Mefisto16

Mefisto Octubre de 2015

Número 16

Mefisto

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

En este número Presentación

3

Ana Beatriz Alonso Osorio

Hombres y mujeres del maíz

Guillermo Cabrera Cortés Kenia Valdez Barajas

Frases célebres

4

11

El cielo de verano

12

El peso desaparecido

14

Correlación, causa y efecto

18

Daniel Maisner Bush

Fausto Cervantes Ortiz

Acertijos

22

Sudoku

24

1

Mefisto

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector

Dr. Hugo Aboites

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial

Secretaria General Ana Beatriz Alonso Osorio

Lic. Ma. Auxilio Heredia Anaya

Octavio Campuzano Cardona Coordinadora Académica

Daniel Maisner Bush

Dra. Micaela Rosalinda Cruz Monje Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología

Verónica Puente Vera

Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto

Dr. Igor Peña Ibarra Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:

Dr. Koulsy Lamko

gaceta.mefisto@gmail.com

Responsable del área de publicaciones Felipe Vázquez

programa de materiales educativos para estudiantes de la uacm

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

materiales.educativos@uacm.edu.mx san lorenzo tezonco E-207 5850-1901 x 14507

https://sites.google.com/site/materialeseducativosuacm biblioteca del estudiante / coordinación académica

2

Mefisto

Presentación Ana Beatriz Alonso Osorio

Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante

Observar las estre­ llas, y las figuras que forman éstas en el cielo, sucedía cotidianamente en­ tre nuestros ante­ pasados. Los movi­ mientos de astros y planetas a lo largo del año, coincidían con los cambios de estaciones y los ci­ clos de agricultura.

De esta manera, las civilizaciones que nos precedieron re­ gistraron la correla­ ción entre los even­ tos celestes y los terrenales y, dada la necesidad huma­ na de explicarse los fenómenos, crearon desde ahí sus leyendas y cosmovisiones. En nuestros pueblos originarios de me­ soamérica, la agricultura del maíz y la creación de la humanidad también se concibieron como un acto divino indivisible. Mitos, bellas creencias y falsas concepciones han sido nuestros maestros desde el pasado. Desde esta reflexión, que enfrenta a la fantasía de explicaciones imaginarias con la vera­ cidad comprobable en medidas y experimentos, presentamos el actual número de la Gaceta Mefisto.

Continuando con la iniciativa de abrir este espacio a las inquietudes de nuestros estudiantes, integrantes del curso de Cultura Científica y Humanística nos han enviado un amplio recuento del maíz, abarcando distintas visiones de sus orígenes místicos, las transformaciones en su desarrollo histórico y la riqueza cultural que, a diario, tenemos la fortuna de disfrutar.

En cuanto al fenómeno de las correlaciones, proponemos una explicación que nos clarifica la importante diferencia entre dos fenómenos que son causa y efecto uno de otro, y dos fenómenos que, al coincidir, equivocadamente se consideran así. Esta tendencia, que se refuerza cuando intervienen las creencias sobrenaturales, deja de lado el análisis sistematizado de los hechos, mismos que nos demuestran sus verdaderas causas y efectos sólo cuando nos acercamos a ellos mediante el método científico.

Sin embargo, la confusión que surje de los planteamientos engañosos puede ser también aprovechada para el esparcimiento, como es el caso de los acertijos y juegos mentales, que invariablemente llevan su pequeña dosis de misterio. A este respecto, ofrecemos a nuestros lectores el planteamiento de algunos problemas matemáticos populares, aparentemente imposibles de resolver y que, sin embargo, encuentran su solución al ser desglosados y analizados a la luz del razonamiento matemático. Feliz lectura.

3

Mefisto

Hombres y mujeres del maíz Guillermo Cabrera Cortés y Kenia Valdez Barajas

Estudiantes de CL y CPAU respectivamente, en SLT

La preparación y el consumo de alimentos no sólo es una necesidad fisiológica; sino también cultural: es el motor para que los seres humanos vivan biológica, social y culturalmente.

El maíz es una planta nativa de Mesoamérica que ha tenido fuerte presencia en la alimentación y en el ámbito cultural desde la época prehispánica hasta la actualidad. Es la base principal en la dieta de los mexicanos, pero también es un ingrediente de nuestra identidad porque ha acompañado nuestra historia y conformado nuestra cultura, particularmente con un profundo significado en la cosmovisión mesoamericana. Aquí indagamos sobre su origen y domesticación, así como sobre el uso ritual que le daban nuestros antepasados, con sus implicaciones sociales y culturales.

El cultivo del maíz muestra el tipo de relación entre naturaleza y cultura. Basta con ver que el maíz que conocemos hoy no es el mismo de antes: proviene de un proceso de domesticación llevado a cabo durante generaciones. Con la práctica milenaria de este cultivo se inventó la milpa, un sistema que vincula eficazmente al maíz con otras plantas; así como la nixtamalización, el proceso indispensable para hacer comestible la semilla. El cultivo también es un ejemplo del valor simbólico que los alimentos aportan a las culturas: en Mesoamérica el maíz formó parte de una serie de mitos y rituales. Asimismo, de manera indudable, el maíz fue la base de la economía mesoamericana.

La llegada de los españoles perturbó gravemente la forma de vida de las culturas mesoamericanas, y durante el periodo colonial se suscitaron cambios significativos en los usos y costumbres en torno al maíz. Una de las consecuencias de esos cambios fue que, en las primeras décadas de la colonia, emergió una crisis alimentaria que tuvo un fuerte

4

Figura 1. Elote con el maíz listo para disfrutarse.

impacto en la población. En esta línea de ideas procuramos responder las siguientes preguntas: ¿Cómo vieron los españoles algunos alimentos típicos en el nuevo mundo? ¿Cómo influyó la conquista en la agricultura indígena? ¿Qué relación existía entre el maíz y la vida cultural?

