©MatemáticaAbreMundos2011
Actividad: Serie Geométrica Nombre: _________________________________________
Fecha: ______________
Palabras claves: Sucesión, sucesión creciente, sucesión decreciente, serie, serie convergente, serie divergente, progresión geométrica.
Recurso: Progresiones geométricas.
Preguntas previas: Una recompensa sin medida Cuenta la leyenda que el ajedrez fue inventado en la India y que cuando el rey descubrió este juego quiso premiar a su inventor. El creador del juego solo pidió que le entregasen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, y que duplicasen la cantidad conforme avanzaba cada casilla. El rey consideró una ofensa pedir tan miserable recompensa, sin embargo, aceptó y ordenó a sus matemáticos calcular la cantidad pedida. Sorpresa fue cuando le informan al rey que no existe cantidad de granos suficientes para pagar la recompensa, ni en su reino, ni en los reinos cercanos, ni en los graneros de todo el mundo.
1. ¿Qué información no consideró el rey al momento de aceptar la entrega de la recompensa? ¿Qué debió analizar? No consideró qué tan grande podía llegar a ser la recompensa pedida, ya que a simple vista no se estima el valor final. Debió analizar qué número sería, considerando la cantidad de cuadros del tablero .
2. ¿Qué cantidad de granos de trigo debería tener la décima casilla del tablero de ajedrez? ¿Podrías establecer una expresión o fórmula para calcular esa cantidad? La décima casilla deberá tener 512 granos de trigo. Se puede establecer como dos elevado al número de casillas menos una. 2(número de casillas - 1)
3. Comenta con un compañero. ¿Qué cantidad de granos de trigo se habrá reunido al sumar hasta la décima casilla del tablero de ajedrez? ¿Podrían establecer una expresión o fórmula para calcular esa cantidad? 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023
NÚMEROS 3
1
©MatemáticaAbreMundos2011 Los términos de una progresión geométrica Para calcular el valor de algún término específico de la progresión es necesario saber qué variables forman el término general de esta progresión.
1. Completa la siguiente tabla con las cantidades de grano de trigo que debe tener cada una de las casillas del tablero. Casilla Nº1
Casilla Nº2
Casilla Nº3
Casilla Nº4
Casilla Nº5
Casilla Nº6
1
2
4
8
16
32
2. Observa los valores con los que completaste la tabla. ¿Cómo progresa la cantidad de granos de trigo a medida que aumentan las casillas del tablero? ¿Qué relación puedes establecer entre un término y el siguiente? Que cada término se va multiplicando por 2 y se genera el término siguiente. El término siguiente cada vez es el doble del anterior.
3. ¿Qué ocurre si divides cada término por el anterior? Realiza el cálculo con los valores de la tabla. Al dividir cada término por el término anterior, siempre se obtiene como resultado 2.
4. Completa la siguiente tabla escribiendo cada término en función del término anterior y del primer término. Observa como progresa la secuencia. Casilla Nº1 Nº2 Nº3 Nº4 Nº5 Nº6
En función del término anterior a1 = 1 a2 = 1·2 = 2 a3 = 2·2 = 4 a4 = 4·2 = 8 a5 = 8·2 = 16 a6 = 16·2 = 32
En función del primer término a1 = 1 a2 = 1·21 = 2 a3 = 1·22 = 4 a4 = 1·23 = 8 a5 = 1·24 = 16 a6 = 1·25 = 32
5. Junto a un compañero, calculen cuántos granos de trigo contiene la casilla número veinte del tablero de ajedrez. ¿Cómo sería la expresión o fórmula para realizar este cálculo?
NÚMEROS 3
2
©MatemáticaAbreMundos2011 6. ¿Cómo se puede generalizar el término de la progresión? ¿Qué variables están involucradas? Discute con un compañero y escriban la expresión de dos formas. En la progresión están involucrados un término inicial, la razón de la progresión, y el número del elemento de la progresión, de la forma: an = a1·rn-1 o an = an-1·r
Representación cartesiana de una progresión geométrica Una progresión geométrica puede ser representada de forma gráfica. En esta sección analizarás los cambios que se producen en el plano cartesiano.
1. Ingresa al recurso digital “Progresiones geométricas” y manipula los puntos de color rojo, verás cómo varían los parámetros “a” y “r”. Ubica el valor de “a” en 1 y varía el valor de “r”. ¿Qué representa cada coordenada de estos pares ordenados? En cada par ordenado que se muestra en la gráfica, la coordenada de las abscisas representa el número del término de la progresión, mientras que el término de las ordenadas representa el valor de la progresión en el término correspondiente.
2. ¿Qué ocurre con los puntos de la progresión cuando “r” es mayor que 1? ¿Los valores de la progresión aumentan o disminuyen? Los puntos están cada vez más altos, esto quiere decir que entre un término y otro los valores aumentan.
