Los números romanos hasta mil (M) El sistema de numeración romana se basa en letras que tienen valor numérico y algunas pueden repetirse hasta tres veces.
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Cada letra tiene un valor numérico con los que se forman los diferentes valores de acuerdo a las siguientes reglas.
1) La I, X, C y la M se pueden repetir hasta tres veces.
Ejemplos:
I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000,
II = 2, XX = 20, CC = 200, MM = 2000,
III = 3, XXX = 30, CCC = 300, MMM = 3000.
2) La V, L, D no se pueden repetir. V = 5,
L= 50,
D = 500.
3) Una letra a la derecha de otra de igual o menor valor, se suma.
Ejemplos:
VI = 6,
VII = 7,
VIII = 8,
XI = 11,
XXII = 22,
XXXIII = 33,
LI = 51,
LV = 55,
LX = 60,
CI = 101,
CCX = 210,
CLXV = 165.
4) La I, X y C escritas a la izquierda de otra de mayor valor se resta.
IV = 4,
Ejemplos:
XC = 90,
IX = 9, CD = 400,
XL = 40, CM = 900.
Observa la siguiente cantidad: CDXLIV = 444 Notarás que en este número se realizan tres restas y tres sumas. CD = 500 – 100 = 400, XL = 50 - 10 = 40, IV =
5-
1=
4.
400 + 40 + 4 = 444
Ahora observa esta otra cantidad: CCCXXIV= 324 Observa que en este número se realizan dos sumas y una resta, luego se suman los parciales para integrar el valor total.
CCC = 100 + 100 +100 = 300 XX =
10 + 10 = 20
IV =
5–
1=
300 + 20+ 4 = 324
4
Aplicando las reglas escribe las siguientes cantidades en romanos: a) 494 _______________________ b) 950 _______________________ c) 783 _______________________ d) 87 _______________________ e) 168 _______________________ f) 371 _______________________ g) 810 _______________________ h) 606 _______________________ i)
55 _______________________
j) 333 _______________________
Los números mayas hasta 400
Los antepasados mayas construyeron monumentos y objetos cerámicos donde grabaron fechas históricas utilizando sus propios símbolos numéricos. Estela E en el sitio arqueológico de Quiriguá. Izabal. La más grande del mundo maya, pesa 65 toneladas y tiene 10.6 metros de altura.
El sistema de numeración maya se basa en la posición de los símbolos. En el caso de los números decimales la posición es horizontal de derecha a izquierda y se van multiplicando por diez. En cambio en la numeración maya es vertical, de abajo hacia arriba. Cada nivel tiene un valor mayor. El sistema es vigesimal porque cambia de 20 en 20. Solo se usan tres signos para construir los números mayas.
=0,
.
= 1, y
=5
En la línea inferior el valor se multiplica por 1. En el segundo nivel el valor se multiplica por 20. En el tercer nivel el valor se multiplica por 400.
Ejemplos: Nivel
Multiplicador
2.º
x 20
1.º
x 1
Ejemplo A
Ejemplo B
Ejemplo C
33
110
86
Observa la integración de los siguientes números mayas:
Multiplicamos 10 x 20 Multiplicamos 0 x 1 Luego sumamos
= 200 = 0 200
200
Multiplicamos 4 x 20 Multiplicamos 7 x 1 Sumamos
= 80 = 7 87
87
Multiplicamos 7 x 20 Multiplicamos 4 x 1 Luego sumamos 144
= 140 = 4 144
Para facilitar tus operaciones en el segundo nivel puedes multiplicar el valor absoluto por 2 y agregar un 0 al resultado. Ejemplo: 7X20, se multiplica 7X2 = 14, se agrega 0 y tenemos 140. Ejercita la escritura de números mayas observando los niveles y sus valores. Traduce estos números al sistema decimal.
_______
_______
_______
_______
_______
_______
_______
Comparación de los tres sistemas de numeración Escribe los siguientes números en las tres formas aprendidas. Números Ochenta y nueve Ciento cincuenta y cinco Doscientos treinta y seis Setenta y uno Ciento veintiocho
Decimales
Mayas
Romanos
Identifica la serie y llena los espacios vacíos colocando el número que corresponda.
