξετε ότι: f (0)g(0)  1 .

33.

34. Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιμες για x = 4, 1, 2 αντίστοιχα και ισχύει f 2 (x)  g2 (x  3)  h 2 (x  2)  x 4  8x 3  16x 2 , για κάθε x  να αποδείξετε ότι: [f (4)]2  [g(1)]2  [h(2)]2  16 .

35. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο 0 συνάρτηση f, με

, (1)

f (0)  f (0)  1 . Αν ο ν είναι θετικός ακέραιος και

f (x)  f (2x)  ...  f (x)    55 , να βρείτε τον ν. x 0 f (x)  1

ισχύει lim

36.

Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο 0 συναρτήσεις f και g, με 2f (0)  g(0) , για τις οποίες ισχύει

2f (x)  g(x)  3x , για κάθε x 

. Να αποδείξετε ότι g(0)  2f (0)  3 .

37. Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 2 και ισχύουν: x 2 (f (x)  g(x))  x 2  (3x  2)g(x) , για κάθε x  Να αποδείξετε ότι: 4f (2)  12g(2)  5  g(2) .

Όρια

(11, 12)

38. Αν η συνάρτηση f (x)  2 , x 2 x 3  8

α) lim

(1) και f (2)  1  3g(2) . (2)

f:



παραγωγίζεται στο 2, με f (2)  2 και f (2)  12 να βρείτε τα: f 2 (x)  4 , x 2 x2

β) lim

39. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 3, με

x 2 f (x)  8 , x 2 x2

γ) lim

f (3)  12 και f (3)  2 να βρείτε το lim

40. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α > 0, να υπολογίσετε τα όρια:

x 3

f (x)  4x x 6 3

.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

40

4.2.5

Πως εργαζόμαστε

1. Εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης Όταν ζητείται η παράγωγος f  μιας συνάρτησης f ορισμένης στο Α, πρέπει να βρεθούν με τη σειρά που αναφέρονται τα εξής:  Το πεδίο ορισμού Α της f .  Το πεδίο ορισμού Α1 της f  . (Το πεδίο ορισμού Α1 της f  περιέχει όλα τα στοιχεία του Α στα

οποία η f παραγωγίζεται.)  Ο τύπος της f  . (Αυτός υπολογίζεται με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης, τους τύπους των παραγώγων και τέλος με τη βοήθεια του ορίου του λόγου μεταβολής, όπου χρειάζεται.) g(x), x  α , τότε h(x), x  α βρίσκουμε, με τη βοήθεια των τύπων, την παράγωγο στα ανοικτά διαστήματα (π.χ. για x  α , f (x)  g(x) και για x  α , f (x)  h(x) ) και με τη βοήθεια του ορισμού (λόγος μεταβολής) βρίσκουμε, εφόσον υπάρχει, την παράγωγο για x  α .  Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει δύο ή περισσότερους κλάδους (π.χ f (x)  

 Εννοείται ότι αν η f δεν είναι συνεχής στο x  α , τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο x  α .

— Όταν ζητείται η f  , βρίσκουμε πρώτα την f  και κατόπιν την παράγωγο της f  . Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

45) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των: i) f (x)  (x 2  3)(2x 2  3x  1) ,

ii) f (x) 

ημx , x

ln x  5 ex 3  2συνx , (Σχολ.) iv) f (x)  , v) f (x)  xημx ln x , vi) f (x)  , ln x x 5  ημx 1 vii) f (x)  ln(  x) , (Σχολ.) viii) f (x)  25x 3 , (Σχολ.) ix) f (x)  (3x 4  4x 3 )2 , (Σχολ.) x

iii) f (x) 

Λύση i) Για κάθε x 

είναι f (x)  (x 2  3)(2x 2  3x  1)  (x 2  3)(2x 2  3x  1) 

2x(2x 2  3x  1)  (x 2  3)(4x  3)  8x3  9x 2  14x  9 . (ημx)x  ημx(x) xσυνx  ημx  . x2 x2 1 (e x )  lnx  e x  x x  e (x ln x  1) . iii) Για κάθε x  0 είναι f (x)  (ln x) 2 x ln 2 x

ii) Για κάθε x 

*

είναι f (x) 

(3  2συνx)(5  ημx)  (3  2συνx)(5  ημx)  (5  ημx)2 2ημx(5  ημx)  (3  2συνx)συνx 10ημx  3συνx  2 .  (5  ημx)2 (5  ημx)2

iv) Για κάθε x 

είναι f (x) 

v) Για κάθε x  (0,  ) είναι f (x)  (x)ημx ln x  x(ημx) ln x  xημx(ln x)  ημx ln x  xσυνx ln x  ημx .

1  x  ln x  5 (ln x  5)  x  (ln x  5)(x) x  ln x  4   vi) Για κάθε x  (0,  ) είναι f (x)  .

2 2 x x x2 1 1  x2  0  x(1  x 2 )  0  x  A  (,  1)  (0,1) . vii) Πρέπει f (x)   x  0  x x

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

50

4.2.8

Λυμένες ασκήσεις

Παράγωγος συνάρτηση – Κανόνες παραγώγισης 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

ln x στο 1 και με τη βοήθειά της το lim

h 0

ln(1  h) . h

Λύση 1 και f (1)  1 . x Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε: f (1  h)  f (1) ln(1  h)  ln1 ln(1  h)  0 ln(1  h) ln(1  h) . Άρα lim f (1)  lim  lim  lim  lim 1. h 0 h  0 h  0 h  0 h  0 h h h h h

Έστω f(x) = lnx. Τότε f (x) 



.

2. Αν

, να αποδείξετε ότι 2x 2f (x)  [f (x)]2 (1  x 2 ) .

f (x)  ln(x 2  1) για κάθε x 

Λύση 1 2x και (x 2  1)  2 x 1 x 1 (2x)(x 2  1)  2x(x 2  1) 2(x 2  1)  4x 2 2(1  x 2 ) , οπότε f (x)    2 (x 2  1)2 (x 2  1) 2 (x  1) 2

Για κάθε x 

έχουμε: f (x) 

2x 2 f (x)  2x 2

2(1  x 2 ) 4x 2 (1  x 2 ) ,  (x 2  1)2 (x 2  1) 2

2

(1)

4x 2 (1  x 2 )  2x  2 . [f (x)]2 (1  x 2 )   2 (1  x )   (x 2  1)2  x 1 Από τις (1) και (2) έπεται ότι 2x 2f (x)  [f (x)]2 (1  x 2 ) .

2



.

3.

Δίνεται η συνάρτηση f (x)  eμ

(2)

2 2

x

. α) Να βρεθούν οι τιμές του μ 

, με x 

όταν ισχύει

f (x)  8f (x)  2μ x  f (x) . β) Να λύσετε την εξίσωση f (x)  f (x)  8f (x)  0 για μ = 2.

