ΑΝΑΛΥΣΗ τόμος Α' by κεντρο διδασκαλιας και μελετης

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Α΄ y

f (x)  x 3

y 2

Cf 1

f(x)

1 x

x Ο

–1 yx

f(x)

y f (β)

f (β)

O f (α)

O ξ

ξ1

f (α)

Συναρτήσεις Όρια – Συνέχεια

ξ2 β

Ντίνος Ζαφειρόπουλος

ανάλυση τόμος Α΄ Συναρτήσεις Όρια – Συνέχεια

Περιέχει:  Αναλυτική θεωρία  Τρόπους αντιμετώπισης προβλημάτων  340 παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις  850 ασκήσεις με απαντήσεις ή υποδείξεις  Στο τέλος επανάληψη της θεωρίας με ερωτήσεις & 90 γενικά θέματα

Πρόλογος Χθες ήταν που ξεκίνησα να κάνω το δάσκαλο των μαθηματικών και από χθες μέχρι σήμερα πέρασαν κοντά πενήντα χρόνια. Κοντά πενήντα χρόνια, λοιπόν, και όμως δεν άκουσα ποτέ και από κανένα μαθητή λυκείου να εκθειάζει ως εύκολο κάποιο βιβλίο μαθηματικών. Αντιλαμβάνεσθε πιστεύω τον πόθο μου, μια και το να γίνω δάσκαλος μαθηματικών το διάλεξα, να είμαι εγώ αυτός που θα γράψει το πρώτο ευκολοδιάβαστο βιβλίο μαθηματικών για το μαθητή του λυκείου. Όλα αυτά τα χρόνια το τόλμησα κάμποσες φορές. Αποτέλεσμα; Κάθε φορά τα γραπτά μου γίνονταν και πιο δύσκολα. Έπρεπε να περάσουν τόσα χρόνια, για να αποδεχθώ την ήττα μου και να το πάρω απόφαση πια, ότι εύκολο βιβλίο μαθηματικών για ένα μαθητή λυκείου δεν υπάρχει. Μπορεί να γραφεί ένα πιο ευχάριστο βιβλίο ως προς την εμφάνιση (χρώματα, εικόνες, ιστορικά παραλειπόμενα, καλύτερη σύνδεση με την πραγματικότητα). Αυτό όμως, θα μεγάλωνε τον όγκο του βιβλίου, πράγμα απαγορευτικό για τα Ελληνικά δεδομένα λόγω του μεγέθους της αγοράς. Στην ουσία όμως, αυτό καθαυτό το κείμενο δεν θα άλλαζε. Πάντα το βιβλίο μαθηματικών του λυκείου θα φαντάζει δύσκολο στα μάτια του μαθητή. Η δυσκολία έγκειται στο ότι τα μαθηματικά έχουν δικιά τους δομή (όπως μια ξένη γλώσσα), έχουν νόμους και κανόνες τους οποίους πρέπει να τηρούμε και το κυριότερο, έχουν συνέχεια, δηλαδή πρέπει να ξεκινήσουμε από το α και να προχωράμε γράμμα – γράμμα με συνεχείς επαναλήψεις. Δεν μπορούμε δηλαδή αφού μελετήσουμε το α να διαβάσουμε στη συνέχεια το θ. Μια ξένη γλώσσα πάλι, είναι δυνατόν να τη χρησιμοποιούμε υπακούοντας μόνο στους βασικούς της κανόνες, γιατί κύριο μέλημά μας είναι να κατορθώσουμε να συνεννοηθούμε κάπως με το συνομιλητή μας. Δυστυχώς, αυτό το κάπως δεν υπάρχει στα μαθηματικά. Όταν προσπαθούμε να λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα, έχουμε απόλυτη ελευθερία στο πώς να το προσεγγίσουμε. Όταν όμως το λύσουμε και θελήσουμε να το μεταφέρουμε στο χαρτί, τότε πρέπει να το γράψουμε ακολουθώντας και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού της γλώσσας μας, αλλά και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού των μαθηματικών. Αποτέλεσμα αυτού είναι να φαντάζει το κείμενο δύσκολο στα μάτια ενός μαθητή . Συμβιβασμένος πια με την αντικειμενική δυσκολία του εγχειρήματος, έγραψα το βιβλίο αυτό, καταστάλαγμα τόσων χρόνων εμπειρίας, που ολοκληρώνεται σε τρεις τόμους και απευθύνεται κυρίως σε υποψήφιους της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, με την ευχή και προσδοκία να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο στην προσπάθειά τους. Ο αναγνώστης υποψήφιος δεν θα πρέπει να ξεχνά ότι τίποτα δεν επιτυγχάνεται χωρίς κόπο. Εδώ θα ήθελα να τονίσω στον υποψήφιο, πως είναι λάθος η πεποίθηση που επικρατεί, ότι όσο περισσότερες ασκήσεις λύσει, τόσο καλύτερα είναι και προετοιμασμένος. Μάλιστα, αν βρεθεί κάποιος να του ομαδοποιήσει τις ασκήσεις, τότε αποστηθίζοντας τις ομάδες νομίζει ότι είναι γνώστης και πανέτοιμος. Θα πρέπει να ξέρει ότι οι μεγάλοι βαθμοί στα γραπτά επιτυγχάνονται κυρίως με την καλή γνώση και όχι την αποστήθιση. Κλείνοντας, θέλω να ευχαριστήσω όλους τους κατά την πάροδο των τόσων χρόνων διδασκαλίας μαθητές μου, για όλα όσα μου δίδαξαν με τον προβληματισμό τους, τις «χαζές», όπως πίστευαν οι περισσότεροι, αλλά γεμάτες ουσία παρατηρήσεις και απορίες τους και την παιδική τους αθωότητα. Ακόμη θέλω να ευχαριστήσω τους συναδέλφους, κυρίως αυτούς που υπηρέτησαν κάποιο διάστημα σε σχολείο της Καλλιθέας, οι οποίοι μου δίδαξαν πολλά μέσω των μαθητών τους. Ειδικότερα θέλω να ευχαριστήσω το Δημήτρη Βρύσαλη για τις εύστοχες παρατηρήσεις και διορθώσεις, καθώς επίσης τη γυναίκα μου και την κόρη μου για την υπομονή τους. Τέλος δεν μπορώ να μη νιώθω απέραντα υποχρεωμένος στη Μαρίνα Βαρδαλή – Καλύβα, χωρίς την υπομονή και την πολύτιμη βοήθεια της οποίας θα ήταν πολύ δύσκολο το γράψιμο αυτού του βιβλίου. Αθήνα Ντίνος Ζαφειρόπουλος

Βιβλιογραφία 1. Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία. 2. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε. 3. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως της Καλλιθέας). 4. Τα θέματα που έχουν δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις , θέματα που έχουν προ-ταθεί από το

Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και θέματα που έχουν προταθεί σε εξετάσεις άλλων χωρών. 5. Κάππος. Α. Δ.– Απειροστικός λογισμός – έκδοσις Β΄ 1962. 6. Flett. T. M – Mathematical Analysis – Mc Graw Hill publishing Company Limited – London 1966. 7. Perju C. – Perju R – Culegere de probleme de matematica – Bucuresti 1970. 8. Φερεντίνου. Α – Νικολακοπούλου & Σαββαίδης. Χ. Β. – Στοιχεία Μαθηματ-ικής Αναλύσεως – Τόμοι 1 & 2 – Αθήνα 1976. 9. Γαλανής. Ε – Εισαγωγή στην πραγματική ανάλυση – Εκδόσεις Συμεών – Αθήνα 1976. 10. Leithold L. – The calculus with analytic geometry – Third edition – Harper & Row 1976. 11. Μάγειρας. Ν. Π – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως – τόμοι 3, 4, 6 – Σύγχρονοι μεθοδικαί μαθηματικαί σπουδαί – Αθήνα 1971, 1972, 1977. 12. Berman N. G. – A problem book in mathematical analysis – Mir Publisheers – Moscow 1977. 13. Sallas L. S & Hill E. – Calculus – One and several variables – Part 1 Third edition –J. wiley – New York 1978. 14. Donciu N – Flondor D – Algebra si analisa matematica – Bucuresti 1978. ο ο 15. Καζαντζής. Ν. Θ – Συναρτήσεις – τεύχη 1 & 2 – Τυποεκδοτική Θεσσαλο-νίκη 1979 & 1980. 16. Binmor. K. G – Mathematical Analysis – Cambridge University Press – Second edition 1982. 17. Φράγκου Δ. Β. – Ασκήσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού – Τόμοι Α΄& Β΄- Gutenberg – 1984. 18. Brand L. – Μαθηματική ανάλυση – Μετάφραση και έκδοση της Ε. Μ. Ε 1984. 19. Flanders. H – Calculus – W. H. Freeman and Company – New York 1985. 20. Zwirner G – Scaglianti L – Elementi di Analisi – Vol. secondo – Cendam – milani 1988. 21. Μαμούρης Ν. ΑΘ. – Συναρτήσεις - Μέρος ΙΙ – Διόφαντος – Αθήνα 1990. 22. Spivak M. – Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1991. 23. Ganga M. – Teme si probleme de Matematica – Editura Tehnica – Bucuresti 1991. 24. Ντζιώρας Β. Η – Ανάλυση Γ΄ λυκείου 1, 2, 3 τεύχη – Πατάκης – 1992. 25. Νεγρεπόντης Σ – Γιωτόπουλος Σ – Γιαννακούλιας Ε – τόμοι I και II – Συμμε-τρία 1987 & 1993. 26. Στρατή Γιάννη – Πραγματική Ανάλυση I – Εκδόσεις Αλκίνοος - Αθήνα 1993. 27. Thomas B. G – Finney L. R – Απειροστικός λογισμός – Τόμος Α΄ - Πανεπι-στημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1993. 28. Γεωργιακάκης Μ. – Ευσταθόπουλος Ε – Καββαδίας Κ – Σβέρκος Α – Τεύηη 1, 2, 3 Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη – Αθήνα 1994. 29. Μπουνάκης Ι. Δ – Γενικά θέματα και προβλήματα ανάλυσης – Τόμοι 1, 2 – Σύνθεση – Ηράκλειο – 1994. 30. Καζαντζής. Ν. Θ – Ολοκληρώματα & 1000 ασκήσεις ολοκληρωμάτων – Μαθηματική βιβλιοθήκη Χ. Βαφειάδης – Θεσσαλονίκη 1994 & 1997. 31. Στεργίου Χαρ. – Νάκης Χρ. – Στεργίου Ι. – Ανάλυση – Ασκήσεις και θέματα – Σαββάλας. 1998. 32. Ζαφειρόπουλος Ντ. – Παράγωγοι – Καλλιθέα 1998. 33. Αχτσαλωτίδης Χριστοφ. – Ανάλυση – Μεταίχμιο 2006.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ.

