Metodologia de ensino de matemática na 5ª série: causa de repetência escolar? Percepções e opiniões by GEPRA EDITORA CONSULTORIA E EVENTOS CIENTIFICOS

Percepções e opiniões dos professores e alunos, com base em um estudo exploratório

Luís Felipe de Araújo

Editora & Eventos Científicos

Luís Felipe de Araújo

Percepções e opiniões dos professores e alunos, com base em um estudo exploratório

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Editor-chefe Marcos Barros de Medeiros

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca Setorial de Bananeiras - UFPB/CCHSA Bibliotecária-documentalista Bruna Morais – CRB 15/813

A663

Araújo, Luís Felipe de Metodologia de ensino de matemática na 5ª série: causa de repetência escolar? Percepções e opiniões dos professores e aluno, com base um estudo exploratório / Luís Felipe Araújo – Boa Vista: Gepra Editora e Eventos Científicos, 2021. Recurso digital: 120 p.: il. ISBN 978-65-992707-8-9 Formato: E-book. 1.

Ensino. 2. Metodologia. 3. Matemática. I. Título.

CDU 51

Índice para catálogo sistemático: 372.7 – Matemática 371.3 – Didática - Métodos de ensino instrução e estudo

Todo o conteúdo desta obra, ou seja, a revisão ortográfica e gramatical, o cumprimento de normas técnicas de escrita, bem como os dados apresentados, são de responsabilidade de seus autores e/ou organizadores, detentores dos direitos autorais. Esta obra foi publicada em maio de 2021 pela Gepra Editora & Eventos Científicos.

Autor

Luís Felipe de Araújo Possui Graduação em Matemática pela Universidade Federal da Paraíba, Mestrado em Educação pela Universidade Federal da Paraíba e Doutorado em Engenharia de Processos pela Universidade Federal de Campina Grande. Atualmente é professor da Universidade Federal da Paraíba.

Apresentação Neste trabalho, pesquisou-se junto a professores de Matemática e alunos da 5ª série, para investigar se a metodologia que é utilizada, pelo professor, na ministração das suas aulas, tinha relação com a repetência escolar nesta série. Bem como, saber das dificuldades que estes alunos e professores enfrentavam no diadia em sala de aula. Para este trabalho, ouviu-se 63 alunos de três turmas diferentes e 8 professores de matemática de uma escola pública estadual, utilizando-se a análise qualitativa e quantitativa dos dados coletados, agrupados nos temas: A percepção dos professores e alunos sobre as estratégias de ensino; Dificuldades no processo ensino-aprendizagem segundo percepção dos professores e alunos; A repetência em Matemática: causas apontadas pelos professores e alunos. Constatou-se que os professores responsabilizam os alunos pelo seu mau desempenho e os alunos, por sua vez, colocam-se como realmente sendo os responsáveis. Segundo os dados apontaram, os professores não consideram a metodologia utilizada por eles como suficiente para que os alunos aprendam Matemática, no entanto apontam a falta de base e de interesse do aluno como o fator responsável pelo mau desempenho na aprendizagem. Para os alunos, mesmo eles admitindo que a metodologia seja uma das causas que dificulta a compreensão do conteúdo ministrado, colocam a responsabilidade pela não aprendizagem na sua dificuldade em entender o conteúdo, na sua falta de atenção e que, aliado ao fato de não terem base de estudo, foram reprovados em Matemática.

Sumário Introdução

Capítulo 1 - Uma visão educacional da repetência escolar no Brasil

Capítulo 2 - Concepções teóricas do ensino e da aprendizagem

2.1 - Concepção de David Ausubel

2.2 - Concepção de Jerônimo Brunner

2.3 - Concepção de Lev Semenovich Vigotski

2.4 - Concepção de Burrhus Frederic Skinner

2.5 - Concepção de Jean Piaget

Capítulo 3 - O Ensino de matemática - uma visão geral

3.1 - Início do ensino de matemática

3.2 - Dificuldades do ensino de matemática

3.3 - Linguagem e simbolismo em matemática

3.4 - Objetivos do Ensino de matemática

Capítulo 4 - Revendo a estratégia do ensino e da aprendizagem de matemática

4.1 - Métodos de ensino

4.2 - A aprendizagem

Capítulo 5 - Procedimentos metodológicos

5.1 - Características da escola

5.2 - Características dos sujeitos

5.3 - Instrumentos de coleta de dados

5.4 - Análise dos dados

Capítulo 6 - Percepção dos professores e alunos sobre as estratégias de ensino

Capítulo 7 - Dificuldades no processo ensino-aprendizagem - segundo percepção dos professores e alunos

Capítulo 8 - A repetência em matemática: causas apontada pelos professores e alunos

Considerações finais

106

Referências Bibliográficas

110

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Introdução Ao longo dos tempos, observa-se uma crescente evolução nas ciências, em particular, na Matemática, no entanto, o seu ensino continua sendo de maneira que poucos a compreendem e a maioria sente dificuldades. Porém, notamos que antes mesmo do aluno chegar na escola, de alguma forma, ele teve contato com conhecimentos matemáticos na vida prática. Daí, pergunta-se: por que tantas pessoas ao ingressarem na escola, tendo contato com a matemática formal, adquirem temor a ela? A Matemática é uma ciência criada pela espécie humana para ajudar as pessoas na vida prática, portanto, jamais devia-se temêla, já que ela é uma ferramenta da qual todos nós necessitamos. PIAGET (1998) vai além e considera a Matemática um prolongamento 6

direto da própria lógica do organismo. Por isso, a partir do início do ingresso do aluno na escola, o ensino de Matemática deve ser preparado por uma série de manipulações voltadas para os conjuntos lógicos e numéricos com atividades concretas, desenvolvidas ao longo de todo o ensino fundamental, com a possibilidade de que, no ensino médio, transforme-se em experiências de Física e Mecânica elementares. Desta forma, o ensino de Matemática pode atrair o aluno para o aprendizado, pois como enfatiza o autor, a aptidão para aprender matemática depende da forma como ela é ensinada. Porém, não é difícil encontrar professores que dizem que para ensinar Matemática precisa-se apenas que se tenha competência em matemática e que os conceitos pedagógicos, necessários ao professor, se adquire com a prática.

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Com este discurso, tende-se a passar a ideia de que o problema do ensino em matemática fica resolvido se cada professor tiver essa competência. Mas não é só a competência do professor na disciplina que faz o aluno aprender, a aprendizagem depende de vários outros fatores, tais como: a metodologia usada pelo professor é fundamental para que a aprendizagem tenha êxito; o ambiente é necessário que seja de forma que propicie ao aluno conforto para desenvolver suas atividades etc. Também não é difícil encontrar professores que creditam o fracasso escolar aos próprios alunos, eximindo-se de qualquer responsabilidade, julgando-os, neste caso, incompetentes, indisciplinados etc., afirmando que para aprender matemática é preciso ter talento para o pensamento abstrato. Por outro lado, os alunos consideram o conteúdo, que o professor ministra, desvinculado de sua realidade e por isso não lhe dão a devida importância, considerando a aula desprovida de significação, desviando sua atenção para outras atividades ou julgando o que está sendo ensinado muito complexo para entendê-lo. Assim, pergunta-se: a forma que a matemática vem sendo transmitida ao longo dos anos, contribui para a repetência escolar? Este estudo tem por objetivo analisar as percepções e as opiniões de alunos e professores sobre a influência da metodologia do professor de Matemática na repetência escolar de alunos da 5a série do ensino fundamental de escola pública, pois é nesta série, principalmente, onde acontecem os mais altos índices de reprovação, com um discutível índice de evasão escolar. No Brasil, segundo registro do MEC1 (1999), no ano de 1998 os índices de repetência e evasão no ensino fundamental foram

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respectivamente, de 33,09% e 5,07%; Enquanto que na 5a série estes índices foram de 32,94% e 8,63%, para a repetência e evasão respectivamente. Estes índices de evasão escolar e a repetência acima citados, em nossa sociedade, vêm dificultando a qualificação mais rápida dos jovens para o mercado de trabalho. Assim, espera-se, com esta pesquisa, contribuir para a melhoria do ensino e, consequentemente, para a diminuição do tempo de permanência dos nossos jovens no ensino fundamental e no ensino médio. A pesquisa realizou-se na Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Ivo Sales da Silva2, na qual o número de alunos matriculados a cada ano vem crescendo. Apenas como exemplo, comparando os anos de 1999 e 2000, temos: no ano de 1999, o número de alunos matriculados foi de 1.349, sendo 1.103 no ensino fundamental, desses 125 foram reprovados, deste total, 37,6%, 8

alunos da 5a série. Já no ano de 2000, o número de alunos matriculados foi de 1.418, sendo 1.146 no ensino fundamental, desses 160 foram reprovados, deste total, 49,38%, alunos da 5a série. Este estudo está organizado da seguinte forma: No primeiro capítulo, fez-se uma investigação nas pesquisas que buscam conhecer as causas determinantes da repetência escolar, dando-se uma visão educacional da repetência escolar no Brasil;

_______________ 1 SAEB/INEP/MEC 2 Nome fictício

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No segundo capítulo, descreveu-se sinteticamente sobre as teorias de ensino, bem como as teorias da aprendizagem, considerando-se os autores: Ausubel, Bruner, Skinner Vigotski e Piaget; No terceiro capítulo, apresenta-se uma visão geral sobre o ensino de Matemática e sua evolução, onde enfatiza-se a preocupação de professores com este tema; No quarto capítulo, descreve-se sobre ensino e aprendizagem, considerando-se os meios para uma boa aprendizagem. Continuando no quinto capítulo faz-se a descrição das características, os instrumentos de coletas dados, e os sujeitos da pesquisa. No sexto capítulo, descreve-se sobre a percepção de alunos e professores sobre as técnicas de ensino. Em seguida, no sétimo capítulo, está descrito as dificuldades enfrentadas por professores e alunos no processo ensinoaprendizagem em sala de aula. No oitavo capítulo, apresenta-se as causas da repetência escolar segundo os professores e alunos. Finalmente, no nono capítulo está a conclusão na qual apresenta-se algumas sugestões que poderão ser seguidas, como forma de melhorar a metodologia do professor em sala de aula.

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CAPÍTULO 1 Uma visão educacional da repetência escolar no Brasil

A repetência escolar não é fenômeno exclusivo só do início do ensino fundamental, porém a grande incidência sobre esta população faz com que, segundo GUALBERTO (1984), ela se torne um grave problema do sistema escolar brasileiro, principalmente nas escolas públicas. A legislação de vários países do mundo, segundo o mesmo autor, proclama o direito do indivíduo à educação, firmando a responsabilidade do estado de oferecer a educação básica, gratuita e obrigatória. Mas a verdade, segundo BORGES (1981), é que nem sempre os fatos atingem a altura do ideal contido nos princípios estabelecidos. A lei que fixa as diretrizes e bases para a educação nacional no Brasil, lei 9394/96, estabeleceu a divisão da educação escolar em dois níveis: Básica e Superior. Sendo a Básica formada pela educação infantil, ensino fundamental e ensino médio. Garantindo-se, por imposição legal, a responsabilidade do poder público de assegurar o ensino fundamental em oito anos a todas as crianças que estejam com a idade para nele ingressar. Diante de fatos e da natureza dos recursos de nossa realidade, podemos dizer que o ensino fundamental em oito anos, para muitas crianças, não passa mesmo, de uma distância difícil, as vezes, impossível, de ser percorrida porque não conseguem ultrapassar as dificuldades dessas séries.

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HOFFMANN (1990), em relação às escolas públicas, observa que, nas séries iniciais do ensino fundamental, temos muitas turmas. Porém nas 8a séries, temos turmas únicas. Isso significa que os alunos que ingressaram na escola ou se evadiram ou são repetentes. Estes problemas são as maiores preocupações dos educadores e teóricos. D'AMBRÓSIO (1998), por exemplo, considera que isto é um dos maiores entraves para uma melhor educação. Diante dessa realidade, pesquisadores em geral, passaram a se preocupar com este fenômeno e o complexo de influência que envolve o problema tem justificado a existência de frequentes estudos sobre o assunto. Porém, apesar de todos os trabalhos realizados nesta área, alguns de seus aspectos ainda permanecem em aberto ou necessitando de revisão. Mas, o que é repetência escolar? Para BORGES (1981), aluno repetente seria:

O sujeito que não obteve através da avaliação somativa, aproveitamento igual ou superior a seis(6), de acordo com a escala adotada pelo estabelecimento de ensino, permanecendo retido na mesma série.

Assim, a retenção do aluno é consequência de uma avaliação como regra da escola, onde muitas vezes, deixa de avaliar o aluno como um todo e avalia apenas um momento do aluno que é o da prova, fazendo com que muitas dessas repetições de série sejam injustas.

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Daí, pode-se dizer que repetência escolar é a retenção, na mesma série, do aluno que não obteve aproveitamento suficiente para ser aprovado, na avaliação

somativa,

acordo

com

normas

estabelecidas

pelo

estabelecimento de ensino. O termo repetência remete à ideia de refazer um caminho já percorrido, mas cuja travessia não foi realizada. Assim, como MORI (1994) considera:

Reprovar conduz a provar nova e repetidamente até que o prove bem. Assim, a criança que fracassa na sua incursão escolar, é obrigada a repetir os mesmos traços, as mesmas palavras, até provar que é capaz de, na repetência, superar as suas dificuldades e alcançar os objetivos postos nos planejamentos.

Repetir é refazer, assim as crianças repetentes têm a segunda oportunidade dada pela escola de refazer a sua travessia escolar, porém a escola não faz o planejamento pensando naquela criança que fracassou, isto é, lhes dar a oportunidade, mas não faz nenhuma mudança de metodologia, de avaliação etc. Será que isso é a solução? Renovar uma experiência de mau êxito, em condições perfeitamente iguais não é, por acaso, obrigar a criança a repetir seu fracasso? Quantas vezes um sujeito pode repetir seus erros? Nesse sentido,

A pedagogia da repetência supõe que a simples repetição gera aprendizagem e que o padrão para superar o fracasso escolar consiste em fornecer mais e mais educação. (SILVA et. al., 1997)

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A reprovação escolar, considerada "pedagógica", deveria dar ao aluno a oportunidade de refazer seu aprendizado a fim de superar suas possíveis dificuldades. No entanto, o que se vê, na realidade, é a escola estigmatizar o aluno por ele não ter conseguido êxito. Sendo este aluno, muitas vezes, tratado como incapaz de aprender o que a escola lhe ensina. A escola existe para que as crianças tenham sucesso, porém a maioria dos administradores das mesmas não procuram direcionar os objetivos da escola para este fim, contribuindo para que muitas crianças com o seu fracasso, sejam excluídas da escola. Porém, assim afirma MELCHIOR (1998)

A reprovação na escola deve ser entendida e assumida como exceção e não como regra. A regra é aprender e progredir. A escola existe para que o aluno aprenda e nunca para o fracasso.

Logo, para que isso aconteça, o desafio da escola é reorganizar-se com essa nova visão, pois a criança tem a obrigação de vencer na vida, de dominar os obstáculos e desvantagens. É dever da sociedade oferecer um sistema escolar que assegure o êxito de sua clientela, no entanto, a autora enfatiza que, a escola não está ensinando o aluno a conseguir e manter uma identidade de sucesso, mas, sim, de ser repetente. O fenômeno da repetência, para alguns autores, (ARNS, 1978; GATTI, 1981; ROSENBERG, 1981), está relacionado, principalmente na escola pública, com as más condições sociais e econômicas dos alunos. Quer dizer, os alunos de famílias de nível sócio econômico mais baixos têm menor índice de rendimento.

