Enero de 2016
Número 17
MEFISTO
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno. San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.
En este número: Presentación
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Octavio Campuzano Cardona
La medalla Fields
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Urnas electrónicas
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Joel García León
Daniel Maisner Bush
El cielo de verano
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Integración en términos elementales
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Fausto Cervantes Ortiz
Frases célebres
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Acertijos
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Sudoku
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Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Hugo Aboites
Secretaria General Ma. Auxilio Heredia Anaya
Editor Fausto Cervantes Ortiz
Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio
Coordinadora Académica Micaela Rosalinda Cruz Monje
Octavio Campuzano Cardona
Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegiodde Ciencia y Tecnología Igor Peña Ibarra
Verónica Puente Vera
Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Koulsy Lamko Responsable del área de Publicaciones Felipe Vázquez Corrección: Rebeca Lozada
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Mefisto
Daniel Maisner Bush
Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto
Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com
Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.
Presentación Octavio Campuzano Cardona
Academia de Cultura Científico-Humanística
La matemática es indispensable en nuestros días: no hay ámbito de la vida en el que no esté presente, a la hora de levantarnos contamos las horas de sueño, revisamos las cuentas pendientes y calculamos los intereses de un préstamo mientras desayunamos; vamos de compras a la tienda y mientras vamos llenando el carrito sumamos y restamos para, al final, revisar el cambio entregado por la cajera. Nuestros hijos van a la escuela y se encuentran con la aritmética, el álgebra y la geometría, porque son herramientas básicas para andar en el mundo. Otras matemáticas, más elevadas pero no necesariamente desarrolladas por matemáticos, se emplean en las ciencias naturales, en las ciencias sociales y en las humanidades. Por ejemplo, están en la física, la economía. Finalmente están las matemáticas puras, aquellas desarrolladas por matemáticos y que no buscan aplicaciones concretas sino resultados abstractos.
Gaceta Mefisto se describe el origen y la naturaleza de la presea y se habla de su creador, J. C. Fields, persona con pocos atributos como matemático pero apasionado organizador de un gremio, al parecer, plagado de egos muy elevados.
Por otra parte, para ilustrar qué tipo de problemas aborda la matemática, en el presente número se incluye una interesante aplicación al ámbito electoral, tema sensible en nuestro país debido a la histórica falta de transparencia electoral, inaugurada por aquella famosa frase emitida por el encargado de organizar las elecciones en 1988: “se cayó el sistema”. En el artículo se exponen simpáticamente una serie de inconsistencias en las urnas electrónicas, supuesto remedio tecnológico ante los fraudes, que llevarían a dudar de la transparencia de elecciones por medio de este soporte. A su vez, se expone el método clave compartida, basado en los desarrollos de la criptografía, para realizar eleccioMiles de matemáticos trabajan en todo el mundo nes electrónicas impecables. en el ámbito de la matemática y de otras disciplinas, pero constituyen un porcentaje muy bajo de Finalmente, incluimos una reflexión sobre un ascientíficos en activo y desarrollan un porcentaje pecto de la enseñanza de la matemática para lograr mínimo de las matemáticas empleadas a diario. No una comprensión más profunda por parte de los obstante, a los investigadores matemáticos común- estudiantes. Se aborda el tema de las funciones elemente se les considera genios, quizás debido a la mentales y su papel en la relación entre integral y dificultad de la mayoría de la población para com- derivada, dos conceptos fundamentales del cálculo. prenderlas, sin embargo, realmente pocos lo son y Para ello se apela al teorema de Liouville, el cual eshan hecho contribuciones sobresalientes. A estos tablece las condiciones para que una función tenga se les entrega cada cuatro años la Medalla Fields, una antiderivada que sea una función elemental. el Nobel de los matemáticos. En este número de la
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La Medalla Fields Joel García León
Academia de Matemáticas, SLT
No es muy conocido el hecho de que no existe premio Nobel de matemáticas. En su lugar, los matemáticos otorgan, cada cuatro años, la Medalla internacional para descubrimientos sobresalientes en matemáticas, mejor conocida como Medalla Fields, a cuatro de los matemáticos más destacados por sus aportaciones a esta disciplina. En general, este premio es mucho menos publicitado y conocido que el Nobel; incluso llega a ser desconocido entre quienes que se dedican a la creación y al desarrollo de las matemáticas. ¿Qué es la Medalla Fields? ¿Cuál es su origen? En el presente artículo presentaremos una breve biografía del fundador de la medalla que hoy lleva su nombre, John Charles Fields, y una somera historia sobre el premio mismo. Es importante hacer notar que, cuando afirmamos que no existe el premio Nobel de matemáticas, no estamos afirmando que no existan matemáticos que lo han obtenido, como es el caso de John Forbes Nash, cuya vida fue popularizada en la película Una mente brillante (A Beautiful Mind). Sucede que se puede otorgar el Nobel a matemáticos que han realizado importantes aportaciones a otras áreas del conocimiento, frecuentemente diseñando modelos matemáticos. A Nash se le otorgó el Premio Nobel de Economía; y un caso aún más curioso es el de Bertrand Russell, quien ganó el Premio Nobel de Literatura. El nombre de la medalla se debe a su fundador John Charles Fields (1863-1932), quien más que un gran matemático fue un gran promotor de la unión de la comunidad matemática mundial. Hacer una biografía de Fields conlleva una importante dificultad porque no existen demasiadas referencias sobre él, más allá de sus cartas personales y de algunas publicaciones que se han realizado sobre su persona.
