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Geostatistica Ambientale Enrico Guastaldi guastaldi@unisi.it

3 febbraio 2010

Queste dispense sono destinate agli studenti del Centro di GeoTecnologie dell’Università degli Studi di Siena, San Giovanni Valdarno, Arezzo. ESSE HANNO SOLO UNO SCOPO DIDATTICO, VENGONO DISTRIBUITE GRATUITAMENTE E NON POSSONO ASSOLUTAMENTE ESSERE MESSE IN VENDITA SOTTO QUALSIASI FORMA. Quest’opera viene rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione-Non commercialeNon opere derivate 2.5 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA. Inoltre, queste dispense sono impaginate per essere stampate (o fotocopiate) su fronte e retro di fogli in formato A4. I titoli dei capitoli sono sempre su pagine destre, per mantenere questa impaginazione talvolta è stato necessario l’inserimento di pagine bianche.

A Natalie.

Indice

I

ANALISI STATISTICA

1 Statistica univariata 1.1 Variabili e inferenza statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Distribuzione di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Grafici semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.1 Grafici ramo-foglia (Stem-and-leaf plot) . . . . . . . . . . . 1.2.1.2 Stripchart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.3 Istogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.4 Istogrammi di gradi di campioni con differente dimensione 1.3 Quantificare le caratteristiche dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Misure di posizione relativa: quantile, percentile, quartile e decile. . 1.3.2 Misure di tendenza centrale: media, mediana e moda . . . . . . . . . 1.3.2.1 Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.3 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.4 Altri indicatori di tendenza centrale . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Misure di dispersione: varianza e deviazione standard . . . . . . . . 1.3.3.1 Varianza comune (pooled variance) . . . . . . . . . . . . . 1.3.3.2 Effetti della moltiplicazione dei dati per una costante . . . 1.3.3.3 Altre misure di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Deduzione degli istogrammi per la popolazione . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Altri tipi di rappresentazioni grafiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5.1 Diagramma di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5.2 Diagramma a scatola (Box and whiskers plot) . . . . . . . 1.3.5.3 Diagramma a dati ordinati (Ranked data plot) . . . . . . . 1.3.5.4 Diagramma dei quantili (Quantile plot) . . . . . . . . . . . 1.3.5.5 Diagramma di Probabilità Normale (Q-Q plot) . . . . . . . 1.3.6 Aspetti spaziali preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6.1 Mappa dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6.2 Coplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6.3 Slice histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Probabilità condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Distribuzione di probabilità discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 8 10 12 12 13 14 16 17 17 19 19 21 22 24 25 28 28 28 29 30 30 31 34 35 36 38 39 41 43 45 45 46

v

Indice . . . . . . . . . . . . .

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47 48 48 51 53 53 56 57 60 61 62 63 63

2 Statistica multivariata 2.1 Statistica descrittiva per variabili multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Covarianza e correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Analisi di regressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.1 Interpolazione, estrapolazione e perequazione . . . . . . . 2.1.2.2 Il metodo dei minimi quadrati (Ordinary Least Squares) 2.1.3 Varianze e covarianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.1 Varianze della somma e della differenza di due variabili . 2.1.3.2 Varianza di una media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.3 Matrici varianze-covarianze e di correlazione . . . . . . . 2.2 Introduzione al Data Mining e alla Cluster analysis . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Cluster Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Metodi gerarchici aggregativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Legame singolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.2 Legame completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.3 Legame medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.4 Metodo di Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Dendrogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Metodi non gerarchici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Distribuzioni multivariate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Distribuzioni marginali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Densità di probabilità condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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67 67 71 74 75 76 81 82 82 83 85 86 87 88 88 88 89 89 92 92 93 94

1.5

II

1.4.3 Distribuzioni continue di probabilità . . . . . 1.4.4 Speranza matematica . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Standardizzazione di una variabile . . . . . . Distribuzioni di probabilità . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La distribuzione normale . . . . . . . . . . . 1.5.1.1 Teorema del limite centrale . . . . . 1.5.2 La distribuzione lognormale . . . . . . . . . . 1.5.3 Altri tipi di distribuzioni dei dati ambientali . 1.5.4 Test statistici: verifica della media . . . . . . 1.5.4.1 Ipotesi statistiche . . . . . . . . . . 1.5.4.2 Test delle ipotesi . . . . . . . . . . . 1.5.4.3 Livello di confidenza e significatività

. . . . . . . . . . . . .

GEOSTATISTICA

97

3 Introduzione alla geostatistica 99 3.1 Generalizzazione, descrizione, interpretazione e controllo dei dati . . . . . . . . . 100 3.1.1 Stime da un campionamento semplice casuale . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4 Interpolazione spaziale 4.1 Poligoni di Voronoi . . . . . . . . 4.2 Triangolazione . . . . . . . . . . 4.3 Natural Neighbour interpolation 4.4 Funzioni inverse della distanza . 4.5 Funzioni radiali di base (Splines) 4.6 Topogrid/Topo to Raster . . . . 4.7 Regressione polinomiale . . . . .

vi

. . . . . . .

