Ae c5

Funcţionarea AEC cu cicluri termice oarecare • timpi tck de trecere a curenţilor Ik prin căile de curent • timpi de pauză tpk • curentul echivalent Ie: m

Ie =

∑ I 2k ⋅t ck

k =1 m t ck k =1

∑(

+ t pk )

Ie =

1 t ck

∫

t ck

0

i 2k ( t ) ⋅ dt

Regimul termic de foarte scurtă durată •

procesele termice se pot considera adiabatice (fără schimb de căldură cu mediul ambiant)

•

Ks · P · dt = m · c · dϑ , ϑ(0) = 0

∀ ϑmax = ϑ (τ) ∀ ϑ (t) =

K

P t mc s

Solicitări termice ale căilor de curent ale AE în regim normal de funcţionare • Expresiile corespunzătoare supratemperaturii maxime, ϑmax şi respectiv constantei termice de timp, T, ce caracterizează fenomenele termice de încălzire sau de răcire • Constanta de timp termica este diferita la incalzire fata de racire

4⋅ρ ⋅I 2 γ ⋅c⋅d ϑ max = 2 ⋅ρ , T = 3 4⋅K t π ⋅K t ⋅d

ρ ⋅I2 γ ⋅c⋅b⋅h ϑ max = , T= 2⋅K t ⋅b⋅h⋅( b+ h ) 2⋅K t ⋅( b+ h )

Influente asupra fenomenelor termice datorate formei si dimensiunilor caii de curent • La aceeasi sectiune transversala: •

2(b+h) > π d , deci racire mai buna pentru dreptunghi

• Procese termice mai rapide la curenti mici, T scade • Funcţionarea corectă din punct de vedere termic a căilor de curent ale AE se realizează atunci când : ϑmax

< ϑadm

Repartiţia supratemperaturii în lungul căilor de curent cilindrice • considerind doar conductibilitatea termica:

d

2ϑ

dx

2

=−

p1

λ

• puterea surselor termice pe unitatea de volum, p1, este:

p1 = ρ ⋅ j2 − K t ⋅Sr ⋅ϑ S⋅l

Repartiţia supratemperaturii în lungul căilor de curent cilindrice • Ecuatia devine pentru directia axiala a conductorului:

d 2ϑ

d x2

− a 2ϑ = − b 2

• unde: 2 ρ ⋅ j K t ⋅ q a 2 = K t ⋅Sr = , b2 = S⋅l⋅λ S⋅λ λ

Repartiţia supratemperaturii în lungul căilor de curent cilindrice • Solutia ce descrie repartitia supratemperaturii este: 2 1 ax 2 − ax p p 2

ϑ( x ) =c ⋅e +c ⋅e

b +ϑ , ϑ = a

• Cu expresia pentru x>0

ϑ( x + ) =ϑ p +(ϑ max −ϑ p )⋅e−ax

• Si respectiv pentru x<0

ϑ( x − ) =ϑ p +(ϑ max −ϑ p )⋅eax

Repartiﾅ｣ia supratemperaturii ﾃｮn lungul cﾄナlor de curent cilindrice (x<4/a)

Valoarea supratemperaturii în zona mediana •

Fluxul termic este:

•

Legea lui Fourier conduce la

•

R ⋅I2 −K t ⋅Sr ⋅ϑ max Φ= 2 Φ = −λ ⋅S⋅ dϑ dx

x =0

Supratemperatura mediana (de preferat masura directa):

dϑ =−a⋅(ϑ max −ϑp )⋅e−a ⋅x dx

R⋅I2 + 2⋅λ ⋅a⋅S⋅ϑp ϑ max = dϑ x = 0 =−a⋅(ϑ max −ϑp ) K t ⋅Sr + 2⋅λ ⋅S⋅a dx

Repartiţia supratemperaturii după direcţia axială a căilor de curent de secţiune variabilă •

Pentru x<0 :

ϑ 1( x ) =(ϑ c−ϑ •

)

ϑ

a 1 ⋅ x 1p ⋅e + 1p ,

ϑ 1( 0 ) =ϑ c

Pentru x>0 :