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Esta explicação para o fenômeno da repetência não é unânime entre educadores e/ou pesquisadores, pois, ABRAMOWICZ (1997), BORGES (1981) e GUALBERTO (1984) em suas pesquisas, realizadas nas cidades de São Paulo - SP, João Pessoa - PB e Campinas - SP, respectivamente, chegaram à conclusão de que o nível sócio econômico baixo não é causa determinante direto da repetência escolar. A situação econômica de famílias de baixa renda tem grandes repercussões sobre o rendimento escolar das crianças, mas GUALBERTO (op. cit.), considera cômodo atribuir à pobreza a causa do fracasso escolar delas. Na sociedade brasileira atual, é sabido que as crianças de família de renda mais elevada recebem uma melhor educação do que aquelas oriundas de famílias de renda mais baixa. Isso porque a situação financeira dos pais permite 14

que elas estudem em colégios particulares, e até fora do país, onde, teoricamente, é oferecido um melhor ensino. Diferentemente, as crianças oriundas de famílias de baixa renda estudam em escolas públicas, que, no momento político brasileiro atual, está passando por dificuldades que vão desde a falta de laboratórios, falta de mais salas de aula para diminuir o número de alunos por turma para uma melhor acomodação dos alunos, até falta de professores e salários baixos que não estimulam os profissionais da educação. Além disso, faltam, para estas crianças, espaços físicos adequados para brincar, dormir e estudar, pois as casas onde moram não têm espaços suficientes, além de serem privadas da presença dos pais, que saem para trabalhar de manhã, retornando para casa somente à noite. Com isso, desde cedo, as crianças, dessas famílias, além de estudar, ficam responsáveis pelas tarefas domésticas,

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especialmente no caso das meninas que substituem as mães nos afazeres domésticos. Percebe-se também que a relação entre renda baixa e instrução é direta e proporcional. Nas famílias com rendas baixas, os pais têm um nível de instrução baixa, isso talvez se explique pela absoluta necessidade de trabalhar desde

criança

com

isso

não

tenham

tido

tempo

para

estudar,

consequentemente, não ensinam a seus filhos as primeiras palavras corretamente, daí as crianças oriundas dessas famílias chegarem à escola com uma deficiência vocabular muito grande, diferente daquela que a escola reproduz. Chegam, também, com uma carência alimentar, e com falta de lazer e encontram na escola, um professor mal preparado, seja por falta de condições psicológicas ou até mesmo desestimulado pela falta de condições de trabalho 15

para lidar com tal situação, e que por não dispor de tempo para conciliar as demandas, ministra um currículo de forma igual para todos os alunos, não considerando as diferenças existentes entre os mesmos. Como consequência, tem-se um grande número de reprovados e repetentes todos os anos, que evadem, analfabetos ou semialfabetizados, sem os conhecimentos mínimos requeridos para sobreviver em uma sociedade letrada. Saem sem o domínio da leitura, da escrita, do cálculo, sem uma compreensão mais apurada do mundo natural e social no qual estarão inseridos. E o que é mais grave, segundo XAVIER e RODRIGUES (1997), a escola expulsa e legitima a expulsão, pois eles saem e continuam saindo convencidos de sua inferioridade diante de seus repetidos fracassos.

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A criança, ao ingressar na escola, sofre um impacto que essa nova experiência causa nelas, pois é exigido da criança uma variedade de atividades, muitas vezes, distante de sua realidade. As experiências vividas pelas crianças fora da escola é de fundamental importância e deveria ser levada em conta pela escola, pois o desconhecimento ou menosprezo tem levado as crianças ao fracasso. Assim, para ABRAMOWICZ (1997): O erro, o fracasso e a repetência, que são vias de ruína, só podem ser definidas no interior de uma prática específica definida, ou seja, cada escola produz um tipo de aprendiz e de repetente.

As crianças de famílias cujo nível sócio econômico é elevado também ficam reprovados é bem verdade, mas a essas, as famílias tratam logo de levar a um psicólogo pois acreditam que elas tenham algum problema. Enquanto que as famílias de nível sócio econômico baixo, quando as crianças ficam reprovados, dizem que o responsável pelo mau desempenho é da própria criança. Daí, a escola, não assume sua parte pelo fracasso das crianças e, na realidade é poupada de qualquer responsabilidade pelo mau desempenho das crianças. Para ARROYO (1997), isso acontece porque a cultura da exclusão está materializada na organização e na estrutura do sistema escolar. Ou seja, para o autor ele está estruturado para excluir. Essa cultura legitima práticas, rotula fracassados, exclui, pois reprovar faz parte da prática pedagógica. Com isso, as escolas, públicas ou privadas, porém mais acentuadamente nas escolas privadas, adotam práticas com o objetivo de

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manter seu "status", isto é, de serem exigentes conforme as regras do mercado, onde os considerados medíocres devem ser eliminados e os brilhantes selecionados, valorizando assim sua disciplina e seu prestígio. Uma verdadeira indústria da reprovação, contribuindo para excluir crianças das escolas, e, consequentemente, reduzindo o seu direito à educação básica. Essa forma de excluir passa pelo tipo de avaliação que a escola faz com seus alunos, na qual não avalia o aluno como um todo, mas sim, apenas o que ele assimilou com os ensinamentos recebidos em sala de aula. Com isso, a escola demonstra pouca preocupação com a aprendizagem de seus alunos e supõe que a simples repetição gera aprendizagem. Porém, SILVA (1997) enfatiza que a repetência é, em si mesma, uma das principais causas da repetência. Isto porque, o aluno que é repetente é discriminado pela escola e até 17

pelos próprios colegas, pelo fato de ter sido reprovado e, dessa forma, acaba não conseguindo se superar, ficando mais uma vez reprovado. A repetição sem preocupação com o aluno que foi reprovado, onde o professor trabalha com todos da mesma forma, não é suficiente para gerar aprendizagem. Deve-se levar em consideração, segundo MELCHIOR (1998), que:

A aprendizagem de cada indivíduo ocorre de forma e em tempo diferente, portanto o professor não pode preocuparse, somente em ensinar a todos da mesma forma e ter a ilusão que todos vão aprender. O que seria de muitos pacientes se o médico desse a mesma receita para todos?

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A mudança que deve ocorrer com o professor, como forma de melhorar sua metodologia, passa, necessariamente, pela sua qualificação profissional, pois, às vezes, o professor faz o seu trabalho da melhor forma possível, no entanto, a sua qualificação não permite que ele vá além daquilo. Por isso, neste processo, a qualificação do professor é importante até como forma dele próprio se superar e procurar novas formas de transmitir o conteúdo, fazendo com que os alunos o assimile e melhore o seu rendimento escolar. Também, a rotatividade de professores que algumas escolas fazem durante o ano letivo é outro fator, segundo ROSEMBERG (1981), que poderá causar baixo rendimento dos alunos, levando-os a se reprovarem ou, até mesmo, se evadirem. E enfatiza que a escola que oferece melhores condições de funcionamento, como maior duração de jornada escolar, número menor de 18

turnos, menor número de alunos por turma e uma menor substituição de professores melhora o rendimento dos alunos de nível sócio- econômico baixo. A substituição de professores é mais frequente nas escolas privadas, pois essas escolas, visando mais o lucro do que o ensino, pagam mau a seus professores, fazendo com que eles, muitas vezes, peçam demissão no meio do ano letivo, prejudicando, assim, os alunos, que passam um tempo sem professor e, com a chegada do outro, demoram para se adaptarem com a nova metodologia. Assim, o aluno é prejudicado duas vezes. Já nas escolas públicas, acontece que, quase todos os anos, essas escolas começam faltando professores para algumas disciplinas, chegando a ficar assim meio ano letivo, quando, em alguns casos, ficam o ano inteiro.

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Para BAETA (1984), a repetência escolar como variável independente, além de ser fortemente associada ao baixo rendimento, constitui um motivo a mais da evasão escolar. Constitui-se, portanto, no mais possante instrumento da seletividade educacional. Com este capítulo, apresenta-se uma visão geral sobre o fenômeno da repetência escolar que juntamente com a evasão escolar, formam o que culturalmente se chama "fracasso escolar". Sem, é lógico, apontar uma saída para este problema, no entanto, considera-se que a superação dessa cultura passa necessariamente pela retomada de uma discussão séria sobre os componentes do direito à formação básica e universal, bem como, sobre a busca de um novo ordenamento que garanta essa formação.

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CAPÍTULO 2 Concepções teóricas do ensino e da aprendizagem

Quando a proposta é ensinar algo, o objetivo primeiro é fazer com que alguém aprenda. Portanto, só quando alguém aprende é que pode-se dizer que houve ensino. Consequentemente, só há ensino se houver aprendizagem. A aprendizagem tem sido, ao longo da história, preocupação de educadores, psicólogos e professores. Entender como o indivíduo aprende não tem sido uma tarefa fácil, por isto existem várias teorias para explicar este fenômeno. Buscando sistematizar algumas concepções sobre o tema, faz-se a seguir, uma breve exposição sobre as principais teorias.

2.1. Concepção de David Ausubel

Para se entender a proposta de ensino de Ausubel é necessário ter claro dois conceitos que são a base de sua proposta: Estrutura Cognitiva e Aprendizagem Significativa. A estrutura cognitiva para o ser humano, segundo RONCA (1977), é hierarquicamente organizada, isto é, conceitos e proposições mais abrangentes, com maior poder de generalização, estão no topo da hierarquia e inclui conceitos e proposições menos inclusivos, com menos poder de generalização.

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Sendo assim, com base nisso, a tarefa principal da escola é identificar, em cada disciplina, os conceitos mais abrangentes que incluam os conceitos menos abrangentes, os mais amplos a colaborar para que os alunos aprendam significativamente. Para AUSUBEL (1980) apud BARALDI (1999), a aprendizagem significa organização e interação do material na estrutura cognitiva. Logo, para que isso ocorra, conceitos relevantes que incluam outros conceitos, devem estar claros e disponíveis na estrutura cognitiva do indivíduo, prontos para se relacionarem com novos conceitos. O autor enfatiza que o fator mais importante na aprendizagem é o que o aluno já sabe. Por isso uma das formas de aprendizagem ocorre quando uma nova informação se relaciona com conceitos ou proposição relevantes, preexistentes na estrutura cognitiva do indivíduo. A 21

esse tipo de aprendizagem, o autor chama de Aprendizagem Significativa. Este relacionamento deve ser de forma que a relação não seja alterada se outros símbolos diferentes, mas equivalentes, forem usados, e, também, o relacionamento entre o novo a ser aprendido e os itens relevantes da estrutura cognitiva, não seja arbitrária ou por acaso. Além disso, para que ocorra a aprendizagem significativa, Ausubel afirma que o aluno deve apresentar pré-disposição para a aprendizagem significativa, isto é, o aluno deve manifestar disposição para relacionar, de maneira substantiva e não arbitrária, o novo material, potencialmente significativo, à sua estrutura cognitiva. Por isso, o material a ser aprendido deve ser potencialmente significativo para aquele aluno. Isto significa que o aluno deve ter a capacidade

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de: a) traduzir um problema de uma linguagem técnica para uma abstrata; b) traduzir de uma forma simbólica para outra forma e vice-versa; c) traduzir versos de uma língua estrangeira para o português etc. No entanto verifica-se que no Brasil o aluno não tem essa capacidade desenvolvida, visto que o ensino está muito mais voltado para o desenvolvimento do comportamento ao nível de categoria, por isso é muito mais provável que aluno

mostre

tendência

para

aprendizagem

mecânica

que

para

aprendizagem significativa. A preferência dos alunos pela aprendizagem mecânica pode estar relacionada com outras razões, tais como:

- alguns professores não aceitam respostas substancialmente corretas, mas que não tenham correspondência literal com aquelas que ele ensinou; - devido a experiências anteriores de fracasso numa dada disciplina e também a um certo grau de ansiedade, alguns alunos não acreditam na sua capacidade de aprender significativamente; - para alguns estudantes, parece mais fácil criar a falsa impressão de haver entendido, guardando na memória algumas palavras do que realmente tentar compreender o significado. (AUSUBEL, 1968 apud RONCA, 1977).

METODOLOGIA DE ENSINO DE MATEMÁTICA NA 5ª SÉRIE: CAUSA DE REPETÊNCIA ESCOLAR? Percepções e opiniões dos professores e alunos, com base em um estudo exploratório.

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ISBN 978-65-992707-8-9

A variável mais importante, para Ausubel (op. cit.), no processo de ensino que tem por objetivo a aprendizagem significativa, é a estrutura cognitiva. Neste sentido, a atuação do professor em sala deve estar voltada para a utilização de estratégias que facilitem, nos seus alunos, a aquisição de uma estrutura cognitiva adequada para que os conceitos mais abrangentes das diversas disciplinas estejam claramente estabelecidos. Para facilitar esse tipo de aprendizagem, o autor supracitado sugere o uso de organizadores prévios - que são materiais introdutórios apresentados antes do material a ser aprendido em si. Porém, o autor enfatiza que estes organizadores são diferentes de visões gerais ou resumos, os quais simplesmente enfatizam as idéias-chaves e são apresentados no mesmo nível de abstração e generalidade que o resto do material. Os organizadores prévios 23

funcionam principalmente de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber a fim de que o material possa ser aprendido de forma significativa. AUSUBEL, 1968 apud RONCA, 1977 defende que a aprendizagem pode ser: representacional, conceitual e proposicional. Representacional: consiste na aprendizagem de símbolos unitários ou palavras, isto é, os símbolos passam a significar aquilo que seus referentes significam; Conceitual: representam abstrações dos atributos essenciais dos referentes, representam regularidades em eventos ou objetos; e Proposicional: o aprender significado que está além da soma dos significados das palavras ou conceitos que compõem a proposição.

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Para o referido autor, a aprendizagem significativa pode se dar por recepção ou por descoberta. A aprendizagem será receptiva significativa se o professor apresenta o conteúdo em sua forma final e o aluno relaciona este conteúdo com o que já sabe. Quando o professor apresenta o conteúdo não em sua forma final, mas sim de forma que o aluno descubra a forma final, esta aprendizagem é por descoberta. Ela será significativa se o aluno relacionar o conteúdo ora aprendido com o conteúdo que já aprendeu. A aprendizagem pode ser considerada também mecânica, isto acontece quando, por recepção ou por descoberta, o aluno apenas memoriza o conteúdo aprendido. O método expositivo de ensino era defendido por Ausubel, alegando que poderia ser útil, desde que se respeitassem certas regras. Por esta defesa, era muito criticado, mas argumentava que este era apenas mais um método entre tantos outros. Os organizadores prévios propostos por Ausubel, segundo RONCA (1977), eram muito discutidos e muitas pesquisas comprovaram a posição assumida por Ausubel. Enquanto que, em algumas outras pesquisas não foram encontrados resultados significativos. Diante desses resultados, não podemos dizer, ainda, que os organizadores prévios são eficazes ou não, porém o importante é que mais professores usem esta estratégia e apresentem relatos destas experiências.