103 107 109 111 112 115 116 118

Indice 5 Caratterizzazione dei processi spaziali: la covarianza ed il variogramma 5.1 Variabili regionalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Covarianza spaziale e funzione di covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ipotesi stocastiche: la stazionarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.1 Stazionarietà in senso stretto (strict stationarity) . . . . . . 5.2.1.2 Stazionarietà di secondo ordine (2° order stationarity) . . . 5.2.1.3 Stazionarietà intrinseca (o Intrinsic stationarity) . . . . . . 5.2.2 Funzione di covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 I grafici a dispersione del lag (h-scatterplots) . . . . . . . . . . . . . 5.3 Variogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Equivalenza del semi-variogramma con la funzione di covarianza . . 5.3.2 Correlogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Proprietà strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.1 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.2 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.3 Zona di influenza e comportamento vicino all’origine . . . . 5.3.3.4 Anisotropia e Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Calcolo del variogramma sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4.1 Nuvola del variogramma (variogram cloud) . . . . . . . . . 5.3.4.2 Semivarianze medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4.3 Campionamento regolare in una dimensione . . . . . . . . . 5.3.4.4 Campionamento irregolare in una dimensione . . . . . . . . 5.3.4.5 Campionamento regolare in due e tre dimensioni . . . . . . 5.3.4.6 Campionamento irregolare in due e in tre dimensioni . . . 5.3.4.7 Mappa del variogramma (variogram map) . . . . . . . . . . 5.3.4.7.1 Semivariogramma sperimentale per varie direzioni 5.3.4.8 Caratteristiche del variogramma sperimentale . . . . . . . . 5.3.4.8.1 Zona d’influenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4.8.2 Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Quantificazione del variogramma: il modello del variogramma . . . . 5.3.5.1 Limitazioni sulle funzioni del variogramma . . . . . . . . . 5.3.5.1.1 Vincoli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.1.2 Comportamento all’origine . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.1.3 Comportamento verso l’infinito . . . . . . . . . . . 5.3.5.2 Modelli autorizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.2.1 Modello lineare confinato . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.2.2 Modello sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.3 Dedurre il modello del variogramma . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.4 Combinazione di modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.5 Scelta del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5.5.1 Minimi quadrati pesati (Weighted least-squares) . 5.3.5.5.2 Validazione incrociata (cross validation) . . . . . . 6 Stima locale o predizione: il kriging 6.1 Principali aspetti di una stima . . . . . 6.1.1 Stima globale e stima locale . . . 6.1.2 Medie e distribuzioni complete . 6.1.3 Stime di punti e stime di blocchi 6.2 Caratteristiche generali del kriging . . . 6.2.1 Criteri della stima . . . . . . . . 6.2.1.1 Distribuzione univariata 6.2.1.2 Distribuzione univariata

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . delle stime degli errori

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121 121 122 124 126 126 127 127 127 131 132 132 133 133 134 134 135 135 135 138 138 141 141 143 145 149 150 150 151 153 155 155 155 156 156 158 159 160 167 171 172 173

. . . . . . . .

175 175 176 177 178 181 181 182 182

vii

Indice analitico componente strutturale, 158, 159 variazione associata, 71 coefficiente di, 28 variografia, 163 variogram cloud, 135 variogram map, 147 variogram surface, 147 variogramma, 131, 202, 210, 211, 219, 232, 234 concavo, 157 convesso, 157 crescita monotona, 134 cross-variogramma, 210 deduzione del, 161 diretto, 210 direzionale, 143, 150 fitting del modello, 171 incrociato, 210, 212 lineare, 157 mappa del, 127, 147, 162, 165 matrice dei, 188, 204 matrice dei pesi, 204 matrice del ESV, 188, 204 matrice del modello, 188, 204 medio, 142 modelli plausibili, 170 modello, 165 cross-validation, 195 modello del, 153, 181 monodimensionale, 140 nugget effect, 134 nuvola del, 127, 135, 146 omnidirezionale, 150, 152 per una generica distanza h, 138 proprietĂ strutturali, 133 anisotropia, 135, 151 comportamento alla origine, 134 confinato, 134 continuitĂ , 134 effetto hole, 134 non confinato, 134 simmetria, 133 zona di influenza, 134 reale, 160 sperimentale, 127, 140, 160, 242 struttura del v. sottostante, 163 vettore, 103, 220 Voronoi, 107 diagramma di, 107 poligoni di, 107, 178

286

W weighted least-squares criteria, 172 X X-ESV, 212, 218, 222 negativo, 212 Z zona di influenza, 151

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