ϑ 2( x ) =(ϑ c−ϑ 2p )⋅e−a 2 ⋅x +ϑ 2p , ϑ 2( 0) =ϑ c

Repartiţia supratemperaturii după direcţia axială a căilor de curent de secţiune variabilă

Definirea supratemperaturii de trecere , ϑ c •

Conditia:

d ϑ1 dx

•

=

dϑ

2

dx

Relatia obtinuta:

a1 (ϑ c − ϑ 1 p ) = − a 2 (ϑ c − ϑ 2 p ) •

Valoarea rezultata:

a1⋅ϑ 1p +a 2 ⋅ϑ 2p ϑ c= a1 + a 2

Distribuţia supratemperaturii în lungul unui element fuzibil de secţiune variabilă •

Se defineste zona prezumata de intrerupere cu supratensiuni reduse

Distribuţia supratemperaturii după direcţia axială a conductoarelor izolate •

Izolatia electrica este si izolatie termica:

R⋅I2 R⋅I2 d + 2⋅δ ϑ max = + ⋅ln K t ⋅Sr 2⋅π ⋅l⋅λ d

R⋅I2 R⋅I2 b+ h + 4⋅δ ϑ max = + ⋅ln K t ⋅Sr 8⋅l⋅λ b+ h

Repartiţia supratemperaturii în secţiunea transversală a căilor de curent ale AE •

Ecuatia de tip laplacian în coordonate polare este de forma:

p= ρ ⋅ j2

d 2ϑ

1 dϑ p + = − d r 2 r dr λ

• •

cu conditia initiala: folosind substitutia:

ϑ ( 0) = ϑ 0 dϑ dr

= z (r )

p 2 ϑ( r ) =ϑ 0− ⋅r 4⋅λ

•

rezulta solutia:

•

Variatia de temperatura în sectiunea transversala rezulta:

ϑ 0−ϑ ext = •

p 2 ⋅R 4⋅λ

J=10 [A/mm2], raza R = 1 [cm], din Cu, (ρ = 2 · 10 ^(-8) [ohm·m] şi λ= 393 [w m-1 0C-1]), se obţine o variatie de temperatură de numai 0,127 °C

Ipoteze în calculul termic al AEC •

Rezistivitatea constanta :

•

ipoteza neadevarata

•

Temperatura constanta în lungul conductoarelor:

•

ipoteza neadevarata

•

Temperatura constanta în sectiunea transversala a conductoarelor:

•

ipoteza adevarata

•

Rezulta firesc diferente între calcul si experiment cu privire la fenomenele termice

Particularităţi constructive ale căilor de curent din construcţia aparatelor electrice ce ţin seama de încălzirea în regim permanent •

Curentul admisibil, asociat cu supratemperatura admisibila, este:

I adm = •

K t ⋅ Sr ⋅ ϑadm R

cu:

R = •

S=

pentru cai de curent cilindrice rezultând:

I adm •

ρ⋅l S

c

=

π ⋅ d2 4

, Sr

= π⋅d ⋅l

K t ⋅ π 2 ⋅ d 3 ⋅ ϑ adm 4⋅ρ

pentru cai de curent dreptunghiulare obtinându-se:

Iadm d = 2

S = b ⋅ h, SΓ = 2(b + h ) ⋅ l

K t ⋅b⋅h(b + h)⋅ϑ adm

ρ

Avantajele sectiunii transversale dreptunghiulare la curenti mari •

Suprafata de racire este mai mare la aceeasi sectiune transversala:

2 ⋅ (b + h ) ⋅ l > π ⋅ d ⋅ l b⋅h =

π ⋅ d2 4

η − (π − 2) ⋅ η + 1 > 0, 2

•

b η = h

Incarcarea cailor de curent cilindrice este doar 70% din aceea a cailor dr curent dreptunghiulare la curenti mari