Finalmente, el maíz sigue siendo parte de nuestra vida, aparece en la gastronomía y en múltiples expresiones culturales, por ello cerraremos con una reflexión sobre la importancia del grano en el México actual.

Tras algunas huellas del maíz: la milpa y el nixtamal El maíz aparece en el registro arqueológico mesoamericano hace ocho mil años aproximadamente, aunque no en todas las regiones, ya que requiere de condiciones climáticas y de suelo especiales. La semilla no puede germinar por sí sola de manera natural, los granos del maíz se

Mefisto

Figura 2. Planta de maíz con elotes.

sujetan fuertemente al olote de tal manera que se necesita de un agente externo que facilite la siembra de la semilla en la tierra. Como ni el viento ni los insectos pueden hacer esta labor, el ser humano la lleva a cabo. Por tanto, el maíz necesita del humano para reproducirse y el humano requiere del maíz para alimentarse.

Hace dos mil quinientos años ya estaba presente el maíz de manera consistente en la región arqueológica de Tehuacán, Puebla. Posiblemente, al inicio fue utilizado para obtener azúcar de las cañas para la elaboración de bebidas fermentadas y posteriormente se valoraron las mazorcas en la milpa. Al parecer, el cultivo del maíz se desarrolló principalmente en huertos familiares o comunales: al inicio era sólo una planta con espigas, llamada teosinte, que contenía uno que otro grano de maíz pequeño; pero el campesino antiguo se percató de que podía intervenir en el proceso de desarrollo de las mazorcas, y a través de los siglos las mazorcas crecieron más, con más granos y más resistentes.

Una consecuencia de lo anterior fue que, con un

mayor número de semillas, aumentó la siembra y el cultivo en la milpa.

Las culturas mesoamericanas inventaron una forma de esparcir los granos por medio del sistema milenario denominado la milpa, que integra el terreno donde se crea el sembradío, donde los frutos y la tierra se enriquecen con el vínculo que establecen las plantas que conforman el sistema: maíz, chile, calabaza, jitomate, frijol y, aunado a este conjunto, el quelite, que llega por vía silvestre (existen sesenta variedades de quelites, entre ellas: el amaranto, el romero y la malva). La rotación e intercalado de los cultivos es fundamental para enriquecer el sistema de la milpa, que además genera su propio abono y su fertilizante.

Esto ocurre en abierto contraste respecto a los monocultivos masivos acostumbrados hoy día, que agotan rápidamente la tierra.

Como parte de la domesticación del maíz hubo una transformación básica que lo hizo comestible y además enriqueció su valor nutricional (y que habla de la sabiduría de nuestros antepasados): la nixtamalización, proceso de alcalinización del grano que se ha transmitido generacionalmente hasta nuestros días. Consiste en la adición de cal a una porción de maíz. Esta preparación se cuece de 50 a 90 minutos y se deja remojando en agua de 14 a 18 horas. Después del remojo, el agua se retira y se enjuaga el maíz en repetidas ocasiones. La nixtamalización facilita la digestibilidad, mejora el valor nutricional (aumenta el calcio en 20%, el fósforo en 15% y el hierro en 37%) y da una mejor masa para la elaboración de tortillas. Este proceso no altera el contenido proteínico y de minerales del maíz; lo que sí hace, es matar las aflactoxinas: hongo del maíz resistente a las altas temperaturas que, si no se elimina en la nixtamalización, podría llevar a las personas a la muerte o a tener alguna afectación cerebral o nerviosa grave.

Con su domesticación, dispersión y cultivo desde el año 6,000 a. C., el maíz ocupó un lugar preponderante en la cultura prehispánica y lo mantiene en la sociedad actual. El grano forma parte de muchas leyendas y es cimiento mitológico de antiguas civilizaciones en todo el proceso histórico de Mesoamérica.

5

Mefisto

Figura 3. Milpa casi lista para la cosecha.

El maíz en los mitos de origen y entre los mexicas A diferencia del pasaje bíblico de la tradición judeo-cristiana acerca del origen de la humanidad, donde Dios creó al hombre con barro, los escritos mayas hacen referencia a un origen mítico más allegado a nuestro contexto. El hombre está hecho de maíz y se alimenta de él, creándose un vínculo inseparable: el hombre tiene su origen en esta planta y esta planta necesita del hombre para proliferar. Por ejemplo, en el Popol Wuj (libro sagrado de los mayas) se cuenta que los dioses hicieron al hombre del maíz, y lo dotaron de la misma semilla, uniéndolos de por vida.

Más tarde, en el mito de Quetzalcóatl, el dios máximo de todos los mesoamericanos, él va a formar al hombre en varios intentos. Lo logra en el Quinto Sol, y el alimento que escoge para alimentarlo es el maíz. Los dioses mascan la planta y la colocan en la boca del hombre para robustecerlo.

Los mexicas consideraban sagrados cinco colores del maíz: blanco, rojo, amarillo, negro y azul, colores

6

relacionados con los cinco puntos cardinales. En la cultura mesoamericana, además de los cuatro puntos cardinales conocidos, se toma en cuenta una quinta región, el centro, que abarca el universo (el arriba) y el inframundo (el abajo): el lugar de los muertos. El color blanco representa el centro del universo, el amarillo y el azul, el Sur; el rojo pertenece a Quetzalcóatl, y representa al Este (por donde sale el sol) y el negro simboliza al Norte y al Oeste, perteneciendo a Tezcatlipócatl (la dualidad y oposición de Quetzalcóatl).

Por otra parte, la recreación de los mitos genera instituciones dentro de las culturas, por ejemplo, el cultivo del maíz fue determinante para el desarrollo de la astronomía en el México antiguo.

