Certezas e incertezas en la era de la información Propuesta metodológica unidad de Datos y Azar segundo ciclo básico
Certezas e incertezas en la era de la información Propuesta metodológica de una unidad de enseñanza del eje Datos y Azar para 7mo. y 8vo. Básico apoyada con recursos digitales interactivos Hernán Miranda Vera1 Junio 2010
Introducción Es un hecho reconocido ampliamente en el mundo moderno y dominado por el potente desarrollo de las tecnologías digitales el que el manejo e interpretación de la información es un conocimiento fundamental a lograr. Por lo mismo, es una tendencia mundial el que el conocimiento asociado al manejo cuantitativo de la información haya penetrado con fuerza en el currículo escolar. En el currículum chileno esa tendencia se ha expresado en los cambios recientemente introducidos en la actualización del marco curricular y en su expresión en el mapa de progreso de datos y azar. En la nueva propuesta se comienza tempranamente con la dimensión de procesamiento de datos y se va incrementando progresivamente su complejidad introduciendo las dimensiones de interpretación de la información (estadística) y comprensión del azar (probabilidades). Además, se propone enfatizar también la íntima relación entre estas dimensiones así como también con los otros ejes de contenidos del currículum de matemática (números, álgebra y geometría). Así, aquí se propone una unidad de enseñanza con el apoyo de recursos digitales que se focaliza en el nivel 4 de logro del mapa de progreso de aprendizaje en matemática (estudiantes de edades entre 12 y 14 años) equivalente a lo que serían los dos últimos años de la actual enseñanza básica chilena (7mo y 8vo año básico). En ella se interrelacionan los contenidos de probabilidades (comprensión del azar) y estadísticas (procesamiento de datos e interpretación de la información) de manera de mostrarle a los estudiantes que no son dos cosas separadas sino que, por el contrario, van íntimamente ligadas y es importante entenderlo así desde el inicio. Si bien para efectos prácticos muchas veces los libros de texto y los cursos superiores 1
Unidad de enseñanza realizada en el marco de una propuesta de investigación para optar al grado de Doctor en Currículum e Instrucción, New Mexico State University, USA. Esta unidad está basada en la propuesta realizada por Roberto Araya y Claudia Matus Zúñiga para la implementación del modelo interactivo para el aprendizaje matemático (Centro Comenius USACH, 2004) y también hace uso de ideas y material elaborado por el profesor Eugenio Saavedra para el curso a distancia “Datos y Azar”. Este trabajo no hubiese sido posible sin la colaboración generosa y desinteresada de Mauricio Moya y Enrique Pérez Rocco, profesionales del área de diseño del Centro Comenius USACH.
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de matemática las separan, no es una separación conveniente de hacer por los errores y confusiones de interpretación de resultados estadísticos que se producen posteriormente por el hecho de no comprender cabalmente los conceptos de probabilidad involucrados en dichos resultados. Esto es particularmente cierto e importante cuando se entregan, por ejemplo, resultados de encuestas, resultados de estudios científicos con muestras representativas o se hacen predicciones basadas en modelos matemáticos que estiman probabilidades de ocurrencia de un evento futuro sobre la base de gran cantidad de información histórica (pronósticos del tiempo, pronósticos de episodios de contaminación, pronósticos de expansión de brotes epidémicos, por nombrar algunos). Los contenidos fundamentales que se abordan en esta propuesta son: análisis e interpretación de información (tablas y gráficos, tipos de datos, dependencia entre variables, ventajas – desventajas de las diferentes representaciones); muestras (características, selección, tamaño y representatividad de una muestra); probabilidad de ocurrencia de un evento (aleatoriedad, experimento aleatorio y determinístico, eventos equiprobables, espacio muestral, frecuencia, frecuencia relativa, modelo de Laplace); medidas de tendencia central (media, mediana y moda).