Particularitati cu privire la densitatea de curent •

Densitatea de curent este:

jadm •

=

I adm S

Pentru cai de curent cilindrice rezulta

jadm c = 4⋅K t ⋅ϑadm =A1 l ρ ⋅d d •

Pentru cai de curent dreptunghiulare rezulta

2⋅K t ⋅(b+ h)⋅ϑadm jadm d = =A 2 ⋅ b+ h ρ ⋅b⋅h b⋅h •

La curenti mici sunt preferate caile de curent cilindrice

Particularitati cu privire la densitatea de curent •

Pentru (bxh)=C=const, b=x si h=C/x obtinem: 2 +C x f(x)= b+ h = b⋅h C⋅x

Conexiuni flexibile • •

Pentru contactele cu miscare de rotatie se adopta conexiuni flexibile Acestea se realizeaza din fire subtiri împletite sau din benzi subtiri suprapuse

•

Pentru firele subtiri împletite de diametru d<0,1 [mm]:

π ⋅D2 π ⋅d 2 = N⋅ , deci D=d⋅ N 4 4

•

N⋅π ⋅D⋅l >π ⋅D⋅l N >1

Pentru benzile subtiri suprapuse, h1=0,1 [mm]

b⋅h = N⋅b⋅h1 , deci h = N⋅h1

2⋅N⋅(b+ h1)⋅l > 2⋅(b+ h)⋅l

N >1

Caracteristica de protecţie termică pentru căile de curent •

Se considera încalzirea unei cai de curent, cu aceeasi valoare T, pentru :

In < I 1 < I 2 < … < I k •

rezultând firesc: ϑadm< ϑmax 1 < ϑmax 2 < …. < ϑmax k

•

unde:

R⋅I2k ϑmax k = K t ⋅Sr

Caracteristica de protecţie termică pentru căile de curent •

Curbele de încalzire conduc la obtinerea caracteristicii de protectie t(I)

Corectii la caracteristica de protectie t(I) ce tin seama de variatia rezistivitatii cu temperatura •

Variatia rezistivitatii cu temperatura respecta relatia:

ρ (ϑ ) = ρ a (1 + αϑ ) •

Ecuatia de bilant termic se scrie:

•

Punându-se sub forma echivalenta:

ρ 0⋅(1+α ⋅ϑ)⋅l⋅I2 ⋅dt =K t ⋅q⋅l⋅ϑ ⋅dt +γ ⋅S⋅l⋅c⋅dϑ S ρ 0⋅α ⋅I 2 ρ 0⋅I 2 K t ⋅ q dϑ + ( − )⋅ϑ = 2 dt γ ⋅S⋅c γ ⋅S ⋅c γ ⋅S2 ⋅c

•

sau:

2⋅α 2 ρ 0 ⋅ j ρ 0 ⋅ j dϑ +a 0⋅ϑ =b0, a 0 = K t ⋅q − , b0 = dt γ ⋅S⋅c γ ⋅c γ ⋅c

Incalzirea cailor de curent considerând dependenta rezistivitatii de temperatura •

Curbele de încalzire pentru valori diferite ale lui « a »:

•

Densitate de curent critica (a=0):

j>

K t ⋅q = jcr ρ 0⋅α ⋅S

Icr = jcr ⋅S

Incălzirea bobinelor din construcţia AE •

Bobinele AE reprezintă un mediu neomogen, anizotrop, cuprinzând material conductor, lacuri izolante sau chiar izolatori din hârtie sau textili, dar şi aer deoarece ansamblul nu e « masiv »

•

Studiul analitic al încălzirii în regim permanent a bobinelor AE consideră o valoare convenţională, globală, a conductibilităţii termice a materialelor utilizate pentru realizarea acestora, λg

•

se acceptă suprafeţele izoterme ca fiind cilindri coaxiali cu bobina, deci fluxul termic se transmite doar după direcţia radială, spre exteriorul bobinei, prin conductibilitate termică, neglijând transferul de căldură spre miezul feromagnetic, ca şi acela corespunzător capacelor electro şi termoizolante ale carcasei bobinei

Incălzirea bobinelor din construcţia AE •

Pierderile datorate surselor termice pe unitatea de volum a bobinei sunt de valoare p0