_______
_______
_______
_______
_______
_______
_______
Identifica los siguientes números y ordena en forma ascendente.
Resuelve los siguientes problemas aplicando los números decimales, ordinales, romanos y mayas. 1. En una carrera participaron cincuenta personas, tu amigo Byron llegó antes de los dos últimos, ¿en qué lugar llegó Byron? Escribe con números y letras. ___________________________________________________________________ 2. Al contar los libros de la biblioteca, Fernando registró cien libros con números romanos, ¿qué número romano le correspondió a los primeros 5 libros de la novena decena? Escribe con números y letras. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
3. Byron y Fernando observaron el calendario en el mes de mayo y ambos decidieron usar los números mayas para cada día. ¿Qué número maya le pusieron a los últimos 5 días?
_______
_______
_______
_______
_______
4. La fecha del nacimiento del maestro de artes es el 25 de mayo de 1980, ¿Cómo lo anotarías con números romanos?
_______
/
_______
/
____________
5. De Guatemala a Cuatro Caminos, San Cristóbal Totonicapán hay 185 000 metros, si deseas dar una cifra aproximada a centenas de millar, ¿cómo la expresarías? ___________________________________________________________________ 6. Según el censo de 2002, en Sololá habitaban 152 132 hombres y 155 529 mujeres, ¿Cuál número es mayor? ¿En qué posición se marca la diferencia? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Adición o suma Adiciones sin agrupar Silvia y Fredy guardaron monedas en sus alcancías durante todo el año, al llegar diciembre las rompieron y encontraron las siguientes cantidades de monedas. Silvia contó 145 unidades de un quetzal, mientras que Fredy encontró 232de igual valor, ¿cuánto reunieron entre ambos?
+
C
D
U
1
4
5
2
3
2
3
7
7
Primero sumamos las unidades, después las decenas y por ultimo las centenas. Las cifras deben estar colocadas en la columna respectiva relacionada con su valor relativo. El resultado se llama suma o total, mientras que los números que se suman se llaman sumandos. Ejemplo: Sumando ……………..….. 542 Sumando …………..…. + 137 Suma o total ……………... 679
Julio leyó su Biblia diariamente. En noviembre leyó 236 versículos y en diciembre 413. ¿Cuántos versículos leyó durante los dos meses?
Suma: + Total:
Para hacer la prueba de la suma se realiza una sustracción. Al total le restamos el primer sumando y nos dará como resultado el otro sumando.
236 413 649
Suma o total (-) Primer sumando da el segundo sumando
-
649 236 413
Suma o total (-) segundo sumando da el primer sumando
-
649 413 236
Realiza las siguientes adiciones o sumas con los siguientes números y efectúa la prueba respectiva:
536 + 130
243 + 251
341 + 308
826 + 173
651 + 316
- 826 173
- 651 316
Ahora realiza las pruebas con el primer sumando.
- 536 130
- 243 251
- 341 308
Aplica la lógica matemática en las siguientes operaciones encontrando el elemento que hace falta.
201 + 651
+ 249 579
311 +555555 856
+ 528 771
624 +555555 986
Adiciones agrupando Cuando la suma de dos o más cifras no llega a 10, no es necesario agrupar a la siguiente posición.
UM
C
D
U
2
3
0
7
3
5
4
1
5
8
4
8
Se dice que son sumas sin agrupar.
+
Cuando la suma de dos o más cifras llega a 10 o más que 10, se debe agrupar a la siguiente posición. Ejemplos:
+
Sumamos las unidades 6 + 6 = 12, como excede de 9 agrupamos una decena a la columna de las decenas, luego sumamos las decenas agregando la que agrupamos, 1 + 4 + 8 = 13, tenemos 13 decenas, agrumas una centena a la columna respectiva. Sumamos las centenas 1 + 3 + 4 = 8 y finalmente sumamos las unidades de millar 1 + 2 =3.
110 1346 2486 3832
Resuelve las siguientes adiciones agrupando a las posiciones siguientes los valores que correspondan.
4675 + 1405
2756 + 3586
8468 + 1863
7875 + 5235
4329 + 2384
Ahora que conoces los resultados puedes hacer la prueba de cada operación aplicando la sustracción.