Los indígenas descubrieron en los movimientos del universo una correlación con los elementos de la vida, entre ellos el maíz. El resultado de sistematizar estas observaciones fue la elaboración de un calendario agrícola del cual se derivaron diversas festividades, como la del Fuego Nuevo (fin de un ciclo e inicio de otro).

Los mexicas celebraban aproximadamente dieciocho festividades anuales en fechas deter­ minadas, que incluían ritos encaminados a pro­

Mefisto

Figura 4. Cinteótl. Dios del maíz para los mexicas.

Figura 5. Yum-Kaax. Dios del maíz para los mayas.

piciar el ciclo de la agricultura. Estas ceremonias estaban dedicadas a los dioses de la lluvia y del maíz: Tláloc y Cintéotl, respectivamente. Los ritos que se llevaban a cabo principalmente con base en el cultivo, la siembra, los brotes de plantas, la maduración de las mismas, su cosecha y su almacenamiento; conllevando a la selección de granos que se utilizaban como semillas para el siguiente ciclo. Algunas de las festividades relacionadas con el maíz fueron: Atlcabualo, se realizaba en enero y febrero cuando empezaba el cultivo de riego; Etzacualiztli, la celebración se daba en mayo y junio, la gente podía comer libremente, y Huey Tozoztli, en abril y mayo, donde se bendecían las mazorcas que se utilizarían en la siembra.

Los granos del maíz son una parte divina y creadora en el simbolismo mesoamericano; pero fueron fundamentalmente los ritos de adivinación los que crearon el gran sembradío de la época prehispánica. En la actualidad se siguen practicando rituales de adivinación con el maíz en las comunidades indígenas.1

El maíz en la colonia

1Ver: González Torres, 2014.

La conquista española sobre el mundo indígena implicó enormes pérdidas y profundos cambios.

La lucha encarnizada entre españoles e indígenas derramó ríos de sangre; la muerte dibujó un ambiente tétrico. Los conquistadores salieron avantes, no tanto por la pelea cuerpo a cuerpo; sino por las vidas indígenas que se extinguieron como consecuencia de las enfermedades que acompañaban a algunos peninsulares, como lo fueron la viruela y la tifoidea. Para 1519, un total de 17 millones 858 mil indígenas, se redujo drásticamente a 548 mil por el azote epidemiológico. Amén de las vidas esfumadas por las epidemias, se aunó el desplazamiento de algunos sobrevivientes a lugares lejanos donde pudieran estar a salvo, situación que ocasionó que muchas tierras quedaran acéfalas.

A pesar de pérdidas y cambios, se conservaron algunas técnicas agrícolas (diez años pasaron para que la colonia española se asentara por completo) y se anexaron otras traídas por los invasores, como el arado. La flora y la fauna prehispánicas se modificaron aceleradamente, incorporándose

7

Mefisto cerdos, ovejas, gallinas, reses y caballos, entre otros. También se adicionaron nuevos cultivos: trigo, cebada, avena, centeno, olivo, alfalfa, lenteja, lechuga, col, rábano, espárrago, zanahoria, espinaca, limón, naranja, lima y toronja se introdujeron al ecosistema nativo. El maíz se enfrentó principalmente al trigo, cereal que se utiliza para la elaboración del pan que consumían los españoles y que exportaban desde España al nuevo mundo.

Debido a la importación de animales europeos, se cambió el uso de las tierras, lo que afectó la agricultura indígena. Por ejemplo, el ganado ovino requiere de pastizales para su alimentación: grandes cantidades de hectáreas fueron consumidas por estos animales ungulados. Se modificó, pues, la agricultura nativa con la llegada de nuevas especies agrícolas y animales, así como con nuevas técnicas.

Se modificó en consecuencia la alimentación indígena, puesto que gran parte de los alimentos eran obtenidos de los cultivos, especialmente de la milpa. Así, nuevos productos se incluyeron y se mezclaron en su dieta.

Entre las técnicas agrícolas españolas coloniales predominaron los monocultivos, lo que ocasiona el empobrecimiento de la tierra, su desgaste e incluso su erosión. Las plantas básicas de la milpa, junto con los quelites como el amaranto, tenían la virtud de pertenecer a este rico sistema.

También una parte de la cultura indígena fue llevada a Europa. En los primeros años de la llegada del maíz allá, fue plantado en jardines y se le consideró planta exótica y bocadillo exquisito.

Inevitablemente, la colonia española representó un cambio en la cosmovisión que se tenía del maíz.

Algunos de sus acompañantes en la milpa fueron separados y prohibidos del consumo indígena por ser considerados satánicos, lo que conllevó a la desvalorización de ciertos productos agrícolas prehispánicos, ignorando y desaprovechando sus elementos nutricionales y energéticos. Empero, la cocina mexicana se diversificó y enriqueció con la flora y fauna traídas desde el viejo mundo.

Las festividades comunales fueron perdiendo el calificativo satánico y simultáneamente se fueron fusionando con las costumbres cristianas y con la cultura española. Actualmente, algunas

8

Figura 6. Algunas variedades de maíz.

fiestas relacionadas con el maíz, como las de San Lorenzo, se siguen llevando a cabo, reproduciendo y fortaleciendo la vida en comunidad.

Conclusión Actualmente existen trescientas especies de maíz en el mundo, de las cuales treinta y dos son mexicanas; de éstas, cuatro son mexicanas antiguas, cinco son exóticas precolombinas y quince son especies prehistóricas. Es por todos conocido que es el alimento principal del mexicano. No sólo es una importante fuente de proteínas y energía; sino que su consumo generalizado nos proporciona una alimentación más nutritiva y variada. Nuestra gastronomía se ha podido enriquecer, tanto con las variedades, como con los distintos productos

Mefisto El maíz como, lo conocemos actualmente, no siempre ha tenido esas características: se ha transformado mediante un largo proceso milenario.