R b ⋅ I − K t ⋅ S r ⋅ ϑext 2

p0 = •

V

suprafaţa de răcire a bobinei se consideră adesea doar suprafaţa laterală exterioară, dar uneori dublul suprafeţei cilindrului median, de rază (r1+r2)/2 şi de înălţime h

Incălzirea bobinelor din construcţia AE •

Ecuatia ce descrie încalzirea unei bobine:

d ϑ +1d r dr dr 2

2

• • •

p =− λ

0 g

dϑ = z(r ) dr

Constructia unei bobine de curent de tensiune

p0 dz(r ) 1 + z(r ) = − dr r λg

Incălzirea bobinelor din construcţia AE •

Solutia ecuatiei diferentiale în z(r) este:

p0 C 1 z(r)= − ⋅r = dϑ r 2⋅λ g dr •

Conducând dupa o cuadratura la:

p0 2 ϑ (r)=C1⋅ln r − ⋅r +C2 4⋅λg •

Constanta de integrare C1 se determina prin considerarea legii lui Fourier pentru r = r1, pentru fluxul termic total:

Φ t =p0 ⋅π ⋅( r12 −r22 )⋅h

Incălzirea bobinelor din construcţia AE •

Obtinându-se:

dϑ = C1 − p0 ⋅r 1 dr r 1 2⋅λg

p0 2 C1 = ⋅r2 2⋅λg

•

Constanta de integrare C2 se obţine impunând o condiţie evidentă, de forma

•

Rezultând:

ϑ (r1) = ϑ ext

p 0⋅r22 p0 2 C2 =ϑ ext − ⋅ln r 1+ ⋅r1 2⋅λg 4⋅λg

Incălzirea bobinelor din construcţia AE • Solutia finala este dr forma:

(

)

p 0⋅r22 r p 0 2 2 ϑ (r)= ⋅ln + ⋅ r1 −r +ϑ ext 2⋅λg r 1 4⋅λg • Această relaţie descrie o evoluţie scăzătoare a supratemperaturii după direcţia radială a bobinei, cu valoarea la interior, superioară valorii de la exterior.

• Distribuţia reală a supratemperaturii în interiorul bobinelor AE, definită experimental, diferă de cea data de relatia de mai sus, datorită multiplelor ipoteze acceptate iniţial • Se evidenţiază astfel experimental o valoare maximă a supratemperaturii în zona mediană a bobinei, • poziţia corespunzătoare razei rm este influenţată de: • construcţia bobinei, • prezenţa sau nu a unei carcase metalice exterioare, • prezenţa sau nu a unui miez feromagnetic etc.

• a se vedea

ϑ (h)

Particularitati de manifestare a încălzirii bobinelor din construcţia AE •

Distributia temperaturii în sectiunea transversala a bobinelor este complexa

•

Temperatura celui mai cald punct al bobinei data de o relatie empirica:

θ •

* max

= 2 ⋅ θ med − θ a + ϑext

unde:

ϑmed =

R 2 − R1 α ⋅ R1

,

θ med = ϑ med + θ a

Particularitati de manifestare a încălzirii bobinelor din construcţia AE •

•

evoluţia în timp a fenomenelor termice pentru bobinele AE este mult mai lentă decât pentru căile de curent ale acestora, deci valorile constantei termice de timp pentru bobinele AE sunt mai mari particularităţi legate de funcţionarea în curent continuu, t =(4-10), sau în curent alternativ, t = (0,8 – 1,25): t=

h r1 − r 2

• •

Particularitati privind prezenţa sau nu a miezului feromagnetic: In cazul bobinelor care sunt asamblate într-o carcasă metalică exterioară, (electromagneţi de tip plonjor), punctul care corespunde valorii maxime a supratemperaturii acestora se deplasează către peretele metalic exterior

•

Pentru a evita acest lucru se prevede un spatiu de ventilaţie, dar astfel gabaritul ansamblului creşte, ceea ce nu e totdeauna acceptabil.