2

Λύση f (x)  eμ

2 2

x

 (μ 2 x 2 )  2μ 2 x  eμ

2 2

x

. f (x)  (2μ 2 x)  eμ

α) Αν f (x)  8f (x)  2μ 2 x  f (x) , τότε 2μ 2  eμ 2μ 2  eμ

2 2

x

 8eμ

2 2

x

 0  2(μ 2  4)eμ

2 2

x

β) f (x)  f (x)  8f (x)  0  2μ 2  eμ 2

2

2

2 2

x

2 2

x

 2μ 2 x  (eμ

 4μ 4 x 2  eμ

2 2

x

2 2

x

 8eμ

)  2μ 2  eμ

2 2

x

2 2

x

 4μ 4 x 2  eμ

 2μ 2 x  2μ 2 x  eμ

x

x

.



 0  μ  2 .

2 2

x

 4μ 4 x 2  eμ

2 2

2

x

 2μ 2 x  eμ

2 2

x

 8eμ

2 2

x

0 

2

8e4x  64x 2  e4x  8x  e4x  8e4x  0  (64x 2  8x)e4x  0  8x(8x  1)  0  x   .

2 2

2 2



1 ή x = 0.

8

f (x)  α  α  ...  α , με α1 ,α2 , ...,α ν  0 , α1 ,α2 , ...,α ν  1 και f ΄(0) = 0, τότε να αποδείξετε ότι: α1α2 ...α ν  1 .

4. Αν

x 1

x 2

x ν

Λύση Είναι f (x)  α1x ln α1  α2x ln α2  ...  α xν ln α ν , οπότε f (0)  ln α1  ln α2  ...  ln α ν και ln(α1  α2  ...  α ν )  0  ln1  α1α2 ...α ν  1 . .



5. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο

και ισχύει f(0) = g(0) = 0, να αποδείξετε ότι είναι

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

65

Λύση Προφανώς είναι f (t)  1  2



t 499 ,

t  0 , η οποία παραγωγίζεται στο [0, ) , με f (t) 

1  1  t1 1 ln 2  499 1 ln 2 1 f (0)   4 ή t1  1996 . 2    2 499   24 , οπότε 499 499 16 499 16 16

t

Πρέπει f (t1 ) 

t

ln 2  499 . 2 499

.

t



y  x 2 , x > 0 φέρνουμε κάθετες στους άξονες. Σχηματίζεται έτσι, ένα ορθογώνιο εμβαδού Ε. Αν η τετμημένη του Α μεταβάλλεται με ρυθμό 3cm/sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού, όταν x = 2cm. y Λύση y  x2

51. Από σημείο (x, y) της καμπύλης

y

Τα μεγέθη x, y, E μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου. Έχουμε (t)  x(t)  y(t) και επειδή y(t)  x 2 (t) , είναι (t)  x 3 (t) , οπότε (t)  3x 2 (t)  x(t) , όπου x(t)  3 . Αν t 0 η χρονική στιγμή κατά την οποίαν έχουμε x(t 0 )  2 , τότε θα είναι (t 0 )  3x 2 (t 0 )  x(t 0 )  3  22  3  36 . .

A

x

O

x



Δίνεται η συνάρτηση f (x)  e x .Ένα σημείο M κινείται επί της Cf , ώστε τη χρονική στιγμή t να βρίσκεται στη θέση Μ(α(t), β(t)). Η εφαπτομένη της Cf στο Μ τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα P, Κ αντιστοίχως. α) Να αποδείξετε ότι, η ταχύτητα του P είναι ίση με την ταχύτητα της τετμημένης του Μ. β) Να βρείτε την ταχύτητα του Κ, όταν η ταχύτητα του P είναι 2m/sec και η τετμημένη του Μ είναι 0,5 .

52.

y

β(t)

M K

Λύση Είναι β(t)  eα(t) , f (x)  e x και η εξίσωση της εφαπτομένης

α(t)

P O

x

στο Μ είναι y  eα(t)  eα(t) (x  α(t)) . Για x = 0 είναι y  eα(t)  α(t)  eα(t) και για y = 0 είναι x  α(t)  1 , οπότε τα σημεία τομής με τους άξονες είναι, τη χρονική στιγμή t, τα K(0, eα(t)  α(t)  eα(t) ) και P(α(t)  1, 0) , οπότε x P (t)  α(t)  1 και yK (t)  eα(t)  α(t)  eα(t) .

α) Η ταχύτητα του P τη χρονική στιγμή t είναι x P (t)  [α(t)  1]  α(t) , δηλαδή ίση με την ταχύτητα της τετμημένης του Μ.

β) Η ταχύτητα του K τη χρονική στιγμή t είναι yK (t)  [eα(t)  α(t)  eα(t) ] ή yK (t)  eα(t)  α(t)  α(t)  eα(t)  α(t)  α(t)  eα(t)  α(t)  α(t)  eα(t) .

Επειδή α(t 0 )  0,5 και α(t 0 )  2 , έχουμε: υ  yK (t 0 )  0,5  2  e0,5   e . .



Μια σκάλα ΒΓ μήκους 5m ακουμπά με το πάνω μέρος της Β σε έναν τοίχο, ενώ τα πόδια της Γ γλιστρούν μακριά από τον τοίχο πάνω στο έδαφος με ρυθμό 5cm/sec. Τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία η κορυφή της σκάλας απέχει από το έδαφος 4m, ζητούνται: α) Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η σκάλα με το έδαφος. β) Η ταχύτητα με την οποία γλιστράει η κορυφή της σκάλας. (Σχολ.)

Β

53.

y(t)

5m θ(t) Γ

x(t)

Α

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

24. α) Αν

71

f (x)  ημ 2 x , να αποδείξετε ότι f (x)  4f (x)  2 .

(Σχολ.)

α) Αν f (x)  συνωx  Bημωx , να αποδείξετε ότι f (x)  ω2f (x)  0 β) Αν f (x)  x 2e x , να αποδείξετε ότι [f (x)]2  f (x)[f (x)  2e x ] .

25. Αν 26. Αν 27.

28.

f (x)  ex  e x  5 , να λυθεί η εξίσωση f (x)  f (x)  0 .

f (x)  eμx , να βρείτε το μ ώστε να ισχύει f (x)  3f (x)  4f (x)  0 . π Αν f (x)  ημ(συν 2 x)  συν(ημ 2 x) , να βρεθούν οι x  ( , π) ώστε να ισχύει f (x)  0 .

2

Αν f (x)  x  x 2  1 . α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f

και f  με τον άξονα y΄y ταυτίζονται.

β) Να βρείτε το lim

x 2

Παράγωγος συνάρτησης με άγνωστο τύπο 29. Έστω μια συνάρτηση κάθε x 

30.



f:

f (x) x 2  1  x  5 x2 2

.

(5, 6, 7, 8, 9, 10)

, δυο φορές παραγωγίσιμη στο

, με f (x)  3  2x 4  3x 2 για

f (x)  1 , να βρείτε την f (0) . x 0 x

. Αν lim

Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει lim x 0

f (x)  2  x  0 , να εξετάσετε x x 0

 f (0) ,  ως προς τη συνέχεια στο 0 τη συνάρτηση g(x)   (ημx  ημ 3x)ημ  π x  . 4  ,x 0   2xσυνx

31. Έστω η συνάρτηση α) Η f είναι συνεχής στο



f:

.

, με f 3 (x)  f (x)  x  2 για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο .

─∙─ ισχύουν f(2) = 1, f (2)  3, g(2)  4, g(2)  5 να βρείτε για x = 2 την παράγωγο των συναρτήσεων f  g, f  g, f  g, f : g .

32. Αν για τις συναρτήσεις f, g

gof ορίζεται, η f παραγωγίζεται στο 2 και η g παραγωγίζεται στο 1 με f (2)  1 , f (2)  3 και g(1)  4 να βρεθεί η [g(f (x))] για x = 2 .

34. Αν f (x)  συνx και g(x)  f (2x  π ) , τότε να βρείτε το g(π) .

4 35. Αν ισχύει f (2 x)  35 x  23x , για κάθε x  (0,  ) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 1 (0,  ) , να βρείτε το f ( ) .

2 3 7 36. Αν f (x )  x  8x , για κάθε x  0 , τότε να βρείτε την f (8) .

33. Αν η

37. Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο για κάθε x 

. Να υπολογίσετε τα f ΄(4) και g΄(3), όταν ισχύουν: f (x  5)  2g(2x  3)  x  3 (1) και 2

2

f (3ημx  4)  g(2x 2  5x  3)  4x 2  9x  6 (2).

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  x  . Να αποδείξετε ότι f (1)  1 και f (1)  2 .

38.

, με f (1)  0 και f (f (f (x)))  x 2  6x  6 για κάθε

Έστω δυο συναρτήσεις f ,g :  , με g(x)  (3x 2  4)f (x)  2x για κάθε x  άρτια και παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι f (0)  0 και g(0)  2 .

39.

40. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση f τέτοια, ώστε να είναι κάθε x 

να ισχύει f (5x  2)  f (2x  4)  3x .

3

2

. Αν η f είναι

f (8)  2 , και για

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

74

f (x) για κάθε x  * . x 72. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε να υπάρχει πραγματικός αριθμός α ώστε να ισχύει g(x  y)  e yg(x)  ex g(y)  xy   για κάθε x, y . Να αποδείξετε ότι: g(x)  g(x)  g(0)ex  x για κάθε x  . α,β 



, να αποδείξετε ότι: f (x)  2(f (x)) 2 

Δίνεται η συνάρτηση f :  , με f (x  y)f (x  y)  f 2 (x) , για κάθε x, y , f (0)  1 και f (0)  2 . Να αποδείξετε ότι, αν η f παραγωγίζεται στο , τότε f (x)  2f (x) για κάθε x  .

73.

f (xy)  f (x)  f (y) , για κάθε x, y  (0,  ) . Αν η f είναι παραγωγίσιμη  και f (1)  1 , να αποδείξετε ότι το γινόμενο x  f (x) είναι ανεξάρτητο του x για κάθε x, y  (0,  ) .

74. Έστω μια συνάρτηση f, με

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Συντελεστής διεύθυνσης Εύρεση συντελεστή διεύθυνσης Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης x3  x στο σημείο Α(1, f(1)). f (x)  2 x 1 76. Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x3  x 2  9x  12 . Να βρείτε τα ,  έτσι, ώστε το σημείο A(2,  10) να ανήκει στη C και η εφαπτομένη της C στο Α να έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό –3.

75.

Να εξετάσετε, αν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x)  e , x  , στο σημείο της Α(0, 1). x

77.

Οριζόντια εφαπτομένη (23)

78. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ευθείες που εφάπτονται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x)  e2x  3ex  5x  e  e2 και είναι παράλληλες του άξονα x΄x. f (x)  ημ2x  2ημ 2 x , x [0,2π] , στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα των x. (Σχολ.) y 80. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Μ f (x)  2x 3  x 2  6x   , ,   . Να αποδείξετε ότι    1 .

79. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της

81. Να αποδείξετε ότι, αν έχει οριζόντια εφαπτομένη η γραφική παράσταση της f (x)  x 3  x 2  x   ,   0 , τότε 2  3(  1) .

82. Για τη συνάρτηση f (x)  e3x 2  x 2  8x  8 να αποδείξετε ότι: 3 α) Υπάρχει σημείο Α(ξ, f(ξ)), με ξ  (1, 2) στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη του x΄x.

O

α

β x Ν

β) Tο ξ είναι ρίζα της εξίσωσης 3f (x)  3x 2  22x  0 . Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο f (1)  14 , f (2)  5 και ισχύει f (x)  2x 2  5x  7 , για κάθε x  οριζόντια εφαπτομένη.

83.

, έχει συνεχή πρώτη παράγωγο, . Να αποδειχθεί ότι η Cf δέχεται

Η εφαπτομένη τέμνει τον x΄x υπό ορισμένη γωνία (24)

84. Υπάρχει σημείο A στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

π ; 6 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x η εφαπτομένη της καμπύλης που είναι γραφική

στο Α να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ίση με

85.

f (x)  ln x έτσι, ώστε η εφαπτομένη

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

78

τριγώνου ΑΜΒ.

122. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)  ex , g(x)  e x και τυχαίο σημείο (x 0 ,0) του άξονα x΄x. Να αποδείξετε ότι: α) Οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων y των f, g στα σημεία A(x 0 ,f (x 0 )) και B(x 0 ,g(x 0 )) αντίστοιχα, τέμνουν τον άξονα x΄x σε δυο σημεία Γ, Δ που απέχουν μεταξύ ε τους απόσταση σταθερή. β) Οι ΓΒ και ΑΔ είναι κάθετες. γ) Τα Β και Α είναι αντίστοιχα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΓΔ και ΒΓΔ. Μ(x1, αx12) 123. Έστω η συνάρτηση f (x)  x 2 ,   0 . Στο σημείο Μ της x ω Cf με τετμημένη x1  0 φέρουμε εφαπτομένη (ε) που τέμνει τον Ο T P Ν x΄x στο Τ. Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Ν στον x΄x ώστε MP  xx και f (x1 ) , MN  () . Να αποδείξετε ότι: α) i) OP  2TP , ii) TP  f (x1 ) f (x1 ) iii) PN  f (x1 )  f (x1 ) , iv) TM  1  (f (x1 )) 2 . f (x1 )

β) i) Για τη συνάρτηση f (x)  ex το ΤΡ είναι σταθερό. ii)Για ποια συνάρτηση ισχύει TP = 1/2 ;

Σχέση εφαπτομένης και γνωστής ευθείας (36, 37, 38) Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x 2  7x  10ln x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία y  x .

125. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραμμής y  1 που είναι κάθετη στην ευθεία x2 . yx7

124.

Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης α f (x)  x 2   β να έχει στο σημείο της Α(3, 8) εφαπτομένη παράλληλη της ευθείας y  x  3 και x έπειτα να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο Α.

127. Για μια πολυωνυμική συνάρτηση ισχύουν f (4)  0 και (f (x))2  f (x) για κάθε x  . α) Να βρεθεί ο τύπος της f. β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία y  x  1 .

126.

128. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο

συναρτήσεις f, g.

α) Αν η ευθεία y  2x  3 είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(1, f(1)), να υπολογίσετε τους αριθμούς f (1) και f(1).

β) Αν επί πλέον ισχύει g(f (x))  x 2  2x  7 για κάθε x  , να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Ν(5, g(5)).