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Dificultades para la enseñanza de probabilidades y estadística Antes de analizar el cómo abordar la enseñanza de las probabilidades y la estadística en este nivel en el contexto chileno, es útil revisar algunas de las principales dificultades con las que se enfrenta: 1. Conocimientos matemáticos de los profesores en probabilidades y estadísticas En la formación tradicional de profesores y otros profesionales no se enseñaban los contenidos acerca de probabilidades y estadística, o, en el mejor de los casos, éstos se enseñaban muy superficialmente. Aparte de algunos problemas con monedas y urnas, no se enseñaba nada más de probabilidades; y en estadística se enseñaba principalmente a interpretar histogramas y calcular promedios. Además, el contenido de probabilidades se mostraba con muy poca conexión con los contenidos de estadística. 2. Conocimientos sobre diferentes usos de probabilidades y estadística La formación tradicional no se preocupaba de mostrar una amplia gama de aplicaciones. Las pocas aplicaciones mostradas eran de la estadística, pues en probabilidades no se enseñaban aplicaciones. En estadísticas las aplicaciones mostradas eran principalmente a temas económicos (precios, salarios) y sociales (desempleo, delincuencia), como los gráficos y datos que se publican en los diarios. Prácticamente no se muestran usos de la estadística a la psicología, biología, física, estudios de mercado, medicina. Mucho menos al lenguaje y a las artes. En cuanto a las probabilidades, no se establecía conexión con problemas reales ni con la estadística. 3. Confusiones típicas sobre la interpretación de las probabilidades Existe una confusión generalizada sobre la interpretación de las probabilidades. Por una parte, se considera como una parte de las ciencias naturales y no de la matemática, pues se encargaría de asignar probabilidades a eventos reales del mundo real. Las probabilidades no son conceptualizadas sólo como un mecanismo para deducir probabilidades de eventos compuestos a partir de probabilidades ya asignadas a eventos simples y de las reglas de composición. Por otra parte, no se enseña la distinción entre la interpretación frecuencial y la interpretación de la probabilidad de un evento aislado (único).
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4. Conocimiento sobre las capacidades cognitivas innatas para las probabilidades sólo si están en formato ecológicamente válido No se enseña a profesores ni se entrega información sobre investigaciones y hallazgos empíricos recientes que han detectado algunas de las capacidades innatas que los humanos (y muchos animales) poseemos para las probabilidades si están en cierto formato (frecuencias naturales, por ejemplo), y las enormes dificultades cognitivas que aparecen si se muestran en formatos distintos (porcentajes o probabilidades entre 0 y 1). Esto hallazgos han llevado a la sicóloga estadounidense Leda Cosmides a acuñar el concepto de “formatos ecológicamente válidos” para representar información, refiriendo a aquellos que aparecen naturalmente más simples de ser procesados para la mente humana y que, según estas investigaciones, han sido seleccionados naturalmente en el largo camino evolutivo que ha tomado el llegar al estado de desarrollo biológico del cerebro humano tal como lo conocemos hoy en día. 5. Estrategias motivacionales para introducir las probabilidades y estadísticas Existe poco material que muestre estrategias motivacionales probadas que facilitan la introducción de probabilidades y estadísticas según los diferentes intereses de estudiantes, estilos de aprendizaje, inteligencias, y según edades y sexo. 6. Escasa conexión con otros contenidos de matemáticas Más que una dificultad ésta es una limitación. Sin embargo, esta limitación facilita el olvido de los conceptos de probabilidades y estadísticas aprendidos, pues no se utilizan cuando se estudian ecuaciones, inecuaciones, geometría analítica, trigonometría, etc. Y, viceversa, tampoco se utilizan esos otros conceptos cuando se introduce las nociones estadísticas y probabilísticas.