Metode de evaluare a încălzirii AE şi a elementelor acestora •

Metodele analitice de apreciere a încălzirii AE şi a componentelor acestora -accepta ipoteze simplificatoare pentru abordarea teoretică a fenomenelor termice -acestea conduc adesea la erori destul de însemnate • Cele mai sigure sunt metodele experimentale, care apelează la accesorii specifice : termometre, termocupluri, termoculori sau termometre cu măsurare în infraroşu •

Pentru definirea temperaturii medii se foloseste metoda variatiei rezistentei

•

Metode grafoanalitice nedistructive ce au la baza experimentul: metoda celor trei puncte

Metoda celor trei puncte (analitic)

ϑ (t ),ϑ (t ) şi

•

ϑ

apelează la măsurări experimentale ce definesc punctele (t3) ale curbei de încălzire (t)

•

Tinând seama de evolutia supratemperaturii în timp

•

Si acceptând dezvoltarea în serie de puteri cu retinerea a trei termeni:

ϑ

2

−t   ϑ ( t ) =ϑ max⋅1−e T   

e •

1

Rezulta:

−x

x x 2 x3 = 1 − + − + ...

1! 2! 3!

ϑ 22−ϑ 1⋅ϑ 3 ϑ max = 2⋅ϑ 2−ϑ 1⋅ϑ 3

( ϑ 2−ϑ 1 )⋅( t 2 + t 3 ) −(ϑ 3−ϑ 2 )⋅( t1 + t 2 ) T= 2⋅( 2⋅ϑ 2−ϑ 1−ϑ 3 )

Metoda celor trei puncte (grafic) •

versiunea grafică, precizia poate fi influenţată de operatorul uman, ce are la bază relaţia echivalentă a supratemperaturii la încalzire:

ϑ max −ϑ ( t ) ϑ max

−t e T=

•

Care prin derivare conduce la:

dϑ =ϑ dt T

t − max ⋅e T

•

Rezultând final ecuatia unei drepte:

d ϑ ϑ ( t ) =ϑ max −T⋅ dt

Metoda celor trei puncte (grafic) ϑ ( t ) =ϑ max −T⋅ ∆ϑ ∆t

•

In cresteri finite ecuatia anterioara se scrie:

•

Fiind ecuaţia unei drepte ce intersectează axele de coordonate în:

ϑ max

ϑ max

T

SOLICITARI ALE AE ÎN REGIM DE DEFECT • Sunt situaţii anormale de funcţionare, deci de defect, datorate elementelor componente, sau datorate operatorului uman

• Asemenea situaţii de defect se referă în principal: • la creşterea valorilor curentului din circuit peste cele normale, nominale pentru AE (deosebind curenti de suprasarcina sau de scurtcircuit) • la creşteri importante ale tensiunii, depăşind valorile normale şi putând genera defecte ale izolaţiei şi deteriorarea AE.

SOLICITARI ALE AE ÎN REGIM DE DEFECT (suprasarcina) • Pentru un curent de suprasarcină, corespunzător supratemperaturii admisibile considerate la proiectarea AE sau a elementelor lor componente, se defineşte o caracteristică de protecţie termică, t(I), de tip dependent • dacă valorile curentului de defect nu depăşesc (1,5– 2)In elemente de protecţie specializate (bimetale, siguranţe fuzibile, relee etc.), asigura deconectarea, după un timp cu atât mai mic cu cât valorile curentului sunt mai mari • se evita de depăşirea supratemperaturii admisibile (intervine totuşi o inerţie termică),

SOLICITARI ALE AE ÎN REGIM DE DEFECT (scurtcircuit) •

curentului de defect depăseste chiar 10 In, un timp foarte scurt

•

se impune considerarea particularităţilor de manifestare a defectelor de tip scurtcircuit: amplitudine mare a curentului de defect ; timp scurt de manifestare a defectului, elementele de protecţie trebuind să intervină « practic instantaneu », ceea ce impune considerarea ecuaţiei de bilanţ termic de tip adiabatic, neglijând schimbul de căldură cu mediul ambiant ; evoluţie în timp a curentului de scurtcircuit după o lege complexă, funcţie de natura defectului, locul de manifestare şi parametrii circuitului ;

• •

• •

limite largi de modificare a supratemperaturii în regim de scurtcircuit, practic de (2 – 4) ori mai mari decât supratemperaturile admisibile de regim normal, ceea ce impune considerarea dependenţei parametrilor fizici de material cu temperatura (rezistivitatea electrică, căldura specifică etc.).