1 Συναρτήσεις

1.1 Γενικά 1.2 Μονοτονία – ακρότατα συνάρτησης 1.3 Αντίστροφη Συνάρτηση

3 37 56

2 Όρια συναρτήσεων

2.1 Όριο συνάρτησης στο x 0 2.2 Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 2.3 Όριο συνάρτησης στο άπειρο

75 103 113

3 Συνέχεια συνάρτησης

131

3.1 Συνέχεια Συνάρτησης 3.2 Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων

133 150

4 Επανάληψη

173

Απαντήσεις – Υποδείξεις

189

1.1 1.1.1

Γενικά

Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης πεδίο ορισμού – σύνολο τιμών

Αν Α και Β είναι δυο μη κενά σύνολα, τότε κάθε τρόπος με τον οποίο μπορούμε να συσχετίσουμε τα στοιχεία του Α με τα στοιχεία του Β ονομάζεται διμελής σχέση ή απλά σχέση ή αντιστοιχία από το σύνολο Α στο σύνολο Β. π. χ Αν Α είναι το σύνολο των ανθρώπων, Β το σύνολο των αυτοκινήτων, τότε η πρόταση " Ο x άνθρωπος είναι ιδιοκτήτης του y αυτοκινήτου " ορίζει μια σχέση από το Α στο Β. Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο αφετηρίας και το Β σύνολο άφιξης. Μια ειδική σχέση είναι η συνάρτηση. Συγκεκριμένα: Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία f (κανόνας, τρόπος) με την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Από τον ορισμό της συνάρτησης συμπεραίνουμε τα ακόλουθα. ─ Όλα τα στοιχεία του Α αντιστοιχίζονται σε στοιχεία του Β. (Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης) ─ Κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. ─ Δύο ή περισσότερα στοιχεία του Α μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του Β. ─ Κάθε σχέση δεν είναι οπωσδήποτε συνάρτηση. π. χ Η σχέση του παραπάνω παραδείγματος δεν είναι συνάρτηση γιατί, αφενός δεν έχουμε χρησιμοποιήσει όλα τα στοιχεία του Α (όλοι οι άνθρωποι δεν έχουν αυτοκίνητο) και αφετέρου κάθε στοιχείο του Α δεν έχει ένα μόνο αντίστοιχο στο Β (υπάρχουν άνθρωποι που έχουν περισσότερα από ένα αυτοκίνητα) Η πρόταση " ο y είναι διπλάσιος του x " και τα σύνολα Α = {1, 2, 3} και Β = { 2, 3, 4} δεν ορίζουν συνάρτηση, γιατί το x = 3 του Α έχει διπλάσιο το y = 6 που δεν ανήκει στο Β. Η ίδια πρόταση με το ίδιο Α και Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ορίζουν συνάρτηση, ενώ η πρόταση " ο x είναι μικρότερος του y " με Α = { 1, 2, 3} και Β = {4, 5, 6, 7} δεν είναι συνάρτηση, γιατί στο x = 2 αντιστοιχούν πολλά (4, 5, 6, 7) y και όχι ένα. Τα στοιχεία του Α λέγονται αρχέτυπα ή πρότυπα, ενώ εκείνα τα στοιχεία από το Β που είναι αντίστοιχα των στοιχείων του Α λέγονται εικόνες. Είναι φανερό ότι όλα τα στοιχεία του Β δεν είναι οπωσδήποτε εικόνες, αλλά και δεν υπάρχουν στοιχεία έξω από το Β που να είναι εικόνες στοιχείων του Α. Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f, g, h, … του Λατινικού αλφάβητου. Για να εκφράσουμε τη διαδικασία f γράφουμε f : Α  Β και διαβάζουμε: Η συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Μια συνάρτηση f : Α  Β, ονομάζεται πραγματική συνάρτηση, όταν το Β είναι υποσύνολο του , ενώ όταν το Α είναι υποσύνολο του , ονομάζεται συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Αν συμβαίνουν και τα δύο, δηλαδή, αν και το Α και το Β είναι υποσύνολα του , τότε η συνάρτηση λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής.  Στο βιβλίο αυτό θα ασχοληθούμε μόνο με πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, με το Α να είναι ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Μπορούμε λοιπόν να δώσουμε τον ορισμό της συνάρτησης ως εξής:

Ορισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνας, τρόπος) f , με την οποία κάθε στοιχείο x του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x) και διαβάζεται ‘εφ του χι’.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

παρενθέσεις και έχουμε: f (3)  2(3)2  (3)  3  2  9  3  3  18 . Ομοίως έχουμε: f (2x)  2(2x)2  (2x)  3  8x 2  2x  3 και

f ( x  1)  2(x  1)2  (x  1)  3  2(x 2  2x  1)  x  1  3  2x 2  4x  2  x  1  3  2x 2  5x  6 .

─∙─ γ) Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι μια σχέση είναι συνάρτηση όταν:: Για κάθε στοιχείο α, β του πεδίου ορισμού της f ισχύει: Αν α = β, τότε f(α) = f(β) ή ισοδύναμα, αν f(α)  f(β), τότε α  β. Προφανώς μια σχέση δεν είναι συνάρτηση, όταν μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον δύο y που αντιστοιχούν στο ίδιο x.

Παρ. 2) Η σχέση f με f (x)  2x 2  1 με πεδίο ορισμού το κάθε x 

και αν x1  x 2 , τότε

x12



x 22 

2x12



2x 22 

2x12

είναι συνάρτηση, γιατί ορίζεται για

 1  2x 22  1 f (x1 )  f (x 2 ) .

─ Η σχέση y2  x  1 με x  δεν είναι συνάρτηση γιατί, αν y1  y2 δεν έπεται ότι x1  x 2 . Για παράδειγμα στις τιμές y = 1 και y = –1 αντιστοιχεί το ίδιο x = 0.

Πως βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης Είπαμε παραπάνω ότι, αν μας δίνουν μόνο τον τύπο της συνάρτησης, τότε θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x για τους οποίους το f (x) έχει νόημα. Αυτό σημαίνει ότι: Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης βρίσκουμε το "ευρύτερο" από τα υποσύνολα του , το οποίο περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους το f(x) είναι πραγματικός αριθμός . Έτσι, αν έχουμε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Αf, τότε: 1  Το πεδίο ορισμού της g(x)  είναι όλα τα στοιχεία του Αf, για τα οποία ισχύει f (x)  0 . f (x)  Το πεδίο ορισμού της g(x)  κ f (x) είναι όλα τα στοιχεία του Αf, για τα οποία ισχύει f (x)  0 .  Το πεδίο ορισμού της g(x)  ln f (x) είναι όλα τα στοιχεία του Αf, για τα οποία ισχύει f (x)  0 .  Το πεδίο ορισμού των g(x)  ef (x) , g(x)  ημf (x) , g(x)  συνf (x) είναι το Αf. Δίνουμε μερικά παραδείγματα

3) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: x2 x 1 x  1  2x , β) f (x)  3 , γ) f (x)  9  x 2 , δ) f (x)  , 2 x 3  4x 2x  x  3 x  4x  x  6 ημx x  εφx ex ε) f (x)  , στ) f (x)  , ζ) f (x)  2x , η) f (x)  ln(x 2  4x) , x 2συνx  1 2συνx  1 e  5e  6

α) f (x) 

θ) f (x) 

ln(e x  1) ex  e

ι) f (x) 

2 3  x  x 1

ια) f (x) 

x2  x  6 . x 1

Λύση α) Ο παρονομαστής είναι τριώνυμο 2ου βαθμού με   12  4  2  (3)  25  0 και ρίζες x1 

1  5 3 1  25 1  5   . Άρα Af    1 και x 2  22 4 4 2

3  { ,1} . 2

─∙─ β) Πρέπει να είναι x  4x  x  6  0 . Λύνουμε την εξίσωση x3  4x 2  x  6  0 με τη βοήθεια του σχήματος Horner και βρίσκουμε ρίζες τους αριθμούς 1, –2, 2, οπότε Af   {1,2,3} . 3

─∙─

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Ορισμοί Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα. Ονομάζεται:  Άθροισμα των f, g και συμβολίζεται f  g , η συνάρτηση για την οποία ισχύει (f  g)(x)  f (x)  g(x) , για κάθε x     Διαφορά της g από την f η συνάρτηση f  g για την οποία ισχύει (f  g)(x)  f (x)  g(x) , για κάθε x     Γινόμενο των f, g η συνάρτηση f  g για την οποία ισχύει (f  g)(x)  f (x)  g(x) , για κάθε x     Πηλίκο της f δια g η συνάρτηση

f για την οποία ισχύει g

f  f (x) για κάθε x    με g(x)  0   (x)  g(x) g

Παρ. 9) Αν f (x)  x 2  x  1 και g(x)  x 2  1 , τότε οι f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το είναι: ─ (f  g)(x)  x  x  1  x  1  2x  x , για κάθε x  2

─ (f  g)(x)  x  x  1  x  1  x  2 , για κάθε x  2

f  x  x 1 ─   (x)  για κάθε x  x2 1 g 2

1.1.3

─ (f  g)(x)  (x  x  1)(x  1)  x  x  x  1 , για κάθε x  2

και

και x  1 ή x 

 {1, 1} .

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y  f (x) , δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x,f (x)) , x  A , ονομάζεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με Cf . Από τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι ένα σημείο M(x, y) του επιπέδου ανήκει στη γραφική παράσταση της f, μόνο όταν επαληθεύει την εξίσωση y  f (x) . Επομένως: Η γραφική παράσταση της f προσδιορίζεται επακριβώς από το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης y = f(x), x  A . H εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

y (1)

M(x, y)

y  f (x)

Συνήθως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα διάστημα ή μια ένωση διαστημάτων, πάντοτε υποσύνολο του , οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια γραμμή, όπως φαίνεται στα σχήματα (1), (2), που είναι πιθανόν να διακόπτεται σε κάποια σημεία.

(2) Cf

 Επειδή κάθε x του πεδίου ορισμού της f αντιστοιχίζεται ακριβώς σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό f(x), είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι: Κάθε παράλληλη προς τον άξονα y'y τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. (όπως φαίνεται στο σχήμα (2)).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

y O

y  x 2 0

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 είναι μια παραβολή. y  x 2 0

y x

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)  x και f (x) 

y

x .

y Η εκθετική συνάρτηση f (x)   x , με   0 και   1 .