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Figura 1. John Charles Fields.
Charles Fields J. Charles Fields nació en la ciudad de Hamilton, Canadá. Hijo de una maestra de escuela y de padre talabartero, cursó la educación primaria en su ciudad natal en escuelas públicas. Pronto desarrolló el gusto por las matemáticas y se convirtió en un excelente estudiante de ellas, cursó la licenciatura en la Universidad de Toronto, Canadá, bajo la dirección de James Loudon, y se tituló en 1884. Por aquellos años, las universidades canadienses sólo ofrecían licenciatura como máximo grado
Figura 2. John Forbes Nash.
de estudios matemáticos, por lo que Fields emigró a los Estados Unidos para obtener el grado de doctor en la Universidad John Hopkins, el cual obtuvo en 1887. A finales del siglo XIX, Canadá contaba con un número reducido de investigadores, ninguno de los cuales era matemático puro. James Loudon era el único profesor en el Departamento de Matemáticas y Filosofía Natural en la Universidad de Toronto, y de sus obras solamente se tiene evidencia en textos utilizados en las escuelas canadienses; ningún artículo de investigación. Sin embargo, dos de sus profesores merecen una mención especial por sus investigaciones: J. W. Spencer, doctorado en la Universidad de Göttingen, Alemania, y George Dickson, químico. Ambos trabajaron en conjunto con la British Association for the Advancement of Science (Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, BA o BAAS, por sus siglas en inglés) para la realización de su congreso de 1884, cuya sede fue Montreal, Canadá. La ubicación del encuentro en América provocó la protesta de 141 miembros de la BAAS, como lo muestra la siguiente cita del diario londinense Times:
Figura 3. Bertrand Russell.
El encuentro en Canadá será meramente un picnic glorioso debido a que grandes hombres de ciencia se reunirán allá, no por interés científico sino simplemente por visitar esas tierras donde la ciencia no es precisamente grandiosa… personas humildes y menos ilustradas servirían para el mismo propósito, que es el de instruirlos [a los canadienses]. Como puede verse, los británicos no ocultaban sus prejuicios hacia los habitantes de sus ex-colonias y protectorados: tanto instituciones educativas como científicos americanos eran considerados, por igual, de baja categoría. Después de graduarse como doctor, Fields permanece en Baltimore, convirtiéndose en becario de la Hopkins; entre sus obligaciones se incluía enseñar en licenciatura por cierto tiempo. En 1889 se muda a Meadville, Pennsylvania, para desempeñarse como profesor de matemáticas en Allegheny College, una escuela dedicada a las artes liberales, donde trabajó hasta 1892.
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Figura 4. La Universidad de Toronto.