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2.2. Concepção de Jerome Brunner Dentre as várias teorias de como o indivíduo aprende, BRUNNER (1966) apud GIACAGLIA (1980), com a preocupação de ordem cognitiva e pragmática, sugeriu que a aprendizagem deveria se dar, nos métodos de ensino, pela descoberta. Isto é, não é que o ensino se realize exclusivamente por descoberta, mas que a descoberta seja incluída no método de ensino. Este método consiste em que o professor não traga o assunto pronto e exponha aos alunos para que eles apenas assistam passivamente, mas que o professor traga o assunto em forma de problemas ou questão a ser resolvida e, conjuntamente com os alunos, discuta alternativas apresentadas às soluções. A proposta de ensino por descoberta, apresentada por Brunner, já havia sido feita por filósofos e educadores, tais como: Sócrates, Rousseau, Montessori, Decroly, Freinet, Cousinet, Dewey, Neill, etc. A diferença, porém, é que Brunner compreendeu seu espírito, deu-lhe uma fundamentação teórica e a divulgou. (GIACAGLIA,1980). Para BRUNNER (1966) segundo GIACAGLIA (1980) a aprendizagem é um processo ativo, no qual aprendizes constroem novas idéias ou conceitos, baseados em seus conhecimentos passados ou atuais. Para isso, o professor deve incentivar os alunos a descobrir, por si sós, os princípios, mantendo com eles um diálogo ativo. Neste caso, a tarefa do professor deve ser traduzir a informação a ser aprendida em um formato apropriado ao estado verdadeiro de compreensão do aluno. Daí, a partir de esquemas, modelos mentais, o aluno seleciona e

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transforma a informação, constrói hipótese e toma decisões. Desta forma, estes esquemas e modelos mentais fornece ao aluno significado e organização para as experiências e permite-lhe ir além da informação dada. O método da descoberta garante que o aluno fique livre da instrução que fornece todas as informações, no entanto, ele não percebe os tipos de situação na qual essa informação possa ser utilizada. Assim, O método da descoberta não só ensina a criança a resolver problemas da vida prática, como também garante a ela uma compreensão da estrutura fundamental do conhecimento, possibilitando assim economia no uso da memória, que sabese limitada, e transferência da aprendizagem no sentido mais amplo e total, isto é, transferência do aprendido de uma disciplina para as demais, do aprendido na escola para a vida prática, e do aprendido em um nível de escolaridade, para os seguintes (currículo em espiral). Assim, a criança aprende a aprender (GIACAGLIA, 1980).

Daí, este método aplicado ao ensino constitui um desafio à atividade e curiosidade do aluno, contribuindo para o seu afastamento gradual de uma motivação puramente não essencial, e ir em busca de uma aproximação com a motivação intrínseca por ter conseguido participar de uma experiência significativa. Para a aplicação deste método, o professor deverá conhecer a fundo os conteúdos a serem tratados, bem como, estar apto a conhecer as respostas corretas e também reconhecer quando e porque as respostas alternativas estão erradas.

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Uma outra exigência que se faz para aplicação do método da descoberta é que o professor seja paciente para esperar que os alunos cheguem à descoberta, sem apressá-los, indevidamente, mas também que tenha bom senso para perceber quando a descoberta está demorando, a fim de não pôr em risco a execução do programa mínimo, que possibilite a continuidade dos estudos dos alunos na série seguinte. O método do ensino por descoberta proposto por Brunner tem sido bastante criticado, porém seus críticos mais severos reconhecem seus méritos. Logo, pudesse pensar que o problema não é o método em si, mas sim o modo como ele é apresentado.

2.3. Concepção de Lev Semenovich Vygotsky A relação entre aprendizado e o desenvolvimento das crianças em idade escolar é, para VYGOTSKY (1999), um dos problemas mais obscuro de todos os problemas básicos, necessários à aplicação de teorias do desenvolvimento nos processos educacionais. Logo, uma análise psicológica do ensino não pode ser corretamente resolvida se não se referir a esta relação. Existem

várias

concepções

correntes

sobre

relação

entre

desenvolvimento e aprendizado da criança. Porém, o autor supracitado, reduz essas concepções a três grandes posições teóricas. A primeira considera que os processos de desenvolvimento da criança são independentes do aprendizado. Baseia-se esta posição na hipótese de que o aprendizado segue a trilha do desenvolvimento e que este sempre se adianta

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ao aprendizado, excluindo assim a noção de que o aprendizado pode ter um papel no curso do desenvolvimento ou amadurecimento daquelas funções ativadas durante o próprio processo de aprendizagem. Neste pressuposto o desenvolvimento ou amadurecimento são sempre considerados como prérequisitos para o aprendizado. A segunda posição postula que aprendizagem é desenvolvimento. Isto é, no sentido de que aprendizado e desenvolvimento coincidem em todos os pontos. Já os teóricos da terceira posição sustentam que aprendizado e desenvolvimento não coincidem e que o aprendizado faz com que a criança se desenvolva. Koffka, segundo VYGOTSKY (1999) observou que a criança, quando aprende a realizar uma tarefa, passa a assimilar algum princípio estrutural, cuja esfera de aplicação é outra que não unicamente a das operações do tipo daquela usada como base para assimilação do princípio, isto quer dizer que uma criança ao dar um passo no aprendizado, dar dois no desenvolvimento. VYGOTSKY (1999) rejeita as três posições citadas anteriormente, mas analisa-as e sugere outra concepção mais adequada do problema da aprendizagem e o desenvolvimento. Para resolver este problema, ele sugere uma teoria baseada, primeiro na relação geral entre aprendizado e desenvolvimento; e, segundo, os aspectos específicos dessa relação quando a criança atinge a idade escolar.

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A nova visão sugerida por Vygotsky tem como ponto de partida a ideia de que a criança já tem aprendido alguma coisa antes de ir à escola. Portanto, chegando lá, qualquer situação que se defronte teve uma história prévia. Por exemplo, na escola as crianças começam a estudar aritmética, porém, elas já tiveram, antes de ir à escola, contato com operações de adição, subtração, divisão e tiveram também uma noção de determinação de tamanho. Para Vygotsky, existem dois níveis de desenvolvimento, o real, aquele cuja funções mentais da criança estabeleceram como resultado de certos ciclos de desenvolvimento já completados, e o potencial, que para resolver um problema necessita da ajuda de outro. Assim, Vygotsky define o que ele chama de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), como sendo:

A distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes (VYGOTSKY, 1999).

Segundo o autor supracitado, a Zona de Desenvolvimento Proximal é utilizada para definir aquelas funções que ainda não amadureceram, mas que estão em processo de amadurecimento. Assim, uma criança que tenha dificuldades em resolver um problema hoje, que resolve apenas com a ajuda de alguém, poderá fazê-lo, independente de ajuda, amanhã.

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Este aprendizado que é conseguido pelos seres humanos não acontece com os animais, pois os animais

São incapazes de aprendizado no sentido humano do termo; o aprendizado humano pressupõe uma natureza social específica e uma processo através do qual as crianças penetram na vida intelectual daqueles que as cercam (VYGOTSKY, 1999).

Diferentemente de Skinner, como será visto mais adiante, que começou suas experiências de aprendizagem com pombos e ratos brancos para depois estendê-la

aos

seres

humanos,

Vygotsky

começou

observando

desenvolvimento das crianças e observou que a aprendizagem passa por um processo de interação social que só os seres humanos têm capacidade de realizar, pois os animais não têm a Zona de Desenvolvimento Proximal. Portanto, os animais só podem, no máximo, aprender a imitar. Por fim, Vygotsky sugere que para resolver o problema do ensino devese fazer muitas pesquisas aplicando o conceito de zona de desenvolvimento proximal.

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2.4. Concepção de Burrhus Frederic Skinner A aprendizagem, para Skinner, era uma mudança na probabilidade de resposta. Ele acreditou que as experiências que estava fazendo, inicialmente com pombos e ratos, funcionava com qualquer organismo. Baseava sua teoria na relação estímulo-resposta, cujo estímulo poderia se dar por meio de reforçadores a cada resposta certa e que, gradualmente, se retirava estes reforçadores para não viciar o animal. Com essas experiências, criou um aparelho que, depois de várias modificações, é conhecido e utilizado em laboratórios de psicologia, conhecido, hoje, como caixa de Skinner. Skinner afirmava que existem dois tipos de aprendizagem, cada um associado a um tipo de comportamento. Um associado ao comportamento respondente e o outro associado ao comportamento operante.

Associado ao comportamento respondente está a aprendizagem respondente,

que

desempenha

pequeno

papel

maior

parte

comportamento do ser humano e está relacionado com ações reflexivas ou involuntárias. Ela se manifesta, por exemplo: ao sentir arrepios por causa de ar frio; ao dilatar e contrair a pupila dos olhos em contato com a mudança da iluminação etc. Associado ao comportamento operante está a aprendizagem operante, que está relacionada com as ações que podemos considerar voluntária. Este tipo de aprendizagem inclui todas as coisas que fazemos e que têm efeito sobre nosso mundo exterior ou operam nele. Como, por exemplo, chutar uma bola de futebol; pilotar um avião etc.

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Neste condicionamento, Skinner dizia que o importante é o que se segue imediatamente à resposta e não o que precede, constituindo, assim, o que ele chamou de reforço. Porém, nas práticas educacionais correntes, Skinner assinala os seguintes pontos fracos: O comportamento é dominado por estimulação que provoca aversão (fuga); b. existe um lapso de tempo muito grande entre o comportamento e seu reforço; c. está faltando um programa de reforço que desenvolva através de uma série de aproximações progressivas até o comportamento complexo final, desejado; e d. o reforço do comportamento desejado ocorre muito frequentemente (CAMPOS, 1977).

Além disso, um dos grandes problemas do ensino, para Skinner, é o controle aversivo. Estes controles se manifestam, hoje, principalmente, por medidas não corporais, que eram comuns no passado, tais como: repreensão, crítica, lição de casa adicional, trabalho forçado, retirada de privilégios, etc. Mesmo assim, acredita-se que estes controles aversivos são usados porque ainda não foram desenvolvidos outros meios eficazes, mas que os professores, que são humanos, não desejariam usar estes controles. Para a educação, torna-se mais eficiente, segundo Skinner, ao invés de simplesmente construir mais escolas e melhor preparar os professores, deveria se buscar sistemas que economizassem trabalho, isto é, construir máquinas de ensinar, cujo funcionamento é semelhante a jogos de computador, onde é dado, ao aluno, uma pergunta com várias respostas para que ele escolha uma que achar certo. Se responder certo, o jogo continua e se responder errado, o jogo termina.

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Assim, o aluno é sempre estimulado a responder certo. Podemos dizer que este estímulo é o reforço a que Skinner se refere. Skinner dizia que, com a máquina de ensino, o aluno poderia adiantar-se em seu próprio ritmo e quando fosse se adiantando receberia outras tarefas para realizar. Além disso, se por algum motivo, o aluno tivesse necessidade de abandonar a escola, quando retornasse ele poderia continuar de onde parou. Seria vantajoso também para o professor, pois passaria a supervisionar uma classe inteira trabalhando em tais máquinas. E, assim, conhecendo o que cada estudante fez, empregar o reforço suplementar necessário, com mais vantagem. Em muitos casos, essas máquinas funcionam, segundo Skinner, como um professor particular, no sentido de haver constante intercâmbio entre o aluno e o programa.

2.5. Concepção de Jean Piaget

As ideias sobre a aprendizagem e o pensamento das crianças têm sido dominadas, segundo CHIAROTTINO (1977), nos últimos anos, pelas ideias de Jean Piaget. Apesar dele não ser educador nem psicólogo, e sim biólogo, fez estudos sobre o desenvolvimento mental que não podem e não são ignorados. Para o mesmo autor, um dos aspectos fundamentais nos estudos de Piaget é a relação entre o organismo e o meio. Da troca entre o organismo e o meio, feita através da ação, dependia a construção da inteligência humana. Isso

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para Piaget era tão natural quanto qualquer outra estrutura orgânica. A teoria da aprendizagem de Jean Piaget, segundo WOOD (1996), ficou esquecida entre os psicólogos de língua inglesa por muitos anos. Embora tenha sido traduzida para o inglês nos anos 40, só nos anos 60 é que sua obra foi vista com seriedade pelos psicólogos britânicos e norte-americanos. Esse esquecimento se dava, nestes países, enfatiza o autor, porque, nesta época, as teorias sobre aprendizagem excluíam completamente os estudos de Jean Piaget. Para o autor supracitado, um dos aspectos centrais da teoria de Piaget é que o pensamento infantil difere em "espécie" do pensamento dos indivíduos mais maduros. As crianças se desenvolvem pensando pela sequência de estágios, até atingir o pensamento maduro racional. Este desenvolvimento é característico de cada criança no mesmo estágio, porém diferente das crianças em outros estágios. Portanto, o ensino para as crianças deve ser de acordo com o seu desenvolvimento. Sendo assim, os assuntos ensinados por pais e professores variam em função do estágio de desenvolvimento da criança. E segundo WOOD (1996), uma das principais implicações da teoria de Piaget é que os efeitos e a eficácia do ensino são fundamentalmente condicionados pela estrutura da inteligência da criança. A criança, até aproximadamente os dois anos de idade, está limitada por seu campo perceptivo, apesar de conhecer alguma coisa. Porém, depois

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percebe-se que ela se liberta do presente e insere os objetos de fato num quadro conceitual. Isso se dá, aproximadamente, quando a criança começa a falar. Mas, para Piaget, não é a linguagem que explica essa transformação, pois os brinquedos e imitação diferenciada são que implicam a existência de uma função simbólica. Para ele, essa função é mais ampla que a linguagem, pois inclui além dos signos verbais, os símbolos, no sentido estrito. Com o aparecimento da função símbolo e com a aquisição da linguagem formam-se novas relações entre o indivíduo e o meio, sendo estas relações importantes para sua adaptação. Porém, a criança, de posse da linguagem, não chega imediatamente as operações concretas, é preciso uma atividade que vai dos dois aos setes anos. E para as operações preposicionais, espera-se até os dez ou doze anos. Neste período pré-adolescente, o aluno conquista, segundo 35

PIAGET (1998), uma nova maneira de racionar, que não incide exclusivamente sobre a realidade ou objetos, mas sim sobre as proposições, isto é, as hipóteses. A teoria de Piaget não oferece aos professores uma receita pronta de como desenvolver a inteligência da criança ou do aluno, mas aponta como se dá esse desenvolvimento, mostrando que cada fase tem suas características e possibilidades de crescimento e amadurecimento. Portanto, o professor, de posse desses conhecimentos, irá oferecer estímulos adequados a um maior desenvolvimento do indivíduo. Apesar de todas essas teorias apresentarem caminhos para o desenvolvimento do ser humano, os seus criadores concordam, em vários pontos, e discordam, em outros, de como se dá a aprendizagem.

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Por exemplo, Brunner e Piaget concordam que a ação é de fundamental importância para a aprendizagem. Inclusive para o ensino de matemática ela é o ponto de partida para a formação do pensamento abstrato e simbólico. Mas, segundo WOOD (1999), Brunner discorda de Piaget de que crianças, antes de atingir um determinado estágio de desenvolvimento sejam incapazes de entender as relações conceituais entre atividades práticas e níveis mais abstratos de pensamento. Rejeitando Brunner, Piaget dá ênfase as operações da lógica formal enquanto descrição do destino último do desenvolvimento intelectual. Brunner dizia que a lógica não é base do pensamento maduro e adaptativo. Influenciado pelas idéias de Vygotsky, coloca, diferentemente de Piaget, a linguagem e a comunicação no cerne do desenvolvimento intelectual e pessoal. 36

A teoria de Ausubel, segundo FARIAS (1989), difere totalmente da teoria de Skinner, considerada behaviorista, que se preocupa com a relação estímulo e resposta dos organismos, quer sejam em animais ou seres humanos. A esse respeito Ausubel se pronuncia:

Os psicólogos cognitivos lidam com processos como a formação de conceitos e a natureza da compreensão de estrutura e sintaxe da linguagem. As teorias behavioristas têm suas origens principalmente em experimentos sobre o comportamento animal ou estudos humanos onde as tarefas de aprendizagem não envolvem raciocínio, na maior parte das vezes. Uma vez que os animais não formam conceitos, enquanto que a aprendizagem de conceitos é a essência da compreensão humana fica evidente que as principais teorias behavioristas podem ter valor para a interpretação da aprendizagem em seres inferiores, mas não satisfazem o critério de uma teoria de aprendizagem que pretenda fundamentar as práticas educacionais (AUSUBEL et al, 1980 apud FARIAS, 1989).