3. ¿Qué ocurre con los puntos de la progresión cuando “r” es menor que 1? ¿Los valores de la progresión aumentan o disminuyen en relación al valor anterior? Cuando “r” es menor que uno los puntos están cada vez más cercanos al eje de las abscisas, esto quiere decir que entre un término y otro los valores disminuyen.
4.
¿Podrías a partir de las conclusiones anteriores establecer una regla, con respecto a “r”, para saber si una progresión aumenta o disminuye? ¿Qué ocurre cuando el valor de “r” es igual a 1? Discute con un compañero. (Para a=1) Si r>a : Aumenta en relación al término anterior r<a : Disminuye en relación al término anterior r=a : Los términos se encuentran a la misma distancia del eje de las abscisas
NÚMEROS 3
3
©MatemáticaAbreMundos2011 5. ¿Qué ocurre con “a” cuando cambia su valor? Desplaza el punto y analiza qué cambios produce. ¿Qué conclusiones puedes establecer? Sigue manteniendo la relación con r, es decir para todo valor de a mayor que cero, tenemos que: Si r>a : Aumenta en relación al término anterior
Suma de una progresión geométrica En esta sección se estudiará la suma de una progresión geométrica, para analizar su convergencia o divergencia.
1. Piensa en la progresión de parámetros a1=1, y r=2. ¿Qué sucede al sumar los 4 primeros términos? ¿La suma de la serie aumenta cada vez más o se acerca a algún número en particular? a1= 1 a2=1·21=1·2=2 a3=1·22=1·4=4
2. Si sumas hasta el séptimo término de la serie, ¿la suma aumenta cada vez o se acerca a algún número en particular? a5=1·24=16 a6=1·25=32 a7=1·26=64 4+8+16+32+64=127 Esta suma aumenta
3. Ahora considera la serie con a1=1 y r=1/2. ¿Qué sucede si sumas los 4 primeros términos? ¿La suma de la serie aumenta o se acerca a algún número en particular?
Esta suma se acerca a 2.
4. Si sumas hasta el séptimo término de la serie, ¿la suma de la serie aumenta o se acerca a algún número en particular?
NÚMEROS 3
4
©MatemáticaAbreMundos2011 5. Junto a un compañero, ¿podrían establecer una regla general, en relación a “r”, para determinar si la suma de una serie geométrica aumenta o se acerca a algún número? Explica tu respuesta. Normalmente si |r|<1, la serie se acerca a un número en particular.
Visualizando una serie geométrica convergente En esta sección visualizarás una serie geométrica y su representación de forma visual, para descubrir qué ocurre al sumar cada término.
1.
Ingresa al recurso digital “Suma de la serie geométrica de razón 1/2”, ¿Qué puedes observar en esta representación geométrica? ¿A qué número converge esta serie? Explica con tus propias palabras lo que ocurre con esta serie. Converge a 1. Las figuras que se generan del rectángulo (cuando se le quita la mitad) son cada vez más pequeños y van ocupando la mitad del espacio que va quedando en la figura, por lo tanto mientas más figuras se suman más cercano a uno se encuentra.
2. Una forma de explorar este resultado de forma algebraica es escribiendo la serie por extensión. Escribe la suma de la serie hasta el séptimo término. ¿Qué ocurre con la suma si sigues agregando términos?
3. ¿Podrías establecer de forma algebraica cuál es el valor de convergencia de esta serie? ¿Cómo?
4. Ingresa al recurso “Suma de la serie geométrica de razón 1/4”, y visualiza la construcción de esta figura. Luego analiza cómo se va formando la fracción de superficie de la figura. A partir de la visualización geométrica, ¿a qué valor converge esta serie? Explica con tus palabras cómo se forma esta figura.
NÚMEROS 3
5
©MatemáticaAbreMundos2011 Converge a 1/3. Ya que cada cuarto de la figura que se genera completa un tercio de la figura inicial. Es por esto que cada figura que sigue en la serie va completando este tercio de la figura.
5. ¿Podrías establecer de forma algebraica cuál es el valor de convergencia de esta serie? ¿Cómo?
Síntesis Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito descubrir y conjeturar sobre algunos conceptos claves acerca de las progresiones geométricas, para posteriormente analizar y formalizar conceptos y características sobre de la suma de los términos, especialmente, en lo que respecta a la convergencia o divergencia de la serie.
1. En la situación inicial identifica los términos r y a1 de la progresión geométrica que ahí se presenta. Grafica en el plano cartesiano los términos de esta progresión.
2. Si consideras ahora la suma de la serie geométrica, de la situación inicial, ¿qué puedes decir de los términos de esta serie? ¿Qué elementos de la serie indican si ésta es convergente o divergente? ¿De qué tipo es esta serie?
3. ¿Qué característica visual de una serie geométrica podría indicar si ésta es convergente o divergente? ¿Qué sucede con los puntos que representan cada término en caso de ser convergente? ¿Qué sucede si es divergente? Analiza para los ejemplos de ¼ y ½.
NÚMEROS 3
6