En ese año de 1892 un hecho trascendental cambió el rumbo de la vida de Fields al heredar una inmensa fortuna familiar. Su primera decisión fue invertirla de manera honrosa: su propia educación. Emigra entonces al viejo continente para emprender lo que hoy llamaríamos años de estudios de posgrado y estancias de investigación. París y Berlín son las ciudades donde se estableció por diez años y trabajó al lado de algunos de los más grandes matemáticos de la época, como Felix Klein (1849-1925) y Georg Frobenius (1849-1917). La estancia europea de Fields fue fructífera; no obstante la carencia de publicaciones propias, su legado son notas de diversas áreas de las matemáticas, existentes en bibliotecas de distintas universidades canadienses y estadunidenses, que siguen inspirando a generaciones de matemáticos. Algunas de estas notas están escritas en alemán, otras en inglés, y otras tantas en una mezcla de ambos idiomas; sin embargo, para un matemático profesional el idioma de las matemáticas es universal. A principios del siglo XX, Fields retorna a su natal Canadá en donde su antiguo mentor, J. Loudon, quien fungía como presidente de la Universidad de Toronto, le ofrece un nombramiento como maestro
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de matemáticas (lecturer, en inglés). Finalmente, en 1923 adquiere el nombramiento de profesor- investigador en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto, mismo que mantuvo hasta su muerte en 1932.
Surgimiento de asociaciones matemáticas internacionales La existencia de una asociación mundial de matemáticos, que organiza un congreso cada cuatro años y que, como acto principal del mismo, otorga un premio a los más destacadas aportaciones matemáticas realizadas durante el periodo nos parece ahora algo usual. Pero otra realidad se vivía a principios de siglo XX, durante la vida adulta de Fields, quien, ya doctor en matemáticas, promovió el premio que hoy lleva su nombre y, lo que es más importante, impulsó la unión en la comunidad matemática internacional. Corrían los años posteriores a la primera guerra mundial, cuyo espectro había cambiado las actitudes de países ganadores y perdedores, y la ciencia no era, en absoluto, ajena a este hecho. En 1919,
Figura 6. Ferdinand Georg Frobenius.
Figura 5. Félix Klein.
tras un año de planeación, apareció públicamente el Consejo Internacional de Investigación (International Research Council, IRC por sus siglas en inglés), dirigido por el matemático francés Émile Picard, y al cual perteneció Charles Fields. En sus estatutos, por ejemplo, se establecía claramente que no era permitida la participación activa de los científicos que provenían de los “poderes centrales”, esto es: 1. Imperio Alemán 2. Imperio Otomano (Turquía) 3. Imperio Austro-Húngaro y 4. Reino de Bulgaria En 1920 se conforma la Unión Matemática Internacional (International Mathematical Union, IMU por sus siglas en inglés) en la ciudad de Estrasburgo, que hereda las medidas establecidas por
la IRC; esto es, los miembros pertenecientes a los “poderes centrales” seguirían vetados, esta vez por al menos doce años. En consecuencia, se decidió que el congreso de la IMU se realizara fuera de Europa, quedando como la alternativa más viable los Estados Unidos. Las condiciones políticas heredadas de la primera guerra aún estaban latentes en la agrupación y, de forma muy loable, una parte importante de matemáticos estadunidenses se negó a aceptar la exclusión de sus colegas provenientes de los “poderes centrales”. Charles Fields entendía la complicada situación por la que atravesaban, por lo cual propuso un terreno neutral para la realización del congreso de 1924. Es así como el pequeño grupo de matemáticos canadienses encabezados por Fields emprende, en 1922 (cuando fue aprobada la moción), el enorme trabajo de organizar el encuentro internacional en su país. El congreso se desarrolló en la ciudad de Toronto; sin embargo, a consecuencia de las restricciones impuestas a los “poderes centrales”, el encuentro no fue realmente internacional, la au-
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sencia más notoria fue la de los matemáticos alemanes, quienes han jugado un papel importante en el desarrollo de la matemática moderna desde mediados del siglo XIX.