La relación entre el hombre y esta semilla está llena de simbolismos y prácticas culturales que forman parte importante de la identidad mexicana: en las festividades, en la alimentación diaria y en la economía nacional.

El maíz se desarrolló en un sistema que se enriquece mutuamente y que enriquece a su vez a la tierra: la milpa. En el proceso de nixtamalización, el maíz se hace comestible y produce una mejor masa. Con este proceso no se pierden las cualidades nutricionales ni minerales; por el contrario, se enriquecen. Tanto la milpa como la nixtamalización perduran hasta la actualidad; son un legado de los mexicanos antiguos a los modernos, a quienes da identidad.

Bibliografía

Figura 7. Maíz de colores.

del maíz; no pueden faltar en el menú tradicional tamales, tlacoyos, sopes, chalupas, totopos, tlayudas y pozole; o bebidas como el atole o el pozol, por mencionar sólo algunos. Son diferentes las formas que le damos al grano y a la preparación de la masa, de manera que las costumbres culinarias representan aspectos dinámicos de cada cultura y región.

La relación del maíz y el mexicano es estrecha y plena de simbolismos. La domesticación y desarrollo del grano han llevado un largo proceso para finalmente arribar al resultado conocido de la milpa, los rituales y los alimentos. En la actualidad se conoce y se consume en diferentes formas y preparaciones gastronómicas; pero se ha perdido gran parte de su conocimiento cultural.

Se consume como algo natural, ignorando en gran medida su historia y su significado en nuestra identidad como mexicanos.

Anónimo (2011), Popol Wuj, México: Porrúa, Colección Sepan cuántos No. 36.

Barros, Cristina y Marco Buenrostro, (1997).

“El maíz, nuestro sustento” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 6-15.

Benz, Bruce F. (1997). “Diversidad y distribución prehispánica del maíz mexicano” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 16-23.

González Torres, Yólotl (2014). “La adivinación por medio del maíz” en Estudios de Cultura Nahuatl, 48, julio-diciembre, pp. 213-233.

Herrera, Javier (2014). Conferencia: “De la tra­ dición ancestral a la crisis alimentaria actual”, 3er Festival de la Milpa a la Mesa, Promotores de Nuestras Raíces, Ex-convento de Culhuacán, México D.F. León Portilla, Miguel (1983). Los antiguos mexi­ canos. México: Fondo de Cultura Económica.

Matos Moctezuma, Eduardo (1998). Vida y muerte en el Templo Mayor. México: Fondo de Cultura Económica.

(2013) “La agricultura en Mesoamérica” en Arqueología Mexicana, Vol. XIX, núm. 120, México, pp. 28-35.

9

Mefisto McClung de Tapia, Emily, “La domesticación del maíz” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm.

25, pp. 34-39.

(2013). “El origen de la agricultura” en Arqueología Mexicana, Vol. XIX, núm. 120, México, pp. 36-41.

Montúfar, Aurora (2013). “Domesticación y cultivo de plantas alimenticias en México” en Arqueología Mexicana, Vol. XIX, núm. 120, México, pp. 42-47.

Navarrete, Carlos (1997). “Los mitos del maíz entre los mayas de las Tierras Altas” en Arqueología

Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 56-61.

Pérez Suárez, Tomás (1997). “El dios del maíz en Mesoamérica” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 44-55.

“De elemento creador a sustento vital” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 72-73.

Rojas Rabiela, Teresa (1997). “De las muchas maneras de cultivar el maíz” en Arqueología Mexicana, Vol. V núm. 25, pp. 24-33.

(2013). “Técnicas, métodos y estrategias agrícolas” en Arqueología Mexicana, Vol. XIX, núm. 120, México, pp. 48-53.

NOVEDADES 2015 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO

¿Mito o realidad de la brecha digital en el gobierno del DF? Georgina González

PUNTOS DE VENTA Oficinas UACM / Dr. García Diego, 170, col. Doctores, del. Cuauhtémoc, México, DF, c.p. 06720, tel. 11 07 02 80, ext. 16209, 16210, 16211 / publicaciones.ventadirecta@uacm.edu.mx • Plantel Centro Histórico-UACM / Fray Servando Teresa de Mier, 99, Centro Histórico, del. Cuauhtémoc, México, DF, c.p. 06080, tel. 51 34 98 04, ext. 11753 • Plantel Cuautepec-UACM / Cubículo C-025. Avenida La Corona, 320, col. Loma La Palma, del. Gustavo A. Madero, México, DF, c.p. 07160, tel. 36 91 20 50, ext. 18295 • Centro Vlady-UACM / Goya, 63, col. Insurgentes Mixcoac, del. Benito Juárez, tel. 56 11 76 78 Librerías EDUCAL / www.educal.com.mx htpp://publicaciones.uacm.edu.mx • publicaciones@uacm.edu.mx Publicaciones UACM @PUB_UACM

10

Mefisto

Frases célebres

¿De qué le sirve al hombre ganar el mundo si pierde su alma?

Ahora sabemos que el alma no es más que la actividad de la materia gris del cerebro.

Blaise Pascal (1623 - 1662) Científico, filósofo y escritor francés.

Milan Kundera (1929 - ) Es­ critor checo.

Nada hay en la mente que no haya estado antes en los sen­ tidos.

La mente libre e investigado­ ra es la cosa más valiosa del mundo..

Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) Filósofo griego.

John Steinbeck (1902 - 1968) Escritor estadunidense.

Si se permiten bodas gay, después habrá con animales.

De todas las aberraciones sexuales, la más singular tal vez sea la castidad.

José María de la Torre Mar­ tín (1952 - ) Obispo de la diócesis de Aguascalientes.

Remy de Gourmont (1858 - 1915) Poeta francés.