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Ausubel discorda de Piaget a respeito das crianças em estágio préoperacionais e operacional-concreto, quanto à possibilidade dessas crianças não poderem formar conceitos abstratos. Para Ausubel após as crianças conseguirem abstrações primárias, tendo para isso o auxílio de apoios empíricos-concretos, tais como: casa, cão etc., os conceitos abstratos podem ser adquiridos. O que para Piaget não é possível.

A divergência acima,

... não significa que haja quaisquer conflitos operacionais entre as ideias de Piaget e Ausubel, mas que os estudos de Piaget são descritivos da realidade das crianças normais da sociedade ocidental, mas não exploram as potencialidades de processos cognitivos de aprendizagem (FARIAS, 1989).

Já Vygotsky procurava integrar a Psicologia com uma análise da História, da Arte, da Literatura, da atividade cultural e social, buscando uma teoria coerente com as Ciências Sociais. Piaget, por ser biólogo, e influenciado por isto, procurava unificar a Biologia, as Ciências Naturais e a Psicologia. Como se vê, a questão da aprendizagem é um problema longe de ser resolvido através de uma fórmula pronta. Isso porque envolve, segundo as teorias descritas acima, vários fatores. Porém, o importante é que cada professor

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faça sua parte, buscando nessas teorias uma melhor forma de conduzir seus trabalhos de sala de aula para alcançar o objetivo desejado: a aprendizagem.

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CAPÍTULO 3 O ENSINO DE MATEMÁTICA - Uma visão geral

O ensino, em todas as áreas, vem sendo discutido, com o intuito de melhorar sua qualidade. Em relação à disciplina Matemática, essa discussão está mais centrada nas formas de transmissão de seus conteúdos, pois, como se sabe, esta disciplina é amada por uns e odiada por outros. Porém, as pessoas que se dedicam ao estudo desta ciência, acabam mesmo se apaixonando, devido ao prazer que ela proporciona em seus desafios. Na tarefa de ensinar matemática, existem professores que afirmam que o aspecto primordial para isso é ter uma boa base de conhecimentos desta matéria, e que a capacitação pedagógica pode ser incrementada através da prática em sala de aula e de exemplos. Encontramos, ainda, professores que dizem que, para ensinar matemática deve-se ir para a sala de aula "vender seu peixe" da melhor maneira possível. As afirmações acima passam uma ideia de que para ensinar matemática "bem", basta que o professor tenha uma boa formação matemática. E que o aluno, para aprendê-la precisa ter talento ou ter dom para a matemática: O bom professor é aquele que vibra com a matéria que ensina, conhece muito bem o assunto e tem um desejo autêntico de transmitir esse conhecimento, portanto se interessa pelas dificuldades de seus alunos e procura se colocar no lugar deles, e entender seus problemas e ajudar a resolvê-los. (LIMA, 1995).

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A altivez de alguns professores faz com que a matemática se torne uma coisa chata para maioria dos alunos. Para se corrigir isso, é necessário que haja o reconhecimento de que essa arrogância existe, por parte desses professores, e que, a partir daí, mudem sua forma de pensar e procurem transmitir o conteúdo, sabendo das dificuldades dos alunos, procurando ajudá-los nestas dificuldades.

3.1. Início do ensino de matemática

A tarefa de ensinar Matemática iniciou-se, no mundo ocidental, segundo MARROU (1948, apud D'AMBRÓSIO s/d) com os sofistas. Foram os sofistas que reconheceram o valor educacional da matemática e os primeiros a incorporá-la em um sistema educacional. Porém, foi com Platão que, efetivamente, a importância da matemática, como um dos pontos focais do sistema educacional, se consolidou. Naquela época, o papel da matemática no sistema educacional era essencialmente propedêutico, possibilitando selecionar as melhores mentes. Mas para Platão, a prática da matemática deveria ser acessível, e até mesmo natural, para todos. Na realidade, o que prevaleceu foi a elitização intelectual através da matemática, que se prolongou até a Idade Média, chegando ao ponto de o educador inglês Issa Watts dizer que não recomendaria o estudo dessa ciência para todos. E que não era necessário nem adequado para todos os estudantes, mas apenas para aqueles que fossem fazer desses

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estudos sua profissão principal e negócio de vida, ou para aquelas pessoas cujas capacidades e poder de mentes fossem adequadas para estes estudos. Assim, essa visão se reflete na maneira em que se ensina matemática, na qual podemos ensiná-la como os egípcios, em que eles sugeriam que para construir um triângulo era necessário apenas fixar três estacas no solo e com um barbante estava materializado o triângulo. Ou de forma diferente, como é feito no ensino hoje, cujo triângulo resulta de marcar três pontos num papel e com uma régua traçar os lados do triângulo. Estes dois modos de ensino do exemplo acima têm uma diferença que representa a linha divisória entre o ensino da matemática para intelectualidade e o ensino da matemática dirigida para a mão de obra prática. Para aqueles que iriam assumir altos escalões no governo, um ensino de matemática, chamada de matemática acadêmica, e outro tipo de ensino, destinado aos trabalhadores em geral, chamada de matemática prática. No século XX, com a difusão do conceito de educação de massa surge então a questão: qual matemática deveria ser ensinada nos sistemas educacionais? E a resposta foi de que deveria ser ensinada uma matemática que mantivesse a estrutura econômica e social antiga, quando uma boa aprendizagem em matemática era essencial para o progresso da elite e, ao mesmo tempo, permitir que esta elite assumisse o controle dos setores produtivos. Observa-se que essa distinção do ensino da matemática continua atualmente, isto é, o seu ensino vem sendo de forma a que poucos privilegiados

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aprendem e a grande massa recebe um ensino de matemática com um direcionamento para a prática. Isto significa que a massa recebe um ensino de matemática que não o possibilita a desenvolver-se de forma a acompanhar um grupo restrito no conhecimento da matemática. Acredita-se que a participação dos professores, nessa divisão do ensino, seja involuntária, pois ele também é vítima da forma como os órgãos federais organizam a educação neste país. Para FRANKENSTEIN (s/d), o conhecimento de matemática é uma parte importante do avanço real popular do controle democrático sobre a estrutura econômica, social e política de nossa sociedade. Assim, uma mudança social que liberte o homem requer uma compreensão do conhecimento, que, muitas vezes, também é usado para obscurecer realidades econômicas e sociais. Desta forma, o ensino de matemática é preocupante, tendo em vista que o sujeito que ingressa na escola, algum tempo depois, passa a temer esta disciplina.

3.2. Dificuldades do Ensino de Matemática Sabemos que a matemática foi criada e desenvolvida em virtude da realidade, percepções vivenciadas. Neste sentido, afirma D'AMBRÓSIO (1998) que: A disciplina matemática é uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade sensível, perceptível, e com seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural.

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Mas hoje, do ponto de vista da motivação contextualizada, a matemática que se ensina na escola está muitas vezes distanciada da realidade do aluno. Mesmo assim, nos últimos vinte e cinco anos, tem se produzido muito mais matemática do que em quase toda humanidade, isso devido à dinâmica interna da ciência e da tecnologia, e da própria matemática. Entende-se que a matemática é uma ferramenta da qual todos necessitam. Por isso, no seu ensino, em particular para as crianças da 5a série, considerada ainda aprendiz em matemática, deveria ser dado um enfoque ligado a situações mais práticas. Isto é, a situações de utilidade, porém sem abandonar a formação intelectual que deve ser dado a criança como um todo. As crianças nesta fase precisam ter habilidades com a matemática para aprenderem a passar um troco, contar ovos etc. Pois, como diz STEWART (1995): "sem a habilidade de contar ovos e subtrair o troco, por exemplo, não poderíamos nem mesmo comprar comida". No ensino da matemática, sempre houve um problema que parece contrário ao senso comum, no sentido de que alguns alunos dão prova de serem inteligentes quando atuam em outras áreas que não a da matemática e fracassam quase que sistematicamente quando lidam com a matemática. As pessoas bem-dotadas, na elaboração e na utilização da estrutura lógico-matemática espontânea da inteligência, não são carentes de qualquer vantagem na compreensão de um ensino que incide exclusivamente sobre o que se pode tirar de tais estruturas. O convite às pessoas a uma reflexão sobre as estruturas é feita através do ensino de matemática, por meio de uma linguagem

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que comporta um simbolismo muito particular e exige um grau relativamente alto de abstração. Mas PIAGET (1998) aponta que: O problema central do ensino das matemáticas é o ajustamento recíproco das estruturas operatórias espontâneas próprias à inteligência e do programa ou dos métodos relativos aos domínios matemáticos ensinados.

O ensino de Matemática vem passando por dificuldades desde a reforma ocorrida no início dos anos sessenta. Foi uma reforma profunda que deu origem à Matemática Moderna, na qual passou-se a dar maior ênfase na linguagem de conjuntos e uma apresentação excessivamente formal das diferentes partes da matemática. Essa reforma teve, desde o primeiro instante, segundo ÁVILA (1993), o apoio dos professores e até de alguns eminentes matemáticos, com poucos opositores. Porém, com o passar do tempo, a não eficácia da matemática moderna foi ficando evidente e o número de opositores crescendo, contando com o apoio de pesquisadores de grande prestígio nacional. A partir da crítica feita a matemática moderna e a ineficácia dessa orientação para o ensino, novas mudanças começaram a ser feitas, com o intuito de corrigir o caminho que estava sendo adotado. No entanto, no Brasil, diferentemente da maioria dos países em que a crise da matemática moderna foi superada, convive-se fortemente com sinais das ideias dos anos sessenta.

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3.3. Linguagem e simbolismo em Matemática O ensino de matemática vem sendo feito com forte ênfase no simbolismo e linguagem de conjuntos, dificultando, mais que ajudando o aluno em seu esforço de aprendizagem.

É preciso ter presente que o objetivo de todo ensino, seja de matemática, seja de qualquer outra disciplina, é transmitir ideias, estimular o pensamento independente e a criatividade (ÁVILA 1993).

O simbolismo e a linguagem são úteis na transmissão de ideias e disso a matemática depende muito, entretanto, isso também faz com que a matemática se torne tão inacessível. Mas, mesmo assim, o simbolismo e a linguagem específicos da matemática é um mal necessário. O que precisa ser feito é que eles sejam usados com cuidado, de forma a não prejudicar o aprendizado. Entre os professores, é consenso de que o ensino de matemática com a linguagem de conjuntos fica difícil e quase desligado do que realmente se deve ensinar. No entanto, uma mudança não acontece, porque os profissionais, nos cursos de licenciaturas das universidades e, também, nos cursos de magistérios, não estão sendo preparados para esse fim. CARVALHO (1990), ao analisar o ensino dessa disciplina, destaca que a maioria dos alunos que procuram o curso de Habilitação ao Magistério manifestam desgosto por essa área do conhecimento. No entanto, serão futuros professores que terão que dar aulas, inclusive, de matemática e, portanto, necessitam aprender este conteúdo.

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Na sua formação profissional, o futuro professor deveria aprender a gostar dessa disciplina, recebendo uma orientação na referida disciplina, através da qual

fosse

possível

acabar

com

esta

insatisfação

com

mesma.

Paradoxalmente, essa insatisfação com a matemática demonstra uma contradição com o início de sua história, pois como se disse antes, ela foi desenvolvida para auxiliar a resolver problemas práticos. Daí, pode-se então perguntar: por que tantas pessoas manifestam insatisfação e até pavor à matemática, se essa disciplina nos ajuda na vida prática? A forma como a disciplina é ensinada contribui para essa aversão? O livro didático de matemática é outro fator que concorre para que o aluno não aprenda a gostar desta disciplina e, portanto, deveriam mudar, retirando de seus textos os elementos prejudiciais ao ensino, abrindo caminho para o tráfego livre e fácil das ideias. Tem-se observado nestes livros, que, num determinado ponto, eles não passam as ideias de forma lógica e, muitas vezes, deixam o aluno confuso, dificultando assim a sua aprendizagem. Na verdade, antes da reforma ocorrida nos anos sessenta, o ensino de matemática continha muita deficiência, não levava, por exemplo, em consideração aspectos relevantes da psicologia da aprendizagem, o que de alguma forma vem sendo feito. Mas apesar de sucessivas reformas no ensino e a insistência de modernizá-lo, coisas antigas ainda são preservadas.

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PIAGET (1998) considera que o problema do ensino de matemática tem se aprofundado desde as transformações que a Matemática sofreu a partir da escola de Boubarki, na qual já não aparece como um conjunto de capítulos separados, mas sim numa disposição e ordem das partes de um todo ligadas umas às outras a partir de algumas estruturas mãe que se harmonizam entre si ou se diferenciam de várias maneiras. Com isso, o ensino em matemática passa a ser de forma sequencial e a aprendizagem fica sendo de forma cumulativa. Implicando que o aluno, ao longo do ano letivo, teoricamente, seja obrigado a aprender todo o assunto de matemática. Caso contrário, poderá não ter êxito. A partir das idéias da escola de Boubarki, a Matemática Moderna passa a dar mais ênfase a teoria dos conjuntos e os isomorfismos estruturais, surgindo um movimento que visava introduzir tais noções o mais rápido possível no 47

ensino. As dificuldades do ensino dessa disciplina se aprofundam a partir dessas idéias, pois passa-se a ensinar com idéias abstratas para o nível de aprendizagem dos alunos. Some-se a isso o aumento vertiginoso do número de alunos em salade-aula e a qualificação do professor, muitas vezes, insuficiente para transmitir tais conhecimentos. Além disso, deve-se considerar, também, o descaso com que os poderes públicos tratam a educação no Brasil, onde professores são maus remunerados e falta condições de trabalho para que desenvolvam suas atividades de forma satisfatória. Enfim, o sentimento de que a educação ajuda no desenvolvimento de uma nação, sendo este o caminho para o bem-estar de um povo, não é suficientemente forte no espírito de nossa

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população. Portanto, o problema do ensino de matemática está relacionado com todo sistema educacional que está em crise.

3.4. Objetivos do ensino de matemática

Quase todo professor de Matemática já foi questionado por seus alunos a respeito da importância da Matemática e sua utilidade. Diante disso, o professor fica em situação difícil para dar respostas satisfatórias, mas, na realidade, essas perguntas não têm respostas fáceis nem breves. Com frequência, as justificativas apresentadas pelos professores são de que a Matemática serve para resolver problemas, ligados ao dia-a-dia, que envolvem aspectos quantitativos da realidade. Outra justificativa é que a Matemática é importante porque ajuda desenvolver o raciocínio lógico do ser humano. Porém, essas justificativas não são suficientes, pois no caso da primeira, para o aluno interessado em estudos na área de humanas é, praticamente, irrelevante o estudo de Matemática que vá além de um conhecimento elementar das operações com números. E no caso da segunda, sabe-se que a construção da Matemática se deu, em grande parte, à intuição e à imaginação do que ao raciocínio lógico. Portanto, pode-se dizer que a justificativa para o ensino de Matemática é o papel que essa disciplina desempenha na construção de todo conhecimento humano, colaborando com o desenvolvimento da Física, Biologia e Química que só ocorreram depois do desenvolvimento da Matemática, cujo impulso se deu a partir do século XIX.