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Propuesta metodológica En esta oportunidad se presenta una introducción a la estadística y probabilidades que se basa en buscar una fuerte motivación en aplicaciones muy significativas y transversales para estudiantes pre-adolescentes y adolescentes, abordando diferentes temas de carácter social, psicológico, biológico y artístico, y en los que para resolverlos debe recurrirse a tomar muestras y realizar estudios estadísticos. Sin embargo, aparte de resumir la información con diferentes indicadores y gráficos, la estrategia motivacional es lograr que el estudiante se cuestione sobre la representatividad de los resultados. Es decir, qué tan válidas seguirán siendo las conclusiones si se toma otra muestra o si se analiza la población entera. Para abordar este problema se introduce la teoría de probabilidades y, luego de revisar conceptos básicos sobre cómo calcular distribuciones de probabilidad de eventos compuestos a partir de eventos simples, se introduce la ley de los grandes números y se muestra su utilidad para estimar el error cuando se generalizan los resultados a otras muestras. Las actividades propuestas están orientadas a una participación muy activa de los estudiantes, en pequeños grupos de dos y tres, mediante diversas actividades presenciales o para la casa, y que el profesor conduce siguiendo o adaptando las recomendaciones propuestas. De la lista de actividades propuestas (estudios estadísticos), basta que el profesor escoja algunas pocas; aquellas que más puedan interesar a sus estudiantes y de acuerdo a los conocimientos previos y habilidades que ellos muestran. Las actividades han sido pensadas y diseñadas para cubrir una amplia gama de intereses y estilos cognitivos de estudiantes pre-adolescentes y adolescentes. Acorde con el diagnóstico anterior, se propone enseñar estadísticas y probabilidades teniendo presente los dos principios siguientes: •
Introducir los contenidos mediante actividades que impliquen una participación activa de los estudiantes. La razón que está detrás de este principio es la evidencia empírica que surge de estudios en el área de las neurociencias. En efecto, estudios científicos muestran que en clases en las cuales, durante toda la sesión, a cada estudiante se le mide la conductividad eléctrica en la piel, muestran que, frente a cada actividad que los estudiantes realizan, sube el nivel de conductividad. Al contrario, durante la componente expositiva la conductividad decrece a medida que se alarga la exposición del profesor. El nivel de conductividad eléctrica está directamente correlacionado con factores emocionales y motivacionales: cuando la conductividad es alta el nivel de atención es mayor y la memoria mejora significativamente.
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Utilizar actividades que comiencen por usar el formato ecológicamente válido para las probabilidades, es decir aquellos que son más naturales y simples de
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procesar y entender para la mente humana. La estrategia de usar formatos ecológicamente válidos y luego enseñar a traducir otros formatos diferentes a los ecológicamente válidos ha comenzado a ser implementada en Estados Unidos y Alemania a partir de los hallazgos de Leda Cosmides y Gerd Gigerenzer, obteniéndose resultados de aprendizajes efectivos superiores a los que se logran con los métodos tradicionales. La aproximación metodológica aquí propuesta comienza por establecer el desafío de motivar al estudiante, lo más eficazmente posible, a estudiar estos dos nuevos objetos: la estadística y la teoría de las probabilidades. Para eso es importante familiarizarlo con los conceptos en forma experiencial e intuitiva, dejando para una etapa posterior el comienzo de la formalización matemática. Pero dentro de las actividades a realizar es clave sembrar la semilla de inquietudes e interrogantes que dan lugar a la posterior introducción de las probabilidades. Estas inquietudes tienen que ver con el siguiente cuestionamiento: ¿cómo asegurarnos que los resultados de una muestra sean representativos? Es decir, necesitamos estar seguros que en otras situaciones similares, es decir con otras muestras, los mismos resultados se volverán a repetir con un cierto margen de error controlado. Para llevar a cabo la motivación inicial se proponen dos etapas. Dado que de los dos temas a introducir, el de estadística es más fácil de entender, la estrategia motivacional comienza con problemas de estadística. Se propone mostrar una amplia gama de diferentes situaciones que puedan atraer a estudiantes con diversos intereses, y en las que se utilizan conceptos estadísticos para resumir información de diferente tipo. Luego, en la etapa siguiente, se propone introducir informalmente la noción de probabilidad y hacerlo mediante algunos juegos y simulaciones para llegar a la formalización del modelo de Laplace como una manera posible de modelar el azar cuando se tiene que los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables. Finalmente, se vinculan de manera informal e intuitiva las probabilidades y la estadística a través de la noción de muestra representativa enfatizando el papel que juega el azar (y, por lo tanto, las probabilidades) en la selección de una buena muestra que permita hacer un estudio cuyos resultados sean posibles de generalizar a la población que representan.