11

Mefisto

El cielo de oto単o Fases de la Luna Octubre 4 Cuarto menguante 12 Luna nueva 19 Cuarto creciente 26 Luna llena Noviembre 3 Cuarto menguante 11 Luna nueva 18 Cuarto creciente 25 Luna llena Diciembre 3 Cuarto menguante 10 Luna nueva 17 Cuarto creciente 24 Luna llena

12

Mefisto

Planetas Mercurio en Virgo Venus en Cáncer Marte en Leo Júpiter en Leo Saturno en Libra Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas Dracónidas: Leónidas: Gemínidas:

20-21 de octubre 17 de noviembre 13-14 de diciembre

13

Mefisto

El peso desaparecido y otros acertijos Daniel Maisner Bush

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

Introducción Desde hace tiempo se me ha solicitado escribir un artículo sobre el clásico problema del peso desapa­ recido. No se trata de una alusión a la enfermedad crónica de nuestra economía, ni tampoco a mi creciente obesidad; sino a un acertijo popular am­ pliamente difundido en nuestro país. Palabras más, palabras menos, el problema dice: Agustín, Enrique y Verónica entran a un hotel cuya habitación cuesta $25 pesos. Cada uno de ellos extrae de su bolsillo un billete de $10, entregándole al recepcionista un total de $30 pesos. El hombre se disculpa por no tener cambio en ese momento, prometiendo enviarlo a los huéspedes a la brevedad posible. Ya en su habitación, los amigos reciben la visita del botones, quien les trae sus $5 pesos de cambio, mismos que reparten de la siguiente manera: $2 de propina para el botones y un peso para cada uno de ellos. En resumen, cada uno entregó $10 pesos y recibió $1 de cambio; es decir, cada uno gastó nueve pesos, entregando un total de $27. Si a estos $27 le agregamos los dos que se embolsó el botones tenemos un total de $29. ¿Dónde se encuentra el peso faltante ?

En ocasiones, al enunciado anterior se agrega el siguiente adorno: Se llamó a todos los grandes sabios, que estudiaron profundamente el caso, pero nadie pudo localizar el peso y, hasta donde sabemos, aún lo siguen buscando.

Escuché por primera vez este acertijo cuando era niño, mientras viajaba en coche con mi familia. Mi papá nos lo planteó a mi hermana y a mí a modo de entretenimiento. Como muchos otros al escuchar el planteamiento, pensé que se trataba de un misterio policiaco: alguien había sustraído el peso y había que localizarlo. Así que disparando tiros al azar dije: “¡Lo tiene el botones!

14

Figura 1. El problema del peso.

¡El administrador! ¡Verónica!” Al saber que ninguna de mis respuestas era correcta, pensé que era un problema de escondrijo y propuse diversas respuestas a cual más disparatadas: que se había caído en una maceta o en las escaleras. En realidad, la solución al enigma nada tiene que ver con ideas de este estilo: no existe peso perdido alguno.

Ya siendo estudiante de matemáticas, me plantearon el acertijo del peso como un reto que seguramente yo sería incapaz de resolver. El

Mefisto adorno antes mencionado juega en esto un papel fundamental: mucha gente cree de verdad que se trata de un problema irresoluble, y esto es falso.

Por el momento dejemos claro que su solución es sencilla, y que no se trata de un gran reto matemático; sino más bien de un ingenioso juego de palabras.

De forma semejante a los refranes y dichos populares, existe un amplio bagaje cultural de acertijos y problemas que se trasmiten de generación en generación como retos a la inteligencia. Tanto la dificultad, como la temática y profundidad de los mismos es muy variable, y se pueden encontrar desde los realamente sencillos hasta los de gran dificultad. Además, dentro de este cúmulo de sabiduría popular se encuentran mezclados acertijos de muy diversa ídole; algunos son propiamente matemáticos, sobre todo de álgebra elemental, aritmética y lógica, y otros son adivinanzas o juegos de palabras que más bien podrían catalogarse como problemas lingúísticos.

Para adentrarnos en el contexto del problema, presentemos primero otro acertijo popular aparentemente distinto, pero que guarda similitud en la estrategia para abordarlo: Hay doce patos metidos en un cajón, ¿cuántas patas y picos son?

Haciendo mentalmente la cuenta, nadie tendrá problema en responder: 24 patas y 12 picos, ante la felicidad de quien plantea el problema que, sonriendo maliciosamente, contestará: “Respuesta incorrecta; en realidad son cuatro patas y dos picos.” Ante las fundadas protestas que le hará su auditorio, explicará que no se entendió el planteamiento, que en realidad es: Hay doce patos, metí dos en un cajón, ¿cuántas patas y picos son?

Aunque el problema del peso no es un simple retruécano como el que acabamos de presentar, se parece en que la escencia del problema está en un enunciado tramposo y ambiguo, No es un problema detectivesco, no hay peso perdido, tampoco se trata de un reto espectacular para los sabios: es sólo un planteamiento engañoso del cual se deducen conclusiones falsas.

La estafa del cambio Buscando en la vida real ejemplos que permitieran una mayor comprensión del problema del peso, y que tuvieran una forma algo más profunda que la del acertijo de los patos, recordé la estafa conocida como el timo del cambio o de los doscientos, que cada tanto se recicla y que ha sido escenificada en las formidables películas Luna de papel (1973) y, más recientemente, Nueve reinas (2000).