-
-
-
-
-
Complementa con las cantidades que hagan falta. a) 3 4 8 0 + 1 3 5 9 = __________ ,
d) 5 6 4 7 + __________ = 1 0 1 3 4
b) _________ + 3 7 5 9 = 5 8 2 8 ,
e) 5 5 0 0 + 2 8 9 9 = ___________
c) 3 4 8 3 + __________ = 5 8 4 7,
f) _________ + 7 2 8 0 = 7 8 6 5
Ahora realiza las siguientes adiciones agrupando, decenas o centenas según el caso.
328 + 556
267 + 263
580 + 349
485 + 856
326 + 298
189 + 421
344 + 284
350 + 277
264 + 526
575 + 255
Propiedades de la adición Propiedad conmutativa Observa las siguientes adiciones:
537 + 441 978
441 + 537 978
Puedes observar que aunque se invierta la posición de los sumandos el resultado es el mismo, porque los sumandos son los mismos. La propiedad conmutativa de la adición consiste en que es posible cambiar el orden de los sumandos y el resultado será el mismo.
Resuelve las siguientes adiciones y luego hazlas de nuevo cambiando el orden de los sumandos. Utiliza hojas adicionales para las operaciones.
a) 134 + 245 =
f) 435 + 302 =
b) 735 + 230 =
g) 124 + 514 =
c) 444 + 222 =
h) 230 + 468 =
d) 503 + 392 =
i) 743 + 135 =
e) 197 + 402 =
j) 255 + 523 =
Propiedad conmutativa Observa los siguientes conjuntos: A
C
B
En el conjunto A hay 18 estrellas, en el B hay 12 estrellas y en el C hay 8 estrellas. Al sumar los tres conjuntos tenemos: 18 + 12 + 8 = 38. Podemos asociar dos cantidades y sumarlas a la tercera así: (18 + 12) =30, luego sumamos a (8), así: 30 + 8 = 38. También podemos asociar las dos cantidades pequeñas y sumarlas después a la cantidad grande, así: (12 + 8) = 20, luego sumamos a (18), así: 20 + 18 = 38.
Cuando agrupamos dos o más sumandos antes de hacer la suma completa se aplica la propiedad asociativa. Esta propiedad nos ayuda en sumas grandes cuando varios sumandos son iguales. Por ejemplo: En la piñata de Jorge los amigos recogieron deliciosos bombones, Luis 5, Juanito 8, Rodrigo 5, Sindy 5, Heidy 12 bombones. Si aplicamos la propiedad asociativa podemos sumar los bombones de Luis, Rodrigo y Sindy así (5 + 5 + 5) = 15, y sumamos los bombones de Juanito 8 y Heidy 12 así (8 + 12) = 20, finalmente sumamos los dos resultados así: 15 + 20 = 35 Los sumandos son 5 + 8 + 5 + 5 + 12 =35. Asociando: Luis, Rodrigo y Sindy Juanito y Heidy Suma …………………
= = =
(5 + 5 + 5) = 1 5 (8 + 12) = 20 15 + 20 = 35
Realiza las siguientes sumas haciendo las asociaciones que sean más fáciles y prácticas. a) 235 + 540 + 60 = _____________________________________________ b) 350 + 157 + 150 = _____________________________________________ c) 200 + 100 + 389 = _____________________________________________ d) 137 + 220 + 130 = _____________________________________________ e) 120 + 100 + 267 = _____________________________________________
Propiedad del elemento Observa las siguientes operaciones:
0 + 439 439
237 + 0 237
330 + 000 330
El 0 sumado a otro número da como resultado el mismo número. La propiedad del elemento neutro o modulativa de la suma consiste en que todo número sumado al 0 da como resultado el mismo número.
Anota la cantidad que hace falta en las siguientes operaciones:
0 + 270
532 + 000
0 + 439
0 + 0000 158
+ 000 934
Aplica las propiedades de la suma en los siguientes ejercicios:
Propiedad conmutativa:
560 + 140 + 17 = ______________________________
Propiedad asociativa:
167 + 150 + 50 = ______________________________
Propiedad modulativa:
568 +
0 +
0 = ______________________________
La sustracción o resta Abraham intercedió ante Dios para pedir que no destruyera Sodoma, él fue restando el número de justos, primero dijo 50, después restó 5, (45) luego restó otros 5 (40), después siguió restando hasta llegar a 10. Pero lamentablemente no había ni 10 justos en Sodoma y fue destruida.