Α (0, 1)

y  αx α 1

y  αx 0   1

Α (0, 1)

y y  logα x α 1

y Η λογαριθμική συνάρτηση f (x)  log x , με   0 και   1 .

y  logα x 0  α 1 Α (1, 0)

Α (1, 0)

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις f (x)  x , f (x)  x , f (x)  x . y 1

y  x π 2

y  x

3π 2

2 π x

π 2



y 1

y  x

π  2

-1

π 2

3π 2

π 2

3 2

x 2 π

 2

3 2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

1.1.5

Σύνθεση συναρτήσεων

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση h(x)  1  x 2 . Η τιμή της h στο x, δηλαδή ο αριθμός 1  x 2 μπορεί να οριστεί σε δυο φάσεις ως εξής:  Στο x  αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y  1  x 2 και στη συνέχεια  Στο y  1  x 2 αντιστοιχίζουμε τον αριθμό

y  1  x 2 , με την προϋπόθεση βέβαια να είναι

y  1  x2  0 . Στην παραπάνω διαδικασία εμφανίζονται δύο συναρτήσεις: Στην πρώτη φάση η f (x)  1  x 2 , με πεδίο ορισμού Af 

και στη δεύτερη φάση η g(y)  y , με

πεδίο ορισμού Ag  [0,  ) . Έτσι η τιμή της h στο x γράφεται τελικά h(x)  g(f (x)) . Η συνάρτηση h λέγεται σύνθεση της f με τη g και συμβολίζεται με gof . Το πεδίο ορισμού της h δεν είναι όλο το πεδίο ορισμού A f της f, αλλά περιορίζεται μόνο στα x  Af για τα οποία η τιμή f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού A g της g. Στο παράδειγμά μας πρέπει να ισχύει f (x)  0  1  x 2  0  x 2  1 x  1 1  x  1 , δηλαδή είναι το Ah  Agof  [1,1] . Γενικά μπορούμε να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό για τη σύνθετη συνάρτηση.

Ορισμός Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού A f , A g αντίστοιχα. Ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και συμβολίζουμε με gof , τη συνάρτηση με τύπο (gof )(x)  g(f (x)) και πεδίο ορισμού όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο Agof  {x  Af / f (x)  Ag }

Σχόλια α) Είναι φανερό ότι, το πεδίο ορισμού της gof δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού της f, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, αλλά περιορίζεται στα x  A f για τα οποία ο αριθμός f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g, δηλαδή είναι: Agof  Af .  Γενικά είναι φανερό ότι, η gof ορίζεται, όταν Agof   , δηλαδή

f (A)

x A gof

f gof

f(x)

όταν f (A)  Ag   .

g(A)

g(f(x))  Αν f (A)  Ag   , τότε δεν υπάρχουν τιμές f(x), που να

f (A)

g(Α)

f(x)

ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g, οπότε δεν ορίζεται και η σύνθεση gof, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. π. χ Για τις συναρτήσεις f (x)  x  2 , με Af  [2,  ) και g(x)  1  x , με Ag  ( ,  1] δεν ορίζεται η gof , γιατί δεν υπάρχουν f (x) που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g. Πράγματι, δεν υπάρχουν x για τους οποίους να ισχύει x  2  1 , δηλαδή f (x)  1 .

─∙─

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

28.

Έστω δυο γνωστές συναρτήσεις g και h ορισμένες στο

, με g(g(x))  x για κάθε x 

με   1 , να βρείτε, με τη βοήθεια των g, h, συνάρτηση f ορισμένη στο f (x)  (fog)(x)  h(x) , για κάθε x  . (1)



. Αν

, ώστε να ισχύει:

Λύση Αν στην (1) θέσουμε όπου x το g(x) , τότε θα έχουμε: f (g(x))  (fog)(g(x))  h(g(x)) ή f (g(x))  f (g(g(x)))  h(g(x)) ή αf (g(x))  f (x)  h(g(x)) . (2) Από την (1) έχουμε: f (g(x))  (fog)(x)  h(x)  f (x) , οπότε η (2) γράφεται: (hog)(x)  αh(x) . α(h(x)  αf (x))  f (x)  h(g(x)) ή (1  α2 )f (x)  (hog)(x)  αh(x) . Άρα f (x)  1  α2 

29. Έστω ότι για δυο συναρτήσεις

f ,g :



ισχύει fog  gof . Τότε υποχρεωτικά θα είναι f (x)  x

ή g(x)  x ;

Λύση Όχι. Για παράδειγμα, αν πάρουμε τις συναρτήσεις f (x)  x  2 και g(x)  x  3 έχουμε fog  gof. .



f :  . Αν η εξίσωση f(f(f(f(x)))) = x έχει μία μόνο πραγματική ρίζα, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει πραγματική ρίζα.

30. Έστω μια συνάρτηση Λύση

Αν ρ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης, τότε θα έχουμε f(f(f(f(ρ)))) = ρ. (1) Θα αποδείξουμε ότι το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x. Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι f(ρ) = ρ. Υποθέτουμε ότι το ρ δεν είναι ρίζα της f(x) = x, οπότε έστω ότι f(ρ) = κ, με    . Τότε από την σχέση (1) έχουμε f(f(f(κ))) = ρ, οπότε f(f(f(f(κ)))) = f(ρ) ή f(f(f(f(κ)))) = κ. Αυτό σημαίνει ότι το κ είναι ρίζα της f(f(f(f(x)))) = x και επειδή αυτή έχει μοναδική ρίζα θα είναι ρ = κ, που είναι άτοπο. Άρα f(ρ) = ρ. Δηλαδή το ρ είναι ρίζα της f(x) = x.

1.1.7

Ασκήσεις

Σωστό ή λάθος 1. Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις.

α) Αν για κάθε x  ισχύει f(x) = 2, τότε f(x + 1) = 3. β) Το πρώτο σχήμα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. γ) Η ίδια ερώτηση για το δεύτερο σχήμα. δ) Αν το σημείο Α(2, 5) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f, τότε f(5) = 2.

ε) Το σύνολο τιμών της f ( x ) 

x 3 x 3

, x  3 είναι {-1, 1}.

στ) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισμού το

, τότε και η

f έχει πεδίο ορισμού το g

ζ) Υπάρχει συνάρτηση στην οποία ισχύει f (1)  f (1)  1 . η) Υπάρχει συνάρτηση στην οποία ισχύει f (1)  1 και f (1)  1 . θ) Αν f (2)  3 και g(3)  5 , τότε g(f (3))  5 . ι) Αν f (x)  x και g(x)  2x 2  3 , τότε f (g(x))  2x 2  3 . ιβ) Αν f (1)  2 και f (2)  1 , τότε (fof )(1)  1 .

ια) Ισχύει fo(goh)  (foh)og .

x .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

viii) f (x) 

x 2  7x  12 , x 2  3x

xi) f (x) 

1  x2 , (Σχολ.) x

xiv) f (x) 

x2  x  6 , x 1

ix) f (x) 

3x 3  x 2  6x  8 , x 2  7x  8

x) f (x) 

x 2  2x  1 , 2x 2  7x  4

xii) f (x)  3 x  1  2  x , (Σχολ.)

xiii) f (x) 

x 3 , 5x  x 2

x2 2 , x 3

xvi) f (x) 

x2  9 . ( x  1)(x 2  4)

xv) f (x) 

4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f (x) 

 2x x  x , ii) f (x)  , iii) f (x)  e 1  x 2x2x  x

vi) f (x) 

x  x , ln x  2

vii) f (x)  ln x 2 ,

x) f (x)  1  ln 2 x ,

, iv) f (x) 

x2 , v) ln(1  e x ) ,(Σχολ.) x 1 e 1

viii) f (x)  e2x  7ex  8 ,

xi) f (x)  ln(x 2  5x  6)  x 2  4 ,

ix) f (x) 

ln x  1 , ln 2 x  4ln x  3

xii) f (x)  ln(ln(2x 2  x)) .

2x  7 έχει πεδίο ορισμού το ; x  2x  3  5 Να τοποθετήσετε σε μια σειρά τις συναρτήσεις, ώστε το πεδίο ορισμού καθεμιάς να είναι υποσύνολο

5. Για ποιες τιμές του 6.

2x 3

α

η συνάρτηση f (x) 

του πεδίου ορισμού της επόμενης.: f (x)  x  2 , g(x)  ln(x  2) , h ( x ) 

x 1

, ( x ) 

x2  9

. x x4 7. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 7]. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) h(x)  f (2x  1) , β) g(x)  f (x 2  3) , γ) t(x)  f (ln x) , δ) s(x)  f (ex  7  e) .

─∙─

8. Βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: α) f (x)  2  7x , β) f (x)2x  5 , x  (1,4] , γ) f (x)  2 , x2 δ) f (x)  , 1 x

x2 ε) f (x)  , x  (1,2) , 1 x

θ) f (x)  x 2  2x  8 , ιγ) f (x)  ex 1 ,

ι) f (x)  2x  3 ,

ιδ) f (x)  e x 1 ,

στ) f (x)  2 x  3 , ζ) f (x)  x  2 , η) f (x)  1  x , 2

ια) f (x)  x  2 ,

ιε) f (x)  2  ex ,

 3

ιβ) f (x)  2(x  )  1 ,

ιστ) f (x)  1  ln x ,

ιζ) f (x) 

1 . ln x

9. Βρείτε το σύνολο f ( [–1,2)) της συνάρτησης f(x) = 3x – 4. 10. Θεωρούμε συνάρτηση f :  με την ιδιότητα [f (x  1)]2  f (x 2  2x)  1 για

κάθε x  αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της δεν είναι υποσύνολο του συνόλου των ρητών αριθμών.

. Να

Υπολογισμός της τιμή της f – Αποδεικτικές (λυμένες ασκήσεις 1, 2, 3) 11. 12.

 x2, x 1 1 1  Δίνεται η συνάρτηση f ( x )   1 .Nα βρείτε τους: f (0) , f (3) , f ( ) , f (1) , f ( ) , f (3) . 2 2  x 2 , x  1 Αν f (x)  e  ln x 2 , να υπολογίσετε τις τιμές f(–1) , f(1), f(e), f (1/ e) .

(x  3) 3 3 , 2 3 . , να βρεθεί η τιμή της για x = 0, 3, x 2  8x  21 2 14. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  ln x  8x2 7 . α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. 1 x β) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει f 2 (4)  2    f (2)  2[1  f (3)]  0 .

13. Αν

f (x) 

f (x)  20x 2 /

. Να αποδείξετε ότι: α) f (x)  f (x),  ά x  , f ()  f () f (  )  f (  )  20,  ά , * , β) γ)  2,  ά , * . 2 2   f ()  f ()

15. Δίνεται η συνάρτηση

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού A  (f  g)(x)[(f  g)(x)  4]  2[(fg)(x)  4]  0 , να αποδείξετε ότι f  g .

28.

29. Έστω δυο συναρτήσεις f, g

με πεδίο ορισμού το

και για κάθε x  A ισχύει:

. Αν f (0)  4 και g(0)  3 να βρείτε τις τιμές

f (f  g)(0), (f  g)(0), ( )(0) . (Σχολ.) g

30. Για τις συναρτήσεις: α) γ) f (x)  x 

1 x

f (x)  1 

, g(x)  x 

Εύρεση συνάρτησης

1 x

1 x ,(Σχολ.), β) f (x)  ln(x 2  1), g(x)  ln(x  1) και , g(x)  x 1 x

(Σχολ.) , να βρείτε τις: f + g , f – g , fg και f :g.

(λυμένες ασκήσεις 6, 7, 8, 9)

31. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) Την περίμετρό του,

β) το εμβαδόν του.

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 1. Μια ευθεία ε είναι κάθετη στη διαγώνιο ΑΓ και τέμνει πάντοτε δυο πλευρές του τετραγώνου στα σημεία Κ, Λ χωρίζοντας το τετράγωνο σε δύο μέρη. Αν x η απόσταση της ε από την κορυφή Α, τότε: α) Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περιέχει την κορυφή Α, ως συνάρτηση του x. β) Να βρείτε τις τιμές: Ε(0), E( 2 ) , Ε(1), E( 2 / 2) .