Un individuo, al que llamaremos Hugo, ingresa a una tienda y solicita que le cambien un billete de $200. Al embolsarse el cambio dice al dependiente: “Perdón, había olvidado que cambié en el pesero, y ahora tengo mucho cambio, ¿podría cambiarme ahora estas monedas de diez por un billete de $100? Cuéntelas, no vaya a ser que me equivoque.” Y diciendo esto deposita las monedas sobre el mostrador. El dependiente sospecha que hay una trampa y cuenta cuidadosamente las monedas descubriendo que faltan $10. Presuroso y disculpándose, Hugo extrae otra moneda y se la da. El dependiente, ya apurado, da un billete de $100 a Hugo, quien contesta: “Perdón, veo que de todas maneras tengo mucho cambio tome los $200 y regréseme mi billete”, entregando al dependiente un billete de $100 junto con las monedas. El dependiente guarda lo entregado y regresa a Hugo el billete original, quien se retira de la tienda disculpándose. Así, Hugo dio un billete de $200 y $100 en monedas, mientras que el dependiente le devolvió el billete y le extendió el cambio de los $100; por tanto, quedaron a mano. ¿Correcto? ¡Por supesto que no! En el último cambio de moneda el dependiente cambia el billete de $200 por cien en monedas que pertenecen a Hugo y por un billete de $100 que pertenece a la tienda, habiéndole dado $100 de más. El centro de la estafa está en distraer al dependiente durante el segundo intercambio, para que pierda de vista que le están cambiando con su propio dinero (el dinero de la tienda).

Esencialmente, el problema del peso es una variante, donde el enunciado —con el hotel, el botones y compañía—, juega el papel de distractor para quien lee o escucha el acertijo, de tal forma

15

Mefisto

Figura 2. El problema de los patos.

que no perciba que, como veremos en la siguiente sección, en realidad la suma está mal hecha.

Solución al problema del peso Para comenzar a explicar la solución mencionemos, una vez más, que ésta no pasa por localizar el peso perdido, sino por explicar la trampa del enunciado ya que, sin reconocer esto, es imposible comprender la solución. El centro de la ambigüedad es relativamente sencillo: la suma planteada está mal realizada, contiene dos errores, y por eso el resultado es diferente de 30, como debería.

1. Por un lado, la propina del botones se ha sumado dos veces. En efecto, al decir que los tres amigos entregaron $27, estamos contabilizando $25 del cuarto y $2 de la propina; y en consecuencia esta cantidad no debe volverse a sumar.

16

2. En la suma, se omiten los $3 de cambio. Si se incluyeran, no se tendría un peso de menos sino dos de más. En efecto, si a los $29 que se tiene por resultado le agregamos los $3 de cambio, obtendríamos $32, poniendo de manifiesto que la propina se ha incluido dos veces.

Este dato es curioso porque psicológicamente un peso perdido invita a buscarlo y pensar en algún tipo de hurto, mientras que $2 de ganancia nos indicarían de inmediato que existe un error en las cuentas.

Dicho en otras palabras, las siguientes dos sumas son correctas: 25 del cuarto + 2 de propina + 3 de cambio = 30, 9 entregados por cada uno + 3 de cambio = 9 x 3 + 3 = 30;

Mefisto

Figura 3. El problema del cambio.

pero no se pueden mezclar, que es lo que hace el enunciado del problema: 9 entregados por cada uno + 2 de propina = 29.

Es ahí y sólo ahí donde debe buscarse el peso desaparecido, en el error en las cuentas del enunciado, y no en algún tipo de pérdida.

Enunciados incorrectos La solución presentada puede ser decepcionante e incluso generar molestia en quien la escucha al sentirse timado por la persona que lo planteó. En la educación formal solemos desarrollar una traba psicológica, en donde un enunciado incorrecto no

es permitido. Cuando un profesor lo hace, caemos en considerar que comete un error grave, es desatento o está mal preparado. Si observamos que claramente lo hace a propósito, lo consideramos mal intencionado o poco pedagógico. Sin embargo, en el ámbito de la investigación la situación es muy diferente.

Un buen investigador debe detectar cuando una hipótesis contiene algún tipo de incorrección en su enunciado, y debe ser muy flexible para cambiar tanto las hipótesis como las conclusiones.

En muchas ocasiones, una parte esencial de la solución de un problema consiste en saber encontrar una formulación adecuada del mismo y, en el camino, esto puede llevar a muchos cambios en su presentación.

A modo de ejemplo, recordemos que una de las trabas para poder resolver los problemas clásicos de construcción con regla y compás —como la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo o la duplicación del cubo— fue la de suponer que esto era posible, y que el camino para encontrar las soluciones consistía en buscar un artificio geométrico ingenioso. Sin embargo, con el desarrollo del álgebra y de la geometría analítica, estos problemas se reformularon en términos estrictamente algebraicos, y se vio que su solución estaba en un área de estudio totalmente diferente, comenzando por entender que no toda cantidad es construible. (Véase Gaceta Mefisto #11.)

En conclusión podemos decir que, al enfrentar problemas matemáticos, debemos considerar la posibilidad de que en su presentación puedan existir errores de planteamiento, y debemos estar abiertos al riesgo de que el problema, como originalmente fue planteado, sea irresoluble.

17

Mefisto

Correlación, causa y efecto Fausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

Introducción La señora Luisa vende tortas en la UACM. Su primer cliente fue el profesor Juan y, desde entonces, dicho profesor le compra su mercancía con regularidad. Después de varios meses, la señora Luisa nota algo: los días que el profesor Juan no le compra, ella no vende toda su mercancía, sino sólo aproximadamente la mitad de lo que vende regularmente. Y, como es común para alguien que no conoce las rutinas diarias de la Universidad, e influida por la televisión hasta en los más mínimos detalles de su vida, ella concluye que para tener buenas ventas necesita que el profesor Juan le dé la buena suerte.

Correlación El ejemplo anterior muestra el concepto de correlación en la vida cotidiana. De la misma manera, equívocos como el de la señora Luisa se presentan tanto en la vida diaria como en otros aspectos más especializados. Tales equívocos tienen su origen en los intentos que se hacen por establecer una relación causa-efecto entre diferentes sucesos que muestran alguna correlación. Y esto es erróneo porque correlación no necesariamente significa causa-efecto. En muchas ocasiones, una correlación puede existir por haber dos efectos de una misma causa, desconocida.