La medalla Fields Aunque el premio Nobel se propone por allá de 1895, no es sino hasta 1915 que se entrega por primera ocasión. A pesar de que en su origen este premio se otorga a investigadores de distintas ramas de la ciencia, la matemática no estaba considerada. El por qué de esta decisión de Alfred Nobel no está realmente documentado y se encuentra rodeado de leyendas. Según algunos autores, la creciente enemistad entre Nobel y el matemático sueco Gösta MittagLeffler (1848-1927), causada por motivos personales, es la razón de su inexistencia. Biógrafos de Fields aseguran que, durante su larga estancia en Europa, cultivó una gran amistad con MittagLeffler. Debido a ello, Fields estaba al tanto de los planes de Alfred Nobel, y se hablaba de su consternación por el desdén con que éste ignoraba a la reina de las ciencias: la matemática. Otras versiones consideran que esto no es correcto, y lo atribuyen a que ya existía el premio escandinavo de matemáticas. Una explicación más sugiere que, desde la perspectiva de Nobel las matemáticas, al ser más teóricas, no cumplían con los requerimentos del premio; es decir: “una fuente de progreso y felicidad para la humanidad.” Después del primer congreso internacional de la IMU en Toronto, durante la preparación de las actas, Charles Fields concibe la idea, aún vaga, de otorgar un premio internacional a los mejores avances en matemáticas. Originalmente, dicho premio carecía de nombre. El problema inmediato para la creación del premio era, una vez más, la delicada situación política de la época. Los científicos provenientes de los “poderes centrales” miraban con desconfianza tanto al IRC como al IMU, que en ese momento eran los únicos grupos con capacidad real de organizar el encuentro. Del otro lado del mapa, la contraparte de las sociedades europeas, era la Sociedad
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Figura 7. La medalla Fields.
Matemática Americana (American Mathematical Society, AMS por sus siglas) cuyos integrantes comenzaban a tener su propio peso. Por supuesto, el no saber quién financiaría dicho premio también resultaba un impedimento; sin embargo, la idea —a sugerencia de Fields— de que se creara el premio en forma de medalla como reconocimiento a los mejores trabajos en matemáticas era unánime. Finalmente la idea se consolida en 1929, cuando se propone la creación de dicho premio a las sociedades matemáticas existentes. Así, en 1930 la AMS vota por unanimidad apoyar la creación de la medalla propuesta por el matemático canadiense, y en 1931 se suman las sociedades matemáticas de Suecia, Francia, Italia y Alemania. Por supuesto, el votar favorablemente su creación sólo era el primer paso; quedaba aún el problema de quién administraría los fondos recabados hasta ese entonces y, muy importante, quién otorgaría formalmente la medalla, pues seguía habiendo una fuerte animadversión de los “poderes centrales” tanto hacia el IRC como hacia el IMU. La solución fue crear un organismo independiente a ambas asociaciones: este organismo levantaba el veto impuesto a los “poderes centrales” y se encargaría de administrar todo lo concerniente al otorga miento de la medalla. El nombre con el que se bautizó a tal instancia fue Congreso Internacional
Figura 8. Maryam Mirzajani.
de Matemáticas (International Mathematical Congress, IMC). Paralelamente, Fields logra que el gobierno canadiense done, de forma periódica, una cuantiosa cantidad para la creación de la medalla, en aquel entonces aún sin nombre. Sería finalmente en 1932 cuando se forma, en la ciudad de Zürich, el comité que revisará las publicaciones y nombrará al ganador. Originalmente, el plan era otorgar la medalla en el congreso de 1936, y cada cuatro años se galardonaría con ella a la contribución internacional más sobresaliente en matemáticas, acuerdo vigente hasta nuestros días. Lamentablemente, John Charles Fields fallece el 2 de agosto de 1932, cuatro años después de la entrega de la primera medalla. Desde entonces, a este premio se le ha llamado Medalla Fields en honor a su creador; sin embargo, se desconoce el dato exacto de alguna ceremonia oficial en la que el comité encargado hubiera formalizado el nombre o si, simplemente, nombrarla así era ya un hábito establecido de años atrás.
Reflexiones finales Desde que fue instaurada en 1936, 56 matemáticos han recibido la Medalla Fields. Entre los cuatro premiados en 2014, estaba Maryam Mirzajani, que fue muy bien recibida, tanto por ser la primera mujer a la que se otorgaba la presea en la historia de la matemática mundial, como porque era originaria de Irán, uno de los países donde el absolutismo religioso aún predomina como gobierno. Es difícil responder a la pregunta ¿quién fue realmente J. C. Fields? Su vida privada, sus hábitos, su personalidad, incluso su trabajo académico, son un misterio. Sólo se cuenta con sus notas para cursos en alemán e inglés, sus artículos de investigación son escasos, nunca ocupó cargo público alguno, no fue rector de ninguna universidad, ni director de algún instituto, ni siquiera fue presidente de la Sociedad Matemática Canadiense, de la cual, paradójicamente, fue fundador. Sin embargo, la labor de impulso y apuntalamiento a la investigación matemática le otorgó su merecido lugar en la historia.