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Entre outras, podemos eleger as seguintes razões para o ensino da Matemática:

1. A matemática deve ser ensinada porque é parte substancial de todo o patrimônio cognitivo da humanidade. Se o currículo escolar deve levar a uma boa formação humanística, então o ensino da Matemática é indispensável para que essa formação seja completa. 2. O ensino da Matemática se justifica ainda pelos elementos enriquecedores do pensamento matemático na formação criativa da intuição, da imaginação e dos raciocínios por indução e analogia. 3. O ensino da matemática é também importante para dotar o aluno do instrumental necessário no estudo de outras ciências e capacitá-los ao trato das atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade (ÁVILA, 1995).

Para algumas pessoas, o conhecimento em matemática pode ser dispensável se ele se destacar como profissional em outras áreas do conhecimento. No entanto, será um profissional culturalmente limitado. O mesmo acontece com uma pessoa que é excelente em matemática, mas que tenha poucos conhecimentos humanísticos. Pode-se mudar o ensino da Matemática? Sim, para isso é preciso que sejam feitas várias mudanças, tais como: melhoria na formação do professor de Matemática e a conscientização do aluno de suas responsabilidades para com a sociedade. Porém, nenhuma receita para o ensino de matemática terá sucesso se o professor não tiver uma maior devoção pela profissão e um esforço

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continuado de sempre aprender mais "Matemática" para que possa assim motivar os seus alunos.

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CAPÍTULO 4 Revendo as estratégias do ensino e da aprendizagem de matemática

Quando se realiza a atividade de ensino, necessita-se de uma maneira pela qual, ao transmitir conhecimentos, possamos atingir o objetivo de fazer alguém aprender. O método de ensino requer que se tenha conhecimento do que deve ser ensinado, pois para cada atividade deve-se adequar o método. Além disso, devemos ter clareza da condição do desenvolvimento intelectual de quem está recebendo os ensinamentos. A faixa etária das pessoas e o conteúdo dos ensinamentos são outros elementos que obrigam a que o método seja adaptado, pois não existe uma receita para o método. Em qualquer ensinamento, tudo depende dos aprendizes, do professor, de seus conhecimentos a respeito do que está se propondo a ensinar e, principalmente, do interesse do grupo. PARRA (1980) considera que o ensino depende e muito da concepção do que vem a ser educação. O professor não pode se limitar apenas saber o que ensinar e como fazê-lo, mas, também, o porquê ensinar. Neste sentido, o professor precisa desenvolver uma concepção do que é educação, o que é um indivíduo educado. Com isso, o professor tem a possibilidade de determinar certos objetivos, de escolher uma ou outra estratégia de instrução e fazer opção

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por certo procedimento de avaliação. Enfim, organizando melhor o ensino e escolhendo assunto que se adeque aos alunos.

4.1. Métodos de ensino A disciplina Matemática é, muitas vezes, responsável por uma grande quantidade de alunos que repetem de ano, os chamados alunos repetentes. Isso faz com que a formação desses alunos para o mercado de trabalho seja muitas vezes adiada, acarretando também um prejuízo financeiro ao estado, bem como dificultando a entrada de outros alunos na escola. Daí perguntar-se o que é preciso fazer para mudar esta situação? Para mudar, pode-se pensar, talvez, numa mudança no método de ensino, aliado a uma observação da procedência de cada aluno, para verificar: a situação econômica, de moradia etc., com o objetivo de adaptar-se o ensino a suas condições de aprendizagem. Consequentemente, melhorando o seu rendimento e evitando, assim, a repetência. A disciplina Matemática, nos últimos anos, tem evoluído bastante, no entanto, a maneira como ela vem sendo transmitida ao longo dos anos até hoje não avançou muito.

Tem sido uma crítica muito frequente feita aos conteúdos escolares o fato de se tratar de conceitos muito distanciados dos problemas da realidade de cada indivíduo. Tal crítica se torna ainda mais gritante diante da constatação de que, para muitos problemas do cotidiano, o educando apresenta um conhecimento específico que viabiliza a superação do problema colocado e, quando o conhecimento aí utilizado é

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transposto para a esfera escolar, o aluno passa a ter dificuldade na sua apropriação (GIARDINNETO, 1999).

Na realidade, quando se ensina, muitas vezes, não se considera o que os alunos já aprenderam e inicia-se o conteúdo da disciplina sem atentar para este fato. Isto faz com que o assunto tratado em sala de aula pareça distante da realidade do aprendiz, dificultando assim a sua aprendizagem. Com a finalidade de saber o que os alunos haviam aprendido de Matemática em doze anos, em média, de escola, BARALDI (1999) realizou uma pesquisa, com alunos que estudaram em escola pública e completaram pelo menos o ensino médio. Chegou à conclusão, pelo menos com os alunos sujeitos da pesquisa, de que "eles quase nada sabem e, se sabem, não sabem para que 53

serve". Além disso, saíram da escola detestando a disciplina Matemática. Esta pesquisa serve para demonstrar que é preciso buscar novas maneiras de se transmitir o conteúdo, identificando fatores, no aprendiz, que possam auxiliar na sua aprendizagem. Assim, AUSUBEL (1980) apud BARALDI (1999) diz que:

... de todos os fatores que influenciam a aprendizagem, o mais importante consiste no que o aluno já sabe. Investigue-se isso e ensine-se ao aluno de forma consequente.

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Logo, o método de ensino como fator que influencia na aprendizagem deve sempre ser pensado de forma a contemplar esse aprendizado, trazido com o aprendiz que muitas vezes é desprezado, como dissemos antes. Segundo FIORENTINI (1993), o que "ensinar" é a preocupação de alguns professores. No entanto, as questões metodológicas e pedagógicas, como ensinar, por que ensinar e para que ensinar, são deixadas de lado, colocada em segundo plano. Na atualidade, a preocupação com a repetência e a evasão escolar faz com que alguns professores se preocupem com novas formas de transmissão do conhecimento. No caso da Matemática, o Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática - CAEM do Instituto de Matemática e Estatística – IME da USP, por exemplo, desenvolveu um trabalho junto a alunos da 5ª série do ensino fundamental de São Paulo, no qual utilizou alguns jogos, para auxiliar na aprendizagem de Matemática. Neste trabalho BORIN (1996) Constatou que:

O aluno, ao jogar, passa a ser um elemento ativo do seu processo de aprendizagem, deixando de ser apenas um ouvinte passivo das explicações do professor, porque tem a oportunidade de vivenciar a construção de seu saber.

Observou, ainda, a autora citada que o aluno com essa atividade torna-se mais crítico, atento e confiante, expressando o que pensa e não tendo medo de errar, pois o erro é encarado como uma etapa para chegar a resposta correta.

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PIAGET (1998) destaca quatro métodos de ensino: Os métodos receptivos ou de transmissão pelo mestre; Os métodos ativos; Os métodos intuitivos. Os métodos programados e as máquinas de aprender. Os métodos de transmissão pelo mestre é um método tradicional de ensino, no qual o mestre se dirige aos alunos, fazendo com que as tendências naturais do mestre sejam mantidas de acordo com seu pensamento. Esta forma de ensino é a mais usada e criticada ao mesmo tempo. Nela, o aluno recebe as informações em sua fase final, sem, no entanto, participar da construção dos conhecimentos. Mesmo assim, acontece a aprendizagem, que é chamada de aprendizagem receptiva. Os alunos, neste tipo de aula, ficam "sossegados", mas isso pode, segundo BARALDI (1999), não representar passividade, pois eles podem estar em intensa atividade intelectual. Porém, por outro lado, pode ocorrer que o pensamento do professor, ao transmitir o conteúdo, não seja o mesmo dos alunos e o que chega nos seus ouvidos sejam apenas ondas sonoras que logo tornam-se sem sentido. Na realidade, na maioria das vezes, o que se procura é uma solução mais fácil. E isto significa deixar a lição de acordo com as tendências naturais do mestre. A ideia do método ativo é de fundamentar o ato pedagógico em ação nas atividades das crianças. Estas ideias, segundo GADOTTI (1999), já vinham sendo formada desde a "Escola Alegre" de VITORINO DE FELTRE (1378-1446). Porém foi o educador norte-americano JOHN DEWEY (1859-1952) quem

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primeiro formulou este novo ideal pedagógico, dizendo que ensino deveria ser centrado na ação e não na instrução. Este método de ensino é considerado, por muitos professores, difícil de ser aplicado porque exige do professor um trabalho bem mais diferenciado e bem mais ativo, do que no método receptivo, por exemplo, em que o professor dá lições, o que é menos trabalhoso, embora isso corresponda a uma tendência natural no adulto em geral. Por outro lado, o método ativo exige uma formação mais consequente, na qual o professor possa aprender a lidar com técnica de ensinar, colocando a criança em ação. Porém, deve-se entender que os melhores métodos para qualquer ramo do conhecimento são aqueles que são mais difíceis de se trabalhar. Deve-se entender, também, que com o método ativo empregado na escola, que a torna uma escola ativa, esta, necessariamente, não passa a ser uma escola de trabalhos manuais, mas sim uma escola onde as crianças possam manipular alguns objetos para construir seu raciocínio lógico-matemático elementares. Podendo, a partir daí manifestar-se no plano de reflexões, passando para a fase das abstrações e de manipulações verbais. Essa manifestação tem a vantagem de não ser imposta, correndo o risco de permanecerem parcialmente incompreendidas, mas sim espontâneas. A criança, com este método, parece ser levada para o individualismo o que seria ruim para ela, porque o ser humano é um animal social e não pode viver isoladamente. Porém, Os métodos ativos não levam, de forma alguma, a um individualismo anárquico, mas, principalmente quando se trata de uma combinação de

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trabalho individual e do trabalho por equipes, a uma educação de auto disciplina e do esforço voluntário (PIAGET, 1998).

Mesmo com este ponto de vista aceito, a prática desse método ativo não fez grandes progressos, porque ele é, como já foi dito antes, mais difícil de ser empregado do que o método receptivo, portanto, mais trabalhoso para o professor. Outro método é o método intuitivo. Neste método, um bom número de educadores, devido à sua formação insuficiente em psicologia, estabelece, às vezes, uma confusão entre este método e o processo ativo, fazendo com que haja um atraso no método ativo. Alguns educadores de boa-fé acham que os métodos intuitivos equivalem aos métodos ativos, ou, pelo menos, fornece o essencial do benefício que se pode tirar dos métodos ativos. Os métodos intuitivos conseguem fornecer, simplesmente, aos alunos, imagens dos objetos ou acontecimentos, porém sem conduzir a uma realização efetiva daqueles. Este método clássico, que "renasce das cinzas" no período de 1935 a 1965, representa, na verdade, um progresso em relação ao ensino puramente verbal ou formal. Os métodos programados ou máquinas de ensinar fundamenta-se na ideia do estímulo-resposta. O princípio desta proposta de Skinner para o ensino é que: Dadas as definições, o aluno logo de início deve extrair as consequências corretas e, para isto, deve escolher entre duas ou três soluções que a máquina lhe oferece. Se ele escolhe a boa (pressionando um botão), o trabalho continua; caso ele se engane, o trabalho recomeça (PIAGET 1998).

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Sendo assim, a cada informação nova fornecida pela máquina o aluno tem direito de escolha que possa provar o seu entendimento, esse processo pode se repetir quantas vezes sejam necessárias e com progresso ininterrupto, em caso de êxito constante. Não importa se trata de raciocínio puro ou simples memória. Os métodos de ensino programado, muitas vezes, são desvalorizados pelo fato de, em vez de construírem programas com base na compreensão progressiva, apenas transpõem, em termos de programação mecânica, o conteúdo dos livros escolares.

4.2. A aprendizagem A aprendizagem é uma modificação relativamente duradoura do comportamento, através de treino, experiência e observação, enfim através de ensino. Este processo de aprendizagem começa com o nascimento ou talvez até antes. O processo de aprendizagem pode ser cumulativo ou não cumulativo, mas sim integrativo. Isto é, a aprendizagem pode se dar pela acumulação de conhecimentos ou pela modificação de conhecimento anterior após aprender o novo. No caso da aprendizagem em Matemática, ela é cumulativa. A aprendizagem poderá se dar de três formas: cognitiva, afetiva e motora. A aprendizagem cognitiva varia em complexidade, desde as informações curtas e memorizadas, como datas, acontecimentos etc., até a compreensão profunda de conhecimentos organizados à capacidade de avaliá-los e aplicá-los.

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A aprendizagem afetiva corresponde a preferências, sentimentos, atitudes e valores. Quando prefere-se uma sala limpa a uma sala suja, isto ocorre porque aprendeu-se a gostar da limpeza. Outros, porém, pode ter aprendido a sentir-se bem na sujeira. Já a aprendizagem motora ocorre quando a pessoa aprende hábitos e habilidades. O desenvolvimento cognitivo do ser humano, segundo PIAGET (1998), acontece em estágios. Ele esquematizou este desenvolvimento em quatro estágios: estágio sensório-motor (0 a 2 anos), estágio pré-operacional (2 a 6 anos), estágio de operações concretas (7 a 11 anos) e o estágio de operações formais (12 anos em diante). As crianças que estudam no 6º ano encontram-se no terceiro estágio, onde as operações mentais ocorrem em resposta a objetos e situações reais. Sendo assim, o professor de Matemática deve esforçar-se para que o aluno entenda o conteúdo, levando em consideração que a criança usa a lógica e o raciocínio de modo elementar, mas somente os aplica na manipulação de objetos concretos. Segundo PIAGET (1998), as crianças antes da idade de 11 ou 12 anos, só têm condições de realizar as operações concretas. Isto é com objetos tangíveis, passíveis de serem manipulados. Por isso, quando se pede para as crianças raciocinarem sobre hipóteses simples com enunciados puramente verbais dos problemas, logo fracassam. Por exemplo: se diz que João é mais baixo que Pedro e que João é mais alto que José. E pergunta-se: quem é mais alto dos três? Essas crianças têm dificuldade em dar a resposta certa.

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Com base nessas afirmações, podemos pensar que as crianças sentem dificuldades, de resolver, na escola, problemas de aritmética, embora elas dependam de operações bem conhecidas, pelo fato de receberem informações incompatíveis com seu desenvolvimento mental. Porém, se manipulassem objetos para realizar estas operações se sairiam bem melhor, pois raciocinariam sem obstáculos. Mas geralmente, na escola, o problema para o aluno resolver neste estágio, é dado em linguagem verbal ligado a simples hipóteses sem realidade efetiva. Para BARALDI (1999), o maior problema da aprendizagem escolar está na utilização de recursos que favoreçam a estrutura cognitiva do aluno, de modo a tornar significativo o material aprendido. As pessoas costumam pensar que para resolver o problema do ensino basta que se troque o método de ensino de 60

aulas expositivas pelo método do ensino por descoberta ou outra modalidade qualquer. Mas este problema não será resolvido desta forma e sim com planejamento, verificando-se o que cada um dos métodos tem como horizonte de probabilidades. O ensino por descoberta é um meio do aluno aprender a construir os conceitos, os princípios que neste tipo de ensino não são mostrados para eles explicitamente, mas, sim, dados problemas para que através desses problemas eles construam os conceitos. Assim, o aluno tem a oportunidade de fazer organizações entre situações e conceitos a fim de produzir novos conceitos, e buscar a generalizações desses novos conceitos. Daí, o próprio aluno, a partir de suas ideias, existentes em sua estrutura cognitiva, faz relações semelhanças e diferenças entre os conceitos, cabendo a ele o processo de construção do

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conhecimento e não somente seu produto final. Portanto, a aprendizagem por descoberta oportuniza o aluno não somente a adquirir um conceito, mas, sim, de resolver problemas e estimula-o a compreender a estrutura fundamental de um conceito. A tarefa de ensinar não é fácil, vários fatores influenciam nesta caminhada, mas é necessário e importante tentar encontrar um meio que se possa diminuir essas dificuldades.