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Secuencia de actividades Taller 1. ¿Cómo somos los chilenos?: Datos y azar en la vida cotidiana Análisis de situaciones cotidianas fácilmente reconocibles donde las probabilidades y la estadística jueguen algún rol importante en nuestra vida. El propósito principal de este taller es despertar la motivación y curiosidad de los estudiantes desafiándolos con preguntas relevantes que involucren, de algún modo, el análisis y representación de información y el uso de las probabilidades. Actividades: - ¿Cómo somos los chilenos? Estudios y datos que nos describen y representan - Y… ¿para qué sirve la estadística? Un debate abierto acerca de la importancia de hacer estadística - Cómo, quién y para qué se hacen estudios estadísticos: Eligiendo y planificando un estudio estadístico
Taller 2. Hagan sus apuestas señoras y señores: Experimentos determinísticos y experimentos aleatorios A través de juegos (lanzar uno o dos dados, lanzar una ruleta, lanzar dos monedas) y el análisis de diversas situaciones se introduce la noción de experimento aleatorio y probabilidad simple. La idea es que los estudiantes, por contraste, aprendan a distinguir un experimento aleatorio de uno determinista y que si bien no se puede predecir los resultados exactos de un experimento aleatorio, sí se puede calcular o estimar la probabilidad de ocurrencia de un resultado aplicando un modelo matemático (regla de Laplace en este caso). Actividades: - ¿Determinístico, aleatorio? Haga su apuesta a ganador - El juego no es una cosa de niños solamente… lanzando monedas y dados - ¿Con qué frecuencia me dijo que ocurría? - ¿Apuesto o no apuesto a ganador? Un asunto de probabilidades
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Taller 3. Muéstreme su muestra y veamos qué representa: Muestras representativas para predecir resultados Análisis de distintas situaciones que involucren estudios estadísticos donde se requieran muestras para poder llevarlos a cabo. La idea central aquí es que los estudiantes comprendan primero la importancia y necesidad de usar muestras y luego determinar que dichas muestras sean representativas. También es importante aquí identificar el papel que juega el azar en la selección de muestras representativas y la relación existente entre muestra representativa y el cálculo de probabilidades en la estimación de la veracidad de los resultados obtenidos. Otro aspecto relevante es identificar la importancia que tienen las muestras para determinar sesgos en la información proporcionada por un estudio estadístico. - Muéstrame lo que tienes: Cómo describir y caracterizar una muestra representativa - No me lo diga con palabras, menos con números… muéstreme una imagen mejor - Datos y gráficos en contexto
Taller 4. Descríbame su muestra y le diré qué tiene. Medidas de tendencia central y representación de datos Formalización de las medidas de tendencia central como descriptores de un conjunto de datos pertenecientes a una muestra y que permiten resumir información relevante y característica de dicha muestra. Cierre de la unidad mediante una síntesis de los principales conceptos estudiados y resolución de problemas y ejercicios preparatorios de la evaluación final de la unidad. - Dígamelo en una palabra (o número mejor): Buscando el centro de la muestra - Dos M´s de los datos: moda y mediana - Datos + gráficos + análisis = información: Situaciones, ejercicios y problemas de datos y azar en contexto
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