129. Να προσδιορίσετε τα α, β  ώστε η ευθεία y  x να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  αx  β στο σημείο M(1,1) . Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x)  (αx  β)e x στο σημείο της Α(0, 1) να είναι η y  x  1 ;

130.

f (x)  2x 2  x   , α,β  και η ευθεία y  3x  1 . Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία y  3x  1 , να είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 2.

132. Αν f (x)  αx3  βx 2  6x  γ , να βρείτε τις τιμές των α,β, γ,λ  , για τις οποίες η γραφική παράσταση C της f τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(1, 0) και Β(0, -5) και η ευθεία y = 18x + λ εφάπτεται της C στο σημείο Γ(2, f(2)).

133. α) Να αποδείξετε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2  (3α  2)x  3α  4 διέρχεται από σταθερό σημείο Α, για κάθε α  . β) Να εξετάσετε, αν υπάρχει τιμή του α  , ώστε η

131. Δίνεται η συνάρτηση f με

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

96

4.3.4 A. Πως εργαζόμαστε στη λύση εξισώσεων 1. Μία τουλάχιστον ρίζα Οι συνηθέστεροι τρόποι για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα είναι οι εξής:

α) Να παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση έχει μια προφανή ρίζα. Παρ. 31) Η εξίσωση ln(1  x)  ex  1 παρατηρούμε ότι έχει ρίζα τον x  0 , γιατί ln(1  0)  e0  1 . Άρα έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

─∙─ β) Να αποδείξουμε ότι σε ένα διάστημα [α, β] ισχύει για την f το θεώρημα του Bolzano.

2) για κάθε x [0,1] . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  2  5x έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0, 1).

Παρ. 32) Έστω μια συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [0,1] , με f (x)  (1, Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)  f (x)  2  5x , x [0,1] . Παρατηρούμε ότι είναι συνεχής στο [0, 1] . Ακόμη ισχύουν: g(0)  f (0)  2  1  2  3 και g(1)  f (1)  3  2  3  0 . Δηλαδή g(0)g(1)  0 , οπότε για τη g ισχύει το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [0,1] . Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον ρ στο (0, 1) τέτοιος, ώστε να ισχύει g(ρ)  0 ή f (ρ)  2  5ρ  0  f (ρ)  2  5ρ . Δηλαδή η εξίσωση f (x)  2  5x έχει μια τουλάχιστον λύση ρ στο διάστημα (0, 1).

─∙─ γ) Αν η εξίσωση είναι πολυωνυμική περιττού βαθμού, τότε με τη βοήθεια του θεωρήματος του Bolzano αποδεικνύουμε ότι έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Παρ. 33) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x5  2x  7  0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)  x 5  2x  7 , η οποία είναι συνεχής στο

, ως πολυωνυμική.

Επειδή lim f (x)  lim x   έπεται ότι υπάρχει α  0 , ώστε f (α)  0 .

5

x 

x 

Επειδή lim f (x)  lim x 5   έπεται ότι υπάρχει β  0 , ώστε f (β)  0 . x 

x 

Συνεπώς στο διάστημα [α, β] ισχύει το θεώρημα του Bolzano, δηλαδή η εξίσωση f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) , άρα και στο .

─∙─ δ) Να βρούμε το σύνολο τιμών της f και να παρατηρήσουμε ότι περιέχει το μηδέν. Παρ. 34) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex  x  10  0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)  e x  x  10 , x 

. Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως

αύξουσα, γιατί, για x1  x 2  e  e  e  x1  ex2  x 2  f (x1 )  f (x 2 ) , οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το f ( )  ( lim f (x), lim f (x))  (,  )  . Δηλαδή υπάρχει ρ  τέτοιος, ώστε να x1

x 

x2

x1

x 

ισχύει f (ρ)  0 . Άρα ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f (x)  ex  x  10  0 .

─∙─ ε) Να αποδείξουμε ότι ισχύει το θεώρημα του Rolle σε ένα διάστημα [α, β] για μια συνάρτηση g της οποίας η παράγωγος είναι η f. (Μια τέτοια συνάρτηση g λέγεται, όπως είπαμε, αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f ).

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

121

50. Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [0,1] , παραγωγίσιμη στο

(0,1) και f (1)  ef (0)  1 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  (0,1) τέτοιος, ώστε να ισχύει f (ξ)  3ξ 2 (1  f (ξ)  ξ 3 ) . Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α, β] και ισχύει g(α)  g(β)  0 , να αποδείξετε ότι, υπάρχουν γ1 , γ 2  (α,β) , με g(γ1 )  g(γ2 )  g(γ1 )  g(γ 2 )  f (γ1 )  f (γ 2 )  0 .

51.

Μία ή δύο ή … ή ν ρίζες το πολύ Θ. Rolle και άτοπο (13, 14)

52. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x5  40x3  240x  17λ  0 , λ  έχει μια το πολύ ρίζα στο [2, 2] .

53. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x)  2 για κάθε x  , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  2x  31 έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα .

54. Να δειχθεί ότι, η εξίσωση 55. Αν α  0 , β  * και

x 2ν  αx  β  0, ν 

*

δεν έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.

η εξίσωση f (x)  0 , με f (x)  αx3  βx 2  3x  2 έχει τρεις ρίζες πραγματικές, να αποδείξετε ότι απ’ αυτές μία τουλάχιστον και δύο το πολύ είναι αρνητικές.

56. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f (x)  0 για κάθε x  , να δείξετε ότι, κάθε ευθεία του επιπέδου τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε δύο σημεία.

57. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν το πολύ 23 τιμές του x  , για τις οποίες ισχύει f (x)  4 . Να αποδείξετε ότι, η ευθεία y = 4x + λ τέμνει τη Cf σε 24 το πολύ σημεία. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , με 2f 3 (x)  ef (x)2  3f (x)  x1523  5x για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σημείο.

59. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , με f 2 (x)  f (x)  1  ex  3x για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σημείο.

58.

Μία ή δύο ή … ή ν ρίζες τουλάχιστον Θ. Rolle στην αρχική (15, 16)

60. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 6αx 2  6βx  2α  3β  0 , α,β  * έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).

61. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 5x 4  4x3  3x 2  6x  6 έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (1,2) . αν α α  ν 1  ...  1  α0  0, ν  * να αποδείξετε ότι η εξίσωση: ν 1 ν 2 ν ν 1 α ν x  α ν 1x  ...  α1x  α0  0 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0,1).

62. Αν

Αν η γραφικές παραστάσεις της παραγωγίσιμη στο συνάρτησης f και της g(x)  x 2 έχουν δυο κοινά σημεία με τετμημένες α, β, όπου 0  α  β , να αποδείξετε ότι η εξίσωση

63.

4x[f (x)  x 2 ]  f (x)[f (α)  f (β)  2x 2 ] έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, β).

64.

Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [0, 1], παραγωγίσιμη στο (0, 1), με f (0)  f (1) . Να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  (1  2x)(ef (x)  1) έχει μια, τουλάχιστον, λύση στο διάστημα (0, 1). f (α)  f (β)  0 και f (x)  0 , για κάθε x  (α,β) . Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ  υπάρχει ρ  (α,β) , ώστε f (ρ)  λf (ρ) , δηλαδή η εξίσωση λf (x)  f (x)  0 έχει μια, τουλάχιστον, λύση στο διάστημα (α, β).

65. Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β), με *

Θ. Rolle και Θ. Bolzano (17)

66. Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2] , με συνεχή παράγωγο στο [0, 2] ώστε να ισχύουν f (2)  f (0)  2 και f (0)  0 . Να αποδείξετε ότι: α) Αν g(x)  f (x)  ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cg , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον x΄x.

β) Υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0  (0,2) τέτοιο, ώστε f (x 0 )  3x 0 .

2

και τέτοια,

x , τότε υπάρχει 2

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

128

f (x) είναι σταθερή και να βρεθεί η f.

3x 2 , με f (x)  0 για κάθε x  και η συνάρτηση

κάθε x  (0,  ) , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) 

145. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

g(x)  f 2 (x)  ln f (x) είναι σταθερή, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

146. Θεωρούμε τη συνάρτηση f , με f (x)  1 2 για κάθε x  . α) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση 1 x 1  xα   xα  f1 , με f1 (x)  f   , α = σταθερά, x  , τότε να αποδείξετε ότι: f    f (x)  σταθ. (1)   1  αx   1  αx 

 x  x1    f (x)  f (x1 ) για κάθε x1 , x , με xx1  1 .  1  xx1 

β) Αν f(0) = 0, τότε f 

συναρτήσεις f, g, για τις οποίες ισχύουν: f (0)  1 , g(0) 

147. Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες στο

και f (x)[f (x)  1]  2g(x)[1  2g(x)] για κάθε x 

1 2

.

1

148. Έστω μια συνάρτηση

. Αν xf (x)  (2x 2  1)e x για κάθε x  0 και f (1)  2e , να

f : (0,  )  1

αποδείξετε ότι f (x)  (x 2  x)e x . ν

Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f (x)  f (y)  κ x  y για κάθε x, y [α, β] , με κ > 0 και ν φυσικός με ν >1, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο διάστημα [α, β]. (Συνάρτηση Lipschitz) 150. α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους σε ένα διάστημα Δ και συνδέονται με τις σχέσεις f   g και g  f , τότε να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχουν οι f ,g και είναι συνεχείς.

149.

ii) f   f  g  g  0 . iii) Η συνάρτηση h  f 2  g 2 είναι σταθερή. β) Για τις παραπάνω συναρτήσεις f, g να αποδείξετε ότι: Αν x1 , x 2 , με x1  x 2 , είναι ρίζες της εξίσωσης f (x) = 0 και f (x)  0 για κάθε x  (x1 , x 2 ) , τότε η g(x) = 0 έχει μια μόνο ρίζα στο διάστημα (x1 , x 2 ) .  1 151. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο A  (0, 12 )  ( 12 ,  ) , με f (x)  1  και f (x) x x(ln x  2) e e f (x)(ln x  2) . f (x)  0 για κάθε x  A . α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g(x)  x 1 2 β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A( 3 , 2 ) και B(1,2e) , να βρείτε την f. e e

Εύρεση της f από την f΄(39) 152. Να βρείτε τη συνάρτηση f όταν: α)

f (x)  3x 2  2x  5 για κάθε x 

και f (0)  3 .

3  5ημx για κάθε x  1 και f (0)  0 . x 1 γ) f (x)  συνx  ημx για κάθε x  και f (0)  f (0)  3 .

β) f (x)  4e2x 

153. x

Να βρείτε τη συνάρτηση f : και f (0)  0 .



όταν: (x  2)(f (x)  1  συνx)  3x3  8x 2  4x για κάθε

154. Έστω οι συναρτήσεις f, g, που είναι παραγωγίσιμες στο x

και f (0)  g(0) . α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει c

, με f (x)  e x  g(x)  ex για κάθε

ώστε να ισχύει f (x)  g(x)  e x  e x  cx

για κάθε x  . β) Αν επιπλέον η εξίσωση f (x)  ex  e x  0 έχει δυο ρίζες ετερόσημες ρ1  ρ2 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x)  0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ρ1 ,ρ2 ] .

155. Να βρεθεί συνάρτηση f , όταν:

(x  2)f (x)  2x 2  x  6 για κάθε x 

156. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

1 ισχύει f 5 (x)  f (x)  e x (1) και 6 και έπειτα να βρείτε την f.

, για κάθε x 

f(0) = 1, να αποδείξετε ότι, η f διατηρεί πρόσημο για κάθε x 

και f(0) = 1.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

149

Λύση α) Η f έχει πεδίο ορισμού το A  (0,  ) . Έχουμε f (x) 

1  ln x . x2

1  ln x  0  1  ln x  0  x  e . x2 1  ln x f (x)  0   0  1  ln x  0  ln x  1  x  e και f (x)  0  x  e . x2 Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, e] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1 [e,  ) , οπότε παρουσιάζει μέγιστο για x = e, το f (e)  . e f (x)  0 

1 e

β) Στο προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο το f (e)  , το οποίο είναι και μοναδικό, οπότε είναι και ολικό μέγιστο. Δηλαδή για κάθε x > 0 ισχύει f (x) 

1 ln x 1   . (1) e x e

ln x 1   eln x  x  eln x  x 1  eln x  x  ln e  ln x e  ln ex και επειδή x e η συνάρτηση lnx είναι γνησίως αύξουσα ισχύει x e  ex .

γ) Η (1) γράφεται

δ) Για κάθε x > e η f είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε από π > e έπεται f (π)  f (e)  f (e)  f (π)  ln e ln π ή πln e  eln π  ln eπ  ln πe  e π  πe .  e π

4.4.5

Βοηθητικές ασκήσεις

Οι βοηθητικές ασκήσεις είναι ασκήσεις που τις χρησιμοποιούμε βοηθητικά και για τη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα τις αποδείξουμε. Αν μια συνάρτηση f παραγωγίζεται σε ένα διάστημα Δ, η f  είναι συνεχής στο Δ και f (x)  0 για κάθε x  , τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

1.

Λύση Επειδή η f  είναι συνεχής στο Δ και f (x)  0 για κάθε x  , έπεται ότι η f  διατηρεί πρόσημο στο Δ, δηλαδή είναι μόνο f (x)  0 ή μόνο f (x)  0 για κάθε x  , οπότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

─∙─

2.

Για κάθε x  [0,

π ) ισχύει: εφx  x 2

Λύση π Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)  εφx  x , η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [ 0, ) και παραγωγί2 1 π π  1 ή f (x)  εφ2 x  0 για κάθε x  ( 0, ) . σιμη στο ( 0, ) , με f (x)  2 2 συν 2 x π Επομένως η f (x)  εφx  x είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) , οπότε ισχύει: 2 π π f (0)  f (x) ή f (x)  0 για κάθε x  [ 0, ) . Άρα εφx  x για κάθε x  [ 0, ) .