Elementos de la sustracción 5637 -3205 2432
Minuendo, cantidad mayor. Sustraendo, cantidad menor. Diferencia entre ambos números.
Sustracción en la tabla de valores.
_
UM
C
D
U
4
3
9
0
2
1
6
0
2
2
3
0
Sustracción sin desagrupar Cuando los dígitos del minuendo son mayores a los del sustraendo, no es necesario desagrupar para realizar la resta. En este caso se dice que son restas sin prestar la posición siguiente. Realiza las sustracciones siguientes:
8786 - 5564
8665 - 5335
5977 - 1624
4264 - 4030
3864 - 1821
8470 - 1230
7038 - 3036
6291 - 3250
3548 - 1243
9296 - 3275
Sustracción desagrupando Cuando una cifra del minuendo es menor a la otra del sustraendo debemos desagrupar en la posición siguiente para agregarlo a la cifra a la que le vamos a restar. Ejemplo: En una población hay 4932 personas, si de ellas 2465 son mujeres, ¿cuántos hombres hay? -1 10
_
4592 2465 2127
En la columna de las unidades. El 2 es menor a 5, entonces, desagrupamos en la columna siguiente, a 3 decenas le quitamos 1, se la agregamos al 2 y tendremos 12 12 – 5 = 7, en la columna de las decenas restamos 1 y nos quedan 8. 8 – 6 = 2, continuamos restando las centenas y las unidades de millar.
De igual manera, podemos hacer las sustracciones en las decenas, centenas y demás valores. Realiza los siguientes ejercicios desagrupando donde sea necesario.
5486 - 2168
8050 - 3245
4873 - 1136
6439 - 3670
3282 - 1524
2835 - 146
4864 - 2748
5268 - 3528
1476 - 168
3476 - 2635
Aplica la sustracción en los siguientes problemas:
1. A un concierto cristiano asistieron 3568 personas, pero solo había 3412 sillas, ¿cuántas sillas faltaron?
2. En una reunión se contaron 2846 personas, de las cuales 1386 eran niños, ¿cuántos adultos hubo en la reunión?
3. La distancia entre la ciudad de Panamá y la ciudad de Chimaltenango es de 1939 kilómetros. Mientras que entre la ciudad Panamá y Antigua Guatemala es de 1918 kilómetros. ¿Cuál es la diferencia entre las dos distancias?
______________________________________
4. En la bodega de William hay 3237 jugos de naranja, mientras que en la bodega de Ernesto hay 4260. ¿Cuántos jugos tiene de más la bodega de Ernesto?
______________________________________
5. En una librería hay 1454 Biblias y en la comunidad viven 3504 personas. ¿Cuántas Biblias faltarían para obsequiar a cada persona de la comunidad?
______________________________________
En la Biblia tenemos los mejores consejos para vivir como Dios quiere
Colorea esta figura y no olvides leer la Biblia
Propiedades de la sustracción Propiedad del elemento neutro o modulativa La sustracción no posee la propiedad conmutativa ni la asociativa que posee la adición. En cambio sí tiene la propiedad del elemento neutro o modulativa. Cuando a un número se le resta el 0, el resultado es el mismo número. Propiedad del elemento neutro o modulativa.
345 - 000 345
minuendo sustraendo diferencia
Esta propiedad se puede aplicar parcialmente en los dígitos donde aparece el 0. 589 - 400 189
minuendo sustraendo diferencia
Propiedad fundamental Si al sustraendo le sumamos la diferencia nos da como resultado el minuendo.
8674 - 2352 6322
minuendo sustraendo diferencia
2352 + 6322 8674
(sustraendo) (diferencia) (minuendo)
Esta propiedad nos sirve para hacer la prueba de la sustracción.
Realiza las siguientes sustracciones y su respectiva prueba: Prueba
Prueba
3450 - 1230
Prueba
8563 - 3185
7264 - 3138
En una granja hay 5348 aves, de las cuales 4285 son gallinas y el resto son patos. Desconocemos el número de patos. Para averiguarlo restamos las gallinas del total de aves y tendremos el número de patos. 5348 aves 4285 gallinas
5348 - 4285 1 0 6 3 patos
En las siguientes operaciones de adición y sustracción, hace falta un término. Descúbrelo y completa.