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CAPÍTULO 5 Procedimentos metodológicos

Para captar subsídios e contribuir com o debate e a discussão sobre o fenômeno da repetência escolar, analisou-se a influência da metodologia do professor de matemática com este fenômeno, segundo a visão de alunos e professores. Este estudo caracterizou-se como um estudo exploratório, que buscou informações para conhecer melhor o fenômeno da repetência. Para a efetivação deste estudo utilizou-se, metodologicamente, as abordagens qualitativas e quantitativas, pois muitos autores defendem que a análise qualitativa possa ser feita a partir de dados quantitativos, e que as duas devem convergir na complementariedade mútua.

Esses autores consideram que é necessário superar as oposições que subsistem nas pesquisas em ciências humanas e sociais, e apontam que se pode fazer uma análise qualitativa de dados estritamente quantitativos ou que o material recolhido com técnicas qualitativas pode ser analisados com métodos quantitativos, como é o caso de análise de conteúdo (CHIZZOTTI, 2001).

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O aspecto qualitativo de uma investigação pode estar presente em informações colhidas essencialmente pela abordagem quantitativa. E o qualitativo muitas vezes quantifica-se para que melhor se adeque a investigação. Na década de 70, a partir de novas orientações filosóficas, novas técnicas e novos pressupostos, é que, segundo LUDKE (1986), começou a ser utilizada nas pesquisas em educação a abordagem qualitativa. Antes as pesquisas em ciências sociais seguiam o modelo das ciências naturais, ou seja, a abordagem quantitativa dominava as pesquisas em geral. Para RASIA (2000),

Na abordagem qualitativa, o trabalho de campo favorece a uma aproximação do fenômeno estudado, bem como à criação de um conhecimento partindo da realidade presente no campo, ou seja, envolve a obtenção de dados e interpretações obtidas no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatizando mais o processo do que o produto e se preocupando em retratar a perspectiva dos participantes.

Estar próximo ao fenômeno estudado facilita a percepção do cotidiano que, muitas vezes, é feito de muitas faces e facilita a interpretação dos dados, pois foi obtido em contato direto com o sujeito. Por isso foi feita, também, opção, por este tipo de abordagem.

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5.1. Características da escola

A Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Ivo Sales da Silva 3, na qual realizou-se a pesquisa, funciona nos três turnos, desde o ensino fundamental a partir do 6º ano até o ensino médio. Nesta escola, no ano de 2000, o número de alunos matriculados foi de 1.418, sendo 1.146 no ensino fundamental e os demais alunos matriculados no ensino médio. Esta escola possui 15 salas de aulas onde funcionam 40 turmas nos três turnos, com uma média de 35 alunos matriculados em cada turma. Tem também uma biblioteca que atende satisfatoriamente aos alunos. Os professores possuem um horário para o EPA (Estudos, Planejamentos e Atendimento ao aluno). Neste horário, os professores aproveitam para planejar suas atividades. A escolha desta escola foi feita porque é uma escola estadual. Além disso, funciona no sistema CEPES (Centro Paraibano de Educação Solidária), implantado no ano de 1998, no qual os professores são submetidos a um regime de quarenta horas semanais de trabalho, em dois turnos diários. Os professores têm um encargo de, no máximo, vinte horas-aulas semanais e o restante do tempo, dedicam-se ao preparo de suas atividades de ensino, atendimento pessoal ou em grupo de alunos etc. Devido à implantação do sistema CEPES, o salário dos professores desta escola é quase o dobro dos salários de outros professores de outras escolas estaduais. As salas de aulas dessa escola são boas e bem ventiladas, acomodando os alunos de forma satisfatória. _______________ 3

Nome fictício para preservar o nome da escola

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Nesta escola, também é oferecido merenda para todos os alunos.

5.2. Características dos Sujeitos Os sujeitos desta pesquisa são alunos da 5ª série e professores de matemática que lecionam na escola Ivo Sales da Silva. Esses alunos têm uma média de idade de 17 anos, conforme tabela abaixo:

Tabela 1 - Distribuição dos sujeitos (alunos) segundo a idade

Com essa média de idade, esses alunos já deveriam estar terminando o Ensino Médio. Desta forma, estão prejudicando sua formação para o mercado de trabalho e, provavelmente, estão ocupando a vaga de outros alunos que poderiam estar na escola. Portanto, este fato faz com que os poderes públicos sejam obrigados a cada vez mais construir mais salas de aulas para abrigar o contingente de alunos desse nível escolar.

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Com base nos dados coletados e apresentados na tabela 2, percebe-se que 55,56% destes alunos moram juntos com 6 ou mais pessoas, demonstrando, assim, que, provavelmente no local de sua moradia, dispõe para si de um espaço físico limitado, que muitas vezes não oferece condições de realizar seus estudos extraclasse. Tabela 2 - Número de pessoas que moram juntos com o aluno

Em relação a se o pai trabalha, observa-se de acordo com o resultado da tabela 3 que aproximadamente 65% dos pais dos alunos trabalham, aproximadamente 30% não trabalham e que aproximadamente 4,8% não respondeu.

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Tabela 3 - Número de alunos que o pai trabalha

Em relação a se a mãe trabalha, obteve-se:

Tabela 4 - Número de alunos que a mãe trabalha 67

Observando a tabela 4 verifica-se que aproximadamente 70% das mães dos alunos não trabalham apenas 28,5% trabalham e que aproximadamente 1,6% não respondeu.

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Já os professores, também sujeitos desta pesquisa, que lecionam Matemática na escola Estadual Ivo Sales da Silva, de acordo com os dados da tabela 5, têm formação acadêmica superior, porém apenas um tem formação em Matemática. Sendo, predominante, a formação em Licenciatura em Ciências Agrárias com 37,5%, e, em segundo lugar, com 25%, vem o curso de Cooperativismo, ambos oferecidos pela UFPB, na cidade de Bananeiras. Cabe esclarecer, no entanto, que o curso Cooperativismo foi extinto em 1990 sendo criado em seu lugar o curso de Administração com habilitação em Cooperativas.

Tabela 5 - Formação Acadêmica dos Professores

Em relação a quantidade de anos que os professores têm de magistério, obteve-se os dados a seguir:

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Tabela 6 - Quantidades de anos de magistério

Com base nos dados apresentados na tabela 6, verifica-se que estes professores estão atuando no magistério, no mínimo a 15 anos, e 62,5% dos pesquisados estão há 20 anos ou mais em pleno exercício do magistério. Estes dados demonstram que estes professores são bastante experientes e são estáveis na escola. E em relação ao tempo que estes professores lecionam Matemática obtivesse as seguintes informações:

Tabela 7 - Quantidades de anos que lecionam matemática

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A tabela acima demonstra que os professores estão ensinando Matemática, no mínimo, há 12 anos, com 62,5% com mais de 19 anos de atuação. Isto indica que estes professores têm boa experiência no ensino de Matemática.

5.3. Instrumentos de coletas de dados O instrumento utilizado nesta pesquisa para coleta de dados foi o questionário. Optou-se por este tipo de instrumento por entender que esta seria a melhor forma de coleta os dados, pois este se constitui, segundo CHIZZOTTI (2001), em uma interlocução planejada. Estes questionários foram compostos de perguntas abertas e fechadas, tanto para os professores quanto para os alunos. Para aplicação dos questionários aos alunos, foram escolhidas aleatoriamente, de acordo com BARBETTA (2001), três turmas de 5a séries, sendo uma turma de cada turno. Aplicou-se o questionário em cada turma, coletivamente, já que é um instrumento que permite obter informações de um grande número de pessoas ao mesmo tempo. Foi realizada no horário escolar e não foi requisitado que os alunos se identificassem, sendo aplicados a 63 alunos de um total de 415 alunos da 5a série. Para os professores, foi aplicado o questionário com todos que lecionam Matemática na referida escola, num total de oito professores, e, também, não foi pedido que se identificassem. A opção de trabalhar com alunos da 5ª série do ensino fundamental se deu pelo fato desses alunos, nesta fase, estarem saindo da fase da "tia" (primeira

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fase do ensino fundamental) e passarem a conviver com vários professores e várias formas de transmissão de conteúdo. Passando por uma transformação tanto no nível físico, quanto nos níveis psicológico e social que, segundo CARVALHO (2000), de modo algum, os professores que atuam nesta série podem deixar de lado, devido sua relevância no processo ensino-aprendizagem. Pensa-se que, desta forma, contribui-se melhor com o trabalho pedagógico.

5.4. Análises dos dados A análise dos dados tem por objetivo, segundo CHIZZOTTI (2001), propor uma explicação do conjunto de dados coletados, a partir da percepção ou observação da realidade. Nesta pesquisa, foi feita uma análise quantitativa e qualitativa do material coletado através do questionário aplicado a professores e alunos, pois, segundo o autor supracitado, Algumas pesquisas qualitativas não descartam a coleta de dados quantitativos, principalmente na etapa exploratória de campo ou nas etapas em que estes dados podem mostrar uma relação mais extensa entre fenômenos particulares.

Seguiu-se estes procedimentos por entender que este processo é o mais adequado para compreender o significado manifestado pelos sujeitos da pesquisa. Nos capítulos que se seguem, apresenta-se uma descrição dos dados, agrupados em temas de acordo com os objetivos do estudo, fazendo-se análises dos dados em que os sujeitos discorrem sobre a técnica de ensino que é usada

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em sala de aula, as dificuldades que encontram para que haja uma boa aprendizagem e a repetência escolar como consequência da insatisfatória aprendizagem.

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CAPÍTULO 6 Percepção dos professores e alunos sobre as estratégias de ensino

Neste capítulo discute-se a aula expositiva como forma de transmitir conhecimentos, bem como, a visão de professores e alunos sobre esta técnica de ensino, a partir de dados coligidos em sala de aula, na qual procura-se manter um comportamento neutro, dando assim total confiança na capacidade dos sujeitos pesquisados. Nas atividades propostas a desenvolver, ao se estabelecer os objetivos a serem alcançados, o próximo passo é definir o caminho ou estratégia a seguir para fazer com que se consiga esta meta, pois só através de estratégia é que se perseguem os objetivos estabelecidos. Na educação não é diferente. No entanto, a estratégia deve ser encarada como um meio e não como um fim, havendo sempre a possibilidade do professor alterá-la, caso seja necessário para atingir os objetivos. E não ficando, como não devia ficar, refém, como se ela fosse definitiva, imutável. A passagem do aluno de um estágio a outro não quer dizer que o aluno vá ser manipulado pelo professor, mas que sua liberdade seja respeitada.

A metodologia do ensino, de modo geral, deve conduzir o educando a autoeducação à autonomia, à emancipação intelectual, isto é, deve leva-lo a andar com suas próprias pernas e a pensar com sua própria cabeça (NÉRICI, 1989).

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Por isso, considerando que o homem é consciente de que é livre para realizar escolha em cada situação, o aluno deve gozar de liberdade para pensar e agir, não de forma anárquica, pois esta não faz sentido em educação, mas sim orientada para aquelas metas consideradas válidas para ele e a sociedade, pois não se deve esquecer que a escola forma cidadãos para servir a nação. BORDENAVE E PEREIRA (1998) diz que:

A seleção de atividades de ensino-aprendizagem é importantíssima, porque dela dependerá o aluno crescer ou não como pessoa. Porque enquanto o conteúdo da matéria informa, os métodos formam.

Sendo assim, o método que o professor usa em sala-de-aula é o que fará o aluno sentir e viver a liberdade. Portanto, ele lhe ensinará a ser livre ou ser dominado. Na Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Ivo Sales da Silva, o método adotado pelos professores de Matemática para ministrar suas aulas é o tradicional, com aulas expositivas. Esta técnica é mais conhecida pelos professores em geral e mais largamente utilizada; essa excessiva utilização e as novas teorias de ensino, salientando a importância da construção ativa, dar uma certa sensação de que esta técnica está fora de uso. Mas, na realidade isso, não é verdade e é preciso desfazer este equívoco. Portanto, para colaborar com esta discussão perguntou-se, aos professores da escola citada, o que seu aluno precisa saber para aprender o conteúdo de sua matéria e se a aula expositiva era suficiente para que o aluno aprendesse.

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Em relação a que os alunos precisam saber, responderam:

Analisando-se as respostas, encontrou-se que a metade dos professores consideram que o aluno, para aprender o conteúdo de sua matéria, precisa saber as quatro operações aritméticas. Além disso, um deles disse que o aluno deveria ter uma boa base, sem esclarecer os conteúdos desta. Apenas três professores se referiram a outras questões, que não fosse ter conhecimentos anteriores. Isso demonstra, segundo as respostas dos professores, que estes alunos estão na 5ª série sem ter aprendido o básico necessário para seguir em frente.

_______________ 4

Pi refere-se ao professor i, i = 1, 2, 8.

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Mas, então pergunta-se: como estes alunos conseguiram chegar até a 5ª série? Pode-se talvez sugerir, que houve falha no processo de ensino aprendizagem destes alunos nas séries anteriores a que atualmente eles estão. Mas este problema pode ser superado desde que o professor atual deste aluno, ensine o conteúdo a partir do que ele aprendeu, pois para AUSUBEL apud BARALDI (1999) o que influencia a aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe, portanto deve-se pensar assim e procurar corrigir estas falhas para que o aluno possa seguir em frente em melhores condições do que se encontra atualmente. Já em relação se a aula expositiva era suficiente, responderam:

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Para

estas respostas

dos professores

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encontrou-se

que

75%,

responderam que este método não é suficiente para que seus alunos aprendam, sendo necessário que se utilize de outras maneiras. Um dos professores respondeu que em parte, a aula expositiva era satisfatória. E outro professor respondeu que a aula expositiva era suficiente para o aluno aprender. Este professor é o único com formação acadêmica em Matemática, ele é bacharel em Matemática. No entanto, para D'AMBRÓSIO (1998), a aula expositiva não deve dominar todo o programa de um curso. Quer dizer, esta técnica não deve ser única, mesmo assim seu uso de maneira qualificada pode dar bons resultados. Mas, mesmo com essa possibilidade, o professor, ao lecionar Matemática, não deve deixar de ir buscar outras formas de ensino que favoreçam a aprendizagem do aluno. 77

Por outro lado, perguntou-se aos alunos repetentes e não repetentes se a forma como o professor expõe o conteúdo dificulta sua compreensão, e o resultado foi o seguinte: Tabela 7 - Opinião dos alunos a respeito da metodologia do professor (Alunos não repetentes)

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Observando os dados da tabela 7 verifica-se que 32% dos alunos que não são repetentes consideram que a metodologia é a causa de não entender o assunto, enquanto 68% não consideram. O percentual dos alunos que consideram é bastante alto, tendo em vista que estes alunos não são repetentes. Na opinião dos alunos repetentes, encontrou-se os seguintes dados:

Tabela 8 - Opinião dos alunos a respeito da metodologia do professor (Alunos repetentes)

Observando os dados acima verifica-se que 61,5% dos alunos consideram que a forma como o professor expõe o conteúdo é a causa de não entendê-lo, enquanto 38,5% não consideram. Com o intuito de verificar a relação entre ser ou não repetentes e as opiniões expressadas acima, aplicou-se o teste qui-quadrado ao nível de significância de 5% com n.g.l.=1 encontrando-se  2 cal = 3,83 e  2 tab. = 3,84. Daí, conclui-se que estas opiniões independem dos alunos serem ou não repetentes.