2 2

─∙─

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

187

γ) Αν 2  α  2 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3  3x   = 0 έχει ακριβώς μια λύση στο (1,1) . (Σχολ.) x  9x είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα x2 1 διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα διαστήματα αυτά . β) Η εξίσωση x3  x 2  9x    0 είναι ισοδύναμη με την f(x) = α και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α  . (Σχολ.)

145. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , με f (x)  1000 για κάθε x  και α > 0. f (x)  f (α) Αν lim f (x)  λ   {, } , να αποδείξετε ότι: α)  1000 για κάθε x   {α} . x   x α β) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

144.

Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f (x) 

3

Συνάρτηση ‘1 – 1’ και Μονοτονία (34) f (x)  1  ln(1  x)  ex ως προς τα ακρότατα.

3x  3 β) Να επιλύσετε την εξίσωση e3x  2  e2x 3  ln στο διάστημα (0,  ) .

2x  4 147. Να λύσετε στο την εξίσωση: e3 x  e10  3 x  10 .

146.α) Να μελετήσετε την

f (x)  e x  ln(2  x) .

5x στο (,2) .  ln 5  2x

148. α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της β) Να λύσετε την εξίσωση e32x  e3 x

Θ. Bolzano ή ενδιάμεσης τιμής και μονοτονία (35, 36, 37) Έστω η συνάρτηση f (x)  x  λ  (x  1)ln(x  1) , με x  0 . Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εξίσωση f (x)  0 , να έχει μόνο μια ρίζα στο διάστημα [0,e  1] .

149.

f :  , με f 3 (x)  f 2 (x)  2f (x)  3x 5  5x 3  1 για κάθε x  Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1) .

150. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση 151.

Έστω ότι ισχύει f 3 (x)  f 2 (x)  f (x)  x 3  2x 2  6x  1 , (1) για κάθε x 

, με ,  

, και

  3 , όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι: α) Η f δεν έχει ακρότατα. β) Υπάρχει μοναδική ρίζα της f (x)  0 στο (0,1) . (Θ) 2

f (x)  x 4  2x 2   ,  . Να δειχθεί ότι: α) Αν τα σημεία (x1 ,f (x1 )) , B(x 2 ,f (x 2 )) , (x 3 ,f (x 3 )) είναι τοπικά ακρότατα της Cf και x1  x 2  x3 , τότε η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη της ΒΓ. β) Η εξίσωση f (x)  0 έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα (1,0) , αν 0    1 .

152. Δίνεται η συνάρτηση

P(x)  P(x)  x 3 για κάθε x  . Να βρείτε: α) Το βαθμό του (x) . β) Το (x) . γ) Το πλήθος των πραγματικών ριζών του. δ) Το πρόσημο των ριζών του.

153. Ένα πολυώνυμο (x) ικανοποιεί τη σχέση: 154. Έστω συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο

, με e  g(1)  3 και g(x)  g(x)  e x , για κάθε x 

α) Να λύσετε στο την εξίσωση f (x)  0 , με f (x)  e g(x)  5x  2 . β) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ex  f (x)  1  0 στο διάστημα (0,1) . x

Θεώρημα Rolle ή μέσης τιμής και μονοτονία (38)

155. Να αποδείξετε ότι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

f (x)  2x και g(x)   x 2  2x  1

έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία , τα Α(0, 1) και Β(1, 2) .

156. Να λύσετε στο την εξίσωση 2x  5x  2  27x . Εξισώσεις και ακρότατα (39, 40)

157. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 4  x3ημx  3x 2συνx  6ημx  6συνx  6 . β) (x  2)ex 1  1 .

158. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1  x 2  ημx  0 έχει μόνο δύο πραγματικές ρίζες.

.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

α) lim (2x x 

1  e2x ) x

245

x2

x4

x

1  1   x 3   , β) lim  1  4  , γ) lim 1  2  , δ) lim   , x   x   x   x  2  x  x  x2

 2x 2  3  ε) lim  2  , x  2x  1  

2

στ) lim( 2 x) x , x 0

2

ζ) lim(1  32 x) x , x 0

1

η) lim( x 

x x  . ) 

x 1

18.

19.

(1  x) x  e Να υπολογίσετε το lim x 0 3x Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και f(0) = 0, να βρείτε το lim x f (x) . x 0

Εφαρμογή των κανόνων De L’ Hospital σε διάφορες ασκήσεις Συνέχεια (5)

20.

ln(1  x)  1, x  0  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f (x)   e x  eημx . , x  0  x  ημx 

21.

Μπορεί να επεκταθεί στο 0 η συνάρτηση f (x)  (1  2x) x , ώστε να είναι συνεχής στο διάστημα

1

1 (  ,  ) ; 2

Αν η συνάρτηση f :  είναι συνεχής και ισχύει (x 2  x)f (x)  e2ημx  2f (x)ημx  ex κάθε x  , να βρείτε τον αριθμό f(0).

22.

2

x

για

Παραγώγιση (6, 7, 8, 9)  ln[1  ln(1  x)]  1, x  0 f (x)   . x 2  x  1, x0    ln(x 2  2x  2)  x2 , x 1 , x 1   g(x)  24. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)   και .  ln x x 1 1 , x 1   0, x 1 x  

23. Να βρεθεί όπου ορίζεται η παράγωγος της

Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 1. β) Η g είναι συνεχής και όχι παραγωγίσιμη στο 1. (Σχολ.) x x    , x0 25. Δίνεται η συνάρτηση f (x)   . Να βρείτε τις τιμές των ,   0 , ώστε η  x  x, x  0 5 γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A  (1, ) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.

2 26. Να δειχθεί ότι, η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο και τέτοια, ώστε να 2 ισχύει: (x  1)[f (x)  2]  ln(x  x  1) για κάθε x  , παραγωγίζεται στο 1. είναι άρτια, συνεχής, και για κάθε x  ισχύει xf (x)  3x  4x . β) Να εξετάσετε αν, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.   x  ημx, x  0 Δίνεται η συνάρτηση f (x)   3 . α) Να εξετάσετε, αν η f παραγωγίζεται δυο φορές   x  2x, x  0

f:  α) Να βρείτε τον τύπο της f.

27. Αν η συνάρτηση 28.

στο x0  0 . β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μοναδική ρίζα. γ) Να εξετάσετε, αν το x0  0 είναι θέση σημείου καμπής. Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  , με f (0)  f (0)  0 και f (0)  1 . Έστω η  f (2x) , x0  συνάρτηση g(x)   x . α) Να βρείτε την παράγωγο της g.  0, x0

29.

4.9 4.9.1

Επανάληψη

Ερωτήσεις θεωρίας

1. α)

Δώστε τους ορισμούς: i) Παράγωγος σε σημείο, ii) Παράγωγος συνάρτησης, iii) Δεύτερη παράγωγος συνάρτησης,.