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Urnas electrónicas Daniel Maisner Bush
Academia de Matemáticas, SLT
Introducción
Fraude preventivo
Con el gran avance de la informática, sobre todo a partir de los años 80 del siglo pasado, nos enfrentamos cotidianamente al problema de convertir procedimientos que tradicionalmente se realizaban de forma manual (valga la expresión), a procedimientos informatizados. Uno de los más polémicos es el que se refiere a la organización de comicios a través de voto y conteo de forma electrónica. Es bastante común pensar que una elección electrónica es fraudulenta per se; parecería como si fueran las máquinas —y no los seres humanos que las programan— las que realizan el fraude. Sin embrago, desde un punto de vista teórico, esto no tiene por qué ser así, dado que existen algoritmos criptográficos que permiten crear mecanismos de seguridad para las elecciones electrónicas, similares a los utilizados en las elecciones tradicionales, y con un grado de eficiencia igual o mejor que estos. Comenzaremos este artículo con una fábula sobre las elecciones electrónicas y sobre cómo un uso incorrecto de las mismas puede contribuir a la realización de fraudes de dimensiones escandalosas. Posteriormente presentamos una breve explicación de cómo el método criptográfico conocido como clave de secreto compartido puede contribuir a diseñar elecciones electrónicas que sean tan seguras como las realizadas en urnas de cartón o plástico. Teniendo claro, por supuesto, que sin voluntad, convencimiento y organización adecuada ningún mecanismo, por perfecto que sea, garantiza la realización de elecciones limpias.
Hace muchos años, en la Universidad Autónoma de Paradojalandia (UAP), se aproximaba un proceso electoral, y quienes ostentaban el poder tenían miedo de perder, aunque fuera parcialmente, algo de éste. Como siempre acontece en estos casos, comenzaron a ver con buenos ojos la posibilidad de hacer trampa o, por lo menos, de preparar el terreno para poder realizalarla en caso necesario. Lo primero que hicieron fue crear un sistema complejo de conteo de los votos, introduciendo una ponderación que aseguraba la victoria, con sólo el voto duro de su gente, podrían ganar. Pero seguían teniendo miedo: ¿qué tal si de todas formas perdían? Fue entonces cuando decidieron realizar un fraude preventivo; es decir, diseñar un mecanismo de elección en donde tuvieran la plena seguridad de triunfo sin importar la buena voluntad de los votantes ni los resultados obtenidos. La idea era simple: organizar una elección en la que tuvieran el control pleno de todo el proceso; desde la apertura de casillas, hasta la declaración del ganador, incluyendo la votación, el conteo y, por supuesto, la resolución sobre las impugnaciones. Como muchas veces sucede, mientras más grande es el fraude, más cuidado se pone en aparentar absoluta legalidad. Así que buscaron afanosamente el pretexto que les pemitiera realizar un fraude de grandes proporciones, pero que simultáneamente diera la imagen de completa neutralidad. Finalmente, echaron mano de un viejo artilugio: cambiar el mecanismo de elección pretextando que había que estar acorde con los tiempos modernos. Con bombo y platillo anunciaron que la elección sería electrónica, siguiendo un mecanismo por
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ellos propuesto que, sobra decir, nada tiene que ver con los procedimientos establecidos para este tipo de votaciones. Cada elector involucrado votaría desde su cuenta de correo electrónico, depositando su voto en el servidor de la UAP, de forma secreta para todos menos para el administrador quien, adicionalmente, sería el encargado de contar los votos y declarar al ganador. Sobra decir que la elección se realizó después de acallar, amenazando y descalificando a las pocas voces que se opusieron abiertamente al procedimiento propuesto. Además, una vez finalizada la elección, sus creadores recibieron muchos reconocimientos públicos por parte de las autoridades por su extraordinaria contribución a la democracia. El resto del artículo hablaremos de algunos mecanismos correctos para la realización de elecciones. Por el momento mencionemos que en la fábula presentada se podría mejorar la elección si se eligiera un servidor habilitado sólo para este fin y se dotara a la misma de un sistema de emisión de votos creado exprofeso para el proceso electoral y una apertura pública del archivo que contiene los votos, bajo una clave de secreto compartido en donde no se pueda realizar la apertura sin todos los representantes y organizadores neutrales designados. Las siguientes preguntas son de interés para este modesto trabajo: ¿son todos los sistemas electrónicos de votación fraudulentos por naturaleza?, ¿debe ser rechazado a priori un sistema de votación electrónica? o, de forma más moderada, ¿ ha avanzado la tecnología lo suficiente como para poder permitir votaciones electrónicas confiables? Con el avance de la criptografía, una de las áreas más activas, y de resultados más sorprendentes en las matemáticas en los últimos años, es perfectamente posible diseñar sistemas de votación electrónica con el mismo grado de seguridad que los presenciales. Es decir, la votación electrónica funciona bastante bien cuando los organizadores de la elección actúan con neutralidad; pero, al igual que con las votaciones tradicionales, el sistema es vulnerable a la trampa previamente orquestada por quienes organizan, vigilan y contabilizan los resultados.