Causa y efecto En muchos aspectos de la vida diaria, la relación causa-efecto es clara y obvia para todos. Causa: beso, efecto: placer; causa: golpe, efecto: dolor; causa: algo gracioso, efecto: risa; etc. Sin embargo, en muchos otros aspectos de la misma vida diaria, la relación causa-efecto ha sido muy difícil de dilucidar. Efecto: nacimiento de un bebé, causa:

18

desconocida hasta finales del neolítico; efecto: lluvia, causa: desconocida hasta cerca del siglo XIV; efecto: arco iris, causa: desconocida hasta el siglo XVII; etc.

En la búsqueda de la relación causa-efecto, el ser humano ha desarrollado muchos y muy diferentes métodos de investigación e interpretación. Cada uno de ellos en su momento fue de ayuda para su entendimiento, o por lo menos tuvo un papel que jugar para el desarrollo de la humanidad como un todo.

La religión Una de las primeras formas de “explicar” la causa de los fenómenos viene de la religión. Para cada efecto, como el día y la noche, la lluvia, las estaciones, etc., hay un dios. Y como hay tantos efectos cuya causa no era obvia, hay una cantidad de dioses enorme (el pensamiento monoteísta es de aparición tardía en el desarrollo de la humanidad).

Además, como a veces no se cumple lo esperado por los dioses, surge la interpretación de una necesidad de adorarlos y ofrecerles sacrificios, para que cumplan con lo que de ellos se espera. Y de aquí surgen las castas sacerdotales, quienes se encargan de administrar las ofrendas a los dioses, así como de interpretar las órdenes y la voluntad de los mismos.

La astrología y otras pseudo ciencias Los fundamentos de la astrología son los mismos que los de las religiones. Las estrellas y los planetas toman el papel de dioses, y el papel de sacerdotes lo toman los astrólogos. La diferencia

Mefisto

Figura 1. Conjunción planetaria con la Luna.

con las religiones es que en este caso no se necesita adoración y sacrificios (aunque sí pagos, y muy caros). Lo mismo pasa con otras pseudo ciencias.

Algo importante para el surgimiento de la astrología fue la correlación existente entre las estaciones —y con ello las épocas de sembrar y cosechar— y la presencia de unas u otras constelaciones en el cielo. Si los astros dominaban algo tan importante como las lluvias y los cultivos, por supuesto que deberían dominar a la humanidad. Entonces, si por casualidad había un incendio cuando la Luna estaba en conjunción con Júpiter, para la siguiente conjunción habría que esperar alguna desgracia similar.

exitosa, hasta hoy es la que mejor ha funcionado para explicar las causas de los fenómenos. En algunos casos ha sido tan avanzado el grado de comprensión, que se pueden predecir muchos efectos, y a la vez usarlos en beneficio propio; ello dio origen, eventualmente, a la tecnología. A pesar de todo, como la ciencia aún no encuentra las causas de todo, además de tener que corregirse cuando comete errores, es frecuentemente objeto de críticas por los que defienden otras formas de pensar e interpretar la realidad.

Fe y confianza

A pesar de que la ciencia ha mostrado ser mucho más confiable que el pensamiento místico, es notable que haya muchísima gente que insiste en En la búsqueda de las causas de ciertos efectos creer en religiones o pseudo ciencias, en lugar de importantes, algunos intentaron otras formas confiar en la ciencia, que ha mostrado ser mucho de abordar el problema, donde no intervinieran más efectiva. Esta reciedumbre a cambiar sus dioses, astros, magia, etc. Aunque esta forma formas de pensar es también una característica de abordar el problema no siempre ha sido muy natural del ser humano.

La ciencia

19

Mefisto

Figura 2. Sirio, la estrella más brillante del cielo.

Por ejemplo, si después de rezar largamente para obtener un milagro el mismo no se produce, no es motivo para dejar la fe, sino sólo para aceptar que la voluntad de los dioses es diferente de los deseos del rezador. Sin embargo, si el científico expresa alguna predicción que no se cumplió al pie de la letra, inmediatamente se pone en tela de juicio la confianza en la ciencia. Si no ha llovido a pesar de todos los rezos y peregrinaciones, no es porque todo sea inútil, sino porque no se ha rezado con fe suficiente. Pero si el meteorólogo predice lluvia y ésta no llega, es porque la ciencia llamada meteorología no sirve para nada.

Y es así como hay millones de fanáticos tanto de religiones como de pseudo ciencias que, aunque usen televisores, computadoras, teléfonos celulares

20

y otros productos del avance científico, insistan en que no se debe confiar en la ciencia.

Conclusión Si alguien le explicara a la señora Luisa que el profesor Juan no asiste a la UACM los miércoles porque esos días no hay clases en el Colegio de Humanidades y Ciencias Sociales, y por lo mismo la poca asistencia a la Universidad hace que haya muy poca clientela para sus productos, probable­ mente no lo tomaría en forma tan simple como es: las no compras del profesor Juan y las bajas ventas son ambos efectos de una misma causa: la falta de clases los días miércoles. En su lugar, es probable

Mefisto que se aferre a su idea inicial de la suerte que tal profesor le brinda. Esto es exactamente lo que ocu­ rriría si en su momento a los seres humanos prea­ grícolas se les explicara que la temporada de lluvias y la coincidencia de la estrella Sirio con el alba son ambos efectos de una misma causa: la traslación de la Tierra alrededor del Sol. Seguramente tacharían de a loco a quien esto explicara, e insistirían en su creencia del dominio de los astros sobre las vidas humanas. Lo triste es que aún hoy hay muchos fa­ náticos que se comportan como los seres humanos de la antigüedad.

En la moderna sociedad tecnócrata, en la que gracias al avance científico no existe más la es­ clavitud (a pesar de estar autorizada por algunos dioses), aún es común que, cuando la ciencia no ha encontrado la causa de algo, de inmediato se concluya que entonces no puede más que ser cierto que existe un dios —al menos—, que permite que los seres humanos descubran e inventen cosas; pero que también les pone trampas para probar su fe.