4267 - 3185
+2438 5812
7264 - 3528 4622
6350 + 168 8204
+2105 4362
Traza una línea desde la operación hasta el término que falta. a) 2854 + _______ = 5356
963
b) _______ - 4370 = 5469
2135
c) 7348 – 2385
2502
= _______
d) _______ + 1987 = 2950
9839
e) 7480 - _______ = 5345
4963
Operaciones con cinco cifras Frecuentemente hay que hacer operaciones con cantidades que no tienen las mismas cifras. Observa las siguientes sumas.
DM
UM
C
D
U
3
4
5
0
4
3
2
4
6
7
7
5
0
DM
UM
C
D
U
5
3
4
2
8
1
3
5
9
2
0
6
9
+ 3
-
5
Responde: 1) En la adición, ¿dónde tuvimos que agrupar? ___________________________________________________________________ 2) En la sustracción ¿dónde tuvimos que desagrupar? ___________________________________________________________________ 3) ¿Cómo compruebas que la adición está correcta? ___________________________________________________________________ 4) ¿Cómo compruebas que la sustracción está correcta? ___________________________________________________________________
Resuelve: a) 95 356 + 4 560 = ____________
90 346 + 62 350 = ____________
b) 48 248 - 13 248 = ____________
e) 85 450 - 24 465 = ____________
c) 75 035 - 5 436 = ____________
f) 35 340 - 15 288 = ____________
d) 15 340 + 12 348 = ____________
g) 50 825 + 3 987 = ____________
Ejercita con los siguientes problemas.
1) De la casa de Luis a la de Lily hay 56 230 centímetros. Mientras que del mismo punto a la iglesia hay 35 405 centímetros. Escribe la diferencia entre ambas distancias. ___________________________________________________________________ 2) En Villa Canales se reportó un flujo de 85 250 vehículos diarios que ascienden a la ciudad capital. Si de ellos 3542 vehículos no ha cancelado su calcomanía. ¿Cuántos cuentan con calcomanía del año? ___________________________________________________________________ 3) La pared norte de un edificio se construyó con 12 350 ladrillos, mientras que para la pared sur se usaron 8055. ¿Cuántos ladrillos se usaron en total? ___________________________________________________________________ 4) En un vivero hay 8542 arbolitos de pino y 600 de ciprés. ¿Cuántos arbolitos hay en total? ___________________________________________________________________
Sumas y restas con números mayas
.
Recuerdas que los símbolos mayan son:
=0,
= 1, y
=5
Puedes utilizarlos para realizar adiciones o sustracciones, teniendo el cuidado de agrupar o desagrupar conforme a las normas del sistema maya. Recuerda que el punto se puede repetir solo hasta cuatro veces y la línea solo hasta tres veces. Asimismo que los valores se establecen por el nivel que ocupan.
.... ... ..
Ejemplo de sumas utilizando números mayas: +
=
(4 + 3 = 7)
Como no podemos usar más de cuatro veces el punto, debemos agrupar usando la línea que vale 5 y agregar los dos puntos restantes para formar el 7. Otros ejemplos:
.... .. . . . +
+
=
=
= (9 + 2 =11)
= (10 + 6 = 16)
En el caso de la resta debemos desagrupar. Ejemplo:
... ... ... -
=
= (13 – 4 = 9)
En este caso el minuendo solo tiene tres puntos y dos líneas, por lo que al restarle el sustraendo que tiene cuatro puntos, necesitamos desagrupar una línea, para eliminar cuatro unidades y formar el 9, que es la diferencia. Otros ejemplos:
. .... .. -
-
=
=
= (10 – 5 = 5) = (16 – 14 = 2)
Realiza los siguientes ejercicios de adición y sustracción.
. . .. .... .... .
. . ... .... . ....