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Analisando as respostas dos professores e o que os alunos responderam sobre a forma como o professor expõe o conteúdo, existe um ponto comum de que esta forma precisa mudar ou ser melhorada, pois não satisfaz nem aos professores nem aos alunos. A aula expositiva pode ser definida de várias formas, uma dessas formas é a seguinte: Aula expositiva é o período de ensino que é total ou parcialmente tomado com a apresentação de informações pelo expositor. Nesse período podem ocorrer perguntas ou pequenas discussões, mas o principal é que o receptor não tem nada a fazer a não ser ouvir e tomar notas. (KELLY, 1976 apud FARIA, 1989)

Muitas críticas têm sido feitas a essa estratégia de ensino, que é desprestigiada na literatura pedagógica, mas não na prática. Para muitos, defensores de outros métodos de ensino, essa estratégia de ensino não faz com que o aluno aprenda o conteúdo exposto. Isso acontece talvez, devido ao uso inadequado dessa estratégia. Neste tipo de aula, o ritmo do aluno é importante, pois ele tem que escutar a preleção e anotar o que foi apresentado. Neste caso, quando o aluno tentar anotar tudo, pode desviar sua atenção da aprendizagem, executando apenas a tarefa de anotar dados.

O causador desse comportamento nocivo pode ser o próprio professor, quando faz o aluno depender das anotações para estudo e desempenho em provas. Segundo Novak (1981) tal tipo de inconveniente penaliza especialmente os alunos de fraca estrutura cognitiva, decorrendo a necessidade de estudo individual posterior, com vistas a recuperar o que não foi adquirido em sala de aula. (FARIA, 1989).

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Esse problema pode ser atenuado de várias formas: uma das formas é que o professor distribua com os alunos, no início da aula, o resumo escrito da preleção, neste caso o aluno ficaria com toda atenção voltada para o professor; outra forma é o professor, no preparo das aulas, verificar em que momento serão necessários apoios de objetos para auxiliar em sua metodologia, compatíveis com o nível de desenvolvimento cognitivo do aluno; por fim, lembrar que, segundo D'AMBRÓSIO (1998), "a aula expositiva não significa um professor falando e o aluno ouvindo passivamente durante 50 minutos". Sendo assim, esta técnica não deve ser única, mas seu uso de maneira adequada pode proporcionar bons resultados. Cabe ao professor a tarefa de buscar está melhor maneira. Segundo PIAGET (1998), o problema pedagógico fundamental no ensino é saber a melhor maneira de expor os conteúdos de forma que os alunos assimilem e retenham, porque o importante no processo de percepção é permitir transformar o desconhecido em conhecimento. Já HERBART (1904) apud PIAGET (1998) destaca que neste processo é preciso respeitar os períodos de desenvolvimento, a individualidade dos alunos ou, principalmente, o interesse, pois só assim os resultados da aprendizagem podem ser satisfatórios.

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Logo, é importante que o professor reflita sobre o uso convenientemente da

aula

expositiva

preparando-se

para

mesma,

identificando

seus

conhecimentos, as operações envolvidas para a compreensão e que recursos de apoio, ou maneiras distintas de desenvolvê-la que possam fazer com que os alunos tenham uma boa aprendizagem. D'AMBRÓSIO (1998) propõe que numa aula de 50 minutos, para que ela se torne mais atraente, o professor siga o seguinte esquema baseado em cinco etapas: 1. Apresentação/ introdução (no caso de conferência ou de primeira aula, é importante que o expositor seja apresentado ou se auto apresente. No caso de curso, isso se faz na primeira aula. Nas aulas seguintes, esse período é usado para comentar relatórios de aula anterior: cinco minutos ou 10% do tempo); 2. Exposição (formal, com transparência e outros recursos: 25 minutos ou 50% do tempo): 3. Diálogo (os assistentes conversam entre si, socializando suas observações e reflexões num grupo pequeno, os seus mais próximos: cinco minutos ou 10% do tempo); 4. Questões ao expositor (a sessão clássica de perguntas e respostas: dez minutos ou 25% do tempo); 5. Exposição final (fechamento do tema: cinco minutos ou 10% do tempo).

O esquema de distribuição de tempo proposto parece ser uma coisa desnecessária, mas o fato é que a estratégia de condução de uma aula é muito importante. Por isso ela deve ser explicitada no início da aula, evitando-se assim as interrupções durante a apresentação.

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Cabe salientar que o professor é livre para escolher o melhor caminho a seguir como estratégia de condução de sua aula, no entanto, o que foi apresentado acima é apenas uma proposta com o intuito de colaborar com o professor na escolha da melhor estratégia em sala de aula. No capítulo seguinte, completa-se as informações com as opiniões dos alunos e professores sobre dificuldades encontradas no processo ensino-aprendizagem.

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CAPÍTULO 7 Dificuldades no processo ensino-aprendizagem – segundo percepção dos professores e alunos.

Neste capítulo, discute-se as dificuldades que os professores percebem nos seus alunos para entender o conteúdo ministrado, bem como as dificuldades que eles encontram em sala de aula, como também as dificuldades que os alunos afirmam ter para assimilar os conteúdos ministrados. Um dos grandes desafios enfrentados pelos sistemas educacionais tem sido o grande número de alunos que evadem ou repetem de ano, decorrente de dificuldades de aprendizagem. Isto é, como diz ROSS (1979) apud PENTEADO e ROCHA (1980) "a discrepância entre o que presume-se que uma criança seja capaz de aprender, sob condições comuns de sala de aula, e o que efetivamente realiza". Ressalta-se, porém, que estes alunos não sofrem de problemas de desenvolvimento intelectual, portanto são crianças normais em idade escolar que não conseguem bons resultados escolar. A dificuldade de aprendizagem é um problema complexo, muitas vezes confundido com excepcionalidade. A fim de superar estas barreiras, busca-se procedimentos múltiplos, além de tentar conscientizar pais e professores, sobre a natureza do problema e comportamento adequado, em relação à criança.

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Neste trabalho, procurou-se ouvir os professores de Matemática para saber, na opinião deles, quais eram as dificuldades dos alunos para entender o conteúdo de Matemática. E segundo os professores as dificuldades são:

Nas respostas dos professores, encontrou-se que aproximadamente 63% dos professores, incluindo aquele que respondeu operações com números, consideram que a maior dificuldade dos alunos é a falta de base. Além, também, de dificuldades na interpretação, falta de interesse, falta de assimilação e até a LDB (pela dificuldade em reprovar com esta nova lei). Para essas dificuldades, os professores apontaram como causa:

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Observando-se o que os professores afirmam sobre as causas das dificuldades dos alunos, encontrou-se que 63% deles consideram o ensino deficiente em séries anteriores como a maior causa. Consideram também, a falta de aprendizagem em série anterior e a origem destes alunos, que muitos vêm de escolas municipais da zona rural, com diversos entraves na realidade que encontra na escola na zona urbana e até a falta de interesse por parte do aluno. Percebe-se que os professores responsabilizam o ensino que o aluno recebeu e o próprio aluno, eximindo-se de qualquer responsabilidade por esta situação, esquecendo-se de que ele faz parte do processo e que, futuramente, poderá vir a ser responsabilizado pelo não sucesso do aluno.

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Mas será que existe culpado por este ensino deficiente? PAULOS (1994) aponta que: Parte da culpa pelo ensino geralmente deficiente nas escolas primárias deve caber em última análise aos professores, que não são suficientemente competentes, e têm com excessiva frequência pouco interesse ou apreço pela matemática. Por outro lado, parte da culpa cabe, a meu ver, aos cursos de licenciatura nas faculdades e universidades, que dão pouca ou nenhuma ênfase à matemática em seus currículos de didática.

A formação deficiente dos professores para exercer o magistério não é de forma alguma culpa deles, mas sim de um sistema de educação deficiente. O autor supracitado aponta que:

Uma solução parcial seria cada escola de ensino fundamental de 1ª a 4ª série (1º ao 5º ano) contratar um ou dois especialistas em matemática, que passariam de sala em sala durante o dia escolar, suplementando (ou ensinando) o currículo de matemática (PAULOS, 1994).

Os professores colocam o problema como sendo de responsabilidade do aluno ou do ensino recebido por este, anteriormente. Mas se o aluno apresenta essas dificuldades, não é responsabilidade da escola, juntamente com os professores, buscar a solução?

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Por isso, em relação a essas dificuldades, procurou-se saber quais os procedimentos que os professores adotavam para superá-las. Os professores afirmaram que:

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Verifica-se que os professores buscam meios para que os alunos possam superar estas dificuldades, fazendo revisões de assuntos que porventura estes alunos não tenham visto anteriormente. Mesmo com esses meios em busca de superar as dificuldades, os professores foram unânimes em afirmar que devido a estas dificuldades houve reprovação em suas turmas, isto significou que alguns alunos não conseguiram superar suas dificuldades trazidas do ensino fundamental de 1a a 4a série que foi deficiente, segundo os professores sujeitos desta pesquisa, em relação a disciplina matemática. WOOD (1996) aponta que:

Na matemática, a atenção tem que ser 'conquistada'. As crianças que acham difícil dominar os primeiros estágios do que lhes é ensinado podem, à medida que as aulas vão abordando tópicos cada vez mais difíceis, perceber e memorizar menos do que as crianças que estão indo relativamente bem.

Em um grupo grande de crianças de capacidades de aprendizagens variadas, aquelas menos espertas correm o risco de ficarem cada vez mais para traz. É o caso das crianças acima, que segundo os professores não conseguiram se recuperar. Nas dificuldades apresentada, os professores as relacionam aos alunos, mas quais as principais dificuldades que encontram para ministrar suas aulas? Os professores afirmaram que tem dificuldades:

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Nas respostas encontrou-se que 50% dos professores colocam que sua grande dificuldade é a falta de materiais didáticos. Isso demonstra as políticas dos sucessivos governos com a educação que é de desmonte das escolas públicas fazendo com que o filho das pessoas mais carentes não tenha um ensino de boa qualidade e, consequentemente, muitos deles nunca cheguem a cursar universidade. Pois, em pesquisa realizada por Ribeiro (1993) apud Silva et al. (1997) de cem crianças que ingressam na 1ª série do ensino fundamental, no Brasil, apenas três terminam um curso de graduação, sem repetência.

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Foi afirmado, também, por alguns professores, que sua maior dificuldade é devido às turmas serem numerosas e a heterogeneidade delas, fazendo com que alguns alunos fiquem para trás não acompanhando o ritmo dos demais alunos. A falta de interesse por parte dos alunos é outra dificuldade que eles têm enfrentado em sala de aula. Os professores colocam a responsabilidade das dificuldades na aprendizagem aos alunos. Mas, segundo PIAGET (1998), " O interesse é o resultado da percepção". Talvez a falta de interesse dos alunos se dê pelo fato deles não estarem assimilando o conteúdo. Para

aprendizagem

escolar,

professor

deve

adequar

possibilidades, necessidades ao interesse dos alunos, respeitando ao máximo a especificidade dos objetivos e dos conteúdos, pois considera-se um problema pedagógico o fato de se encontrar a melhor maneira de fazer com que o aluno se aproprie de conhecimentos, considerando seu nível de competência operatória. Para COLL (1995), constatado um déficit na aprendizagem escolar, pode ter havido no mínimo três causas:

O conteúdo a ser aprendido supera a competência intelectual média dos alunos, que não podem assimilá-lo, e o mais prudente é deixá-lo para mais tarde; a complexidade conceitual do conteúdo não excede as possibilidades intelectuais dos alunos o que atribuir-se o déficit a outros fatores como, por exemplo, a metodologia didática utilizada; finalmente, em alguns alunos, o 'déficit de aprendizagem pode estar parcialmente ligado a um déficit operatório.

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Na aprendizagem, em todo caso, o ponto de partida deve ser o sujeito receptor (aluno), e não o conteúdo a ser ministrado. Adequando-se este, a possibilidades, competência intelectual do sujeito, bem como observando seu déficit operatório. PIAGET (1998) aponta que a educação tradicional dada nas escolas sempre tratou a criança como adulto, no entanto, é fundamental que a escola saiba a estrutura de pensamento da criança e as relações entre a mente infantil e a do adulto. Bem como, a construção do conhecimento, por parte dos alunos, deve ser conhecido, se possível, em detalhes, para que se possa adequar os conteúdos escolares ao nível dos alunos. Como também, para poder intervir, eficazmente, no processo de aquisição destes conteúdos, pois sabe-se que a aprendizagem de cada aluno é individual, cada aluno aprende num ritmo, uns 91

mais rápidos que outros, dependendo de suas capacidades, habilidades e experiências prévias. COLL (1999) aponta que:

A teoria genética nos diz que o aluno, como qualquer ser humano, constrói seu próprio conhecimento através da ação; consequentemente, os processos educacionais devem respeitar e favorecer ao máximo a atividade do aluno.

Os professores devem conhecer esta teoria e levar em consideração em seus planejamentos a construção do conhecimento por parte dos alunos, como forma de obter um melhor aproveitamento em seus objetivos, proporcionando uma melhor aprendizagem a seus alunos.

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WOOD (1996) nos diz que:

Uma das mensagens mais importantes de Piaget às pessoas envolvidas com educação é certamente a de que as crianças são naturalmente motivadas a aprender (e a auto instruir-se). Se as crianças não corrigem os próprios esforços perdem 'motivação' e acham difícil prestar atenção, concentrar-se e autorregular-se, como parece ser o caso de muitas delas em matemática, o melhor que temos a fazer antes de resolver atribuir os 'fracassos' exclusivamente a características das crianças, é dirigir a atenção para os fatores internos da sala de aula.

Analisando a questão da aprendizagem e da motivação, percebe-se que se as crianças parecem ser competentes enquanto aprendizes em áreas como: artes, músicas etc., por que parecem carecer de motivação e capacidade em outras áreas? Como, no caso, da disciplina Matemática? Será por que o aluno, neste caso, é muito dependente do pensamento do professor? Nesta questão, ouviu-se, também, os alunos para saber quais as suas dificuldades para entender o conteúdo da disciplina matemática. De acordo com a tabela 9, verifica-se que 24% destes alunos consideram que a maior dificuldade é o próprio entendimento do conteúdo, seguido de falta de atenção com 18% e falta de conhecimento anteriores com 10 %. Observa-se ainda que 6% consideram que o professor leciona muito rápido.

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Tabela 9 - Dificuldades em entender o conteúdo segundo os alunos não repetentes

Analisando estes dados, verifica-se que, segundo os alunos, de uma forma ou de outra eles estão tendo dificuldades devido à maneira como o professor ministra suas aulas, pois quando o aluno diz que sua dificuldade é entender o conteúdo, acredita-se ser porque a forma como o professor ministra suas aulas não está sendo de forma a fazer com que isso aconteça. Portanto, diante dessas afirmações o professor deve ir em busca de uma maneira adequada que minimize essas dificuldades em sala de aula.

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Em relação aos alunos repetentes, as dificuldades de maior peso foram, com 23,07%, o assunto que o professor ministra, considerando "difícil", já 15,38% deles consideram que sua maior dificuldade é porque não gostam de matemática, outros 15,38% afirmam que sua maior dificuldade é a falta de atenção. A seguir a tabela 10, com os resultados

Tabela 10 - Dificuldades em entender o conteúdo segundo os alunos repetentes

Observando estes dados e comparando com os dados dos alunos não repetentes verifica-se que as dificuldades são praticamente as mesmas, estando

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elas ligadas sempre, de alguma forma, com a dificuldade em entender o conteúdo, que é resultado da maneira como o professor ministra suas aulas.

PAÍN (1992) afirma que:

Os problemas de aprendizagem estão frequentemente ligados a perturbações precoces que determinaram a inibição dos processos ou o predomínio de um dos momentos sobre o outro, impedindo a integração que possibilita a aprendizagem.