SOLICITARI ALE AE ÎN REGIM DE DEFECT (scurtcircuit) •

ecuaţia de bilanţ termic, în cazul unui defect de tip scurtcircuit, pentru o cale de curent

2 (t)⋅dt = m⋅c⋅dϑ R ⋅i sc

•

Variatia constantelor de material ρa şi respectiv ca :

•

ρ ( ϑ ) = ρ a (1+α ⋅ϑ) , c(ϑ) =ca (1+ β ⋅ϑ ) , Ecuatia de bilant termic se scrie final sub forma

•

sau ca o ecuatie diferentiala cu variabile separabile:

1 ⋅isc 2 (t)⋅dt = γ ⋅ca ⋅1+ β ⋅ϑ ⋅dϑ ρ a 1+α ⋅ϑ S2

SOLICITARI ALE AE ÎN REGIM DE DEFECT (scurtcircuit) •

Ecuatia ce considera evoluţia supratemperaturii până la valoarea ϑ sc pentru o durată a defectului egală cu tsc :

γ ⋅ ca ϑ 1 + β ⋅ ϑ 1 t 2 i ( t ) ⋅ dt = ⋅ d ϑ sc ∫ ∫ 2 0 0 S ρ 1 + α ⋅ ϑ a Integrala din membrul I al ecuaţiei reprezintă « solicitarea termică la sc

•

sc

scurtcircuit », Bsc, şi este de obicei mai dificil de evaluat, căci nu se cunoaşte de fapt legea de variaţie în timp a curentului isc(t).

•

Membrul II al ecuaţiei (4.5) reprezintă « rigiditatea termică la scurtcircuit »

Evaluarea încălzirii căilor de curent în regim de defect (metoda analitică) •

« rigiditatea termică la scurtcircuit » A( ): ϑ

β  γ ⋅ca α −β A(ϑ)=  ⋅ϑ + 2 ⋅ln(1+α ⋅ϑ )⋅ α α  ρa

•

Evaluarea încălzirii căilor de curent în regim de defect (metoda analitică) •

Ecuatia anterioara de bilant termic la sc, daca defectul intervine la conectare si supratemperatura initiala este nula, se scrie sub forma:

1 ⋅Bsc = γ ⋅ca ⋅ β ⋅ϑ sc +α − β ⋅ln(1+α ⋅ϑ sc )   ρa  α S2 α2  •

Iar pentru defectul ce intervine dupa functionarea în regim permanent, cu supratemperatura initiala nenula, are forma:

1 ⋅Bsc = γ ⋅ca ⋅ β ⋅(ϑ sc −ϑ i)+α − β ⋅ln1+α ⋅ϑ sc  ρ a  α 1+α ⋅ϑ i  S2 α2

ϑ sc < ϑ scadm

Evaluarea indirecta a încălzirii căilor de curent în regim de defect •

Se defineste densitatea de curent admisibila:

2 = j adm

γ ⋅ca  β α − β 1+α ⋅ϑ sc adm  ⋅ ⋅(ϑ sc adm −ϑ i ) + 2 ⋅ln ρ a⋅t sc  α 1+α ⋅ϑ i  α

jscmax = I sc max < j adm

S

•

Sau sectiunea transversala minima: Smin =

B sc

A(ϑ scadm) − A(ϑ i )

impunându-se final conditia S > Smin

Evaluarea indirecta a încălzirii căilor de curent în regim de defect (Bsc) • •

Se apeleaza informatiile privitoare la stabilitatea termica a AEC Pentru cc se poate deci scrie acoperitor: Bsc = Isc^(2) · tsc > Bsc real

•

Pentru ca se poate scrie cu adaos: Bsc = Isoc ^(2)·tsc > Bsc real

Metoda VDE de verificare a ﾃｮncﾄネzirii cﾄナlor de current ﾃｮn regim de scurtcircuit