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
La multiplicación Cuando sumamos varias cantidades iguales, podemos abreviar el procedimiento usando la multiplicación. Observa las siguientes figuras:
+
+
+
Tienes 4 cuadros y en cada uno hay 6 caritas, de modo que puedes sumar cuatro veces la misma cantidad para que te dé el total de caritas, así: 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Podemos convertir la suma en una multiplicación, así: 4 cuadros por 6 caritas. Símbolo
4 X 6 = 24
Producto
Factores
La multiplicación es una suma abreviada, que puedes aplicar cuando las cantidades a sumar son iguales.
Observa los siguientes conjuntos:
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
Tenemos 4 filas y en cada una hay 5 pelotitas. Al sumar repetiríamos los sumandos cuatros veces; Así: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 Mientras que usando la multiplicación tendríamos 2 factores, el 4 que representa el número de filas y el 5 que representa el número de pelotitas en cada una. 4 x 5 = 20 A continuación realiza las siguientes multiplicaciones:
3 X 6 = _______
5 X 8 = _______
7 X 2 = _______
6 X 6 = _______
4 X 3 = _______
9 X 5 = _______
5 X 5 = _______
1 X 9 = _______
Resuelve:
1. Para ir a los bautismos de la iglesia se usaron 4 vehículos, si en cada vehículo cupieron 5 personas, ¿cuántos fueros a los bautismos?
4 X 5 = _____________
2. Para la merienda, la maestra llevó 3 bolsas de galletas, en cada bolsa había 8 galletas, ¿cuántas galletas había por todas?
3 X 8 = _____________
3. El padre de Sergio llevó 3 piñatas para celebrar el cumpleaños de su hijo. En cada uno echó 7 chocolates, ¿cuántos chocolates había en total?
3 X 7 = _____________
4. La maestra llevó al aula 6 bolsas con 8 helados de frutas cada una, ¿cuántos helados llevó en total?
6 X 8 = _____________
La tabla de multiplicar En la siguiente tabla tienes varias cantidades que están colocadas según sus factores. Para identificar los factores solo tienes que multiplicar el número de la columna y el de la fila que se alinean con cada número inscrito en la tabla. Ejemplo: Los factores del 15 son: en la columna es el 5 y en la fila 3, entonces, 15 = 5 X 3.
Factores en las columnas 1 Factores en las filas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 15 24 40 30 7 48 63
Según la tabla, indica ¿cuáles son los factores que forman cada producto?
10 = __________
14 = __________
63 = __________
24 = __________
40 = __________
30 = __________
7 = __________
48 = __________
Múltiplos de un número Múltiplos del número 3. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, etc. Se obtiene multiplicando el número por todos los números naturales restantes. Múltiplos de los siguientes números.
Múltiplos del 3 0
X
3
0
1
X
3
3
2
X
3
6
3
X
3
9
4
X
3
12
5
X
3
15
6
X
3
18
7
X
3
21
8
X
3
24
9
X
3
27
10
X
3
30
Ahora observa los múltiplos que son comunes a las dos series. Encuentras que el 12 y el 24 son múltiplos comunes del 3 y del 4. Entre estos múltiplos comunes el de menor valor es el 12, por lo que decimos que el mínimo común múltiplo del 3 y el 4 es 12.
Ejercicio Elabora en la tabla numérica los múltiplos de 2 y los múltiplos de 5, multiplicando hasta 10, luego marca los múltiplos comunes de ambos y anota el mínimo común múltiplo.
Indica cuál es el mínimo común múltiplo del 2 y el 5 según los resultados de las tablas.
mcm =
Propiedades de la multiplicación La multiplicación al igual que la suma y la resta tiene propiedades. Estas son cuatro, la propiedad conmutativa, la asociativa, la del elemento neutro y la distributiva.
Propiedad conmutativa Observa la siguiente multiplicación: 5 X 7 = 35 invirtiendo el orden de los factores 7 X 5 = 35 El orden de los factores no altera el producto. Propiedad conmutativa. En toda multiplicación se puede cambiar la posición de los factores, y el resultado será el mismo.