Diagnosticado, como foi feito antes, o problema da aprendizagem destes alunos, a meta agora a seguir é ir buscar caminhos que eliminem este problema pois apenas diagnosticar não faz com que o problema fique resolvido. Para PENTEADO e ROCHA (1980), o diagnóstico das dificuldades é uma etapa fundamental, porém não é uma condição necessária e suficiente para a solução. Deve-se buscar estratégia para a remediação, tais como, geralmente sugerem os psicólogos, que os pais se envolvam mais acompanhando o desenvolvimento de seu filho na escola num programa de correção dessas dificuldades, mostrando que a melhoria pode ocorrer também numa situação normal de sala de aula. O diagnóstico das dificuldades e o programa para corrigi-las faz parte apenas de uma ação mais geral da educação que tivesse por objetivo uma mudança no ensino, que está mais voltado para o domínio de conteúdo, que muitas vezes está desatualizado e desligado da realidade de muitos alunos

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fazendo com que estes achem os assuntos ministrados desinteressantes. Tudo isso, segundo as autoras supracitadas, em detrimento de desenvolvimento de processos mentais, de estratégias cognitivas, de habilidades intelectuais e de capacidades básicas para a aprendizagem. Para VALETT (1977) apud PENTEADO e ROCHA (1980) é necessário que se ofereça aos alunos uma estrutura ambiental adequada acompanhada de amplas oportunidades de aprendizagem, seguida de:

- crença na educação como meio para a auto realização e o desenvolvimento humano integral; - crença na importância do desenvolvimento de capacidades e habilidades cognitivas, afetivas e psicomotoras; - crença na existência de estádios de desenvolvimento e na importância das habilidades senhoriais, motoras e perceptivas e de sua integração para a aprendizagem simbólica; - crença na necessidade de identificação precoce, na análise da aprendizagem e do comportamento, no desenvolvimento de capacidade e programas específicos de aprendizagem, como um meio de prevenir distúrbios; - crença no valor de uma estrutura ambiental adequada e oportunidades para aprendizagem corretiva para todos, ao mesmo tempo em que se deve estimular o progresso contínuo voltado para objetivos realistas; - crença na importância fundamental do desenvolvimento de habilidades e recursos pessoais únicos, autoestima e vontade própria, considerados componentes essenciais de todos os programas de remediação.

As dificuldades na aprendizagem dos alunos é um problema complexo que envolvem várias variáveis e que, mesmo com este trabalho, o problema não estar solucionado. É necessário e importante que se encontre um caminho que

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minimize este grave problema da educação, com vários outros estudos e programas.

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CAPÍTULO 8 A repetência em matemática: causas apontadas pelos professores e alunos

Neste capítulo, discute-se as causas da repetência por reprovação, levando em consideração as respostas dos professores e alunos, que de acordo com os quesitos 11 e 7 dos apêndices 01 e 02, respectivamente, indagou-se aos professores e alunos as possíveis causas da repetência. A seguir, apresenta-se uma síntese das causas apontadas pelos professores. Nessas respostas dos professores percebeu-se que 75% consideram a falta de interesse por parte do aluno como principal responsável pela repetência dos alunos, além da falta de compromisso, uma preparação deficiente nas séries anteriores e a origem social do aluno. Desta forma, os professores responsabilizam o aluno pelo seu fracasso escolar. O professor e a escola, de acordo com este discurso, estão fora de qualquer responsabilidade pela repetência do aluno. Mas o professor e a escola devem admitir que ter dificuldades de aprendizagem e, consequentemente, ser reprovado por isso, pode estar ligado ao ritmo diferente que cada criança possui e que pode não estar de acordo com os padrões preestabelecido pela escola, pois a dificuldade na aprendizagem depende muito do que se exige para a criança.

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Para VAZ PERES (1997), o desconhecimento de como evolui a aprendizagem e de como se constrói tais processos é um dos problemas mais agudos para se equacionar e acrescenta que:

Essa ignorância assenta-se no desconhecimento: da psicologia do desenvolvimento (gênese da estruturas cognitivas), principalmente por parte dos professores; das capacidades cognitivas das crianças e de seus ritmos diferentes - a temporalidade; da importância de desafiar o sujeito a pensar sua ação; da função dos refletores (família, escola) como produtores de significações psicossociais; e de interações "enviesadas", que possibilitam constelações de complexos no IP(inconsciente pessoal) e figurações arquetípicas no IC (inconsciente coletivo).

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A busca na direção de adquirir tais conhecimentos e aplicá-los convenientemente reflete decisivamente numa melhor aprendizagem por parte dos alunos. Para os alunos com relação a causa responsável pela reprovação em Matemática, fazendo com que repetissem a mesma série, responderam:

Tabela 11 - Motivo que o aluno aponta para sua reprovação em matemática

100

Observando os dados da tabela acima, percebe-se que, dos alunos que foram reprovados, 46,15% deles acham que o motivo que os levou a ser reprovados foi porque não estudaram. Já 23,08%, afirmam que foram reprovados porque não tinham conhecimentos anteriores. Observa-se, portanto, que esses alunos, de certa forma, assumem a culpa por ter fracassado. Não questionam se o professor e/ou a escola têm responsabilidade nesse seu fracasso. Essa postura é normal nos alunos e em seus pais.

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No entanto, 30,77% consideram que sua reprovação aconteceu pelo fato de não entender o conteúdo. Significa dizer que estes alunos passaram o ano estudando, mas não conseguiram assimilar o conteúdo de forma que tivessem sucesso. Também esses alunos não questionaram o professor nem a escola pelo fato de não entenderem o conteúdo, simplesmente assumem como sendo sua a culpa pelo não entendimento. Mas essa postura pode estar relacionada com a postura da escola diante desses alunos, pois para ABRAMOWICZ (1997), cada escola produz um tipo de aprendiz e de repetente que é definido no interior de uma prática específica e definida, que não respeita as diferenças, apesar de admitir que a escola é democrática. Mas verifica-se que a escola é democrática porque todos têm o direito de nela ingressar, no entanto, as diferenças não cabe no seu interior. 101

É importante se observar as diferenças entre as crianças porque elas condicionam o ritmo da aprendizagem de cada uma, pois mesmo elas tendo dificuldades para aprender o que os professores lhes ensinam, aprendem coisas diferentes, em tempo distintos, e num ritmo e de maneira que os professores não gostam. Isso mostra que a aprendizagem ocorre sempre e que por esta razão a escola deve acolher as diferenças no seu interior. DOTTI (1992) aponta que:

O professor precisa entender como o aluno entende, e utilizar esse ponto de apoio para elevá-lo a níveis superiores, auxiliálo na construção de conhecimentos mais estruturados, mais elaborados.

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A repetência, só às vezes, serve para se refletir sobre mudanças na pedagogia dos professores e introduzir nesta, novos acontecimentos que possam transformar os repetentes em aprendizes. O ideal seria que o professor refletisse no sentido de que o conhecimento, em especial de matemática, não é construído apenas na escola, o cotidiano do aluno permite construir conhecimentos. Além disso nenhum conhecimento é construído sozinho, mas sim em contato com o objeto de conhecimento e discutido com o outro. Para WOOD (1996) "a matemática é difícil de aprender e árdua de ensinar", porque as crianças, ao aprender Matemática, defrontam-se com termos na linguagem matemática que têm pressupostos e significados diferentes da fala cotidiana da criança. Isto faz com que essas crianças, por exemplo, tenham dificuldades de deduzir procedimentos matemáticos enunciados verbalmente. 102

No entanto, para GIARDINETTO (1999), a linguagem matemática padronizada, conforme se apresenta hoje, se faz necessário para que se garanta a acessibilidade da matemática a todos. Pois caso contrário, não se socializa o saber matemático, mas apenas se legitima as diferentes formas do saber que surgem dentro de condições injustas e alienadas. As crianças, portanto, precisam adquirir conhecimentos e compreensão suficientes para assimilar o que lhes é ensinado, para que não pareçam desatentas e incapazes de se concentrar, não porque não possua certos traços de personalidade, mas porque carecem de conhecimentos anteriores.

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WOOD (1996) aponta que: Na matemática, a atenção tem que ser 'conquistada'. As crianças que acham difícil dominar os primeiros estágios do que lhes é ensinado podem, à mediada que as aulas vão abordando tópicos cada vez mais difíceis, perceber e memorizar menos do que as crianças que estão indo relativamente bem. Num grupo grande de crianças de capacidades diversas, as menos atentas correm o perigo de ficar cada vez mais para trás.

De acordo com WOOD (1996), em estudo realizado por uma equipe de professores no Chelsea College em Londres sobre conceito de matemática e ciências na escola secundária, com crianças entre onze e quinze anos, chegaram à conclusão que: "a matemática deve ser adaptada a cada indivíduo", pois segundo estes professores é inútil ensinar em classe com alunos de capacidade diversa como se fosse uma única entidade. Esses professores 103

verificaram também que a introdução da matemática moderna induzida por um desejo de gerar maior compreensão conceitual dos fundamentos da matemática não deu certo, pois as crianças não desenvolveram as capacidades esperadas. Nas escolas brasileiras, segundo CORREA (1999), o ensino geralmente, é organizado privilegiando os conteúdos, deixando de contemplar as diferenças individuais no processo de aprendizagem dos alunos. O planejamento que os professores realizam é uma prática formal e burocratizada, em que os atos dos professores é uma cópia de um produto acabado que vem de cima para baixo. Os professores não aproveitam, por exemplo, as avaliações feitas em anos anteriores para fazerem mudanças para o ano seguinte.

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Desta forma, a instituição não procura formas diferentes de recuperar aquele aluno, mas sim lhe dar mais uma chance para que possa tentar se recuperar do seu fracasso. Este sistema revela-se ser altamente discriminatório porque não respeita a individualidade dos alunos. É importante e necessário que as escolas revejam seus programas, adaptando a quantidade de conteúdos com as horas que os alunos permanecem na escola, respeitando o progresso de cada aluno na aprendizagem. Para ROSEMBERG apud BAETA (1984), quando a escola oferece melhores condições de funcionamento, o rendimento dos alunos tende a melhorar fazendo com que melhore os índices de sucesso escolar. Sabe-se que para muitas famílias, principalmente aquelas em que os pais não têm condições de acompanhar as tarefas de seus filhos, a escola é o único apoio possível para o conjunto de atividades deles. No entanto, a escola, por sua vez, não executando ações para dar este tipo de apoio, tem como consequência mais comum a repetência, que acaba gerando a defasagem série-idade. Refletindo, assim, a forma como a escola recebe e exerce suas ações sobre os membros dos diferentes segmentos da sociedade. A distância cultural entre o universo cultural da escola e a cultura de procedência dos alunos, identificada nos valores, no material escolar nos padrões de comportamento faz com que a escola pública tenha, segundo BAETA (1984), um desencontro de expectativa a respeito dos alunos. Acrescenta a autora que qualquer intervenção no sentido de mudar esta situação passa,

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necessariamente,

pelo

professor,

porque

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tentativas

inovações

fracassaram devido à falta de intervenção e compreensão dos professores. No entanto, sem uma vontade política no sentido de atuar firme na valorização social desta profissão, dificilmente qualquer inovação no ensino poderá contar com a intervenção positiva dos professores.

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Considerações Finais É comum encontrar alunos que dizem não gostar da disciplina matemática e que o professor desta disciplina é exigente e que não consegue aprender matemática com aquele professor. Por esta razão, neste estudo, buscou-se ouvir professores de Matemática e alunos, para saber a relação entre a metodologia do professor nesta disciplina com a repetência escolar. Neste momento, não é oportuno falar de conclusão tendo em vista que o fenômeno da repetência escolar é muito complexo, no entanto, foi possível fazer algumas constatações. - Contatou-se que, segundo os professores de matemática, a aula expositiva, metodologia utilizada por eles para ministrar suas aulas, não é suficiente para que o aluno aprenda matemática, pelos menos foi o que afirmou 88% dos professores. - Entre os alunos, a metodologia do professor é uma das causas de não entender o conteúdo. - A falta de base, segundo os professores, é o que leva o aluno a não entender o conteúdo. Isto é resultado, segundo estes mesmos professores, do ensino de matemática deficiente que estes alunos tiveram nas séries anteriores a quinta série. - Os alunos consideram que suas dificuldades são, principalmente, entender o conteúdo, falta de atenção, assunto difícil e alguns declaram não gostar da disciplina Matemática.

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- Os professores consideram que a falta de interesse do aluno nas aulas de Matemática e a falta de base, como causas principais de reprovação em matemática e, consequentemente, da repetência escolar. - Os alunos consideram que sua repetência escolar na disciplina Matemática ocorreu por causa de: não ter estudado, não entender o conteúdo e porque não tinham conhecimentos anteriores. Constata-se, portanto, que os professores responsabilizam os alunos pelo fato de serem repetentes devido à disciplina Matemática. Mas se o aluno não aprendeu, não pode ser responsabilizado sozinho, porque ele é apenas um integrante do processo e que foi à escola para aprender e ser aprovado e não para ser repetente. Por outro lado, os alunos assumem a culpa pelo seu mau desempenho na disciplina Matemática, sem fazer uma reflexão sobre quem poderia ser os responsáveis pelo seu mau desempenho na escola. Essa posição de alunos e professores refletem a educação tradicional que estes alunos vêm recebendo ao longo dos anos, em que os professores estão na sala de aula para ensinar e o aluno para aprender. Qualquer fracasso por parte do aluno, o professor responsabiliza o aluno. Mas o professor deveria olhar dentro de si mesmo e fazer uma reflexão sobre o fracasso destes alunos, e, procurar descobrir meios que possam despertar nos alunos o interesse e a dedicação aos estudos. Para ÁVILA (2001), "o professor deve 'pensar menos em ensinar' matemática e mais em ajudar seus alunos a aprender matemática". Isto pode ser

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feito estimulando a participação dos alunos na sala de aula, ajudando-os no hábito da leitura e na utilização do livro para estudar por conta própria. O autor supracitado aponta que:

A sociedade moderna é complexa e cada vez mais dinâmica, exige que o cidadão se exercite na arte de "aprender a aprender", não apenas receba passivamente o que lhes é ensinado".

Na busca de tornar as aulas mais interessante e agradáveis o professor deve fazer uso das teorias do ensino e aprendizagem de Brunner e Ausubel, pelos pressupostos teóricos apresentados, como também das teorias do desenvolvimento de Piaget e Vygotsky. E pode-se seguir o roteiro apresentado por D'Ambrósio que se encontra na página 81 e 82 desta obra. 108

É importante no ensino de matemática descobrir o que o aluno já sabe, para que, como sugere Ausubel, se comece a ensinar a partir deste ponto, utilizando-se para isto o diálogo e uma linguagem que seja compreensiva pelos alunos. Nesta perspectiva, é importante que o professor reflita sobre seu trabalho em sala de aula para que possa se libertar do ensino tradicional e assuma uma prática pedagógica transformadora compromissada com a transformação social, contribuindo desta forma, para que a construção do conhecimento seja feita conjuntamente entre professor e aluno, e, não seja apenas uma transferência de conhecimentos do professor para o aluno.

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Finalizando, tem-se a certeza de que a discussão sobre o ensino de Matemática é interminável, pois, a cada dia, a prática pedagógica deve ser repensada com o intuito de cada vez mais melhorar o processo de ensinoaprendizagem. Nesta perspectiva, a partir desta obra pode-se aprofundar a discussão sobre o ensino de Matemática, com o objetivo de auxiliar numa melhoria da prática docente de professores de Matemática, bem como poder levantar elementos que possam servir de fonte de pesquisa.

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Referências Bibliográficas

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Luís Felipe de Araújo

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