32.

33. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x, να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του x. 34. Από μετρήσεις διαπιστώθηκε ότι, η καρδιά της γυναίκας μπορεί να φθάσει τους 216 το πολύ σφυγμούς ανά λεπτό σε ηλικία 5 ετών και τους 196 το πολύ σε ηλικία 25 ετών. Αν ο μέγιστος αριθμός των σφυγμών ως συνάρτηση της ηλικίας είναι της μορφής y  x   , τότε: α) Να βρείτε τον τύπο της. β) Να υπολογίσετε το μέγιστο αριθμό των σφυγμών ανά λεπτό στα 37 χρόνια μιας γυναίκας. 35. Όταν η τιμή μιας μετοχής στο Χρηματιστήριο είναι x €, τότε η προσφορά της (για πώληση) είναι (x)  x 2  x  3 δεκάδες χιλιάδες τεμάχια, ενώ η ζήτησή της (για αγορά) είναι Z(x)  x  32 δεκάδες χιλιάδες τεμάχια (α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί). Ένας σύμβουλος επενδύσεων εκτιμά ότι, κανείς δεν πρόκειται να πουλήσει μετοχές στην τιμή των 3 € (και κάτω), ενώ κανείς δεν πρόκειται να αγοράσει μετοχές στην τιμή των 4 € (και άνω). α) Να βρείτε τις συναρτήσεις ( x ) και Z( x ) . β) Ποια είναι η αξία της μετοχής όταν η ζήτηση είναι τετραπλάσια της προσφοράς; 36. Δίνεται κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ. Αν η κεντρική γωνία του είναι x rad, να βρείτε τον τύπο του εμβαδού του πολυγώνου ως συνάρτηση του x. 37. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ, ύψους x cm, είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ = 12 cm και ύψους ΑΔ = 6 cm έτσι, ώστε τα Μ, Ν να είναι σημεία της ΒΓ. Να Ε Ν Δ εκφράσετε το εμβαδόν Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου, ως συνάρτηση του ύψους του x. (Σχολ.) Ν 38. Στο διπλανό σχήμα είναι: ΑΒ = 1, ΑΓ = 3 και ΓΔ = 2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του χωρίου ΑΜΝ, ως συνάρτηση του x  AM , όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. (Σχολ.) Γ 39. Για την πενθήμερη εκδρομή της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου, ένα Α Μ Β Μ πρακτορείο έκανε την εξής προσφορά: Από 40 έως 50 μαθητές, 400 € ανά μαθητή. Για κάθε παραπάνω μαθητή και μέχρι τους 70, μείωση 1€ κάθε φορά για όλους τους συμμετέχοντες. Αν η συμμετοχή ξεπεράσει τους 70 και μέχρι τους 100, 320 € για κάθε μαθητή ή να συνεχίσουν με την προηγούμενη διαδικασία. α) Να βρείτε τις συναρτήσεις κόστους της εκδρομής, σύμφωνα με την προσφορά, για 40 έως και 100 μαθητές. β) Αν δήλωσαν συμμετοχή 92 μαθητές, ποιόν τρόπο πληρωμής πρέπει να προτιμήσουν;

─∙─

40. Να βρεθεί η συνάρτηση f :  , με f (1)  0 και f (x)f (y)  f (x  y  xy) , για κάθε x, y 41. Να βρεθεί η f :  για την οποία ισχύει f (x)  1  x 2  x  f (x  1)  2x  1 , για κάθε x 

. .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

42. Να βρεθεί η f :  για την οποία ισχύουν f (x  y)  e2x f (y) , για κάθε x, y και f(0) = 3. 43. Να βρεθεί η συνάρτηση f :  , ώστε για κάθε x  να ισχύει 3f (x  1)  2f (1  x)  5x . 44. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f :  που για κάθε x, y ικανοποιούν τη σχέση: y2f (x)(f (x)  2x)  (1  xy)(1  xy) .

Σχετική θέση της Cf ως προς τους άξονες – Σχετική θέση των Cf και Cg (λυμένες ασκήσεις 10, 11, 12)

45. Να βρείτε σε ποια σημεία τέμνουν τους άξονες οι γραφικές παραστάσεις των: β) f (x)  x 4  8x 2  16 ,

α) f (x)  x 2  x  3 , ε) f (x) 

46.

3 , 2x  4

Αν f (x) 

στ) f (x) 

x2  2 x x 4 2



2x  1 , 2 x 1

x 2 x 4 x 4 2

γ) f (x)  x 2  4 x , ζ) f ( x ) 

δ) f (x)  x 2  1  x ,

x 2  49 . x 2  2x  63

, α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της, β) να απλοποιήσετε τον

τύπο της. γ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. 47. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  2x 2  10λx  7λ  2 τέμνει τον άξονα x΄x σε δύο σημεία, όποια πραγματική τιμή και να πάρει ο λ. 48. Έστω f (x)  3x  1 . Να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της f, β) τα σημεία που τέμνει η γραφική x  2 παράστασης Cf της f τον άξονα y΄y, γ) τα σημεία της Cf που έχουν τεταγμένη 1.

49. Για ποιες τιμές του

x

, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα 1 x x´x, όταν: i) f (x)  x 2  5x  4 , ii) f ( x )  , (Σχολ.) iii) f (x)  ex  e , iv) f (x)  ln(x 2  5x  7) . 1 x 2 50. Για ποιες τιμές του x  , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x  1 : α) Βρίσκεται πάνω x 1 από τον άξονα x´x. β) Τέμνει τον άξονα x´x. γ) Σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα y΄y; x 1 51. Αν f (x)  e  1 , να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της f, β) Τις τιμές του x για τις οποίες η ln x  1 συνάρτηση f παίρνει θετικές τιμές. 52. Έστω η συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει: f 2 (x)  2f (x)  3  x(x  2) , για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x΄x. 53. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f (x)  x 3  x και g(x)  x 2  1 .

54.

Για ποιες τιμές του λ οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)  6x  8λ  3 και

g(x)  x 2  2x  3λ  2 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και ποιο είναι αυτό;

55.

Για ποιες τιμές του x 

, η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη

Cg όταν: i) f (x)  x  2x  1 και g(x)  x  1 . ii) f (x)  x 3  x  2 και g(x)  x 2  x  2 . (Σχολ.) 3

Για ποιες τιμές του x  , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: α) f (x)  ln(e2x  2) και g(x)  ln(ex  4) ,

56.

β) f (x)  ln(x 2  1) και g(x)  ln(x  1) . 2x 2  18 και οι τιμές του x για τις οποίες η x 2  4x  3 γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 3. 58. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x)  ln(ex  3  2e x ) . α) Να βρείτε τις τιμές του x  για τις

57. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

f (x) 

οποίες ορίζεται η f. β) Να αποδείξετε ότι f (x)  ln[(ex  1)(ex  2)]  x . γ) Να βρείτε τα σημεία για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g(x)  x .

59. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

f (x)  10x  10 x  1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

μέγιστο το 1, στα σημεία x  2 

  και x  2  , με  , αντίστοιχα. 2 2

Σχόλιο Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει μέγιστο και ελάχιστο (σχήμα 1) ή μόνο μέγιστο (σχήμα 2) ή μόνο ελάχιστο (σχήμα 3) ή ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο (σχήμα 4). y

(2)

(1) y = f(x) O

y = f(x)

y (3)

(4) y = f(x)

y = f(x) Ο

Πως βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης Για να βρούμε τα ολικά ακρότατα χρησιμοποιούμε συνήθως τους εξής δύο τρόπους:

α) Προσπαθούμε κατασκευαστικά να φθάσουμε σε μια σχέση της μορφής f (x)   ή f (x)   για όλα τα x του πεδίου ορισμού Α της συνάρτησης και έπειτα εξετάζουμε, αν υπάρχει x 0  A , ώστε να ισχύει f (x 0 )   . Τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο ή μέγιστο αντίστοιχα στο x 0 , που είναι ίσο με το f (x 0 )   . Δίνουμε δυο παραδείγματα.

11) Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f (x)  2 x  5 . Λύση Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το . Παρατηρούμε ότι για κάθε x  ισχύει 2 x  0  2 x  5  5  f (x)  5 . Είναι όμως f (0)  5 , οπότε f (x)  f (0) για κάθε x  . Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0  0 , που είναι ίσο με 5. .



12) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης f (x) 

4x . x 4 2

Λύση Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το . Είναι γνωστό ότι για κάθε x  ισχύει ( x  2)2  0  x 2  4 x  4  0  x 2  4  4 x και επειδή x 2  4  0 , αν διαιρέσουμε με το x 2  4 έχουμε

4x x2  4

 1

4x 4x  1 1  2 1. x2  4 x 4

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

g(x  10)  x  g(x)  10  x  g(x)  10  g(x)  x  10 για κάθε x  . (2) Θέτουμε στην g(x  10)  x  g(x)  10 , όπου x το x – 10 και έχουμε g(x)  x  10  g(x  10)  10  g(x)  x  10 για κάθε x  . (3) Από τις (2) και (3) έχουμε g(x)  x  10 .

 Όμοια αποδεικνύεται όταν f γνησίως φθίνουσα. 

10. Αν οι συναρτήσεις η εξίσωση

 (0,  ) και g :

 (0,  ) είναι γνησίως φθίνουσες, να αποδείξετε ότι,

f (x)  g(x)  3 , δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία λύσεις. f (x)g(x)

Λύση f (x1 )  g(x1 ) f (x 2 )  g(x 2 )   f (x1 )g(x1 ) f (x 2 )g(x 2 ) [f (x1 )  g(x1 )]f (x 2 )g(x 2 )  [f (x 2 )  g(x 2 )]f (x1 )g(x1 )  [g(x 2 )  g(x1 )]f (x1 )f (x 2 )  [f (x 2 )  f (x1 )]g(x1 )g(x 2 )  0 . Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί f(x) , g(x) > 0 και g(x 2 )  g(x1 )  0, f (x 2 )  f (x1 )  0 . Άρα η εξίσωση έχει το πολύ μία λύση.

Έστω ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις x1  x 2 , τότε:



11. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β) Να λύσετε την εξίσωση x

271

 3x

169

f (x)  x 271  3x169  4 , x 

είναι γνησίως αύξουσα.

 4 . γ) Για τις διάφορες τιμές του x να βρείτε το πρόσημο των

τιμών της συνάρτησης.

Λύση 169 271 169 271 169 α) Για x1  x 2 έχουμε x1271  x 271 και 3x169 1  3x 2 , οπότε x1  3x1  4  x 2  3x 2  4  2

f (x1 )  f (x 2 ) . Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: x 271  3x169  4  0  f (x)  0 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός x  1 είναι λύση της εξίσωσης f (x)  0 και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σημείο. Επομένως ο 1 είναι μοναδική λύση της εξίσωσης. γ) Για x  1 είναι f (1)  0 . Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, για x  1 ισχύει f (x)  f (1)  0 , ενώ για x  1 ισχύει f (x)  f (1)  0 . .