Aplica esta propiedad con las siguientes operaciones: En la línea de la par de cada operación anota el resultado. Une con una línea las multiplicaciones que sean iguales aplicando la propiedad conmutativa. a) 7 X 5 = _______________
f) 6 X 3 = _______________
b) 8 X 7 = _______________
g) 4 X 2 = _______________
c) 4 X 9 = _______________
h) 7 X 8 = _______________
d) 2 X 4 = _______________
i) 5 X 7 = _______________
e) 3 X 6 = _______________
j) 9 X 4 = _______________
Propiedad asociativa Cuando la multiplicación consta de tres factores o más, es posible asociar los factores de diferente manera: Ejemplo: 3 X 5 X 4 = 60 La operación la podemos hacer de otra manera. Multiplicando primero dos factores y luego multiplicando por el otro factor.
(3 x 5 = 15) luego por el otro factor, 15 x 4 = 60.
Si agrupamos factores de diferente manera, el producto será el mismo. Propiedad asociativa.
Otros ejemplos: 5 X 2 X 6 aplicando la propiedad asociativa puedes ser así:
(5 X 2) X 6
=
5 X (2 X 6)
10 X 6
5 X 12
60
60
Encuentra el número que hace falta en las siguientes multiplicaciones. a. (5 X 3) X b. (
= 30 X 3) X 4 = 24
6X( c. 5 X ( 4 X
X 3) = 90 ) = 80
Propiedad distributiva Reflexiona sobre este problema:
Un profesor dijo a sus alumnos Jorge Y Lily que coleccionaran monedas antiguar y que cuando las tuvieran les daría cinco dulces por cada moneda coleccionada. Si Jorge coleccionó 4 monedas antiguar y Lily coleccionó 8 monedas, ¿cuántos dulces acumularon entre los dos? En este caso es una multiplicación y una suma donde podemos aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.
4 monedas
8 monedas
Formas de resolver la operación a) Sumamos las monedas y el resultado lo multiplicamos por el número de dulces (5). b) Multiplicamos el número de dulces por cada número de monedas, las de Jorge y las de Lily, y después sumamos los resultados.
a) (4 + 8) X 5
=
b) (5 X 4) + (5 X 8)
12 X 5
20 + 40
60
60
La propiedad distributiva consiste en que un número multiplicado por la suma de otros dos, es igual a multiplicar por cada número en forma individual y luego sumar el resultado.
Propiedad de elemento neutro Observa estas multiplicaciones: a) 7 X 1 = 7,
c) 9 X 1 = 9,
b) 15 X 1 = 15
d) 23 X 1 = 23
Todo número multiplicado por uno (1) da como resultado el mismo número. Esta es la propiedad del elemento neutro.
Multiplicación por decenas, centenas y millares Cuando multiplicamos por 10, lo hacemos por uno y se agrega el 0 al final. Ejemplo:
458 X 10 igual a 458 X 1 = 458,
agregamos 0 = 4580
Otros ejemplos:
246 x 10 = 2460
508 x 10 = 5080
370 x 10 = 3700
En este caso estamos multiplicando decenas (10) por eso multiplicamos por 1 y solo agregamos el 0. Si multiplicamos por 100 se procede igual con la diferencia que al final se agregan dos ceros, porque estamos multiplicando por centenas. Ejemplos:
465 X 100 = 46 500,
780 X 100 = 78 000,
307 X 100 = 30 700,
500 X 100 = 50 000.
Procedimiento Cada vez que realices operaciones por 10, 100, 1000, 10 000, solo multiplicas por uno y agregas los ceros que correspondan al multiplicando. Multiplicación por 1000 248 X 1000 = 248 000
135 X 1000 = 135 000
354 X 1000 = 354 000
200 X 1000 = 200 0000
De igual manera sucede con multiplicadores de dos o más decenas o centenas, cuando son exactas. Ejemplo: 4 X 20 = multiplicamos por 2, (4 X 2) = 8, agregamos el cero, y tenemos 80. Ejercicios Multiplica por centenas: 7 X 200 = (7 X 2) = _________, agregamos ceros = __________________
5 X 300 = (5 X 3) = _________, agregamos ceros = __________________
8 X 400 = (8 X 4) = _________, agregamos ceros = __________________
6 X 500 = (6 X 5) = _________, agregamos ceros = __________________
Multiplica por millares: 9 X 1000 = (9 X 1) = _________, agregamos ceros = __________________
5 X 5000 = (5 X 5) = _________, agregamos ceros = __________________
3 X 4000 = (3 X 4) = _________, agregamos ceros = __________________
4 X 2000 = (4 X 2) = _________, agregamos ceros = __________________
Realiza los siguientes ejercicios. 450 X 10 = _______
742 X 10 = _______
139 X 100 = ______
380 X 10 = _______
775 X 100 = ______
317 X 1000 = _____
342 X 100 = ______
235 X 10 = _______
645 X 1000 = _____
Reflexiona:
Si en el colegio hay 125 alumnos y cada uno lleva 10 dulces para una piñata, ¿cuántos dulces se reunirán? Multiplicaciones con multiplicador de una cifra Agrupando decenas y centenas. Empezamos la operación por las unidades, cuando el resultado es igual o mayor que 10 debemos agrupar a las decenas cuando el resultado de las decenas es igual o mayor que 10 debemos agrupar a las centenas.