Claves de secreto compartido Imaginemos que la elección antes mencionada se realiza en una urna tradicional y, para asegurar que cada candidato esté representado a la hora de abrir la misma, se utiliza un sistema semejante al de las cajas de seguridad bancarias: para cada representante u observador se coloca una cerradura de la cual sólo él tiene la llave; de tal forma que la urna no se puede abrir si no se cuenta con el total de las llaves. El análogo electrónico consiste en generar una clave que abra la urna electrónica, clave que ha de ser desconocida para toda la población, y ha de estar dividida en n piezas, una por cada representante u observador participante, de tal forma que el archivo no se pueda abrir si sólo se cuenta con n–1 piezas. Por supuesto, la descripcción anterior no sólo sirve para elecciones electrónicas; sino que es un método útil para cualquier tipo de secreto que, siendo tan importante, no es adecuado que se conozca por un solo individuo. Por ejemplo, supongamos que se trata de la combinación de una caja fuerte que consta de 5 números correspondientes a cada vuelta de la perilla que la abre. Entonces, podemos repartir a cada uno de los cuidadores de ésta uno de los números de la combinación, de tal forma que sólo la podrán abrir mediante la contribución de los cinco: basta que falte uno para que esto no sea posible. Como en las películas clásicas de busca tesoros: existen varios individuos que han heredado una pequeña pieza de un rompecabezas que, al armarlo, se convierte en la llave que da acceso a una cámara secreta. Cada uno de ellos sólo tiene una pieza de la que no puede deducir nada, y desconoce quiénes tienen las demás. Hasta que un día el malvado de la cinta decide hacerse del tesoro y, poco a poco, va reuniendo todas las piezas, matando y robando a los demás poseedores hasta casi triunfar. Pero, justo cuando sólo le falta una, que es la perteneciente al muchacho chicho de la historia, éste le hace fracasar, obteniendo el anhelado contenido y llevándolo a resguardo. (continúa en la página 14)
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El cielo de oto単o Fases de la Luna Enero 2 Cuarto menguante 9 Luna nueva 16 Cuarto creciente 23 Luna llena 31 Cuarto menguante Febrero 8 Luna nueva 15 Cuarto creciente 22 Luna llena Marzo 1 Cuarto menguante 8 Luna nueva 15 Cuarto creciente 23 Luna llena
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Planetas Mercurio en Capricornio Venus en Capricornio Marte en Libra Júpiter en Leo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario
Lluvias de estrellas Cuadrántidas: a Centáuridas: g Nórmidas:
4 de enero 8 de febrero 14 de marzo
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funciones que no tienen antiderivada, para aproximarlas en caso necesario.
Conclusión La integración en términos elementales abrió una nueva rama de las matemáticas a la que se denominó álgebra diferencial. En esta rama fue pionero Liouville, por supuesto, y después, matemáticos como Ritt, Hardy, Risch, Rosenlicht y otros, han llevado a cabo desarrollos posteriores. En los últimos años se han dado adelantos significativos del álgebra diferencial. Quizás esto sea tema de futuras publicaciones.
Bibliografía Hardy, G. H. The Integration of Functions of a Single Variable, 2a ed. Cambridge Univ. Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, no. 2, Cambridge, 1916. Liouville, J. “Extension d’un théorème de calcul intégral”. Journal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 1 , p. 190-192, París, 1856. Ritt, J. F. Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Models. Columbia University Press, Nueva York, 1948.
NOVEDADES
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
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Frases célebres
Hay que escuchar a la cabeza, pero dejar hablar al corazón.