12. Αν η συνάρτηση



είναι γνησίως φθίνουσα, να λύσετε στο (0,  ) την εξίσωση



f (2x)  f (x  1)  f (2x )  f (x  1) . 2

Λύση Παρατηρούμε ότι το 1 είναι λύση της εξίσωσης , γιατί f (2 1)  f (1  1)  f (2 12 )  f (12  1)  f (2)  f (2)  f (2)  f (2) .  Υποθέτουμε ότι έχει και άλλη ρίζα y  1 . Τότε θα έχουμε y2  y  2y2  2y  f (2y2 )  f (2y) και

y2  y  y2  1  y  1 f (y2  1)  f (y  1) , οπότε f (2y2 )  f (y2  1)  f (2y)  f (y  1) που είναι άτοπο, γιατί έχουμε δεχθεί ότι ο y είναι ρίζα της εξίσωσης.  Υποθέτουμε ότι έχει και άλλη ρίζα 0  y  1 . Τότε θα έχουμε y2  y  2y2  2y  f (2y2 )  (2y) και y2  y  y2  1  y  1 f (y2  1)  f (y  1) , οπότε f (2y2 )  f (y2  1)  (2y)  f (y  1) που είναι άτοπο. Άρα ο αριθμός x  1 είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης. .

13. f (e



Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο

2x  x 2

3 2x

)  f (e

, να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει:

1.3 1.3.1

Αντίστροφη συνάρτηση

Συνάρτηση "1 – 1"

Ορισμός Μια συνάρτηση f : A  λέγεται συνάρτηση "1  1" , αν για οποιαδήποτε στοιχεία x1 , x 2 του πεδίου ορισμού της Α, για τα οποία έχουμε x1  x 2 , ισχύει f (x1 )  f (x 2 ) .  Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται η πρόταση: Μια συνάρτηση f : A  είναι συνάρτηση "1  1" , αν και μόνο αν, για οποιαδήποτε στοιχεία x1 , x 2 του πεδίου ορισμού της Α, για τα οποία έχουμε f (x1 )  f (x 2 ) , ισχύει x1  x 2 .

Σχόλια Μια συνάρτηση f είναι "1–1", αν και μόνο αν:

α) Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση f (x)  y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. ─∙─ β) Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή κάθε παράλληλη στον άξονα x΄x τέμνει τη γραφική παράσταση μιας "1  1" συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο. π. χ στο σχήμα (1) έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι "1 – 1", ενώ στο σχήμα (2) έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που δεν είναι "1  1" , αφού τα σημεία Α, Β έχουν διαφορετικές τετμημένες, αλλά ίδια τεταγμένη. y

y Α

(1)

Β α

(2)

 Άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι το εξής: Αν μια συνάρτηση είναι "1–1", τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία το πολύ ρίζα.

─∙─ γ) Από τον ορισμό της γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι φανερό, ότι: y

Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι "1  1" .

Απόδειξη

y  x3

Πράγματι, αν η f : A  είναι γνησίως αύξουσα, τότε για κάθε Ο x1 , x 2  A με x1  x 2 έχουμε: f (x1 )  f (x 2 ) ή για x1  x 2 έχουμε f (x1 )  f (x 2 ) . Δηλαδή, για κάθε x1 , x 2  A με x1  x 2 ισχύει f (x1 )  f (x 2 ) , που σημαίνει ότι η f είναι "1  1" . π. χ Η συνάρτηση f(x) = x3 (διπλανό σχήμα) είναι γνησίως αύξουσα και άρα "1  1" .  Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης γενικά δεν ισχύει. Δηλαδή:

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Αντίστροφη συνάρτηση και μονοτονία Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε, όπως ξέρουμε, είναι και "1  1" , οπότε αντιστρέφεται. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει η πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε αντιστρέφεται και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f.

Απόδειξη Αν η f είναι γνησίως μονότονη (έστω γνησίως αύξουσα), τότε είναι "1–1", οπότε και αντιστρέφεται. Ας υποθέσουμε ότι η f 1 δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για κάποια y1 , y2  f (A) , με y1  y2 θα έχουμε f 1 (y1 )  f 1 (y2 ) . Ξέρουμε όμως, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι τα f 1 (y1 ),f 1 (y2 ) είναι στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, οπότε θα έχουμε: f 1 (y1 )  f 1 (y2 )  f (f 1 (y1 ))  f (f 1 (y2 ))  y1  y2 . Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί δεχθήκαμε ότι y1  y2 . Άρα για κάθε y1 , y2  f (A) με y1  y2 έχουμε f 1 (y1 )  f 1 (y2 ) , που σημαίνει ότι f 1 είναι γνησίως αύξουσα. Όμοια αποδεικνύεται, όταν η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Παρ. 13) Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x 3  x  1 . Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι η f 1 είναι γνησίως αύξουσα.

Λύση Για κάθε x1 , x 2  , με x1  x 2 ισχύει x13  x 32 , οπότε x13  x1  1  x32  x 2  1 f (x1 )  f (x 2 ) . Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως αντιστρέφεται. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι γνησίως αύξουσα και η f 1 .

Αντίστροφη συνάρτηση και γραφική παράσταση Έστω μια συνάρτηση f η οποία αντιστρέφεται και C, C΄ οι γραφικές παραστάσεις των f και f 1 στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα 1). Επειδή f (x)  y  f 1 (y)  x , αν ένα σημείο M(, ) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f, τότε το σημείο M(, ) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C΄ της f 1 και αντιστρόφως. Παρατηρούμε ότι τα M(, ) και M(, ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Οy΄. Επομένως:

y M(α,β)

(1)

M(β,α)

C Ο

C

yx

Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y  x που διχοτομεί την πρώτη και τρίτη γωνία των αξόνων.

Παρ. 14) Η f (x)  3ex 1  2 , x 

είδαμε στο τελευταίο παράδειγμα ότι έχει αντίστροφη την

x2 1 , x  2 . 3 Παρατηρούμε ότι το σημείο A(1,5) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, οπότε το σημείο A(5,1) θα f 1 (x)  ln

ανήκει στη γραφική παράσταση της f 1 . 52  1  ln1  1  1 . Πράγματι f 1 (5)  ln 3

2.1 2.1.1

Όριο συνάρτησης στο x0

Η έννοια του ορίου

x2  4 . Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο f   {2} x2 (x  2)(x  2) και ο τύπος της γράφεται: f (x)  x2. x2 Η γραφική παράσταση της f είναι η ευθεία y  x  2 με εξαίρεση το σημείο A(2,  4) . Στο σχήμα παρατηρούμε ότι: "Καθώς το x προσεγγίζει τον y y=x-2 πραγματικό αριθμό –2, κινούμενο είτε από δεξιά είτε από αριστερά πάνω στον άξονα x΄x, το f (x) προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό x x -2 – 4, κινούμενο πάνω στον άξονα y΄y. Μάλιστα, όσο πιο κοντά στο Ο x – 2 κινείται το x, μένοντας πάντα διάφορο του –2, τότε και το f(x) κινείται όλο και πιο κοντά στο – 4. f(x) Η προηγούμενη πρόταση δίνεται στα μαθηματικά με την εξής (α) A -4 έκφραση: f(x) Οι τιμές f (x) της f προσεγγίζουν (πλησιάζουν) όσο θέλουμε το – 4, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο το –2, παραμένοντας διάφορο του –2. Η έκφραση αυτή διατυπώνεται και ως εξής:

Έστω η συνάρτηση με τύπο f (x) 

Το όριο της f, όταν το x τείνει στο –2, είναι το – 4, ή η f έχει στο –2 όριο το – 4, ή η f τείνει στο – 4, όταν το x τείνει στο –2 και συμβολίζεται lim f (x)  4 . Γενικά: x 2

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό , καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x 0 , τότε γράφουμε lim f (x)  και διαβάζουμε x  x0

"το όριο της f, όταν το x τείνει στο x 0 , είναι

" ή το όριο της f στο x 0 , είναι

Πεδίο ορισμού και x0 Είναι φανερό ότι, για να μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο της f στο x 0 , πρέπει η f να ορίζεται, όσο θέλουμε "κοντά στο x0". Τι σημαίνει όμως "κοντά στο x 0 "; Αν για παράδειγμα η f ορίζεται στο σύνολο (0, 1,999)  (2,001, 4), τότε μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο της f στο 2; Όχι, γιατί μεταξύ του 1,999 και του 2 υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί και επομένως μόνο κοντά στο 2 δεν είμαστε. Το ίδιο συμβαίνει και μεταξύ του 2 και του 2,001. Από τα παραπάνω έπεται ότι η έκφραση " όσο θέλουμε κοντά στο x 0" σημαίνει ότι έχουμε ένα σύνολο τουλάχιστον της μορφής : (α, x 0 )  (x 0 ,β) ή (α, x 0 ) ή (x 0 ,β) . Δηλαδή από το σύνολο το πολύ να λείπει μόνο το x 0 . Επομένως :  Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο x 0 , πρέπει η f να ορίζεται τουλάχιστον σ' ένα σύνολο της μορφής: (α, x 0 )  ( x 0 , β)

(α, x 0 )

( x 0 , β).

 Το x 0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή να μην ανήκει σ' αυτό.

Όριο και τιμή της f στο x0 Είπαμε προηγουμένως, ότι το x 0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή να μην

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

β) Στην πράξη, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f (g(x)) , της σύνθετης συνάρτησης fog στο x x0

σημείο x 0 , εργαζόμαστε ως εξής:  Θέτουμε u  g(x) .  Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) u 0  lim g(x) και x x0

 Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το

 lim f (u) . Αν ισχύουν τα παραπάνω, τότε λέμε ότι u u 0

lim f (g(x))  lim f (u) 

x  x0

u  u0

ημ(αx) , α x u ημ(αx) ημu ημ(αx) οπότε x  και lim  αlim  α 1  α . Άρα lim α. x  0 u  0 x  0 α x u x

Παρ. 18) Για να υπολογίσουμε το όριο στο 0 της f (x) 

x 0

, θέτουμε u = αx ,



19) Nα υπολογίσετε το lim

ημ(3x) 3x  1  1

Λύση Για κάθε x  (

π π , 0)  (0, ) έχουμε: 10 10

ημ(3x) 3x  1  1



ημ(3x)[ 3x  1  1]  [ 3x  1  1][ 3x  1  1]

ημ(3x)[ 3x  1  1] ημ(3x)  ( 3x  1  1) . Ισχύει lim( 3x  1  1)  2 .  x 0 3x  1  1 3x ημ(3x) ημ(3x) ημu  2 1  2 . Για u = 3x , είναι limu  lim(3x)  0 και lim  lim  1 . Άρα lim x  0 x 0 x 0 x 0 u  0 3x u 3x  1  1

2.1.3 1.