1 1 1 f (x) β) Γράψτε τους τύπους των παραγώγων : x, x, ln x, ex , ,  , f (x)g(x) , , , f (g(x)) . x x g(x) g(x)

γ) Να αποδείξετε τους τύπους των παραγώγων των συναρτήσεων: c, x, x  , x, f (x)  g(x), cf (x) , δ) Να αποδείξετε τους τύπους των παραγώγων των συναρτήσεων: εφx, σφx, x α , α x , ln x . ε) Τι δηλώνουν οι διαφορές x  x  x 0 , y  f (x)  f (x 0 ) και f (x 0  h)  f (x 0 ) ; f (x)  f (3) f (3  h)  f (3)  2 , υπάρχει η παράγωγος της f στο 3;  2 και lim x 3 h 0 x 3 h f (x  h)  f (x 0 ) f (x 0  h)  f (x 0 ) ζ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0  , τότε ισχύει lim 0 ;  lim h 0 h  0 h h η) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που συνδέει την παράγωγο με τη συνέχεια και να αποδείξετε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. θ) Για να είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x 0  A , είναι απαραίτητο να είναι συνεχής στο x 0 ; ι) Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 είναι ή δεν είναι συνεχής στο x 0 ; ια) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Α και x 0  A , τότε ισχύει lim f (x)  f (x 0 ) ;

στ) Αν lim

x x0

η

ιβ) Πως συμβολίζουμε τη 4 παράγωγο μιας συνάρτησης; d  d 3f  d 2 f (5) d 3f (3)  , , , , f (x) (f (x))   , f (x) , f (x) dx  dx 3  d2x dx 3 ιδ) Αν είναι γνωστό ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 2, τότε μπορούμε να προχωρήσουμε για την εύρεση της δεύτερης παραγώγου της f στο 2; 2. α) Αν το γινόμενο δύο συναρτήσεων είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 1, τότε μία τουλάχιστον από τις δύο είναι παραγωγίσιμη στο 1; β) Τι διαφορά έχουν οι τύποι f (g(x)) και (f (g(x))) ; γ) Ποια είναι η παράγωγος του f1  f 2  f3 ;

ιγ) Ποιοι από τους συμβολισμούς είναι σωστοί;

g(x), x  α ; h(x), x  α

δ) Πως θα βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης της μορφής f (x)  

ε) Αν η παράγωγος της f είναι άρτια, η f είναι περιττή; Το αντίστροφο ισχύει; στ) Να αποδείξετε ότι το (x  ρ)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ(x), αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου και της παραγώγου του.

2

ζ) Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων x 2 , 2 x, (x)2 , ln3 x, ln x3 , ex , (e x )2 .

3. α) Δώστε τους ορισμούς: i) Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης σε κάποιο σημείο της., ii) Μέση και στιγμιαία ταχύτητα κινητού, iii) συνάρτηση θέσης ενός κινητού, iv) ρυθμός μεταβολής του y ως προς x. β) Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο της (α, f(α)); γ) Είναι απαραίτητη η συνέχεια στο x 0  A για την ύπαρξη της εφαπτομένης στο (x 0 ,f (x 0 )) ; δ) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο x 0  A , τότε θα υπάρχει σίγουρα εφαπτομένη στο (x 0 ,f (x 0 )) ; ε) Πως βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f η οποία διέρχεται από το σημείο Β που δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης; στ) Μια εφαπτομένη σε πόσα σημεία μπορεί να τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; ζ) Τι σχέση έχει η ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 με την παράγωγο της συνάρτησης θέσης του κινητού;

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

4.9.2

283

Ασκήσεις

 7  (2  1)x με x  0 και    . x 3 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)). β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία (ε) και τους άξονες x΄x, 16 y΄y είναι το λιγότερο τ.μ. γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)  (OM)2 , όπου Μ τυχαίο σημείο 9 (x,f (x)) της γραφικής παράστασης της f και Ο η αρχή των αξόνων. Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της g, όταν x  1 γίνεται ελάχιστος. δ) Για κ = 3 i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα σημείο καμπής. ii) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. iii) Να βρείτε το lim f (x) . iv) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f  βρίσκεται κάτω από

1. Δίνεται η συνάρτηση

f (x)  6x ln x 

x 0

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) 

6x 2e x  13x 2  3 για κάθε x > 0.. x2

 x ln x, x  0 . α) Να δείξετε ότι, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0. f (x)   x 0  0, β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

2. Δίνεται η συνάρτηση

α  ex

γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης x για όλες τις πραγματικές τιμές του α. δ) Να αποδείξετε ότι, ισχύει f (x  1)  f (x  1)  f (x) , για κάθε x > 0 . Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο , με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f (x)  f (2  x) και f (x)  0 για κάθε x  . α) Να αποδείξετε ότι, η f είναι γνησίως μονότονη. β) Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. f (x) γ) Έστω η συνάρτηση g(x)  . Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g f (x) στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο. (Θ) δ) Αν επιπλέον η f παραγωγίζεται δυο φορές στο , να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x έχει με τη f (x)  f (x)  f (x) γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x)  τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. f (x)

3.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  , για την οποία ισχύει: f(αx) = αf(x) για κάθε α, x  . Αν υπάρχει πραγματικός αριθμός γ τέτοιος, ώστε να ισχύει f (γ)  0 , να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι περιττή συνάρτηση. β) γ  0 . γ) Η γραφική παράσταση της f είναι μια ευθεία, της οποίας ζητείται ο συντελεστής διεύθυνσης με τη βοήθεια των γ και f(γ). δ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο γ συνάρτηση (g  f )(x)  g(γ) γ f (x) g τέτοια, ώστε να ισχύουν: lim[   ]  0 και f(γ) = g(γ). Να αποδείξετε ότι, η x γ xγ x xγ παραπάνω ευθεία είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α(γ, g(γ)).

5. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και μια συνάρτηση g για την οποία ισχύει x 1 g(x)  3f (x)  2e  ημ(x  1) για κάθε x  . (1) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της Α(1, 1) είναι παράλληλη της ευθείας 7x  y  2 , τότε: α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)). f (x)  xe x 1  1  e x 1 f (x)e x  2e  e x  x ln(xee ) 2 lim β) Να βρείτε τα: i) lim και ii) . x 1 x 1 x2 1 x3  1 γ) Αν για την f ισχύει επί πλέον ότι f (x)  ex 1  κx  λ για κάθε x  , τότε: i) Nα υπολογίσετε τα

4.

κ, λ 

, ii) Να αποδείξετε ότι f (x)  ln

x  1  3ln 2 η g είναι γνησίως φθίνουσα.

e3 για κάθε x  27

. iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε

Απαντήσεις Υποδείξεις

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

311

x = α(1 – lnα). Επομένως , τη χρονική στιγμή t, το Α έχει τετμημένη x(t)  α(t)[1  ln α(t)] . Ο ρυθμός μεταβολής του σημείου Α τη χρονική στιγμή t 0 είναι x(t 0 )  α(t 0 ) ln α(t 0 ) ή

x(t 0 )  [α2 (t 0 )  2α(t 0 )]ln α(t 0 ) 

1 1 2e  1  2 )(1)  2 .