Si bien es cierto que la ciencia descubrió la ex­ pansión del universo, al ser ésta aún incapaz de contestar a la pregunta de qué causó tal expansión, para millones de personas la única explicación po­

sible es que un dios mandó a los seres humanos a la Tierra para probar su fe, mandó a los profetas para ver si creen en él, puso trampas para que los faltos de fe caigan en ellas, les demandó sacrificios ani­ males (y hasta humanos en ocasiones), les inspiró a que escribieran sus palabras y, de pilón, mandó a un enemigo para que confundiera a la humanidad sobre la veracidad de las mismas. Y, como conclu­ sión, quienes mantengan su fe, ganarán un premio eterno después de la muerte.

La ciencia, como se acepta actualmente, se ocupa de explicar los fenómenos que nos rodean sin usar a ningún dios como hipótesis, y para esto mide y experimenta hasta encontrar sus causas y sus efectos. Las creencias religiosas, astrológicas y mágicas, si bien están extendidas en todas las culturas del mundo, se basan cuando mucho en meras correlaciones y sus consecuentes suposiciones, las cuales carecen de fundamento científico alguno.

Puesto que la realidad constantemente supera a la fantasía, hay que desprenderse de ésta para encontrar la relación causa-efecto al observar alguna correlación. Esto último, por supuesto, no es fácil.

21

Mefisto

Acertijos 1 Encontrar todas las ecuaciones de la forma 3 En un examen de 30 preguntas, se dan 6 puntos x2+Bx+C=0, de tal forma que sus raíces sean B y C, por cada respuesta correcta, y se restan 3 por cada con C diferente de cero. respuesta incorrecta. Olga respondió todas las preguntas y su calificación final fue cero. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

2

x ?

¿

y2

=

z

+

+

2

Z 22

y

4 Se tienen dos esferas de la misma madera que pesan 27 kg y 8 kg, respectivamente. Para pintar la grande se usan 900 mililitros de laca. ¿Cuántos 2 La mamá de Pedro va a comprar galletas a una mililitros de la misma laca se necesitan para pintar tienda donde venden 10 sabores diferentes. A la chica?

Pedro le gustan sólo 4 sabores, pero su mamá no reuerda cuáles son. ¿Cuál es el mínimo de galletas que debe comprar para estar segura de que a Pedro le gusten al menos dos?

x

Mefisto

Acertijos Solución a los anteriores 1 Siendo x la capacidad del tanque, la mitad de su 3 Sea x el número total de cabezas de ganado. capacidad es x/2, y al agregar 100 litros se cobren Entonces el primer hijo recibe x/6, el segundo 2x/3, lo cual se expresa matemáticamente como recibe (1/5)(1-x/6), el tercero recibe (1/4)(1-1/5) (1-x/6), el cuarto recibe (1/3)(1-1/4)(1-1/5)(1x/2 + 100 = 2x/3 x/6), el quinto recibe (1/2)(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5) (1-x/6), y el sexto recibe 62. Igualando x a la Resolviendo esta sencilla ecuación, encontramos suma de las fracciones anteriores y simplificando, que x = 600 litros. encontramos la ecuación

4

x = x/6 + x/6 + x/12 + 5x/36 + 5x/18 + 62

8

2 La velocidad (suponiendo que es constante) se calcula con v = d/t, usando aquí metros para la distancia y segundos para el tiempo, sus unidades son metros sobre segundo. La velocidad de Héc­ tor es vH=60/90 = 2/3. La velocidad de la escalera es vE=60/60 = 1. Sumando ambas velocidades, en­ contramos que la velocidad es v=5/3, con lo cual el tiempo es t=d/v = 60/(5/3)=36 segundos.

6 1

2

0

9

que al resolver nos da x = 372. Entonces el primero recibió 372/6 = 62, el segundo recibió (372 - 62)/5 = 62, el tercero recibió (372 - 62 - 62)/4 = 62, el cuarto recibió (372 - 62 - 62 - 62)/3 = 62 y el quinto recibió (372 - 62 - 62 - 62 - 62)/2 = 62.

3

7 5

4 Sea x el número inicial de niños y y el número inicial de niñas. Cuando se retiran 15 niñas, quedan y-15 niñas, y se cumple que x = 2(y - 15) Cuando se retiran 45 niños quedan x-45 niños y se cumple que 5(x - 45) = y-5 Resolviendo este sistema obtenemos x = 50 y y = 40, es decir, originalmente había 50 niños y 40 niñas.

23

Mefisto

Sudoku F谩cil 5 4 7 8 7 4 9 6 3 3 2

6 9 1 5 4 9 1

Soluci贸n al anterior 6 3 7 7 1 3 4 5 6 6 3 7 8 4 1 2 9 5 8 9 2

1

1 9 8 4 7 2 6 5 3 5 4 1

6 9 7

9 8 2

8 1 9 6 2 8 3 8 4 5 1 2 9 8 4 3 6 1

4 8 2 5 9 8 9 1 4 1 2 5 3

2 4

5 6

3 7

5 9 7 3 6 8 6 7 1 4 2 5 7 3 3 4 8 1 8 6 9 2

Dif铆cil

Soluci贸n al anterior 2

6 5 3 7 8 7 4 9 1 3 9 1 2 6 5 8 7 4 2 9 3 6 1 8 1 4 2 5 3

8

6 5 4 2

1 3 3 9

7 1

24

9 7 4 8 6 5 3 8 9

4 1 9 5 2 3 6 4 8 5 7 9 7

1 6 3 5 2 4 6 7 9 8

2

8 2 7 1 6 4 5

5 5 3

7 6 2 1 9 5 7 6 5 6 2 4 8 7 3 6 9 5 3 6 4 2 8 5