Λυμένες ασκήσεις

Να υπολογίσετε τα όρια:

α) lim[(x  1)(x  2x)] , 2

x 2

x4 β) lim 2 , x 3 x  4

x 2  x  14  3 γ) lim , x 1 x2  x  3

δ) lim

x2  x  x  2

x 0

x2  1

Λύση α) Είναι lim(x  1)  2  1  3 και lim(x 2  2x)  22  2  2  8 , οπότε lim[(x  1)(x 2  2x)]  3  8  24 . x 2

x 2

x4 3 4 7  2  . 2 x 3 x  4 3 4 5

β) Επειδή το 3 δεν μηδενίζει τον παρονομαστή κάνουμε αντικατάσταση. Έτσι lim

γ) Είναι: lim(x 2  x  14)  12  1  14  16  0 , οπότε lim x 2  x  14  16  4 . x 1

x 1

x 2  x  14  3 4  3 1   . x2  x  3 5 5

Ακόμη lim(x 2  x  3)  12  1  3  5  0 . Επομένως lim x 1

x 1

δ) Έχουμε: lim(x 2  x)  0 και lim(x  2)  2  0 , οπότε lim x 2  x  0 και lim x  2  2  2 . x 0

x 0

x x  x2 2

Ακόμη lim(x 2  1)  1  0 . Συνεπώς lim x 0

x 0

x 1 2



x 0

02 2. 1



2. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια των συναρτήσεων στο x0. α) f (x) 

x2  4  x  2 x2  4

, x0  2 ,

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

 x2  x  6 , x3  β) f (x)   x  3 , x0  3 ,  3x  5, x 3 

x 2  10x  25 , x0  5 . x 5

γ) f (x) 

Λύση α) Έστω f (x) 

x2  4  x  2

. Πρέπει x 2  4  0 και x  2  0 . Η συναλήθευση των δύο ανισώσεων

x 4 δίνει το πεδίο ορισμού που είναι: Α = (2,  ) . 2

x2 x2  x2  x2 x2 x  2 1 3  . Συνεπώς limf (x)  lim f (x)  lim x 2 x  2 x 2 2 x2

x  2( x  2  1)  x2 x2

Για κάθε x   έχουμε: f (x) 

x  2 1 x2

─∙─ x  x  6 (x  3)(x  2)  x  2 και lim f (x)  lim(x  2)  5 .  x 3 x 3 x 3 x 3 Για x  3 έχουμε f (x)  3x  5 και lim f (x)  lim(3x  5)  4 . 2

β) Για x  3 έχουμε f (x) 

x 3

Παρατηρούμε ότι lim f (x)  lim f (x) . Άρα δεν υπάρχει το όριο της f στο 3. x 3

x 3

─∙─ x 5 (x  5)2 x  10x  25 . Έχουμε f (x)  και Α =  {5} .  x 5 x 5 x 5 Παρατηρούμε ότι η παράσταση x – 5 αριστερά και δεξιά του 5 έχει διαφορετικό πρόσημο. Έτσι είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τα πλευρικά όρια. Έχουμε λοιπόν: (x  5) Για κάθε x < 5, f (x)   1 και lim f (x)  1 . x 5 x 5 x 5 Για κάθε x > 5, f (x)   1 και lim f (x)  1 . x 5 x 5 Δηλαδή lim f (x)  lim f (x) . Άρα η συνάρτηση δεν έχει όριο στο 5.

γ) Έστω f (x) 

x 5



x  3x  2 ,  2x  3 2

3. Να βρείτε τα όρια: α)

lim

β) lim

x 1 x 2

x 2

x x x2 , x3  8 3

x x2 . γ) lim x 1 3 1 x2  4 x

Λύση x 2  3x  2 (x  1)(x  2) x  2 1 2 1  lim  lim   . 2 x 1 x  2x  3 x 1 (x  1)(x  3) x 1 x  3 1 3 4

α) lim

─∙─ β) limf (x)  lim x 2

x 2

(x  2)(x  x  1) x  x 1 7  lim  . (x  2)(x 2  2x  4) x 2 x 2  2x  4 12 2

─∙─ x x x 2 2 x  2  lim x  2  lim (x  x)(x  4)  lim x(x  1)(x  2)(x  2)  lim x(x  2)  3 . γ) lim x 1 x 1 (x  2)(x 2  1) x 1 x 2  1 3 x 1 x  1 x 1 (x  2)(x  1)(x  1) 2 1 2 2 x 4 x 4 x

4. Να βρείτε τα όρια: α) lim 9  h  3 , h 0 h



β) lim

x 5

x 5 4x  5  x

γ) lim x 3

x 6 3 x 2  2x  6  3

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

101



, με (f (x)) 2   2 x  2xf (x) για κάθε x  . f (x) α) Να αποδείξετε ότι lim f (x )  0 , β) Αν υπάρχει το lim  L x 0 x x 0

50. Έστω

, να προσδιορίσετε το L.

Όριο μιας συνάρτησης με τη βοήθεια του ορίου άλλης

(12, 13, 14, 15, 16, 17)

f (x)  1 (Σχολ.). x 1 x1 x 1 x  1 f (1  h)  f (1) 52. Να βρείτε το limf (x) , αν : α) lim(3f β) lim (1  h)  1  5h  2h 2 )  7 ,  2. h 0 x 1 h 0 h f (x)  3 x 2 f (x)  12 53. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει lim .  2 , να υπολογίσετε το lim 2 x 2 x  2 x 2 x  x  2 (x  1)f (x)  3x 2 (x 2  1)f (x)  12 54. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει lim , να βρεθεί το .  3 lim x 2 x 2 x2  4 x2  4 2xf (x)  52 x f (x) 55. Αν lim .  5 , να βρείτε το lim x 0 x 0 x x 2  4 2 x f (x)ημx  x  8 56. Αν lim(xf . (x)  3  x 2 )  3 , να υπολογίσετε το lim x 0 x 0 xf (x)  4  x

51. Να βρείτε το

lim f ( x ) , αν : α) lim(3f (x)  1  5x)  2 ,

β) lim

Για μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο ισχύει 2f 3 (x)  f (x)  5x  x 2  6 . Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο της f(x) στο 3, 58. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού f  (0,1)  (1, ) και τέτοια, ώστε (x  1) f (x)   1 f (x)  1  2 lim  . Να βρείτε τα: α) lim f ( x ) , β) lim . x 1 x 1 x  1 2 x 1 x 1 3f (x) f (3x) 59. Αν lim .  4 , να υπολογίσετε το lim x 0 4x x 0 2x f (x)  x  4 3 60. Έστω f :  με f (x)  f (x  2)  3x  2 , για κάθε x  και lim  . x 0 x 4 f (x)  f (0) f (x)  f (2) Αν ισχύει limf (x)  f (0) , να βρεθούν τα: α) lim , β) lim . x 0 x 0 x 2 x x2 61. Έστω οι συναρτήσεις f ,g :  , με f άρτια και g περιττή. Να βρεθεί το lim [f (x)g(x)] , αν

57.

x  3

f (x) ισχύουν: lim 2  10 και lim[g(x)(x  x  6)]  2 . x 3 x 3 x  3x

Εύρεση παραμέτρων

(18, 19)

(α  2)x  3β, x  1 να βρείτε τους α, β  , ώστε να ισχύει limf (x)  0 . f (x)   x 1  2αx  β  1, x  1 2 63. Να βρεθεί ο  , ώστε να είναι lim x  (2  3)x  6  5 . x 3 x 3 2 κx  x  4κ  2 x 2  (κ  1)x  2(κ  1)  lim 64. Να βρείτε το κ ώστε να ισχύει lim . x 2 x 2 x2  4 x2 2 (1  )x 2  x  6 2. 65. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να είναι lim x 1 x 1 3 2 66. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  x  8x2  3x  2 . Αν η C f διέρχεται από το σημείο A(0, 1 ) και 2 x 

62. Για την

limf (x)  L  x 2

, να βρείτε τις τιμές των ,, L .

67. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί

α , β ώστε να είναι

x 3  x 2  x   3  . 2 x 2 x  6x  8 2

lim

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

104

y lim f (x)  

lim f (x)  

x x 0

x O

O x0

lim f (x)  

x x 0

lim f (x)  

x x 0

x O

2.2.2

x0 x

Ιδιότητες για τα άπειρα όρια

 Αποδεικνύεται ότι για συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής (α,x 0 )  (x 0 ,β) ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

α) Αν lim f (x)   , τότε lim (f (x))   , ενώ x x 0

x x 0

αν lim f (x)   , τότε lim (f (x))   . x x 0

x x 0

1 0. x  x 0 f (x)

β) Αν lim f (x)   ή  , τότε lim x x 0

1   , x  x 0 f (x)

γ) Αν lim f (x)  0 και f (x)  0 κοντά στο x 0 , τότε lim x x 0

ενώ 1   . x  x 0 f (x)

αν lim f (x)  0 και f (x)  0 κοντά στο x 0 , τότε lim x x 0

δ) Αν lim f (x)   ή  , τότε lim f (x)   . x x 0

x x 0

ε) Αν lim f (x)   , τότε lim κ f (x)   . x x 0

x x 0

στ) Αν lim f (x)   , τότε f (x)  0 κοντά στο x 0 , ενώ x x 0

αν lim f (x)   , τότε f (x)  0 κοντά στο x 0 . x x 0

Παρ. 1) Για τιμές του x κοντά στο 2 είναι f (x)  (x  2)2 (x 2  3)  0 και ισχύει 1 lim(x  2)2 (x 2 αν 3) lim 0 , fοπότε f (x))   και xlim( lim, τότε f2(x)2 0 κοντά   στο (x)   x 2 x0.2 x 2 (x  2) (x  3) x x 0

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ



Για την ρητή συνάρτηση f (x) 

 α xν  lim f (x)  lim  ν κ  x  x  β x  κ 

και

115

α ν x ν  α ν 1x ν 1  ...  α1x  α 0 , α ν  0 , β κ  0 ισχύει: β κ x κ  β κ 1x κ 1  ...  β1x  β 0

 α xν  lim f (x)  lim  ν κ  . Δηλαδή: x  x  β x  κ 

 Το όριο μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, όταν το x τείνει στο άπειρο, είναι ίσο με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου της.  Το όριο μιας ρητής συνάρτησης, όταν το x τείνει στο άπειρο, είναι ίσο με το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων του αριθμητή και του παρονομαστή της