Allí donde habla el corazón es de mala educación que la razón lo contradiga.
Marguerite Yourcenar (1903 - 1987) Escritora francesa.
Milan Kundera (1929 - ) Escritor checo.
Ser honrado tal como anda el mundo, equivale a ser un hombre escogido entre diez mil.
Para un delincuente, la honradez es de tontos.
William Shakespeare (1564 - 1616) Escritor británico.
John Steinbeck (1902 - 1968) Escritor estadunidense.
La agresión ya no es el supremo crimen internacional. No puede compararse con la destrucción de las vidas de generaciones futuras para obtener mayores ganancias hoy. Noam Chomsky (1928 - ) lingüista y filósofo estadunidense.
¿No había lugar bastante para que los hombres viviesen en paz en un mundo bello, bajo un infinito cielo estrellado? León Tolstoi (1828 - 1910) Escritor ruso.
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Acertijos
1 Usando tres cincos y cualesquiera operaciones 3 Usando cinco treses y cualesquiera operaciones aritméticas entre ellos, obtener 1. Bajo las mismas matemáticas entre ellas, obtener 31. condiciones, obtener 2, luego 3, 4, 5 y 0.
x2
2
¿
y2
+
z
x
2 Usando cuatro cuatros y cualesquiera operacio- 4 Usando las cifras del 1 al 9 y cualesquiera operaciones matemáticas entre ellas, obtener 100. nes aritméticas, obtener 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
+ 22
=
y
Z
?
Acertijos Solución a los anteriores 1 Se tiene que cumplir que x2+Bx+C=(x-B)(x-C)= x2-(B+C)x+BC. Esto implica que las constantes B y C deben satisfacer las ecuaciones B=-(B+C) y BC=C. Resolviendo (considerando la restricción de que C sea diferente de cero) obtenemos que B=1 y C=-2, así que la única ecuación que cumple las condiciones del problema es: x2+x-2=0
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1
6
5
9
2
4
3
0
2 Como los otros 6 sabores no le gustan a Pedro, en la eventualidad de que su pobre mamá elija esos sabores, debe agregar otros dos para garantizar que hay dos que le gustan a su especial hijo. El mínimo de galletas que debe comprar para satisfacerlo es 8.
3 Sea x el número de respuestas correctas y y el número de incorrectas. Puesto que respondió todas las preguntas, se cumple que: x+y=30. Por otra parte, como cada respuesta correcta vale 6 y cada incorrecta vale -3, el total de puntos cumple: 6x-3y=0. Resolviendo este sistema lineal se obtiene x=10, y=20.
4 Sabiendo que la masa M de una esfera es proporcional a su volumen, mientras que la cantidad de pintura P necesaria para pintarlas es proporcional al área; y a su vez que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio, mientras que su área es proporcional al cuadrado del mismo, tenemos que: M1=k(r13), M2=k(r23), M2/M1=27/8=r23/r13; P1=c(r12), P2=c(r22),P2/P1=r22/r12=9/4; por lo tanto P2=(4/9)P1=(4/9)(900)=400 mililitros.
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Sudoku F谩cil 5 3
1 4
9 7 8 6 2
Soluci贸n al anterior
9 1 2 6 4 3 9 5 3 7 8
8 7 1 4 6 2 5 4 2 4 4 9 6 1 5 8 6 2
6 3 7 7 1 3 4 5 6 6 3 7 8 4 1 2 9 5 8 9 2
4 8 2 5 9 8 9 1 4 1 2
1 9 8 4 7 2 6 5 3 5 4 1
6 9 7
9 8 2
5 7
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5 3
2 4
5 6
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5 9 7 3 6 8 6 7 1 4 2 5 7 3 3 4 8 1 8 6 9 2
Dif铆cil
Soluci贸n al anterior 6 5 3 7 8 7 4 9 1 3 9 1 2 6 5 8 7 4 2 9 3 6 1 8 1 4 2 5 3 2
6 5 4 2 7 1
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9 7 4 8 6 5 3 8 9
8
4 1 9 5 2 3 6 4 8 5 7 9 7
1 6 3 5 2 4 6 7 9 8
1 3 3 9 2
8 2 7 1 6 4 5
6 4 7 8
7 3
3 8
9
4 8 1 6 8
7 2 5 2 4 8 5
2 3
6 7 2 9