2 e e e β) Προφανώς είναι εφθ  f (α)  1/ α , οπότε  (

εφθ(t) 

4.3 Θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής 4.3.6 Θεώρημα Rolle

1 . Παραγωγίζουμε και έχουμε : α(t)

1 α(t)  θ(t)   2 , οπότε 2 συν θ(t) α (t) α(t ) θ(t 0 )   2 0 συν 2θ(t 0 )  (2e  1)συν 2θ(t 0 ) . α (t 0 ) 201. Τη χρονική στιγμή t είναι x 2 (t)  y2 (t)  α2  2x(t)  x(t)  2y(t)  y(t)  0  x(t 0 )  x(t 0 )  y(t 0 )  y(t 0 )  0  x(t 0 )  x(t 0 )  y(t 0 )  3x(t 0 )  0  y(t 0 ) 1 1   εφθ(t 0 )  . x(t 0 ) 3 3 dS  106 km / h . dt 203. α) Είναι (OB)  s(t)  2t και 202.

2(25  2t 2 ) 25  t 2

και

14 .

3

9 7 .

7

205. Έστω ότι τη χρονική στιγμή t έχει διανύσει απόσταση    S(t) . Τότε η σκιά του είναι

    x(t) . Από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε

h x(t) h x(t)       ή ή   H S(t)  x(t) H  h S(t)

h h  S(t) και x (t)   υ . ( 0,2m / s ) Hh Hh 206. Αν τη χρονική στιγμή t η απόσταση είναι x(t), H 1   θ(t)  τότε εφ(θ(t))  x(t) συν 2 (θ(t)) x(t) 



H H  x (t)  θ(t)    x (t)  συν 2 (θ(t)) 2 (x(t))2 (x(t))

και θ(t 0 )  

H  x (t 0 )  συν 2 (θ(t 0 )) . (x(t 0 ))2

Είναι όμως x t 0    km , x t 0    km / h και

συν 2 (θ(t 0 )) 

θ(t 0 )  

α2

  

2



οποία f(x1) = f(x2). Τότε για την f ισχύει το Θ. Rolle στο [ x1 ,x2 ] , οπότε άτοπο.

4. Έστω h(x)  [f (β)  f (α)  (β  α)f (α)](β  x)2  [f (β)  f (x)  (β  x)f (x)](β  α)2

Είναι h(α)  h(β)  0 , οπότε ισχύει το Θ. Rolle για την h στο διάστημα [α, β] . . .

5. Στο [x, x  h] ισχύει το Θ.Μ.Τ για την f, οπότε υπάρχει ξ  (x, x  h) ώστε f (x  h)  f (x)  hf (ξ) .

α2 , οπότε: α  H2 2

H α2 Hυ  υ   2 .

2 2 2 α α H α  H2

ξx 1. h

ξx  θ , έχουμε 0  θ  1 , ξ  θh  x και h f (ξ)  f (x  θh) , οπότε το θεώρημα μέσης τιμής γράφεται: f (x  h)  f (x)  h  f (x  θh) .

6. α) Δεν ισχύει, γιατί f (1)  f (1) . Για

(OA)  6  2 25  t 2  t  4  E(4)  ...   204. α) υB (t 0 )  4cm / sec , β)

1. Λ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Λ, Λ, Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, (Λ, Σ, Λ) 2. Β, Δ, Β.

3. Έστω ότι υπάρχουν x1  x2 , με x1 ,x2  , για τα

Είναι: x  ξ  x  h  0  ξ  x  h  0 

(OA)2  1002  4t 2  (OA)  2 25  t 2 ή

E(t)  2t 25  t 2 .β) Είναι E(t) 

1 2 1  50   rad / min .

100 4 4 y s 1 208.   y  s λόγω ομοιότητας.

5 20 4 1 3 y(t)  s(t)  m / s .

4 4

207. θ(t 0 ) 

β)

Έχουμε lim f (x)  1 και lim f (x)  1  f (1) . x 1

x 1

Συνεπώς η f δεν είναι συνεχής στο 1. γ) Ισχύει. f (x)  f (1) 1 lim  lim 3   , δ) Είναι x 1 x  1 x 1 x 1 οπότε η f δεν παραγωγίζεται στο διάστημα (-2,0). f (x)  f (1) f (x)  f (1)  1 και lim 1, ε) lim x 1 x 1 x 1 x 1 οπότε η f δεν παραγωγίζεται στο x 0  1 .

7. α) Ισχύει, β) Ισχύει, γ) Ισχύει, δ) Δεν ισχύει, ε) Ισχύει.

4f (1)  f (4) 9. α  0 .

3 10. α) Η f είναι συνεχής στο [2,1)  (1, 2] και παραγωγίσιμη στο (2,1)  (1, 2) . Πρέπει να είναι 8. α 

συνεχής και παραγωγίσιμη στο x 0  1 και να ισχύει

f (2)  f (2) , οπότε   4  2  1 , α  β  γ  3 και 2β  γ  1 , με λύσεις α =1, β =3, γ =5.

2x , x 1   β) g(x)  f (x)   2 . Για x >1,  3x  6x  5 , x  1 g΄(x) = 6x-6 και x 0 

4 1 , y  2x  .

3 3

11. Αν x < 0, τότε 2x  1 και lim (2x ) ν  0 , οπότε ν  

ΚΑΤΟΥΝΗ Σ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΤΟΥΝΗ Σ ΣΤΑΘΗΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ Κ ΑΤ ΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ Κ ΑΤ ΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

fax:fax: 210210 95 65 95 108 65 108

Καλλιθέα Καλλιθέα e-mail: e-mail: zafirop@acci.gr zafirop@acci.gr

www.frontistiria-kallithea.gr www.frontistiria-kallithea.gr

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ Γ΄ Λ ΥΚΕΙ ΟΥ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαντζαγριωτάκη 89, 176 Βενιζέλου Βενιζέλου 150, 150, 176 176 7672 76Καλλιθέα Ελ. Ελ. τηλ. / fax: 210 95 33 254 fax: fax: 210 210 95 95 65 65 108 108 τηλ.: τηλ.: 210 210 95 95 92 92 070 070 Ελ. Ελ. Βενιζέλου Βενιζέλου 150, 150, 176 176 76 Καλλιθέα 76 Καλλιθέα e-mail: ster14@otenet.gr rop@acci.gr τηλ.: τηλ.: 210210 95 rop@acci.gr 92 95 070 92 070

Γ΄ Λ ΥΚΕΙ ΟΥ

Ελ. Βενιζέλου 150, 17689, 7689, Καλλιθέα Μ αντζαγριωτάκη Μ αντζαγριωτάκη 176 176 72 72 τηλ.: 210 95 92 070 τηλ. τηλ. / fax: / fax: 210 210 95 95 33 33 254 254 Μαντζαγριωτάκη Μαντζαγριωτάκη 89, 89, 176176 72 Καλλιθέα 72 Καλλιθέα fax: 210 95 65 108 e-mail: e-mail: ster14@otenet.gr ster14@otenet.gr τηλ.τηλ. / fax: / fax: 210210 95 33 95 254 33 254 e-mail: zafirop.nt@gmail.com e-mail: e-mail: ster14@otenet.gr ster14@otenet.gr

ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣΚ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΣΠΟΥΔΩΝ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

γ΄γ΄ γ΄λυκείου λυκείου γ΄ λυκείου λυκείου Επιµέλεια: Επιµέλεια: ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΑΝΝΑ ΣΤΑΘΗΣ ΚΡΙΚΟΡΙΑΝ