Παρ. 2) i) lim (3x 5  2x3  7x 2  4x  1)  lim (3x 5 )   και x 

x 

lim (3x  2x  7x  4x  1)  lim (3x )   , 5

lim (x 2  2x  7)  lim (x 2 )  

x 

x 



x2  x  4 x2 1  lim 2  , 2 x  7x  3x  2 x  7x 7

2x 3  3x 2  1 2x 3  lim 2  lim 2x   , 2 x  x  x  2 x  x x 

ii) lim

lim

2x 3  3x 2  1 2x 3  lim  lim 2x   , x  x 2  x  2 x  x 2 x  lim

3x 2  2 3x 2 3  lim  lim 3  0 . 5 3 5 x  4x  5x  4 x  4x x  4x lim

Πως θα βρούμε γενικά το όριο μιας συνάρτησης στο   Για τις πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις έχουμε αναφερθεί στα προηγούμενα.  Για τις άλλες μορφές θα ξέρουμε ότι ισχύουν οι ιδιότητες που έχουμε αναφέρει στο όριο της συνάρτησης στο x 0 (§ 2.1.2), στα άπειρα όρια (§ 2.2.2), αλλά και ότι ισχύει στις επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις.  Όταν καταλήγουμε σε απροσδιοριστία προσπαθούμε να την αποφύγουμε, είτε με κοινό παράγοντα είτε πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με την ίδια παράσταση, είτε, εφόσον έχουμε κλάσμα, πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με την ίδια παράσταση αριθμητή και παρονομαστή.  Δεν ξεχνάμε τα σχόλια (γ), (δ) που αναφέρουμε παραπάνω και ότι το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για το όριο στο  . Δίνουμε μερικά παραδείγματα :

2) Να βρείτε τα όρια i) lim x 5  2x 2  x  4 , x 

iv) lim ( x 2  x  2  4 x 2  6) ,

ii) lim

x  4

2 5x 4  x 2

v) lim (4x 3  2)4 3 x 2  x  8 ,

x 

x 

2x  3  3x  5  x

iii) lim

x4

x 

vi) lim (2x  x 2  2x  5) . x 

Λύση (Ιδιότητες): i) Έχουμε lim (x 5  2x 2  x  4)  lim x 5   , οπότε lim x 5  2x 2  x  4   . x 

x  .

x 



ii) Έχουμε: lim (5x 4  x 2 )  lim 5x 4    lim 4 5x 4  x 2   , οπότε lim x 

x 

iii) Έστω f (x) 

x  4

2 5x  x 2 4



2x  3  3x  5  x

. Για x  0 έχουμε 2x  3  0 και 3x  5  0 , οπότε x4 2x  3  3x  5  x 6x  8 6x  8 6x f (x)    lim  6 . και lim f (x)  lim x  x  x  x4 x4 x4 x .



0.

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

130

 x 2  2   ,   0 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . β) Να βρείτε τα όρια f ( x )  ln  x   lim f ( x ) και lim f ( x ) . γ) Να δείξετε ότι f (x)  ln x  0 και να βρείτε το όριο lim (f ( x)  ln x ) .

31. Δίνεται η

x 

x0

x 

32. Σε ένα σχολείο άρχισε να κυκλοφορεί μεταξύ των μαθητών μια φήμη για την πενθήμερη εκδρομή του σχολείου. Ο αριθμός N( t ) των μαθητών που άκουσαν τη φήμη βρέθηκε ότι μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο N(t )  M(1  e 0,5t ) , όπου Μ ο συνολικός αριθμός των μαθητών του σχολείου και t ο χρόνος σε ημέρες (από τη στιγμή που πρωτοακούστηκε η φήμη). Ένας μαθητής υποστήριξε τελικά ότι όλοι οι συμμαθητές του θα ακούσουν τη φήμη. Πως το σκέφτηκε αυτό; x 1 x 2 x 1 x 2 x 33. Να βρείτε τα όρια: α) lim 3e x  2  2 x , β) lim 5 x  2 x x3 , γ) lim ( 4x  2x 1  3  2x ) . x  x  e x  5  2  3 2 f (x) 1 2  3x  x  1)  f (x)] . 34. Αν limf (x)   , να βρείτε το lim[ln(e x 1

x 1

35. Να αποδείξετε την ισότητα 36.

Έστω f (x) 

 lim  e x   

x 2  2x

e

x3  x 2

    . 

ln(ex) x  1 , x  0 . α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) Να βρείτε τα όρια: x e

ln x  ln(eln x)  1 x  e 2  x lim f (x) και lim f (x) . γ) Να λύσετε την εξίσωση  [ln    1] . x 0 x  ln x e x

Εύρεση παραμέτρων

(9, 10, 11, 12, 13)

37. Να βρείτε τις τιμές των

α,β  , ώστε να είναι α) lim

(α  2β)x 3  (2α  β)x 2  4x  3  3 . x  x2  x  2

x2  1  x    0 ,(Σχολ.). x  x  1

β) lim

P(x) P(x)  3 και lim 2 3. x  1 x  2x  1 x  2x  1 P(x) P(x) 39. Να βρεθεί το πολυώνυμο P(x) , αν ισχύει ότι: xlim  1 και lim 2  5 . 3  2x  5x x 0 x 40. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές των παραμέτρων να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (  2) x 3  (  1) x  1 2 3 (  1)x 3  2x 2  3  ) , β) lim α) lim (x  1)(  2  , γ) ,(Σχολ.). lim x  x  x  x 1 x x 2  5x  6 x 2  1 41. Έστω f (x)  16x 2  x  1  αx  β . Να βρείτε τους α,β  ώστε να ισχύει lim f (x)   7 . x  8

38. Να βρεθεί το πολυώνυμο

42. Έστω

P(x) , αν ισχύει ότι: lim

x 

f (x)  x 2  3x  5  x   . Να βρεθούν οι , 

43. Για ποιους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ισχύει

ώστε να ισχύει lim f (x)  0 . x 

lim ( x  2x  7 x  1  x  x  )  0 ; 4

x 

44. Αν

f (x)  x 2  1  x  2 , να βρεθούν οι ,  (0, ) ώστε να ισχύει lim f (x)  1 .

45. Αν

f (x)  x 2  x  1  4x 2  9  x   , να βρεθούν οι , 

x 

ώστε να ισχύει lim f (x)  4 . x 

46. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim ( x 2  1  x ) , (Σχολ.) β) lim ( x 2  x  1  λx  μ) , γ) lim ( x 2  5x  10  x) , (Σχολ.) x 

δ) lim

x 

x 1

 2   3 e , λ > 0, ε) lim x2 x x   2 e2x 1 x

47. Για τις διάφορες τιμές του

x 

, λ > 0.

θ  (0, π) να βρείτε το lim f (x) της f (x)  x 2  x  1  (1  συνθ)x . x 

3.1 3.1.1

Συνέχεια συνάρτησης Γενικά

Συνάρτηση συνεχής σε σημείο Στα σχήματα. δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι:  Στο σχήμα (1) η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x 0 και η αριθμητική τιμή της στο x 0 είναι ίση με το όριο της συνάρτησης στο x 0 . Δηλαδή ισχύει lim f (x)  f (x 0 )  .

y (1)

f (x 0 ) 

x x 0

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 .  Στο σχήμα (2) η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x 0 , αλλά η αριθμητική τιμή της στο x 0 δεν είναι ίση με το όριο της συνάρτησης στο x 0 . Δηλαδή ισχύει lim f (x)   f (x 0 ) .

O y

x x 0

(2)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής στο x 0 .  Τέλος στο σχήμα (3) η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x 0 , όμως δεν υπάρχει το όριο της f στο x 0 . Πληροφοριακά, εδώ έχουμε lim f (x)  2  f (x 0 ) και lim f (x)  1 . x x 0

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, όταν υπάρχει το όριο της f στο x 0 και είναι ίσο με την τιμή της f στο x 0 . lim f (x)  f (x0 ) Δηλαδή, όταν ισχύει

y f (x 0 ) 

Ορισμός

f (x 0 )

x x 0

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής στο x 0 .

(3) 2

x  x0

Δίνουμε τρία παραδείγματα.

1) Η συνάρτηση f (x)  x 2  4 είναι συνεχής στο x 0 = 3, γιατί το 3 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, f (3)  13 και limf (x)  13 . x 3



 x  2, x  1 είναι συνεχής στο x 0 = 1, γιατί το 1 ανήκει στο πεδίο ορισμού 2 2x  1, x  1

2) Η συνάρτηση f (x)  

της, f(1) = 3, lim f (x)  lim (x  2)  3 και lim f (x)  lim (2x 2  1)  3 , οπότε limf (x)  3  f (1) . x 1

x 1



1   xημ , x  0 3) Η συνάρτηση f (x)   είναι συνεχής στο x 0 = 0, γιατί το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού x  0, x0 1 1 της, f(0) = 0 και xημ  x ή  x  xημ  x , lim x  lim   x   0 , οπότε limf (x)  0 = f(0). x 0 x 0 x 0 x x

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

157

Σύνολο τιμών συνάρτησης  Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών αποδεικνύεται ότι:  Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το σύνολο τιμών της f όταν ο x διατρέχει το Δ, δηλαδή το f(Δ), είναι διάστημα.

y Β

Ή αλλιώς διατυπωμένο:  Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα.

(11)

Στο σχήμα (11) έχουμε μια μη σταθερή και συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [α, β). Παρατηρούμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [Α, Β).

β x Α

 Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών και του θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής αποδεικνύεται ότι: Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] , τότε το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα [m,M] , όπου m είναι η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της. π. χ Η συνάρτηση f (x)  συνx έχει στο διάστημα [0, 2π] σύνολο τιμών το διάστημα [1,1] , γιατί m  1 και M  1 .  Συνέπεια του παραπάνω είναι η πρόταση: Η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος [α,β] μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα.

Σχόλια α) Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχει περίπτωση να είναι το σύνολο τιμών, μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης, κλειστό διάστημα, χωρίς το πεδίο ορισμού να είναι κλειστό διάστημα. π. χ Η συνάρτηση f (x)  ημx , που είναι μη σταθερή και συνεχής, έχει στο ανοικτό διάστημα (0, 2π) σύνολο τιμών το [1,1] .

─∙─ β) Η εικόνα ενός ανοικτού ή ημιάνοικτου διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης δεν είναι απαραίτητα ανοικτό ή ημιάνοικτο διάστημα. π. χ Η συνάρτηση f (x)  x 2 είναι συνεχής και μη σταθερή στο (1,1) , με f ((1,1))  [0,1) .  Αποδεικνύεται ότι:  Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου A  lim f (x) και B  lim f (x) . x α

x β

 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β, Α). Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε, όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής: (α, β], [α, β] και [α, β). π. χ Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα [α, β), τότε το σύνολο τιμών της είναι

κεφάλαιο

Επανάληψη

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

178

4.2

Ασκήσεις

4.2.1

Συναρτήσεις

1 και g(x)  x  1 . α) Να εξετάσετε αν η f είναι ‘1 – 1’. x β) Να βρείτε το ελάχιστο της g. γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και f 1 στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ταυτίζονται. δ) Να βρείτε τη συνάρτηση h(x)  fog . ε) Να βρείτε τους 1 x  για τους οποίους ισχύει h(x)  g(f (x))  . στ) Να παραστήσετε γραφικά τις g και h. x

1. Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) 

f (x)  ln x και g(x)  1  ex . α) Να βρείτε την h  fog . β) Να μελετήσετε τις f, g, h ως προς τη μονοτονία. γ) Με την προϋπόθεση ότι δύο συναρτήσεις f1 , g1 έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας με τις f, g αντίστοιχα, να εξετάσετε, αν η συνάρτηση h1  f1og1 έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την h. δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f, g. 3. Δίνεται η συνάρτηση f (x)  2e3x 2  1 . α) Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την f 1 .