Ejemplos varios
Al multiplicar las unidades debemos agrupar una decena porque 3 X 5 = 15, anotamos 5 en las unidades y agrupamos una decena para sumarla al producto de las decenas.
1
215 x 3 645
En este caso no es necesario agrupar decenas, en cambio debemos agrupar una centena porque 4 X 4 = 16, anotamos 6 en las decenas y agrupamos una centena para sumarla al producto de las centenas.
1
241 x 4 964
1 1
232 x 5 1160
1
En este caso agrupamos una decena y una centena porque ambos productos son mayores que 9.
2
546 x 4 2184
1
2
135 x 5 675
2 1
374 x 3 1122
Realiza los siguientes ejercicios:
742 X 4
358 X 5
805 X 3
128 X 6
X 7 3556
X 2 1350
Encuentra el factor que hace falta:
425 X00000 2550
538 X00000 4304
Resuelve los siguientes problemas numéricos
1) En el Antiguo Testamento hay 39 libros, y en el Nuevo Testamento hay 27 libros. Si Fernando lee 5 versículos de cada libro, ¿cuántos versículos leerá en total? ___________________________________________________________________ 2) En la iglesia de Juanito hay 468 miembros, si cada uno lleva 4 libros para la biblioteca, ¿cuántos libros se reunirán? ___________________________________________________________________ 3) Teresita reunió alimentos para ayudar a las familias pobres de su barrio. Los niños reunieron 5 libras de azúcar cada uno y las niñas reunieron 7 libras cada una. Si participaron 25 niños y 34 niñas, ¿cuántas libras de azúcar se reunieron? ___________________________________________________________________ 4) En una competencia las niñas y los niños corrieron 5 hectómetros, si participaron 45 niños y 26 niñas, ¿cuántos kilómetros sumaron entre todos, niñas y niñas? Aplica la propiedad distributiva. ___________________________________________________________________
Multiplicador de dos cifras Observa esta operación y analiza el procedimiento: 1. er Paso
2.º Paso
3.º Paso
325 X 53 975
325 X 53 975 1625
325 X 53 975 1625 17225
Multiplico por 3
Multiplico por 5
Sumo ambos productos
Cuando multiplicamos por dos cifras tenemos un multiplicador que consta de unidades y decenas. Multiplicamos por las unidades, anotamos el resultado. Multiplicamos por las decenas, anotamos el resultado corriendo un espacio. Sumamos ambos resultados para tener el producto. Puedes verlo en la tabla de valores. 1 5 4 X 2 4 = 3696.
UM
C
D
U
1
5
4
2
4
6
1
6
3
0
8
3
6
9
X
+
6
Siguiendo el mismo procedimiento, realiza en la tabla las siguientes operaciones:
5 X
3 X
4 3
2 5
0 5
7 2
1 X
5 X
3 1
6 2
4 4
6 6
2
5 2
0 1
6
4 5
0 6
X
X
Cuando el multiplicador consta de 2 números iguales, se multiplica por la cifra de las unidades del multiplicador y el resultado se copia para las decenas, después se suman, ejemplo: 358 X 33 1074 1074 11814
resultado en las unidades resultado en las decenas
Ejercita con las siguientes operaciones: a)
f)
567 X 5
670 X 4
b)
g)
854 X 15
543 X 55
c)
h)
946 X 23
469 X 22
d)
i)
507 X 56
577 X 24
e)
j)
289 X 31
895 X 13