2. Δίνονται οι συναρτήσεις

β) Να αποδείξετε ότι η f 1 είναι γνησίως αύξουσα. γ) Αν g(x)  fog και να λύσετε την εξίσωση fog(x)  3 .

2 2ημx , x [0, π] , να βρείτε την 3

x , x  1 . α) Να προσδιορίσετε την fog . 1 x β) Αν h  fog , να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ) Να αποδείξετε

Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)  ln x, x  0 και g(x) 

x x ex ότι η h είναι γνησίως αύξουσα και ότι οι λύσεις της ln( . )  x είναι λύσεις και της ln( ) x 1 x 1 x e 1 5. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση f :  , με f (4)  0 και f 2 (x)  4xf (x)  x 2f (4  x) για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι: α) f (x)  4 για κάθε x  . β) Αν η εξίσωση f (x)  0 έχει μόνο δύο λύσεις, να βρείτε το μέγιστο της f. 6. Έστω συνάρτηση f :  , με f (0)  0 και f (x)  f (y)  x  y για κάθε x, y . Να βρείτε την f.

7. Έστω

οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το

ακριβώς ένας x 0 

, g(x)  x 2  kx  4 και gof  fog . Αν υπάρχει

για τον οποίο να ισχύει f (x 0 )  x 0 , να βρείτε την τιμή του k 

8. α) Για τη συνάρτηση

f (x)  x , x  , να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των 3

f, f 1 . β) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)  x  x αντιστρέφεται και να βρείτε την ανίστροφή της. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cg και Cg 1 . (0,  ) , με xg(x) = f(x) για κάθε x > 0. Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα να αποδείξετε ότι f(x + y) < f(x) + f(y) για κάθε x, y > 0. 10. Έστω οι συναρτήσεις f ,g :  με [g(x)  1][f 2 (x)  4]  4f (x)ημ2x για κάθε x  και π π f ( )  f ( )  2 . Να βρείτε τα ακρότατα της g. 4 4 11. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο , με f ( )  , για την οποία ισχύει: f (f (x))  x  0 για

9. Έστω δυο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το

κάθε x  . (1) Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι περιττή. β) Η f είναι ‘1 – 1’. γ) Η f 1 είναι περιττή. δ) Η f δεν είναι γνησίως μονότονη. 12. Για την f :  ισχύει f (f (x))  1  e2x για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι ‘1 – 1’.

β) Η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η εξίσωση e2x  x  1 έχει μία μόνο ρίζα. . δ) f (0)  0 .

Απαντήσεις Υποδείξεις

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.1 Συναρτήσεις 1.1.7 1. Λ, Λ, Σ, Λ, Σ, Λ, Σ, Λ, Λ, Σ, Λ, Σ, Λ, Λ, Λ, Λ, Λ, Σ, (Λ, Σ). 2. Α, Γ, Γ, Δ, Β, Γ, Α, Γ, Ε, Δ, Γ. 3. i) A  [2,2] , ii)  {3,  1,1,2} , iii) Af  (,0) , iv) (,0]  [9,  ) , v) Af  [1,4] , vi)   (,  9]  [1,  ) , vii) f  [ 5,0)  [ 5,  ) , viii) Af  (,0)  (0,3)  [4,  ) , ix) Af  [2,1)  (1,  ) , 1 2

1 2

x) Af  (,  )  ( ,0]  [2,4)  (4,  ) , 7 7 xi) [1,0)  (0,1] , xii) [1,2] , xiii) [3, )  ( ,5] , 2 2 xiv) [2,1)  [3,  ) , xv) (3,4] ,

xvi) (,  3]  (2,  1)  (1,2)  [3,  ) .   {2  ,   } , 2  5 * ii) f   {  ,   ,   } , 12 12

4. i) Af 

iv) Af  vii)

3 2

iii) [ ,  ) ,

 {1} , v) (,0) , vi) Af  (0,e2 )  (e2 ,  ) ,

, viii) Af  [ln8,  ) ,

ix) Af  (0,e)  (e,e3 )  (e3 ,  ) , x) Af  [e1,e] , 1 2

xi) Af  (6,  2] , xii) Af  (,  )  (1,  ) . 4 5.   0     . 3

5 5 β) H εξίσωση γράφεται (ln 2 ) 2  (ln )  2  0 3 3 2 1 που έχει ρίζες   ή  . ln 5  ln 3 ln 5  ln 3 17. β) f (x)  f (x)  x 2  1  0 , άτοπο, γ) x = –1.

x2 . x 1 Για x = 3, 4, 5, … , 2004, 2005, 2006 έχουμε: f(3) = 1/4, f(4) = 2/5, f(5) = 3/6 ,… , f(2004) = 2002/2005 , f(2005) = 2003/2006 , f(2006) = 2004/2007. Αντικαθιστούμε και μετά τις απλοποιήσεις βρίσκουμε …. = 6. 19. α) (x)  0  x  0 ή x  1 ή x  5 , (x)  0  x  [1,5] . β) (x)  12  x  4 ή x  3 . 18. Απλοποιούμε το κλάσμα, οπότε f (x) 

20. f (t)  1  t  ln 2 0,7 ή 7 έτη. 21. f (ln 4)  2,6 . 22. α, β, ε. 23. α)   1 , β) x  1 ή x  1 . 24. Για x = 0 και x = 1 έχουμε f(0) + f(1) = 0 και f(1) + f(0) = 1 που είναι άτοπο. 25. Θέτουμε όπου x το 4 – x, προσθέτουμε τις δύο και βρίσκουμε 0 = 4. Άρα όχι. 26. Για x = 1, y = 2 έχουμε ….. Για x = y = 2 έχουμε … . Για x = 1, y = 3 έχουμε …. Πολλαπλασιάζουμε τις δυο τελευταίες και λόγω της πρώτης φθάνουμε σε άτοπο. 27. α) Όχι ίσες, (,  1]  (1,  ) , β) ίσες, γ) Όχι ίσες, [0,  ) , δ) Όχι ίσες, [0,1)  (1,  ) . 28. f(x) = g(x) = - 2 4 3

29. 1, 12 ,  .

6. h, φ, g, f.

31. Η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α είναι

1 2

7. α) Πρέπει 0  2x  1  7  A h  [ ,4] ,

   2 . οπότε ()  4  4

β) Ag  [2,2] , γ) At  [1,e7 ] , δ) As  (,1] .

2 2 2  . 4 2  x2,   32. α) E(x)    2  x  2 2x  1,

8. α) , β) f (A)  (7,13] , γ) * , δ)  {1} , ε) (0,  ) , στ) [3,  ) , ζ) f (A)  [2,  ) , η) [0,1] , θ) [9,  ) , ι) [1,5] , ια) , ιβ) [1,3] , ιγ) (0,  ) , ιδ) (0,  ) , ιε) (2,  ) , ιστ)

, ιζ)

9. Άρα f ([1,2))  [7,2) . 10. [f (x  1)]2  f (x 2  2x)  1 (1), x  . Η συνάρτηση f (x)  x ικανοποιεί την (1). Άρα υπάρχει μια τουλάχιστον συνάρτηση f με την ιδιότητα (1). 5 1 Για x  (ρίζα της x 2  2x  x  1 ) 2 έχουμε f 2 (

 5 1 2 5 1 5 1   1)  f  ( ) 2  1 ή 2 2 2  

5 1 5 1 5 1 1 5 ) f( )  1  0 και f ( )  2 2 2 2 11. 0, 1/9, 1/4, 1, 1/4, 1/9. 12. e, e, e – 2, e + 2. 3 3 1 13.  , 0,  , . 7 8 4 f 2(

14. α) Πρέπει

x 2  8x  7  0 , Af  (1,1)  (1,7) . 1  x2

 2  2 2 και 2

()  2 

0x

2 2

2 x 2 2

β) 0, 1, 2 2  2 , 1/2 . 33. E(x)  50x 

x2 , με x  (0,100) . 2

34. α) f(x) = - x + 221, β) f(37) = 184. 35. Π(3) = 0 και Ζ(4) = 0 … α = - 2, β = - 8. 2 x 36. f (x)  x 37. Η ΜΝ βρίσκεται στη βάση ΒΓ και η ΚΛ είναι παράλληλη της ΒΓ. Αν το ύψος ΑΔ τέμνει την ΚΛ στο Η, τότε τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΑΒΓ είναι όμοια και έχουμε

   ή ΚΛ = 12 – 2x …  

38. Αν 0  x  1 , τότε το ΑΜΝ είναι τρίγωνο. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΝΜ και ΑΒΕ υπολογίζουμε ΜΝ = 2x και f(x) = x 2 . Αν 1  x  3 , τότε το σχήμα γίνεται τραπέζιο ΑΜΝΕ με βάσεις x , x – 1, ύψος 2 και εμβαδόν 2x - 1.

ΚΑΤΟΥΝΗ Σ ΣΤΑΘΗΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ Κ ΑΤ ΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ Κ ΑΤ ΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

fax:fax: 210210 95 65 95 108 65 108

Καλλιθέα Καλλιθέα e-mail: e-mail: zafirop@acci.gr zafirop@acci.gr

www.frontistiria-kallithea.gr www.frontistiria-kallithea.gr

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ Γ΄ Λ ΥΚΕΙ ΟΥ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαντζαγριωτάκη 89, 176 Βενιζέλου Βενιζέλου 150, 150, 176 176 7672 76Καλλιθέα Ελ. Ελ. τηλ. / fax: 210 95 33 254 fax: fax: 210 210 95 95 65 65 108 108 τηλ.: τηλ.: 210 210 95 95 92 92 070 070 Ελ. Ελ. Βενιζέλου Βενιζέλου 150, 150, 176 176 76 Καλλιθέα 76 Καλλιθέα e-mail: ster14@otenet.gr rop@acci.gr τηλ.: τηλ.: 210210 95 rop@acci.gr 92 95 070 92 070

Γ΄ Λ ΥΚΕΙ ΟΥ

Ελ. Βενιζέλου 150, 17689, 7689, Καλλιθέα Μ αντζαγριωτάκη Μ αντζαγριωτάκη 176 176 72 72 τηλ.: 210 95 92 070 τηλ. τηλ. / fax: / fax: 210 210 95 95 33 33 254 254 Μαντζαγριωτάκη Μαντζαγριωτάκη 89, 89, 176176 72 Καλλιθέα 72 Καλλιθέα fax: 210 95 65 108 e-mail: e-mail: ster14@otenet.gr ster14@otenet.gr τηλ.τηλ. / fax: / fax: 210210 95 33 95 254 33 254 e-mail: zafirop.nt@gmail.com e-mail: e-mail: ster14@otenet.gr ster14@otenet.gr

ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣΚ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΣΠΟΥΔΩΝ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

γ΄γ΄ γ΄λυκείου λυκείου γ΄ λυκείου λυκείου Επιµέλεια: Επιµέλεια: ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΚΑΤΟΥΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΑΝΝΑ ΣΤΑΘΗΣ ΚΡΙΚΟΡΙΑΝ